14. Differentialgleichungen höherer Ordnung

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1 4. ffrnalglchungn höhrr Ordnung Bslang brachn wr nur gwöhnlch ffrnalglchung rsr Ordnung, d.h. dr Grad dr Ablung dr Funkon n dr Glchung war höchsns. Es gb w das brs n dr Enlung vorgsll Bspl dr Eulrschn Knckung bws jdoch gnügnd ffrnalglchungn, n dnn n höhrr Grad dr Ablung aufr. Für ds gl rs rch, was brs ldvoll Erfahrung für d bshr brachn Glchungn gülg war: s lassn sch, wnn übrhaup, lmnar nur shr mühslg lösn; auch d numrschn Vrfahrn d w wohl brs gargwöhn m rlav vl Aufwand vrbundn. gu Nachrch dab: ds Mhodn d n MATLAB mplmnr, und s handl sch dab um d gun aln Bkannn od3 und od45. ffrnalglchungn zwr Ordnung Bschränkn wr uns zunächs auf ffrnalglchungn zwr Ordnung, und dab auch nur auf d lnarn ffrnalglchungn m konsann Koffznn, d.h. vom Typ a y a y a y q, a, a, a. s lassn sch nch nur gschlossn lösn, sondrn s gb auch n groß Anzahl n dr Physk und Tchnk von Anwndungn dss Typs. En Bspl war d brs rwähn Eulrsch Knckung. Auch wnn ds gnlch Tl dr Mahmak-Vorlsung s, s noch kurz auf das Lösungsvrhaln und d Bsmmung dr Lösungn nr lnarn ffrnalglchung n- r Ordnung m konsann Koffznn nggangn: En lnar ffrnalglchung n-r Ordnung ha d Form n p y q Hrb d p und q bkann Funkonn, y wrd gsuch, y s d - Ablung von y nach. Man unrschd lnar ffrnalglchungn m varabln odr konsann von unabhänggn Koffznn p bzw. c ; d.h. s also p c consan, sprch man von nr lnarn ffrnalglchung m konsann Koffznn. as s d sognann Ingralkurv odr Lösung dr ffrnalglchung.

2 Sowohl für ffrnalglchung m konsann als auch nch-konsann Koffznn gb s dnn Fall, dass q s. Man nnn d ffrnalglchung, wnn q s, n homogn lnar ffrnalglchung, und wnn q s, n nhomognn lnar ffrnalglchung. r Esnz- und Endugkssaz bsag für lnar ffrnalglchungn, dass s zu dn Anfangsbdngungn n- y y, y' y',... y n- y gnau n Ingralkurv y gb, d Lösung dr ffrnalglchung s und d Anfangsbdngungn rfüll. Lösung ha dab folgnd Srukur: s H d Mng allr Lösungn dr dazughörgn homognn lnarn ffrnalglchung n p y und y n spzll Lösung dr ursprünglchn nhomognn lnarn ffrnalglchung s n p y q dann s y A y s H d Mng allr Lösungn dr ursprünglchn lnarn ffrnalglchung. am zrfäll also d Ermlung dr allgmnn Lösung n zw Tl: r Bsmmung dr allgmnn Lösung dr homognn ffrnalglchung und dr Bsmmung nr spzlln Lösung dr nhomognn ffrnalglchung. Lösungn dr homognn ffrnalglchung Mng H allr Lösungn dr homognn ffrnalglchungn s n sognannr Tlraum ds Vkorraums dr sg-dffrnzrbarn Funkonn, dssn mnson gnau dr Grad dr höchsn Ablung s, dr n dr ffrnalglchung aufr. Also gb s gnau so vl lnar unabhängg Elmn von H, d H aufspannn, w d Ordnung dr s bldn n sognanns Fundamnalsysm. Um fszuslln, ob w auch mmr gfundn Lösungn n Fundamnalsysm bldn, wrd d Wronsk-rmnan aufgsll.

3 ffrnalglchung angb..h. jd Lösung dr homognn ffrnalglchung s n Lnarkombnaon dr Elmn, d H aufspannn. Im Fall also nr ffrnalglchung a y ay ay q, a, a, a. s d mnson ds Lösungsraums H zw. Man bnög also zw lnar unabhängg Lösungn von a y ay ay. a man wß, daß nur zw Lösungn gfundn wrdn müssn, wrd n Ansaz gwähl: y k m k. sr Ansaz führ auf das sognann charakrssch Polynom dr ffrnalglchung, dssn Nullslln dn Typ dr Lösungn bsmmn. Lösungn dr nhomognn ffrnalglchung En spzll Lösung dr nhomognn Glchung fnd man häufg durch Nachschlagn n Tablln. allgmn Mhod dr Varaon dr Konsann s shr aufwändg. Als Bspl brachn wr zunächs homogn ffrnalglchungn zwr Ordnung: Bspl : d harmonsch Schwngung Abbldung Schwngung ns Fdrpndls En an nr Fdr hängndr Körpr dr Mass m ha n Ruhlag b. In dsr Lag r r kompnsrn sch d nach unn wrknd Gwchskraf F G m g und d rückrbnd r r r Fdrkraf F r, d.h. s gl F R F R G Für d rückrbnd Fdrkraf gl m Gülgksbrch ds Hookschn Gszs r r, F R 3

4 d dn Masspunk wdr n d Ruhlag zu brngn vrsuch; dab s d Rücksllkonsan dr Fdr, d von Torsonsmodul und dr ck dr Fdr abhäng. Auf dn Körpr wrk also d Kraf m m a F bzw. s gl m :m m Für dn Quonn sz man auch, so dass gl m s s n homogn ffrnalglchung zwr Ordnung m konsann Koffznn. Man nnn s d Schwngungsglchung ds harmonschn Oszllaors dr harmonsch hß, wl n solchr Oszllaor n dr Akusk nn rnn Snuson rzug. Übrlagrung rnr Tön m Frqunzn n [n kln ganz Zahl] wrd als harmonsch mpfundn. Man such also zw Lösungn, d lnar unabhängg d und som jd Lösung als Lnarkombnaon dsr bdn darslln. W brs rwähn s dr Ansaz k ann s d d d d d d k k k d d k k k k Enszn n d Ausgangsglchung lfr: k k k k k k k ds s das charakrssch Polynom dr ffrnalglchung k k 4

5 > m a s, gl dann für k: k ± ± ±,, also und k k Ärgrlch, abr wahr: s schnn kompl Zahln n d Rchnung ns durchaus raln Problms. Ghn wr wr nach Schma, rhaln wr zw Lösungn k k Und dam lau d allgmn Lösung,,. s s d Glchung dr harmonschn Schwngung n komplr Form. Naürlch sör dr magnär Fakor m Eponnn schlßlch handl s sch doch um n rals Problm das gnlch n Lösung m rlln Zahln habn soll und nch um n kompls m Snn ds Zahlnbrchs. Man lass sch davon nch rrrn übr d Konsann und läss sch n rllr Anl hrausholn. Es s ja n rll Lösung. Also muß gln Jd kompl Zahl läss sch n Polarform darslln. Also gb s n c, c Brag dr kompln Zahl und, [; π[ Wnkl dr kompln Zahl ggnübr dr rlln Achs m und. Insgsam gl: c c c c Nach dr Eulrschn Forml gl:. s bdu hr c c c c c c Es s mmr rll, also Im c c 5

6 araus folg: c c s Glchung soll für all gln. Insbsondr für rhäl man: c c bzw. c c π Für : c c c c c π c * π π c π π π. s s äquvaln zu. M dn Addonshormn rhäl man: c c c π c c c c ** π Glchung * gl durch Glchung ** rgb: c c c c bzw. an an-, also araus folg dann ndlch: - Szn wr ds n * n, rhaln wr: c c, also c c und dam c c. c Also gl für d Konsann m c : c c und : - : c und c -. n so manchr Physkvorlsung sh mmr lapdar an dr Sll dr Glchung dr harmonschn Schwngung: a n rll Funkon muß, folg für d kompln Konsann, d.h. ds d konjugr kompl. Na, hr s nmal dr Nachws rfolg. 6

7 ann gl für d Schwngungsglchung: c c c c c c c c r magnär Anl ha sch also rfolgrch wgghobn und als schöns Rsula: ndlch n Glchung, d an n Schwngung bkannr Naur anzg. Es hä n dr Ta auch nfachr ghn könnn und ds s dr msns ngschlagn Wg. Man rnnr sch: Aus dr ffrnalglchung wurd das charakrssch Polynom k abgl. ssn Nullslln habn das Ausshn: und k k Im lzn Vrsuch szn wr: Form man m dr Eulrschn Forml um, rhäl man bkannlch. Könn man m Rlln nch von vornhrn szn:? Anwor lau ja. r Grund s: Sowohl als auch d Lösungn von rchn man nfach nach: 7

8 Enszn n ffrnalglchung Und außrdm d und lnar unabhängg d Wronsk-rmnan lau: W a d Ordnung dr ffrnalglchung zw bräg, d nur zw lnar unabhängg Lösungn gsuch d m und gfundn d. Jd Lösung dr ffrnalglchung s dam Lnarkombnaon dsr bdn Lösungn, d.h. für jd Lösung gb s, m Sz man n dsm Fall noch zusäzlch und an, so gl A und A ; und dam A A A A Wr rhaln rnu d Glchung nr harmonschn Schwngung. Abbldung zlchr Vrlauf nr Fdrschwngung Brach man dn zlchn Vrlauf dr Auf- und Abbwgung dr Fdr, sh man n dr Ta dn Vrlauf nr Snus- bzw. ous-kurv s gl ja bkannlch π. En Zahlnbspl: En Fdr hab n nspannm Zusand ohn Gwch d Läng h 33 mm, m Glchgwchszusand m nm Gwch dr Mass m 788 g n Läng h von 567 mm. Man rml d Fdrkonsan. 8

9 Fdr wrd um 5 cm nach unn gzogn und dann losglassn. W lau d Glchung dr harmonschn Schwngung? urch Anhängn ds Gwchs wrd d Fdr um Δ h h mm 37 mm gdhn. In Glchgwchslag d Gwchs- und Rücksllkraf glch, d.h. s gl r r F G F H bzw. mg Δ m g,788kg 9,8ms 7,73 kgms N 3. 6 Δ,37m,37 m m also s. am läss sch brs rmln: 9.8ms m g g 4. 39s m Δ m Δ.37m Also lau d Glchung: bzw. s 4.39s s och was d d Anfangsbdngungn? : s s d Poson zu Bgnn dr Schwngung, also -5cm -5 - m. s d Anfangsgschwndgk. a d Fdr losglassn wrd, s v ms. v : s Also gl für das charakrssch Polynom dr ffrnalglchung k² 4,39 bzw. k, ± 6,4 Wr wrdn bd Ansäz durchrchnn:.ansaz: 6,4 6,4.Ansaz: 6,4 6, 4 - zum. Ansaz: 6,4 6,4 Um und zu bsmmn, müssn d Anfangsbdngungn ngsz wrdn. Es s 5cm 5 - m s. Also 6,4 6,4, also En wr Bdngung lfr v. 9

10 azu muß rs nmal d rs Ablung nach aufgsll wrdn: d d ann s 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 6, 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 4 Also 6,4-6,4 da ² -, also - -- Also s bzw. M dr rsn Bdngung zusammn: : -,5 - Und dam -,5 -. Also gl:,5 6,4,5 6,4 M dr Eulrschn Forml folg:,5,5,5 5,5 4,6 4,6 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 s s d Glchung dr harmonschn Schwngung wr wrdn s noch was sandardsrn, abr m Prnzp habn wr s rhaln. Zunächs rs nmal zum.ansaz: 6,4 6, 4 ann s d 4 d 6,4 6, 6,4 6,4 6,,4 4 6 Anfangsbdngung -5 - lfr aus dr rsn Glchung

11 -5 - Anfangsbdngung lfr aus dr zwn Glchung 6,4 6,4 6,4, also. am lau d Glchung -5-6,4 Bd Ansäz lfrn also das glch Ergbns kn Frag, wlchr Ansaz dr bvorzugr s: -5-6,4 Glchung s korrk, allrdngs nch gmäß Sandard n ngav Amplud s nch unbdng rwünsch. Umrchnung n d Form A gschh w folg: 5 5 A 5 an a hlf naürlch nch dr rchnrsch Arcusangns wr dr 3π Quon s -. r dazughörg Wnkl bräg 7 odr. Also lau d ndgülg Glchung: 5 3π 6,4,5 6,4 4,7 Enhn für d Läng also d dab Mr, d für Skundn. Brchnung m od3 a wr d ffrnalglchungn m MATLAB lösn wolln, solln auch d dor brgslln Vrfahrn angwnd wrdn. Bgnnn wr rnu m od3 od sh für ordnary dffrnal quaon Syna lau von od3: [ou, you] od3odfun, span, y dab s ou you [ ; ]: d Süzslln ds Inrvalls d y-wr ds Polygonzugs. En Paar ou, you bld nn Eckpunk ds Polygonzugs

12 odfun Handl auf d rch S dr ffrnalglchung f, y span y y y [ ]: Schrankn ds Inrvalls, n dm Nährungslösung brchn wrd. zu lösnd ffrnalglchung lau bzw. m Zahlnbspl 4,39 s s n ffrnalglchung zwr Ordnung; MATLAB allrdngs kann nur ffrnalglchungn dr Form dr Form A n f m lösn m Spzalfall für od3 von, wob A d sognann Massmar s. r od3-algorhmus s nämlch gdach für Sysm lnarr ffrnalglchungn, wob n jdr Glchung nur d Ablung jdr dor aufrndn Varabl höchsns rsn Grads darf. Hör sch m rsn Momn komplzrr an als s n Wrklchk s. Man kann nämlch n homogn lnar ffrnalglchung zwr Ordnung nfach umschrbn als: Ggbn a a Sz : : ann s a a a a s läss sch n Marznschrbws brngn a a nur noch nmal zur Konroll: was s ds Mar-/Vkorglchung ausgschrbn? a a

13 rs Glchung bsag:, was d rs Subsuonsglchung bnhal, und a a s d ursprünglch ffrnalglchung m dn Subsuonn gschrbn. Für unsrn konkrn Fall bdu ds also m dr Subsuon : : und dam n Marschrbws: as Umschrbn nr ffrnalglchung höhrr Ordnung n n Sysm von ffrnalglchungn rsr Ordnung s nowndg, wl w brs rwähn od3 kn höhr Ordnung vrarbn kann; Sysm von ffrnalglchungn schon. r rs Paramr dr Funkon od3 s n Handl auf d Implmnaon dr ffrnalglchung. Wr lgn ab n dglharmonsch.m : % ffrnalglchung zwr Ordnung: "omga^* % ds s vom Typ A,y*y' f,y, dahr Übrgabparamr und % Rückgabwr: Vkor [, '] % Ersllungsdaum: 9..7 % Auor: Gorg Rchr funcon d dglharmonsch, ; global omgaquadra; % Massmar a a [ ; -omgaquadra ]; d a * ; B Aufruf von od3 s also Übrgabwr n Vkor und Rückgabwr d dr Vkor, für d gl r d r d r r 3

14 Es wurd hr n global Varabl omgaquadra vrnbar s s nämlch nch möglch, ds auch noch als zusäzlchn Paramr m zu übrgbn. Sh man wngsns dn Snn ns solchn Varablnyps auch nmal. Im slbn Vrzchns bfnd sch dann Kap4 Harmonschod3.m : % Kap4 Harmonschod3 % Erss Bspl nr homognn lnarn GL zwr Ordnung % harmonsch Schwngung Rbungskoffzn. % ffrnalglchung s n dglharmonsch mplmnr. % Ersllungsdaum: 9..7 % Auor: Gorg Rchr clar; clc; global omgaquadra; dsp'nährungsws Brchnung nr harmonschn Schwngung'; dsp'm od3'; npu'b Sarwr ds AWP ngbn: '; npu'b dazughörgn -Wr ngbn: '; s npu'b Anfangsgschwndgk ngbn: '; npu'an wlchr Sll soll brchn wrdn? '; omgaquadra npu'w lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? '; [vk vkapp] od3dgl, [ ], [ s]; l lnghvkapp; fprnf'nährungswr %f\n', vkappl; % Graphsch arsllung - zunächs Srcknzug plovk, vkapp:,, 'r'; hold; plovk, vkapp:,, 'b'; lgnd'', ''''; % zum Vrglch: Vrlauf dr Lösung % Brchnung dr Konsann, dr Lösung % *omga**omga*; omga sqromgaquadra; c *omga*omga* s*omga*/omga; c omga**omga*-s*omga*/omga; vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*omga*vk c*omga*vk; nd; plovk, vk, 'g'; fprnf'akr Wr %f\n', vk lnghvk; lgnd'nährung ', 'Nährung ''', 'Lösung '; achs lm; yachs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; yachs ylm; achs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; l['arsllung und '' von " ' numsromgaquadra... '^\cdo ']; labl' [s]'; ylabl' [m]'; 4

15 W zu rshn, wurd zum Vrglch auch d rrchn Lösung o o grün dargsll. azu muß man naürlch wssn, w und vom Anfangswrproblm o o und Es gl ja abhängn. o o o o o o s s n lnars Glchungssysm von zw Glchungn m zw Unbkannn und. Haupdrmnan lau: a, s dam das Glchungssysm ndug lösbar. o Nbndrmnann laun: ann gl nach dr ramrschn Rgl:,. s Formln wurdn m Programm umgsz m omga sqromgaquadra; c *omga*omga* s*omga*/omga; c omga**omga*-s*omga*/omga; Und dam wrd dann dr Vkor zur Aufnahm dr Funkonswr dfnr: vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*omga*vk c*omga*vk; nd; r dazughörg Graph wrd dann grün ausggbn. Bzgl. unsrr Glchung 4.39 m dn Anfangswrn -.5 und sh dann n Programmdurchlauf so aus: Nährungsws Brchnung nr harmonschn Schwngung m od3 B Sarwr ds AWP ngbn: B dazughörgn -Wr ngbn: -.5 5

16 B Anfangsgschwndgk ngbn: An wlchr Sll soll brchn wrdn? 5 W lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? 4.39 Nährungswr urrn plo hld akr Wr >> Und man rhäl folgnds Bld: Es übrrasch vllch, zw gzchn Kurvn zu shn. s lg naürlch n dr Anwsung plovk, vkapp:,, 'r'; hold; plovk, vkapp:,, 'b'; Allrdngs hä d Anwsung plovk, vkapp; das glch Bld gbrach. Bdnk man, dass od3 Sysm von ffrnalglchungn vrarb, vrwundr s nch, dass s auch d Lösung nr jdn ffrnalglchung zurückgb. In unsrm Fall lau das Sysm: 6

17 Also vrsuch od3, n Nährungslösung für und zu fndn. s gb s n gnau dsr Rhnfolg aus. Und da nach Subsuon, s also d rs Ausgab d Glchung dr harmonschn Schwngung A o bzw. m konkrn Bspl für -.5, zw Ausgab s dann und ² 4.39: d 4 d , o also d Ausgab dr Wg-Gschwndgksglchung. W zu rshn, s ds auch d Glchung, drn Graph blau m Fnsr dargsll wurd. Und man sh, dass d Lösungskurv durch od3 doch rch gu groffn wurd m Großn und Ganzn übrdck ja d grün d ro Kurv. Abwchungn sh man rs dulchr b Ändrung ds Skalrungsmaßsabs: >> as[ ] >> ann rhäl man als Ausgab das Fnsr: 7

18 Man sh jz dulchr d Abwchung n dr Umgbung dr Ermwr. Es s ja auch nur od3, das zwar am schnllsn, abr auch d größn Abwchungsfhlr ha. Tasächlch lau ja n Vrglch dr bdn End-Wr: m od3: m Lösung: as Vrfahrn od45 s dab n Tck gnaur. Kommn wr noch darauf zurück. Bspl : dr fr gdämpf Oszllaor as n Bspl vorgsll Fdrpndl s dalsr wordn. Tasächlch komm nbn r dr durch das Hooksch Gsz dfnrn Kraf noch als wr Rücksllkraf d Rbungskraf F hnzu. Is ds nggngsz zum Gschwndgksvkor v r R und r proporonal zum Gschwndgksbrag v v ds schwngndn Pndls, so gb s n F H posv Zahl b, so dass gl: F R b b v. Und nsgsam gl F -F H F bzw. R m m a F b odr was kürzr m b :m b m m Sz man wdr Oszllaors: b m und m, rhäl man d Glchung ds frn gdämpfn d ämpfung wrd hrvorgrufn durch d Rbung ; fr bdu, dass kn rzwungn Schwngung vorlg, was sch n dr Glchung dadurch äußr, dass ds homogn s. B dr manulln Lösung wrd vorggangn w m. Bspl: Ansaz: ann s d d d d k k k k d d d d k k k k Enszn n d Ausgangsglchung lfr: 8

19 k k k k k k k k k 3 ds s das charakrssch Polynom dr ffrnalglchung k k Für dssn Nullslln gl:, ± k. am lau d allgmn Lösung: k k as kundg Aug ahn brs Böss b Brachn ds Wurzlausdrucks m Eponnn: was, wnn dr ngav wrd? Unrfall : schwach ämpfung < o s s dr shr häufg aufrnd Fall und rchnrsch auch am schwrgsn anzughnd: Um sch das Lbn was zu vrnfachn, sz man hr ² : o ² - ². Wgn dr Vorausszung < s dahr >. ann s also d allgmn Lösung von dr Gsal: o. r Radkand s also ngav daran führ kn Wg vorb, also Sh gar nch mal so schlmm aus wnn da nch das m Eponnn wär... Ganz so schwrg wrdn wr uns dsmal das Lbn nch gsaln dsmal bnuzn wr das brs m rsn Bspl rml Rsula: dam n rll Lösung hrauskomm, müssn d Konsann und konjugr kompl, d.h. für hr arsllung n Polarform gl: und. c c 3 a d Koffznn ds charakrsschn Polynoms d Koffznn dr ffrnalglchung d und dr Grad ds Polynoms dr Ordnung dr ffrnalglchung nsprch, kann man auch ohn plz dsn Ansaz zu rwähnn drk von dr ffrnalglchung zum charakrsschn Polynom übrghn. 9

20 ann zrfäll d Lösung schon von fas alln:. c c c c c c c c A - s Glchung sll n gdämpf Schwngung dar, drn Amplud A ponnll abklng. Wnn bzw. b, was also bdu, dass kn Rbung vorlg, rhaln wr dn Fall ds harmonschn Oszllaors und landn bm brs durchgrchnn und gsprochnn Bspl. En Zahlnbspl: Wr vrwndn das Zahlnbspl aus Bspl, d.h. n Fdr m Mass m 788 g und m N m kgms m ms kg g m 6 3.,37 7,73,37 9,8,788 Δ Fdrkonsan, d.h Δ Δ s m ms g m g m m s s bzw..,788,788 s kg s kg m b Zusäzlch brag dr ämpfungsfakor b,788 kgs-, also. ann lau also d ffrnalglchung. 4,39 Anfangsbdngungn laun w n Bspl : m cm s 5, 5 m s s v M dm Ansaz rhäl man das charakrssch Polynom k k k k

21 k Enszn: k k 4,39 k k k k 4,39 k k 4,39 k k² k 4,39 Nullslln d k, k,5 ±,5 4,39,5 ± 4,4,5 ± 4,4,5 ± 6, 4 Sz : ² - 4,39,5 4,4. o ann s also k k,5,5 6, 4,5,5 6, 4 Für d allgmn Lösung gb s zw Ansäz:,5,5,5 6,4,56,4.Ansaz:,5,5,5.Ansaz: 6,4 6,4 Konsann und d dann aus dn jwlgn Anfangsbdngungn zu rrchnn. zum rsn Ansaz:,5,5,5 6,4,56,4 ann s,5,5,5, 5 M dn Anfangsbdngungn gl dann:,5. Also s -,5.,5,5,5, 5 urch Enszn von -,5 n ds Glchung folg:,5,5, 5,5,5,5,5,5,5,5, 5,5,5,5, 5,5, 5 -,5-,5,5,5 araus folg:,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5,

22 nur zur Ernnrung: s s übrgns,5 und,5 o. Also gl: 3,9,5,8,5 4,4,5,5,5,5,5,5 Für gl dann: 5, 5,,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5,,5 Man sh an dsr Sll shr dulch, dass und konjugr kompl d. Also 3,9,5,8,5 4,4,5,5,5,5,5,5 Enszn n d Ausgangsglchung lfr dann: 5,,5,5,5,5,5,5,5 [ ],5,5,5,5,5 [ ],5,5,5 5, [ ],5,5,5 5, [ ],5,5 5, Zwschnrchnung:

23 ,5, 5,5, 5,5,5,5,5 [,5 ] [,5 ],5 4,4,5 4,4,5 4,4 3 [ 3,9 6,4,5 6,4 ] s s n Zahlnbspl für n fr gdämpf Schwngung. Wr wrdn s nach urchsprchn ds zwn Ansazs noch nmal aufgrfn und n d n dr Physk gbräuchlch Fassung A - übrführn zum zwn Ansaz: ann s,5,5,5,5,5,5,5 [,5,5 ] [,5,5 ] Konsann und wrdn wdr mhlf dr Anfangsbdngungn rml: s 5 cm, 5 m v s s m also hr:,5,5,5 [,5,5 ] [,5,5 ] [,5,5 ],5,5,5, da -,5 sh Glchung, ,5 3

24 -,5 :-,5,5 3 3,9 4,4 Also s nsgsam [ ],5,5,5.5,5 3 [ 3,9 6,4,5 6,4 ] 4 s s gnau! dasslb Ergbns w b dr kompln Rchnung ds rsn Ansazs! Jz wolln wr zum Abschluss d Glchung so umformn, dass d bkann Fassung A - hrauskomm da d Paramr A, und n physkalsch Bduung habn. Sz,5 A :,5 4,4,65 4,4,5,5, 5,59,5,55,5 s übrwg also dr ous-anl. an,5,5,5 4,4,83 π arcan,83 π,49 4,63 Addon,5 um π, da und nn Punk m drn Quadrann dfnrn bzw. m A,54,63,5-,997 -,5 A,54,63,5-,777 3,9-3 am gl:,5 3 [ 3,9 6,4,5 6,4 ],5,5 A [ A A ] A,5,5,5 [ ] [ ] 6,4,83 4 Man vrglch übrgns nmal d Lösung -,5 [-3,9-3 6,4-,56,4] dr Gl 4,39 m dr Lösung dr GL -,56,4 dr GL 4,39: dr zusäzlch Anl ds ämpfungsfakors sorg für nn zusäzlchn Anl wnn auch shr grng ds Snus n dr Lösung. Außrdm obwohl hr wgn dr Rundungsfhlr nch zu shn s d Frqunz dr frn gdämpfn Schwngung grngfügg klnr als d dr ungdämpfn harmonschn Schwngung. 4

25 s s d Glchung nr gdämpfn Schwngung m Amplud A,5 m - ämpfungskonsan -,5 s Krsfrqunz 6,4 s - Phas,83 s Schwngung soll nun mhlf von od3 gzchn wrdn. W m voranggangnn Bspl soll bnfalls dr Vrlauf dr Lösungskurv graphsch dargsll wrdn. od3 kann w brs rwähn kn ffrnalglchung zwr Ordnung vrarbn. ahr übrführn wr d Glchung w m rsn Bspl n n Sysm von ffrnalglchungn: noch nmal zur Ernnrung: ggbn a a Sz : : ann s a a a a In Marznschrbws: a a hr: bdu ds also m dr Subsuon : : und dam n Marschrbws: also nsgsam d r r s Glchung lgn wr n dglfrosz.m ab: % ffrnalglchung zwr Ordnung: "*gamma*'omga^* % ds s vom Typ A,y*y' f,y, dahr Übrgabparamr und % Rückgabwr: Vkor [, '] 5

26 % Ersllungsdaum: 3..7 % Auor: Gorg Rchr funcon d dglfrosz, ; global omgaquadra; global gamma; % Massmar a a [ ; -omgaquadra -gamma]; d a * ; Hr wurdn zw global Varabl vrnbar: omgaquadra und gamma d n n nmm dn Wr ² und d andr dn Wr dr GL o nggn. s wrdn auch m Haupprogramm bnög, das unr Kap4 Froszod3.m abglg s: % Kap4 Froszod3 % Zws Bspl nr homognn lnarn GL zwr Ordnung % frr gdämpfr Oszllaor Rbungskoffzn unglch Null. % ffrnalglchung s n dglharmonsch mplmnr. % Ersllungsdaum: 3..7 % Auor: Gorg Rchr clar; clc; global omgaquadra; global gamma; dsp'nährungsws Brchnung nr frn gdämpfn Schwngung'; dsp'm od3'; npu'b Sarwr ds AWP ngbn: '; npu'b dazughörgn -Wr ngbn: '; s npu'b Anfangsgschwndgk ngbn: '; npu'an wlchr Sll soll brchn wrdn? '; gamma npu'w lau dr Rbungskoffzn? '; omgaquadra npu'w lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? '; [vk vkapp] od3dgl, [ ], [ s]; l lnghvkapp; fprnf'nährungswr %f\n', vkappl; % Graphsch arsllung - zunächs Srcknzug plovk, vkapp:,, 'r'; hold; plovk, vkapp:,, 'b'; % Vrglch m akr Lösung omgaquadnu omgaquadra - gamma*gamma/4; f omgaquadnu > % Lösung ^dla***omga**omga* omga sqromgaquadnu; dla -gamma/; c *dla*omga*-omga*omga*- s*omga*; c c/-omga*pdla*; c s*omga* - *dla*omga* omga*omga*; c c/-omga*pdla*; vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*omga*vk c*omga*vk; 6

27 vk vk*pdla*vk; nd; nd; plovk, vk, 'g'; fprnf'akr Wr %f\n', vklnghvk; lgnd'nährung ', 'Nährung ''', 'Lösung '; achs lm; yachs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; yachs ylm; achs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; sr 'arsllung und '' von " '; sr '\cdo'' '; sr3 '\cdo '; sr [sr numsrgamma sr numsromgaquadra sr3]; lsr; labl' [s]'; ylabl' [m]'; hold off; Auch hr vrblüff vrmulch d arsllung dr akn Lösungskurv, d grün dargsll wrdn soll. as Problm lg auch hr darn, aufgrund dr ggbnn Anfangsbdngungn d Konsann und dr Lösungsglchung zu rmln. azu d nachfolgndn Ausführungn: Ermlung dr Konsann, von aus dn Anfangsbdngungn und sz : - zwcks Vrmdung von Fhlrn wgn ds Mnuszchns; s dab dr Rbungskoffzn dr GL. In dr Enlung ds Unrfalls Schwach ämpfung wurd auch gsz: ² : ² - ² o Es gl: Wdr rhäl man w m Fall dr frn harmonschn Schwngung n Bspl n lnars Glchungssysm von zw Glchungn m zw Unbkannn: 7

28 s wrd wdr m dr ramrschn Rgl glös. Haupdrmnan lau: Für d Nbndrmnann gl: o ann s s d d Formln, d m Programm umgsz wurdn: omga sqromgaquadra - gamma*gamma/4; dla -gamma/; c *dla*omga*-omga*omga*- s*omga*; c c/-omga*pdla*; c s*omga* - *dla*omga* omga*omga*; c c/-omga*pdla*; vk zros, lnghvk; 8

29 ann wrd dam dr Vrlauf dr akn Lösung dargsll: vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*omga*vk c*omga*vk; vk vk*pdla*vk; nd; plovk, vk, 'g'; En Programmdurchlauf kann dam folgnds Ausshn habn: Nährungsws Brchnung nr frn gdämpfn Schwngung m od3 B Sarwr ds AWP ngbn: B dazughörgn -Wr ngbn: -.5 B Anfangsgschwndgk ngbn: An wlchr Sll soll brchn wrdn? 5 W lau dr Rbungskoffzn? W lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? 4.39 Nährungswr urrn plo hld akr Wr >> und n Graphkfnsr dr folgndn Ar rzugn: Nährungslösung ro s kaum auszumachn s wrd rfolgrch übrdck von dr asächlchn Lösung Indz für d Qualä dr Nährung. Pass man n wng d Skalrung dr Achsn an, kann man noch ng Abwchungn rahnn: >> as[ ] 9

30 >> ann s d Ausgab: Und man sh auch an dr Wdrgab ds lzn Wrs nahzu d Übrnsmmung: Nährungswr akr Wr Unrfall : sark ämpfung > o ann s ² > ², also ² - ² >, d.h. s d d Lösungn von o o k² k ² o, ± k rll. ahr lau d allgmn Lösung o Sz hr. ann s : 3

31 En Zahlnbspl: Wr rhöhn dn Rbungskoffznn auf 4s -, lassn abr sons d Glchung, d wr bshr brach habn, unvrändr, d.h. d.h. an dr Fdr bfnd sch n Mass m 788 g; d Fdrkonsan bräg dann m g,788kg 9,8ms 7,73 kgms 3. 6 Δ,37m,37 m N m, und som 9.8ms m g g 4. 39s m Δ m Δ.37m Also s nsgsam 4 4,39 Anfangswrproblm: s -,5 cm; as charakrssch Polynom lau: bzw. 4.39s 6. 4s. s ms k 4 k 4, k 7 ± 49 4,39 7 ± 7,6 7,76 also ² ² - o ² 49 4,39s, ± k 7,76. 4,4 k 7,76 9,76 am lau d allgmn Lösung: ,4 9,76 Konsann und wrdn mls dr Anfangswrbdngungn rml: 7 7 ann s [ 7 7 ] [ 7 7 ], d.h. s s -,5.,5 [ 7 7 ] 7 7, 5 7,5 7 7, ,5 7, 5-7-,5 ε 7, ,39,5 7,76,5,49,69 und 49 4,39,76 5,5 -,5 -,5,69,64 Also s 7,6 s 3

32 .,69 4,4,64 9,76. s Funkon slln wr nun graphsch dar. as Programm bzgl. od3 brauch nch angpass zu wrdn, wohl abr dr Ersllung dr Wrabll für d ak Lösung. am blb dgloszfr.m unvrändr. Zwar muß n Kap4 Froszod3.m nur d arsllung dr akn Lösung angpass wrdn, doch führ s rfahrungsgmäß mmr zu Vrwrrungn, wnn s hß: man rsz an dr Sll von... dahr nfach noch nmal dr kompl Qullcod: % Kap4 Froszod3 % Zws Bspl nr homognn lnarn GL zwr Ordnung % frr gdämpfr Oszllaor Rbungskoffzn unglch Null. % ffrnalglchung s n dglharmonsch mplmnr. % Ersllungsdaum: 3..7 % rs Erwrung: 4..7 % Auor: Gorg Rchr clar; clc; global omgaquadra; global gamma; dsp'nährungsws Brchnung nr frn gdämpfn Schwngung'; dsp'm od3'; npu'b Sarwr ds AWP ngbn: '; npu'b dazughörgn -Wr ngbn: '; s npu'b Anfangsgschwndgk ngbn: '; npu'an wlchr Sll soll brchn wrdn? '; gamma npu'w lau dr Rbungskoffzn? '; omgaquadra npu'w lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? '; [vk vkapp] od3dgl, [ ], [ s]; l lnghvkapp; fprnf'nährungswr %f\n', vkappl; % Graphsch arsllung - zunächs Srcknzug plovk, vkapp:,, 'r'; hold; plovk, vkapp:,, 'b'; % Vrglch m akr Lösung omgaquadnu omgaquadra - gamma*gamma/4; f omgaquadnu > % Lösung ^dla***omga**omga* omga sqromgaquadnu; dla -gamma/; c *dla*omga*-omga*omga*- s*omga*; c c/-omga*pdla*; c s*omga* - *dla*omga* omga*omga*; c c/-omga*pdla*; vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*omga*vk c*omga*vk; vk vk*pdla*vk; nd; 3

33 lsf absomgaquadnu < ps ls % sark ämpfung: % Lösung *p-gammaalpha* *p-gamma-alpha* alpha sqr- omgaquadnu; gamma gamma/; c *gamma alpha s/*alpha; c c*pgamma - alpha*; c *-gamma alpha - s/*alpha; c c*pgamma - alpha*; vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*p-gamma alpha*vk; vk vk c*p-gamma -alpha*vk; nd; nd; plovk, vk, 'g'; fprnf'akr Wr %f\n', vklnghvk; lgnd'nährung ', 'Nährung ''', 'Lösung '; achs lm; yachs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; yachs ylm; achs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; sr 'arsllung und '' von " '; sr '\cdo'' '; sr3 '\cdo '; sr [sr numsrgamma sr numsromgaquadra sr3]; lsr; labl' [s]'; ylabl' [m]'; hold off; Wdr wurd auch hr für d Zchnung ds Graphn dr akn Lösung dr allgmn Fall für d Ermlung dr Konsann und m mplmnr d sch naürlch von dm Fall dr gdämpfn Schwngung unrschdn. ahr auch hr wdr d allgmn Ermlung dr Konsann, von aus dn Anfangsbdngungn und dab s d ursprünglch GL und ² : ² - ² > o Es gl: ann gl m dn Anfangswrbdngungn: 33

34 Wdr rhaln wr n lnars Glchungssysm m zw Glchungn und zw Unbkannn. Wr lösn s auch dsmal mhlf dr ramrschn Rgl: y Es s >, da >. as Sysm s also ndug lösbar. Man rhäl dam s Formln wurdn also m Programm vrwnd: alpha sqr- omgaquadnu; gamma gamma/; c *gamma alpha s/*alpha; c c*pgamma - alpha*; c *-gamma alpha - s/*alpha; c c*pgamma - alpha*; und dam dann dr Graph n grün dr Lösung gzchn: vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*p-gamma alpha*vk; vk vk c*p-gamma -alpha*vk; nd; ann kann n Programmdurchlauf folgnds Ausshn habn: Nährungsws Brchnung nr frn gdämpfn Schwngung 34

35 m od3 B Sarwr ds AWP ngbn: B dazughörgn -Wr ngbn: -.5 B Anfangsgschwndgk ngbn: An wlchr Sll soll brchn wrdn? 5 W lau dr Rbungskoffzn? 4 W lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? 4.39 Nährungswr. urrn plo hld akr Wr -. Im dazughörgn Graphkfnsr: Schwngung bsh aus nr nzgn Auslnkung, d für langsam ggn Null gh. Man nnn dsn Fall auch dn Krchfall, wl d Amplud nach Errchn hrs Mamums n unsrm Fall ds Mnmums nur shr langsam ggn Null krch. Übrnsmmung zwschn angnährm und asächlchn Wr b 5 nämlch s hr von mäßgm Inrssn n dsm Brch ha sch d Kurv asymposch dr -Achs gnähr. Um asächlch Gnaugksunrschd zu rmln, s hr mhr dr Brch zwschn und von Inrss w allrdngs d obg Graphk zg, falln ds shr grng aus. 35

36 Anmrkung: Für, und o o o v o rhäl man v v v v und und dam v v v v h Unrfall 3: aprodschr Grnzfall o ann ha d Glchung d Gsal bzw. das charakrssch Polynom das Ausshn k² k ² bzw. k ². ann s k - doppl Nullsll. Allrdngs gb s dam auch nur n Lösung, nämlch k - Es wrdn jdoch zw lnar unabhängg Lösungn bnög man dnk daran, dass d mnson ds Lösungsraums glch dr Ordnung dr homognn ffrnalglchung s, also hr glch. En klugr Kopf vrsuch s m k - ann s und y ann s y Also s - auch n Lösung dr GL. 36

37 Es d k - und k rmnan bräg - lnar unabhängg, dnn d Wronsk- W für all. Som gl also für d allgmn Lösung: - -. Zahlnbspl: Wr ändrn dn Rbungskoffznn auf 4, 39 s-, lassn abr sons d Glchung, d wr bshr brach habn, unvrändr, d.h. d.h. an dr Fdr bfnd sch n Mass m 788 g; d Fdrkonsan bräg dann m g,788kg 9,8ms 7,73 kgms 3. 6 Δ,37m,37 m N m, und som 9.8ms m g g 4. 39s m Δ m Δ.37m Also s nsgsam bzw. 4.39s 6. 4s. 4,39 4,39 Anfangswrproblm: s -,5 cm; as charakrssch Polynom lau: s ms k 4,39 k 4,39 ann s 4,39 4,39 4, k 4,39 ± 39 allgmn Lösung lau also 4,39 6,4 ann s Bsmmung von und aus dm Anfangswrproblm,5,5 6,4,, 3 also -,3. am lau d spzll Lösung für das Anfangswrproblm: -,5 -,3-6,4 37

38 sr Fall läss sch bzgl. dr Konrollausgab dr Lösung auch n das brs bshnd Qullprogramm Kap4 Froszod3.m ngrrn. Wr gbn wdr dn kompln od an: % Kap4 Froszod3 % Zws Bspl nr homognn lnarn GL zwr Ordnung % frr gdämpfr Oszllaor Rbungskoffzn unglch Null. % ffrnalglchung s n dglharmonsch mplmnr. % Ersllungsdaum: 3..7 % rs Erwrung: 4..7 % zw Erwrung: 5..7 % Auor: Gorg Rchr clar; clc; global omgaquadra; global gamma; dsp'nährungsws Brchnung nr frn gdämpfn Schwngung'; dsp'm od3'; npu'b Sarwr ds AWP ngbn: '; npu'b dazughörgn -Wr ngbn: '; s npu'b Anfangsgschwndgk ngbn: '; npu'an wlchr Sll soll brchn wrdn? '; gamma npu'w lau dr Rbungskoffzn? '; omgaquadra npu'w lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? '; [vk vkapp] od3dgl, [ ], [ s]; l lnghvkapp; fprnf'nährungswr %f\n', vkappl; % Graphsch arsllung - zunächs Srcknzug plovk, vkapp:,, 'r'; hold; plovk, vkapp:,, 'b'; % Vrglch m akr Lösung omgaquadnu omgaquadra - gamma*gamma/4; f omgaquadnu > % Lösung ^dla***omga**omga* omga sqromgaquadnu; dla -gamma/; c *dla*omga*-omga*omga*- s*omga*; c c/-omga*pdla*; c s*omga* - *dla*omga* omga*omga*; c c/-omga*pdla*; vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*omga*vk c*omga*vk; vk vk*pdla*vk; nd; lsf absomgaquadnu < ps % aprodschr Grnzfall % Lösung: plambda** * lambda - gamma/; c * lambda* - s*/plambda*; c s - lambda*/plambda*; vk zros, lnghvk; for :lnghvk; vk plambda*vk*c c*vk; nd; 38

39 ls % sark ämpfung: % Lösung *p-gammaalpha* *p-gamma-alpha* alpha sqr- omgaquadnu; gamma gamma/; c *gamma alpha s/*alpha; c c*pgamma - alpha*; c *-gamma alpha - s/*alpha; c c*pgamma - alpha*; vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*p-gamma alpha*vk; vk vk c*p-gamma -alpha*vk; nd; nd; plovk, vk, 'g'; fprnf'akr Wr %f\n', vklnghvk; lgnd'nährung ', 'Nährung ''', 'Lösung '; achs lm; yachs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; yachs ylm; achs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; sr 'arsllung und '' von " '; sr '\cdo'' '; sr3 '\cdo '; sr [sr numsrgamma sr numsromgaquadra sr3]; lsr; labl' [s]'; ylabl' [m]'; hold off; Und auch hr wurd wdr dr allgmn Fall ngschlossn, dr d Bsmmung dr Konsann und rgl. Wr ghn dab nach dm brs vorgslln Vrfahrn vor: Ggbn s also d Glchung m dm Anfangswrproblm und. Sz : -. ann s d allgmn Lösung. Und s s ann gl für das Anfangswrproblm und : 39

40 ss lnar Glchungssysm von zw Glchungn m zw Unbkannn wrd glös m dr ramrschn Rgl: ann s s Glchungn wurdn nun n das Programm ngrr: lsf absomgaquadnu < ps % aprodschr Grnzfall % Lösung: plambda** * lambda - gamma/; c * lambda* - s*/plambda*; c s - lambda*/plambda*; Brchnung dr Lösung übrnhmn dann d nachfolgndn Anwsungn: vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*p-gamma alpha*vk; vk vk c*p-gamma -alpha*vk; nd; En Programmdurchlauf kann dam folgnds Ausshn habn: Nährungsws Brchnung nr frn gdämpfn Schwngung m od3 B Sarwr ds AWP ngbn: B dazughörgn -Wr ngbn: -.5 B Anfangsgschwndgk ngbn: An wlchr Sll soll brchn wrdn? 5 W lau dr Rbungskoffzn? *sqr4.39 W lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? 4.39 Nährungswr. urrn plo hld akr Wr -. >> hold; urrn plo hld >> 4

41 ann rgb sch als Schaubld: s Schwngung s w m Krchfall zu nur nr Auslnkung nar, srb abr nach Errchn ds Mamums n unsrm Fall ds Mnmums schnllr dm Nullpunk nggn als m Fall >. o Auch hr zg sch: d Nährung von od3 rff rch gu dn asächlchn Vrlauf dr Kurv. Bspl 3: d rzwungn Schwngung Wrd das obr End dr Fdr nch fs monr, sondrn durch n prodsch wrknd Kraf F a F o auf und abbwg, so wrk auf d Mass m durch d Fdr übrragn n zusäzlch Kraf. Bwgungsglchung hß dahr m b F, wlch m dn Abkürzungn m b m ; ; F K m n d nhomogn ffrnalglchung 4

42 K übrgh, d sch durch d homogn ffrnalglchung dr frn gdämpfn Schwngung durch das orsunabhängg Gld K dr äußrn Kraf unrschd. Abbldung 3 Erzwungn Schwngung Hr gl nun ndlch dr Saz übr d allgmn Lösung nr nhomognn lnarn ffrnalglchung: a H s ab s a : d allgmn Lösung dr nhomognn lnarn ffrnalglchung H : d allgmn Lösung dr dazughörgn homognn ffrnalglchung : n spzll Lösung dr nhomognn lnarn ffrnalglchung s Zahlnbspl: Es s wdr n Fdr dr Fdrkonsan 3.6 Nm - ggbn, an dr n Mass m 788 g bfsg s. Rbungskonsan brag s -. Anfangsbdngung s wdr s -,5 cm und s ms. o Kraf auf dm Eznr brag,788 N und bwg sch m dr Wnklgschwndgk. am läß sch brs rmln: 3,59kgms m 4. 39s m,788kg bzw. s 4.39s

43 ,788 kgms F K ms m,788 kg Also lau d Glchung: 4.39s Unrfall : o Sz 5s -. Aus Bspl s bkann, dass 6,4 6, a s. 4 Es gl, n spzll Lösung dr nhomognn ffrnalglchung zu fndn. azu mach man folgndn Ansaz: A B s ann s s B A B A s Enszn s B A B A A B Koffznnvrglch lfr A B a vorausgsz wurd, dass o, s o² -. am s A und B. allgmn Lösung lau also a 5 4,39 5 6,4 6,4 5 6,39 6,4 6,4 Für d Anfangswrbdngungn gl dann 43

44 s s glchbdund m dm lnarn Glchungssysm das m dr ramrschn Rgl glös wrd: ann s 44

45 m Zahlnbspl: 5,5 6, ,4 6,4 6, ,5 6, ,4 6,4 6,4 6,4 5 6,4 5,5 6,39, am lau d Lösung für das Anfangswrproblm 5 6,39 6,4, 6,4 5, 6,4,6 B dr Vrwndung von od3 muß wdr d ffrnalglchung zwr Ordnung n n Sysm von ffrnalglchungn rsr Ordnung übrführ wrdn. Sz wdr : : ann s d.h. für d ffrnalglchung, cons bzw. cons gl nach dsr Subsuon 45

46 cons s läss sch n Marznschrbws so darslln: cons bzw. f r r r r, M, d m f, r,. cons M, Für dn akulln Spzalfall s übrgns. r s szn wr n dglrzwosz.m um: % ffrnalglchung zwr Ordnung rzwungn Schwngung % "*gamma*'omga^* K*omga* % ds s vom Typ A,y*y' f,y, dahr Übrgabparamr und % Rückgabwr: Vkor [, '] % Ersllungsdaum: 9..7 % Auor: Gorg Rchr funcon d dglrzwosz, ; global omgaquadra; global gamma; global omga; global kons % Massmar a a [ ; -omgaquadra -gamma]; % Sörgld q q [; kons * omga * ]; d q a * ; r Aufruf rfolg m Haupprogramm Kap4_3_Erzwoszod3.m : % Kap4_3_Erzwoszod3 % Bspl nr nhomognn lnarn GL zwr Ordnung % rzwungnr harmonschr Oszllaor % ffrnalglchung s n dglrzwosz.m mplmnr. % Ersllungsdaum: 9..7 % Auor: Gorg Rchr clar; clc; global omgaquadra; global gamma; global omga; global kons; dsp'nährungsws Brchnung nr rzwungnn harmonschn '; dsp'schwngung m od3'; dsp'typ'; dsp'" omgaquadra * omga*'; dsp'engab Paramr ds Anfangswrproblms'; npu'b Sarwr ds AWP ngbn: '; npu'b dazughörgn -Wr ngbn: '; s npu'b Anfangsgschwndgk ngbn: '; npu'an wlchr Sll soll brchn wrdn? '; gamma ; omgaquadra npu'w lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? '; dsp'engab Paramr dr Sörfunkon:'; kons ; omga npu'w lau d Krsfrqunz omga dr Sörfunkon? '; 46

47 [vk vkapp] od3dgl, [ ], [ s]; l lnghvkapp; fprnf'nährungswr %f\n', vkappl; % Graphsch arsllung - zunächs Srcknzug plovk, vkapp:,, 'r'; hold; plovk, vkapp:,, 'b'; % zum Vrglch: Vrlauf dr Lösung % Brchnung dr Konsann, dr Lösung % *omga**omga*kons*omga*; omga sqromgaquadra; f absomgaquadra - omga*omga>ps c *omga*omga* s*omga*/omga; zw omga**omga*; zw zw - omga/omga*omga**omga*; c c - zw/omgaquadra - omga*omga; c *omga*-s/omga*omga*; zw omga/omga*omga**omga*; zw zw omga**omga*; c c - zw/omgaquadra - omga*omga; vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*omga*vk c*omga*vk; zwschn omga*vk/omgaquadra - omga*omga; vk vk zwschn; nd; ls nd; plovk, vk, 'g'; fprnf'akr Wr %f\n', vk lnghvk; lgnd'nährung ', 'Nährung ''', 'Lösung '; achs lm; yachs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; yachs ylm; achs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; sr 'arsllung und '' von " '; sr '\cdo'' '; sr3 '\cdo '; sr4 numsrkons; sr5 '\cdo'; sr6 numsromga; sr7 '\cdo'; sr [sr numsrgamma sr numsromgaquadra sr3 sr4... sr5 sr6 sr7]; lsr; labl' [s]'; ylabl' [m]'; hold off; Auch hr wurd wdr vrglchn m dr asächlchn, um n Id für d Gnaugk von od3 zu bkommn. ahr auch d umfangrchn Formln zur Bsmmung dr Konsann und aus dn Anfangswrbdngungn. 47

48 So kann dr n Programmdurchlauf folgnds Ausshn habn: Nährungsws Brchnung nr rzwungnn harmonschn Schwngung m od3 Typ " omgaquadra * omga* Engab Paramr ds Anfangswrproblms B Sarwr ds AWP ngbn: B dazughörgn -Wr ngbn: -.5 B Anfangsgschwndgk ngbn: An wlchr Sll soll brchn wrdn? 5 W lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? 4.39 Engab Paramr dr Sörfunkon: W lau d Krsfrqunz omga dr Sörfunkon? 5 Nährungswr -.97 urrn plo hld akr Wr -.69 >> Man sh hr nrssanrws brs n Abwchung n dr zwn Nachkommasll. nnoch s für Ersvrsuch od3 mmr zu mpfhln s s nfach das schnlls Vrfahrn. En Ausgab ds Graphn zg das nachfolgnd Fnsr: Man sh hr shr schön d Übrlagrung dr bdn Schwngungn,6,4 und,65. Ewa b,5 rrch d Gsamschwngung n Mamum, b 4,5 n Mnmmum, bvor s sch wdr rnu aufschaukl. 48

49 Man kann m was gum Wlln noch d Abwchung dr numrschn Lösung von dr asächlchn Lösung rknnn. Ewas bssr wrd ds b Ändrung ds Maßsabs schbar: >> as[ ] >> ann wrd das Graphkfnsr w folg angpass: nnoch s d rch gu Nährung von od3 dulch zu shn. Unrfall : o - ann s also 4,6s. Es s noch nmal rnnr, dass 6,4 6, 4 a s. Es gl, n spzll Lösung dr nhomognn ffrnalglchung zu fndn. r al Ansaz: s A B kann nch vrwnd wrdn ds s daran zu rshn, dass n dn Trmn dr Fakor aufr, dr für nch dfnr s. o 49

50 Folgndr Ansaz s dahr zu wähln: A B s o o B A B A s B A B A A B B A A B A B A B s A B A A B B A A A B Enszn s s B A A A A B A A A A A B A B Koffznnvrglch : B B A A Also s s und nsgsam a 4 6, 6,4 6,4 6,4 und a M dn Anfangswrbdngungn gl dann : 5

51 s führ auf das lnar Glchungssysm das wdr m dr ramrschn Rgl glös wrd: 4 [ ] ann s 5

52 und ann s 4 m Zahlnbspl: 4,5 6,4 4 4,39 6,4 6,4 6,4 6,4,5 Also s 6,4 4,39 6,4 6,4 6,4, 5,5 4 6,4 6,4 6,4,5 6,4,8 6, Um auch d Lösung dr ffrnalglchung m od3 brchnn zu könnn, d an dm brs vorgslln Programm nch sondrlch vl Anpassungn vorzunhmn. dglrzwosz.m, das ja für od3 d ffrnalglchung n Marznschrbws nggnnmm, blb völlg unvrändr. Angpass muss ldglch jnr Par m Haupprogramm Kap4_3_Erzwoszod3, dr d asächlch Lösung ausgb. r Vollsändgk wgn gbn wr das kompl Programm an: % Kap4_3_Erzwoszod3 % Bspl nr nhomognn lnarn GL zwr Ordnung % rzwungnr harmonschr Oszllaor % ffrnalglchung s n dglrzwosz.m mplmnr. % Ersllungsdaum: 9..7 % Erwrung:..7 % Auor: Gorg Rchr clar; clc; global omgaquadra; global gamma; global omga; global kons; 5

53 dsp'nährungsws Brchnung nr rzwungnn harmonschn '; dsp'schwngung m od3'; dsp'typ'; dsp'" omgaquadra * omga*'; dsp'engab Paramr ds Anfangswrproblms'; npu'b Sarwr ds AWP ngbn: '; npu'b dazughörgn -Wr ngbn: '; s npu'b Anfangsgschwndgk ngbn: '; npu'an wlchr Sll soll brchn wrdn? '; gamma ; omgaquadra npu'w lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? '; dsp'engab Paramr dr Sörfunkon:'; kons ; omga npu'w lau d Krsfrqunz omga dr Sörfunkon? '; [vk vkapp] od3dgl, [ ], [ s]; l lnghvkapp; fprnf'nährungswr %f\n', vkappl; % Graphsch arsllung - zunächs Srcknzug plovk, vkapp:,, 'r'; hold; plovk, vkapp:,, 'b'; % zum Vrglch: Vrlauf dr Lösung % Brchnung dr Konsann, dr Lösung % *omga**omga*kons*omga*; omga sqromgaquadra; vk zros, lnghvk; f absomgaquadra - omga*omga>ps c *omga*omga* s*omga*/omga; zw omga**omga*; zw zw - omga/omga*omga**omga*; c c - zw/omgaquadra - omga*omga; c *omga*-s/omga*omga*; zw omga/omga*omga**omga*; zw zw omga**omga*; c c - zw/omgaquadra - omga*omga; for :lnghvk vk c*omga*vk c*omga*vk; zwschn omga*vk/omgaquadra - omga*omga; vk vk zwschn; nd; ls c *omga* s/omga*omga*; c c - *omga*/4*omgaquadra; c c - /*omga; c *omga* - s/omga*omga*; c c - omga*^/*omgaquadra; for :lnghvk vk c*omga*vk c*omga*vk; vk vk vk*omga*vk/*omga; nd; nd; plovk, vk, 'g'; fprnf'akr Wr %f\n', vk lnghvk; lgnd'nährung ', 'Nährung ''', 'Lösung '; achs lm; yachs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; 53

54 yachs ylm; achs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; sr 'arsllung und '' von " '; sr '\cdo'' '; sr3 '\cdo '; sr4 numsrkons; sr5 '\cdo'; sr6 numsromga; sr7 '\cdo'; sr [sr numsrgamma sr numsromgaquadra sr3 sr4... sr5 sr6 sr7]; lsr; labl' [s]'; ylabl' [m]'; hold off; En Programmdurchlauf dr Ar Nährungsws Brchnung nr rzwungnn harmonschn Schwngung m od3 Typ " omgaquadra * omga* Engab Paramr ds Anfangswrproblms B Sarwr ds AWP ngbn: B dazughörgn -Wr ngbn: -.5 B Anfangsgschwndgk ngbn: An wlchr Sll soll brchn wrdn? 5 W lau das Quadra dr Krsfrqunz omga? 4.39 Engab Paramr dr Sörfunkon: W lau d Krsfrqunz omga dr Sörfunkon? sqr4.39 Nährungswr.87 urrn plo hld akr Wr.884 >> zg auch hr nn bmrknswr gun Nährungswr,87 ggnübr dm asächlchn Wr,884. as nachfolgnd Graphkfnsr läss rknnn, dass shr wohl Abwchungn vorhandn d ds s dr Fall, wnn d ro markr Kurv dr Nährungslösung ggnübr dr nachräglch grün darübr gzchnn Kurv dr Lösung wdr durchschn. 54

55 Abwchungn dr numrschn von dr asächlchn Lösung d zu shn, abr falln wng ns Gwch. ulchr zu shn s hr, dass sch d Schwngung aufschaukl, dass s n n sog. Rsonanzkaasroph führ. Nch nur rchnrsch, sondrn auch physkalsch s n Sondrfall, dr allrdngs n dr Ralä durchaus aufrn kann. o s gal n dsm Bspl nur für dn Fall, dass dr Rbungskoffzn s. B mchanschn Schwngungn allrdngs s ds nch bzw. shr sln dr Fall, auch wnn r möglchrws shr dch an Null hrankomm. ann kann s rchnrsch! nch zur Rsonanzkaasroph b dr rzwungnn Schwngung m Sörfunkon odr kommn: das charakrssch Polynom von, also k² k o ², kann dann nch d Nullsll ± habn. Andrs vrhäl s sch, wnn d Sörfunkon von dr Form s Kons ha dann d Nullsll ds charakrsschn Polynoms d Form ±, r wgn ds zu machndn Ansazs A B s 55

56 auch hr d Rsonanz-kaasroph n Erschnung. hr vorgslln Bspl wurdn all nährungsws m od3 brchn. as Vrfahrn od45 s m Allgmnn gnaur, wnn auch langsamr. Es s jdoch kn großr Aufwand, d Programm drar zu modfzrn, dass sa od3 od45 aufgrufn wrd: sa [vk vkapp] od3dgl, [ ], [ s]; wrd d Anwsung [vk vkapp] od45dgl, [ ], [ s]; ggbn Achung: d Vrfahrn arbn m unrschdlchr Schrw! vk ha also n andr Läng als vk!. nochmalg Auflsung dr Programm m bn dsr Ändrung s nun doch nch nowndg. Man ha dam n Möglchk, d Ergbnss zu vrglchn und som auf hr Gnaugk zu schlßn. nachfolgnd Tabll ls d Ergbnss dr brs vorgslln Bspl auf und rgänz s um d m od45 gwonnnn: Vrglch Brchnungsvrfahrn lnar ffrnalglchung. Ordnung: Anfangswrproblm: -,55; ' Brchnung an dr Sll 5 wnn nch andrs vrmrk: GL od3 od45 ak '' m 4,39 -,3588 -, ,3653 '' ' m und ,339 -,3438 -,345 m 4 und 4.39,,, wng aussagkräfg, dahr Wdrholung m dnslbn Paramrn an dr Sll,5: -,35 -,36 -,36 m,86 und 4.39 an dr Sll,5 -,845 -,845 -,845 '' 'o m, o 4.39 und -, ,7877 -,785 m, o 4.39 und 6,4,87,9388,884 56

57 Man sh was man gnlch rwar ha, dass od45 n wnzg Klngk gnaur s. as umm s nur, dass wr hr m dr akn Lösung vrglchn könnn, wl wr s ja knnn. In vln Fälln s ds jdoch nch dr Fall. ann bsh d nzg Möglchk darn, d Nährungswr zu vrglchn, d durch unrschdlch Vrfahrn gwonnn wurdn. Und brng ms d lapdar Erknnns m sch, nur dn Nachkommaslln zu vrraun, d b alln Ergbnssn glch d. Bspl 4: das mahmasch Fadnpndl En Fadn s an nm End bfsg, am andrn End bfnd sch n Mass m. Läng ds Fadns brag L. Mass wrd n Bwgung vrsz; s bwg sch als Pndl hn und hrschwngnd. Abbldung 4 Fadnpndl ss Pndl nnn sch mahmaschs Fadnpndl, wl d Mass ds Fadns vrnachlässg wrd. Bwgungsglchung rhäl man wdr aus dm Bwgungsgsz Kraf Mass Bschlungung. r r r r r Gwchskraf F m g wrd n zw Komponnn zrlg: F F r F : En radal Komponn F r r, d m gspannn Fadn n glchgroß Ggnkraf hrvorruf und dshalb nchs zur Bschlungung bräg. r F F r r r En angnal Komponn, für d gl: r, also F F m g. s F Kraf s ngav, da s dm Wnkl nggngsz s. Also angnal Bschlungung a g. dr zurückglg Wg s ds Pndls s s L d Momnangschwndgk zum Zpunk : v L F m g. am s d 57

58 d Momnanbschlungung zum Zpunk : a L a d Tangnalbschlungung a d nzg Bschlungung s, d d Pndlbwgung hrvorruf, gl: a a L g L g s s d Glchung ds mahmaschn Pndls. W zu shn, s ds kn lnar ffrnalglchung. Für kln Wnkl gl, was dann wdr d bkann ffrnalglchung dr frn harmonschn Schwngung rgb: L g abr für groß Auslnkungn also groß Wnkl s ds nch korrk. ann muß m dr ffrnalglchung L g grchn wrdn. och w? s läss sch noch mls Subsuon y n n ffrnalglchung rsr Ordnung übrführn sh unn 5 ; falls doch noch d Rbung m hnzugnommn wrd, d proporonal zur Gschwndgk s, auch n dr GL auch noch dr Summand auf und dann gh gar nchs mhr. Also kann nur noch n numrsch Nährung wrhlfn. a n dsm Fall d Lösung völlg unbkann s, wrd d Rchnung nmal m od3 und nmal m od45 durchgführ. 5 g d Man mach für dn Ansaz: p :. ann s nach dr Knrgl: p, L d dp d dp dp p. ffrnalglchung ha dam das Ausshn: d d d d also dp g p d L Glchung g. Nach Trnnung dr Varabln p dp d. Ingraon lfr dann d L g g d g dp und dann p bzw. p ±. L L L p d g Wgn p gl jz: ±. Ernu Trnnung dr Varabln führ zu d L d d d. M Ingralsymbol: g ± d. as lnk Ingral kann g ± L L gschlossn nch dargsll wrdn s ghör zur Grupp dr llpschn Ingral. s d msns nur angnähr mls Rhnnwcklung brchnbar. 58

59 So lgn wr n dglfadn.m d ffrnalglchung % nch-lnar ffrnalglchung zwr Ordnung % rpräsnr mahmaschs Pndl % Rückgabwr: Vkor [, '] % Ersllungsdaum:..7 % Auor: Gorg Rchr funcon dph dglfadn, ph; global L; %Läng ds Fadns g 9.8; dph zros, ; dph ph; dph -g/l*ph; g L ab: W zu rshn, s hr kn Lnarä mhr vorhandn; dahr fnd auch kn Marznmulplkaon sa w b dn lnarn ffrnalglchungn. as Sysm dr ffrnalglchungn lau: : : ann s g. L Nach Handhabung von MATLAB s dr Engangsvkor ph drjng für d Unbkannn ds Glchungssysms, d.h. ph. Rückgabwr s dr Vkor dph, für dn gl: dph g L. s s obn umgsz. as Haupprogramm Kap4_4_Fadnpndl.m ha dann das Ausshn: % Kap4_4_Fadnpndl % Bspl für nch-lnar ffrnalglchung zwr Ordnung % ffrnalglchung s n dglfadn mplmnr % Nährungslösung m od3 und od45 % Ersllungsdaum:..7 % Auor: Gorg Rchr clar; clc; dsp'aufzchnung dr Schwngung ns mahmaschn Pndls'; global L; L ; npu'b Sarwr ds AWP ngbn: '; ph npu'b dazughörgn Wnkl ph n Bognmaß ngbn: '; phs npu'b Anfangsgschwndgk ngbn: '; npu'an wlchr Sll soll brchn wrdn? '; [vk vkapp] od3dgl, [ ], [ph phs]; [vk vkapp] od45dgl, [ ], [ph phs]; 59

60 fprnf'nährungswr od3 ph %f\n', vkapplnghvkapp; fprnf'nährungswr od45 ph %f\n', vkapplnghvkapp; % Graphsch arsllung - zunächs Srcknzug plovk, vkapp:,, 'r'; hold; plovk, vkapp:,, 'b'; lgnd'nährung od3 ', 'Nährung od45 '; achs lm; yachs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; yachs ylm; achs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; sr 'arsllung \ph von \ph" '; sr '\cdo\ph '; sr [sr numsr9.8/l sr]; lsr; labl' [s]'; ylabl'\ph [Bognmaß]'; hold off; Hr gbn wr nur d Lösung aus, nch drn rs Ablung. So kann n Programmdurchlauf folgnds Ausshn habn: Aufzchnung dr Schwngung ns mahmaschn Pndls B Sarwr ds AWP ngbn: B dazughörgn Wnkl ph n Bognmaß ngbn: B Anfangsgschwndgk ngbn: 6 An wlchr Sll soll brchn wrdn? 5 Nährungswr od3 ph Nährungswr od45 ph.6937 urrn plo hld >> Und da ha man d Qual dr Wahl. Zumnds schn d rs Nachkommasll ngrmaßn zuvrlässg zu, wswgn 5,6 n glaubhafr Nährungswr s. 6

61 Auch das Graphkfnsr zg vl Übrnsmmung. ffrnalglchungn höhrr Ordnung: Wr bschränkn uns wl noch übrschaubar auf lnar ffrnalglchungn n-r Ordnung. Noch nmal zur Ernnrung: En ffrnalglchung dr Form n a n- n- a a a q hß lnar ffrnalglchung n-r Ordnung. Snd zusäzlch d Bdngungn ' ' ' 3 3 M n n ggbn, lg n Anfangswrproblm vor nach dm Esnz- und Endugkssaz wß man, dass s dazu gnau n Lösung gb. 6

62 Um ds ffrnalglchung n MATLAB barbn zu könnn, muss s n n Sysm von ffrnalglchungn rsr Ordnung übrführ wrdn. Man bdn sch dab folgndr Subsuon: : : : 3 M : n n n ann s nämlch n n a a a a q n n K 3 a a a a q n n K s Glchungn lassn sch n Marznschrbws w folg darslln: a a a q n n n M M L M O M M L L M En Zahlnbspl: arsllung ds Anfangswrproblms ; s s n lnar ffrnalglchung drr Ordnung m konsann Koffznn. s ha dn Vorl, dass wr hr sogar d Lösung ausrchnn! könnn. Machn wr auch zunächs. I allgmn Lösung dr homognn Glchung as dazughörg charakrssch Polynom lau: 8k³ 3k² 3k 6 - rä man. ann lfr das Hornr-Schma: En Nullsll k 6

63 Also 8k³ 3k² 3k 6 k 8k² 4k 3 8k² 4k 3 :8 k k k k 7 3 k ± ± ,3 ± ,5,5 am lau d allgmn Lösung dr homognn Glchung: - -,5 -,5 H II Ansaz für n spzll Lösung dr nhomognn Glchung: A B. s ann s s B s s Enszn lfr s B 6 3 B 6 A 6 B s s A B Koffznnvrglch lfr d bdn Glchungn 3 B 6 A 6 B s B 6 Aus dr lzn Glchung folg:. s n d rs ngsz: 63

64 A 6 A A A :6 37 A 36 Also lau d spzll Lösung: s Insgsam s d allgmn Lösung dr ffrnalglchung a H s,5 3, III Bsmmung von und aus dm Anfangswrproblm: Es s,5 3, ,5,5,5,5 3,5 4,65, 53 Für s dann o ,5, ,65, 5 6 s s glchbdund m , Lösung ds Glchungssysms m dm Gaußschn Algorhmus: M M M. Z. Z.. Z Z 3. Z 4. Z M M M. Z.. Z Z. 3. Z M M M

65 : Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z M M M M M M : M M M M M M M M M Z Z Z Z Z, -,. Also s 3 Lösung für das Anfangswrproblm lau also ,5,5 Für MATLAB wrd d Glchung umgform n M dr Subsuon : : : 3 rgb sch und ds wdrum n Marznschrbws s Marzn wrdn n dgllnar3.m w folg mplmnr: % dgllnar3 % Bspl für n lnar ffrnalglchung drr Ordnung % Ersllungsdaum

66 % Auor: Gorg Rchr funcon d dgllnar3, ; a [ ; ; -6/8-3/8-3/8]; q [; ; - /8]; d q a*; Im Haupprogramm wrdn sowohl d Brchnung m od3, od45 vorgnommn als auch d Lösung dr ffrnalglchung als Vrglch dazu gzchn: % Kap4_4_GL3 % Bspl für n AWP nr lnarn GL drr Ordnung % ffrnalglchung s n dgllnar3 mplmnr % Ersllungsdaum 5..7 % Auor Gorg Rchr clar; clc; dsp'arsllung dr ffrnalglchung'; dsp'8*33*"3*''6*-'; ; 5; 3 /36; s -4 - /; s 8 7/6; [vk vkapp] od3dgl, [ ], [ s s]; [vk vkapp] od45dgl, [ ], [ s s]; fprnf'nährungswr od3 %f\n', vkapplnghvkapp; fprnf'nährungswr od45 %f\n', vkapplnghvkapp; % Graphsch arsllung - zunächs Srcknzug plovk, vkapp:,, 'b'; hold; plovk, vkapp:,, 'r'; % Graphsch arsllung - Lösung c ; c -; c3 ; vk zros, lnghvk; for :lnghvk vk c*p-*vk c*p-.5*vk; vk vk c3*p-.5*vk 37/36 - vk/6; nd; plovk, vk, 'g'; fprnf'akr Wr %f\n', vk lnghvk; lgnd'od3', 'od45', 'Lösung'; achs lm; yachs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; yachs ylm; achs [ ]; ploachs, yachs, 'k'; sr 'arsllung 8\cdo^{3}3\cdo"3\cdo''6\cdo'; sr '-'; l[sr sr]; labl''; ylabl''; 66

67 So sh dann n urchlauf aus: arsllung dr ffrnalglchung 8*33*"3*'6*- Nährungswr od Nährungswr od urrn plo hld akr Wr >> Zu rknnn s rnu d Gü ds Vrfahrns od45 rrch mmrhn n Abwchung von nur, -6. Ensprchnd s d graphsch arsllung: B nr blbgn ffrnalglchung n-r Ordnung d m Allgmnn nch lösbar s, knn man nch d asächlch Lösung. ann hlf ldglch dr Vrglch dr Nährungswr, d m vrschdnn numrschn Vrfahrn gwonnn wurdn. 67