7 Einfache Korrespondenzanalyse

Transkript

1 7 Einfache Korresondenzanalyse Ziel: Beschreibung der Beziehungen zwischen zwei kategoriellen Variablen I und J, die an k ++ Individuen erhoben wurden Kategorien: {, 2,, } beziehungsweise {, 2,, q} Kontingenztafel: Anzahlen k ij der Individuen für alle Kombinationen I = i und J = j: 2 q Total k k 2 k q k + 2 k 2 k 22 k 2q k 2+ k k 2 k q k + Total k + k +2 k +q k ++ Kontingenztafel der relativen Häufigkeiten: wobei 2 q Total f f 2 f q f + 2 f 2 f 22 f 2q f 2+ f f 2 f q f + Total f + f +2 f +q f ij = k ij k ++, f i+ = k i+ k ++, = k +j k ++ Schätzwerte für die Poulationsanteile π ij, π i+ bzw π +j, i =,,, j =,, q sind 02

2 7 χ 2 -Unabhängigkeitstest H 0 : I und J sind unabhängig vs H : I und J sind abhängig Beisiel 7 Variablen I = Augenfarbe mit Werten {blau, braun, grün} und J = Haarfarbe mit Werten {blond, rot, braun, schwarz} sind unabhängig, wenn der Personenanteil mit blauen/braunen/grünen Augen für alle Personengruen gleicher Haarfarbe gleich ist I ist unabhängig von J, wenn die Proortion der Individuen in jeder Kategorie i von I die gleiche ist für alle Kategorien j von J, π + = π = π 2 = = π q π ++ π + π +2 π +q π 2+ = π 2 = π 22 = = π 2q π ++ π + π +2 π +q und π + π ++ = π π + = π 2 π +2 = = π q π +q Zusammengefasst: I ist unabhängig von J, wenn π ij π +j = π i+ π ++ π ij = π i+π +j π ++ i {, 2,, }, j {, 2,, q} Je verschiedener die k ij von k i+ k +j /k ++, desto stärker die Evidenz für Abhängigkeiten zwischen I und J χ 2 -Statistik der Abstände zwischen den k ij und k i+ k +j /k ++ : ˆT = q j= k ij k i+k +j k ++ 2 k i+ k +j k ++ = k ++ q 2 fij f i+ f j= i+ 03

3 Test 72 Ablehnung von H 0 zum Signifikanzniveau α, falls ˆT > χ 2 q ; α Beisiel 73 Konsum von 4 Artikeln j = A, B, C, D in 3 Kundenbereichen i =, 2, 3 Hängt die Wahl der Artikel vom Bereich ab? Artikel Bereich A B C D Total Total Test: H 0 : Artikel & Bereich unabh vs H : Artikel & Bereich abhängig χ 2 = = Wert = Pχ > = < 005 H 0 ablehnen 04

4 Tabelle der Zeilenhäufigkeiten 2 2 q Total f f 2 f + f 2 f 22 f 2+ f f + f + f 2+ f 2 f + f q f + f 2q f 2+ f q f + f + f +2 f +q Tabelle der Saltenhäufigkeiten 2 2 q Total f f 2 f + f 2 f 22 f + f f + f +2 f +2 f 2 f +2 f q f +q f + f 2q f +q f 2+ f q f +q f + mit f ij f i+ = k ij k ++ k i+ k ++ = k ij k i+ und f ij = k ij k +j i, j Unter H 0 : Unabhängigkeit sollten die Anteile f ij f i+, i =,,, ungefähr gleich sein für jedes feste j, und genauso alle f ij, j =,, q, für jedes feste i Beisiel 74 Fortsetzung von Beisiel 73: Tabelle der relativen Häufigkeiten A B C D Total Total Tabelle der Zeilenrofile A B C D Tot To Tabelle der Saltenrofile A B C D Tot / / /3 To 05

5 72 Wolke der Zeilen-/ Saltenvektoren Wir betrachten die Zeilenrofile als Punkte im R q i-ter Zeilenunkt: r i = r i, r i2,, r iq = fi f i+, f i2 f i+,, Jeder Zeilenunkt erhält als Gewicht seine relative Randhäufigkeit Wolke der Zeilenunkte mit zugehörigen Gewichten: NI = {r i, f i+, i =, 2,, } Schwerunkt der Zeilenunkte gewichtetes Mittel der Zeilen: denn r j = r = r,, r q = f +,, f +q, f ij f i+ = f i+ f iq f i+ f ij =, j =, 2,, q Analog: Wolke der q Saltenunkte im R samt zugehörigen Gewichten: NJ = {c j,, j =, 2,, q}, wobei c j = c j, c 2j,, c j = fj, f 2j,, f j, j =, 2,, q Schwerunkt der Saltenunkte gewichtetes Mittel der q Salten: wegen c i = c = c,, c = f +,, f + q f ij = f j= +j q j= q f ij = f i+, i =, 2,, j= Gewichteter χ 2 -Abstand zwischen Zeilenunkten r i und r i : q d 2 χr i, r i = r ij r i f j 2 fij = +j fi j f j= i+ f i + 2 Gewichteter χ 2 -Abstand zwischen Saltenunkten c j und c j : d 2 χc j, c j = c ij c ij 2 fij = f i+ f i+ f 2 ij f i+ f i+ 06

6 Beisiel 75 Fortsetzung Beisiel 73 χ 2 -Abstand zwischen den Zeilen r und r 2 : d 2 χr, r 2 = = 264 χ 2 -Abstand zwischen den Salten c und c 2 : d 2 χc, c 2 = = 84 Satz 76 Prinzi der Verteilungsäquivalenz Wenn wir zwei identische Saltenunkte c j = c j2 durch einen einzigen Punkt c j0 c j = c j2 mit der Summe der Gewichte der Originalunkte 0 = + 2 als Gewicht ersetzen, so bleiben die Abstände zwischen beliebigen Punkten der Zeilenwolke gleich Entsrechendes gilt bei Ersetzen von Zeilenunkten Durch Zusammenlegen gleicher Saltenunkte kann also die Dimension der Zeilenunkte verringert werden, ohne deren Entfernungen zu ändern Definition 77 Die Trägheit des Zeilenunktes r i ist das Produkt seines Gewichts mit seiner χ 2 -Distanz vom Schwerunkt, Ir i = f i+ d 2 χr i, r Genauso ist die Trägheit des Saltenunktes c j gleich Ic j = d 2 χc j, c Beisiel 78 Fortsetzung von Beisiel 73 Abstände vom Schwerunkt: d 2 χc, c = = 0676, 07

7 d χc 2, c = d χc 3, c = d χc 4, c = Trägheiten der Saltenunkte: = 0554, = 0255, = 0662 Ic = f + d 2 χc, c = = 0220, Ic 2 = f +2 d 2 χc 2, c = = 059, Ic 3 = f +3 d 2 χc 3, c = = 0054, Ic 4 = f +4 d 2 χc 4, c = = 05 Definition 79 Die Trägheit der Wolke der Zeilenunkte NI ist die Summe der Trägheiten aller Zeilenunkte, I NI = Ir i = f i+ d 2 χr i, r = f i+ q j= Gleichermaßen: Die Trägheit der Wolke der Saltenunkte ist I NJ = q Ic j = j= q d 2 χc j, c j= 2 fij f i+ Trägheit der Zeilenwolke = χ 2 -Statistik / gesamte Beobachtungsanzahl: I NI = q fij f i+ f 2 +j f i+ = f j= i+ q 2 fij f i+ = ˆT f j= i+ k ++ Trägheit zerlegt die χ 2 -Statistik für Abhängigkeit zwischen I und J in die Anteile der einzelnen Zeilen bzw Salten Die χ 2 -Statistik ist symmetrisch für Zeilen und Salten, so dass I NI = χ2 k ++ = I NJ 08

8 Beisiel 70 Totale Trägheit der Saltenunktewolke in Beisiel 73 INJ = 4 Ic j = = 0549 = ˆT/k ++ = 36243/ j= 73 Analyse der Zeilenunktewolke Ziel: Darstellung der Zeilenunkte in Raum niedriger Dimension unter Maximierung der Trägheit der rojizierten Punkte auf den neuen orthogonalen Achsen: Maximiere die χ 2 -Statistik für die rojizierten Punkte entsrechend maximaler Abhängigkeit zwischen I und J Idee ähnlich zu Hautkomonentenanalyse mit Trägheit statt Varianz Bemerkung 7 Transformation der Zeilenunktewolke zwecks Nutzung der quadrierten Euklidischen Distanz d 2 e statt d 2 χ: N I = {ri, f i+, i =, 2,, }, wobei ri = ri,, riq r i r iq =,, = f+ f+q f i f i+ f+,, f iq f i+ f+q Schwerunkt der transformierten Punktewolke N I: r = r,, r q = f+,, f +q denn r j = f i+ f ij f i+ f+j = f+j =, j =, 2,, q, Der Schwerunkt transformiert sich wie die Punkte, r f + f +q r =,, r q =,, f+ f+q f+ f+q 09

9 Beisiel 72 Transformierte Punktewolke für Beisiel 73: A B C D Total Quadrierte Euklidische Distanz zwischen Zeilenunkten von N I: d 2 er i, r i = q f ij j= f i+ f i + f i j 2 = q j= Trägheit der Zeilenunktewolke ausgedrückt hierüber: INI = f i+ d 2 e ri, r fij f 2 i j = d 2 f i+ f χr i, r i i + Beisiel 73 Quadrierte Euklidische Distanz zwischen transformierten r und r 2 für Kontingenztafel aus Bsl 73 Vergleich mit Resultat Bsl 75: d 2 er, r 2 = = 264 = d 2 χr, r 2 Zentrierung der Zeilenunktewolke mittels ihres Schwerunktes: mit den Punkten i =,, x i = x i,, x iq = N I = {x i, f i+, i =, 2,, }, f i f i+ f+ f +,, f iq f +q, f i+ f+q 0

10 und neuem Schwerunkt x = 0,, 0 Die gesamte Trägheit der Zeilenunktewolke bleibt gleich: INI = f i+ d 2 ex i, 0 = f i+ x ix i Beisiel 74 Zentrierte Zeilenunktematrix für Beisiel 73: X = Definition 75 Sei X = x ij die Matrix der Zeilenunkte und D I = diag f +,, f + die Diagonalmatrix mit den Gewichten der Zeilenunkte Die Trägheitsmatrix der Zeilenunkte ist die Matrix T = X D I X mit j, k-element t jk = f i+x ij x ik Die Trägheitsmatrix T ist eine Art gewichtete Varianz-Kovarianz Matrix von X Beisiel 76 Trägheitsmatrix T für Kontingenztafel in Beisiel 73: T = Mit der Matrix T wird nun eine Hautkomonentenanalyse durchgeführt Zunächst noch ein bisschen Notation:

11 Definiere q Hautachsen, gegeben durch ihre normierten Richtungsvektoren: a = a,, a q = a q a q a q Projektionen der Zeilenrofile x i = x i,, x iq, i =,,, auf die l-te Hautachse: F l = x a l, F 2l = x 2a l,, F l = x a l, Koordinaten der Zeilenunkte x i = x i,, x iq auf den Hautachsen: F i x i F i = = a x i a + + x iq a q = x i a q x i a q + + x iq a qq F iq Beachte: x i sind zwar die Zeilenrofile, werden aber wie üblich immer als Saltenvektoren interretiert Schwerunkt der neuen Koordinaten F i, i =, 2,, : F = 0,, 0 Die Trägheit der l-ten Achse: I l = f i+ F il 2 = q 2 f i+ x ij a lj j= Trägheit der Achse l als Funktion der Trägheitsmatrix: I l = a l Ta l Definition 77 Die Hautachse sei die Achse, welche die Trägheit der Zeilenunkte maximiert Die Hautachse erhält man durch Lösung von Max! I = a Ta unter der Nebenbedingung udnb: a a = Lösung mit Satz 45 HKA: Maximalwert ist größter Eigenwert λ von T; Richtungsvektor a ist normierter Eigenvektor zu λ 4 2

12 Definition 78 Die l-te Hautachse mit Richtungsvektor a l sei diejenige unter allen normierten, zu a,, a l orthogonalen Achsen, welche maximale Trägheit besitzt l-te Hautachse ist also Lösung von Max! I l = a l Ta l udnb: a l a l =, a l a j = 0, j =,, l Dank Theorem 45: Trägheit λ l ist l-ter Eigenwert von T mit Eigenvektor a l, l =, 2,, q Beisiel 79 Eigenwerte und -vektoren der Matrix T aus Bs 76: a = λ = 03405, λ 2 = 02086, λ 3 = λ 4 = 0, , a 2 =, a =, a = Zwei Hautachsen mit Richtungsvektoren a und a 2 Zugehörige Trägheiten I = λ = 0340 bzw I 2 = λ 2 = 0209 Koordinaten des Punktes auf den Hautachsen: F = F, F 2, F = x a = = 0473 F 2 = x a 2 = = 0529 Koordinaten des 2 Punktes: F 2 = F 2, F 22 = 0349, 0584, Koordinaten des 3 Punktes: F 3 = F 3, F 32 = 0822, 0056 Proosition 720 r = f +,, f +q ist ein Eigenvektor von T zum Eigenwert 0 3

13 Daher: r ist orthogonal zu allen Hautachsen a l von T, also r a l = q j= f+j a lj = 0 Als Hautachsen zählen dabei nur die Eigenvektoren zu den von 0 verschiedenen Eigenwerten, also im Bs oben a und a 2 Damit lässt sich die Trägheit der Achsen a l etwas umschreiben: I l = q 2 f i+ x ij a lj = j= f i+ q j= f ij f i+ a lj Das wiederum lässt sich umschreiben zu: q 2 I l = xija lj = a lx X a l = a l T a l, j= wobei X = x ij, mit x ij = 2 = q j= f ij fi+ a lj f ij fi+ Die Hautachsen sind also ebenso über eine Eigenwertzerlegung von T = X X bestimmbar 2 Beisiel 72 Bestimmung der Matrizen X und T für Beisiel 73 Matrix X aus der Matrix der relativen Häufigkeiten, X = T = Eigenwerte und Eigenvektoren von T : a = λ = 03405, λ 2 = 02086, λ 3 =, λ 4 = 0, , a =, a =

14 Proosition 722 Es gilt: Jeder Eigenvektor von T zu einem echt ositiven Eigenwert λ l ist ein Eigenvektor von T zum gleichen Eigenwert λ l Der Eigenvektor r von T zum Eigenwert 0 ist ein Eigenvektor von T zum Eigenwert Nach einer langen Herleitung über r ij zu r ij zu x ij zu x ij mit dem Grundgedanken Maximierung der Trägheit der Zeilenunktewolke haben wir als Fazit bisher: Aus Tabelle der relativen Häufigkeiten mit Einträgen f ij wird die Matrix X = xij mit Einträgen x ij = bestimmt f ij fi+ Dann wird eine Sektralzerlegung von T = X X durchgeführt Dabei werden die Eigenvektoren zu den Eigenwerten 0 und ignoriert und die restlichen absteigend geordnet nach der Größe der zugehörigen Eigenwerte als Hautachsen genommen Hautziel des Ganzen: die Projektionen der transformierten und zentrierten Zeilenrofile auf die Achse a das sind die Werte F = x a, F 2 = x 2 a,, F = x a sollen maximale Trägheit Maß für die Variabilität besitzen Dimensionsreduktion: die skalaren Werte F i sollen zur möglichst guten Unterscheidung der q-dimensionalen Zeilenrofile herangezogen werden 5

15 Beisiel 723 US crime data USA Kriminalitätsstatistik im Jahr 2009, Quelle: R-Paket VGAM State Murder Rae Robbery Assault Burglary LarcenyTheft AutoTheft AL AK AZ AR CA CO CT DE FL GA HI ID IL IN IA KS KY LA ME MD MA MI MN MS MO MT NE NV NH NJ NM NY NC ND OH OK OR PA RI SC SD TN TX UT VT VA WA WV WI WY

16 Die normalisierten Zeilenrofile die r i der Bundesstaaten Nevada, Utah, Wisconsin, New York, Missouri, Maine: NV Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft UT Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft WI Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft NY MO ME Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft Diese Darstelung ist nicht gut geeignet, um Unterschiede deutlich zu machen Alle Profile werden dominiert von Theft, bei Murder und Rae erkennt man gar nichts Die transfomierten und standardisierten Zeilenrofile die x i : NV UT WI Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft NY MO ME Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft Murder Rae Robb Assault Burglary Theft AutoTheft Hier sind die Unterschiede der Profile besser zu erkennen, z B Missouri hat ein durchschnittliches Profil Nevada und Maine haben sehr unterschiedliche Profile Wisconsin und Utah haben ähnliche Profile, aber nicht sehr durchschnittliche Profile 7

17 Als Ergebnis der Analyse der Zeilerofile erhält man die ersten beiden Hautachsen a = 038, a 2 = Die erste Achse ist im Wesentlichen Robbery + Assault + AutoTheft vs Theft Die zweite Achse wird dominiert von Burglary Projektionen der Zeilenrofile auf erste beiden Hautachsen: MS AR NC NM OK 2 Hautachse NV CA MD MI GA AL KY LA OH WV TN SC FL TX IN IA AZ DE KS ID MA WA MO RI IL CO HI ND NJ SD MN AK PA CT OR NEWI UT WY VA NY MT NH VT ME Hautachse Die Koordinaten der Zeile i in diesem Plot sind F i, F i2, i =,, Nevada und Maine liegen an entgegensetzten Enden der ersten Achse, Missouri liegt ziemlich in der Mitte, Wisconsin und Utah liegen nicht mittig, aber nah bei einander 8

18 Nun das ganze nochmal mit der Saltenunktewolke 74 Analyse der Saltenunktewolke Die Saltenunktewolke ist gegeben durch NJ = {c j,, j =, 2,, q}, mit c j = c j, c 2j,, c j = fj, χ 2 -Abstand zwischen zwei Saltenunkten j und j : d 2 χc j, c j = f i+ c ij c ij 2 = f 2j,, f i+ f j, j =, 2,, q fij f i+ f ij f i+ Transformierte Saltenunkte zwecks Nutzung der Euklidischen Distanz: N J = {c j,, j =, 2,, q}, mit c j = c j,, c j = cj f+,, c j = f+ f j f+,, Schwerunkt der transformierten Salten N J : c = f +,, f + Zentrierung der transformierten Punktewolke: N J = {y j,, j =, 2,, q}, mit y j = y j,, y j = f j f+ f +,, 2 f j f+ f j f + f+ Koordinate von y j auf Achse mit Richtung b l = b l,, b lq : Skalarrodukt G jl = y ijb li Koordinaten auf Achsen mit Richtungsvektoren b, b 2,, b : G j = G j, G j2,, G jq Definition 724 Die Trägheit der Achse l ist die Summe der Trägheiten der auf die Achse rojizierten Punkte, gewichtet mit der quadrierten Euklidischen Distanz, q I l = 2 Gjl = j= q 2 y ij b li j= Definition 725 Sei Y = y ij die Matrix der zentrierten Saltenunkte, und D J = diag f +,, f +q die Diagonalmatrix mit den Gewichten der Saltenunkte Wir definieren die Trägheitsmatrix der Saltenunkte als die Matrix S = YD J Y Das i, j Element dieser Matrix ist s ij = q k= f +ky ik y jk Es gilt: I l = b l Sb l 9

19 Definition 726 Die Hautachse der Saltenunktewolke ist die Achse, welche die Trägheit der Saltenunkte maximiert Die Hautachse erhält man somit als Lösung des Problems Max! I = b Sb udnb b b = Dank Satz 45 der HKA ist das Maximum gleich dem größten Eigenwert λ von S, und der Richtungsvektor b ein normierter Eigenvektor zu λ Definition 727 Die l-te Hautachse mit Richtungsvektor b l ist eine unter allen zu allen vorherigen Hautachsen b, b 2,, b l orthogonale Achse mit maximaler Trägheit Die Trägheit der l-ten Hautachse ist λ l, der l-te Eigenwert von S, und der Richtungsvektor b l ein normierter Eigenvektor hierzu, l =, 2,, Proosition 728 c = f +,, f + ist ein Eigenvektor von S zum Eigenwert 0 Somit ist c orthogonal zu allen Hautachsen b l von S, d h c b l = q j= fi+ b lj = 0 Trägheit der auf die Achse b l rojizierten Punkte: I l = q 2 y ij b li = j= q j= f ij fi+ b li 2 = q j= f ij fi+ b li 2 Mit der Matrix S = X X, wobei X = x ij und x ij = Achse l I l = q 2 xij b li = b l X X b l = b l S b l j= f ij fi+, gilt für die Trägheit der Fazit bisher: Aus Tabelle der relativen Häufigkeiten mit Einträgen f ij wird die Matrix X = xij mit Einträgen x ij = bestimmt f ij fi+ 20

20 Analyse der Zeilenunktewolke: Sektralzerlegung von T = X X Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten 0 und werden ignoriert, die restlichen absteigend geordnet nach der Größe der zugehörigen Eigenwerte als Hautachsen genommen Analyse der Saltenunktewolke: Sektralzerlegung von S = X X Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten 0 und werden ignoriert, die restlichen absteigend geordnet nach der Größe der zugehörigen Eigenwerte als Hautachsen genommen Beisiel 729 US crime data Fortsetzung von Bs 723 Burglary 2 Hautachse AutoTheft Murder Assault Rae Theft Robb Hautachse Die Koordinaten der Salte j in diesem Plot sind G j, G j2, i =,, q 2

21 75 Gemeinsame Analyse Es sollen die Eigenwerte und -vektoren von S = X X und T = X X berechnet werden Erinnere an Satz 30 Singulärwertzerlegung: Die Matrix X lässt sich schreiben als X = BΛ /2 A, wobei Λ eine Diagonalmatrix mit den von 0 verschiedenen Eigenwerten von S = X X und T = X X ist, A die normierten Eigenvektoren von T als Salten und B die normierten Eigenvektoren von S als Salten enthält Die von 0 verschiedene Eigenwerte von S = X X und T = X X sind gleich Es gibt r = min{, q} von 0 verschiedene EWe von S und T Den EW, welcher dem EW 0 von S bzw T entsricht vernachlässigen wir, so dass wir r = min{, q } Hautachsen haben Korollar 730 Beziehung zwischen den Eigenvektoren von S und T : a l = λl X b l, b l = λl X a l Daraus folgt für die Koordinaten auf den Hautauchsen: G jl = λl f ij F il, F il = λl q j= f ij f i+ G jl, l =,, r In Worten: die Koordinate G jl des Saltenunktes c j auf der l-ten Hautachse ist gewichtetes Mittel der Koordinaten F il der Zeilenunkte auf der entsrechenden Achse, mit Faktor / λ l und Gewichtung durch das Saltenrofil c j analog für die Zeilenunkte 22

22 Gemeinsame Grahik der Zeilen- und Saltenrofile Präsentation der Punkte F i, F i2, i =,,, und G j, G j2, i =,, q, in einem gemeinsamen Koordinatensystem Mit Korrolar 730 ist Koordinate des jten Saltenunktes auf der lten Achse: G jl = f j λl F l + f 2j λl F 2l + + f j λl F l, l =,, r, oder in Vektorform Beschränkung auf r = 2: G j = G j2 f j F + F λl λl F 2 f 2j F 22 f j λl F 5 F 2 Etwas Geometrie-Background: Mit F il = F il/ λ l, i =,, ist G jl = f j F l + f 2j F 2l + + f j F l, l =,, r, oder in Vektorform Beschränkung auf r = 2: G j G j2 = f j F F2 + f 2j F 2 F f j F F2 6 Jeder Saltenunkt G j, G j2 ist eine Konvexkombination der Punkte F i, F i2, i =,,, d h er liegt in ihrer konvexen Hülle Liegen G j, G j2 und F i, F i2 in der Grahik nah beieinander insb gleiche Richtung vom Ursrung, so hat G j, G j2 in der Konvex-Kombination 6, und damit auch in 5 ein hohes Gewicht, d h f ij ist verglichen mit den anderen Werten innerhalb der jten Salte c j groß Mit analoger Argumentation bei Vertauschung der Rollen von F ij und G ij : Liegen G j, G j2 und F i, F i2 in der Grahik nah beieinander, so erhält F i, F i2 in der Linearkombination der G k, G k2, k =,, q ein relativ 23

23 hohes Gewicht, f ij ist auch im Vergleich zu den anderen Werten in der i-ten Zeile relativ groß Fazit: Wenn in der gemeinsamen Grafik r i und c j nahe beieinander liegen genauer: ihre Projektionen auf die jeweiligen ersten beiden Hautachsen, so besteht eine Korresondenz zwischen diesem Zeilen- und Saltenunkt Beisiel 73 Hautachsenkoordinaten der Saltenunkte aus Bs 73: Koordinaten der Saltenunkte in ihren Hautachsen aus der Tafel der Saltenrofile und den Koordinaten der Zeilenunkte in allen Hautachsen Koordinaten des ersten Saltenunktes, G = G, G 2, G = G 2 = [ ] = 087, [ ] = 007 Koordinaten des zweiten Saltenunktes: G 2 = G 2, G 22, G 2 = G 22 = [ ] = 035, [ ] = 0672 Koordinaten des dritten Saltenunktes: G 3 = G 3, G 32, G 3 = G 32 = [ ] = 0289, [ ] = 044 Koordinaten des vierten Saltenunktes: G 4 = G 4, G 42, G 4 = G 42 = [ ] = 0, [ ] =

24 Beisiel 732 US crime data Fortsetzung von Bs 723 MS Burglary AR NC NM OK 2 Hautachse NV AutoTheft CA Robb MI Murder Assault MD GA AL KY LA OH WV TN SC FL IN TX IA Rae AZ ID MA DE WA KS MO RI Theft IL CO HI ND NJ SD PA MN AK CT OR NE WI UT WY VA NH VT ME NY MT Hautachse Die Koordinaten der Zeile i in diesem Plot sind F i, F i2, i =,,, die Koordinaten der Salte j sind G j, G j2, i =,, q Wichtig: Vorzeichen von a l und b l müssen assen, d h die Beziehung aus Korrolar 730 muss erfüllt sein Führt man Eigenwertzerlegungen von T und S unabhängig von einander durch, so kann es assieren, dass man a l = λ /2 l X b l erhält Also besser: die kleinere von beiden Matrizen sektralzerlegen und die Eigenvektoren der anderen mit Korrolar 730 bestimmen 25

25 Burglary 2 Hautachse AutoTheft Murder Assault NV CA AR MS NM NC OK MIGAAL SC TN LA AZ DE FL WV OH INIA KY Rae TX ID ILCO KS ME MD MA MO HI AK NJ ND CT PA RI VT WA OR NE WI MN UT SD NH NY VA MT WY Theft Robb Hautachse Die Koordinaten der Zeile i in diesem Plot sind F i, F i2, i =,,, die der Salte j sind G j, G j2 = G j/ λ, G j2 / λ 2, i =,, q Zusammenfassung grahische Darstellungen Wolke der Zeilenunkte F i bezüglich ihrer Hautachsen, i =,, 2 Wolke der Saltenunkte G j bezüglich ihrer Hautachsen, j =,, q Benachbarte Zeilenunkte Saltenunkte haben ähnliche Profile, weit auseinanderliegende Punkte sehr verschiedene Profile rel Häufigkeiten 26

26 Ursrung ist das Mittel aller Faktoren; Punkte nahe am Ursrung haben ein durchschnittliches Profil 3 Simultane Darstellung der Zeilen- und Saltenunkte im gemeinsamen Raum Nachbarschaft eines Zeilen- und eines Saltenunktes bedeutet, dass diese Zeile / Salte hohes Gewicht an der Salte / Zeile hat; weit auseinanderliegende Zeilen / Salten teilen kaum gemeinsame Beobachtungen Wahl der Anzahl der Hautachsen a Anteil der erklärten Trägheit 75%: Trägheit der l-ten Hautachse ist l-ter Eigenwert λ l Totale Trägheit ist die Summe der Trägheiten aller Achsen: INI = r λ i Anteil der durch l-te Achse erklärte Trägheit: λ l / r λ i Anteil der durch erste r Hautachsen erklärten Trägheit: r λ i r λ i b Scree-Grah 27

27 76 Weitere Maßzahlen Trägheit der l-ten Achse: λ l = Trägheit des i-ten Zeilenunktes: f i+ Fil 2 = q Gjl 2, j= IF i = f i+ d 2 ef i, 0 = f i+ F if i = f i+ A x i A x i = f i+ x ix i = Ix i, wobei A die Eigenvektoren a,, a q von T als Salten hat Orthogonalmatrix Der relative Beitrag des i-ten Zeilenunktes zur Trägheit der l-ten Achse ist b z i,l = f i+f 2 il λ l Der relative Beitrag des j-ten Saltenunktes zur l-ten Achse ist b s j,l = G 2 jl λ l Kategorien mit höheren Beiträgen sind wesentliche Bestandteile der Achse und erlauben die Interretation der Hautachsen Der relative Beitrag der l-ten Achse zur Trägheit des i-ten Zeilenunktes ist ci,l z = F2 il F i F i Relativer Beitrag der l-ten Achse zur Trägheit des j-ten Saltenunktes: c s j,l = G2 jl G j G j Die relativen Beiträge geben an, wie gut die Punkte durch die Hautachsen reräsentiert werden 28

28 Ein Zeilenunkt i ist akzetabel reräsentiert durch die Hautachsen, wenn für die Kommunalitat gilt: r ci,l z 06 l= Beisiel 733 Relative Beiträge der Zeilen- und Saltenunkte zu den Trägheiten der Hautachsen in Beisiel 73 Koordinaten Relativer Beitrag Saltenunkt Gewicht Dim Dim 2 Dim Dim 2 A B C D Koordinaten Relativer Beitrag Zeilenunkt Gewicht Dim Dim 2 Dim Dim Relative Beiträge der Zeilenunkte in Beisiel 73 rel Beitrag Saltenunkt Dim Dim 2 Total A B C D

29 Beisiel 734 Fortsetzung von Bs 723 l λ l l λ i r λ i Eigenwerte Hautachsen Die Anteile der ersten beiden Achsen an den einzelnen Zeilenunkten: AL 096 HI 07 MA 007 NM 054 SD 042 AK 07 ID 06 MI 066 NY 060 TN 09 AZ 05 IL 029 MN 082 NC 093 TX 073 AR 087 IN 068 MS 085 ND 049 UT 059 CA 094 IA 064 MO 028 OH 048 VT 09 CO 022 KS 052 MT 072 OK 076 VA 089 CT 082 KY 080 NE 079 OR 053 WA 009 DE 004 LA 034 NV 094 PA 058 WV 080 FL 09 ME 086 NH 089 RI 033 WI 090 GA 060 MD 086 NJ 053 SC 0 WY

30 MO DE Murder Rae Robb Assault Theft AutoTheft Murder Rae Robb Assault Theft AutoTheft WA MA Murder Rae Robb Assault Theft AutoTheft Murder Rae Robb Assault Theft AutoTheft Die Staaten Missouri, Delaware, Washington und Massachusetts liegen im Plot 732 in der Mitte Ihre Profile sind aber verschieden nah am Zeilenschwerunkt, sie werden unterschiedlich gut durch die ersten beiden Achsen erklärt MO 28% im Vergleich zu mageren 4% bei Delaware 3