11 Gleichgewicht und Elastizität

Transkript

1 11 Gechgewcht und Eastztät 1

2 Objekte m Gechgewcht Studenobjekt snd Körper, be denen sowoh de resuterende Kraft as auch das resuterende Drehmoment NULL snd ( I ) 0 ( II) τ 0 Geschwndgket des Massenschwerpunkts muss ncht notwendgerwese Nu sen Warum snd soche Bedngungen für de Physk trotzdem nteressant? Man fndet kaum Stuatonen, n denen auf enen Körper kene Kräfte wrken. Tewese können de angrefenden Kräfte so groß werden, dass sch de Objekte stark verformen. Ene Kenntns der statschen Gegebenheten kann soche dynamschen Prozesse verhndern Anwendung Statsche Berechnungen Technk: Gebäude, Brücken, Maschnen, ahrzeuge Medzn: Musken und Geenke

3 Statsches Gechgewcht Erste Bedngung Komponenten von D und W entang Koordnatenachsen berechnen Deckenbefestgung D Dy D W Wy D cos 45 sn 45 Wandbefestgung 0 W Gewchtskraft gy g 0 mg De Summe aer angrefenden Kräfte an den Körper st NULL 0 W D cos N cos N W 0 Kräfte n -Rchtung NULL 0 y Dy sn 45 g 50kg 9.81m/s² Dy 694 N sn 45 Kräfte n y-rchtung NULL D D ( 490) + ( 694 N) D 850 N Der Draht, der den Kroneuchter hät, muss aso wengstens ene Masse von 850 N/g~87kg tragen können. + y y 45 g r D 45 r r W g 50 kg 50kg 9.81m/s² g Dy 490.5N r D D 3

4 Statsches Gechgewcht Zwete Bedngung Summe der angrefenden Kräfte st NULL, aber de Summe der Drehmomente st ungech NULL De Summe aer angrefenden Drehmomente an jedem Punkt enes Körpers st NULL τ 0 In zwedmensonaen Probemen und das snd praktsch ae, reduzert sch de Anzah der Gechungen auf dre. Dabe st das Koordnatensystems (,y) für de angrefenden Kräfte fre wähbar ( 1) ( ) () 3 τ z y m Gechgewcht der Drehmomente Veragerung des Aufagepunkts, d.h. Reduzerung von r erhöht das Drehmoment durch M enorm. R ändert sch dabe kaum r mgr M M mg R R r R M 4

5 O auf Leter W g resuterende Kraft verschwndet y + W g y g W L Θ Koordnatenursprung Aufsetzpunkt der Leter Bespe µ µ M y M L 0.5 τ 0 cot Θ µ 0.95 cot 75 Zum Vergech Gumm-nasser Asphat μ0.5 Drehmoment Leter W L r WL sn Θ + mg W r ML ( cosθ) M cosθ sn Θ 0 cot Θ M M W L L unter deser Bedngung verschwnden de Drehmomente mg M L g mg M cot Θ mg 0 µ tan Θ L Drehmoment Mensch µmg Leter rutscht, wenn Normakraft W μ ensetzten y µmg 5

6 Massenschwerpunkt COG vs COM De Gravtatonskraft auf enen Körper wrkt effektv auf enen ausgezechneten Punkt des Objektes, den Schwerpunkt (center of gravty, CoG). Wenn de angrefenden Kräfte statt an jedes Voumeneement an den Schwerpunkt angrefen, ändert sch weder de resuterenden Kraft noch das resuterende Drehmoment. Wenn an ae Eemente des Körpers desebe Gravtatonskraft angrefen, dann stmmt der Schwerpunkt (CoG) mt dem Massenschwerpunkt (center of mass, CoM) überen. Her veecht ncht! Normaerwese kann man desen Untersched vernachässgen. Es schadet aber nchts, dass enma zu überprüfen 6

7 Bewes Im Gravtatonsfed stmmen Schwerpunkt und Massenschwerpunkt überen y O SP SP g Betrachte Enzeeemente m m m τ g g Defnton des Schwerpunkts CM m g g τ betrachte Gesamtsystem res τ g haben wr schon enma benutzt SP CM qed M τ SP τ SP SP τ SP Annahme Gravtatonswechsewrkung hängt ncht vom Ort ab Desen Zusammenhang SP g SP g m g SP M SP g m m M g g const τ m g Enzenkräfte m m τ res res 7

8 Beastung kndgerecht 8

9 Eastztät V ΔV (II) Hydrauscher Druck (I) Dehnung oder Kompresson L + ΔL (III) Scherung Δ L 9

10 Dehnung Zugspannung Dehnung Neben der Längenänderung erfogt auch ene Abnahme des Querschntts. ür ene quadratsche Probe ergbt sch be gerngen Änderungen näherungswese ΔV ΔV ΔV Kraft pro äche σ A Δ ε Voumenänderung Voumen ΔV V Spannung Modu Dehnung A ΔL E L Eastztätsmodu oder Youngscher Modu Enhet 1 N/m² 1Pa gebräuchch GPa bzw MPa ( d Δd ) ( Δ) d ² d ² dδd + ( Δd ) + d ² Δ dδδd + ( Δd ) d ² Δ dδd grüne Terme werden vernachässgt kene Änderung ma kene Änderung! d ² Δ d² dδd d² Proportonatätsfaktor σ Eε Hooksches Gesetz Δ d ² Δ Δd Δ 1 d 1 Längenänderung durch Orgnaänge Thomas Young Querkontrakton 1 Δd Δ ε q Possonzah μ d ε auch Querkontraktonzah ΔV V ε q ( 1 ) ε μ Δd d 10

11 Messung des Eastztätsmodus Messfüher wrd an Untersuchungsobjekt angeheftet Dehnung des Messfühers bewrkt ene Änderung des eektrschen Wderstandes R. ΔR R A E Grosse Empfndchket für gernge Abmessungen und en kenes Eastztätsmodu 11

12 Easttzätsmodu E: Eastztätsmodu μ: Querkontraktonszah R m : Zugfestgket A: Bruchdehnung De Werte für das Eastztätsmodu überdecken vee Größenordnungen Werte zum Te nur gütg nahe Raumtemperatur sowe gernger, angsamer Beanspruchung Zum Te auch ncht genau defnert 1

13 Kompresson V Asetger Druck (Gas, üssgket) bewrkt ene Voumenänderung Δp K ΔV V Hooksches Gesetz für de Kompresson ΔV K nennt man das Kompressonsmodu Enhet [N/m²] übcherwese n GPa oder MPa angegeben Spezafäe μ1/3: KE (z.b. Aumnum, Es) μ>1/3: K>E μ<1/3: K<E Zusammenhang zum Eastztätsmodu E Δp ε 3 E ΔV 3Δp V E V K Δp ΔV ( 1 μ) E 3 ( 1 μ) aktor 3: Druck wrkt von aen Seten auf den Körper en ΔV V Bezehung zwschen Dehnung und Kompresson Ergebns Dehnung ( 1 ) ε μ 13

14 Scherung Tantentaspannungen A γ ε γ τ Torson wrd ebenfas durch ene Schubspannung verursacht. In der Lteratur wrd das zugehörge Schubmodu deshab auch as Torsonsmodu bezechnet. E μ K G Schubspannung A S G S γ Scherung des Körpers Im Gegensatz zum Eastztätsmodu E, dem Kontraktonsmodu K und der Querkontraktonszah μ ässt sch das Schermodu G ncht aus bekannten E, μ oder E, K oder K, μ hereten Zusammenhang zwschen den eastschen Konstanten 14

15 Eastsche Modu Matera Eastztätsmodu Schermodu Kompressonsmodu GPa GPa GPa estkörper Esen Stah Bech Aumnum Beton Sten Marmor Grant Hoz Nyon Knochen üssgketen Wasser Akoho Quecksber 1 Gase Luft, H, 10-4 Heum, CO 15

16 Spannungs-Dehnungsdagramm ncht-neares Verhaten A permanenter Verformung des Materas neare Verformung des Materas ΔL L 16

17 Knochenbrüche jensets der Eastztätsgrenze Bem Torsonsbruch egt der Bruchpunkt am nedrgsten. Erfahrungswert 10 Nm führen zum Bruch des Oberschenkeknochen z.b. Kraftenwrkung von 100 N auf de Sksptze be fertem uß 17

18 Statk von Gebäuden 18

19 Lug und Trug 19

20 Entwckungsgeschchte 0

21 Statk von Gebäuden Antke, Grechenand Brete des zu überspannenden Raumes mtert durch de Größe der Stene. Durch das Gewcht ergbt sch ene zusätzche Beanspruchung durch Kompresson, de es verhndert, dass größere Abstände der Pfeer reasert werden können. Das Baumatera Sten hat aber nur en gernges Modu bezügch Spannung und Scherung. Parthenon, Athen Erste Innovaton: Antke, Rom Habkresförmger Torbogen Panthenon, Rom Im Habkresbogen wrd m Wesentchen en Kompressonsdruck erzeugt. Dadurch werden vertkae Kräfte n horzontae Kräfte transformert. Aerdngs stmmt de Rchtung der enwrkenden Gewchtskraft ncht mehr mt der Rchtung des Druck überen. Das hat zur oge, das de Seten nach außen gedrückt werden und das Zentrum de Tendenz zegt enzustürzen. 1

22 Sptzbogen Zwete Innovaton ca n. Chr. Jede Sete des Bogens st en Ausschntts enes Kressegments. Dadurch wrd der Bogen schmaer. Zusätzch stmmt de Rchtung der Krompressonsdrucks besser mt der enwrkenden Gewchtskraft überen. Gotsche Kathedrae, Amens, erbaut 10 n. Chr.

23 Sptzbogen Rechnung für jewes de ene Häfte enes Bogens Gesucht: Kraft nach außen am uß des Bogens g g Statsches Gechgewcht Summe der Drehmomente ergbt NULL R R R / R V H R / R V H R 0 τ RV g R R 0 Rg g RH 1 H g H V kompensert g horzontae Beastung habert sch bem Sptzbogen R 0 τ RV g R R 0 Rg g RH H 1 4 g H 3

24 Kuppen Kuppedurchmesser 3 m Kathedrae von orenz, 196 n. Chr. Probem der Baumester: De Konstrukton st nur unter Druck stab, d.h. erst wenn der etzte Sten engesetzt st. Lösung durch schchtweses aufbauen der Kuppe. Innerer Rng stabsert de Konstrukton 4

25 achkuppen V 38 H Abmessungen der Stahbetonkuppe Durchmesserder Kuppe 60 m Höhe der Kuppe 1 m Gewcht der Kuppe 1000 t 36 Y-förmgen Stützpfeer Paazzetto deo Sport, Rom, 1956/57 vertkae Beastung H H 6 ( 10 kg) 1 V horzontae Beastung m s² 6 V N tan Θ N N Ncht schtbarer vorgespannter Rng rund um den Bau stabsert den Bau 5