Fondsgebundene Lebensversicherungsverträge mit garantierten Auszahlungen

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1 Günther Sieghartsleitner Fondsgebundene Lebensversicherungsverträge mit garantierten Auszahlungen Diplomarbeit Technische Mathematik Studienzweig Operations Research, Statistik, Finanz- und Versicherungsmathematik Verfasst am Institut für Statistik Technische Universität Graz unter Anleitung von Ao.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Wolfgang Müller Graz, im August 25

2 Ich versichere, diese Arbeit selbstständig verfasst, andere als angegebene Quellen und Hilfsmittel nicht benutzt und mich auch sonst keiner unerlaubten Hilfsmittel bedient zu haben. Günther Sieghartsleitner

3 Inhaltsverzeichnis 1 Stochastische Prozesse und Finanzmathematik Grundlagen zeitstetiger Prozesse Das stochastische Integral Itô-Prozesse und der Itô-Kalkül Der Finanzmarkt Das N-Periodenmodell eines Finanzmarktes Das Black-Scholes Modell Vertragsmodelle Ein-Perioden Modell Explizite Berechnung einer Hedge Jährliche Aufteilung eines Überschusses Verträge ohne Zwischenkonto Verträge mit Zwischenkonto Verträge mit Berücksichtigung des Guthabens am Zwischenkonto Simulationsergebnisse für die indirekte Methode Simulationsergebnisse für die direkte Methode Stochastische Zinsraten Allgemeines Diffusionsmodelle für die short rate Das Vasicek Modell Explizite Darstellung der Preise Der Prozess r t, β t, δ t Das Heath-Jarrow-Morton Modell Heath-Jarrow-Morton und das Diffusionsmodell für die short rate 77 4 Vertragsmodelle in Verbindung mit einer stochastischen Zinsrate Ein-Perioden-Modell Hedging Jährliche Aufteilung eines Überschusses Verträge ohne Zwischenkonto Verträge mit Zwischenkonto Verträge mit Berücksichtigung des Guthabens am Zwischenkonto Indirekte Methode Direkte Methode i

4 INHALTSVERZEICHNIS ii C-Code der Simulationen 13 Literaturverzeichnis 128

5 Einleitung Traditionelle Lebensversicherungsprodukte versprechen dem Inhaber der Polizze eine fixe Auszahlung zum Zeitpunkt der Fälligkeit des Vertrages. Aufgrund der mittlerweile sehr niedrigen Zinsraten ist auch der zur Kalkulation dieser Verträge verwendete Rechnungszins relativ niedrig. In Österreich beträgt dieser laut Höchstzinssatzverordnung 23 der Finanzmarktaufsichtsbehörde seit 1. Jänner 24 2,75%, soll aber ab 26 auf 2,25% gesenkt werden. Zusätzlich erhalten bei den traditionellen Produkten die Kunden noch eine Beteiligung an einem Teil des Unternehmensgewinns. Aufgrund der niedrigen Zinsraten brachten bzw. bringen viele Versicherungen fondsgebundene Produkte auf den Markt, bei denen der Kunde zusätzlich zu einer fixen Auszahlung am Ende noch einen Anteil an überschüssigem Gewinn erhält. Überschüssiger Gewinn bedeutet, dass die Versicherung durch Investition des vom Kunden einbezahlten Kapitals mehr Gewinn erwirtschaftet, als sie diesem als Auszahlung zusichert. Diese positive Differenz wird dann zwischen Versicherung und Kunde aufgeteilt, wobei es verschiedene Arten der Aufteilung gibt. Da die Versicherung nur einen möglichen Überschuss, nicht aber einen allfälligen Verlust, mit dem Kunden teilt, spricht man bei der vertraglich fixierten Auszahlung von einem garantiertem Mindestgewinn bzw. einer garantierten Mindestverzinsung. In Skandinavien und Großbritannien beispielsweise sind solche Produkte schon sehr lange am Markt. In Österreich kamen diese erst in den letzten Jahren in Mode, wobei meist eine Kapitalgarantie gegeben wird. Früher wurde der, in einem mathematischem Sinn, korrekten Bewertung von Versicherungsverträgen nur wenig Beachtung geschenkt. Das lag zum einen daran, dass aufgrund der damals herrschenden Zinsraten die angebotenen Produkte so weit outof-the-money schienen, dass man der Meinung war, sich diesen Aufwand ersparen zu können zum Beispiel haben britische Versicherungen in den 197er und 198ern bei einer Marktzinsrate von um die 1% Garantien von ca. 8% gegeben [21]. Andererseits standen aber auch die mathematischen Werkzeuge dazu teilweise noch nicht zur Verfügung [11]. Da die Versicherungen jedoch heutzutage für ihre Investitionen einerseits erheblich weniger Rendite bekommen als früher, wodurch diese bereits laufenden Verträge deutlich in-the-money gekommen sind, und sie sich andererseits trotz dieser Tatsache teilweise sehr viel Zeit ließen, neue Verträge an die neuen Marktbedingungen ausreichend anzupassen, gerieten viele Unternehmen in Liquiditätsschwierigkeiten oder schlitterten in den Konkurs. Ein konkretes Beispiel ist die Nissan Mutual life insurance group aus 1

6 Einleitung 2 Japan. Diese ging in Konkurs, da sie Zinsgarantien in der Höhe von 4,7% p.a. nicht einhalten konnte, die Summe der ungedeckten Verbindlichkeiten belief sich auf $2,56 Mrd. [11]. Auch in den USA waren die Folgen teilweise katastrophal: 1987 gingen 19, und Versicherungsunternehmen konkurs. Ebenso gab es einige große Pleiten in Kanada [6]. Natürlich blieb auch Europa davon nicht verschont, wo vor allem Großbritannien und Dänemark betroffen waren [11]. Als Konsequenz dieser Entwicklung wurde das Risikomanagement der Versicherungen einer erhöhten Aufmerksamkeit von Behörden, Fachpresse und Wissenschaft unterzogen. In weiterer Folge entstanden viele Arbeiten zu dieser Thematik, siehe zum Beispiel [1], [4] oder [25]. In dieser Arbeit werden, nach einer kurzen Einführung bzw. Wiederholung der stochastischen und finanzmathematischen Grundlagen in Kapitel 1, verschiedene Modelle von Vertragsformen von Lebensversicherungen mit garantierter Mindestverzinsung und Aufteilung von überschüssigem Gewinn vorgestellt. All diesen Modellen ist gemeinsam, dass sie einem gewissen Sinne fair sind, und dass die Rendite eines Referenz-Fonds als Grundlage für die Berechnung von überschüssigem Gewinn herangezogen wird. Die Vertragsmodelle unterscheiden sich durch die Art, wie überschüssiger Gewinn aufgeteilt wird. Des weiteren wird in Kapitel 3 in die Theorie der stochastischen Zinsraten eingeführt. Es werden explizite Lösungen für das Modell von Vasicek hergeleitet, welche in Kapitel 4 in die vorgestellten Vertragsmodelle eingebaut werden. An dieser Stelle möchte ich Ao.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Wolfgang Müller für die gewissenhafte Betreuung danken. Meinen Eltern, die mich während meiner gesamten Ausbildung immer unterstützt haben, möchte ich besonders danken. Ebenso gilt mein Dank meiner Freundin Maria und allen anderen, die auf verschiedene Weise zum Entstehen dieser Arbeit beigetragen haben.

7 Kapitel 1 Einführung in die stochastischen Prozesse und Finanzmathematik In diesem Kapitel werden wir jene mathematischen Werkzeuge und Begriffe kennenlernen, die wir benötigen, um finanzielle Forderungen bewerten zu können. Beginnen wollen wir mit Grundlagen aus dem Bereich der stochastischen Prozesse. Als Referenz sei auf [16] verwiesen. 1.1 Grundlagen zeitstetiger Prozesse Definition 1.1. Sei Ω, A, P ein Wahrscheinlichkeitsraum und T = [, ]. i Ein stochastischer Prozess ist eine Familie = t t T von Zufallsvariablen, die alle auf Ω, A, P definiert sind und Werte in einem Messraum E, E annehmen. E, E heißt Zustandsraum. ii Für ω Ω heißt die Abbildung t t ω, die T auf E abbildet, eine Realisation bzw. ein Pfad des Prozesses. iii Unter der Verteilung eines stochastischen Prozesses = t t T versteht man die Verteilung der E T -wertigen Zufallsvariable, das heißt P A := P 1 A A E T. iv Für S = t 1,..., t n T und S < heißt P t1,..., tn A = P t1..., tn A mit A E S eine endlichdimensionale Randverteilung von. v Ein Gaußscher Prozess ist ein stochastischer Prozess, dessen endlichdimensionale Randverteilungen stets Normalverteilungen sind. Das heißt, für < t 1 <... < t n < ist t1,..., tn ein n-dimensional normalverteilter Zufallsvektor. Bemerkung 1.1. Sämtliche endlichdimensionale Randverteilungen eines Gaußschen Prozesses sind durch die Funktionen mt := E [ t ], t und ρs, t := Cov [ s, t ], s, t festgelegt. 3

8 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 4 Definition 1.2. i Eine aufsteigende Folge von Untersigma-Algebren F = F t t heißt Filtration. F erfüllt die üblichen Bedingungen, wenn F enthält alle P-Nullmengen, d.h. alle A A mit P A = und F rechtsstetig ist, d.h. F t+ = s>t F s = F t t >. ii t t heißt adaptiert, wenn t für alle t F t -messbar ist. Jeder Prozess ist an seine kanonische Filtration F := Ft t mit Ft := σ s s t adaptiert. iii Eine Zufallsvariable T : Ω [, ] heißt Stoppzeit, wenn T t F t t. Bemerkung 1.2. Ein Prozess ist genau dann adaptiert, wenn t aus der zum Zeitpunkt t bekannten Information berechnet werden kann. F t =, Ω heißt, dass keine Information bekannt ist. Definition 1.3. i Ein adaptierter Prozess = t t integrierbarer Zufallsvariablen heißt Martingal, wenn E [ t F s ] = s P f.s. für s < t gilt. ii Ein adaptierter Prozess = t t integrierbarer Zufallsvariablen heißt lokales Martingal, wenn es eine Folge von Stoppzeiten T n gibt, sodass die gestoppten Prozesse t Tn t T Martingale sind. Hierbei ist t T n = mint, T n. Bemerkung 1.3. Ein Martingal ist ein lokales Martingal aber nicht umgekehrt. Die Brown sche Bewegung Ein in der Finanzmathematik besonders wichtiger stochastischer Prozess ist die Brown sche Bewegung. Sie wird unter anderem dazu verwendet, die Dynamik von Aktienkursen und Zinsraten zu modellieren. Definition 1.4 Erste Definition der Brown schen Bewegung. Ein reellwertiger stochastischer Prozess B = B t t heißt eindimensionale, standardisierte Brown sche Bewegung, wenn er folgende Eigenschaften hat: i B = ii Der Prozess hat unabhängige Zuwächse B tj B tj 1, die normalverteilt sind mit Mittel und Varianz t j t j 1. Das heißt, für = t < t 1 <... < t k < gilt: sind unabhängig, und B t1 B t, B t2 B t1,..., B tk B tk 1 B tj B tj 1 N, t j t j 1.

9 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 5 iii Alle Pfade sind stetig. Satz 1.1. Ein Gaußscher Prozess ist genau dann eine Brown sche Bewegung, wenn i alle Pfade stetig sind und = ii mt = und ρs, t = mins, t. Definition 1.5 Zweite Def inition der Brown schen Bewegung. Sei Ω, A, P ein Wahrscheinlichkeitsraum und F t t eine Filtration. Ein reellwertiger Prozess B = B t t heißt Brown sche Bewegung bezüglich F t t, wenn gilt: i B ist adaptiert. ii B = P-f.s. iii Für s < t < ist der Zuwachs B t B s unabhängig von F s und iv Die Pfade von B sind P-f.s. stetig. B t B s N, t s. Die Brown sche Bewegung ist also ein stetiger stochastischer Prozess mit unabhängigen, stationären und normalverteilten Zuwächsen. Man kann zeigen, dass die Pfade einer Brown schen Bewegung fast sicher an keiner Stelle differenzierbar sind. Lemma 1.2. Eine Brown sche Bewegung im Sinn der ersten Definition ist eine Brown sche Bewegung im Sinn der zweiten Definition bezüglich der kanonischen Filtration F t = σb s s t. Satz 1.3. Ist B t t eine Brown sche Bewegung bezüglich F t t, dann sind folgende Prozesse Martingale mit stetigen Pfaden: i B t t ii B 2 t t t iii expθb t 1 2 θ2 t t mit θ C Exponentialmartingal Definition 1.6. wenn i Eine Funktion f : [, T ] R heißt von beschränkter Variation, V f T = sup n ft i ft i 1 <, i=1 wobei das Supremum über alle Zerlegungen = t < t 1 <... < t n = T von [,T] zu erstrecken ist.

10 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 6 ii Ein Prozess t t T heißt von beschränkter Variation, wenn seine Pfade P-f.s. von beschränkter Variation sind. iii Existiert für einen Prozess t t T der Grenzwert n ti ti 1 2 p, t i=1 wenn die Feinheit der Zerlegung = t < t 1 <... < t n = t von [,t] gegen Null strebt, dann heißt, =, t t T die quadratische Variation von. Für die Zerlegung = t < t 1 <... < t n = t von [, t] wird das Maximum der Längen der Teilintervalle [t i, t i 1 als Feinheit der Zerlegung bezeichnet. Das heißt, die Feinheit der Zerlegung ist max i=1,...,n t i t i 1. Lemma 1.4. Die Brown sche Bewegung hat quadratische Variation B, B t = t. Daraus folgt, dass die Brown sche Bewegung nicht von beschränkter Variation ist. Denn: Ist t t T stetig und von beschränkter Variation, dann ist n n ti ti 1 2 sup ti ti 1 ti ti 1 i=1 V t< i=1 woraus, = folgt. 1.2 Das stochastische Integral Ziel ist die Definition des Integrals H s db s wobei H s s ein geeigneter stochastischer Prozess und B s s eine Brown sche Bewegung ist. Naheliegend ist der Definitionsversuch über Riemann-Summen. Sei = t < t 1 <... < t n = t eine Zerlegung von [, t] und t j [t j 1, t j ]. Dann stellt sich die Frage, ob n t H t Btj j B tj 1 H s db s 1.1 j=1

11 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 7 wenn der Grenzwert existiert und wenn die Feinheit der Zerlegung von [, t] gegen Null geht. Beim Riemann-Integral ist der Grenzwert unabhängig von der Wahl von t j. In 1.1 hängt der Grenzwert jedoch bereits bei einfachen Beispielen z.b. H s = B s von der Wahl von t j ab. Jede Wahl von t j liefert einen anderen Integralbegriff. Zum Beispiel führt die Wahl t j = t j 1 zum Itô-Integral und t j = 1 2 t j + t j 1 zum Stratonovitch- Integral. Beispiel 1.1. Wir berechnen das Itô-Integral von B sdb s. Sei = t < t 1 <... < t n = t eine Zerlegung von [, t]. Nun berechnen wir folgende Riemann-Summe: n B tj 1 B tj B tj 1 = 1 2 j=1 n Bt 2 j Bt 2 j j=1 = 1 2 B2 t B n B tj B tj 1 2 j=1 n B tj B tj 1 2. Nach Lemma 1.4 strebt die rechte Seite in Wahrscheinlichkeit gegen 1 2 B2 t t, wenn die Feinheit der Zerlegung gegen Null strebt. Es folgt B sdb s = 1 2 B2 t t. Integration einfacher Prozesse Um dem Ausdruck H sdb s eine Bedeutung zu geben, definieren wir dieses stochastische Integral zunächst für einfache Prozesse. Sei Ω, A, P ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum, B = B t t T eine Brown sche Bewegung und F = F t t T die Filtration F t = σb s s t N. Dann ist B eine Brown sche Bewegung bezüglich F und F erfüllt die üblichen Bedingungen, das heißt F ist rechtsstetig und enthält alle P-Nullmengen. Definition 1.7. i Ein stochastischer Prozess H t t T heißt einfach, wenn er eine Darstellung der Form H t = Φ I t + j=1 n Φ j I tj 1,t j ]t besitzt, wobei = t < t 1 <... < t n = T eine Zerlegung von [, T ] ist und Φ j beschränkte, F tj 1 -messbare Zufallsvariablen sind. Zusätzlich sei Φ beschränkt und F -messbar. ii Das stochastische Integral eines einfachen Prozesses H t t T ist der Prozess j=1 H u db u t T

12 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 8 wobei H u db u = = k 1 Φ j B tj B tj 1 + Φ k B t B tk 1, j=1 n Φ j B tj t B tj 1 t. j=1 t k 1 < t < t k Bemerkung 1.4. i Die Definition des stochastischen Integrals ist unabhängig von der Darstellung von H. ii Der zweiten Darstellung entnimmt man, dass das stochastische Integral stetige Pfade besitzt. iii Ein einfacher Prozess ist adaptiert. Proposition 1.5. Sei H ein einfacher Prozess, dann gilt: i Das Itô-Integral H sdb s t T ist ein Martingal mit stetigen Pfaden. ii [ ] E H s db s = und [ ] [ 2 ] [ ] V ar H s db s = E H s db s = E Hs 2 ds. Erste Erweiterung des Integralbegrif fs Für einfache Prozesse haben wir das stochastische Integral somit definiert. Wir erweitern nun den Integralbegriff auf eine größere Klasse von adaptierten Prozessen, nämlich auf die Klasse [ ] H = H t t T H adaptiert und E Hs 2 du <. Bei der Erweiterung des stochastischen Integrals von einfachen Prozessen auf Prozesse aus H werden folgende zwei Eigenschaften benutzt: Mit dem Skalarprodukt und der Norm ist H ein Hilbertraum. [ T H, J = E [ T H 2 = E ] H s J s ds ] Hs 2 ds

13 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 9 Die Menge der einfachen Prozesse ist dicht in H. Proposition Erweiterung des Itô-Integrals. Es existiert eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung I von H in die Menge der Martingale mit stetigen Pfaden mit folgenden Eigenschaften: i Für einen einfachen Prozess H gilt IH = H s db s t T ii Für H H und t T gilt Wir schreiben: E [IH t ] = E [ IH t 2] [ = E ] Hs 2 ds H s db s = IH t. Isometrie. Zweite Erweiterung des Integralbegrif fs [ ] T Die Voraussetzung E H2 s ds < ist für viele praktische Anwendungen zu einschränkend. Durch Lokalisierung gelingt die Erweiterung auf Integranden aus H := H = H t t H adaptiert, messbar und Hs 2 ds < t P f.s.. Offensichtlich gilt H H. Das Itô-Integral für Prozesse aus H ist im Allgemeinen kein Martingal mehr, sondern nur ein lokales Martingal. Proposition Erweiterung des Itô-Integrals. Es gibt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung Ĩ von H in die Menge der lokalen Martingale mit P-f.s. stetigen Pfaden, mit folgenden Eigenschaften: i Für H H gilt ĨH = H s db s t T ii Stetigkeitseigenschaft: Ist H n n 1 eine Folge von Prozessen aus H und gilt dann folgt Wir schreiben: H n 2 s dbs sup ĨHn t. t T H s db s = ĨH t.

14 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik Itô-Prozesse und der Itô-Kalkül Wir lernen nun einen Differentialkalkül, den Itô-Kalkül, kennen, der auf dem stochastischem Integral basiert. Er wird uns zur berühmten Itô-Formel führen, die es uns ermöglicht, Funktionen t fb t zu differenzieren wobei f zweimal stetig differenzierbar ist. Zuerst definieren wir jene Klasse von Prozessen, auf die die Itô-Formel angewendet werden kann. Eindimensionale Itô-Prozesse Definition 1.8. Sei B t t T eine Brown sche Bewegung bezüglich einer Filtration F t t T. Ein reellwertiger Prozess = t t T heißt Itô-Prozess, wenn er eine Darstellung der Form besitzt, wobei gilt: ist F -messbar t = + K s ds + H s db s Die Prozesse K = K t t T und H = H t t T sind adaptiert T K s ds < P f.s. T H2 s ds < P f.s. Bemerkung 1.5. dann gilt i Die Darstellung ist eindeutig. Das heißt, wenn t = + K s ds + H s db s = + = P f.s. H = H λ P f.s. K = K λ P f.s. K sds + ii Ein Itô-Prozess ist genau dann ein lokales Martingal, wenn K = Die Integration nach einem Itô-Prozess ist wie folgt definiert: H sdb s, λ P f.s.. Definition 1.9 Integration nach einem Itô-Prozess. Sei Y = Y t t T adaptierter reellwertiger Prozess und ein Itô-Prozess, dann definiert man Y s d s := Y s K s ds + Y s H s db s wann immer die rechte Seite definiert ist, das heißt, wenn gilt: T sk s ds < P f.s. T sk s 2 ds < P f.s. ein

15 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 11 Folgende Proposition stellt den Zusammenhang von Itô-Integralen und Riemann-Summen her. Proposition 1.8. Ist Y = Y t t T ein adaptierter reellwertiger Prozess mit P-f.s. stetigen Pfaden und existiert Y sd s, dann gilt t T n i=1 p t Y ti 1 ti ti 1 n 2 Y ti 1 ti ti 1 i=1 p t Y s d s Y s H 2 s ds wenn die Feinheit der Zerlegung = t < t 1 <... < t n = t von [, t] gegen Null strebt. Aus Proposition 1.8 folgt für die quadratische Variation eines Itô-Prozesses:, t = H 2 s ds. Zum Beispiel ist die Brown sche Bewegung ein Itô-Prozess mit K s = und H s = 1 B t = B + ds+ 1dB s. Für die quadratische Variation der Brown schen Bewegung folgt daher B, B t = 1 2 ds = t. Nun können wir die Itô-Formel angeben. Diese bildet die Erweiterung des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung auf das stochastische Integral. Satz 1.9 Itô-Formel. Ist = t t T ein Itô-Prozess und f : R R zweimal stetig differenzierbar, dann ist auch f := f t t T ein Itô-Prozess und es gilt f t = f + Bemerkung 1.6. Wegen gilt 1 2 f s d s + 1 2, t = f s d, s = 1 2 H 2 s ds f s d, s. 1.2 f s H 2 s ds. Korollar 1.1 Produktregel. Sind = t t T und Y = Y t t T Itô-Prozesse, dann auch t Y t t T und es gilt t Y t = Y + s dy s + Y s d s +, Y t. 1.3

16 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 12 Beispiel Wir berechnen B sdb s mit Hilfe der Itô-Formel. Wendet man die Itô-Formel auf fx = x 2 und t = B t an, dann erhält man: Daraus folgt B 2 t = = 2 2B s db s B s db s + t. B s db s = 1 2 B2 t t. 2d B, B s s Mit Hilfe der Itô-Formel kann man auch folgenden Satz beweisen: Satz Für eine deterministische, auf [, T ] integrierbare Funktion ft ist der Prozess t t T, definiert durch t := fsdb s ein Gaußscher Prozess mit Erwartungswert und Varianz fs2 ds. Mehrdimensionale Itô-Prozesse Definition 1.1. Sei B t = B 1 t,..., B d t eine d-dimensionale Brown sche Bewegung, das heißt die B i t sind unabhängige eindimensionale Brown sche Bewegungen bezüglich F t t T. Ein reellwertiger Prozess = t t T heißt eindimensionaler Itô-Prozess bezüglich B t = B 1 t,..., B d t, wenn er eine Darstellung der Form besitzt, wobei ist F -messbar t = + K s ds + K t t T und H j t t T sind adaptiert T K s ds < und T Hj s 2 ds < P-f.s. d j=1 H j sdb j s Analog zur quadratischen Variation defnieren wir nun die Kovariation bzw. Kreuzvariation von zwei Itô-Prozessen und Y. Definition Sind und Y Itô-Prozesse bezüglich B t = Bt 1,..., Bt d, dann existiert stets der Grenzwert n tj tj 1 Y tj Y tj 1 p, Y t j=1

17 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 13 wenn die Feinheit der Zerlegung = t < t 1 <... < t n = t von [, t] gegen Null strebt. Der Prozess, Y =, Y t t T heißt Kovariation von und Y. Daraus ergeben sich folgende Rechenregeln:, Y ist symmetrisch und linear in beiden Argumenten A, Y =, wenn A beschränkte Variation hat B i, B j t = δ ij t H sd s, t H sd s t = H sh sd, s Sei t = 1 t,..., n t ein n-dimensionaler Itô-Prozess bezüglich B t = B 1 t,..., B d t, das heißt die i t sind Itô-Prozesse mit der Darstellung i t = i + dann folgt aus den obigen Rechenregeln: K i sdu + i, j t = d l=1 d j=1 H il s H jl s ds. H ij s db j s, Satz 1.12 Mehrdimensionale Itô-Formel. Sei t = t 1,..., t n ein n-dimensionaler Itô-Prozess bezüglich der d-dimensionalen Brown schen Bewegung B t = Bt 1,..., Bt d und ist f : R n R zweimal stetig differenzierbar. Dann ist f = ft 1,..., t n t T ein eindimensionaler Itô-Prozess bezüglich B und es gilt f t = f + n i=1 f x i s d i s n i,j=1 2 f x i x j s d i, j s. Korollar Ist t t T ein eindimensionaler Itô-Prozess bezüglich einer eindimensionalen Brown schen Bewegung B t t T und ist f : R 2 R zweimal stetig differenzierbar, dann gilt f t ft, t = f, + t s, f sds + x s, sd s f 2 x s, sd, 2 s Der Finanzmarkt Nachdem wir nun über die hier benötigten Grundlagen stochastischer Prozesse Bescheid wissen, wollen wir zum Finanzmarkt übergehen. Anhand des zeitdiskreten N- Periodenmodells führen wir grundlegende Begriffe ein, bevor wir uns dem stetigen Black-Scholes Modell zuwenden.

18 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik Das N-Periodenmodell eines Finanzmarktes Zuerst betrachten wir einen Finanzmarkt mit d Finanzgütern Aktien, Anleihen, Währungen..., die nur zu den Zeitpunkten,..., N gehandelt werden. Das Finanzgut bezeichne eine Einheit einer risikolosen Anleihe mit Zinsrate ρ >. Die Preise werden als zufällig modelliert. Dem Marktmodell liegt also ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω, A, P zugrunde. Definition i Die Zufallsvariable S n,j bezeichne den Preis des Finanzgutes j zum Zeitpunkt n. Sei Sn T = S n,... S n,d, dann heißt S = S n n N der Preisprozess. Der Preis von Finanzgut ist dabei S n, = 1 + ρ n. ii Der Prozess S = S n n N mit S n = Sn,S 1 n ist der diskontierte Preisprozess. Diskontierte Preise ermöglichen den Preisvergleich zu verschiedenen Zeitpunkten. Wir nehmen an, dass zum Zeitpunkt n die Preise S, S 1,..., S n bekannt sind und damit auch der Wert aller messbaren Funktionen hs, S 1,..., S n. Das sind nach dem Faktorisierungslemma der Maßtheorie genau die σs, S 1,..., S n -messbaren Zufallsvariablen. Im allgemeinen wird der Informationsverlauf durch eine aufsteigende Folge von σ-algebren F n n N beschrieben, also durch eine Filtration. Somit wird das allgemeine N-Periodenmodell festgelegt durch einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, A, P, eine Filtration F n n N und einen an F n n N adaptierten und quadratisch integrierbaren Preisprozess S = S n n N. Definition i x mit x T = x,..., x d R d+1 heißt Portfolio. Sein Wert zum Zeitpunkt n ist x T S n = x S n, x d S n,d. ii Eine Handelsstrategie ist ein an F n n N adaptierter, quadratisch integrierbarer R d+1 -wertiger Prozess = n n<n. Interpretation: Man bildet zum Zeitpunkt n das Portfolio n und hält es bis zum Zeitpunkt n + 1. Dann wird das neue Portfolio n+1 gebildet. Adaptiert bedeutet, dass zur Bildung von n nur die zum Zeitpunkt n zur Verfügung stehende Information benutzt werden darf. Zusätzlich definiert man 1 := und N :=. iii Der Prozess δ = δ n n N mit heißt Entnahmeprozess. δ n = n 1 n T S n

19 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 15 > δ n Einheiten werden entnommen = der Wert des Portfolios δ n n 1 wird gänzlich neu investiert < zum Aufbau des neuen Portfolios n müssen δ n Einheiten zugeführt werden Speziell ist δ = T S und δ N = T N 1 S N. iv Eine Handelsstrategie = n n<n heißt selbstfinanzierend, wenn δ n = für 1 n N 1 ist. Das heißt, das Anfangsportfolio wird zum Preis T S gebildet und dann zu jedem Zeitpunkt ohne Geldzufuhr umgeschichtet. Die Handelsstrategie liefert dann den Endwert δ N = N 1 T S N. v Eine Handelsstrategie heißt Handelsarbitrage, oder kurz Arbitrage, wenn δ n für n N gilt und es ein n mit P δ n > > gibt. Ein Modell heißt arbitragefrei, wenn es keine Handelsarbitrage gibt. Definition Zwei Wahrscheinlichkeitmaße auf Ω, A heißen äquivalent, wenn P absolut stetig bezüglich Q P Q und Q absolut stetig bezüglich P Q P ist. Das heißt P A = QA = A A. P und Q haben also die gleichen Nullmengen. Wir schreiben Q P. Satz P ist genau dann absolut stetig bezüglich Q, wenn es eine nichtnegative Zufallsvariable Z auf Ω, A gibt, sodass P A = ZωdQω A A A gilt. Z wird als Dichte von P bezüglich Q bezeichnet und man schreibt Z = dq dp. Satz Fundamentalsatz der Preistheorie. Im N-Periodenmodell eines Finanzmarktes sind folgende Aussagen äquivalent: i Das Modell ist arbitragefrei. ii Es existiert ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q, sodass der diskontierte Preisprozess S bezüglich Q ein Martingal ist. Q heißt dann ein risikoneutrales Maß oder ein Martingalmaß für S.

20 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 16 Optionen und Claims Eine europäische Call-Option Put-Option ist das Recht, nicht die Pflicht, eine Einheit des Finanzgutes j zum Zeitpunkt N zu einem vereinbarten Ausübungspreis K zu kaufen zu verkaufen. Die Call-Option wird durch die Auszahlung C N = S N,j K + und die Put-Option durch die Auszahlung P N = K S N,j + zum Zeitpunkt N beschrieben. Allgemeiner ist ein Claim Forderung ein Vertrag, der zum Zeitpunkt n die Auszahlung C n garantiert 1 n N. C n muss aus der zum Zeitpunkt n zur Verfügung stehenden Information berechenbar sein. Definition i Ein Claim ist ein adaptierter, quadratisch integrierbarer Prozess C = C n 1 n N. ii Ein Claim heißt absicherbar, wenn es eine Handelsstrategie gibt, mit C n = δ n für 1 n N. wird dann als Hedge oder replizierendes Portfolio bezeichnet. iii Ein Modell heißt vollständig, wenn jeder Claim absicherbar ist. iv Ist C ein absicherbarer Claim in einem arbitragefreien Modell und eine Hedge für C, dann heißt sc = s C := T S der faire Preis von C. v Ist C ein absicherbarer Claim mit Hegde, dann heißt der Prozess V C = V n C n N mit V n C = T n S n der Wertprozess von C. Insbesonders ist V C = s C und V N C =. Bemerkung 1.7. Wird der Claim zu einem Preis s s C gehandelt, ergibt sich formal im um den Handel mit C erweiterten Modell eine Arbitragemöglichkeit: 1. s > s C: Verkaufe C zum Preis s, erwerbe zum Preis T S = s C und investiere s s C im risikofreien Finanzgut. Der risikolose Gewinn ist 1 + ρ N s s C. 2. s < s C: Der Besitzer des Portfolios hat eine Arbitragemöglichkeit: Er verkauft zum Preis T S = s C und investiert s C s im risikofreien Finanzgut. Sein risikoloser Gewinn ist 1 + ρ N s C s. Satz In einem arbitragefreien Modell ist der faire Preis eines absicherbaren Claims C gegeben durch [ N ] s C = E Q C n F wobei Q ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß für S ist. Ist F =, Ω, dann gilt [ N ] s C = E Q C n n=1 n=1

21 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 17 Satz Fundamentalsatz der Preistheorie. Ein arbitragefreies Modell mit endlichem Ω ist genau dann vollständig, wenn das äquivalente Martingalmaß für S auf F N eindeutig bestimmt ist. Satz Es gilt Ṽ n C = E Q [ N j=n+1 C j F n ]. Bemerkung 1.8. Aus dem Wertprozess lässt sich die Hedge eines Claims konstruieren, wie später am Beispiel des Black-Scholes Modells gezeigt werden wird Das Black-Scholes Modell Black und Scholes behandelten in [3] das Problem, Europäische Optionen auf eine Aktie, die keine Dividenden ausbezahlt, zu bewerten und zu hedgen. Sie kamen zu einer expliziten Formel, deren Einfachheit wegen das Black-Scholes Modell zum Referenzmodell schlechthin wurde. Hier soll das Modell in seinen Grundzügen vorgestellt werden. Weiters wird die Black- Scholes Optionspreisformel angeben und gezeigt, wie man explizit eine Hedge bestimmt. Das Modell von Black und Scholes ist ein zeitstetiges Modell mit einem risikolosen Finanzgut Anleihe, Bond und einem risikobehafteten Finanzgut, zum Beispiel eine Aktie. Der Preis des risikolosen Finanzgutes zum Zeitpunkt t S t genügt der gewöhnlichen Differentialgleichung ds t = rs t dt. Dabei ist r > die stetige risikolose Zinsrate. Wird zu Beginn S = 1 investiert, erhalten wir als eindeutige Lösung für St S t = e rt, t. Der Preis des risikobehafteten Finanzgutes zum Zeitpunkt t S 1 t ist durch die stochastische Differentialgleichung ds 1 t = S 1 t µdt + σdb t 1.5 gegeben, wobei µ R und σ > Konstanten sind und B t t T eine standard Brown sche Bewegung ist. µ wird als erwartete Returnrate und σ als Volatilität bezeichnet. Das Modell gilt auf dem Intervall [, T ], wobei T das Fälligkeitsdatum der Option ist. Die explizite Lösung von 1.5 lautet St 1 = S 1 exp µ σ2 t + σb t. 2

22 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 18 Das kann man zum Beispiel mit der Formel von Itô 1.4 nachprüfen, indem man S 1 t = ft, B t setzt. Als Filtration wählen wir die vollständige kanonische Filtration F t = σf t N wobei F t = σb s s t und N die Menge aller P-Nullmengen ist. Handelsstrategien Nun übertragen wir einige Definitionen aus dem zeitdiskreten Fall auf das Black-Scholes Modell: Definition i Eine Handelsstrategie ist ein adaptierter R 2 -wertiger Prozess = t t T mit t = t, t 1. ii Der Wertprozess V = V t t T einer Handelsstrategie ist durch definiert. V t = t S t + 1 t S 1 t iii Die durch S t = S t 1 S t und Ṽ t = S t 1 V t definierten Prozesse heissen diskontierter Preisprozess und diskontierter Wertprozess. iv Der Wertzuwachs capital gain einer Handelsstrategie ist definiert durch G t = t ds t + 1 t ds 1 t. v Eine Handelsstrategie heißt selbstfinanzierend, wenn G t = V t V t [, T ] bzw. dv t = t ds t + 1 t ds 1 t. Lemma ist genau dann selbstfinanzierend, wenn Das äquivalente Martingalmaß dṽ t = 1 t d S 1 t. Zur Bestimmung eines äquivalenten Martingalmaßes im Black-Scholes Modell, benötigen wir folgenden Satz:

23 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 19 Satz 1.2 Satz von Girsanov. Sei B eine Brown sche Bewegung auf Ω, A, P bezüglich F t t T und H H. Weiters sei der Exponentialprozess Z t t T, definiert durch Z t = exp H s db s 1 2 Hs 2 ds, ein Martingal. Dann ist der um den Drift H sds verschobene Prozess W t t T mit W t = B t + H s ds eine standard Brown sche Bewegung auf Ω, A, Q T. Dabei ist Q T das durch dq T dp festgelegte Wahrscheinlichkeitsmaß. Q T ist äquivalent zu P. = Z T Bemerkung 1.9. Man beachte, dass Z t t T stets ein lokales Martingal ist. Falls gilt, kann man zeigen, dass Z t t T Novikov-Bedingung genannt. E [ 1 T ] exp Hs 2 ds < 2 auch ein Martingal ist. Diese Bedingung wird Um nun ein äquivalentes Martingalmaß für den diskontierten Preisprozess zu bestimmen, berechnet man d S 1 t. Es gilt mit d S 1 t = σ S 1 t dw t W t = µ r σ t + B t. Nach dem Satz von Girsanov 1.2 ist W t t T eine standard Brown sche Bewegung, wenn man von P zum äquivalenten Maß Q T mit dq T dp = Z T übergeht. Dabei ist H s = µ r σ zu setzen. In diesem Fall ist Z t t T das Exponentialmartingal der Brown schen Bewegung B. Somit ist S 1 t t T auf Ω, A, Q T ein Martingal. Man beachte, dass S 1 t und S 1 t bezüglich Q T nicht von µ abhängen. Bewertung von Optionen im Black-Scholes Modell Definition i Ein Claim mit Ausübungszeitpunkt T ist eine nichtnegative, F T -messbare und integrierbare Zufallsvariable C T. Im Fall eines europäischen Calls gilt C T = fst 1 = ST 1 K +. ii Eine selbstfinanzierende Handelsstrategie heißt zulässig, wenn [ ] E QT sup Ṽ t 2 <. t T

24 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 2 iii Der Claim C T heißt absicherbar, wenn es eine zulässige selbstfinanzierende Handelsstrategie gibt mit V T = C T. wird dann als Hedge bezeichnet. s C T = V heißt der faire Preis von C T zum Zeitpunkt. Satz Jeder bezüglich Q = Q T quadratisch integrierbare Claim C T ist absicherbar. Der diskontierte Wertprozess einer Hedge ist ein Martingal bezüglich Q. Es gilt Ṽ t = E Q [ e rt C T F t ] 1.6 und speziell s C T = V = E Q [ e rt C T ]. 1.7 Bewertung von Claims der Form C T = fs 1 T mit E Q [C 2 T ] < Aus 1.6 folgt [ ] V t = E Q e rt t fst 1 F t. Aus ST 1 = S1 t exp σw T W t σ2 T t folgt 2 Mit erhält man V t = E Q [e rt t f F t, x = E Q [e rt t f St 1 exp σw T W t σ2 T t 2 ] x exp σw T W t σ2 T t 2 V t = F t, S 1 t und s C T = F, S 1. F t ]. Angewendet auf den europäischen Call C T = ST 1 K+ ergibt sich als Lösung für F t, x die berühmte Black-Scholes Formel F t, x = xφ d + σ T t e rt t Kφ d mit d = log x K + r σ2 T t 2 σ. T t 1.8

25 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 21 Explizite Berechnung einer Hedge für C T = fs 1 T Ein replizierendes Portfolio muss zu jeder Zeit t den Wert Ṽ t = e rt F t, S t haben, wobei F wie zuvor definiert ist. Wenn wir setzen, dann folgt F t, x = e rt F t, e rt x Ṽ t = F t, S 1 t. Ist F bzw. F zweimal stetig differenzierbar nach x und einmal stetig differenzierbar nach t, kann die Formel von Itô auf F t, x angewendet werden und wir erhalten dṽ t = F t t, S t 1 dt + F x t, S t 1 d S t F 2 x t, S 1 2 t d S t 1 2. Aus d S t 1 = σ S t 1 dw t folgt d S t 1 2 = σ 2 S t 1 2 dt und damit dṽ t = F t t, S t F 2 x t, S 1 2 t σ 2 S t 1 2 dt + F x t, S t 1 d S t 1. Da Ṽ t t T ein Martingal bezüglich Q ist folgt, dass der dt-term gleich Null ist. Damit vereinfacht sich die letzte Gleichung zu dṽ t = F x t, S 1 t d S 1 t. Nach Lemma 1.19 wählen wir für den Hedging-Prozess Setzen wir zusätzlich 1 t := F x t, S 1 t = F x t, S1 t. t := F t, S 1 t 1 t S 1 t, dann ist das Portfolio = t, 1 t selbstfinanzierend mit beziehungsweise Ṽ t = F t, S 1 t V t = t S t + 1 t S 1 t = S t F t, S 1 t = F t, S 1 t. Betrachten wir den Europäischen Call, so folgt mit 1.8 t 1 = F x t, x = φ d + σ T t. Zuletzt fassen wir das Ergebnis zusammen:

26 Kapitel 1. Stochastische Prozesse und Finanzmathematik 22 Satz Ist C T = fst 1 und ist F t, x einmal stetig nach t und zweimal stetig nach x differenzierbar, dann ist t = t, t 1 mit eine Hedge. 1 t = F x t, S1 t und t = e rt F t, S 1 t 1 t S 1 t

27 Kapitel 2 Vertragsmodelle Im folgenden werden verschiedene Vertragsmodelle vorgestellt. Allen Modellen ist gemeinsam, dass der Kunde zum Zeitpunkt des Inkraft-Tretens des Vertrages eine Einzahlung tätigt, die von der Versicherung für die Dauer der Vertragslaufzeit investiert wird. Im Vertrag wird dem Kunden eine jährliche Mindestverzinsung garantiert. Weiters wird ein Benchmark-Fonds spezifiziert. Dessen Rendite entscheidet darüber, ob es zu zusätzlichen Auszahlungen an den Kunden kommt. Die Versicherung ist allerdings nicht verpflichtet tatsächlich in diesen Fond zu investieren. Für die Simulationen der Vertragsmodelle wird eine risikolose Zinsrate von r = 3.5% angenommen. Diese Annahme entstand nach Vergleich verschiedener in Österreich angebotener festverzinslicher Produkte. Da viele Pensions- und Zukunftsvorsorgefonds eine 3-Jahres-Volatilität von um die 1% haben, wird für die Simulation eine Volatilität von σ = 1% verwendet und zum Vergleich eine Volatilität von σ = 2%. 2.1 Ein-Perioden Modell Der Kunde leistet zum Zeitpunkt t = eine Einzahlung. Die Versicherung garantiert ihm dafür eine jährliche Verzinsung von g und investiert in einen Fond S mit Preis S t t T und S = 1. Die garantierte Auszahlung am Ende der Vertragslaufzeit, also zum Zeitpunkt T, beträgt somit e gt. Hat zu diesem Zeitpunkt der Fond mehr erwirtschaftet als dem Kunden garantiert wurde, erhält der Kunde am Überschuss ST e gt + einen Anteil α. Von der Tatsache, dass die Feststellung, ob überschüssiger Gewinn vorhanden ist oder nicht, nur einmal, und zwar am Ende, erfolgt und hierfür die gesamte Laufzeit quasi als eine Periode betrachtet wird, leitet sich auch der Name des Modells ab. Der Vertrag wird beschrieben durch die Forderung A T = e gt + α S T e gt + = e gt + α S T e gt Unter der Annahme einer konstanten risikolosen Zinsrate r und der Vollständigkeit 23

28 Kapitel 2. Vertragsmodelle 24 des Marktmodells für den Benchmark-Fond, ist der faire Preis der Forderung A T zum Zeitpunkt t = nach 1.7 durch V A T = E Q [ÃT ] gegeben. Dabei bezeichnet ÃT = e rt A T die diskontierte Forderung A T und Q das eindeutig bestimmte risikolose Maß. Der Vertrag ist fair, wenn V A T = bzw. AT V = 1 ist. In diesem Fall kann die Versicherung das Vermögen mit Hilfe einer geeigneten Hedge so anlegen, dass sie am Ende der Laufzeit genau die benötigten A T Geldeinheiten zur Abdeckung der Vertragsverpflichtungen erwirtschaftet hat. Mit Hilfe der Formel von Black-Scholes können wir V AT leicht ausdrücken, denn ST e gt + ist nichts anderes als ein europäischer Call mit Ausübungspreis e gt. Somit erhalten wir AT V = V e gt + V α S T e gt + = e rt E Q [ e gt ] + αv ST e gt + = e T g r + αf t, x t=,x=1 wobei F t, x die Black-Scholes Formel 1.8 für einen europäischen Call ist. Für t = und x = S = 1 erhalten wir: r g σ2 T 2 F, 1 = φ σ + σ r g σ2 T T e T g r 2 φ T σ T r g + σ 2 2 r g σ 2 = φ T e T g r 2 φ T. σ σ Die Bedingung für einen fairen Vertrag lautet also r g + σ 2 e T g r 2 r g σ 2 + α φ T e T g r 2 φ T = σ σ Die Abb. 2.1 und 2.2 zeigen Kombinationen von α und g für T = 1 und T = 25 bei denen Bedingung 2.2 erfüllt ist.

29 Kapitel 2. Vertragsmodelle 25 Abbildung 2.1: Kombinationen von α und g für verschiedene Volatilitäten bei denen der Vertrag bei r=3.5% und T=1 fair ist Abbildung 2.2: Kombinationen von α und g für verschiedene Volatilitäten bei denen der Vertrag bei r=3.5% und T=25 fair ist

30 Kapitel 2. Vertragsmodelle 26 Wie zu erwarten ist α höher je niedriger die Volatilität ist. Ausserdem ist α bei längerer Laufzeit verhältnismäßig höher. Generell ist α bei Garantien, die nahe bei r sind auch noch relativ gross, was, wie wir anschließend sehen werden, bei den anderen Vertragsmodellen nicht so ist. Da bei diesem Modell aber während der Laufzeit nie zusätzliche Zahlungen stattfinden, muss der Vertrag für den Kunden durch ein verhältnismäßig hohes α attraktiv gemacht werden, da zum Beispiel ein schlechtes letztes Jahr dazu führen kann, dass wirklich nur die Garantie ausbezahlt wird, obwohl während der anderen Jahre vielleicht immer Überschuss vorhanden gewesen wäre Explizite Berechnung einer Hedge Analog dazu, wie wir die Hedge im Black-Scholes Modell berechnet haben siehe S 21 können wir auch hier vorgehen. Dazu schreiben wir A T als mit K = e gt und fx = x K +. Sei H eine Hedge, dann ist A T = K + αfs T ] [ÃT Ṽ H t = E Q Ft. Daraus folgt V H t = E Q [ e rt t K + αfs T Ft ] [ = e rt t K + α E Q e rt t fs T ] Ft. =F t,s t Also können wir schreiben: V H t = Gt, S t = e rt t K + αf t, S t, wobei F t, x die Black-Scholes Formel 1.8 ist. Damit ist nach Satz 1.22 H t = H t, H 1 t mit eine Hedge. H 1 t = G x t, S1 t = α F x t, S1 t H t = e rt Gt, S 1 t H 1 t S 1 t

31 Kapitel 2. Vertragsmodelle Jährliche Aufteilung eines Überschusses Dieses Modell wurde von Miltersen und Persson in [18] vorgestellt. Wiederum leistet der Kunde eine Einzahlung. Die Versicherung garantiert ihm für jedes Jahr eine Verzinsung von g i, i = 1... T. Im Unterschied zum Modell in Kapitel 2.1 wird nun aber jährlich die Rendite δ i des Benchmark-Fonds mit g i verglichen. Ist δ i > g i wird die Differenz δ i g i > zwischen Kunde und Versicherung aufgeteilt. Andernfalls bekommt der Kunde im Jahr i nur seine ihm vertraglich zugesicherte Verzinsung g i, was bedeutet, dass die Versicherung die Differenz g i δ i decken muss. Für die Aufteilung von Überschuss gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder δ i g i > wird zur Gänze aufgeteilt, das heißt der Kunde bekommt daran den Anteil α und die Versicherung den verbliebenen Teil. Oder man teilt nicht alles auf, der Kunde bekommt den Anteil α >, die Versicherung β > und der nicht aufgeteilte Rest kommt auf ein eigenes Zwischenkonto. Von diesem wird in Jahren, in denen δ i < g i ist, Geld auf das Konto des Kunden transferiert, um die Verpflichtung des Mindestgewinns zu erfüllen. Ist am Ende der Vertragslaufzeit, also zum Zeitpunkt T, noch Geld auf diesem Konto vorhanden, wird es dem Kunden gutgeschrieben. Andernfalls muss die Versicherung das Defizit abdecken Kapitel Wir bezeichnen mit A das Konto des Kunden, mit C das Konto der Versicherung und B das Zwischenkonto, falls verwendet. Entsprechend bezeichnen wir mit A t, C t und B t das Guthaben am jeweiligen Konto zum Zeitpunkt t Verträge ohne Zwischenkonto einfacher Aufteilungsmechanismus Im Fall des einfachen Überschuss-Aufteilungsmechanismus wird der Vertrag durch die Forderung A T = e T i=1 g i+αδ i g i + des Kunden beschrieben. Unter der Annahme einer konstanten risikolosen Zinsrate r > und der Vollständigkeit des Marktmodells für den Benchmark-Fond, ist der faire Preis der Forderung A T zum Zeitpunkt t = nach 1.7 durch V A T = E Q [ÃT ] gegeben. Dabei bezeichnet ÃT = e rt A T die diskontierte Forderung A T und Q das eindeutig bestimmte risikolose Maß. Der Vertrag ist fair, wenn V A T = bzw. AT V = 1 2.3

32 Kapitel 2. Vertragsmodelle 28 ist. In diesem Fall kann die Versicherung das Vermögen mit Hilfe einer geeigneten Hedge so anlegen, dass sie am Ende der Laufzeit genau die benötigten A T Geldeinheiten zur Abdeckung der Vertragsverpflichtungen erwirtschaftet hat. Angenommen, die Dynamik des Fonds sei ds t = S t rdt + σdw t mit Volatilität σ und einer Brownschen Bewegung W = W t t bezüglich Q. Dann ist hierfür S t = S exp r σ2 t + σw t 2 eine Lösung. Damit kommt man auf eine jährliche Rendite des Fonds von δ t = log S t = log exp S t 1 = r σ2 2 + σ W t W t 1. r σ2 t + σw t 2 r σ2 t 1 σw t 1 = 2 Setzt man u t := W t W t 1, dann ist u iid t N, 1 und man kann δ t schreiben als δ t = r σ2 + σu t Mit 2.4 ergibt sich V AT = V e T i=1 g i+αδ i g i + = E Q [ e rt e T i=1 g i+αδ i g i +] = e [ T T i=1 gi rt E Q e αr g i σ2 2 +σu i +] = e T i=1 g i rt T i=1 i=1 E Q [ e αr g i σ2 2 +σu i +]. 2.5 Da u i N, 1 ist, kann der letzte Erwartungswert wie folgt berechnet werden. Wegen r g i σ2 2 + σx x σ2 2 + g i r σ =: d

33 Kapitel 2. Vertragsmodelle 29 gilt: [ E Q e αr g i σ2 2 +σu i +] = 1 2π = 1 2π d = 1 2π e αr g i σ2 = e αr αg i ασ2 2 + α2 σ 2 2 R e αr g i σ2 2 +σx+ x2 2 dx = e αr g i σ2 x2 +ασx 1 d 2 2 dx + 2π 2 d e x2 2 dx φ d e x ασ2 2 + α2 σ 2 2 dx + φ d 1 2π d e x ασ2 2 dx + φ d = e α2 σ 2 ασ 2 +αr g 2 i r gi φ σ σ σ 2 + ασ + φ 2 + g i r. 2.6 σ Setzt man 2.6 in 2.5 ein, erhält man schließlich: AT V = e T i=1 g i r T i=1 eg i r = T i=1 T i=1 e αg i r+ ασ2 r 2 α 1 gi φ σ σ σ 2 + ασ + φ 2 + g i r σ e 1 αg i r ασ2 r 2 gi φ σ σ σ 2 + ασ + e gi r φ 2 + g i r. 2.7 σ Falls in jedem Jahr der gleiche Zinssatz garantiert wird, also g i = g i gilt, vereinfacht sich 2.7 zu AT ασ2 1 αg r r g V = e 2 φ σ σ σ 2 + ασ + e g r φ 2 + g r T. 2.8 σ Nach 2.3 ist in diesem Fall der Vertrag genau dann fair, wenn ασ2 1 αg r r g e 2 φ σ σ σ 2 + ασ + e g r φ 2 + g r = σ erfüllt ist. Man beachte, dass 2.9 unabhängig von T ist. Das heißt, um Kombinationen von α und g zu finden, für die ein Vertrag fair ist, suchen wir für ein g eine Nullstelle der Funktion ασ2 1 αg r r g F α = e 2 φ σ σ σ 2 + ασ + e g r φ 2 + g r 1. σ

34 Kapitel 2. Vertragsmodelle 3 F ist auf R streng monoton wachsend, denn mit der Abkürzung gilt ξ = r g σ σ 2 + σα F ασ2 1 αg r 1 α = e 2 σ e 1 2 ξ2 + φξξ 2π ξ ασ2 1 αg r = e 2 σ φudu >. Für g < r gilt F = r g e g r φ σ σ 2 = σ e 1 g r φ 2 + g r σ = e g r 1 < σ + e g r φ 2 + g r 1 σ 1 σ + φ 2 + g r σ und σ F 1 = φ 2 + r g σ σ = e r g φ σ φ φ 2 σ + e r g φ 2 r g φ σ σ 2 = 1 2φ σ >. 2 2 r g σ σ 2 r g σ 1 Hier wurde benutzt, dass F 1 monoton wachsend in r g ist. Da F α stetig ist, folgt insgesamt, dass es für g < r im Intervall, 1 ein eindeutig bestimmtes α = α g gibt, welches 2.9 erfüllt. Abb. 2.3 zeigt für verschiedene Volatilitäten σ Kombinationen von α und g für die ein Vertrag fair ist. Man kann erkennen, dass mit steigender Volatilität des Fonds die garantierte Verzinsung sinkt und mit steigender Garantie der Anteil α kleiner wird. Wird ein Parameterpaar α, g mit α < α g gewählt, bedeutet das, dass V AT < 1 ist. In diesem Fall kann, wie eingangs schon erwähnt, durch geeignete Wahl von β und Einführung eines Zwischenkontos ein fairer Vertrag zum Parameterpaar α, g gefunden werden. Wie wir später sehen werden, ist das für α > α g nicht möglich, womit Abb. 2.3 gleichsam eine Grenze darstellt, oberhalb derer keine Kombinationen von α, g und β existieren, die bei Einführung eines Zwischenkontos zu einem fairen Vertrag

35 Kapitel 2. Vertragsmodelle 31 Abbildung 2.3: Kombinationen von α und g für verschiedene Volatilitäten bei denen der Vertrag bei r=3.5% fair ist führen. Zunächst wollen wir aber noch ein äquivalentes Kriterium für einen fairen Vertrag angeben. Der Wert von Konto C zum Zeitpunkt t ist C t = e t i=1 δ i A t. Da sich die diskontierten Einnahmen und Ausgaben zum Zeitpunkt des Inkraft-Tretens des Vertrages ausgleichen müssen, gilt à T + C T =. Daraus folgt [ ] [ ] CT CT V = E Q = E Q 1 ÃT AT = 1 V. Damit ist CT V = 2.1 eine zu 2.3 äquivalente Bedingung für einen fairen Vertrag.

36 Kapitel 2. Vertragsmodelle Verträge mit Zwischenkonto Es soll nun gezeigt werden, dass Kombinationen von α und g mit α < α g in einem fairen Vertrag realisiert werden können, wenn die Vertragsform mit Überschussaufteilung über das Zwischenkonto gewählt wird. Unter der Annahme einer konstanten Mindestverzinsung g i = g gilt für die Guthaben auf den Konten für t T A t = A t 1 e g+αδt g+ mit A =, 2.11 C t = C t 1 + A t 1 e βδt g+ 1 mit C = und 2.12 B t = e t i=1 δ i A t C t mit B = In diesem Fall wird der Vertrag durch die Forderung A T + B + T des Kunden beschrieben. Unter der Annahme einer konstanten risikolosen Zinsrate r > und der Vollständigkeit des Marktmodells für den Benchmark-Fond ist der faire Preis der Forderung A T + B + T zum Zeitpunkt t = nach 1.7 durch ] [ ] V A T + B + T = E Q [ÃT + E Q B+ T gegeben. Analog zu 2.3 ist der Vertrag genau dann fair, wenn AT + B + [ T V = e rt AT E Q B + T Da V ] [ B + ] + e rt T E Q = ist, muss V AT 1 gelten. Das ist der Grund dafür, warum für Kombinationen von α und g mit α > α g, wie vorhin schon erwähnt, auch mit Überschussaufteilung über ein Zwischenkonto kein fairer Vertrag realisiert werden kann. Für α < α g hingegen ist V AT < 1 und wir werden nun zeigen, dass ein β, exisitiert, sodass in diesem Fall ein fairer Vertrag realisiert werden kann. Zunächst müssen wir mit Hilfe obiger Formeln für A t, C t und B t einen Ausdruck für B T finden, der es uns erlaubt V AT B + + V T 1 als Funktion F β zu schreiben. Ein Vertrag ist dann fair, wenn wir für ein Tupel α, g mit α < α g ein β finden, sodass F β =. Aus 2.11 und 2.12 erhalten wir A T = e T i=1 g+αδ i g +

37 Kapitel 2. Vertragsmodelle 33 und C T = = T i=1 T i=1 A i 1 e βδ i g + 1 e i 1 j=1 g+αδ j g + e βδ i g + 1. Mit 2.13 ergibt sich Da δ i = r σ2 2 B T = e T i=1 δ i e T i=1 g+αδ i g + T i=1 e βδ i g + 1 e i 1 j=1 g+αδ i g +. + σu i mit u i iid N, 1 können wir dies umschreiben zu B T T = e δ i i=1 T e g+αδ i g + i=1 T i 1 e βδ i g + 1 e g+αδ i g +. i=1 j=1 Damit ist B + T V [ B + ] = e rt T E Q T = e rt E Q e δ i i=1 T e g+αδ i g + i=1 T i 1 + e βδ i g + 1 e g+αδ i g + i=1 j=1 und T F β = e rt E Q e δ i +V AT i=1 1. T e g+αδ i g + i=1 T i 1 + e βδ i g + 1 e g+αδ i g + [ ] B + T F β ist eine stetige Funktion. E Q ist ein T -dimensionales Integral, welches auf den Bereich eingeschränkt werden kann, auf dem der Integrand positiv ist. Sowohl der Integrand als auch der Bereich, über den integriert wird, hängen von β ab. Wird β kleiner, so wird einerseits der Integrand [ und ] andererseits auch der Bereich, B + T B + T über den integriert wird, größer. Also wird E Q bzw. V größer und damit auch F β. Es gilt also β 1 < β 2 F β 1 > F β 2. i=1 j=1

38 Kapitel 2. Vertragsmodelle 34 Weiters gilt wegen x + x T F = e rt E Q e δ i e rt E Q [ T i=1 i=1 Für β geht e rt E Q [ B + T e δ i ] ] + [ T T ] e g+αδ i g + + e rt E Q e g+αδ i g + i=1 = e rt E Q [S T ] >. α < α g. Somit besitzt F β eine eindeutige Nullstelle in,. gegen Null womit F < ist, da V AT 1 < für [ ] B + T Da u 1,..., u T unabhängige N, 1-verteilte Zufallsvariablen sind, läßt sich E Q wie schon erwähnt als T -dimensionales Integral ausdrücken. Dieses Integral läßt[ sich] B + T aber nicht wesentlich vereinfachen, sodass zur numerischen Berechnung von E Q auf eine Monte-Carlo-Simulation zurückgegriffen wird. Zur[ Erstellung ] der nachfolgenden Abbildungen wurde die numerischen Berechnung von B + T E Q mit einem Stichprobenumfang von N = 3. durchgeführt. Zur Varianzreduktion wurde die antithetische Varianzreduktion verwendet. Das bedeutet, dass in jedem Simulationsdurchgang ein Pfad von B T mit den generierten Zufallszahlen u i und ein Pfad mit deren negativen Werten simuliert und am Ende der Mittelwert gebildet wird. Schreibt man B T als Funktion [ G ] von β und den Zufallszahlen u ij erfolgt die approximative Berechnung von E Q also in folgender Form: B + T i=1 [ B + ] T Ê Q 1 N N i=1 = Gβ; u i1,..., u it N N i=1 Gβ; u i1,..., u it + 2 = 1 N N Gβ; u i1,..., u it + + Gβ; u i1,..., u it +. 2N i=1 i=1 Mit einem Newton-Rhapson-Verfahren wird zu einem gegebenen α ein β gesucht, sodass 2.14 erfüllt ist. Die Ableitung nach β in einem Newton-Rhapson-Schritt wird numerisch durch Hβ+h Hβ mit h = 1 5 berechnet. h Bevor wir zu den Simulationsergebnissen kommen sei noch eine zu 2.14 äquivalente Bedingung für einen fairen Vertrag angegeben: Wegen ÃT + B T + C T = und B T = B + T B T muss CT B T V =