Ausgewählte Aufgaben zum Grundbereich des Staatsexamens in Mathematik ANALYSIS. zusammengestellt von

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1 Ausgewählte Aufgabe zum Grudbereich des Staatsexames i Mathematik ANALYSIS zusammegestellt vo Sabie Giese, Josef Herigleher, Birgit Mielke, Has Mielke ud Ralph-Hardo Schulz 94 Aufgabe, davo 49 mit Lösuge. Fassug vom 3. März 3 Berli,. Alle Rechte vorbehalte. Ausdruck für private Zwecke erlaubt. Die Lösuge bzw. Lösugshiweise wurde sorgfältig erstellt, trotzdem köe wir keie Gewähr überehme. Kommetare sid willkomme (z.b. per a schulz@math.fu-berli.de). A dieser Stelle möchte wir us herzlich bei Christoph Kapsch für Beiträge zur Aufgabesammlug ud bei Jeifer Eisfeldt, Soja Erst, Prof. Dr. Rudolf Goreflo, Prof. Eberhard Letzer, Veroika Liebich, Julia Pfab, Gregor Schulz ud Ariae Weigadt für Hiweise auf Fehler bzw. Druckfehler, auf missverstädliche Formulieruge oder fehlerhafte Iterpretatioe vo Aufgabestelluge i frühere Fassuge dieser Aufgabesammlug bedake.

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3 Aufgabe Aufgabe ANA: Sei f : defiiert durch f (x,y) = Zeige Sie: { x + y für x = oder y = sost (a) f ist ustetig i (,), aber f x, f y existiere i (,). (b) Die Richtugsableitug vo f i (,) i Richtug a = (,) existiert icht. Lösug siehe Seite: 3. Aufgabe ANA: Zeige Sie: Die Ableitug eier differezierbare Fuktio f : I auf dem Itervall I geügt dem Zwischewertsatz. Aufgabe ANA3: Seie (X,d), (Y,d) metrische Räume, (x ) eie Cauchy-Folge i X ud f : X Y eie stetige Abbildug. Zeige Sie: (a) Die Bildfolge ( f (x )) braucht keie Cauchy-Folge zu sei. (b) Ist f sogar gleichmässig stetig, so ist ( f (x )) eie Cauchy-Folge. Aufgabe ANA4: Gegebe ist die Abbildug x 3 7 x \{ 3,3} x 9 f (x) = a x = 3 b x = 3. Ka ma die reelle Zahle a ud b so bestimme, dass f auf stetig wird? Aufgabe ANA5: Bereche Sie mit Hilfe des (verallgemeierte) Mittelwertsatzes ud zeige Sie lim x x α a α x β für a >,β aβ + x < e x < für < x <. x 3

4 Aufgabe ANA6: Die Fuktio f : [a,b] sei stetig. Beweise Sie: Es existiert ei ξ [a,b] mit ξ a f (x)dx = b ξ f (x)dx. Zeige Sie durch ei Gegebeispiel, dass ξ icht otwedig aus (a,b) ist. Aufgabe ANA7: { für (x,y) = (,) Sei f : defiiert durch f (x,y) = xy Zeige Sie: Im für (x,y) (,). x +y 4 Ursprug existiere alle Richtugsableituge, aber f ist dort icht differezierbar. Aufgabe ANA8: Utersuche Sie die Folge (a ), (b ) für auf Kovergez ud bestimme Sie, falls sie existiere, die Grezwerte: Aufgabe ANA9: a = ( ) ( + ), b = + j= ( j ) Sei = { } {} ud ϕ : eie Fuktio mit ϕ(x) = arctax für x, ϕ( ) = π ud ϕ() = π. Zeige Sie: Die Fuktio d : mit d(x, y) := ϕ(x) ϕ(y) defiiert auf eie Metrik. Gibt es bzgl. dieser Metrik eie maximale Distaz zweier Pukte ud falls ja, wie gross ist diese? Aufgabe ANA: Bereche Sie die folgede Itegrale: (a) x e λx dx (λ ) (b) e x cos(5x)dx Aufgabe ANA: Sei a ud f,g : stetig i a. Zeige Sie: M : mit M(x) := max{ f (x),g(x)} ist ebefalls stetig i a. 4

5 Aufgabe ANA: (a) Bereche Sie die folgede Limites: (i) lim x cosx x (ii) lim x x+six x (iii) lim i i= 5 (b) Für welche x kovergiert folgede Potezreihe: Aufgabe ANA3: = (x )? Sei f : [a,b] eie stetige Fuktio mit f ([a,b]) [a,b]. Zeige Sie, dass f midestes eie Fixpukt hat, d.h. es existiert ei x [a,b] mit f (x ) = x. Aufgabe ANA4: Ist das ueigetliche Itegral e x x dx koverget? Bestimme Sie gegebeefalls seie Grezwert. Aufgabe ANA5: Zeige Sie, dass die Abbildug f : mit ( x x f ( = y) 3 3xy ( ) x + y x 3x y y 3 ) für y x + y ( im Pukt icht differezierbar ist. ) ( ) ( ( x ud f ( ) = ) y) Aufgabe ANA6: (a) Utersuche Sie die folgede Reihe auf Kovergez: k k= k!. (b) Für welche Werte x kovergiert die Potezreihe = (x )? Hiweis: Ohe Beweis darf die Kovergez ud der Grezwert vo ( ) verwedet werde. 5

6 Aufgabe ANA7: Sei a ud r. Zeige Sie, dass D r,a := {x x ud x a > r} offe i ist. (Hierbei bezeiche eie beliebige Norm vo.) Aufgabe ANA8: Seie f, g : [, ] stetige Fuktioe. Zeige Sie: Es existiert ei ξ (, ) mit f (t)dt g(t)dt = g(ξ) ξ f (t)dt + f (ξ) ξ g(t)dt. Hiweis: Betrachte Sie F G für geeigete Stammfuktioe F,G vo f bzw. g! Lösug siehe Seite: 3. Aufgabe ANA9: Sei f : defiiert durch ( { xy x für x f ( ) := x y) +y 4 für x =. (a) Zeige Sie: (i) f ist im Nullpukt stetig. (ii) f ist im Nullpukt icht differezierbar. (iii) f besitzt im Nullpukt alle partielle Ableituge. ( ( ) (b) Bestimme Sie die Ableitug vo f i i Richtug vo v = ). Aufgabe ANA: Zeige Sie: Ist f : eie Fuktio mit f (x) f (y) x y für alle x,y, so ist f kostat. Aufgabe ANA: (a) Sei P derjeige Pukt der Kurve {(x,lx) : < x }, der vom Pukt (,) de kleiste euklidische Abstad hat. Zeige Sie: Die x-koordiate vo P erfüllt die Gleichug lx = + x x. (b) Wie würde Sie versuche, diese Gleichug äherugsweise zu löse? Lösug siehe Seite: 4. 6

7 Aufgabe ANA: (a) Bereche Sie: (a) x lt dt für x (,). (b) π 4 x sit cost dt für x (, π 4 ). (b) Existiere die ueigetliche Itegrale (a) lt dt (b) π 4 sit cost dt? Hiweis: Die Existez des Grezwerts lim x (xlx) darf ohe Beweis beutzt werde. Aufgabe ANA3: Die Fuktio f : mit f () sei auf differezierbar ud mit eier positive Kostate c gelte f (x) > c für alle x. Beweise Sie, dass f zwische ud c f () geau eie Nullstelle hat. Aufgabe ANA4: Seie f, g auf eiem Itervall I differezierbare Fuktioe mit f (x) > für alle x I. Bestimme Sie die Ableitug vo y(x) := f (x) g(x) für alle x I. Aufgabe ANA5: Bestimme Sie die Azahl der Nullstelle vo f : mit f (x) = x xsix cosx. Aufgabe ANA6: Die Fuktio f sei stetig i [,), ud mit eier Kostate M gelte x f (x) dx M für alle. Beweise oder widerlege Sie, dass da f (x) = für alle x [,) gilt. Aufgabe ANA7:. I welche Pukte x ist die Fuktio f : mit f (x) = x (euklidische Norm) (a) stetig (b) differezierbar?. Bestimme Sie gegebeefalls die Ableitug vo f ud die Fuktioalmatrix. 7

8 Aufgabe ANA8: Bereche Sie (a) k= k (b) ( ) k (c) 3 k= k ( + ( )k k= k 3 k ) ud zeige k= k? k Sie: (d) Die Reihe k ( + ( )k ) kovergiert. (e) Kovergiert k= k 3 k Hiweis: Sie dürfe Ihe bekate Sätze über Kovergez vo Reihe ubewiese beutze. Lösug siehe Seite: 4. Aufgabe ANA9: Sei f : differezierbar, r = x + y + z ud v = x y 3 \ {}. Zeige z Sie: grad f (r) = f (r) v. r Aufgabe ANA3: Für welche Wert vo a > begrezt der Graph der Fuktio y = (la) (cosax) mit der x-achse Flächestücke maximale Ihalts? (vgl. B.Büktas:Aufg. Samml. Bd. Seite Nr.4) Lösug siehe Seite: 5. Aufgabe ANA3: Sei a :=, a := ud für > sei die Folge (a ) defiiert durch Ausserdem sei für a + := (a + a ). c := a a. (a) Gebe Sie c explizit a. (b) Zeige Sie, dass für alle gilt: a < a +. (c) Zeige Sie, dass die Teilfolge (a ) mooto wächst ud die Teilfolge (a + ) mooto fällt. (d) Zeige Sie: lim a = 3. Hiweis: Drücke Sie a durch c,c,...,c aus. Aufgabe ANA3: Die Fuktio f :]a,b[ sei differezierbar ud f sei beschräkt. Zeige Sie: f ist gleichmässig stetig. 8

9 Aufgabe ANA33: ( ( x x Es sei f : defiiert durch f ( ) = y) 3 3xy ) 3x y y 3.. Zeige Sie: f ist differezierbar. ( x. Bestimme Sie die Ableitug f ( ). y) 3. Gebe Sie mit Hilfe vo f eie Approximatio für de Vektor ( ) ( a +, a v := f ( f ( ) (mit a beliebig) +,3 ) a (ohe Fehlerabschätzug)! Hiweis: Allgemeie Sätze über mehrdimesioale Differetialrechug dürfe Sie hier ohe Beweis verwede. Aufgabe ANA34: Gegebe sei die Fuktioefolge ( f ) für f : [,] mit f (x) = x x + ( x). Zeige Sie: ( f ) ist beschräkt auf [,] ud puktweise koverget, aber icht gleichmässig koverget auf [,]. Lösugshiweis: Betrachte Sie f ( )! Lösug siehe Seite: 5. Aufgabe ANA35: (a) Bereche Sie die Folge der Partialsumme ud de Grezwert vo = ( +). Lösugshiweis: Zerlege Sie i Partialbrüche. (+) (b) Beweise Sie uter Verwedug vo (a) die Kovergez der Reihe Aufgabe ANA36: =. (a) Gebe Sie das -te Taylorpolyom p (x) zu l(+x) (Etwicklug um x = ) a. (b) Schätze Sie l( + x ) p (x ) für x =, ab. (c) Wie gross muss bei der Näherug vo l( + x ) durch p (x ) sei, we eie Geauigkeit vo,5 4 erreicht werde soll? Hiweis: Der Satz vo Taylor darf ubewiese beutzt werde. 9

10 Aufgabe ANA37: (a) Beweise Sie für alle x, y mit x >, y > die Gleichug l(x y) = lx + ly. Hiweis: Beutze Sie die Defiitio vo l x mit Hilfe eies Itegrals! Führe Sie i dem zu l x gehörede Itegral (mit der Itegratiosvariable t) die Substitutio z = y t durch. (b) Bereche Sie das ueigetliche Itegral Lösug siehe Seite: 6. Aufgabe ANA38: x dx! Sei f eie reelle Fuktio, die auf dem reelle Itervall I zweimal differezierbar ist; es gelte ferer f (x) > für alle x I. Beweise Sie für f ud beliebiges x I die Aussage x I \ {x } : f (x ) + f (x )(x x ) < f (x) (d. h. die Tagete i (x, f (x )) a de Graph vo f liegt streg uterhalb desselbe). Hiweis: De Mittelwertsatz der Differetialrechug ud die Charakterisierug der Mootoie eier Fuktio dürfe Sie hier ohe Beweis beutze. (Siehe auch Heuser: Aalysis I, A p. 86) Lösug siehe Seite: 7. Aufgabe ANA39: Sei h : eie stetige Fuktio, die der Bedigug h(x +y) = h(x) + h(y) für alle x,y geügt. Zeige Sie, dass da h vo der Form h = k id mit k ist. Lösugshiweis: Ma setze k := h() ud betrachte acheiader h(), h( m ), h(q), h(r) für, m, q, r. Eigeschafte vo ud ud vo stetige reelle Fuktioe allgemei dürfe ubewiese beutzt werde. Aufgabe ANA4: Stelle Sie die Gleichuge der Tagetialebee ud der Normale für die Fuktio f : mit f (x,y) = 3 x auf, ud überlege Sie, für welche Stelle (ξ,η) dies möglich ist (Schaubild!).

11 Aufgabe ANA4: Lasse sich die für x \{} erklärte reellwertige Fuktioe f, f mit. f : x x six x 6. f : x x six x 3 für x = so erkläre, dass die etstehede Erweiterug stetig ist? Aufgabe ANA4: Bestimme Sie zu f : [, ] mit x x das -te Taylorpolyom p (Etwicklug um de Nullpukt) ud utersuche Sie das Kovergezverhalte vo ( f p )(x) für (ohe Verwedug des Satzes vo Taylor). Welche Folgerug für die zugehörige (formale) Taylorreihe ka ma aus dem Ergebis ziehe? Aufgabe ANA43: Bestimme Sie eie Stammfuktio zu e ax six ud aus dieser eie für si(log b x). Aufgabe ANA44: Die Fuktio f : G (mit G offe) sei auf G differezierbar, ud a,b seie zwei Pukte, die mitsamt ihrer Verbidugsstrecke i G liege. Da gibt es eie reelle Zahl δ (,), so dass gilt f (b) f (a) = (grad f )(a + δ(b a)) (b a) Lösugshiweis: Ohe Beweis dürfe Sie de eidimesioale Mittelwertsatz ud die Ketteregel awede: ( f g) (x) = f (g(x)) g (x) (für g : G p q, f : F q, g i x ud f i g(x) differezierbar.) Wähle Sie g mit g(t) = a +t(b a). Aufgabe ANA45: Utersuche Sie das Kovergezverhalte folgeder Reihe:.. 3. ( ) = = = log a (+)

12 Hiweis: Das Kovergezverhalte der Folge ( ) ud der harmoische Reihe dürfe Sie ohe Beweis beutze. zu (): Betrachte Sie die Folge der Reiheglieder. zu (): Awedug des cauchysche Verdichtugssatzes. zu (3): Awedug des Mioratekriteriums. Aufgabe ANA46: Seie f ud g auf [a,b] stetige, i (a,b) differezierbare reelle Fuktioe mit g(c) = f (c) für ei c [a,b], (a,b,a < b). Sei ferer f (x) g (x) > für alle x (c,b). Zeige Sie: Da gilt f (x) g(x) > für alle x > c,x [a,b]. Lösugshilfe: Betrachte Sie das Itervall [c,b]. Aufgabe ANA47: b. Schätze Sie das Itegral a sit dt (mit < a < b) betragsmässig durch ei Itegral mit icht-egativem Itegrade ab ud bereche Sie das t Letztere.. Folger Sie daraus, dass es für jedes ε > ei s gibt derart, dass für M > m > s gilt: M sit t dt m sit t dt < ε (Nach dem Cauchy-Kriterium folgt daraus die Existez vo sit dt). t Aufgabe ANA48: Sei H(x,x,x 3 ) := 3 i= x i log xi defiiert für x,x,x 3 + \ {} ( Etropiefuktio ). Bestimme Sie ei lokales Extremum vo H uter der Nebebedigug 3 i= x i =. (Die Existez ist hier icht zu utersuche.) Aufgabe ANA49: Ist die Fuktio f : mit f (x) = { x x für x > für x überall stetig? Hiweis: Ohe Beweis dürfe Sie Eigeschafte der Fuktioe exp ud l verwede, u.a. de Wert vo lim x (xlx). Aufgabe ANA5: Nachstehed sid Mege A ud B 3 defiiert. Utersuche Sie, ob A bzw. B offe, abgeschlosse oder kompakt sid! A := {(a,b) x + ax + b = hat zwei icht-reelle Lösuge. } B := {(a,b,c) f (x) := x 3 + ax + bx + c hat bei x = eie Extremwert.}

13 Aufgabe ANA5: Zeige Sie: (a) Ist die reelle Fuktio h stetig auf dem relle Itervall [a,b] ud gilt h(x) für b alle x [a,b] sowie a h(t)dt =, so folgt h(x) = für alle x [a,b]. b (b) Ist die reelle Fuktio f : [a,b] stetig ud gilt a f (t)g(t)dt = für alle auf [a,b] stetige reelle Fuktioe g, so folgt f (x) = für alle x [a,b]. Lösugshiweis: Zu (a): Berücksichtige Sie die Stetigkeit vo h, we Sie h(x ) für ei x [a,b] aehme. Zu (b): Wähle Sie g so, dass Teil (a) awedbar wird. Aufgabe ANA5: Zeige Sie: Die Folge ((x,y,z )) vo Vektore auf 3 kovergiert geau da i 3 (versehe mit der euklidische Metrik), we die Folge (x ), (y ), (z ) i (, ) kovergiere. Aufgabe ANA53: Für die Fuktio f : gelte f (x + y) = f (x) + f (y) für alle x,y, ud f sei a der Stelle stetig. (a) Bestimme Sie f (). (b) Beweise Sie, dass f auf gaz stetig ist. Aufgabe ANA54: (a) Bestimme Sie das ubestimmte Itegral e y siy dy durch zweimalige partielle Itegratio. (b) Führe Sie durch Substitutio das Itegral I(t) = t si(lx)dx für t auf ei Itegral der Form b a ey siy dy zurück ud gebe Sie I(t) a. Lösug siehe Seite: 7. Aufgabe ANA55: Löse Sie das Itegral r x dx. Hiweis: Substituiere Sie x = r sit. Lösug siehe Seite: 8. 3

14 Aufgabe ANA56: Zeige Sie, dass für alle atürliche Zahle folgede Ugleichug gilt: +l > k= > l( + ). k Hiweis: Skizziere Sie de Graphe vo y = x für x > ud deke Sie a die Veraschaulichug des Itegralkriteriums für uedliche Reihe. Lösug siehe Seite: 9. Aufgabe ANA57: Für welche α, α kovergiert, für welche divergiert die Reihe Hiweis: Itegralkriterium. Lösug siehe Seite: 9. Aufgabe ANA58: s(α) = = (l) α? Auf [,] sei die Fuktio f durch folgede Vorschrift defiiert: f (x) = { für + < x ud, für x = (a) Ma gebe die Mege S der Pukte a, i dee f stetig ist. (b) Ma gebe die Mege D der Pukte a, i dee f differezierbar ist. (c) Falls D, bestimme ma f (). Lösug siehe Seite: 3. Aufgabe ANA59: Ma bestimme de Grezwert lim k= + k. Aleitug: Wege = +k +(k/) ka ma die Summe als spezielle Riema sche Zerlegugssumme eies auswertbare bestimmte Itegrals auffasse. Lösug siehe Seite: 3. Aufgabe ANA6: Utersuche Sie, ob das ueigetliche Itegral x(x ) dx kovergiert oder divergiert ud bereche Sie gegebeefalls seie Wert. Lösug siehe Seite: 3. 4

15 Aufgabe ANA6: Ma bereche Lösug siehe Seite: 3. x 4 dx. Aufgabe ANA6: Ma bereche l xe x dx. Vorschlag: Ma verwede eie geeigete Substitutio. Lösug siehe Seite: 3. Aufgabe ANA63: Bereche Sie die Itegrale: (a) e e (b) dx x(lx) 3 (6 x) (x 3)(x+5) dx (Substitutio). Lösug siehe Seite: 33. Aufgabe ANA64: (Partialbruchzerlegug). Bereche Sie die folgede Itegrale: (a) (b) (c) b 3 t dt (z.b. Substitutio) 3t + t lt dt (z.b. partielle Itegratio) t dt (ueigetliches Itegral) Lösug siehe Seite: 33. Aufgabe ANA65: Kovergiert das ueigetliche Itegral I = We ja, so bestimme sie seie Wert. Lösug siehe Seite: 34. x(x + ) dx? 5

16 Aufgabe ANA66: (a ) ud (b ) seie Folge reeller Zahle, der Idex laufe durch die Mege der positive gaze Zahle, ud ma fragt ach Kovergez oder Divergez für. Widerlege Sie durch ei Gegebeispiel oder beweise Sie jede der folgede Behauptuge. (a) (a ) ud (b ) kovergiere geau da, we (a +b ) ud (a b ) kovergiere. (b) We (a ) ud (b ) divergiere, so divergiere auch (a + b ) ud (a b ). (c) (a ) kovergiert geau da, we ( a ) kovergiert. (d) Ist (a + a ) eie Nullfolge, so kovergiert (a ). Lösug siehe Seite: 34. Aufgabe ANA67: Sei die Fuktio f : [a,b] [a,b] mit a,b ud a < b mooto wachsed ud stetig. Zeige Sie, dass da für beliebiges x [a,b] die Iteratiosfolge (x ) mit x + := f (x ) (a) mooto ist (Falluterscheidug!) ud (b) gege eie Grezwert ξ kovergiert. (c) Beweise Sie ferer: f (ξ) = ξ. Lösug siehe Seite: 35. Aufgabe ANA68: Mit Hilfe der biomische Reihe für + x bestimme ma ei Itervall der Läge 6, i dem die Zahl a = sicher driliegt. Aleitug: Ma mache sich klar, dass vom zweite Glied a, die biomische Etwicklug vo + x eie alterierede Reihe ergibt, dere Glieder dem Betrage ach mooto gege Null gehe. Was folgt daraus für de Fehler, der beim Abbreche der Reihe etsteht? Ma beachte ferer, dass a =, ist. Lösug siehe Seite: 36. Aufgabe ANA69: Für welche reelle x kovergiere, für welche divergiere die Potezreihe (a) S(x) =! x, = (b) T (x) =! x, = (c) U(x) = x + =? 6

17 Gebe Sie im Kovergezfall eie geschlossee Ausdruck i elemetare Fuktioe für die Reihesumme a. Hiweis: x = = x Lösug siehe Seite: 37. Aufgabe ANA7: für x <, ud x =! = ex für x <. Bestimme Sie für jede der folgede vier Potezreihe die Mege aller reelle Werte x, für die sie kovergiert. S (x) = = x Lösug siehe Seite: 38. Aufgabe ANA7:, S (x) = = x, S 3(x) = = x!, S 4 (x) = =!x. Bestimme Sie jeweils ei möglichst grosses Itervall I so, dass die Potezreihe a = = x ud b = = für alle x I kovergiere. Zeige Sie, dass es ratioale Fuktioe f a : I ud f b : I gibt mit f a (x) = = x ud f b (x) = für alle x I. Bestimme Sie diese Fuktioe. Lösug siehe Seite: 4. Aufgabe ANA7: x = x Beweise Sie mittels Koeffizietevergleichs für Potezreihe die für beliebige α, β ud gaze Zahle geltede Idetität ( )( ) ( ) α β α + β =. k k k= Gewie Sie aus dieser Idetität die für alle gaze Zahle geltede Idetität k= ( ) = k ( ). Die dabei verwedete Sätze über Reihe sid zu zitiere, aber icht zu beweise. Lösug siehe Seite: 4. 7

18 Aufgabe ANA73: Durch Etwicklug des Itegrade i eie Potezreihe bereche ma das icht elemetar auswertbare Itegral e x6 dx bis auf eie Fehler, desse Betrag kleier als ist. Begrüde Sie jeweils kurz die Erlaubtheit der eizele Schritte ihres Vorgehes. Bemerkug: Es geügt, de Näherugswert als Summe vo Quotiete gazer Zahle azugebe, Umrechug i eie Dezimalbruch wird icht verlagt. Lösug siehe Seite: 4. Aufgabe ANA74: (a) Sei q = k= ( + k )k. Zeige Sie, dass für alle atürliche Zahle gilt: q =!. (b) Beweise Sie durch vollstädige Iduktio die für alle {,,3,...} geltede Idetität k= ( ) k k = ( ) k= Die Formel für die Summe der erste atürliche Zahle darf beutzt werde, we Sie sie kee. Falls Sie sie icht kee, so köe Sie sie auch herleite. Lösug siehe Seite: 43. Aufgabe ANA75: Für sei s = k(k+). k= (a) Ma zeige durch vollstädige Iduktio, dass s = + ist oder beweise dies durch Partialbruchzerlegug des Terms k(k+). (b) Kovergiert die Reihe k= Falls ja, so bestimme Sie ihre Summe. Lösug siehe Seite: 43. k(k + )? k. 8

19 Aufgabe ANA76: Ma bestimme ei Polyom p(x) möglichst kleie Grades, das a de Stelle x j die Werte y j = p(x j ) aimmt ( j {,,}): j x j y j 7 Ma bereche p( ). Lösug siehe Seite: 44. Aufgabe ANA77: Ma bestimme ei Polyom P(x) möglichst kleie Grades mit reelle Koeffiziete, das a de Stelle x = ud x = i verschwidet. Hiweis: Die Mege {, i} darf echte Teilmege der Mege aller Nullstelle des Polyoms sei. Lösug siehe Seite: 45. Aufgabe ANA78: Die Fuktio f : [,] sei durch f (x) = x 3 x für x defiiert. Bestimme Sie ihre Extremalstelle ud Extremwerte. Lösug siehe Seite: 45. Aufgabe ANA79: Sei f : gegebe durch die Vorschrift f (x) = x 6 6x Ohe Verwedug der Differetialgleichug löse ma folgede Probleme: (a) Ma zeige, dass f (x) > für alle x. (b) Ma zeige, dass f auf ei globales Miimum µ := mi f (x) hat. x (c) Ma bereche µ ud bestimme die Mege {ξ f (ξ) = µ}. Lösug siehe Seite: 45. Aufgabe ANA8: Eie quaderförmige ach obe offee Schachtel soll ei Volume vo 3 cm 3 habe. Welche Abmessuge muss sie habe, damit die Oberfläche miimal ist? Lösug siehe Seite: 46. Aufgabe ANA8: Die Fuktioefolge ( f ) kovergiere gleichmässig gege f ud f : [a,b] sei stetig für alle. Zeige Sie: We (x ) eie kovergete Folge i [a,b] ist mit lim x = c, da gilt lim f (x ) = f (c). Lösug siehe Seite: 46. 9

20 Aufgabe ANA8: Zeige Sie, dass die Fuktio f :, defiiert als f (x) = x si für x, f () =, x auf gaz differezierbar ist. Ist die Ableitug f auf gaz stetig? Falls icht, gebe Sie bitte a, wo sie ustetig ist. Lösug siehe Seite: 47. Aufgabe ANA83: Die Fuktio f : sei so erklärt: f (x) = x si(x ) für x, f () =. Wo ist f stetig? Wo differezierbar? Gebe Sie die Defiitiosmege A der Ableitug f a! Wo ist f stetig? Wo ustetig? Lösug siehe Seite: 47. Aufgabe ANA84: f : sei so defiiert: f (x) = lim. Ma gebe alle Ustetigkeitsstelle vo +x f a ud skizziere de Graphe vo f. Lösug siehe Seite: 47. Aufgabe ANA85: Die Fuktio f : [,] sei so defiiert: f (x) = x x für x [,]. Skizziere Sie de Graphe dieser Fuktio. Bestimme Sie die Zahl Lösug siehe Seite: 48. Aufgabe ANA86: Die Fuktio f : [, π ] sei so erklärt: k = max{ j j, f C j [,]}. f (x) = { x cotx für x (, π ] für x = Zeige Sie, dass diese Fuktio stetig ist. Bestimme Sie de Wert des ueigetliche Itegrals π f (x)dx. Dass auf die Fuktioe si ud cos stetig sid, darf als bekat vorausgesetzt werde. Lösug siehe Seite: 49.

21 Aufgabe ANA87: Sei f : 3 differezierbar. Gilt da x,(grad f )(x) = für alle x 3, so folgt: f ist kostat. Hiweis: Ma betrachte für ei festes x die Abbildug t f (x t) ud bereche die Ableitug. Lösug siehe Seite: 49. Aufgabe ANA88: Sei f : defiiert durch f (x,y) = x + y 4x 4y+ 6. (a) Bereche Sie die Niveauliie f (c) für c ud beschreibe Sie sie geometrisch. (b) Wie sehe die Projektioe der Fall-Liie (Liie stärkste Gefälles des Graphe {(x,y,z) 3 z = f (x,y)}) auf die (x,y)-ebee aus? (c) Wie lautet die Gleichug der Tagetialebee im Pukt (,,6) a de Graphe vo f? Lösug siehe Seite: 5. Aufgabe ANA89: Sei f : differezierbar ud z := f (x y). Zeige Sie Lösug siehe Seite: 5. Aufgabe ANA9: Beweise Sie die Ugleichug Lösug siehe Seite: 5. Aufgabe ANA9: x z z = y x y. e x > x + für x \ {}. Sei f ei reelles Polyom vom Grade, also f (x) = c + c x + c x mit reelle Koeffiziete c,c,c, wobei speziell c ist. Sei x, < h. Zeige Sie, dass es geau eie Zahl Θ gibt derart, dass stets (d.h. uabhägig vo x ud h) f (x + h) f (x) h = f (x + θh) ist. Bestimme Sie θ, iterpretiere Sie das Ergebis geometrisch ud veraschauliche Sie es durch eie Skizze. Lösug siehe Seite: 5.

22 Aufgabe ANA9: F sei die Mege aller auf [,] stetige reellwertige Fuktioe. Zwei Fuktioe i f F ud g F solle itegralgleich heiße, i Zeiche f g, we folgedes gilt: Ma zeige: (a) i ist eie Äquivalezrelatio. f (x)dx = g(x) dx. (b) Jede Äquivalezklasse vo F ethält midestes zwei Elemete. Lösug siehe Seite: 5. Aufgabe ANA93: ( ) x Es sei f : 3 defiiert durch f (x,y, z) = Wie lautet die Jacobi-Matrix xyz + vo f? Bereche Sie mit Hilfe der Jacobi-Matrix vo f eie Approximatio vo f (,98;,;,99). Lösug siehe Seite: 53. Aufgabe ANA94: Sei f : mit (x,y) xy. (a) Ist f stetig i (, )? (b) Zeige Sie, dass f i (,) icht differezierbar ist! Lösug siehe Seite: 53.

23 Lösuge Lösugskizze zu Aufgabe ANA: Zu (a): Sei (x ) eie Folge mit x = (, ). Es gilt Adererseits gilt Wege f lim x = (,). (, ) = für alle. f (,) = ist f i (,) icht folgestetig ud daher i diesem Pukt icht stetig. Es gilt sowie f x f (x,) f (,) (,) = lim x x x = x x = f y f (,y) f (,) (,) = lim = y y y y =. y Also existiere f x ud f y im Pukt (,). Zu (b): Die Richtugsableitug vo f i Richtug eies Vektors a mit a = im Pukt (x,y) ist defiiert als f (x,y) = lim a t Also gilt im Pukt (,) mit a = (,) f ((x,y) +t a) f (x,y). t ( ( f f (,) +t (,) = lim a t t f = lim t = lim t t (( )) t t, t )), f (,) Da lim t t icht existiert, existiert die agegebee Richtugsableitug icht. Lösugskizze zu Aufgabe ANA8: Die stetige Fuktioe f, g sid auf dem Itervall [, ] R-itegrierbar; es existiere die Itegralfuktioe F(x) := x f (t)dt ud G(x) := 3 x g(t)dt (mit x [,]).

24 F ud G sid Stammfuktioe vo f ud g. Sie ud daher auch F G sid stetig auf [,] ud differezierbar auf (,). Nach dem Mittelwertsatz existiert ei ξ (,x) (mit x (,]), so dass Setze x = : (F G)(x) (F G)() x = (F G) (ξ) = F(ξ) g(ξ) + f (ξ) G(ξ) ξ f (t)dt ξ g(t)dt = g(ξ) f (t)dt + f (ξ) g(t) dt Lösugskizze zu Aufgabe ANA: (a) Wege der Mootoie der Wurzel reicht es, ei Miimum vo (x ) + (lx ) = x x + + l x lx + zu bestimme; dazu setzt ma die Ableitug gleich ud erhält x + (/x)lx (/x) =. Es hadelt sich tatsächlich um ei Miimum, da die zweite Ableitug (x lx + 4) = (x x + x x x + 4) = ((x x ) ) positiv ist. (b) Durch Tayloretwicklug erhält ma l(+x) = = ( )+ / x = x x /+... (Das stimmt umso besser, je kleier x ist; Kovergezradius ist.) Nu setze wir a: Für dasjeige x, für das + x die x-koordiate des Puktes P aus. ist, gilt: l( + x ) = + ( + x ) ( + x ) x x /. Nu müsse wir ur och eie quadratische Gleichug löse. Welche der beide Lösuge ist die richtige? Lösugskizze zu Aufgabe ANA8: (a),(b) Für q < gilt (c) Daher ist q k = q k= k = (geometrische Reihe). = ud ( ) k 3 k = + 3 = 3 4. ( + k ) = k= k 3 k + k ( )k = k 4 = 4 (ach dem Satz über die Summe zweier kovergeter Reihe). (d) ( k ) k ist eie beschräkte Folge, ud ( ) + ( )k k 3 kovergiert wege k k= k > 3 k absolut. Nach eiem Satz dürfe Glieder eier absolut kovergete Reihe mit beschräkte Faktore multipliziert werde (vgl. Heuser, Aalysis I, p. 95 Aufg. 5). Amerkug: (i) Eie alterative Argumetatio beutzt das Majoratekriterium: Sid c k k koverget, alle c k, ud gilt a k c k für fast alle k, so kovergiert a k absolut. k 4

25 (e) I userem Fall ist k ( k + ( )k 3 k ) k + ( )k 3 k k + 3 k. (ii) Eie weitere Beweismöglichkeit bietet das Abelsches Kriterium (Kovergiert c k ud ist (b k ) eie mootoe ud beschräkte Folge, so kovergiert a k b k ). k= k k kovergiert ach dem Quotietekriterium (de a k+ a = (k+) k = (+ k k+ k k ) = + k + k < ) bzw. ach dem Wurzelkriterium ( k k = ( k ) k k <.) Lösugskizze zu Aufgabe ANA3: Da die Cosius-Fuktio periodisch verläuft ud la > für gegebees a kostat ist, reicht es, sich auf ei eizeles Flächestück zu beschräke. Es gilt: F = π a π a lacos(at)dt = Extrema gibt es höchstes für a mit df da =. Mit [ ] π la a a siax = la π a (si π si( π la )) = a. a a df a la = da a = ( la) a ergibt sich aus F = als eizige Möglichkeit a = e. Zur Bestätigug, dass für a = e tatsächlich ei Maximum vorliegt, gibt es mehrere Möglichkeite. Eie davo ist der Nachweis, dass die zweite Ableitug vo F a der Stelle e egativ ist, eie adere die Betrachtug vo ud df da = a<e ( la) a > wege la < le = df da = a>e ( la) a <. Eie dritte Möglichkeit des Nachweises, dass bei e ei Maximum vorliegt, ist die Feststellug, dass F() = < F(e) ud F(e) > F(e ) gilt ud ur ei Extremwert vorliegt. Lösugskizze zu Aufgabe ANA34: x (i) Für alle gilt f (x) = = für x x +( x) ) +( x (da: M N N : ( a ) > M) ud f () =. Die Fuktioefolge ( f ) ist daher auf [,] beschräkt. 5

26 (ii) Es gilt lim f (a) = = für alle a ],] ) +( a ud lim f () = für a =. Daher kovergiert ( f ) puktweise gege die Nullfuktio. (iii) A.: Es existiert eie gleichmäßig kovergete Teilfolge f i. Betrachte f ( ) = ( ) = ( ) +( ) Gleichmäßig koverget heißt: + = (für alle ) ε > N N x : f (x) f (x) < ε Nach Aahme ist ( f i ) i gleichmäßig koverget, hier gilt also Wähle < ε <, da gilt ε > N i N x [,] : f i (x) < ε i x = i : f (x) = > ε. Widerspruch. Alterative I: Ist eie Fuktioefolge ( f ) gleichmäßig koverget, so kovergiert sie gege die Fuktio, gege die sie puktweise kovergiert. I diesem Fall gilt f, aber f ( ) = (f.a. ) ud damit ist f icht im ε-schlauch (ε < ) um die Nullfolge, d.h. icht gleichmäßig koverget. Alterative II: Beachte lim f = f kovergiert gleichmäßig gege aber f f ( ) = Lösugskizze zu Aufgabe ANA37: x (a) Wege x > gilt lx = t dt (gemäß Defiitio). Die Substitutio z = y t mit kostatem y ud Variable z ud t ergibt, uter Beachtug vo dz dt = y ud Substitutio der Greze (t = z = y sowie t = x z = xy), x lx = = t dt x y y = y z y dz x y xy dz = lt y z = lxy ly. y (b) x dx = lim x ε + ε = lim ε + ( ε) =. 6

27 Lösugskizze zu Aufgabe ANA38: Heuristische Vorbetrachtug: f (x) f (x Für x > x, soll ) x x > f (x ), ud für x < x, muss, f (x) f (x ) x x < f (x ) gezeigt werde. Dies legt die Awedug des Mittelwertsatzes ud de Vergleich vo f (x ) mit f (ξ), s.u., ahe. (i) Nach de Mittelwertsatz (der Differetialrechug), agewadt auf die Fuktio f im Itervall [x,x ], bzw. [x,x], existiert ei ξ (x,x ) bzw. (x,x) mit f (x) f (x ) x x = f (ξ), also f (x ) + f (ξ)(x x ) = f (x). (ii) Wir betrachte u f ; diese Fuktio ist auf I differezierbar, ud es gilt ( f ) (x) > falls x I; ach eiem Satz über Mootoie vo Fuktioe ist diese Bedigug hireiched dafür, dass f streg mooto wächst. Im Falle vo x > x gilt auch ξ > x ud damit f (ξ) > f (x ), also f (ξ)(x x ) > f (x ) (x x ). Ist x < x gewählt, so ergibt sich ξ < x, folglich f (ξ) < f (x ), daraus f (ξ)(x x ) > f (x )(x x ). }{{}}{{} egativ egativ Isgesamt folgt f (x) = f (x ) + f (ξ)(x x ) > f (x ) + f (x )(x x ). Amerkug. Eie (zu (ii)) alterative Argumetatio geht wie folgt: Nach dem Mittelwertsatz existiert ei η (ξ,x ) bzw. (x,ξ) mit f (x ) f (ξ) = f x ξ (η). Damit folgt f (x) = f (x ) + (x x )[ (x ξ) f (η) + f (x )] = f (x ) + f (x )(x x ) + (x x )(ξ x ) f (η) (wobei f (η) > ist) > f (x ) + f (x )(x x ). Lösugskizze zu Aufgabe ANA54: Zu (a): Die Formel der partielle Itegratio lautet f (x) g(x)dx = f (x) g(x) f (x) g (x)dx. Mit f (y) = f (y) = e y, g(y) = siy ud g (y) = cosy bekommt ma e y siy dy = e y siy e y cosy dy. Ei zweiter Schritt mit partieller Itegratio liefert mit f (y) = f (y) = e y, g(y) = cosy ud g (y) = siy Also folgt e y siy dy = e y siy e y cosy dy = e y siy ( ) e y cosy e y siy dy = e y siy e y cosy e y siy dy. e y siy dy = e y (siy cos y) e y siy dy = ey (siy cos y) + c,c kostat. 7

28 Zu (b): Ich substituiere x = e y ud bekomme dx = e y dy. Die Regel der Itegratio durch Substitutio lautet Mit g(y) = e y = x folgt u b g(b) f (g(y)) g (y)dy = f (x) dx, a g(a) g (b) b f (g(y)) g (y)dy = f (x)dx. g (a) a bzw. t lt si(lx)dx = si(le y ) e y dy l = lt e y siydy Teil(a) = ey (siy cosy) lt t (si(lt) cos(lt)) + =. Lösugskizze zu Aufgabe ANA55: Sei x = r sit. Da folgt dx = r cost dt dx = r cost dt. Nach der Regel der Itegratio durch Substitutio gilt mit z = g(t) b g(b) f (g(t)) g (t) dt = f (z) dz. a g(a) Damit folgt u r x dx = r (r si t) r cost dt = r ( si t) r cost dt = r cos t r cost dt = r cos t dt. Zur weitere Berechug verwede wir partielle Itegratio. Wir setze f (t) = cost, f (t) = sit, g(t) = sit g (t) = cost. Es folgt cos t dt = cost sit + si t dt 8

29 Additio vo cos t auf beide Seite führt zu cos t dt = cost sit + si t dt + cos t dt = cost sit + dt = cost sit +t + c. Damit folgt cos cost sit +t t dt = + c. Isgesamt folgt mit t = arcsi ( ) x r r x dx = r cost sit +t + c = r cos(arcsi( ) ( x r ) si(arcsi xr ) ( ) + arcsi xr ) + c = r cos(arcsi( ) x r ) x r + arcsi ( ) x r + c. Lösugskizze zu Aufgabe ANA56: Ma skizziere de Graphe vo y = x für x > ud deke a Ober- ud Utersumme. k= k = + k= k < + x dx = + lx = + l. + l( + ) = x dx < k= k. Lösugskizze zu Aufgabe ANA57: Da die Fuktio f () = auf [,) positiv ud falled ist, gilt ach dem Itegralkriterium (l) α kovergiert d kovergiert. = (l) α (l) α Wir substituiere mit u = l ud erhalte mit du = d Für α = folgt b d = lim d = lim (l) α b (l) α b lb lim du = lim b u lu b l = lim b l lb l lb = lim l(lb) l(l) l b ( ) lb =. l u α du. 9

30 Für α > folgt lb lim b l du = lim uα b α lb u α l ( = lim b α (lb) α (l) α ) = (l) α α. Damit kovergiert die betrachtete Reihe für α > ud divergiert für α =. Lösugskizze zu Aufgabe ANA58: Zu (a): Es hadelt sich bei f um eie Treppefuktio, die auf eier gewisse Zerlegug des Itervalls [,] defiiert ist. Da ach Defiitio f (x) = f ( x) gilt, ist f eie gerade Fuktio, so dass wir im folgede ur och das Itervall [, ] betrachte müsse. Wir zerlege das Itervall [, ] i abzählbar uedlich viele disjukte Teilitervalle I = ( +, ] für, d.h. es gilt [,] = = ( +, ] ( ] ( =, 3, ] ( 4, ]... 3 ] gilt ach Defiitio f (x) =, d.h. f ist für alle jeweils auf I Für x ( +, kostat ud damit im Iere vo I stetig. Iteressat sid also ur die jeweils rechte Radpukte der Itervalle I. Es gilt für ( ) f =. Adererseits gilt aber lim f (x) = x + ( ). Also ist f auf U + = { + } ustetig. Da f eie gerade Fuktio ist, ist f achsesymmetrisch zur y-achse, also auch auf U = { + } ustetig. Wege f () = lim f (x) =, ist f am Rad seies Defiitiosbereichs stetig. Wege x x ( +, ] muss gehe, we x geht. Also folgt lim f (x) = lim x + =. f ist also im Nullpukt folgestetig ud damit stetig. Isgesamt ist die Mege aller Utetigkeitsstelle U = U + U. Damit gilt S = [,] \U. Zu (b): Eie Fuktio f heißt i eiem Pukt ξ differezierbar, we der liksseitige ud der rechtsseitige Differetialquotiet existiere ud gleich sid. Eie otwedige Bedigug für die Differezierbarkeit i eiem Pukt ξ ist die Stetigkeit vo f i ξ. Also ist i diesem Fall f höchstes auf S differezierbar. Da f auf jedem Itervall I kostat ist, ud kostate Fuktioe überall differezierbar sid, ist f im Iere vo I für alle differezierbar. Für x = ist der rechtsseitige Differetialquotiet, für x = ist der liksseitige Differetialquotiet vo f icht defiiert, so dass f dort icht differezierbar ist. Iteressat ist ur och der Ursprug. Weil f eie gerade Fuktio ist, ist sie a der Stelle x = geau da differezierbar, we sie dort rechtsseitig differezierbar mit Wert der rechtsseitige Ableitug = ist. Seie hierfür also x (, ] ud so gewählt, dass + < x. 3

31 Da ist < f (x) f () x = f (x) x Geht u x, so geht, weil + < x =.. Also folgt f (x) f () lim lim x x =. Also ist f bei x = differezierbar. Damit ist f auf gaz S \ {} differezierbar. Zu (c): Speziell gilt f () =, da der rechtsseitige ud wege der Eigeschaft vo f als gerade Fuktio auch der liksseitige Grezwert des Differetialquotiete jeweils ist. Lösugskizze zu Aufgabe ANA59: Verwede wir de agegebee Hiweis, so gilt zuächst S = k= + k = k= + x k wobei x k = k. Isbesodere gilt x = ud x =. Also ist S Zerlegugssumme vo Also gilt lim S = π 4., + x dx = arctax = π 4. Lösugskizze zu Aufgabe ANA6: Wir zerlege x(x ) = i Partialbrüche ud erhalte x(x )(x+) ud damit x(x )(x + ) = A x + B x + C x + = A(x ) + B(x + x) +C(x x). Eisetze vo x = ergibt A = ; Eisetze vo x = ergibt B = ; Eisetze vo x = ergibt schliesslich C =. Also gilt ( t x(x dx = lim ) t x dx + t x dx + ) t x + dx ( t = lim lx t + t ) l(x ) ( t ( ) = lim lx t + l (x t ) ) ( x = lim l ) t t x ( t = lim l ) 3 l t t 3 = l l, da lx stetig ist = l

32 Lösugskizze zu Aufgabe ANA6: Wir zerlege i Partialbrüche: x 4 x 4 = (x + )(x + )(x ) = Ax + B x + + Multipliziere mit (x )(x + ) ergibt (Ax + B)(x )(x + ) x + Wir setze acheiader x = ud x = ei ud erhalte Für x = folgt u C x + D x +. +C(x + ) + D(x ) = x +. C = 4 ud D = 4. B = ud damit B =. De Koeffiziete A idetifiziere wir, idem wir die Partialbruchzerlegug mit x multipliziere. Wir erhalte x (x + )(x + )(x ) = Ax x + x (x + ) + x 4(x ) x 4(x + ) = A + (x + x x ) + 4( x ) 4( + x ) Lasse wir u x wader, bekomme wir Somit gilt für < t Damit folgt für t t = A x 4 dx = t ud damit A =. x + dx + t 4 x dx t 4 = t arctat + t 4 l(x ) t 4 l(x + ) = (arctat arcta ) + ( ) x t 4 l x + = (arcta arctat) + 4 l ( t t + x + dx ) 4 l 3 t lim t x 4 dx = (arcta π ) + l Lösugskizze zu Aufgabe ANA6: Wir substituiere mit t = x ud erhalte zuächst dt = xdx. Es gilt l xe x dx = l xe x dx = l e t dt = ( e l e ) =. 3

33 Lösugskizze zu Aufgabe ANA63: Zu (a): Wir substituiere mit ϕ(x) = lx. Es gilt dϕ = x dx. Nach der Substitutiosregel gilt b f (ϕ(x)) ϕ ϕ(b) (x)dx = f (t)dt. a ϕ(a) Damit erhalte wir e e dx le = x(lx) 3 le = t 3 dt t 3 dt = t = ( ) 4 = 3 8 Zu (b): Wir verwede Partialbruchzerlegug, um de Itegrade i eie Term der Form α x 3 + β x+5 umzuforme. (6 x) (x 3)(x + 5) = α x 3 + β (6 x) = α(x + 5) + β(x 3) x + 5 Sei x = 6. Da folgt Sei x = 5. Da folgt = 7α + 3β bzw. α = 3 7 β. = 5α + β = 45 7 β β = β = β = 7 ud α = 3. 7 Damit erhalte wir Also gilt (6 x) (x 3)(x + 5) = 3 x 3 7 x + 5. (6 x) (x 3)(x + 5) dx = 3 x 3 7 x + 5 Lösugskizze zu Aufgabe ANA64: = 3l x 3 7 l x c. Zu (a): Wir substituiere mit u = 3t + ud bekomme zuächst du = 6t dt. Mit der Regel für Itegratio durch Substitutio gilt u b t 3t + dt = b 6 6t 3t + dt = 3b u du = 6 lu 3b + = l(3b +) 6. Zu (b): Sei f (t) = t ud g(t) = lt. Da folgt f (t) = t ud g (t) = t. Mit der Formel f g = f g f g für partielle Itegratio folgt u 3 t lt dt = t 3 lt 3 t t dt = 9 3 l3 t dt = 9 l3 t 3 4 = 9 l3. 33

34 Zu (c): Es gilt t dt = lim a t dt = lim t a a a = lim a t a = lim a ( a) =, wobei wir im letzte Schritt die Stetigkeit der Wurzelfuktio beutze. Lösugskizze zu Aufgabe ANA65: Wir verwede Partialbruchzerlegug, um de Itegrade i eie Term der Form α x + β x+ zu überführe. x(x + ) = α x + β = α(x + ) + βx. x + Für x = folgt α =, für x = folgt β =. Also erhalte wir x(x + ) = x x +. Damit gilt ( a ) dx = lim x(x + ) a x dx a x + dx ( a a) = lim lx a l(x + ) = lim (la l(a + ) + l) a ( ) ( a = lim l + l = lim l + ) + l = l. a a + a a Lösugskizze zu Aufgabe ANA66: Zu (a): Ich verwede dazu folgede Sätze, wobei ich de zweite icht beweise. Satz : We (a ) ud (b ) koverget sid mit lim a = a ud lim b = b, da gilt lim (a + b ) = a + b. Beweis: Sei also ε > beliebig gegebe. Da ist auch ε >. Da (a ) ud (b ) koverget, existiere N,N mit a a < ε für N, ud b b < ε für N. Da gilt mit der Dreiecksugleichug für alle N := max{n,n } (a + b ) (a + b) a a + b b < ε + ε = ε. Satz : We (a ) ud (b ) koverget sid mit lim a = a ud lim b = b, da gilt lim (a b ) = a b. 34

35 Setzt ma (b ) = λ für alle so folgt lim (a λ) = a λ. Daraus wiederum folgt mit Satz ud λ = lim (a + λb ) = lim (a + ( b )) = lim (a b ) = a + ( b) = a b. We (a + b ) ud (a b ) kovergiere, da kovergiere ach Satz ud Satz auch ((a + b ) + (a b )) = (a ) = (a ) bzw. ((a + b ) (a b )) = (b ) = (b ). Also kovergiere auch (a ) ud (b ). Zu (b): Diese Aussage gilt icht. Seie (a ) ud (b ) beide diverget ud (b ) = ( a ) für alle, so folgt lim (a + b ) = (a a ) =. Gilt (a ) = (b ) für alle, so folgt lim (a b ) = (a a ) =. I diese Fälle sid (a + b ) ud (a b ) koverget, obwohl (a ) ud (b ) beide diverget sid. Zu (c): We (a ) gege a kovergiert, da gilt lim a = lim a = a. Isbesodere gilt a, da a für alle. Da die Wurzelfuktio stetig ud damit auch folgestetig ist, gilt a = lim a = lim a = lim a. Also kovergiert auch ( a ). We ( a ) gege a kovergiert, da gilt lim a = a. Aus de Recheregel für kovergete Folge folgt lim a = lim a = lim ( a a ) = lim a lim a = a a = a. Also kovergiert auch (a ). Zu (d): Betracht die Folge (a = ) k=, so gilt (a ) ist diverget (Harmoische Reihe), aber wege lim (a ( + + a = lim k= ist (a + a ) eie Nullfolge k= Lösugskizze zu Aufgabe ANA67: Zu (a): Sei x [a,b] beliebig. ) = lim + =,. Fall: f (x ) > x. Wir wolle mit Iduktio beweise, dass x + x für alle. Zuächst gilt x = f (x ) > x. Ageomme es gibt ei mit x + x. Da gilt x + x = f (x +) f (x ), da f mooto steiged Also steigt (x ) mooto. x + x +. 35

36 . Fall: f (x ) x. Wir wolle mit Iduktio beweise, dass x + x für alle. Zuächst gilt x = f (x ) x. Ageomme es gibt ei mit x + x. Da gilt x + x = f (x +) f (x ), da f mooto steiged x + x +. Also fällt (x ) mooto. I jedem Fall folgt also die Mootoie vo (x ). Zu (b): Da f (x) [a,b] für alle x [a,b] ist die Folge (x ) mit x + := f (x ) wohldefiiert. Isbesodere gilt x [a,b] für alle. Die Folge ist also ach obe ud ute beschräkt. Nach dem Mootoiekriterium kovergiert eie beschräkte mootoe Folge. Es existiert also ei ξ [a,b] mit lim x = ξ. Zu (c): Es gilt ξ = lim x + = lim f (x ) = f ( lim x ), da f stetig ud damit auch folgestetig ist = f (ξ). Lösugskizze zu Aufgabe ANA68: Es ist = ( +.), also = ( +.) = ( + x) mit x =. Die biomische Reihe für x (, ) ud α lautet ( ) ( ) ( ) ( + x) α α α = + x + x α + x , 3 wobei biomα = α k+ k. k= Mit α = folgt ( ) ( + x) = + x + x + ( ) ( ) 3 x Ma sieht u, dass für x (, ) ab dem zweite Glied die Vorzeiche alteriere ud betraglich mooto gege Null falle. Der Fehler der Partialsumme (we diese midestes eie Summade hat) ist also dem Betrage ach kleier als das erste verachlässigte Glied. Der Wert der Reihe liegt stets zwische zwei aufeiaderfolgede Partialsumme. Also gilt = ( + ) = ( ) = Ma sieht, dass 6 5 < 6 ist. Also ist < < liegt also im Itervall (.49875, ). Die Läge des Itervalls beträgt. 65 = 6 5 < 6. 36

37 Lösugskizze zu Aufgabe ANA69: Zu (a): Der Kovergezradius R eier Potezreihe a x (a i, für fast alle i = ) geügt, falls der Grezwert i eigetlichem oder ueigetlichem Sie vorhade ist, folgeder Bedigug: R = lim a a. + Also folgt für de Kovergezradius R S der Potezreihe S(x) Es gilt R S = lim ( + )!! ( + ) = lim = d dx ( = ( + ) ( + ) x =! = x ex =! = ex ) x! = lim + =. = d dx (ex ) =! x = e x = =! x = x e x ) = d! x = d dx (x ex ) dx ( = = =! x = e x + x e x = =! x = x (e x + x e x ). Damit erhalte wir also für alle x S(x) = =! x = x (e x + x e x ). Zu (b): Für de Kovergezradius R T der Potezreihe T(x) gilt R T = lim ( + )!! = lim ( )( + ) = lim =. Sei x. Da gilt x =! = x ex =! = ex x x x = e x x =! = x! = d dx ( = =! = x (ex x) ) x = d ( )! dx x (ex x) x = (x )ex + x. 37

38 Für x = gilt T() = = = =!. Weiterhi folgt mit de Regel vo de L Hospital (x )e x + (x )e x + e x (x )e x + e x + e x lim x x = lim = lim x x x e x (x + ) = lim = x. Damit erhalte wir für alle x T(x) = { (x )e x + x für x für x = Zu (c): Es gilt x U(x) = + ( x ) = x. = = Die geometrische Reihe x kovergiert für x <. Daraus folgt, dass = ( x ) kovergiert für x = <. Also erhalte wir R U = 4, wobei U(x) diverget ist für x = 4. Weiterhi gilt x = ( x ) = x x = = ( x ) = x = x = x x x x Damit bekomme wir U(x) = x x x = ( ) )) x x ( x x3 ( x x = ) (x x + x3 x3 + x5 x = x x5 Lösugskizze zu Aufgabe ANA7: Das Quotietekriterium besagt, dass eie Reihe lim k + k <. k absolut kovergiert, we i= 38

39 Sei k = c x. Da folgt: lim c + x + c x = lim c + c x <! = x <! lim c + c = R = lim c + = lim c c. + c Also gilt für alle Potezreihe c x (mit c i für fast alle i i= ), dass der Kovergezradius c der Potezreihe R = lim c + ist, sofer dieser Grezwert existiert. R S = lim + = lim + = lim + =. S (x) ist diverget für x =, da = diverget ist ud < für alle. Damit gilt: = = < = S () =. = Nach dem Leibiz sche Kovergezkriterium für alterierede Reihe kovergiert eie Reihe = ( ) a für jede mooto fallede Folge icht-egativer reeller Zahle (a ) mit lim a =. Dies liefert die Kovergez vo S (x) für x =, da S ( ) = ( ). = (a ) = ist eie mooto fallede Folge icht-egativer reeller Zahle, womit die Bedigug des Leibiz sche Kovergezkriteriums erfüllt ist. R S = lim ( + ) = lim + + = lim + + =. Um zu zeige, dass S (x) für x = kovergiert, betrachte wir die Partialsumme s vo S. Zu eiem beliebige gibt es ei p mit < p+. Da gilt: p+ s () i= i = + ( + ) p q p p q= ( q ) = q= q = q= ( ) q ( ) p+ i= p q= ( ) q = =. Wiederum liefert das Leibiz sche Kovergezkriterium für alterierede Reihe die Kovergez der Reihe S (x) für x =, da S ( ) = ( ) =. (a ) = ist eie mooto fallede Folge icht-egativer reeller Zahle, womit die Bedigug des Leibiz sche Kovergezkriteriums erfüllt ist. ( + )! ( + )! R S3 = lim = lim!! = lim + =. 39

40 S 3 (x) kovergiert damit auf gaz. R S4 = lim! ( + )! = lim + =. Für x = gilt S 4 kovergiert also für x =. S 4 () =! =. = Lösugskizze zu Aufgabe ANA7: Das Quotietekriterium besagt, dass eie Reihe k absolut kovergiert, we i= lim k + k <. Sei k = c x. Da folgt: lim c + x + c x = lim c + c x! < = x <! c lim + c = R = c lim + c = lim c c. + Also gilt für alle Potezreihe c x (mit c i für fast alle i ), dass der Kovergezradius i= c der Potezreihe R = lim c + ist, sofer dieser Grezwert existiert. Für a = = x bzw. b = = x folgt daher R a = lim + =, R b = lim ( + ) =. A de Radstelle vo I = (,) sid a ud b jeweils diverget. Es gilt ämlich: Für x = ist a = = ud b = =. = = Für x = ist a = ( ) = ( + ) + ( 3 + 4) + ( 5 + 6) +... = = ud = b = ( ) = ( + ) + ( ) + ( ) +... = = ( ) = = =. = = 4

41 Auf I = (,) ist x = x x = x d = = ) ( = x d x dx = dx ( = = x d dx x ) ( ) x = x ( x). Auf I = (,) ist Also gilt f a (x) = ( x ) = x x = x d x = = dx = ( ) ( = x d x dx x = x d x d = dx ( ( )) = x d x d x = x d dx dx = dx = x d ( ) x dx ( x) = x x ud f ( x) b (x) = x+x ( x) 3 dx ( = ( x d dx x )) ( ) + x ( x) 3 = x + x ( x) 3. ( )) x Lösugskizze zu Aufgabe ANA7: Wir verwede die biomische Reihe, ach der mit α für x (,) gilt: ( + x) α ( ) α = x k. k= k Weiterhi gilt ( + x) α ( + x) β = ( + x) α+β. Damit bekomme wir de Asatz ( + x) α ( + x) β ( ) α = x k k= k k= ( α + β = k= k ( ) β x k = k ( k= ) x k = ( + x) α+β. ( ) α k k= ( ) ) β x k k Nach dem Idetitätssatz für Potezreihe gilt für zwei auf eiem Itervall X = ( δ, δ) etwickelte Potezreihe a x ud b x, dass a i = b i für alle i, we die Potezreihe auf eier Folge x mit x X,x übereistimme, we sie also isbesodere i dieselbe geschlossee Darstellug überführt werde köe. Da ( + x) α ud ( + x) β jeweils dieselbe Fuktio mit verschiedee Parameter α ud β sid, köe wir daher jeweils die i-te Koeffiziete der beide Potezreihe ( k= ( ) α k k= ( ) ) β x k ud k als idetisch voraussetze, d.h. also ( ) α ( ) β k= k = k= k ( ) α + β x k k= k ( α + β ). 4

42 Eie Möglichkeit die Summade des Produkts zweier absolut kovergeter Reihe a k ud k b k azuorde ist das Cauchyprodukt, für das gilt k k Setze wir u a k b k = c k mit c k = a b k + a b k + + a k b = i = k a i b k i. k k a k = ( ) α k ud b k = ( ) β, k so erhalte wir mit dem Cauchyprodukt ( ) α + β ( ) ( ) α β c = = a k b k =. k= k= k Mit dem soebe Bewiesee erhalte wir für α = β = ( )( ) = k= k k Nach Defiitio des Biomialkoeffiziete gilt ( ) ( )!! = bzw. = k k! ( k!) k ( k)! ( ( k))! =! ( k!) k!. ( ). Damit folgt sofort ( )( ) = k= k k k= ( ) ( ) =. k Lösugskizze zu Aufgabe ANA73: Wir substituiere de Itegrade mit t = x 6 ud bekomme die Potezreihe Also gilt e t t = =! = ( x 6 ) ( ) = =! x 6. =! ( ) e x6 dx = x 6 dx = =! = ( ) = =!(6 + ). ( ) x 6 dx! Diese Reihe alteriert, ud ihre Glieder falle betraglich mooto gege. Nach dem Leibiz sche Kovergezkriterium existiert der Grezwert der Reihe. Setzt ma m ( ) s m = =!(6 + ), so liegt s = lim s m stets zwische s m ud s m+. m Es gilt s = = 63 8 ud s 3 = Da 4 < ud s [s,s 3 ], weicht s um weiger als vo s ab. 4

43 Lösugskizze zu Aufgabe ANA74: Zu (a): ( q = + ) k = ( + ) = ud k= k! =. Ageomme, es gilt q =! für ei gewisses. Wir wolle zeige, dass daraus auch q + = (+)+ folgt. (+)! q + = ( ) k= + k k = ( ) k= + k ( ) k + Id.Vor. =! ( + ) ((+ = ))! = (+)! = (+)+ (+)!. Zu (b): Wir verwede Iduktio ach. Für = gilt ( ) k k = = ud ( ) =. k= Ageomme, es gilt ( ) k k = ( ) k k= k= für ei gewisses. Wir wolle zeige, dass daraus auch folgt ud verwede dazu die Formel + ( ) k k + + = ( ) k k= k= k = k= ( + ). + ( ) k k = ( ) k k + ( ) + ( + ) k= k= Id.Vor. ( + ) = ( ) + ( ) + ( + ) ( ) = ( ) + ( + + ) + ( = ( ) + ) = ( ) ( + )( + ) = ( ) Lösugskizze zu Aufgabe ANA75: + + = ( ) k. k= Zu (a): s = k= k(k + ) = =. 43

44 Ageomme es gilt s = + für ei bestimmtes. Da folgt s + = s + ( + )( + ) = = ( + )( + ) ( + ) + ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) = + + = + + = Id.Vor. = + + ( + )( + ) ( + ) + = ( + )( + ) Alterativ köe wir dies auch durch Partialbruchzerlegug zeige. Wir suche ach Parameter A ud B, so dass k(k + ) = A k + B k + bzw. = A(k + ) + Bk. Setzt ma acheiader k = ud k =, so erhält ma Es folgt A = ud B = ud damit k(k + ) = k k +. s = k= k(k + ) = k= k k + ( = ) ( + ) ( ) ( ) + = + Zu (b): Nach Teil (a) gilt s = k(k+) = +. Die Reihe k(k+) kovergiert geau k= k= da, we die Folge ihrer Partialsumme kovergiert. Sie kovergiert da gege de Grezwert der Folge ihrer Partialsumme. Es folgt k= k(k + ) = lim s = lim + =. Lösugskizze zu Aufgabe ANA76: Wege der Stetigkeit vo Polyome folgt aus dem Zwischewertsatz, dass i de Itervalle [,] ud [,] jeweils eie Nullstelle des Polyoms P(x) liegt, da P() > ud P() < bzw. P() < ud P() > ist. Daher hat P(x) midestes de Grad. Wir ehme a, dass der Grad ausreiched für P(x) ist. Da hat P(x) die Gestalt P(x) = c + c x + c x. Wir setze die drei gegebee Stützstelle ei ud erhalte ei lieares Gleichugssystem. Desse Auflösug ergibt P(x) = 6x 9x +. Da P(x) de vorgegebee Stützstelle geügt, habe wir somit ei miimales Polyom gefude. 44

45 Lösugskizze zu Aufgabe ANA77: Wir verwede de Satz, dass die ichtreelle Nullstelle eies Polyoms mit lauter reelle Koeffiziete paarweise kojugiert komplex auftrete. We u i eie Nullstelle vo P(x) ist, muss daher auch i eie Nullstelle vo P(x) sei. Wir erhalte P(x) = (x )(x i)(x + i) P(x) = (x )(x + ) P(x) = x 3 x + x. Lösugskizze zu Aufgabe ANA78: Die erste beide Ableituge habe die Form Nullsetze der erste Ableitug f (x) = 3x, f (x) = 6x. f (x) = 3x = 3x = x / = ± 3 ud Eisetze der erhaltee Werte i die zweite Ableitug ergebe f (x ) = 6 3 ud f (x ) = 6 3. Damit erhalte wir bei P = (, ) ei lokales Miimum, bei P = (, 3 3 ) ei lokales 3 Maximum. Auf [, ] hat f jedoch seie globale Extremalwerte am Rad des Itervalls, auf dem f defiiert ist. Das globale Miimum liegt bei Q = (, 6), das globale Maximum liegt bei Q = (,6). Lösugskizze zu Aufgabe ANA79: Zu (a): Mit quadratischer Ergäzug folgt u f (t) = t 6t f (t) = t 6t = (t 8) +. Wir mache die Substitutio rückgägig ud erhalte f (x) = (x 3 8) +. Da das Quadrat eier reelle Zahl immer positiv ist, folgt f (x) > für alle x. Zu (b): Da das Quadrat eier reelle Zahl immer positiv ist, folgt (x 3 8) ud damit f (x). existiert ei globales Miimum µ aller Fuktioswerte vo f ud es gilt µ. Zu (c): Das globale Miimum µ wird vo f ageomme, we (x 3 8) miimal wird (also gleich ). Äquivalezumformug liefert als eizige Miimalstelle Damit ist µ = f () =. x = 3 8 =. 45

46 Lösugskizze zu Aufgabe ANA8: Seie drei Seite der Schachtel mit x, y (Grudseite) ud h (Höhe) bezeichet. Sei V das Volume ud O die Oberfläche der Schachtel. Es gilt ud V = xyh = 3 h = 3 xy O(x,y,h) = xy + hx + hy. Wir setze h i die Gleichug der Oberfläche ei ud bekomme O(x,y) = xy + 64(x + y) xy = xy + 64 x + 64 y. O ist u eie Fuktio vo ach. Um O zu miimiere ist grado(x,y) = (,) eie otwedige Bedigug. Es gilt Aus grado = (,) folgt u grado(x,y) = ( O x, O ) ( = y y 64 x = = x 64 y y 64 64,x x y ud damit x = y = 4. Weiterhi folgt h = =. Es bleibt zu prüfe, ob (4,4) tatsächlich ei Miimum vo O ist. Dazu verwede wir die Hesse- Matrix H (x,y). Zu zeige ist, dass H (4,4) positiv defiit ist. Es gilt ( O O (x,y) ( x) H (x,y) = y x (x,y) ) O x y (x,y) = O (x,y) ( y) ). ( ) 8 x 3 8 y 3 Daraus folgt ( ) H (4,4) = ( ) ist positiv defiit, da die beide Uterdetermiate det() ud det positiv sid. Also beträgt die miimale Oberfläche 48 cm bei de Abmessuge x = y = 4 cm ud h = cm. Lösugskizze zu Aufgabe ANA8: Sei ε > vorgegebe. Da existiert ei, so dass für alle ud für alle x [a,b] gilt: f (x) f (x) < ε, da f eie gleichmässig kovergete Fuktioefolge ist. Weiterhi existiert ei, so dass für alle gilt: f (x ) f (c) < ε, da f stetig ud damit folgestetig ist. Wir wähle := max{, }. Da gilt für alle : f (x ) f (c) = f (x ) f (x )+ f (x ) f (c) f (x ) f (x ) + f (x ) f (c) < ε + ε = ε. Also gilt lim f (x ) = f (c). 46

47 Lösugskizze zu Aufgabe ANA8: Für x ist f (x) = xsi x cos x. Da six ud cosx stetig sid, ist damit auch f stetig für x. Für x = betrachte wir ud f (h) f () h si h lim = lim = lim h + h h + h hsi h + h = (da si h ) f (h) f () h si h lim = lim = lim h h h h hsi h h =. Der liksseitige ud rechtsseitige Grezwert stimme also überei, woraus f () = folgt. Weil aber cos x für x keie Grezwert hat (ud lim xsi x x = ) existiert lim f (x) icht. x Also ist f bei x = ustetig, sost überall stetig. Lösugskizze zu Aufgabe ANA83: Für x ist ud damit six x [,] defiiert. Da g (x) = six ud g (x) = x stetige Fuktioe sid ud das Produkt stetiger Fuktioe wieder stetig ist, ist f auf \ {} stetig. Weiterhi gilt für jede Nullfolge (x ) ( ) lim f (x ) = lim x si x = = f (). }{{} beschräkt Also ist f für x = folgestetig ud damit stetig. f ist also auf gaz stetig. Für x erhalte wir mit der Produktregel die erste Ableitug. Es gilt f (x) = xsi(x ) x cos(x ). Für x = betrachte wir de Differetialquotiete. f (x) f (x ) f (x) lim = lim x + x x x xsi(x ) = ud lim =. + x x Liks- ud rechtsseitiger Grezwert stimme bei x = überei, es gilt also f () =. Somit ist f auf gaz differezierbar. f ist auf \ {} stetig, jedoch ustetig bei x =. De lim f (x) = lim(xsi(x ) x x x cos(x )). existiert icht, da x für x. Also ist f für x = zwar differezierbar, icht jedoch stetig differezierbar. Lösugskizze zu Aufgabe ANA84: Es gilt für x > f (x) = lim + x = für x = für x < f ist damit ustetig bei x = ud x =, sost überall stetig. Aufgrud der gefudee Darstellug vo f ka der Graph leicht skizziert werde. 47