Vektoren. Zur Charakterisierung der Bewegung eines Körpers benötigt man auch die Information über die Richtung der Bewegung

Transkript

1 4 3D-Kinmatik

2 Vkton Zu Chaaktisiun d Bwun ins Köps bnötit man auch di Infomation üb di Richtun d Bwun

3 Richtun d Bwun Vkton 3

4 4 Gschwindikits-Fld Jdm Punkt im Raum wid in Gschwindikitskto uodnt: ),,, ( ),,, ( ),,, ( t),, (, t t t t),, (,

5 Stat Vkton Abstand Stat-Zil.77 Blocks ( Blocks)² (4 Blocks)².77 blocks blocks south Zil 4 blocks wst 5

6 Skala und ktoill Gößn Skala: Phsikalisch Gößn ohn Richtunsabhänikit Tmpatu, Duck, Eni, Mass, Zit Vkton: Phsikalisch Gößn mit Richtunsabhänikit Tanslation, Gschwindikit, Bschluniun a b c a b a b b a Vktosumm Kommutatist a b c a b c Assoiatist c c a b a b Vktosubstaktion 6

7 Vktoaddition aphisch Vkton könnn in blibi Rihnfol usammnstt wdn 7

8 Vktoaddition aphisch Vkton könnn in blibi Rihnfol usammnstt wdn b a a b b a a b b a b a Kommutatist 8

9 Vktoaddition aphisch a b c a b a b ( ) c ( a b ) c a ( b c) Assoiatist a b c b c a b c ( ) 9

10 Vktosubstaktion aphisch A - A B A B - B A C A C A - B A - B A - B (- B)

11 α A A C Vktokomponntn analtisch A A A A A A A A A Acosα Bta ds Vktos A A Asinα A α tan - A -Komponnt -Komponnt C γ α A C A β A B B B C C C A A γ tan C B B C C C Acosα Bcosβ Asinα Bsinβ Bta ds Vktos analo Vktosubstaktion

12 Einhitskton Einhitskton sind Vkton di in in bstimmt Richtun in und di Län EINS habn Vkto stt sich usammn aus Lännanab und Richtun,, a b Zil om Zntum aus chnt a a a b b b ( km) in Richtun Wst 3 ( km) in Richtun Nod

13 3 Tanslation ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ O P P

14 Gschwindikitskto Mittl Gschwindikit a a a Δ Δt Δ Δ Δt Δ Δt Δ Δt Δ Δ Δt Momntan Gschwindikit d dt d dt d dt ( ) d dt d dt Di Richtun ds Vktos d momntann Gschwindikit ist di Tannt am Ot ds Tilchns 4

15 5 Bschluniunkto t t a a Δ Δ Δ Mittl Bschluniun ( ) dt d a dt d a dt d a a a a a dt d dt d dt d a dt d a dt d a,, Momntan Bschluniun Di Richtun ds Vktos d momntann Bschluniun it nicht in Richtun d Bahn, sondn di Richtun d sultindn Bschluniun

16 Di Tou ds Mistkäfs Paastiopus amaticps Auch Amisn könnn ähln - und wa nicht nu bis di. In inm Epimnt stllt sich haus, dass Wüstnamisn sich anhand ih Schittahl ointin. Fosch fandn das haus, indm si dn Tin di Bin läntn od kütn.. Juni 6 6

17 Untschidlich Sichtwisn Situation Auf dm Wan Bobacht auf dm Wan wift Ball nu in di Höh Situation Auf dm Edbodn Pson außhalb bobachtt, dass sich d Ball nicht nu nach obn, sondn auch u Sit bwt W hat cht?...od hat in uncht? 7

18 Suppositionspinip.s.s.s Gschwindikits- Komponntn.3s.4s.5s Bwunn ndlan snkcht Richtunn sind unabhäni oninand Schwkaft wikt nu ntlan d tikaln Achs 8

19 Skatboad Gschwindikitskomponnt in Gadausichtun blibt haltn! 9

20 Wi hoch flit in Fuwksköp? Anwndun ds Suppositionspinips Luftibun wid hi nachlässit 7 m/s Θ 75 5 m Hoiontal Bwun a t

21 Wi hoch flit in Fuwksköp? Vtikal Bwun ds Köps a m/s² mittl Gschwindikit Ebnis aus d-kinmatik t momntan Gschwindikit at 7 m/s Θ 75 5 m t t t t t Höh d Flubahn als Funktion d Zit

22 Wi hoch flit in Fuwksköp? Vtikal Bwun a m/s² t ( ) t t ( ) 7 m/s Θ 75 5 m ( )( ) ( ) ( ) ( ) Gschwindikit ds Köps als Funktion d Höh

23 Wi hoch flit in Fuwksköp? Höchst Punkt d Flubahn: ( ) Θ 7 m/s Θ 75 5 m sin Θ ( 7 m/s)( sin75 ) 67.6 m/s ( 67.6 m/s) ( 9.8 m/s² ) 3.9 m Schitlpunkt hänt nu on d tikaln Komponnt d Gschwindikit ab 3

24 Waacht Wuf Anals nach dn Komponntn ds Gschwindikitsktos cos Θ Θ sin Θ Hoiontal Bwun t - ( cosθ)t cos Θ Vtikal Bwun - t t² t - ( sin Θ) t ² 4

25 Ca Pakt m A 38 6 s hoiontal Gschwindikit A38 Aufschlaschwindikit t 6 m 98 s m s -47 ohn Ribun m s Fallit 5 s tikal Gschwindikit t m s s m km s h Θ A38 5

26 Wufwit sucht: Glichun unabhäni on Fludau cos Θ sin Θ Hoiontal Bwun t cosθ - ( cos )t Θ such itunabhäni Glichun - t cosθ Zit duch Ot und Gschwindikit stn Vtikal Bwun - t t² - ( sin Θ) t t² sin Θ cos cos Θ Θ Fi Wahl ds Koodinantnsstms sin Θ cosθ, cos Θ ( tanθ) ( cosθ) ² Fluhöh als Funktion d -Koodinat 6

27 Wufpaabl ( tanθ) ( cosθ) allmin Fom d Glichun ² Abschusswinkl Θ konstant Gaitationsbschluniun konstant Anfansschwindikit konstant ( tanθ) ( cosθ) a b ² Bahnku ist Paabl! f() a b 7

28 Foschspun 8

29 ma Maimal Wit Bdinun fü dn Aufschlaot ( ma ) ( cosθ)t tma ( sin Θ) tma tma ma ma ( sin Θ) cos cos Θ Θ sin Θ ma - sin Θ Θ cosθ cos Θ cos ma itunabhäni Glichun un ma cosθ ilt nu, wnn ()( ma ) Tionomti sin ΘcosΘ sin Θ ma sin Θ ma maimal wnn sinθ, d.h. Θ45 sin ΘcosΘ Wüf mit inm Abschusswinkl on 45 Gad hn stts am wiststn 9

30 Aistotls: a) ad anstind Lini b) kümmts Kunstück c) snkcht Fall Vostllun ülti bis ins 6. Jahhundt Usach d Bwun Ein lbndi Kaft (is ia) tibt dn Köp an, di dann lischt, sodass d Köp in in Ku u Bodn fällt. Paadimnwchsl bi Galili: Annahm idalisit Bdinunn, d.h. Vnachlässiun ds Luftwidstands Riius 547 3

31 Stoboskopaufnahm ins aufpallndn Balls E.J. Ma Ball Ball bondissant, étud d tajctoi (886) Zit Zit Waum kann man hi di Zitichtun nicht umdhn? Di Antwot auf dis Fa ibt st di Thmodnamik (Entopi) 3

32 Hom Run 3

33 Hom Run 33

34 Wufwit Vulkan Anal Costa Rica Ltt Ausbuch 968 D Anal auf Costa Rica ist in d wltwit aktistn Vulkan. Rlmäßi flißt Laa an dn Hänn u Tal und imm wid wift lühnd Gstinsbockn mit bis u 7,5 m Duchmss 3 Mt in dn Himml. 34

35 35 Wufwit bchnt mit Vkton Anfansbdinunn Bwun in d - Ebn, ) (t, ) ( a h t ² ) ( t t h t t ² ) ( ) ( ) ( t t h t t t t t Einln Komponntn h ) ( h ² ) ( h Θ Winkl taucht nicht mh auf, da hi Bhandlun mit dn Vktokomponntn Wufhöh als Funktion d Entfnun om Abschußot ) ( t nach t auflöst

36 36 Wufwit bchnt mit Vkton h ² ) ( h ) ( t d d das habn wi schon mal bchnt Schitlpunkt chaaktisit duch Θ Θ Θ sin sin cos Schitl Schitl Schitl Schitl Θ d d d d d d h d d d d ) ( ² ) (

37 37 Wufwit bchnt mit Vkton h ² ) ( h Wufwit ) ( Θ ± s ma ma ma ma ma sin h h h h s a ac b b c b a 4 ² ² ± Θ sin Schitl Schitlpunkt Θ

38 Lt`s Jump at 66 mph 7 mils mils km m h h h mil km 36s m 3 s!!! Fahbahn ist flach!!! 5 m 5m.5s m 3 s t t² 9.8 (.5 s). m m s² Rsultat: Bus kacht in di Fahbahn 38

39 Lt`s Jump at 66 mph α Bus lässt di Staß mit inm Winkl on (Usach unbkannt) Flubahn annähnd paalll u Fahbahn (nicht das, was wi lnt habn) ma ma m 3 s m 9.8 s² sin sin Θ ( ) 59m u wit und damit uil ds utn Landun knapp hint Baulück Optimal Winkl Θ sin opt

40 Spotnün auf dm Mond ma sin Θ Ed : 6 : Ed Mond ma sin Θ Mond 4

41 Nwtons Gdanknspil Annahm bislan ma << Edadius - maimal Wit wid stak ößt - Ed dht sich unt dm Pojktil w - Vkto ändt sin Richtun - Obit bi nünd hoh Gschwindikit - unndlich Fallsit Es wid Zit, dass wi uns auch um Käft kümmn Nwtons Oiinalichnun 4

42 Kni! 4

43 Kni! Abhänikit om Winkl /-.5 Wufhöh () ( tanθ) ( cosθ) ² Lattntff mit Θ m.44 m,88 6 m,8,7,64 Θ, 5 Tpisch Ballschwindikit m/s Fluhöh (m),56,48,4,3,4,6,8 Θ, 65 Θ m, Fluwit (m) 6 m 43

44 Kni! Abhänikit om Winkl /-.5 Wufhöh () ( tanθ) ( cos Θ) ².44 m Lattntff mit Θ. 65,88,8,7,64 Fussball Θ, 5 6 m Tpisch Ballschwindikit m/s Fluhöh (m),56,48,4,3 Tolatt Θ, 65 Gan schön schwii di Latt übhaupt u tffn!,4,6,8 Θ. 5, Fluwit (m) 44

45 Kni! 45

46 Zusammnfassun Ein phsikalisch Göß, bi d nu di Gößnodnun (Bta) wichti ist wid duch inn Skala bschibn (Tmpatu). Si sind knnichnt duch in Zahl und in Einhit, :B. C. Ein phsikalisch Göß, bi d sowohl di Gößnodnun (Bta) als auch di Richtun anbn wdn muss, wid duch inn Vkto bschibn,.b. 3 m Nodost. Fü Vkton ltn di Rln d Vktoalba. Vkton könnn addit wdn, indm man di Komponntn ntlan d wähltn Achsn addit. cosθ sin Θ, tan Θ Einhitskton habn di Län und in in Richtun d positin Achsn (,, ) ins chtshändin Koodinatnsstms. Ein Vkto kann damit duch sin Vktokomponntn und sin Skalakomponntn bschibn wdn. a a a a Wufbwunn: Bwunn on Köpn in d Näh d Edobfläch könnn als wi unabhäni oninand ablaufnd Bwunn bschibn wdn (Suppositionspinip). Di hoiontal Komponnt ntspicht in konstantn Gschwindikit, wähnd di tikal Komponnt knnichnt ist duch in konstant Bschluniun, di duch di Gaitation usacht wid. Bi d Anals wid d Luftwidstand nachlässit. 46

47 Suppositionspinip.s.s.s unabhäni Gschwindikits- Komponntn - ( cosθ)t.3s.4s () h tanθ ( cosθ) ².5s ad Wuf - t ( sin Θ) t ² ma ad Wuf sin Θ 47