11 Gleichgewicht und Elastizität

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1 11 Gechgewcht und Eastztät 1

2 Objekte m Gechgewcht Studenobjekt snd Körper, be denen sowoh de resuterende Kraft as auch das resuterende Drehmoment NULL snd ( I ) 0 ( II) τ 0 Geschwndgket des assenschwerpunkts muss ncht notwendgerwese Nu sen Warum snd soche Bedngungen für de Physk trotzdem nteressant? an fndet kaum Stuatonen, n denen auf enen Körper kene Kräfte wrken. Tewese können de angrefenden Kräfte so groß werden, dass sch de Objekte stark verformen. Ene Kenntns der statschen Gegebenheten kann soche dynamschen Prozesse verhndern Anwendung Statsche Berechnungen Technk: Gebäude, Brücken, aschnen, ahrzeuge edzn: usken und Geenke 2

3 Statsches Gechgewcht Erste Bedngung De Summe aer angrefenden Kräfte an den Körper st NULL 0 Komponenten von D,W entang der Koordnatenachsen berechnen Deckenbefestgung D Dy D D cos 45 sn 45 y g D Wandbefestgung W Wy 0 W W y-komponente 0 y D sn 45 g 50kg 9.81m/s² D 694 N sn 45 0 W D cos N cos N W -Komponente 50 kg Der Draht, der den Kroneuchter hät, muss aso wengstens en Gewcht von 694N/g71kg tragen können. g Gewchtskraft 50 kg 9.81m/s² 490.5N 3

4 Statsches Gechgewcht Zwete Bedngung Summe der angrefenden Kräfte st NULL, aber de Summe der Drehmomente st ungech NULL De Summe aer angrefenden Drehmomente an jedem Punkt enes Körpers st NULL τ 0 In zwedmensonaen Probemen und das snd praktsch ae, reduzert sch de Anzah der Gechungen auf dre. Dabe st das Koordnatensystems (,y) für de angrefenden Kräfte fre wähbar ( 1) ( 2) () 3 τ z y m Gechgewcht der Drehmomente Veragerung des Aufagepunkts, d.h. Reduzerung von r erhöht das Drehmoment durch enorm. R ändert sch dabe kaum r mgr mg R R r R 4

5 ensch auf Leter W mg L Koordnatenursprung Aufsetzpunkt der Leter Θ W L resuterende Kraft verschwndet y + sn Θ + Drehmoment Leter + ( W ) 0 ( mg) 0 ( mg cosθ) mg W L Drehmomente verschwnden cot Θ Drehmoment ensch 0 Leter rutscht, wenn W μ y µmg Normakraft Bespe y µ L cot Θ µ 0.95 cot 75 µ 0.25 Zum Vergech Gumm-nasser Asphat μ0.5 mg cot Θ L µ tan Θ L µmg 5

6 assenschwerpunkt COG vs CO De Gravtatonskraft auf enen Körper wrkt effektv auf enen ausgezechneten Punkt des Objektes, den Schwerpunkt (center of gravty, COG). Da heßt, dass wenn man de angrefenden Kräfte statt an Voumeneement an den Schwerpunkt anrefen ässt, ändert sch weder de resuterenden Kraft noch das resuterende Drehmoment. Wenn an ae Eemente des Körpers desebe Gravtatonskraft angrefen, dann stmmt der Schwerpun (COG) mt dem assenschwerpunkt (center of mass, CO) überen. Her veecht ncht! Normaerwese kann man desen Untersched vernachässgen. Es schadet aber nchts, dass enma zu überprüfen 6

7 Bewes Im Gravtatonsfed stmmen Schwerpunkt und assenschwerpunkt überen y O g Betrachte Enzeeemente m m m τ g g Defnton des Schwerpunkts C m g g τ betrachte Gesamtsystem res τ g haben wr schon enma benutzt C qed τ τ τ Annahme Gravtatonswechsewrkung hängt ncht vom Ort ab Desen Zusammenhang g g m g g m m g g const τ m g m m τ res res 7

8 Eastztät V (II) Hydrauscher Druck (I) Dehnung oder Kompresson L + ΔL (III) Scherung Δ L 8

9 Dehnung Zugspannung Dehnung Spannung odu Dehnung A ΔL E L Eastztätsmodu oder Youngscher odu Enhet 1 N/m² 1Pa gebräuchch GPa bzw Pa σ Eε Hooksches Gesetz Neben der Längenänderung erfogt auch ene Abnahme des Querschntts. ür ene quadratsche Probe ergbt sch be gerngen Änderungen näherungswese 2 Kraft pro äche A Δ ε σ ( d Δd ) ( Δ) d ² 2 d ² 2dΔd + ( Δd ) + d ² Δ 2dΔΔd + ( Δd ) d ² Δ 2dΔd grüne Terme werden vernachässgt kene Änderung ma kene Änderung! 2 Δ d ² Längenänderung durch Orgnaänge Thomas Young Δd Querkontrakton ε q d ε q Querkontraktonzah μ ε Possonzah μ; (at) μ 1/ μ (neu) V d² Δ d² 2dΔd d ² Δ Δd 1 2 d Δ 1 V ( 1 ) ε 2μ 9

10 essung des Eastztätsmodus essfüher wrd an Untersuchungsobjekt angeheftet Dehnung des essfühers bewrkt ene Änderung des eektrschen Wderstandes R. ΔR R A E Grosse Empfndchket für gernge Abmessungen und en kenes Eastztätsmodu 10

11 Easttzätsmodu E: Eastztätsmodu μ: Querkontraktonszah R m : Zugfestgket A: Bruchdehnung De Werte für das Eastztätsmodu überdecken vee Größenordnungen Werte zum Te nur gütg nahe Raumtemperatur sowe gernger, angsamer Beanspruchung Zum Te auch ncht genau defnert 11

12 Kompresson V Asetger Druck (Gas, üssgket) bewrkt ene Voumenänderung Δp K V Hooksches Gesetz für de Kompresson K nennt man das Kompressonsmodu Enhet [N/m²] übcherwese n GPa oder Pa angegeben Spezafäe μ1/3: KE (z.b. Aumnum, Es) μ>1/3: K>E μ<1/3: K<E Zusammenhang zum Eastztätsmodu E Δp ε 3 E 3Δp V E V K Δp ( 1 2μ) E 3 ( 1 2μ) aktor 3: Druck wrkt von aen Seten auf den Körper en V Bezehung zwschen Dehnung und Kompresson Ergebns Dehnung ( 1 ) ε 2μ 12

13 Scherung Tantentaspannungen A γ ε γ τ Torson wrd ebenfas durch ene Schubspannung verursacht. In der Lteratur wrd das zugehörge Schubmodu deshab auch as Torsonsmodu bezechnet. E μ K G Schubspannung A S G S γ Scherung des Körpers Im Gegensatz zum Eastztätsmodu E, dem Kontraktonsmodu K und der Querkontraktonszah μ ässt sch das Schermodu G ncht aus bekannten E, μ oder E, K oder K, μ hereten Zusammenhang zwschen den eastschen Konstanten 13

14 Eastsche odu atera Eastztätsmodu Schermodu Kompressonsmodu GPa GPa GPa estkörper Esen Stah Bech Aumnum Beton Sten armor Grant Hoz Nyon Knochen üssgketen Wasser 2 Akoho Quecksber 1 2 Gase Luft, H 2, 10-4 Heum, CO 2 14

15 Spannungs-Dehnungsdagramm ncht-neares Verhaten A permanenter Verformung des ateras neare Verformung des ateras ΔL L 15

16 Knochenbrüche jensets der Eastztätsgrenze Bem Torsonsbruch egt der Bruchpunkt am nedrgsten. Erfahrungswert 120 Nm führen zum Bruch des Oberschenkeknochen z.b. Kraftenwrkung von 100 N auf de Sksptze be fertem uß 16