Stochastische Simulation in der Lebensversicherung

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1 Stochastische Simulation in der Lebensversicherung Monte-Carlo Methoden und deren Anwendung in Versicherungen Reinhold Kainhofer, FG Finanz- und Versicherungsmathematik Institut für Wirtschaftsmathematik Technische Universität Wien ÖFdV-Seminar, Wien 10. Dezember 2009

2 Übersicht 1 Monte-Carlo Methoden zur Integration (Erwartungswerte): Bewertung der Anlagen; Versicherungen mit stochastischem Zins Was ist Monte Carlo? Versicherungen mit stochastischem Zins Bepreisung als numerische Integration Von klassischer numerischer Integration zu Monte-Carlo Methoden Konvergenz Beispiel: Trapezregel vs. Monte Carlo Konfidenzintervall für Monte Carlo Schätzer Pfadsimulation Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Beispiel: Asiatische Option im Black-Scholes Modell 2 Simulation von Verteilungen 3 Monte-Carlo Methoden zur Simulation von Verteilungen: Risikoanalyse von Sterblichkeitsmodellen

3 Was ist Monte Carlo? Was ist Monte Carlo? Verfahren zur numerischen Integration = Berechnung von Erwartungswerten effektiv für hochdimensionale Integrale, klassische Verfahren versagen zufällige Samples werden erzeugt, Erwartungswert aufgrund des ZGW durch arithmetisches Mittel Stochastische Fehlerschranke: Konfidenzintervall für exakten Wert Auch in der Versicherungsmathematik taucht numerische Integration (als Erwartungswert) in vielen Situation auf. Andererseits kann mit Monte Carlo auch die gesamte Verteilung simuliert und von der resultierenden empirischen Verteilung ausgehend weiter gerechnet werden.

4 Versicherungen mit stochastischem Zins Netto-Einmalprämien mit stochastischem Zins Beispiel (Leibrente mit stochastischem Zins) Lebenslänglichen Leibrente an x-jährige Person. Zins nicht deterministisch, sondern durch stoch. Zinsintensitätsprozess (r t) t (Spot-Rate) und stoch. Diskontierungsfaktor v(n) = exp ` R n 0 rτ dτ (ZV!) gegeben. Der Barwert (als Zufallsvariable) dieser Leibrente beträgt: Y x = X 1 Tx nv(n)c n n=0 Die Netto-Einmalprämie ist der Erwartungswert (bezüglich der zukünftigen Lebensdauer T x und der Zinsentwicklung!): ä x = E Tx rt [Y x] = X np xe[v(n)]c n n=0 Annahme: Zins und Sterblichkeit unabhängig Berechnung: (1) Zinsmodell (Zinskurve!), z.b. durch SDE, geeignet kalibriert und (2) numerische Methode zur Bestimmung von E[v(n)]. Letzteres ist Ziel dieses Vortrags.

5 Bepreisung als numerische Integration Das Bepreisungsproblem in der Finanzmathematik Theorem Auf einem Finanzmarkt (gegeben durch einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum Ω, A, P, (F t) t 0 sei ein Wertpapier (Aktie, Anleihe, Fond) mit Kurs X t zur Zeit t und ein Referenzwertpaper B t gegeben. Dann ist der Preis des Zahlungsstromes zum Zeitpunkt s t gegeben durch h i V s(x ) = E Q Xt F s, wobei Q ein zu P äquivalentes Maß ist, unter dem der diskontierte Wertpapierkurs e X t = X t/b t ein Martingal ist (d.h. insbesondere E[ e X t F s] = e X s], sonst ist risikoloser Gewinn möglich).

6 Von klassischer numerischer Integration zu Monte-Carlo Methoden Klassische numerische Integration und Curse of dimensionality Ziel: Numerische Lösung mittel-dimensionale (5-400 Dimensionen) Integrationsprobleme Klassische Trapezregel, herkömmliche numerische Verfahren: Z [0,1] s f (u)du mx mx w n1 w ns f n 1 =0 n s =0 n1 m,..., ns m mit geeigneten Gewichten w k. Benötigte Zahl an Stützstellen: N = (m + 1) s Fehlerordnung: O(m 1 ) = O(N 2/s ) (Curse of dimensionality) = Zahl der Stützstellen steigt exponentiell mit s! Idee: Einheitsintervall [0, 1] s (bzw. Integrationsbereich A) wird von Stützstellen gut ausgefüllt

7 Von klassischer numerischer Integration zu Monte-Carlo Methoden Klassische numerische Integration und Curse of dimensionality Ziel: Numerische Lösung mittel-dimensionale (5-400 Dimensionen) Integrationsprobleme Klassische Trapezregel, herkömmliche numerische Verfahren: Z [0,1] s f (u)du mx mx w n1 w ns f n 1 =0 n s =0 n1 m,..., ns m mit geeigneten Gewichten w k. Benötigte Zahl an Stützstellen: N = (m + 1) s Fehlerordnung: O(m 1 ) = O(N 2/s ) (Curse of dimensionality) = Zahl der Stützstellen steigt exponentiell mit s! Idee: Einheitsintervall [0, 1] s (bzw. Integrationsbereich A) wird von Stützstellen gut ausgefüllt

8 Von klassischer numerischer Integration zu Monte-Carlo Methoden Klassische numerische Integration und Curse of dimensionality Ziel: Numerische Lösung mittel-dimensionale (5-400 Dimensionen) Integrationsprobleme Klassische Trapezregel, herkömmliche numerische Verfahren: Z [0,1] s f (u)du mx mx w n1 w ns f n 1 =0 n s =0 n1 m,..., ns m mit geeigneten Gewichten w k. Benötigte Zahl an Stützstellen: N = (m + 1) s Fehlerordnung: O(m 1 ) = O(N 2/s ) (Curse of dimensionality) = Zahl der Stützstellen steigt exponentiell mit s! Idee: Einheitsintervall [0, 1] s (bzw. Integrationsbereich A) wird von Stützstellen gut ausgefüllt

9 Von klassischer numerischer Integration zu Monte-Carlo Methoden Monte Carlo Integration Idee: Fülle das Integrationsintervall möglichst gleichmäßig mit (zufällig gewählten) Punkten aus. Theorem (Monte-Carlo Schätzer des Integrals) Sei f (x) : A B, A R m beschränkt, B R n, eine quadratisch integrierbare Funktion (d.h. mit beschränkter Varianz σ(f ) = R A `f (x) f (x) 2 dx < ). Dann kann der das Integral von f numerisch approximiert werden durch N iid. gleichverteilte Punkte a n A: Z E A [f ] = f (x)dx 1 N A NX n=1 f (a n), a n iid. U(A) (1) Praktisch alle in der Finanz- und Versicherungsmathematik auftretenden Funktionen sind quadratisch integrierbar!

10 Von klassischer numerischer Integration zu Monte-Carlo Methoden Bemerkung Diese Aussage gilt auch, wenn A nicht endlich-dimensional ist, also einen gesamten Pfad etwa den gesamten Zinsverlauf oder den Verlauf eines Aktienkurses darstellt. In diesem Fall simuliert man einfach N einzelne Pfade und mittelt über diese Pfade. Im Black-Scholes Modell ist der Aktienkurs z.b. durch die geometrische Brownsche Bewegung gegeben, deren logarithmische Zuwächse normalverteilt sind.

11 Konvergenz Konvergenz (Zentraler Grenzwertsatz) Theorem (Mittlerer Fehler zum exakten Wert) Für eine quadratisch integrierbare Funktion f beträgt der quadratische Fehler zum exakten Wert bei Monte Carlo mit N Punkten (a n) n im Mittel 2! 2 3 E A s 4 1 NX f (a n) E[f ] 5 =... = σ2 (f ) N N n=1 D.h. um den mittleren Fehler zu halbieren, benötigt man unabhängig von der Dimension s etwa viermal so viele Punkte.

12 Beispiel: Trapezregel vs. Monte Carlo Beispiel Funktion: f (x 1,..., x s) = 1 x1 + +x s gesucht: R [0.01,1.01] s f (x 1,..., x 2)dx 1 dx s s Integral In s = 20 Dimensionen hat das Integrationsintervall bereits 2 20 = Ecken!

13 Beispiel: Trapezregel vs. Monte Carlo Konvergenz der Trapezregel Konvergenz von Monte Carlo err err N N 10 5 Integral Schätzer in Dimension 20 Integral Schätzer in Dimension 50 Integral Schätzer in Dimension N N N

14 Konfidenzintervall für Monte Carlo Schätzer Konfidenzintervall Theorem (Konfidenzintervall) Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes gilt asymptotisch für das Konfidenzintervall: lim P c1σ(f ) 1 N N N mit c 1, c 2 R, c 1 < c 2.! NX f (a n) E[f ] n=1! c2σ(f ) N = 1 2π Z c2 c 1 t 2 /2 dt D.h. der Schätzer ist tatsächlich normalverteilt um den exakten Wert, Länge des Konfidenzintervalls nimmt mit 1/ N ab!

15 Pfadsimulation Pfadsimulation von Prozessen mit Markov-Eigenschaft Markov-Eigenschaft: X t X s F s(x s), s < t, oder X t F s(x s) Inkrement nur von Wert zu s abhängig, nicht von Vergangenheit Brownsche Bewegung F s N `µ, σ 2 Lévy-Prozesse (unendl. teilbare Verteilungen), etc. Algorithmus (Simulation auf äquidistantem Gitter) Fixiere ein Schrittweite t Beginne bei X 0 (bekannt) Erzeuge jeweils bedingt auf X n t ein Sample X des Inkrements nach F n t (X n t ) Setze X (n+1) t = X n t + X. Führe die letzten beiden Schritte sooft durch, bis gewünschter Zeitpunkt erreicht. Jeder dieser Pfade stellt ein Sample des stochastischen Prozesses dar.

16 Pfadsimulation Pfadsimulation von Prozessen mit Markov-Eigenschaft Markov-Eigenschaft: X t X s F s(x s), s < t, oder X t F s(x s) Inkrement nur von Wert zu s abhängig, nicht von Vergangenheit Brownsche Bewegung F s N `µ, σ 2 Lévy-Prozesse (unendl. teilbare Verteilungen), etc. Algorithmus (Simulation auf äquidistantem Gitter) Fixiere ein Schrittweite t Beginne bei X 0 (bekannt) Erzeuge jeweils bedingt auf X n t ein Sample X des Inkrements nach F n t (X n t ) Setze X (n+1) t = X n t + X. Führe die letzten beiden Schritte sooft durch, bis gewünschter Zeitpunkt erreicht. Jeder dieser Pfade stellt ein Sample des stochastischen Prozesses dar.

17 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Brownsche Brücke für Brownsche Bewegung Erzeugung von Pfaden der Brownschen Bewegung auch adaptiv möglich (d.h. ohne vorher eine fixe Schrittweite t wählen zu müssen!): Satz Sei (W t) eine Brownsche Bewegung. Die Verteilung von W t, gegeben W s und W u mit u < s < t, ist «(u t)xs + (t s)x u (u t)(t s) W t (W s = x s, W u = x u) N, u s u s adaptive Erzeugung des Pfades: Simuliere Endwert, dann halbiere jeweils Intervall, bis gewünschte Genauigkeit erreicht! Für BB sehr effizient (selbe bedingte Verteilung!), für andere Prozesse prinzipiell möglich, aber andere Verteilungen.

18 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

19 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

20 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

21 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

22 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

23 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

24 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

25 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

26 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

27 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

28 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

29 Brownsche Brücke: Adaptive Erzeugung der Pfade der Brownschen Bewegung Die Brownsche Brücke

30 Beispiel: Asiatische Option im Black-Scholes Modell Beispiel: Asiatische Option im Black-Scholes Modell Betrachte das Black-Scholes Modell (d.h. risikoloser Zinssatz i, Aktiendynamik von S t nach einer geometrischen Brownschen Bewegung S t GBM `µ, σ 2 ) mit i = 0.05 und σ 2 = 0.2. Gesucht ist der Preis einer asiatischen Option mit Strike K = 1.3 und Maturity T = 1, die zum Zeitpunkt T die Differenz zwischen dem arithmetischen Mittel des Kurses zu den Zeitpunkten 1, N/2+1,..., N 1, 1 und dem Strike K auszahlt (wenn positiv): 2 N N 0 1+ Y T 2 NX S i/n KA N i=n/2

31 Beispiel: Asiatische Option im Black-Scholes Modell Dynamik des diskontierten Wertpapierkurses S e t unter Q: geom. BB ohne Drift es t S e s log N 0, σ 2 (t s) (bzw. S t folgt einer geom. BB mit Drift i) Preis der Option zu t: V t = E Q 4Y e T F t {z} ges. Historie bis t h i 7 5 V 0 = E eyt Q EW ist N/2-dimensionales Integral über die Verteilungen von e S t zu den Zeitpunkten 1 2, N/2+1 N,..., 1.

32 Beispiel: Asiatische Option im Black-Scholes Modell Bewertung der asiat. Option als MC-Algorithmus Algorithmus 1 Erzeuge Pfad k des Aktienverlaufs und daraus die Auszahlung Y e (k) T : 1 Setze S 0 = 1 2 S (n+1)/n = S n/n exp (X n) mit X n N r N, σ2. N Oder besser aus Brownscher Brücke: 1 Setze X 0 = 0, X 1 N (0, 1) (Standard-BB) 2 berechne Standard-BB an benötigten Zwischenstellen durch Brücke 3 Rechne durch S t = exp(rt + σx t) auf geom. BB um 2 Aus S k/n berechne Payoff Y T und dessen Barwert e Y T für diesen konkreten Verlauf 3 Führe 1 M-mal durch 4 Der Preis P der Option ergibt sich durch den MC-Schätzer: V 0 = 1 M e M i=1 Y (i) T Bemerkung: Die Varianz kann im selben Run mitbestimmt werden Bemerkung: Die M bestimmten Werte der Payoffs approximieren die Verteilung des (diskontierten) Payoffs.

33 Beispiel: Asiatische Option im Black-Scholes Modell Numerische Ergebnisse 3 StandardBrownsche Bewegung X t 2.0 Geometrische Brownsche Bewegung S t unter In 72, 06% der Fälle ist der Payoff 0 und die Option wertlos, nur in 27, 94% der Fällen erfolgt eine Auszahlung!

34 Beispiel: Asiatische Option im Black-Scholes Modell Verteilung des diskontierten Payoffs, wenn 0 Entwicklung des MCSchätzers Es ergibt sich ein Monte Carlo Schätzer bei N = von V 0 = , die Standardabweichung des diskontierten Payoffs beträgt σ(option) =

35 Übersicht 1 Monte-Carlo Methoden zur Integration (Erwartungswerte): Bewertung der Anlagen; Versicherungen mit stochastischem Zins 2 Simulation von Verteilungen Definitionen Beispiel: Schwankungsrisiko Beispiel Schwankungsrisiko: Portfoliobetrachtung Beispiel Schwankungsrisiko: Simulationsalgorithmus Beispiel Schwankungsrisiko: Ergebnisse 3 Monte-Carlo Methoden zur Simulation von Verteilungen: Risikoanalyse von Sterblichkeitsmodellen

36 Definitionen Simulation von Verteilungen Bemerkung Für Risikobewertung meist nicht Erwartungswert, sondern gesamte Verteilung (bzw. Quantile, bed. EW) nötig, z.b. für Expected Shortfall, Konfidenzintervalle für Schätzer, etc. Theorem Sei F eine eindimensionale Verteilungsfunktion mit verallgemeinerter Inverser F 1 (x) und U U(0, 1) eine auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Dann gilt: U U(0, 1) F 1 (U) F Auch wenn die Transformation (d.h. die Abhängigkeit von den zugrundeliegenden Zufallsvariablen) analytisch genau bekannt ist, können die resultierende Verteilung oder deren Quantile meist nicht analytisch angegeben werden Simulation notwendig

37 Definitionen Empirische Verteilung Definition Seit (X n) Folge von N iid. Samples. Deren empirische Verteilungsfunktion ef N (x) ist gegeben durch ef N (x) = 1 # {Xn Xn x} N Satz Die empirische Verteilung e F N (x) approximiert die exakte Verteilung F (x) und es gilt lim N e FN (x) = F (x) (für einen geeigneten Konvergenzbegriff).

38 Beispiel: Schwankungsrisiko Beispiel: Schwankungsrisiko eines Versicherungsportfolios Problem (Schwankungsrisiko) Versicherungen basieren auf starken Gesetz der großen Zahlen und dem zentralen Grenzwertsatz. NEP eines Renten-Portfolios von n Versicherten im Alter x im Erwartungswert ä x. Je kleiner der Bestand, desto größer die mögliche Schwankung um ä x. Problem (Fragestellung:) Welche Einmalprämien müsste verlangt werden, um mit dem vorhandenen Kapital in z.b. 99% Wahrscheinlichkeit tatsächlich auszukommen? Gesucht ist damit das einseitige 99%-Konfidenzintervall, bzw. das 0.99-Quantil der Verteilung.

39 Beispiel: Schwankungsrisiko Beispiel Leibrenten an 1980 geborene österr. Männer (nach AVÖ 2005R), i = Die zukünftige Lebenserwartung beträgt Jahre, die NEP der LR ä 30 = Bei einem Portfolio aus n derartigen Männern, wie hängt die Verteilung des gesamten Barwerts (Schwankung um ä 30) von n ab? Verteilung eines einzelnen Versicherten: Todeswahrscheinlichkeit genau in Jahr n np x q xn Quantile des Rentenbarwerts RentenBW n Quantil

40 Beispiel Schwankungsrisiko: Portfoliobetrachtung Von den n Versicherten sterben manche früh, manche spät. Z.B. Portfolio aus 3 Personen x 1, x 2, x 3, zuk. Lebensdauern T x1, T x2, T x3 : T x1 T x2 T x3 tats. Zahlungen / Polizze Schwankung nimmt mit der Anzahl der Polizzen n ab (lt. zentralem Grenzwertsatz): Approximation des Konfidenzintervalls in diesem Fall auch mit Normalverteilungsapproximation möglich.

41 Beispiel Schwankungsrisiko: Portfoliobetrachtung Von den n Versicherten sterben manche früh, manche spät. Z.B. Portfolio aus 3 Personen x 1, x 2, x 3, zuk. Lebensdauern T x1, T x2, T x3 : T x1 T x2 T x3 tats. Zahlungen / Polizze Schwankung nimmt mit der Anzahl der Polizzen n ab (lt. zentralem Grenzwertsatz): Approximation des Konfidenzintervalls in diesem Fall auch mit Normalverteilungsapproximation möglich.

42 Beispiel Schwankungsrisiko: Portfoliobetrachtung Von den n Versicherten sterben manche früh, manche spät. Z.B. Portfolio aus 3 Personen x 1, x 2, x 3, zuk. Lebensdauern T x1, T x2, T x3 : T x1 T x2 T x3 tats. Zahlungen / Polizze Schwankung nimmt mit der Anzahl der Polizzen n ab (lt. zentralem Grenzwertsatz): Approximation des Konfidenzintervalls in diesem Fall auch mit Normalverteilungsapproximation möglich.

43 Beispiel Schwankungsrisiko: Portfoliobetrachtung Von den n Versicherten sterben manche früh, manche spät. Z.B. Portfolio aus 3 Personen x 1, x 2, x 3, zuk. Lebensdauern T x1, T x2, T x3 : T x1 T x2 T x3 tats. Zahlungen / Polizze Schwankung nimmt mit der Anzahl der Polizzen n ab (lt. zentralem Grenzwertsatz): Approximation des Konfidenzintervalls in diesem Fall auch mit Normalverteilungsapproximation möglich.

44 Beispiel Schwankungsrisiko: Portfoliobetrachtung Von den n Versicherten sterben manche früh, manche spät. Z.B. Portfolio aus 3 Personen x 1, x 2, x 3, zuk. Lebensdauern T x1, T x2, T x3 : T x1 T x2 T x3 tats. Zahlungen / Polizze Schwankung nimmt mit der Anzahl der Polizzen n ab (lt. zentralem Grenzwertsatz): Verteilung mit N 2 Versicherten Verteilung mit N 16 Versicherten Verteilung mit N 128 Versicherten Approximation des Konfidenzintervalls in diesem Fall auch mit Normalverteilungsapproximation möglich

45 Beispiel Schwankungsrisiko: Portfoliobetrachtung Von den n Versicherten sterben manche früh, manche spät. Z.B. Portfolio aus 3 Personen x 1, x 2, x 3, zuk. Lebensdauern T x1, T x2, T x3 : T x1 T x2 T x3 tats. Zahlungen / Polizze Schwankung nimmt mit der Anzahl der Polizzen n ab (lt. zentralem Grenzwertsatz): Verteilung mit N 2 Versicherten Verteilung mit N 16 Versicherten Verteilung mit N 128 Versicherten Approximation des Konfidenzintervalls in diesem Fall auch mit Normalverteilungsapproximation möglich

46 Beispiel Schwankungsrisiko: Simulationsalgorithmus Ablauf der Simulation mit Monte Carlo Algorithmus (Verteilung des mittl. Barwerts von n Polizzen) 1 erzeuge ein Sample (T x1,..., T xn )mit T xk iid. nach der Sterbetafel verteilt: Für jedes x k : 1 erzeuge u U(0, 1) gleichverteilt auf [0, 1] 2 bestimme T x durch T x = G 1 (u) = min {t tp x < u} 2 für jedes T xk berechne Barwert der Auszahlungen Y k = P i=0 1 T x iv i = ä Txk 3 berechne mittleren Barwert des Portfolios durch 1 n P n k=0 Y k 4 führe die obigen Schritte N-mal durch (bis genügend Samples für die empirische Verteilung vorhanden sind). Aus der so erzeugten empirischen Verteilung bestimme die Quantile, die bedingten Erwartungswerte, etc.

47 Beispiel Schwankungsrisiko: Ergebnisse Quantile BW Quantile des GesamtBW bei N Versicherten, je 2000 Samples 35 Exakt MW Median Log 2 N

48 Beispiel Schwankungsrisiko: Ergebnisse Breite der Konfidenzintervalle Log 2 N Log 2 äx Breite der Konfidenzintervalle bei N Versicherten EW MC Median

49 Übersicht 1 Monte-Carlo Methoden zur Integration (Erwartungswerte): Bewertung der Anlagen; Versicherungen mit stochastischem Zins 2 Simulation von Verteilungen 3 Monte-Carlo Methoden zur Simulation von Verteilungen: Risikoanalyse von Sterblichkeitsmodellen Generationentafeln Datenmaterial Allgemeine Form der Generationentafel Der Ansatz von Lee-Carter (1992) OLS Fit aus den Sterbewahrscheinlichkeiten Ergebnisse für Österreich Projektion in die Zukunft Verbesserungen Risikoanalyse (Konfidenzintervalle für Lebenserwartung, Rentenbarwerte etc.): Bootstrapping

50 Generationentafeln Sterblichkeitsverbesserung Sterblichkeit der Volkszählungen: Sterbewahrscheinlichkeit nimmt (altersabhängig) ab. Mittlere jährliche Verbesserung: Λ x Sterblichkeitsverbesserungen bis 2002, Volkszählungsdaten, Männer Seit Seit 1950 Seit Seit Alter

51 Generationentafeln 0.06 Λ x Sterblichkeitsverbesserungen bis 2002, Volkszählungsdaten, Frauen Seit Seit 1950 Seit Seit Alter Sterbetafel muss also von Alter und Geburtsjahr (bzw. Beobachtungsjahr) abhängig sein: q x(t) (Generationentafel)

52 Generationentafeln Vergleich: Sterbetafel einer 1980 geborenen Person (1) nach Periodentafel 2001 (Volkszählung) und (2) extrapoliert mit Sterblichkeitsverbesserung Vergleich Periodentafel vs. Generationentafel Volkszählung 2001 M Projektion für Geburtsjahr

53 Datenmaterial Verwendbare Daten (der Gesamtbevölkerung) fortgeschriebene jährliche Sterbewahrscheinlichkeiten (Statistik Austria), seit 1947 Volkszählungen seit 1870 internationale Vergleiche (deutsche / schweizer Bevölkerungs- und Rententafeln, mortality.org, etc.) Alter Sterbewahrsch. Rohdaten, log Jahr

54 Allgemeine Form der Generationentafel Form der Generationentafel Problem (Gewünschte Form der Generationentafel) Aus den bekannten Sterbetafeln der Vergangenheit soll eine Tafel für die Sterblichkeiten q x(t) erzeugt werden in folgender Form: q x(t) = q x(t 0) exp ( λ x (t t 0)) (log-lineare Extrapolation mit Trend λ x ausgehend von Basisjahr t 0) 1. Ansatz (klassisch): Ansatz (klassische Schätzung der Trendfaktoren) Für jedes Alter x betrachte die Sterblichkeiten q x(t) für t t 0 und fitte den Parameter λ x durch (z.b. lineare) Regression Problem: λ x und λ x+1 unabhängig voneinander gefittet Projektion kann stark schwanken, keine glatte Sterblichkeitskurve in der Zukunft. Daher nachträgliche Glättung nötig (mathematische Eigenschaften???)

55 Der Ansatz von Lee-Carter (1992) Der Lee-Carter Ansatz (1992) Ansatz (Lee-Carter Methode) Die Sterblichkeit (log µ x(t)) wird als log-bilinear angenommen mit stochastischen Fehlertermen mit log bµ x(t) {z } beob. (schwankend) = log µ x(t) {z } tatsächlich log µ x(t) = α x + β x κ t α x mittlere Sterblichkeit κ t Trend (mittl. Verbesserung pro Jahr) β x Einfluss des Trends auf Alter x Es gilt q x = 1 exp( µ) Taylor = 1 1 µ + µ2 µ3 2 + ε x(t) {z } homosked. stoch. Fehlerterm ! in 1. Näherung. Lee-Carter in Ö auf q x(t) statt µ x(t) angewendet. = µ µ2 2 + µ

56 Der Ansatz von Lee-Carter (1992) Normierung der Lee-Carter Zerlegung Darstellung ist nicht eindeutig, daher Normierung: Bemerkung (Normierung von Lee-Carter) Um Eindeutigkeit zu gewährleisten, wird folgende Normierung gefordert: X X κ t = 0 β x = 1 t x Leicht zu erreichen: P t κt = 0 durch (κt, αx) (κt κt, αx + βx κt) Px βx = 1 durch (βx, κt) `β x/ β 1, β 1 κ t

57 OLS Fit aus den Sterbewahrscheinlichkeiten Ordinary Least-Squares (OLS) Fit aus den Sterbewahrscheinlichkeiten Problem (OLS-Fit an q x(t) (in Österreich)) Finde Parameter α x, β x, κ x, die die Zielfunktion bα x, β b x, bκ t = argmin (log bq x(t) α x β xκ t) 2 minimieren. α x,β x,κ t X Ableitung nach α x für ein fixes x liefert (mit P t κt = 0) Rest: 0 = X t x,t (log q x(t) α x β xκ t) = X t log q x(t) X {z} n α x β x #Jahre t bα x = 1 X log q x(t)... mittlere log. Sterblichkeit n t Z x,t := log q x(t) α x β xκ t mit β x, κ t gesucht. Regression nicht möglich... κ t

58 OLS Fit aus den Sterbewahrscheinlichkeiten Ordinary Least-Squares (OLS) Fit aus den Sterbewahrscheinlichkeiten Problem (OLS-Fit an q x(t) (in Österreich)) Finde Parameter α x, β x, κ x, die die Zielfunktion bα x, β b x, bκ t = argmin (log bq x(t) α x β xκ t) 2 minimieren. α x,β x,κ t X Ableitung nach α x für ein fixes x liefert (mit P t κt = 0) Rest: 0 = X t x,t (log q x(t) α x β xκ t) = X t log q x(t) X {z} n α x β x #Jahre t bα x = 1 X log q x(t)... mittlere log. Sterblichkeit n t Z x,t := log q x(t) α x β xκ t mit β x, κ t gesucht. Regression nicht möglich... κ t

59 OLS Fit aus den Sterbewahrscheinlichkeiten OLS Fit durch Singulärwertzerlegung Definition (Singulärwertzerlegung) Sei Z = U S V t die Singulärwertzerlegung der n m-matrix Z = (Z x,t), d.h. U und V sind orthogonale Matrizen der Eigenvektoren der quadratischen Matrizen Z t Z und Z Z t und S ist die Matrix der zugehörigen Singulärwerte (Wurzeln der Eigenwerte von Z Z t ). Dann ist der erste Term der SVZ der OLS Fit in bilinearer Form an die Matrix Z (noch nicht normiert): bβ x = u 1 x und bκ t = s 1 v 1 t mit den zum größten Singulärwert s 1 gehörigen Singulärvektoren u 1 und v 1. Die restlichen Terme der Singulärwertzerlegung beschreiben einen immer größeren Teil der Schwankung

60 OLS Fit aus den Sterbewahrscheinlichkeiten Entwicklung der Rohdaten Jahr

61 OLS Fit aus den Sterbewahrscheinlichkeiten Gl ttung mittels LeeCarter Jahr

62 OLS Fit aus den Sterbewahrscheinlichkeiten Gl ttung mittels 5 Beitr gen aus SVZ Jahr

63 OLS Fit aus den Sterbewahrscheinlichkeiten SVZ als OLS-Fit an die Matrix (Theorem) Satz Sei A R m n mit m n obda. und Rang r n. Die Singulärwertzerlegung ist «bd A = UDV t mit U R m m, V R n n und D =, D R m n, D 0 b R n n mit orthogonalen Matrizen U und V und einer Diagonalmatrix b D mit nicht-negativen Einträgen s 1 s 2 s r > s r+1 = = s n = 0 (den Singulärwerten von A). Dann stellt der erste Term x y t = s 1u v t der SVZ, wobei s 1 der größte Singulärwert von A mit den zugehörigen (nicht notwendigerweise eindeutigen) links- und rechts-singulärvektoren u = U,1 und v = V,1 ist, die beste bilineare Approximation (im Least-Squares Sinn) der Form x y t mit x R m und y R n dar.

64 Ergebnisse für Österreich Lee-Carter Vektoren für Österreich 2 Α x Values of theα xmean logarithmic mortalities Male Β x Age x Values ofβ xagespecific influence of trend Male Female 4 Female Age x Κ t Values of theκ ttime trend Λ x Population trends calculated from the years 1972 through Male Female Male trend Female trend Year 0.03 t Age x

65 Projektion in die Zukunft Projektion der Sterblichkeit in die Zukunft Zeitliche Entwicklung nur in κ t als ARIMA(0,1,0) Zeitreihe interpretiert Bemerkung (Extrapolation der κ t) Annahme: κ t hat die Dynamik einer ARIMA(0,1,0)-Zeitreihe: κ t+1 = κ t + κ + δ t Lineare Extrapolation mit κ (nach Theorie der Zeitreihen gefittet) pro Jahr! Konfidenzintervall für Extrapolation: δ t als N (0, σ 2 ) angenommen, daher um n Jahre extrapolierter Wert verteilt nach: N (n κ, nσ 2 ). Nur sinnvoll, wenn sonst keinerlei Unsicherheit im Spiel?!?

66 Projektion in die Zukunft Projektion der Sterblichkeit in die Zukunft Zeitliche Entwicklung nur in κ t als ARIMA(0,1,0) Zeitreihe interpretiert Bemerkung (Extrapolation der κ t) Annahme: κ t hat die Dynamik einer ARIMA(0,1,0)-Zeitreihe: κ t+1 = κ t + κ + δ t Lineare Extrapolation mit κ (nach Theorie der Zeitreihen gefittet) pro Jahr! Konfidenzintervall für Extrapolation: δ t als N (0, σ 2 ) angenommen, daher um n Jahre extrapolierter Wert verteilt nach: N (n κ, nσ 2 ). Nur sinnvoll, wenn sonst keinerlei Unsicherheit im Spiel?!?

67 Verbesserungen Verbesserungen / Probleme ε x ist nicht homoskedastisch (für hohe Alter stärkere Schwankung wegen geringer Lebenden-/Totenzahl) Normierung mit empirischer Varianz bσ 2 x für jedes Alter x (aus vorhanden Daten geschätzt): ez x,t := log qx(t) bαx bσ x Damit haben alle Daten etwa dieselbe Schwankung Wenn Totenzahlen exakt bekannt: Modifikation der α x, β x und κ t möglich, sodass exakte Totenzahl reproduziert werden. Maximum-Likelihood Fit unter Poisson-Annahme möglich statt OLS fit!

68 Risikoanalyse (Konfidenzintervalle für Lebenserwartung, Rentenbarwerte etc.): Bootstrapping Modell- und Parameter-Risiko-Analyse: Bootstrapping Konfidenzintervalle der Projektion für µ x(t), e x(t), ä x(t) etc. nicht analytisch möglich, da 2 Unsicherheitsquellen vorhanden: Fit der Parameter an die Daten und Projektion der Zeitreihe in die Zukunft Größen hängen höchst nichtlinear (nicht-monoton) von α x, β x, κ t und κ ab! Konfidenzintervalle aber möglich durch Simulation der Verteilung, wobei die Ausgangsparameter variiert werden (Parameter α x, β x und κ t, oder die Totenzahlen, wenn vorhanden): Bootstrapping

69 Risikoanalyse (Konfidenzintervalle für Lebenserwartung, Rentenbarwerte etc.): Bootstrapping Bootstrapping Algorithmus ((parametr.) Bootstrap der Vert. von µ x(t), e x(t), ä x(t), etc.) Jedes Sample m wird folgendermaßen erzeugt: 1 Nach der Annahme, dass α x, β x, κ t multivariat-n verteilt, erzeuge ein Sample (α m x, β m x, κ m t ) (Totenzahlen nicht benötigt bzw. nicht vorhanden) 2 Schätze κ m nach der Zeitreihenanalyse aus den κ m t 3 Projiziere die Tafel mit den oben erzeugten Parametern (αx m, βx m, κ m t ) und in die Zukunft κ m t 4 Berechne daraus das Sample der gewünschten Größe µ x(t), e x(t), ä x(t), etc. Annahmen: Multivariate Normalverteilung der α, β, κ; EW und Varianz-/Kovarianz der α, β, κ bekannt. Wenn Totenzahlen bekannt: Semi-/Nicht-parametrischer Bootstrap Benutze Poisson-Annahme, erzeuge entsprechend neue Totenzahl d m x (t) nach Poisson Schätze daraus q m x (t) und α, β, κ Rest wie oben

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