Ökonometrie 2 (Methoden der Ökonometrie) Karin Soltermann Seite 1 von 35. Inhaltverzeichnis

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1 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See vo 35 Ihlverzeh Ihl der Vorleug... Skrp... pel 3: D klhe lere egreomodell pel 4: D verllgemeere lere egreomodell 4 Ahg A: rlgebr 3 4 pel 4.: e uf Prmeerkoz 4 6 pel 5: odelle der Vrzle ere egreo m kegorle egreore 6 7 ogmodelle für egorle De 7 8 She Behdlug uvollädger Deäze 8 8 Zummefug... rheore ere egreomodell 4 lhe lere egreomodell 5 ulkollerä 6 klhe Normlregreo 6 Verllgemeere lere egreomodell 6 Heerokede 7 Auoregreo σ 7, Whge Vereluge 8 ofdezervlle ud Sgfkze 8 Prüfe lerer Hpohee 9 e uf Prmeerkoz 9 Chow 9 e vo He e uf Srukurwehel Vrzle l pezelle lere odell 3 Efkorelle Vrzle 3 beer mulple Verglehe 5 ( (orhogole ore de elwere 6 ( (orhogole ore de Summe de epoe 6 ulple Verglehe 7 Verfhre vo Sheffé 7 Boferro - ehode 7 Sude-Newm-eul-e (SN 8 rukl-wll-e 8 ulple Verglehe be gde 9 Zwe- ud ehrfkorelle Vrzle 3 Zwefkorelle Epermee m Wehelwrkuge (odell m fee Effeke 3 ere egreo m kegorle egreore 3 Au Übuge (SPSS...3 Suhe h dem geegeee odell 3 Allg Berhuge für e gue odell 3 ANOVA (Al of Vre Vrzle 34 e, ob e Srukurbruh vorleg bzw zwe SP glehe Prmeer ufwee, e. 35

2 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See vo 35 Ihl der Vorleug I der Verlug wrd der Soff der Vorleug "Eführug de Ökoomere" uf ew formlere Wee drgeell ud veref. Nebe verhedee Shäz-, Progoe- ud Alemehode de lere odell olle uer derem de rheore ud de ökoomerhe Sofwre (SPSS l üzlhe Alerumee der Ökoomere vorgeell werde. E werde behdel: rheore odellerug vo egreomodelle für zwe Vrble (odelldgok, rformoe, verzögere edogee Vrble egreo m mehrere Eflußgröße (rdrellug, erkve Shäzuge, odellwhl, odelldgok, Dumm- ud Effekkoderug Spezelle ökoomerhe Shäzverfhre (-, GS- Shäzug, Irumel Vrble Emor Heerokedzä ud Auoregreo Eführug uvre Zerehe odelle für dkree De (oghe egreo, oglere odelle, Ale vo ogezfel Skrp pel 3: D klhe lere egreomodell 3. Dekrpve lere egreo 3. Przp der klee Qudre Sz 3. öbrke vo Glehugeme 3 Verebrug: prkuläre öug orollr zu Sz 3. 4 Algebrher öugweg 5 (-p-dmeole gflgke bzw (-p-fh uedlhe Shr Sz 3. m. Fehlerqudrumme 6 Emprhe egreokoeffzee l emprhe egreohperebee 3.3 Geomerhe Egehfe der lee-qudr-shäzug (Q-Shäzug 7 äge (Norm ee Vekor orhogol, orhoormere Sem (roeker-smbol δ lerer Vekorrum V, Eukldhe um E, orhogole ompleme Splerum (, Nullrum N( 8 B ee Vekorrume, Orhoormlb ler ubhägge Vekore Dmeo vo V dm(v 9 Durhh vo V ud V Sz 3.3 orhogole Proeko Sz 3.4 egel Hlfz: orhogole Proekomr ( Der Fll g( ( Der Fll g( p < komplemeäre rze Sz 3.5 eke lere erko egel 3.4 Bee lere erwrugreue Shäzug ere Shäzer 5 Shprobefuko ^ Defo 3. (-homogeer Shäzer Qudrhe Verlufuko Defo 3. qudrhe kofuko Defo 3.3 (A-Superorä 3.4. e-squre-error 6 erwrugreu, uverzerr, ubed SE-Superorä Defo 3.4 SE-I-rerum (SE-uperor Sz 3.6 heobld Bee lere erwrugreue Shäzug 7 Sz 3.7 & 3.8 & 3.9 egel 8

3 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 3 vo 35 orollr zu Sz 3.9 Sz 3. Gu-rkov heorem: Q-Shäzug ud ovrzmr Shäzug eer lere Fuko vo Sz 3. & 3. bee lere erwrugreue Shäzug Shäzug vo σ 3 Der Fll (uvre egreo ulkollerä Ereme ulkollerä ud Shäzbrke 5 h defzerbre egreokoeffzee / beobhugäquvle Shwhe ulkollerä 6 Sz 3.3 bedge Gu-rkov heorem: Q-Shäzug ud ovrzmr 7 Defo 3.5 erwrugreu lhe Normlregreo 3 klhe lere egreomodell m ormlverele Fehler klhe odell der Normlregreo mum-kelhood-(-przp 3 Defo 3.6 kelhood-fuko -Shäzug m odell der klhe Normlregreo kelhood-glehuge 3 Sz 3.4 egel Hwe: o-crmér-shrke: uere Greze für de ovrzmr erwrugreuer Shäzuge 3.7 Prüfe vo lere Hpohee 33 Fll :, Fll : > b 33 ek kelhood-quoee 34 Verelug vo F 36f, 4f Zähler, b Neer Aufplug vo b 38 Zerlegug vo σˆ 39 Ω 3.8 Vrzle ud Güe der Apug Uvre egreo 4 Sum of Squre bou he me bzw. orreed Sum of Squre of Y [SS(orreed, SYY] 4 fel der Vrzle 43 Shprobekorrelokoeffze Prüfe der egreo 44 D Bemmhem 45 Defo 3.7 (3. he Bemmhem (oeffe of deermo ofdezervllle für b ud b 3.8. ulple egreo 47 odelle m uerhedlhe [beodere eder gehhele (eed] Vrblemege fel der Vrzle 48 ulple Bemmhem rere zur odelluwhl ( Ad-ho rerum ( odelluwhl uf der B de duere Bemmheme 49 Sz 3.5 egel ofdezberehe 5 ofdezellpode für de volle Prmeervekor ofdezellpode für elvekore E komplee Bepel 5 Bepel 3. Shr der Prozedur 53 Shr der Prozedur 54 Shr 3 der Prozedur Grfhe Drellug 55 Abblduge

4 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 4 vo 35 pel 4: D verllgemeere lere egreomodell 4. Opmle lere Shäzuge vo rerum lere Shäzug m mmlem ko Ihomogee -opmle Shäzug b Homogee -opmle Shäzug 3 Spezlfll 5 Shrkge-Shäzer vo Homogee erwrugreue -opmle Shäzug Sz 4. opmle Shäzuge vo (-, homoge & erwrugreu 6 -opmle Shäzuge 7 rerum Sz 4. egel 3 -opmle Shäzuge 8 4. Ake-Shäzug 8 Sz 4.4 Gu-rkov-Ake-heorem Sz 4.5 egel 4.3 Fehlpezfko der ovrzmr Sz 4.6 klhe Q-Shäzug G-Shäzug m verllgemeere lere egreomodell, we Zummegeeze mmerhe r (ompoud mmer Verzerrug der gehäze Fehlervrz ufgrud Fehlpezfko vo W 4.4 Heerokede ud Auoregreo 3 Heerokede / Homokede Auoregreo. Ar 4 e uf Auoregreo 5 Durb-Wo-e Behdlug vo Auokorrelo 6 ( zweufge Shäzug ( Vrblerformo ABEE 4. 5% Sgfkzpuke für de Durb-Wo-e 7 Bepel 4. 8 Ahg A: rlgebr 3 A. Eführug 3 Defo A. r A m, qudrhe r / Dreekmr Defo A. rpoere A Defo A.3 Smmere 3 Defo A.4 & A.5 Sple-, Zelevekor Defo A.6 & A.7 Evekor / Emr J m m Defo A.8 & A.9 Ehevekor e / Ehemr I Defo A. Dgolmr 3 3 Defo A. uerele / proere r A. Spur eer r 3 3 Defo A. Spur p(a Sz A.3 egel A.3 Deerme 3 4 Defo A.4 Deerme A Defo A.5 regulär / gulär Sz A.6 egel A.4 Ivere 3 6 Defo A.7 Ivere A - Sz A.8 egel Sz A.9 Prelle Ivero 3 7 A.5 Orhogole rze 3 7 Defo A. orhogol Sz A. egel A.6 g eer r 3 8 Defo A. g rg(a Sz A.3 egel

5 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 5 vo 35 A.7 Sple- ud Nullrum 3 8 Defo A.4 Splerum (A / Nullrum N(A Sz A.5 egel A.8 Egewere ud Egevekore 3 9 Defo A.6 Egewere λ, Egevekore γ, Egerum, drdere Egevekore Sz A.7 egel Bemerkuge 3 Sz A.8 egel 3 orollr & zu Sz A.8 Sz A.9 egel A.9 Zerlegug vom rze (Produkdrelluge 3 Sz A.3 Spekrlzerlegug ГΛГ Sz A.3 egel Sz A.3 Sgulärwerdrellug eer ehekmr 3 3 Sz A.33 Normlform 3 4 Sz A.34 Vollrg-Zerlegug (full rk forzo 3 5 A. Defe rze ud qudrhe Forme 3 5 Defo A.35 A qudrhe Form eem Vekor Defo A.36 pov (egv def A > (< 3 6 Defo A.37 pov emdef Defo A.38 hegv def Sz A.39 & A.4 & A.4 & A.4 egel Sz A.43 heobld 974 egel 3 7 Sz A.44 & A.45 & A.46 egel 3 8 Defo A.47 erk Sz A.48 egel 3 9 Sz A.49 mule Zerlegug Sz A.5 & A.5 & A.5 egel orollr zu Sz A.5 3 Sz A.53 egel Sz A.54 Cuh-Shwrzhe-Uglehug 3 Sz A.55 & A.56 & A.57 & A.58 & A.59 egel A. Idempoee rze 3 Defo A.6 dempoe Sz A.6 egel A. Verllgemeere Ivere 3 3 Defo A.6 geerlzed Ivere A Sz A.63 egel 3 4 Defo A.64 oore-peroe-ivere A Sz A.65 zu g-ivere A Sz A.66 zu oore-peroe-ivere A Sz A.67 Bklr e l Sz A.68 Sz A.69 Blerform A b 3 6 Sz A.7 & A.7 & A.7 egel Sz A.73 ürzugregel 3 8 Sz A.74 Alber herorem: egel für Submrze vo A, fll A mmerh Sz A.75 & A.76 egel 3 9 orollr & zu Sz A Sz A.77 egel Sz A.78 hegv def A gl, we A.3 Proekore 3 3 Defo A.79 & A. 8 Proeko Sz A.8 egel A.4 Fukoe ormlvereler Vrble 3 33 Defo A.8 p-dmeol ormlverel Sz A.8 Sz A.83 zerle χ -Verelug m p Frehegrde (Ch-Qudr-Verelug

6 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 6 vo 35 Sz A.84 Nhzerläprmeer Sz A.85 Sz A.86 F m, (λ-verel (F-Verelug Sz A.87 & A.88 & A.89 egel A.5 Dffereo vo klre Fukoe vo rze 3 36 Defo A.9 prelle Ableug Sz A.9 & A.9 & A.93 & A.94 egel Sz A.95 egel Ableug eer Spur 3 38 Dffereo verer rze Sz A.96 & A.97 egel Dffereo der Deerme 3 39 Sz A.98 egel A.6 Sohhe overgez 3 39 Sz A.99 me Whrhelhke, heorem vo Sluk Sz A. roeker-produk A B 3 4 pel 4.: e uf Prmeerkoz Der Progoee vo Chow 4 Der Chow-e l me-hf e 4 Bepel Der e vo He 4 6 Bepel e m rekurver Shäzug e m Progoefehler CUSU ud CUSUSQ-e 4 Bepel e uf Srukurwehel 4 3 Zwe Shprobe e 4 5 e m dem rerkve Q-Shäzer 4 6 Alerver e m hrerkve odell 4 7 Bepel 4..4 ee de Aeg 4 9 ee der oe 4 Zummefug (der zwe obere Puke Bepel pel 5: odelle der Vrzle 5 5. Vrzle l pezelle lere odell 5 5. Efkorelle Vrzle 5 Defo 5. blzer Efhe lfko / Behdluge (reme / Bepele ABEE 5. ANODNUNG DE SICHPOBEN (EINFACHE ASSIFIAION 5 3 eprmererugbedgug 5.. Drellug l rerkve odell Zerlegug der Fehlerqudrumme 5 5 Prüfe der egreo 5 6 ABEE 5. SCHEA FÜ DIE VAIANZANAYSE EINFACHE ASSIFIAION 5 8 Sz 5. heorem vo Cohr ber Vrzzerlegug 5..3 Shäzug vo σ durh Qedul 5 9 Bepel ABEE 5.3 ZEIAUFWAND FÜ DIE ANFEIGUNG VON INAYS, GEESSEN BEI DEI ZAHNÄZEN 5 ABEE 5.4 OGAIHEN DE ABEISZEIWEE AUF ABEE Vergleh vo ezele elwere ere ore 5 ABEE 5.5 AFE DE VAIANZANAYSE ZU BEISPIE 5.. Defo 5. lerer or 5 Defo 5.3 ormer 5 4 Defo 5.4 orhogol Orhogolem

7 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 7 vo 35 Bepel ore de ole (ummere epoewere m blzere Fll 5 5 Vrz lerer ore 5 6 ( or de elwere ABEE 5.6 BIEGFESIGEI IN ABHÄNGIGEI VON VIE SUFEN DES FAOS A (ZUSAZSOFFE 5 7 ABEE 5.7 AFE DE VAIANZANAYSE ZU ABEE 5.6 ( or de Summe de epoe 5 7 Bepel 5.3. ABEE 5.8 & 5.9 OHOGONAE ONASE UND ESAISIEN S 5 8 ABEE 5. & 5. OHOGONAE ONASE IN DEN IEWEEN 5, 5.4 ulple Verglehe Eleug 5 orolle der Fehler.Ar uf pr ompro / pr eperme B Epermewee Verglehe 5 Verfhre vo Sheffé Boferro-ehode Verglehbezogee Prozedure 5 3 e gf dfferee SD Sude-Newm-eul-e SN 5 4 Bepel SN SPSS 5 7 ABB. 5. SPSS-OUPU DE SN-ESS (BEISPIE gvrzle m vollädg rdomere Veruhpl rukl-wll-e 5 7 ABEE 5. DAENAI I VOSÄNDIG ANDOISIEEN VESUCHSPAN 5 8 ABEE 5.3 ANGWEE ZU ABEE orrekur be Bduge Bepel ABEE 5.4 BEECHNUNG DE ÄNGE UND ANGSUEN ZU ABEE ulple Verglehe 5 3 Gepler Ezelvergleh Vergleh ller prwee Dffereze Bepel 5.5. Vergleh orollgruppe lle übrge Behdluge 5 3 Bepel ABEE 5.5 ANGABEE ZU ABEE Zwe- ud ehrfkorelle Vrzle 5 33 Defoe ud Grudprzpe Fkorelle Epermee oder reuzklfko ABEE 5.6 ZWEIFAOIEES EPEIEN OHNE WECHSEWIUNG 5 34 ABB. 5. ZWEIFAOIEES EPEIEN OHNE WECHSEWIUNG ABEE 5.7 ZWEIFAOIEES EPEIEN I WECHSEWIUNG 5 35 ABB. 5.3 ZWEIFAOIEES EPEIEN I WECHSEWIUNG 5.7 Zwefkorelle Epermee m Wehelwrkug (odell m fee Effeke 5 37 ABEE 5.8 AFE DE OAEN ESPONSEWEE I A B -VESUCHSPAN 5 38 ABEE 5.9 AFE DE VAIANZANAYSE I A B VESUCHSPAN I WECHSEWIUNGEN lee-qudr-shäzug der Prmeer eprozedur 5 4 urere odell / Ubhäggkemodell Bepel ABEE 5. ESPONSEWEE 5 4 ABEE 5. OAE ESPONSE ABEE 5. AFE DE VAIANZANAYSE ZU BEISPIE ere egreo m kegorle egreore 6 Bepele 6 eferezkegore Dummkoderug 6 Effekkoderug

8 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 8 vo 35 Bepel 5.9. ABB. 5.7 BEECHNUNGEN DE PAAEESCHÄZUNGEN BEI DUYODIEUNG IN BEISPIE 5.9. I SPSS 6 4 ABB. 5.8 BEECHNUNGEN DE PAAEESCHÄZUNGEN BEI EFFEODIEUNG IN BEISPIE 5.9. I SPSS 6 4 ogmodelle für egorle De 7 I fel 7 og k odell (I: Idepede og k Shäzug S Smple og 7 Bepel: Bludruk ( l kofkor für Herzkrkhe (Y 7 3 Shprobe og 7 4 Sore egreo 7 5 Q e zum Vergleh vo ogher egreo ud Ubhäggkemodell 7 6 Bepel: ko (Y roebruh Abhäggke vom Aler ( 7 7 oghe egreo 7 9 Q e (ez kee Ampok voru 7 odelldgok 7 Aloge zum Bemmhem 7 Bepel: ko (Y roeverlu Abhäggke vo ouzhl 7 3 Zerlegug vo G 7 4 odellerug m ogmodell 7 5 oghe egreo 7 6 Q e 7 7 ko roeverlu Abhäggke vo Aler ud orukoform 7 8 el Hezel e 7 Bepel: ko (edodohe Behdlug Abhäggke vom Aler 7 4 oghe egreo 7 7 Q e 7 8 Bepel 7 9 Zerlegug vo G 7 3 She Behdlug uvollädger Deäze 8 g vlue, orepoe mple urve Sdrduo 8 Zel: herpeehedug m Ezelfll B der herpeempfehlug 8 Bepele für fehlede De phe Bepele u der Zhmedz 8 3 Norepoe: Begrffbemmug 8 4 ( Srukur (per Blokbldug (h-moooe Per ( Prozez moder / e? ( Dep 8 5 (v orrelorukur Grudregel She ehode zur Behdlug vo fehlede De 8 6 ( äghle ( Querhle (ro eol vollädge De (omplee - e l Ereze fehleder Were (mpuo for mg vlue: Impuo (fllg for orepoe 8 7 ( Cold dek Impuo ( Ho dek Impuo ( e Impuo be ege Vrble 8 8 Verkleerug vo 8 9 Impuo ud orrelo ( omplee e l 8

9 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 9 vo 35 ( Q ufgefüller Dez She Problem ulple Impuo 8 Bepel 8 erproblem

10 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See vo 35 Zummefug I Öko geh v um rze. Som werde Berehuge d m Vekore (lehrf bzw rze (Grohrf Shrebwee gegebe, h m ormle Zhle! rheore Sple ( oloe r A m, ZeleSple Dmeo Vekor { m m } Vekor m ( m ( m Zele r m ur eer Zele bzw eer Sple Zele- bzw Splevekor für roeker-smbol δ o Spezelle m Vekore -ler bhägge Vekore u (d reelle Zhle h lle : d u, dh u r - d, oe ubhägg u " äge" m Hlfe Phgor u, u u Vekorläge u E gl : u u u u eukldhe Norm orhogole Vekore, we Orhogolem (orhoormere Sem: δ bzw,m m, I (Orhoormlb ee Vekorrume eheregel: llg. fll h der vermerk, gele glehe eheregel we be Algebr Addo ud Subrko: Bedgug: glehe Dmeoe: A m ± B m C m wobe b ulplko m reeller Zhl (Sklr: A m C m wobe ulplko vo rze (Vekore: Bedgug: Splezhl der ere r A Zelezhl m der zwee r B m p mp A B C, wobe b k k k oder Sklrproduk vo,-vekore b b ( reele Zhl v b eul r! B B B roeker-produk C A B mp, q m, p, q mb mb mb Drbuvgeez (Verelregel: C(ABD CADCBD wobe C bzw D Sklr oder r ommuvgeez (Veruhregel der ulplko gl d h: AB BA Aozvgeez (Beklmmerugregel: (ABC A(BC AB > A oder B / AB AC > B C Ableuge vo rze (ehe uh A.5 b Ablee l wäre e kee rze (we reelle Zhle. Formel vo. umelle, dm Dmeoe (be rzeberehug der erme mm. b

11 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See vo 35 rpoere A bzw A eeh durh Veruhe vo Zele ud Sple vo A. A ( egel: (AB B A, (AB A B, uerele / proere r drgeell l Zummefug vo Submrze A A zb r, r, A oder U A A m, (U m,w ; U m,-w m, mr, mr, g eer r rg(a m, p: mlzhl ler ubhägger Zele (oder Sple egel: p m(m,, rg(a rg(a, rg(a B rg(a rg(b, rg(ab m{rg(a, rg(b}, rg(aa rg(a A rg(a ; fll B, C regulär: rg(bac rg(a ; fll A dg( : rg(a Azhl ee Veräderug be Veruhug -, Vervelfhug ( - oder Addo, Subrko vo Zele (Sple zu eer dere Zele (Sple ere Ubhäggke, Vekorrum, B Eukldher um. oder mehr Vekore m -dmeole um d e ler bhägg. [ dm( ]. Jede B der beeh u Vekore 3. ler ubhägge Vekore m blde ee B de. 4. u,u,,u e ee B de Vekorrume V. D für ede V de Drellug u u u edeug. Splerum (A: Vekorrum, der vo de -Sple ( vo A m, ufgep wrd. b b ( A z : z A (, Ε zb A ( A, E d d N(A egel: (AA (A ; ( AB ( A / A, d (BAB (BA (A Nullrum: Vekorrum Ν( A { E : A } E gl Ν ( A { ( A } V { : m V}, wobe V d orhogole ompleme ee Vekorrume V, dh Dmeoformel: rg(a dm{(a} wobe dm(v Azhl Bvekore ee Vekorrume V, dm{(a} dm{n(a} (Azhl Sple vo A Gu her Algorhmu: emhe Verfhre zur öug lerer Glehugeme, ere Ubhäggke, g-, Iverebemmug geg. A b, m A Glehugmr, ge. öugvekor, b eulvekor der Glehuge Vorgehe: Blde r (A;b Zel: Durh Umformuge mel Operoe vo zuer : fll < ( belebg reelle Zhle Zeleufeform: fll brge. fll > Dh weer, o d lk be e-a (be m, de.elmr vo A(A,,, A,,m- de Ehemr I, reh be e-b der öugvekor eh. Zuläge Operoe Zele (Sple m belebger Zhl ( mulplzere bzw ddere b Zu bzw vo Zele (Sple Velfhe eer dere Zele (Sple ddere bzw ubrhere Zele (Sple veruhe g: Azhl Zele (Sple vo A, welhe h h de Form (,,, überführe le. ere Ubhäggke: geg. m,-splevekore u, u,,u : Blde U m (u ; u ; ;u. Fll rg(u d de Splevekore ler ubhägg. Ivere: (A;I (I;B überführe, wobe B A - Bp geg. Glehuge: 3 3 b, 3 3 b ( A, b l 3 öugmege, wobe 3 b Umforme 3 l 3 fre wählbr l b öugrukur 33 l 3, m 3 3 l 33 3 l

12 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See vo 35 öugmege: Gl rg(a rg(a;b? E gb mdee ee öug rg(a : geu e öugvekor E gb kee öug. rg(a < : -vele öuge: öugrukur Normlform vo A: Se A p,q m rg(a r, o eer mdee ee qudrhe reguläre Submr r,r Y r, r r, qr A, Durhh vo r ubhägge Zele ud Sple, dere Submrze d gulär p, q Z W pr, r pr, qr A r, r p, q Verllgemeere (g(-eerlzed Ivere A,m : m m ud AA A A, Zu eder r A eer ee d h edeuge A egel: A A ud AA dempoe ; g(a g(a A g(aa ; g(a g(a oore-peroe-ivere A : AA A A & A AA A & (A A A A & (A A A A, edeug bemm geg. A m, m g r, o d (A e r-dmeoler Vekorrum. Se z A, o he z de Proeko vo E uf (A Ee mmerhe -r P, ofer e dempoe vom g p, ell de orhogole Proekomr de E uf ee p-dmeole Vekorrum V (P dr. Qudrhe r A we m Dgolmr A, dg( : lle Elemee uer Hupdgolelemee ugel, fll lle gleh / Ellpod, fll h gleh Huphelge Fll, ege Hupheelemee, - ber mmerh Ellpod (bzw ugel h Huphelge - ud h-mmerh ke (bzw uglehe Ellpod h Huphelge Emr J lle Elemee Evekor (,, m Eer Ehemr bzw Ideä I lle Elemee uer Hupdgolelemee (dh δ I A A A I A (log Fuko vo be Zhlemulplko, Ehevekor e (,,,,,.., wobe Eleme.Selle obere (uere Dreekmr: uerhlb (oberhlb Hupdgole d Elemee mmerhe r, fll A A [ ] zb bzw mmerh Spur p( A Summe der Hupdgolelemee p(ab p(ba, p(aa p(a A,, Sklrproduk ee Vekor p( ofkor zu Deerme de(a bzw A ( { or zu ud. Sple vo A (ev. de lerv h Sple ewkel A , wobe de Deerme h Srehug der. Zele A 3 ( pro Dgole - 3 ( pro Dgole egel: A A, A A, AB A B, A A, fll A dg( bzw Dreekmr: de(i ; fll ee Zele (Sple ur m Elemee : A A uveräder, we Sple (Zele ± dere Sple (Zele belebge Sple (Zele A A,

13 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 3 vo 35 A O C B A C O B A B, A A Ivere A - (edeug wobe AA - A - A I egel: (A - - A, (A - - A -, (AB - B - A -, (A - (A - A A regulär gulär A A rg(a rg(a < A - eer A - eer h Orhogole r, fll AA I > A A - egel: Für Zelevekore vo A gl: δ ud für Splevekore ( ( δ A ±, C AB orhogol, fll A ud B orhogol Egewere λ vo A m zugehörgem rehe Egevekor γ (γ wobe Aγ λ γ, Egerum vo λ : Der vo de zu λ gehörede Egevekore γ ufgepe Vekorrum. q(λ A-λI ( λ λ p Polom p-er Ordug ( p k k λ λ m m p λ öuge ( Egewere k Vorgehewee:. u A-λI > Egewere λ bemme (de bemme, Glehug uflöe. (A-λ Iγ ( > Egevekore γ ( zu λ [log Glehugem: Aγ ( b] Egerum vo γ ( ufgeper Vekorrum [d drderer Egevekor γ γ blde] egel: A λ, p(a λ ; geg. A - λ A I, ge. λ A : A - λ A I (A λ A /I A λ A /I, lo λ A / λ A λ A λ A dh Egevekore d rformobhägg! mel odode drdere ge. Egevekore z AkI zu AkI: (AkI zi A (z-ki om λ A z-k, lo z AkI λ A k, γ A γ AkI AA ud A A hbe deelbe Egewere ; reele Egewere, fll A A geg. C regulär: A ud CAC - hbe deelbe Egewere λ m Cγ zu CAC - mmerhe r A h rg(a m λ, γ Idempoee r: A A ud A A [llg. A z A, z > ] egel: Fll rg(a p : Egewere oder, p(a p, be rg(a A I, A ud B dempoe ud AB BA bzw P orhogol: AB, PA P, (I-A dempoe m A(I-A (I-AA Spekrlzerlegug: Jede mmerhe r A lä h drelle l A ΓΛΓ λ γ γ m Λ dg(λ,,λ p, Г (γ (,, γ (p (r der drdere Egevekore l Sple ( ( Λ Г AГ, ГГ Г Г I, A ud Λ hbe deelbe Egewere, A / ud A deelbe Egevekore rg(a rg(гλг rg(λ Azhl Egewere A r/ ГΛ r/ Г m Λ r/ dg(λ r/ ; A - ГΛ - Г m Λ - dg(λ - Ee mmerhe r edeug durh hre verhedee Egewere ud de zugehörge Egeräume bemm. Qudrhe Form eem Vekor : Q( A merh A bzw A he pov def, fll A > > A > A bzw A he pov emdef, fll A ud A für md. e A bzw A he hegv def, fll e pov (em- def. > A Se A mmerh m de Egewere λ λ. D gl: A A up λ,f λ A λ m λ m

14 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 4 vo 35 Gu her Algorhmu Hupherformo Geg. mmerhe r A m qudrher Form eem Vekor : Q( A (mmerh ewelge Hlbhe gleh lg Ge. Spekrlzerlegug A ГΛГ m Λ dg(λ,,λ, Г (γ (,, γ ( (drdere Egevekore l Sple Zel: geg. Demr durh Umformuge (ohe d releve De verlore gehe Huphelge brge. Durh dee Umformuge köe verhedee rze verglhe werde Je mehr der Ellpod eer ugel gleh, deo beer, d weger ulkollerä zwhe de (-huge, Dmeoe herrh. Je mehr ellpodh, deo mehr mulkoller. Greze: Iervll Dmeoe gehe verlore! D Egewere λ rformobhägg d, wrd drderer odode für odellwhl berehe. Je gröer der I, deo mehr mulkoller. Srukurprüfede Verfhre Egehfe, Vorkomme, epoe (bhägge Vrble regere uf dvere Eflüe (ubhägge Vrble,,,. m Aupräguge vo ud de dzugehörge Aupräguge vo zu verhedee Zepuke. Dru erhäl m de ee r A (, ud veruh u de euge e pede odell, Fuko f( heruzufde. r (,( A > grehhe Buhbe d ubeke Prmeer zb ; ^ über grehhe bzw rbhe Buhbe d Shäzuge zb ˆ bzw b (de ewelge Prmeer m grehhem Buhbe. ere egreomodell Vrble, müe mdee Iervllveu (merh hbe, uer für be Dumm-Vrble! Ahme: lere Fuko ( de Prmeer rformo der, um lere Prmeer zu erhle, erlub. De äder edoh Ierpreo! Y e > } }}}} k k k k k k k k k e e e e e k,,, > e Azhl Beobhuge >> Azhl gehäzer Prmeer kl. oe (m Opo oe Null o.ä. wrd Azhl erkmle, o (ormlerwee Azhl erkmle! Przp der klee Qudre m S( e e e (- (- (ehe Vekorläge, eukldhe Norm Normleglehuge: b (ge. b ud (mmerh & hegv def ur edeug löbr, we rg( (voller g egred ohhe Sörvrble Sple Zele oe, egreokoeffzee egreore

15 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 5 vo 35 Uer de eke lere erkoe r m g( -p ud g (D gl: De orhogole Proekomr de E uf ( h de Gel: P ( - [Vekormege, Splerum: b θ P] b De bedge Q-Shäzug vo : b(,r ( - ( r [m r : D ] (Degmr D Bee lere erwrugreue Shäzug Ahme über de Prmeer ud odellvrble: e; E(e (Fehler m el Null; E(ee [r m qudrere Fehlererme] lhe lere egreomodell Verllgemeere lere egreomodell σ I (Homokede σ W m W pov def ud bek hohh [d.h. h zufällg, om orr(, e] g( (d.h. k ubhägg, kee eke ulkollerä lhe lere egreomodell Az: b C, d, (homoge, fll d e-squre-error eer Shäzug ( ˆ, V ( [ ( ][ ( [{ { ˆ B ˆ, B ˆ, ] 443 E ˆ E ( ˆ }{ ˆ E ( ˆ } ] E( ˆ Im klhe lere egreomodell h de bee lere (homogee erwrugreue Shäzug de bedge Erwrugwere E[ ] de Gel: ˆ b ud de Vrz vr( ˆ Vb. Gu-rkov-heorem (G Q-Shäzug b ( (oeffzee-vekor m ovrzmr V b σ ( d BUE, dh de bee (homogee lere erwrugreue Shäzug vo. Für Berehuge Eel mu de.sple (Vekor der, -r ur u er beehe:,,. Zu deem Vekor gehör d der Shäzer der oe. Gehäzer Fehler: eˆ ˆ e ˆ Erwrugwer[vr(Shäzwerfehler] whre Vr(Fehler(- E( eˆ eˆ σ ( -> erwrugreue Shäzug für σ : Uvre egreo : Y b b e (kee rzehrebwee de b! SY ( ( SYY b r Y ( ( S 443 S b b ( V ˆ b σ ˆ σ, V S ˆ σ eˆ 3 ( SY SSE SYY 443 S 4 SS b S b ˆ σ ( Shäzfuko: ŷ b l (orhogole Proeko de whre Were: e lh: e ~ P(, σ I ~ P(, σ I, P belebge Verelug Norml: e ~ N(, σ I ~ N(, σ I Allgeme: e ~ P(, σ W ~ P(, σ W } SSE eˆ eˆ( ( b( b(, V b, b ˆ σ ( ŷ Vr-ovr- rze der Fehlererme ê

16 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 6 vo 35 ulkollerä Eke lere.: für lle kee erwrugreue lere Shäzuge vom Prmeervekor (Normlglehuglöuge h edeug bzw h defzerbr Shwhe ulkollerä: E beeh h e eke lere Zummehg zwhe zwe erkmle, edoh äherugwee. erwrugreue lere Pukhäzuge vom Prmeervekor h oh voller g, ber he, om Dgolelemee (Vrze der ovrzmr vo b σ ( - ehr gro groe ofdezervlle, uzuverläge Iervllhäzuge vo b erpreerbr Verfhre zur Überwdug bzw Vermderug der ulkollerä o Verhlägug o Verfhre der redberegug o ere Vrblerformoe (log orrekur be Auokorrelo o epezfko de odell, Neumodellerug, Uerdrükug bzw Auhlu vo Vrble, e o Nuzug eerer Iformoe, Verwedug vo Zuzformoe o Vergröerug de Süzzerum, Erhebug zuäzlher Beobhuge o Berükhgug eker lerer erkoe Bee lere Shäzug be hwher ulkollerä mel erko Ahme we be klhem odell, uer g( p < ud ~ } } D ~ } egebue erko (r, g( -p, g(d, Bedge Q-Shäzug b (, ( ( D D (oeffzee-vekor m ovrzmr V b ( σ ( D D ( D D d BUE, dh de bee (homogee lere erwrugreue Shäzug vo. Adere Ar l m Q um zu de glehe Shäzer zu komme: klhe Normlregreo lhe lere egreomodell m (drdormlverele Fehler mum-kelhood-(-przp ehode der mmle umlhke: Bezehug für e Przp zur Shäzug vo Prmeer eer Whrhelhkeverelug hd beobheer Were. mm für de ubeke Prmeer deege Were, be dee de beobhee Were de gröe W k häe. Be dee lo d beobhee Ergeb m ehee zude komm. ( ( Shäzug σ u Q (, σ Normleglehuge ( I ˆ ; ( II ˆ σ ( ˆ ( ˆ, wobe Shäzug b we Q, ber erwrugreue Shäzug über Q (II, ber we > σ (mpoh erwrugreu mel NV-Ahme Prüfe lerer (-, homogee Hpohee möglh Verllgemeere lere egreomodell Gu-rkov-Ake-heorem (G Q-Shäzug b ( W W (oeffzee-vekor m ovrzmr V b σ ( W σ S d BUE, dh de bee (homogee lere erwrugreue Shäzug vo. ovrzmr der Fehlererme Umformug vo W I h möglh: Spezfhe Probleme: Heerokede Auokorrelo σ σ De klhe Q-Shäzug b eprh der G-Shäzug m verllgemeere lere egreomodell, we de Fehler glehe Vrz σ ud glehe hegve ovrze σ ρ beze. (zummegeeze r Problem: Fll W h bek bzw flh ud om gehäz werde mu, bleb b erwrugreu, ber de gehäze Vrz mel G wrd verzerr.

17 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 7 vo 35 Heerokede für E( σ Homokede σ σ,..., (klhe lere odell für öug: Uerelug der Beobhuge m Gruppe m glehe Vrze erhlb Gruppe (Proerug. Auoregreo σ, ρ ρ ρ ovrzmr σ k ρ ρ ρ W, σ ρ,, orrelomr W k O 3 ρ ρ ρ Be pover orrelo wrd de Verzerrug de Erwrugwere der gehäze Vrz u G zu eer Uerhäzug der whre Vrz führe. h erpreerbr e uf Auokorrelo.Ordug (A ρ u Durb-Wo-e: Bedguge: oe vorhde; orr(, - ( ˆ ˆ d ( ˆ ρ m Näherug ˆ ˆ ˆ, ˆ ρ ˆ H : ρ H h blehe, we d u d 4-d u H blehe, we d d l oder d 4-d l ρ > ρ ρ < H : ρ : e uf pove Auokorrelo H h blehe, we d d u H blehe, we d d l H : ρ : e uf egve Auokorrelo H h blehe, we d 4-d u H blehe, we d 4-d l kee Ehedug be lle dere Fälle d l d u 4- d u 4- d l 4 d grobe Shäzgreze: verhlägbre bzw kee Auokorrelo, fll.5< d <.5 Fll H bgeleh wrd, dh Auokorrelo vorhde: möglh korrgere zweufge Shäzug: G-Shäzug we verllgemeerem lerem odell m pezellem (gehäzem W beehed u (gehäze ρ. Dh de Proze der Shäzug vo ρ ud erere. Proze brh b, we h gehäze ρ ud h mehr weelh äder. Vrblerformo Homokedhe-Srukur: be hgeweeer A: ρ Bldug der Dffereze: ρ ρ ρ u ρ ρ ( ρ ρ ρ u B uf blebe lle dere Prmeer uveräder. Gewöhlhe Q-Shäzug durhführe. ˆ ˆ ˆ Sofer ρ bek, wrd durh de gewöhlhe Q-Shäzug bemm. egreor W vo Fehler Prmeerhäzug Shäzwere für b, σ lhe oder verllgemeere ee Ahme lee Qudre erwrugreu lere egreomodell lhe Normlregreo NV mum-kelhood σ moh erwrugreu Für Hpohee owe ofdezervlle mu de Verelug bek e, me Normlverelughme. ˆ

18 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 8 vo 35 Whge Vereluge Grudgemhe m bzw Ω Shprobe v bzw ω elwere bzw E( bzw µ B b Uherhe de ewere bzw e Präzo de Ezelwere ( Präzo de elwere ( bzw Vr( bzw σ Verruebereh de elwere f( Fkor der Sude-Verelug Normlverelug ~ N[E( ; Vr(] Ch Qudr Verelug ~ χ ( Z m Z ~ N(; Sude- bzw -Verelug ~ ( Z / (V/ m V ~ χ ( F-Verelug ~ F( ; (V / / (V / egel: df F, df Spezelle Bepel be klher Normlregreo: e e~ χ (ergb Sklr, ee ~ N (ergb r m Elemee d NV See ~ N p (µ; σ ud A p,p [rg(a q] ud b p, hohh. D gl: Ab ~ N q (Aµb; Aσ A We m de Nullhpohee H zurük, begeh m m eer Whrhelhke vo p (-vlue e Irrum. (Zurükgewee, obwohl rhg ofdezervlle ud Sgfkze V 678 vr( b b - ± / / b ( SE b, Uere Shrke elwer Obere Shrke Der whre Wer leg m (-%Whrhelhke deem Iervll (Iervlle mehrerer Shprobe. De ofdezberehe eprehe de ewelge Ahmeberehe vo H für zweege e zum Nveu. b - Zweeger e: H : blehe, fll, SE( b Eege e: H blehe, fll : elwer Obere Shrke b, - SE( b Uere Shrke elwer

19 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 9 vo 35 Prüfe lerer Hpohee Ahme (log klhe Normlregreo & lere erkoe: ee (-,-r r e (-,-Vekor g( - {,,,-}, r hohh ud bek Bp. H : b e H : b b e H beg, d der Prmeervekor zuäzlh zu de odellhme (- eke lere erkoe geüg, de wege g( - ler ubhägg d. Ω W whrhelher, H : ω oder H : Ω h der Shprobe? ω evorhrf: Ω ; σ : E ; σ > { } { ; σ : E ud r; σ > } ω llg. ek (kelhood-quoe Θ möglhe ege ller Vekore 678 uer H } uer H m (, ˆ } ω σ σ ω λ( m (, ˆ ubeke Verelug Ω σ σ Ω ˆ σ ω ˆ σ Ω rformo F ~ F,, ˆ σ Ω Allgemee lere Hpohee (F-e d eeg! H : r; σ > belebg H : r; σ > belebg : ofdezellpode für de volle Prmeervekor r, regulär ( voller g H : - r σ > belebg ek (eeger e: ( b ( b F ~ F, ( (, b b We ewer F > bellewer F df,-, > : ofdezellpode für elvekore oder we p-vlue <, G d H m Fehlerw k blehe. Whl eer zu komplemeäre r G, : regulär, ~ ~ H : r, ud σ > belebg ( b r D( b r F ~ F,, b b ( ( e uf Prmeerkoz Dee prüfe, ob zwe egreomodelle bzw ee Gemhprobe ufgeel uf zwe ubhägge elhprobe glehe Prmeer (Segug bzw Ahebh hbe, uh grfhe ehode d zuwede. Chow Dre äquvlee e zum Prüfe, ob e Srukurbruh vorleg bzw ob de Segugprmeer zweer egreoe gleh d Aufelug, Proerug der Gemhprobe SP m zwe elhprobe SP m, SP m Azhl Beobhuge Zele -Vekor bzw -r Azhl erkmle kl oe Sple kl E-Vekore -r Gem-odell:, proere odell: SP SP

20 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See vo 35 I Eel bzw SPSS be egreofuko de (drdmäg egeelle Opo oe Glehug ehlee dekvere. I ere Sple vo elmrze bzw Gem-r Evekore für oe ebue. I ANOVA: Qudrumme der edue de odell : SSE SS ˆ ˆ ˆ ˆ b ( b. Progoee vo Chow H : deh bede elmodelle dh (her Vekore! erem elmodell: häze vo b ( Vekor! 3 zweem elmodell: ŷ m gehäzem b berehe 4 Bemme de Progoefehler: - ŷ (b 5 ewer: [ σ V ( ] 4448 ( I ( F ˆ ˆ ( ~ F, Were der ek F, de gröer d l der bellewer F,- führe zur Ablehug der Nullhphee H.. Alerve Ableug: Chow-e l me-hf e ~ ed model: Z I δ H : δ Q-Shäzug vo ~ ~ b ˆ ~ : b, 3 ewer log Progoee vo Chow ( δ 3. e mel odellwhl H : deh bede elmodelle ( ˆ ˆ ˆ ˆ ( SSE SSEu F ~ F ˆ SSE, ˆ u ( ( SSE Fehlerqudrumme u egreo ller Beobhuge SSE U Fehlerqudrumme u der elregreo m uf ( Beobhuge e vo He Ohe Wllkür de Chow-ee bereffed der Aufelug der Gemhprobe H : oz ezele u/o lle Prmeer zumme ˆ,..., f, f ( ˆ ˆ f, S f, ( S σ S m v f,..., v ek für ezele Prmeer ( gememe ek V m V f f Groe Were (> bellewer führe zur Ablehug vo H. Neuere ökoomerhe Sofwrepkee ehle de Hee.

21 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See vo 35 e uf Srukurwehel Chow-e: Uerelug m ovrble ud. Eml elmodell regreere, eml gze regreere. Problem: Deäze uuhbr. Für geüged groe eldeäze e beer, bede Deäze durh e gememe odell zupe ud uf gememe Prmeer zu ee. Azhl Beobhuge Zele -Vekor bzw -r. Azhl erkmle kl oe Sple kl E-Vekore -r bere egebu. Dh -r, ergb -Sple! Allg Aufbu ( ( SSE J SSE SSE Sk F Chge bzw F U J Azhl Prmeer, de l geomme werde U Volle odell m lle Prmeer (uh Dumm für elhprobe zb ergere odell; ohe Prmeer,, de H l geomme werde (H rff zu zb SS U SS SS SSE U SS SS SSE Fll mm, SS U SS. Som SSE SS SSE U SSE U I ANOVA: Qudrumme der edue de odell : SSE SS ˆ ˆ Aufbu F-Sk ehe uh Abh: Au Übuge (SPSS Suhe h dem geegee odell Her l Vekore (3 odelle log e be Zhlehrebwee H : e Srukurwehel dh bzw - (Vekore Zwe-Shprobe-e Gemhprobe l Zummefug zweer ubhägger Ezelregreoe Q-Shäzug vom b-vekor: ( ( b b b ( ( ( [ ] ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( wobe b b b b F el der Qudre der edue ANOVA SS/(- e m dem rerkve Q-Shäzer. odell we proere odell be Chow ( ( b. odell we Zwe-Shprobe-e odell odell b b b.. ˆ, ˆ ek F F, ~ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ergere odell (Prmeer fehle, de m l mm Alerver e m hrerkve odell 3 Sdrdofwre prüf H durh Prüfe der Sgfkz der leze egreore Ab her ud l Zhle (h Vekore Blde ( (, d her om Azhl erkmle ohe oe (dzugehörger E-Vekor, dh Azhl Elemee de Prmeervekore, Slope ele Prmeer uf oe & Prmeervekor (Slope : } } Prmeervekor e o

22 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See vo 35 rhrebwee de odell Vrblehrebwee mel r-eheoperoe Ahme de odell m SSE, df: - Gememe Prmeer oe Slope. m SSE, df: --. m SSE verhedee oe glehe Slope-Prmeer 3 3. m SSE 3, df: - 3. m SSE 3 uerhedlhe Prmeer verhedee oe verhedee Slope odellhme Nullhpohee H zugehörge eke e uf glehe Prmeer H : ud dh -Vekor -Vekor - - ~ ( F SSE SSE SSE F, 3 3 ~ e uf glehe Aegvekore H : - ~ - ( ( F SSE SSE SSE F, 3 3 ~ 3 e uf glehe oe H : ~ (ur ee oe pro elmodell uer Ahme gleher Slope (, ~ F SSE SSE SSE F Egbe der erkmle SPSS-belle leze Obek elhprobe, ere Obek elhprobe 3 -Were ( für oe dzugehörge Prmeer erkml leze Obek elhprobe, erkml ere Obek elhprobe dvere dere e: e m Progoefehler S.E.P.( Eher grfhe Berhuge, ehode: e m rekurver Shäzug, CUSU ud CUSUSQ-e

23 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 3 vo 35 Vrzle l pezelle lere odell : quv, : oml (ev ordl odelle der Vrzle d pezelle egreomodelle m dkree Vrble (de Fkore, dere gzzhlge Were ewel vo b zu eem mlwer lufe ud de ogee Fkorufe (Gruppe zege. odell I (m fee Effeke de dem mehrfhe elwervergleh quver ormlvereler erkmle, de fe ugewähle Veruhobeke beobhe werde. emh ugewähle Obeke Vergleh der Wrkuge vo Behdluge odell II (m zufällge Effeke de der Zerlegug der durh de Eflu mehrerer Fkore erzeuge Gemvrblä (Vrz ompoee, de de Eflu ede Fkor wderpegel ud ee ompoee, de h durh de Fkore erklär wrd (evrz. zufällg ugewähle Obeke Ieree ewelgem Ael der Gemvrblä Efkorelle Vrzle E Fkor A (efhe lfko wrk Sufe (Behdluge,reme; zb verhedee erlwer oder e erlwer m verhedee ozeroe vo Nr. blde dher Shprobe SP u ~ N(µ,σ -Grudgemhee m Shprobeumfäge. Blzer, fll lle gleh r. Ezelveruhe e Sufe vo A Wederholuge Summe der epoe e SP Vekor Y SP-el Vekor Y Y Y Y Y Y Y Y Y / / Y / Ahme: ~ N(, σ [dh ~ N(µ, σ ], d (ubhägg ud deh verel; eprmererugbedgug: ; möglh r (blzerer Fll dm robu gege Abwehuge Efkormodell: µ (,,;,, ozero, µ Gemmel, Effek der. Sufe de Fkor A zb I der Sufe zb Aproz de ozero vo Nr m.veruh gro. Y > } µ,, E gb eke ulkollerä, d rg(. De Shäzbrke vo für ede erko r m g( J ud g geher. Ebu eer erko: wähl r, (,,,, lo.

24 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 4 vo 35 ˆ µ Q-Prmeerhäzug b( ( ( D D ˆ,,,,,,, e b ˆ Vrzzerlegug (log ANOVA, Au Übuge SPSS derer Weg: Vrzzerlegug v heorem vo Cohr [58] Durhh über lle, Durhh über Sufe Prüfe der egreo mel Gemgfkze (mulpler elwerverglehe F Vrourhe SQ df Q F Zwhe de Sufe de Fkor A Ierhlb de Sufe de Fkor A H : für md. zwe (Prmeerrum Ω ureger. µ ol, korrek H : (Prmeerrum ω SQ SQ SS A SS e g e dul SQ ( ( ol rerger: µ SSorr ( erwrugreue Shäzug vo σ Q edul de E(Q edul σ, E( Q A SQ df A A SQ Q e dul df σ (uer H ebefll erwrugreu Zwe möglhe Ergebe de ulple elwervergleh (F-e I Sufe vo A H : bzw: µ µ blehe, fll Q Q F A e d, ; Fehlerblke dgrmm H : blehe E gb Effeke verhedeer ozeroe. H h verwerfe ke Effek verhedeer ozeroe hwebr Welhe elwere bewrke Uerhede? Gb e Gruppe m glehe elwere? (dee Ale de fo beede ggf Erhöhug vo ud Ale wederhole evee-e der Vrzglehhe zweer SP F > m F, Y Y H : σ σ Y blehe, fll ( H blehe bzw m Zwefelflle -e für de elwerglehhe uer Ahme: Vrze d ugleh berhe. H h blehe -e für de elwerglehhe uer Ahme : Vrze d gleh berhe. e gf dfferee (SD GergeSgfke Dfferez. Doppeler -e (Vrze ubek ber gleh Prweer e uf elweruerhede. De Fehlerwhrhelhke relv hoh, d be Gruppe (- / e m Irrumw k durhgeführ werde müe. Som relv fällg für fehlerhfe Ierpreoe.

25 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 5 vo 35 H: µ µ dh µ - µ blehe, fll h m I ehle ( ( SD P µ µ ; gepoole ; gepoole Vr ˆ (. ( ( ( gepoole (gememe Vrz vo l el-sp: l gepoole l Be Vrze ubek ud ugleh Welh-e (Vrze ubek ud ugleh SPSS: pel 9 -e bzw Idukve Sk S. 45 ( ( ; zb l : gepoole ( ( Gruppe m glehe elwere köe l ee Gruppe zummegef werde. beer mulple Verglehe Ee erkombo vo elwere he erer or, fll ud gl. E lerer or vr gegeüber eer ulplko m eer oe, dehlb m bee drdere m (ormer. Orhogole ore d e weelhe Hlfmel, um de Zhl der möglhe Prverglehe uf de mlzhl ubhägger Hpohee zu reduzere ud de Prüfbrke zu her. Przpelle Vorgehe: Ezele Sufe f m zwe Gruppe (g, hzumme. De Sufe de ezele 678 h hh Gruppe köe uerhedlh gewhe werde Vekor, wobe h. >, g. < ud. De g Hpohee: oder gege gg oder Sufe, de m h behe wll, erhle de Gewhug. ( H : µ, blehe fll F > F, ( Qe dul k uh ee Hpohee mehrfh eem e m mehrere ore prüfe ( Dubbelher. Orhogolem ( µ,, v µ vo ore,fll δ. ZB µ µ ud (µ µ / µ 3 m (, -, ud (,, -; r (blzer H : µ µ µ 3 bzw,, 3 bzw µ blehe, ( ( fll r r F Q e dul > F,

26 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 6 vo 35 Vrz lerer ore ( ubhägge Shprobe ( (orhogole ore de elwere Prüfe vo Behdluguerhede gemä der durh de or gegebee lere Fukoe der elwere. blzerer Fll Vr( σ σ, wobe gehäze σ Q edul r Sufe, Behdlug elwer. ore ( g Vekore o o Auprägug der -e o Sufe m g-e or ( g g g o Vr( o g Vr( Vr( g g Vr( Vr( g Vr( Oew-Prozedur (e pro ezele ore d (Sgfkz-e: H < µ d, H : µ : d > < > > ; ; ; H blehe H h blehe H ehme H h beäge - - -,- leg wo? H blehe H ehme H h blehe H h beäge H blehe H ehme / - / - -,-/ -,-/ leg wo? H h blehe H h beäge H blehe H ehme - -,- leg wo? ( (orhogole ore de Summe de epoe Zerlegug der Vrblä SQ A (Behdlugeffek. Ermlug bzw Bemmug gfker Subeffeke. ZB H Dügerkozero Z ee uerhedlhe Effek l Dügerkozero Z?. Y Y blzerer Fll σ r Vr( Y σ, wobe gehäze σ Q edul Sufe, Behdlug... epoe Y Y Y. Y ore ( g Vekore o o Auprägug der -e o Sufe m g-e or ( g g Sgfkz der Subeffeke (pro o ee! So H : o Y blehe, fll Q e dul g > F Y g Y o Y, F, ( r SQ A S o ( Y o oo r g } ( oy r o o k Pre oder dere omboe vo Behdluge verglehe. E eere für Sufe Seme m g - orhogole ore. o S o

27 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 7 vo 35 ulple Verglehe Weere he Verfhre zum Vergleh vo ezele oder Gruppe vo elwere. De Verfhre uerhede h ebe der Zelezug- vor llem der Ar ud Wee, we e de Fehler.Ar korollere. Epermewee Verglehe (per eperme b Gruppeverglehe zu Beg de Eerme fe gepl. De Prozedure korollere de Fehler mul. ufgeel uf de verhedee Gruppee, o d m Geme Fehler bleb. Allg. H : µ µ Verfhre vo Sheffé Deer e ber uf der F-Verelug ud führ uf deer B mulple Verglehe durh. Gegeüber de dere e we deer ee elweruerhed er be eer gröere Dfferez l gfk u. Geg µ m l lerer or vo µ ud. m (,,. H : µ blehe, fll h m I ehle. I P ( S µ S m ( S Qe dul F, ; belle o o o S g - ore bzw Sufe (ohe orollufe g.. g g. o g ± ± ± S S Boferro - ehode Deer e ee modfzere Form der SD. Auh er führ ezele -e zwhe de Gruppemelwere durh, überwh edoh de Gemfehlerre de mulple e. g - Verglehe m eem mulple eveu vo höhe (wrd zu glehe ele uf de k Verglehe ufgeple. Boferro-Uglehug k H k P( H P( H m H : omplemeärereg zu H P( H ergb h P( H H k k H : g - ore µ blehe, fll h m I ehle. I P Q µ ; e dul ; (k (k belle blzere Bp o o o ± Q g < - ore bzw Sufe (ohe orollufe Q e dul g.. g g. o g ± ± ; (k ; (k ; (k Q Q e dul e dul e dul o o g g r r r

28 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 8 vo 35 Sude-Newm-eul-e (SN E werde dee Gruppe zu eer homogee Uergruppe zummegef, dere elwere be eem 5%- Sgfkzveu h gfk voeder verhede d. ee erhlb der Uergruppe weder uf elweruerhede. Auf B der Sude-Verelug werde prwee Verglehe zwhe de Gruppe durhgeführ. Vergleh vo k elwere: Orde der SP-elwere: Q blzer e dul r SN Q ;(, Q ;(, Qe dul r (,, k- u belle d de Qule Q ; (, - (udeere g-were Dffereze k- ( - (k > SN k k- ( - (k- ( - (k > SN k- > SN k- k-3 ( - (k- ( - (k- (3 - (k > SN k- > SN k- > SN k- - k-d ( - (k-d > SN k-d ( - (k-d > SN k-d (3 - (k-d3 > SN k-d ( - (k-d > SN k-d - - ( - ( ( - (3 (3 - (4 ( - ( > SN > SN > SN > SN Prozedur m Zählvrble d,, k- Sd be Dfferez k-d lle ( - (k-d > SN k-d? (ud h oder! J de Dffereze k-d d gfk d d Prozedur weerfhre b e opp gvrzle m vollädg rdomere Veruhpl Ahme der ormlverele epoewere wrd verworfe. Neu Ahme: epoe eg, ber h NV oder kegorler epoe ( > ( > > (k- > (k ( - (k > SN Ne kee gfke elwerdffereze m k - d e opp rukl-wll-e Emme mehrere ubhägge Shprobe derelbe Grudgemhe? Herbe werde de mlere gwere verglhe (Ordlveu. r O eprh der rpoere.-belle h el efkorelle Vrzle odell: µ Ahme: ~ F(, σ belebg ege Verelug & Ubhäggke erhlb ud zwhe de Gruppe Blde gordug der r Were ud erez dee Were der obge belle de gfolge-were. Berehe de dumme ud gmelwere.

29 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 9 vo 35 ( r r r r r r O E mu h ubedg e blzerer Fll r e! r r H 3( ( ( ( orrekur be Bduge: Fll mehrere Were gleh gro d, dh glehe äge hbe müe, werde de äge, de e beeze müe ummer ud durh de Azhl gleher Were dvder. ZB E gb dre glehe Were 5, 5, 5. Der ähe zu beezede g wäre. (34/3 3 om erhle lle dre Were de g 3. De äge ud 4 werde h vergebe. Der ähfolgede g 5. ( H H H p k k k orr > 3 3 p Azhl Gruppe m glehe äge, k Azhl der glehe epoewere erhlb der Gruppe Vergleh- bzw krher Were: < 5 pezelle belle ; o H ~ χ- dh -; - - belle H: µ µ Fll H bgeleh wrd (H > bellewer, k m m mulple Verglehe weerfhre, um de geue Urhe der Ablehug zu prüfe. ulple Verglehe be gde Gepler Ezelvergleh pl vor der Deerhebug zwe ugewähle Gruppe zu verglehe Wloo gummee. Vergleh ller prweer Dffereze Vergleh ller (- / möglhe Pre (, vo Dffereze m >. Für groe Shprobe. H: µ µ wrd bgeleh, fll r r z ( > z - / [(-] Vergleh orollgruppe lle übrge Behdluge wähl u de Behdluge ee orollgruppe ud vergleh e prwee m de verblebede - Behdluge. e log vorherger ber m bellewer z - / [(-]

30 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 3 vo 35 Zwe- ud ehrfkorelle Vrzle Veruhpläe, de de epoe für lle möglhe omboe vo zwe oder mehr Fkore uwere, hee fkorelle Epermee oder reuzklfkoe. See Fkore A m r Fkorufe (Aupräguge gegebe, o erforder der vollädge Fkorpl r r Veruhehee für ee Durhluf. behräk h be der Azhl der Fkore we uh be der Azhl hrer Sufe. Hupeffeke eer Fkor: Veräderug de epoe be Wehel der Fkorufe Grphhe öuge: prllele e oder uerhedlhe Seguge be Wehel der Fkorufe erhlh?... Sufe de Fkor B Ohe Wehelwrkug Wehelwrkug Sufe de Fkor A Zwefkorelle Epermee m Wehelwrkuge (odell m fee Effeke Geg. Fkor A m Sufe, Fkor B m b Sufe, r Wederholuge pro ombo (,, dh N rb Veruhehee odell m Wehelwrkug: k µ ( k odell ohe Wehelwrkug (Ubhäggkemodell: Efkormodell: k µ k bzw k µ k k µ k k : epoe zur -e Sufe vo A, -e Sufe vo B der k-e Wederholug µ : globler elwer (overll me Ahme: : : Effek der -e A-Sufe Effek der -e B-Sufe b ( : Wehelwrkugeffek der ombo (, : zufällger Fehler (uemher Sörerm ~ N(; σi b ( ( Blde de reuzmr m de dumme ud dmelwere owe de Gemumme ud -melwer. Q-Shäzer der Prmeer ˆ µ Y N ˆ ˆ Y br µ ˆ Y r µ ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Y r µ orrekurgled C Y N

31 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 3 vo 35 fel der Vrzle m AB-Veruhpl m Wehelwrkuge Urhe SQ df Q F Fkor A SQA Y C br QA FA Fkor B SQB Y C r b QB FB Wehelwrkug A B edul ol SQ SQ SQ A B r e dul ol r SQ Y ol br Y r Y Y C SQA SQB ( SQA SQB SQA B SQSubol Y C ( k k k C r C ( - (b - QAB FAB N b b(r- Qe H: ( für lle (, dh odell m Wehelwrkug v odell ohe Wehelwrkug QA B FA B > F( ( b, b( r ; Q wrd bgeleh, fll e dul Fll H: bgeleh werde k, odell m Wehelwrkug gülg. Ee eduzerug uf e Efkormodell roz ee hgfke Hupeffek h möglh. N - H: für lle (, dh odell m Wehelwrkug v odell ohe Eflu vo A QA FA > F(, b( r ; Q wrd bgeleh, fll e dul H: für lle (, dh odell m Wehelwrkug v odell ohe Eflu vo B QB FA > F( b, b( r ; Q wrd bgeleh, fll e dul ere egreo m kegorle egreore egre Y weerh quv E kegorler egreor (erkml m k möglhe erkmlupräguge (Orglwere wrd durh k- eue egreore (Dumm koder. Nh Whl eer eferezkegore u de Orglkegore {,, k} ergebe h de Dumm,,, k, we folg: Dummkoderug: eferezkegore: lle Eräge, Segugprmeer l Abwehug zur eferezkegore. fll egore vorleg o Effekkoderug: eferezkegore: lle Eräge, Segugprmeer l Abwehug zu eer mlere egore. fll egore vorleg fll egore vorleg o Der elwer eer bomle Dumm-Vrble eprh dem Ael de mple dere Dumm. % der m Dumm uerlegede Were, de vorhde d, dh m kee Agbe be deem egreor werde h berükhg.

32 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 3 vo 35 Au Übuge (SPSS Suhe h dem geegeee odell Allg. E gb ke bee odell! De Auwhl de m bee für ee Zweke pede odell häg vo mehrere Fkore b. ZB W wll m dm mee? Wevel Geugke whg? Wevel Aufwd, oe wll m ufwede? Welhe Vrble d m efhe erhällh bzw vorhde? E el der Berehug, Drellug elher Ske, Dgrmme, e k der Sker d für h geegee odell durh Vrere der egreorukur (Welhe mm m odell? Gruppebldug, e. fde. De Begrüdug leg m Sker überle, wehlb er dee odell ud ke dere geomme h. dvere pel u SPSS: ehr üzlh! Al llerere e m volle h grphh e Bld vo de De zu mhe (Sreudgrmme, bzw, ; Verelug der edue h eer egreo; e. SPSS k verhedee egreoe m Auwhl verhedeer blde: De dru vorgehlgee odelle vo SPSS müe h e h egreovorgehe h eprehe! Eer: Alle egegebee Vrble werde geomme. Forwrd: Zuer ur de Vrble m höher preller orrelo zu (bzw efem F-Wer ehme. Dh mmer e weere m ähhöhe preller orrelo zu (bzw efem F-Wer hzuehme e. Bkwrd: Zuer lle Vrble egreo ehme. Dh mmer d m gerger preller orrelo zu (bzw höhem F-Were efere. Sepwe: De Vrble werde be edem Shr uf Auhlu ud Aufhme geprüf. Ahug ordle bzw omle Vrble mhe kee S de Forwrd, Bkwrd, Sepwe-Opoe! wll vo der Shprobe SP uf de Grudgemhe GG hlee köe. Dzu berehe m eke, de prüfe olle (me uer Ahme der Normlverelug der GG owe der SP, ob de Ahme m eer bemme Irrumw k zureffe. Sgfkz: I p-wer <, wrd Nullhpohee H : rgedee Vrble m eer Fehlerwhrhelhke vo bgeleh. eprh der W k, d H bgeleh wrd, obwohl de Ahme rhg wäre. Allg Berhuge für e gue odell SPSS-belle: oeffzee orrelo (orrelokoeffze r: E olle e Zummehg zwhe der bhägge Vrble ud de ubhägge Vrble, ber keer zwhe de beehe, o beeh Gefhr der ulkollerä be de. orr(, ( ber orr(,, o mulkoller Grphhe Berhug: Sreudgrmm, Pukewolke orrelobelle: Sgfkz, Särke de Zummehg Ahug be Dumme-Felegug uf olleräkrerum he! Dh e Dumm l eferezkegore wähle ud durh relhe Dumme udrüke. ZB be ole Dumme: Frühlg, Sommer, Herb, Wer - ( Frühlg Sommer Herb k Zummehäge zwhe de uüze, dem m ee eure Vrble ee gügere Vrble g für odell mm, wobe gl orr(, g. B Bk wll redwürdgke mee. Der oh korreler m der Beruf. Bede d korreler m der redwürdgke. D der oh hleher bgefrg werde k bzw weger ger gegebe wrd ( euer, mm m de efher bzufrgede Beruf ( bllger l odell. orrelokoeffze r ( ( ( ( SY S SYY ov(, Y vr( vr( Y

33 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 33 vo 35 Auh SPSS: Augehloee Vrble ollerä Ske orr(,? De olerz der Ael der Vrz eer Vrble der durh de dere Vrble m odell h erklär wrd. - (u egreo vo uf dere. Je gröer, deo weger mulkoller, deo beer. ~ m. oh ok Vrz-Iflofkor VIF / ~ m oh ok egedem VIF bzw kedem eg de Vrz der Shäzwere, wodurh de Shäzug bl wrd (ullkollerä. SPSS-belle: ollerädgoe Egewere λ: ehe rheore. E gb o vele Egewere pro odell (Dmeo we e Azhl (kl oe gb. De Egewere d h rformoree (zb Umrehuge vo CHF $ ergebe dere λ, dehlb mu m de Egewere für Verglehe, e drdere. λ odode m λ Je gröer ezele ugeweee ododze d, deo ärker edezell de ollerä. Furegel: [, ]: mäge; > 3 rke olleräproblem Vrzele: De Vrze der egreokoeffzee le h ompoee zerlege, de de Egewere zugeorde d. De Summe deer ompoee beräg für ede egreokoeffze. We h u zeg, d derelbe Egewer de Vrz mehrerer egreokoeffzee hohem e erklär, bedeue de, d de bereffede Vrble rk voeder bhägg d. SPSS-belle: odellzummefug Bemmhem l Güem für de Apug zeg welhe Ael der Gemvrblä durh d odell erklär wrd. E eg m Hzuhme vo weere ohe ükhhme, ob d zuäzlhe überhup für d odell voll., Azhl egreore u vollem odell > u Submodell Bezehug zu orrelokoeffze: r D d. korrger dee d. E eg ur, we d hzugeommee uh ew zur Verbeerug de odell beräg. De Aduerug erfolg m Beregug durh de ewelge Frehegrde ˆ ˆ e ( ( ˆ ( ˆ ˆ ˆ e SS SS SSE geme erkläre h erkläre Abwehuge (ewel m Qudr SSE SS SSE ( d. ( SS SS SS ( Shprobeumfg, Azhl gehäzer Prmeer (kl., Azhl oe, me (be Akverug Opo: kee oe Azhl Beobhuge, Shprobeumfg: Zele -belle Azhl erkmle kl oe, dh Azhl gehäzer Prmeer (kl. : Sple (kl EVekor -belle. Azhl oe, me (be Akverug Opo: kee oe ACHUNG: Her wrd -belle l h proer geomme, dh -r eprh her lo -Sple oder ur! zb h -Gewh ud - Gewh ( erkmle m Proerug, oder ur Gewh ( erkml

34 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 34 vo 35 ANOVA (Al of Vre Vrzle globle Vrzle: volle odell (urered Qudrumme SS, SQ egreo SS SS eg edue SSE ˆ ˆ SS SS ed Gem SS SYY SS orr ergere odell Frehegrde df ~ wrd verglhe m ohe ehe egreore, ur oe el der Qudre Q SQ / df - SS / (- - SSE / (- - SS / (- Gemgfkze F-e: H : / SS ( ~ SSE ( F, d. / (d. mel df SS / SS F-Sk prüf de gememe Sgfkz ugewähler (rerkve odell U (urerkve odell H : Alle J-ugewähle (uer oe H : md. ee deer ugewähle (uer egreo ohe de J-ugewähle (lo ur -J egreo m lle - Submodell m -J egreore (kl oe odell m -egreore bzw (kl.oe, -Submodell U-volle odell & U & SSE U SSE ( ANOVA-belle: Gemgfkze: J - SSE U SSE ud SSE - SSE U SS SSE SS F-Chge prüf de Sgfkz der Veräderug vo durh Hzuhme weerer J Vrble zum kleere (rergere odell m -J egreore, gröere (urergere odell h egreore. U ( SSE SSE F Chge bzw F Sk J ~ F U J, SSE ( I der F-Wer gröer l der bellewer, wrd H m eer Fehlerw k vo verworfe. SPSS-belle: oeffzee -Sk prüf de Sgfkz ezeler I erkml zu überhup relev dh ; fll uf pezeller Wer b geee werde oll, dee eeze b ( b H : ( b, H :, Sk ~ σ b Sgfkz: H wrd zugue vo H m eer Fehlerwhrhelhke bgeleh, we p-vlue <. Sd de F-Sk bzw -Sk h gfk (H k h bgeleh werde, d geme odell (be F bzw d llee (be h relev. ofdezervll (Iervllvorherge: I welhem Bereh wrd zu - W k lege? I b ± b ; σ. Fll h ehle, gfk. Prüfug der edue owe weere e zur Überprüfug der Ahme Grphke berhe & eke: Sd de edue e ormlverel? Gebruh für ofdezervlle, Hpoheee, e (Zur Verefhug werde de edue drder, dh rformo elwer ud Sbw Häufgkeblke (: e^; ^: W k: Wrd Glokekurve der NV bgeblde? P-P-Dgrmm (: beobhee kum. W k vo e^; :erwree (NV- kum. W k vo e^: Auf eer e NV, uer, ev d releve h berükhg worde dzugehörger e: olmogorov-smrov-apuge (oder χ -Apuge be groe SP Serplo: ree de edue zufällg uf? - (: e^; ^ orr(^,e^ ~ : Sd de edue e h m ^ korreler, dh kee Srukur erhlh? Be Srukur d womöglh releve Vrble h odell geomme worde. - orr(, ^ ~ : Sd de beobhee (reele Were m de u dem odell berehee [ý f(] korreler?

35 Ökoomere (ehode der Ökoomere r Solerm See 35 vo 35 I Auokorrelo vorhde, de korrger werde oll (d be Zerehe whg? e uf Auokorrelo der edue, d.h. ob orr(e, e : Durb-Wo-e durhführe I Heerokede vorhde, de korrger werde oll? e, ob e Srukurbruh vorleg bzw zwe SP glehe Prmeer ufwee, e. evee-e der Vrzglehhe zweer SP, dh H : σ G σ G : Sgfk? JA bzw m Zwefelflle NEIN -e für de elwerglehhe uer Ahme: -e für de elwerglehhe uer Ahme : Vrze d ugleh berhe. Vrze d gleh berhe. SPSS: -e