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1 Inhaltsverzeichnis Einführung Die Simulationspipeline Einführung in die Modellierung Allgemeines Herleitung von Modellen Analyse von Modellen Klassifikation von Modellen Skalen Einführendes zur Simulation Allgemeine Bemerkungen Bewertung 15 Benötigtes Instrumentarium in Kurzform Elementares und Diskretes Kontinuierliches Lineare Algebra Analysis Bedeutung für Modellbildung und Simulation Stochastisches und Statistisches Warum Zufall? Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume Asymptotik Induktive Statistik Numerisches Grundlagen Interpolation und Quadratur Direkte Lösung linearer Gleichungssysteme Iterationsverfahren Gewöhnliche Differentialgleichungen Partielle Differentialgleichungen 78 Bibliografische Informationen digitalisiert durch

2 XII Inhaltsverzeichnis 2.5 Bezüge Instrumentarium - Anwendungen 83 Teil I Spielen entscheiden planen: Ein Warm-up zur Modellierung 3 Spieltheorie Spiele in strategischer Normalform Spiele ohne Annahmen über den Gegner Reaktionsabbildungen Dominante Strategien Nash-Gleichgewichte Gemischte Strategien Ausblick 99 4 Gruppenentscheidungen Individualpräferenzen und Gruppenentscheidungen Beispiele für Entscheidungsverfahren Bedingungen an Auswahlfunktionen, Satz von Arrow Zeitpläne Prozess-Scheduling (deterministisch) Prozess-Scheduling (stochastisch) Job-Shop-Probleme Weitere Zeitplanprobleme Wiener-Prozesse Vom Bernoulli-Experiment zur Normalverteilung Normalverteilte Einflussgrößen Wiener-Prozesse Anwendung: Entwicklung von Geldanlagen 146 Teil II Verkehr auf Highways und Datenhighways: Einmal durch die Simulationspipeline 7 Makroskopische Simulation von Straßenverkehr Modellansatz Homogene Verkehrsströmung Ein erstes Ergebnis Geschwindigkeit, Fluss und Dichte Fundamentaldiagramm Modellverfeinerungen Inhomogene Verkehrsströmung Simulation einer einfachen Ringstraße 166

3 Inhaltsverzeichnis XIII Ein erster Versuch Eine verbesserte Simulation Signal- und Verkehrsgeschwindigkeit Zusammenfassung und Ausblick 176 Mikroskopische Simulation von Straßenverkehr Modellansatz Zelluläre Automaten Straßenverkehr Eine erste Simulation Stochastische Erweiterung: Trödelfaktor Freier Verkehrsfluss Höhere Dichten, Staus aus dem Nichts Validierung und Kalibrierung: Fundamentaldiagramm Modellierung von Verkehrsnetzen Verkehrsgraph Kreuzungen Pläne und Vorhaben Modellverfeinerungen Zusammenfassung und Ausblick 210 Stochastische Verkehrssimulation Modellansatz Wartesysteme Stochastische Prozesse Klassifizierung elementarer Wartesysteme Beispiele zur Kendall-Notation Leistungskenngrößen und erste Ergebnisse Warteschlangennetze Parameter in Warteschlangennetzen Asymptotische Analyse Analyse und Simulation Markov-Prozesse und Markov-Ketten Wartesysteme Warteschlangennetze Simulation Zusammenfassung und Ausblick 245

4 XIV Inhaltsverzeichnis Teil III Dynamische Systeme: Ursache, Wirkung und Wechselwirkung 10 Populationsdynamik Modell von Malthus Verfeinerte Ein-Spezies-Modelle Lineares Modell mit Sättigung Logistisches Wachstum Zwei-Spezies-Modelle Ein diskretes Ein-Spezies-Modell Regelung Regelungstechnische Grundlagen Regelkreis Beschreibung linearer dynamischer Systeme Anforderungen an den Regler PID-Regler Exemplarische Modellierung eines Mehrkörpersystems Linearisiertes Modell mit Impuls- und Drallsatz Vollständiges Modell mit Lagrange-Gleichungen Simulation des Pendels Fuzzy-Mengenlehre Zugehörigkeit zu Fuzzy-Mengen Operationen mit Fuzzy-Mengen Linguistische Variablen Fuzzy-Logik Regelbasiertes Fuzzy-System Fuzzifizierung Inferenz Defuzzifizierung Beispiel Fuzzy-Regelung des invertierten Pendels Parameter und Randbedingungen Aufschwingen des Pendels Stabilisieren des Pendels Ausblick Chaostheorie Einleitung Von der Ordnung zum Chaos Logistische Abbildung und deren Fixpunkte Numerische Untersuchung und Bifurkationen Übergang ins Chaos Seltsame Attraktoren 311

5 Inhaltsverzeichnis XV Selbstähnlichkeit und fraktale Dimension Henon-Abbildung Allgemeine zweidimensionale quadratische Abbildung Chaotisches Verhalten eines angetriebenen Pendels Modell des Pendels Diskretisierung Zyklen und Attraktoren 321 Teil IV Physik im Rechner: Aufbruch zum Zahlenfressen 13 Molekulardynamik Modellierung von Molekülen und Wechselwirkungen Fundamentale physikalische Kräfte Potenziale für ungeladene Atome Berechnung der auf ein Atom einwirkenden Kraft Bewegungsgleichung und deren Lösung Bewegungsgleichung Euler-Verfahren Velocity-Störmer-Verlet Bemerkungen Simulationsgebiet NVT-Ensemble Randbedingungen Implementierung Linked-Cells-Datenstruktur Parallelisierung Ausblick Wärmeleitung Herleitung der Wärmeleitungsgleichung Anzahl an Dimensionen Diskretisierung Punkte-Stern Punkte-Stern Randbehandlung Numerische Lösung der PDE Einfache Relaxationsverfahren Mehrgitterverfahren Strömungsmechanik Fluide und Strömungen Mathematisches Modell Navier-Stokes-Gleichungen 372

6 XVI Inhaltsverzeichnis Anmerkungen zur Herleitung Diskretisierung der Navier-Stokes-Gleichungen Finite Differenzen Behandlung der Ortsableitungen Behandlung der Zeitableitungen Behandlung der Randbedingungen Numerische Lösung der diskretisierten Gleichungen Zeitschritt Ortsdiskrete Impulsgleichungen Ortsdiskrete Poisson-Gleichung für den Druck Zur Stabilität Anwendungsbeispiel: Umströmung eines Hindernisses Ausblick Aufgabenstellungen und Modelle Diskretisierungen Anhang: Kleiner Exkurs zur Gittergenerierung Strukturierte Gitter Unstrukturierte Gitter Ansätze zur Behandlung veränderlicher Geometrien Globale Beleuchtung in der Computergraphik Größen aus der Radiometrie Die Rendering-Gleichung Techniken zur Lösung der Rendering-Gleichung Ray-Tracing Path-Tracing Weitere Ray-Tracing-Derivate Das Radiosity-Verfahren Grundprinzip Berechnung der Formfaktoren Lösung der Radiosity-Gleichung Anmerkungen und Verbesserungen 414 Abschließende Bemerkungen 417 Literaturverzeichnis 419 Sachverzeichnis 423