Aspekte der stochastischen Modellierung von Ausfallwahrscheinlichkeiten in Kreditportfoliomodellen

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1 Aspeke der sochasschen Modellerung von Ausfallwahrschenlchkeen n Kredporfolomodellen von Rüdger Kesel, London School of Economcs and Polcal Scences, London. Bernd Schmd, Rsklab Germany, München. 1. Enleung. De zenrale Bedeuung des Kredrskos (m weesen Snn de Gefahr der Bonäsverschlecherung enes Krednehmers) als domnanes Rskoelemen n den Büchern der mesen Banken und Fnanznsuen s n den lezen Jahren zunehmend deulch geworden, nch zulez durch Fälle fnanzeller Insablä, de durch Mssmanagemen des Kredrskos (Cauee, Alman und Narayanan (1998)) verursach worden waren. Es herrsch Überensmmung, dass en verbesseres Versändns der spezellen Egenaren des Kredrskos verbunden m ener Verbesserung der Quanfzerung und des Managemens sowohl für ndvduelle Banken als auch für das nernaonale Fnanzsysem wünschenswer wäre. Dese Erkennns ha beres zu ener Versärkung der kredbezogenen Forschungsansrengungen nnerhalb von Fnanznsuen, Zenralbanken, Regulaoren und Unversäen geführ. Besonders Fnanznsue waren führend n der Enwcklung von Kredrskomodellen, de Kred-Exposures besser beweren und de nerne Kapalallokaon verbessern sollen. Regulaoren haben sch zum Zel gesez, de Rchlnen zur Feslegung von regulaorschem Kapal dem asächlchen Rsko besser als m 1988 Baseler Akkord anzupassen (Banken haben de Lücken m 1988 Baseler Akkord zur Durchführung subsaneller regulaorscher Abrage genuz, sehe ewa Jackson e al (1999) oder Jones (1999). In Praxs we Forschung herrsch wegehend Überensmmung, dass en realsscher Kredrskomodellerungsansaz folgende wchge Komponenen benhalen muss (sehe ewa Ong (1999)): (1) Ausfallwahrschenlchkeen (Defaul Probables): De Wahrschenlchke, dass en Schuldner sene fnanzellen Verbndlchkeen nch mehr erfüllen kann. () Rückflussquoen (Recovery Raes): Der prozenuale Anel des Nennweres der fnanzellen Verpflchung des Schuldners, der m Falle enes Ausfalls kompenser wrd. (3) Übergangswahrschenlchkeen (Transon Probables): De Wahrschenlchke, dass de Kredqualä enes Schuldners sch verbesser oder verschlecher (ohne dass es zu enem Ausfall komm). (4) Korrelaon des Ausfallrskos bzw. der Kredqualä verschedener Schuldner: Das Ausmaß der Bezehung des Ausfallrskos bzw. der Kredqualä verschedener Schuldner. (5) Rskoberag und Konzenraon von Kredrsken: Der Berag enes ndvduellen Fnanznsrumens oder enes ndvduellen Schuldners zum Gesamrsko enes Kredporfolos. Be den Punken (1) (3) handel es sch um ndvduelle Rskoelemene, de sch auf en enzelnes Fnanznsrumen bezehen, während (4) und (5) für Porfolos von ausschlagebender Bedeuung snd.

2 Mlerwele gb es ene Velzahl von Arbeen, de de Umsezung der obgen Lse n den n der Praxs verwendeen Kredrskomodellen beschreben, ewa de Bücher Cauee, Alman und Narayanan (1998), Das (1998), Ong (1999) und Saunders (1999) oder de Arkel Alexander und Phelan (1999), Croughy, Gala und Mark (1999), Gordy (1999) und Schmd (1998). Wr verzchen deshalb auf ene zusammenfassende Beschrebung und konzenreren uns darauf, de sochasschen und sasschen Annahmen und Technken herauszuarbeen, de be der Modellerung von Ausfallwahrschenlchkeen verwende werden. De Konzenraon auf Ausfallwahrschenlchkeen leg n deren domnerender Rolle begründe, de se be der Modellerung ndvdueller Kredrsken und Kredporfolorsken spelen. Wr werden n unseren Ausführungen jedoch auch auf Aspeke der n () bs (5) erwähnen Größen und deren Enfluß auf Kredrsken zu sprechen kommen. Im Zusammenhang m Ausfallrsken wollen wr nbesondere de folgenden Fragen erörern: () () () Welche verschedenen Ansäze zur Modellerung von Ausfallrsken gb es? Welche sassche Fragesellungen werfen de enzelnen Modellerungsansäze auf? Welche Auswrkungen haben de verschedenen Modellerungsansäze auf Rskokenngrößen? Wr begnnen m nächsen Abschn m ener Zusammenfassung der grundlegenden Bewerungsdeen für (kredrskobehafee) Werpapere und der Vorsellung der gänggen Kenngrößen für das Kredrsko solcher Werpapere. Im darauf folgenden Abschn dskueren wr de verschedenen Ansäze zur Besmmung der Ausfallwahrschenlchke von Schuldnern, de über de Ausgabe von Werpaperen oder de Inanspruchnahme von Kreden Zahlungsverpflchungen engegangen snd. In enem weeren Abschn berachen wr dann verschedene Aspeke des Kredrskos von Porfolos kredrskobehafeer Werpapere und schleßen m ener Zusammenfassung der Erkennnsse, de für de Beanworung der obgen Fragen relevan snd.. Kredrskobehafee Werpapere -- Modellerung und Kenngrössen De grundlegende Formel zur Bewerung rskobehafeer Zahlungssröme (gegeben durch Fnanznsrumene) n enem arbragefreen Fnanzmarkmodell s durch das rskoneurale Bewerungsprnzp gegeben (sehe ewa Bngham und Kesel (1998) für ene Enführung n de Themak). Danach s der Pres zum Zepunk ener rskobehafeen Auszahlung X zum Zepunk T durch den Erwarungswer bezüglch enes sogenannen äquvalenen Marngalmaßes gegeben: T X(, T) = E X exp rudu (.1.) Dabe s r der Spo-Znssaz und E en bednger Erwarungswer (qualav wrd dadurch der Pres der Auszahlung von den vorhandenen Informaonen für de Invesoren abhängg gemach). Be der Modellerung ener kredrskobehafeen Auszahlung muss zusäzlch noch de Möglchke enes Ausfalles n Berach gezogen werden. Dazu führ man de Ze des Ausfalls τ und de Rückflussquoe R, gegeben en Ausfall, n das Modell en und erhäl

3 wobe T T X(, T) = E + Ι Ι ( T< τ ) X exp rudu ( T τ ) RXexp rudu, (.) Ι T } m Falle enes Ausfalls glech 1 und sons 0 s (d.h. Ι s de { < τ Indkaorfunkon der Menge { < τ} T ). T Ι ( T< τ )X exp rudu Das Problem der Modellerung der Ausfallze wrd n der Leraur m Prnzp mels zweer verschedener Ansäze berache (ene deallere Dskusson wrd n Ammann (1999) gegeben). Im srukurellen Ansaz, der auf Arbeen von Meron (Meron 1973, Meron 1974) baser, s de Ausfallze durch den Zepunk gegeben, an dem der Wer enes Presprozesses ene Schranke durchbrch (n der mahemaschen Termnologe Soppze genann). In desem Fall kann durch Beobachung des Presprozesses de Ausfallze -- und dam auch de Ausfallwahrschenlchke -- vorhergesag werden. Ene andere Klasse von Modellen folg dem sogenannen nensäsbaserenden Ansaz (folgend Jarrow, Lando und Turnbull (1997)). Dabe wrd de Ausfallze durch den ersen Sprung enes exogenen Sprungprozesses (ewa enes Possonprozesses) modeller und kann dam nch durch presbezogene Informaonen allene vorhergesag werden. Ene Konsequenz deses Ansazes s, dass de Ausfallwahrschenlchke ebenfalls von exogenen Fakoren abhängg s, de üblcherwese n der Inensä des Sprungprozesses benhale snd. De Arakvä des nensäsbezogenen Ansazes erklär sch vor allem aus der Tasache, dass (uner geegneen echnschen Annahmen) der Inensäsprozess n ene Änderung des Znsprozesses ransformer werden kann und dadurch ene geschlossene Bewerungsformel verglechbar zu (.1) erhalen werden kann. Ene Transformaon des Wahrschenlchkesmaßes (en Übergang zum sogenannen äquvalenen T-Forward Maß) ermöglch es, den Wer ener kredrskobehafeen Auszahlung mels dem Presprozess p(, T) ener rskofreen Auszahlung (der ensprechenden Nullkoupon-Anlehe) auszudrücken (dabe sezen wr zur Verenfachung X=1): [ Ι + Ι R] = p(, T) ( R + (1 RQ ) ( )) X(, T) = p(, T) E ( T< τ ) ( T τ ) τ > T, (.3) wobe Q ( τ T) de Ausfallwahrschenlchke (uner dem veränderen Wahrschenlchkesmaß uner Berückschgung aller m Zepunk bekannen Informaonen) quanfzer. Formel (.3) erlaub ene enfache Inerpreaon: der Wer enes kredrskobehafeen Werpapers ergb sch als de Summe des Weres ener rskofreen Auszahlung R X (Rückflussquoe mulplzer m dem Nennwer) und dem Erwarungswer ener rskobehafeen Auszahlung (1-R)X. Wr können Formel (.3) nun verwenden, um gewsse n der Praxs we verbreee Rskokenngrößen zu ermeln. Ene erse und grundlegende Frage s: Welchen durchschnlchen Verlus erwaren wr m Falle enes Ausfalls? Ene Umformung der Glechung (.3) lefer X(, T) = p(, T) ( 1+ (1 RQ ) ( τ T) ) (.4)

4 und dam ((1 RQ ) ( )) p(, T) X(, T) = p(, T) τ T. (.5) De lnke See der Glechnung (.5) sell nun den erwareen Verlus m Falle enes Ausfalls dar (.e. de Dfferenz zwschen ener rskofreen und ener rskobehafeen Auszahlung). Wr bezechnen dese Grösse als den erwareen Verlus (expeced loss) EL. Typscherwese frag man n desem Konex anselle nach dem prozenuallen Rückfluss (quanfzer durch de Rückflussquoe R) eher nach der Höhe des Verluss m Falle des Ausfalls. Wr führen daher n Glechung (.5) den Verlus gegeben Ausfall (loss gven defaul) LGD en und erhalen für den erwareen Verlus EL= p(, T) LGD Q ( τ T). (.6) Der Dskonerungsfakor p(, T) n obgen Formeln bewrk ene mark-o-marke Bewerung: Alle Bewerungen werden zu heugen (Zepunk ) Presen durchgeführ. Zur Verenfachung verzchen wr m Weeren auf ene solche Dskonerung und beweren alle Grössen m Fällgke (Zepunk T) Presen. Weerhn verzchen wr auf de explze Darsellung der Ausfallwahrschenlchke mels der (sochasschen) Ausfallze und benuzen de gebräuchlchere (und lecher zu nerpreerende) erwaree Ausfallhäufgke (expeced defaul frequency) EDF. Som folg für den erwareen Verlus EL = X LGD EDF. (.7) De Aussagekraf des erwareen Verluss EL als Rskokenngröße s begrenz; schlesslch wrd nur en durchschnlcher Verlus berechne, wohngegen Rsko gemenhn als Auswrkung unerwareer Schwankungen aufgefass wrd. Um dese Schwankungen um den erwareen Verlus zu messen, besmmen wr de Sandardabwechung (Volalä) des Weres der kredrskobehafeen Auszahlung zur Fällgke. (Im Rahmen der dynamschen Analyse, m Dskonerung, würden wr enfach de Sandardabwechung des Werprozesses (.4) besmmen). Wr bezechnen dese Grösse als unerwareen Verlus (unexpeced loss) UL. Modelleren wr de Verlushöhe LGD als ene von den Ausfallhäufgkeen unabhängge sochassche Varable, so erhalen wr UL= var( X( T, T)) = X EDF σ + LGD σ, (.8) LGD EDF wobe σ LGDde Varanz der Verlushöhe und σ EDF = EDF(1 EDF) de Varanz der Ausfallwahrschenlchke bezechne. Ene of übersehenene Tasache s der konzeponelle Unersched der Rskokenngrößen erwareer und unerwarer Verlus: der erwaree Verlus EL s ene bednge Größe -- der durchschnlche Verlus gegeben en Ausfall -- und dam abhängg vom Enreen des Ausfalleregnsses. Der unerwaree Verlus UL hngegen s ene Kenngröße der (unbedngen) Wereverelung der rskobehafeen Auszahlung zum Fällgkeszepunk, und nch ewa ene weere Kenngröße ener bedngen Größe (Verlus gegeben Ausfall). Som werden poenzell m unerwareen Verlus UL auch posve Werenwcklungen erfass und zur Rskomessung herangezogen. Da aber kredrskobehafee Werpapere ypscherwese nur

5 begrenzes Gewnnpoenzal m Verglech zum Verlusrsko beszen, snd Werschwankungen m wesenlchen auf Verluse zurückzuführen. De Formeln (.7) und (.8) machen deulch, dass Ausfallwahrschenlchkeen und Rückflussquoen de enschedenden Größen be der Quanfzerung von Ausfallrsken snd. Wr werden de verschedenen Ansäze zur Modellerung der Ausfallwahrschenlchkeen n den folgenden Abschnen dealler dskueren. Be der Modellerung der Rückflussquoen können m Prnzp zwe Sraegen verfolg werden: Enweder man modeller de Verlusgröße als ene sochassche Varable -- we be der Herleung der Formeln (.7) und (.8) m gegebenem Erwarungswer und gegebener Varanz oder spezeller m ener besmmen Verelung -- oder als ene Konsane (wodurch sch der erse Summand uner der Wurzel n (.8) erübrg, da de Varanz dann Null s). Analysen der Veränderung der Rskokenngrößen n Bezug auf de zugrundelegenden Fakoren haben gezeg, dass de Sensvä der mesen Kenngrößen bezüglch der Schäzung der Ausfallwahrschenlchke am größen s. Recovery Raes spelen of nur ene unergeordene Rolle und bewrken nur moderae Veränderungen der Kenngrößen. Auf deser Grundlage erschen of de Annahme ener konsanen Recovery Rae gerechferg. Enschleß man sch zu ener sochasschen Modellerung, so wrd dese üblcherwese auf der Grundlage hsorscher Daen aus dem Corporae Bond Sekor vorgenommen. Bonds werden dazu n Senory Classes engeel. Man unerschede zwschen Senor Secured, Senor Unsecured, Senor Subordnaed, Subordnaed und Junor Subordnaed. In Tabelle 1 snd de Ergebnsse ener Unersuchung von Cary & Leberman (1996) aufgeführ, de durchschnlche Recovery Raes für de enzelnen Senory Classes besmm haben. De Schäzung der Recovery Rae aus hsorschen Daen s allerdngs n verschedener Hnsch äußers problemasch. Häufg können kene Markprese oder nur welche auf enem höchs llquden Mark beobache werden. Auch der Zepunk für de Fessellung des Preses s wegehend unklar. Verschedene Suden kommen zu dem Schluß, daß ungefähr en Mona nach Bekanngabe des Defauls der bese Zepunk dafür s. Senory Class Recovery Rae Sandardabwechung Senor Secured 53.80% 6.86% Senor Unsecured 51.13% 5.45% Senor 38.5% 3.81% Subordnaed Subordnaed 3.74% 0.18% Junor Subordnaed 17.09% 10.90% Tabelle 1: Durchschnlche Recovery Raes aus hsorschen Daen Quelle: Moody s Invesors Servce Weere Bespele emprscher Recovery Raes und Leraurhnwese fnden sch n Ong (1999), Kapel 4, oder m CredMercs Manual (Gupon, Fnger und Bhaa 1997), Kapel 7. Für ene Modellerung der Verelung der Recovery Raes wrd ene

6 Wahrschenlchkesverelung m kompakem Wereberech (Were der Recovery Raes snd zwschen 0 und 100%) benög. Üblcherwese wrd n der Praxs ene Beaverelung angenommen. Als Bespel für obge Ausführungen berachen wr den erwareen und unerwareen Verlus enes Kreds dessen Ausfallwahrschenlchke m EDF = (of wrd de Wahrschenlchke n % angegeben, her also 0.17%) ermel worden s. Wr nehmen weer ene Ensufung als Senor Secured an. Dam s de Rückflussquoe (gemäss Tabelle 1) 53.80%, und es ergb sch für den erwareen Verlus pro Geldenhe der Rückzahlung EL = ( ) = , oder EL=0,0785%. Um den unerwareen Verlus UL zu besmmen, müssen wr de Varanz der Ausfallwahrschenlchke ermeln. Es ergb sch σ = ( ) = Dam folg für den unerwareen Verlus EDF UL = ( ) = , oder UL=.581%. En Verglech der Größen zeg, dass der unerwaree Verlus den erwareen Verlus subsanzell überreffen kann, und daher als Rskokenngröße nch zu vernachlässgen s. 3. Modellerung von Ausfallwahrschenlchkeen De beden m lezen Abschn angesprochenen Ansäze zur Modellerung der zufällgen Ausfallze enes kredrskobehafeen Werpapers -- srukurell und nensäsbaserend -- fnden sch be der Modellerung von Ausfallwahrschenlchkeen (n der kommerzellen Modellen) weder. Darüber hnaus s es nahelegend, enen ökonomerschen, daenbaserenden Ansaz zu verfolgen Srukureller (Meron) Ansaz: De zu Grunde legende Movaon deses Ansazes s de Idee, dass en Unernehmen n Konkurs geh, sobald en Pres-, Wer-, oder Sgnalprozess ene endogen defnere Ausfallschranke (Defaul Pon) unerschree. Wr wollen uns her auf das auf Arbeen von Rober Meron (Meron (1973), Meron (1974)) beruhende Sandardmodell beschränken. Ausfallwahrschenlchkeen werden n desem Rahmen auf Grundlage des Frmenweres (Akva der Frma) und der Höhe der Verbndlchkeen des Unernehmens besmm. Bezechne man den Frmenwer zum Zepunk m V und de Ausfallschranke m D, so s de mahemasche Beschrebung der Ausfallwahrschenlchke (EDF) der Frma zum Ende des Beobachungszeraumes T gegeben durch ( V D) EDF= Pr. (3.1) Dam nmm das Ausfallrsko zu, wenn sch de Dfferenz aus Frmenwer und Verbndlchkeen verklener und nmm ab, wenn sch dese Dfferenz vergrößer. Dese Beobachung kann verwende werden, um ene Klassfzerung der Kredqualä von Unernehmen vorzunehmen. Dazu wrd obge Dfferenz durch de Volalä des Frmenweres σv sandardser und ene sogenanne Dsance o Defaul DD we folg defner T

7 Erwareer Frmenwer Ausfallschranke DD =. (3.) Frmenwervolalä Da weder Frmenwer noch de Volalä des Frmenwers drek beobachbar snd, wrd en oponspresheorescher Ansaz benuz, um dese Größen aus dem Akenpresprozess des Unernehmens zu besmmen. Dabe folg man üblcherwese Merons Ansaz von 1974 und modeller de zelche Enwcklung des Frmenwers (uner enem rskoneuralen Wahrschenlchkesmaß) m Hlfe der sochasschen Dfferenalglechung dv = V rd + V σvdw, (3.3) wobe r de rskofree konsane Wachsumsrae m rskoneuralen Modell und W ene sandardsere Brownsche Bewegung bezechnen. Abbldung 1 fass dese Überlegungen noch enmal zusammen: Log -Frmenwer log V E ( logv ) = logv + ( r / ) T T 0 σv logv 0 log D Pr( log logd V ) V T 0 0 T Ze Abbldung 1: Verelung des logarhmeren Frmenwers am Ende des beracheen Zehorzons uner dem asächlchen Wahrschenlchkesmaß. Be der Anwendung des Modells ergb sch en zenrales Problem: Sowohl der akuelle Frmenwer V 0 als auch de Volalä des Frmenwers σ V snd nch beobachbar. M Hlfe von Informaonen über den Akenkurs bzw. de Markkapalserung der Frma und deren Volalä versuch man Informaonen über den Frmenwer und dessen Volalä zu genereren: Geh man davon aus, dass sch de Frma nur durch hr Egenkapal und durch Fremdkapal n Form von Dscoun Bonds m Nomnalwer D fnanzer und der Frmenwer sch aus der Summe von Egen- und Fremdkapal zusammensez, so

8 ergeben sch für de Akonäre und de Gläubger ener Frma folgende Oponsposonen: Uner der Annahme, dass de Gläubger be der Fremdkapalaufnahme der Frma dese von den Akonären kaufen, gb es be Fällgke der Schulden m Zepunk T zwe Möglchkeen: de Gläubger bekommen von den Akonären de Schulden zurückbezahl oder de Frma geh endgülg n deren Besz über, d.h. es ergb sch ene Payoff-Srukur von mn( D, V T ), was auch als D max( 0, D VT ) ausgedrück werden kann. Dam ensprch der Wer der Verbndlchkeen der Frma dem Wer ener rskolosen Anlage n Höhe des Barwers von D mnus dem Wer ener Pu-Opon auf den Wer der Frma. Uner der Annahme, dass de Akonäre be der Fremdkapalaufnahme de Frma an de Gläubger verkaufen, gb es be Fällgke deser Verbndlchkeen m Zepunk T zwe Möglchkeen: de Akonäre snd n der Lage, de Verbndlchkeen zurückzubezahlen und dam de Frma zurückzukaufen, oder de Frma geh ganz n den Besz der Schuldner über. Dam ergb sch n T ene Payoff-Srukur von max( 0, V T D). Das ensprch aber gerade dem Payoff ener Call-Opon auf den Wer der Frma m Zepunk T, und dam kann das Egenkapal der Frma bzw. der Markwer der Aken als Call-Opon auf den Frmenwer aufgefass werden. Som erlaub de Black-Meron-Scholes Presformel für europäsche Call-Oponen enen Zusammenhang zwschen Akenpresprozess E und Volalä des Akenpresprozesses σ auf der enen und Frmenwerprozess V und Volalä des Frmenwerprozesses σ V auf der anderen See herzusellen (wobe wr we oben =0 annehmen und auf Indzes n der Formel verzchen): rt ( ) De N( ) E = VN d, (3.4) 1 d wobe N de kumulave Normalverelung bezechne und d 1 bzw. d durch V 1 + r + ln σv T D d = 1 bzw. d = d 1 σv T gegeben snd. σv T Ene Anwendung der Iô-Formel erlaub es de sochassche Dffernalglechnug des Akenpresprozesses aus der sochasschen Dfferenalglechnug des Frmenwerprozesses (3.3) herzuleen (sehe ewa Bngham und Kesel (1998) für ene Enführung n de Theore des Iô-Kalküls und nsbesondere 6..3 für ene Herleung der sochasschen Dfferenalglechnung ener Call Opon): de E ( ( )) N d V σ 1 V = rd + dw. E (dabe s d 1( ) defner ndem man T durch (T-) n obger Defnon ersez). Dam läss sch de Volalä des Akenkurses σ E m Hlfe der Volalä des Frmenwers σ V ausdrücken: N( d1) Vσ V σ E =. (3.5) E

9 M Hlfe der Formeln (3.4) und (3.5) kann man nun den akuellen Frmenwer V und de Volalä des Frmenwers σ V aus den beobachbaren Akenkursen und der beobachbaren Volalä der Akenkurse besmmen. De Ausfallwahrschenlchke d der Frma p, kann dann durch p d = Pr V 1 ln + µ V σv T D σv T ( VT D) = Pr WT = N( d berechne werden. Ene kurze Rechnung zeg, dass gl d ( log( V )) E T logd =. σ T V ) (3.6) Daher wrd d häufg als Dsance o Defaul bezechne (beache, dass σ V de Volalä des logarhmeren Frmenpresprozesses s). d De Ausfallwahrschenlchke p wurde n enem rskoneuralen Modell enwckel und s daher nch drek m emprsch beobachbaren Ausfallwahrschenlchkeen (den EDFs) verglechbar. Im emprschen Modell wrd de erwaree Wachsumsrae des Frmenprozesses µ V verwende, während m rskoneuralen Modell de rskofree Rae r verwende wrd. De Bezehung zwschen rskoneuralem und emprschem Modell erlaub es de beobachbaren Ausfallwahrschenlchkeen als zu besmmen, wobe d durch d ( ) EDF= N, d = + d ( µ r ) gegeben s ( d wrd auch als asächlche Dsance o Defaul und d dann als rskoneurale Dsance o Defaul bezechne). Da de erwaree Wachsumsrae größer als de rskofree Rae s (d.h. µ V r ), folg p d EDF, d.h. de rskoneurale Ausfallwahrschenlchke s größer als de beobachbare Ausfallwahrschenlchke. Qualav können de Ausfallwahrschenlchkeen sowohl bem rskoneuralen als auch emprschen Vorgehen als Wahrschenlchke ausgedrück werden, dass ene sandardnormalverele Zufallsvarable uner enen krschen Wer fäll. Das srukurelle Modell s der Rahmen des von KMV (ener Sofware/Beraungsfrma de nsbesondere Denslesungen zum Managemen von Kredrsken anbee) enwckelen Kredrskomodelles (und Sofwareools) Porfolo Manager. Aber auch das auf Rangklassen beruhende CredMercs (enwckel von JP Morgan) benuz Ideen deses Ansazes (nsbesondere be der Modellerung von Korrelaonen, vgl. Abschn 4.). V σ V T T

10 3. Der nensäsbaserende Ansaz Im nensäsbaserenden Ansaz der Modellerung von Ausfalleregnssen s de Ausfallnensä de zenrale Grösse. Uner der Ausfallnensä verseh man de durchschnlche Ausfallrae, gegeben alle akuell verfügbaren Informaonen, gemessen als erwaree Anzahl von Ausfällen pro Jahr. En Inensäsparameerwer von 0.1% würde dam z.b. ene Ausfallrae von 1 Schuldnern pro Schuldnern bedeuen. En enfaches Bespel deses Ansazes s de Modellerung des Zepunkes des Enreens enes Ausfalls durch den ersen Sprung enes Posson Prozesses m enem konsanen Inensäsparameer λ > 0. In desem Modell s de Überlebenswahrschenlchke (Wareze bs zum ersen Sprung) exponenal verel, som beräg de Überlebenswahrschenlchke für en Jahr λ e und für Jahre e λ. De Annahme enes konsanen Inensäsparameers ha also zur Folge, dass de Überlebenswahrschenlchkeen für ene fese Zespanne (von z.b. enem Jahr) über de Ze konsan snd. Da Ausfall- und Überlebenswahrschenlchkeen sark von makroökonomschen Größen beenfluss werden, s de Annahme enes konsanen Inensäsparameers zwefelhaf. Läss man z.b. zu, dass sch der Inensäsparameer enmal pro Jahr deermnssch ( λ λ ) änder, so ergb sch ene Überlebenswahrschenlchke für Jahre von e, wobe λ den Inensäsparameer für das -e Jahr bezechne. Deses Konzep des sch jährlch deermnssch ändernden Inensäsparameers läss sch weer auf den Fall enes sch sändg deermnssch ändernden Parameers erweern. Bezechne man den Inensäsparameer m Zepunk s m λ s, so ergb sch ene Überlebenswahrschenlchke für Jahre von exp λ s ds. Be forschreender 0 Ze sehen enem nun aber n der Regel mmer mehr Informaonen über de Qualä des Schuldners zur Verfügung. Dese Informaonen können von unerschedlchsen Quellen sammen und werden üblcherwese zufällg engehen. Deshalb s es nahelegend, den Inensäsparameer schleßlch als sochasschen Prozess zu modelleren. Uner engen echnschen Voraussezungen kann man dann zegen, S dass sch de Überlebenswahrschenlchke p m Zepunk uner Berückschgung aller zu desem Zepunk vorlegenden Informaonen für en s Überleben bs zum Zepunk als E ( ) s exp λ u du berechnen läss, wobe E den Erwarungswer, gegeben alle bs zum Zepunk verfügbaren Informaonen, und { λ ( s )} 0 den sochasschen Inensäsprozess bezechnen. Bespel: s Zur Modellerung von λ soll en Cox/Ingersoll/Ross (CIR) Prozeß verwende werden. Dazu nmm man an, dass λ der sochasschen Dfferenalglechnug dλ () κ ( θ λ( )) d σ λ( ) dw( ) = (3.7) λ λ + genüg, wobe W ene sandardsere Brownsche Bewegung bezechne. De Parameer können folgendermaßen nerpreer werden: θ s das langfrsge Mel von λ, d.h., lme( λ ( )) = θ. > 0 λ λ λ

11 κ > 0 s de durchschmlche Rae, m der λ gegen das langfrsge Mel λ sreb. σ > 0 s der Volaläskoeffzen. λ De Überlebens- und Ausfallwahrschenlchkeen können dann uner Verwendung der üblchen CIR Mehodk (sehe ewa Bngham und Kesel (1998), Kapel 8) besmm werden. Das folgendene Schaubld veranschaulch den Enfluss des Volaläsparameers auf de Ausfallwahrschenlchkeen 1 p s ( 0T, ): Defaul 0.8 Probably k=0.5, q=0.0, lh0l= s= s= s= L TmeHyears Abbldung : Enfluss von σ auf de Ausfallwahrschenlchkeen. De Schäzung der Parameer n enem nensäsbaserenden Modell kann enweder durch Anpassung an hsorsche Ausfallraen oder -- sofern Markdaen verfügbar snd -- mplz durch Schäzung aus akuellen Bond-Spreads erfolgen. De Verfahren werden z.b. be Schmd und Zags (1999) dskuer und an Bespelen durchgeführ. Be der Schäzung aus hsorschen Ausfallraen beseh das Problem, dass akuelle Informaonen und Trends nch berückschg werden. Da aber gerade akuelle makroökonomsche Enwcklungen enen sarken Enfluß auf de Ausfallwahrschenlchkeen haben, nmm man dam enen Informaonsverlus und evenuell unscharfe Parameerschäzungen n Kauf. Theoresch würde man so vorgehen, dass man n Abhänggke von der zu schäzenden Anzahl von Parameern emprsche Ausfallraen für unerschedlche Zeperoden den heoreschen von den Parameern abhänggen Ausfallwahrschenlchkeen gegenübersellen und durch Anwendung enes Opmerungsverfahrens, dejengen

12 Parameerwere besmmen würde, de de Summe der Abwechungsquadrae mnmeren. Be der Schäzung der Parameer m Hlfe von Bond-Presen muss man beachen, dass man aus hnen zunächs nur Ausfallwahrschenlchkeen uner dem ransformeren Wahrschenlchkesmaß gewnn, was de Bewerungsformel ( + (1 RQ ) ( )) X(, T) = p(, T) 1 τ T aus Abschn verdeulch. An Bond-Prese kann man som zunächs auch nur Inensäsprozesse uner dem ransformeren Wahrschenlchkesmaß anpassen. Zur Schäzung der Parameer uner dem asächlchen Maß muss man zusäzlch enen Rskoparameer (den marke prce of rsk) schäzen und dam den Maßwechsel durchführen. Um de Parameer zu schäzen, sell man Markprese den heoreschen Presen gemäß obger Formel gegeüber. Über Q ( τ T ) häng dese Formel von sämlchen Parameern des Inensäsprozesses ab. Neben der Mehode der Mnmerung der klensen Abwechungsquadrae werden dazu n der Praxs vor allem de verallgemenere Momenenmehode, de Kalman Fler Mehodk und de Maxmum Lkelhood Mehode angewand. En häufg aufreendes Problem s allerdngs, dass nch genügend Markdaen zur Verfügung sehen, um snnvoll Schäzungen durchzuführen, und auch selbs be ausrechender Daengrundlage zeg es sch, dass de Schäzungen of nch sabl snd. De von Cred Susse Fnancal Producs (CSFP) enwckele CredRsk+ Mehodk beruh auf dem nensäsbaserenden Ansaz. CredRsk+ s an den n der Verscherungswrschaf benuzen Mehoden zur Rskoanalyse von Schadensporfolos angelehn und erlaub es, vele n der Verscherungsmahemak schon lange bekanne Technken zu verwenden Der emprsch-ökonomersche Ansaz Der emprsche Ansaz wrd wegehend von Rangagenuren verfolg, de über hsorsche Daenbanken von Krederegnssen verfügen. Rangagenuren snd darauf spezalser, de Kredwürdgke von Schuldnern enzusufen und Gläubger über de Wahrschenlchke zu nformeren, m denen Schuldner hren Znszahlungen und sonsgen Verbndlchkeen nachkommen oder auch nch nachkommen können. De ver größen US Rangagenuren snd Moody s Invesors Servce, Sandard & Poor s, Fch IBCA und Duff and Phelps. De zunehmende Bedeuung solcher Agenuren zeg sch zum enen n hrer sändg segenden Zahl und zum anderen n der sark zunehmenden Anzahl der durch se ausgegebenen Rangs. So nahm de Zahl der durch Moody s beurelen Schuldner von 1960 bs 1997 von 91 auf 3841 zu. In regelmäßgen Zeabsänden werden de Rangs überprüf und gegebenenfalls angepass. Ha ene wchge das Rang beenflussende Enwcklung engesez, so sez Sandard & Poor s den Schuldner auf de sogenanne Cred Wach Ls, Moody s auf de sogenanne Rang Revew Ls. Auch n Deuschland snd mlerwele bankunabhängge Agenuren m Aufbau, de nsbesondere auch Rangs für den Melsand lefern sollen. Der Wunsch nach ener großen europäschen Rangagenur wurde besonders nach der Asenkrse lau, be der den amerkanschen Häusern Versagen vorgeworfen worden war. Dazu kamen Zwefel an der Unabhänggke und Serosä der Insue, de dam begründe worden waren, dass de Agenuren als Folge der Asenkrse zwar enge deusche Banken aber überhaup kene amerkansche Bank herabgesuf haen.

13 Be der Besmmung der Ausfallwahrschenlchkeen grefen de Rangagenuren auf hre hsorschen Daenbanken zurück, n denen se sämlche Ausfälle der lezen Jahrzehne dokumener haben. In jedem Jahr beseh das für de Ermlung der Wahrschenlchkeen zu Grunde legende Frmenunversum aus allen Frmen des Vorjahres, de nch ausgefallen snd, und allen Frmen, de n desem Jahr zum ersen Mal en Rang erhalen. Jährlche Ausfallwahrschenlchkeen ergeben sch dann als der Quoen aus allen n dem Jahr ausgefallenen Frmen und der Anzahl aller Frmen m Unversum. Aus den jährlchen Ausfallwahrschenlchkeen lassen sch kumulave Ausfallwahrschenlchkeen für größere Zeräume ableen. Analog wrd be der Besmmung von Übergangswahrschenlchkeen vorgegangen. Ener der Haupkrkpunke am Verfahren der Rangagenuren s deren Annahme, dass sch durchschnlche Ausfall- und Übergangswahrschenlchkeen drek aus hsorschen Beobachungen ableen und für Ausfall- und Rangänderungsprognosen verwenden lassen. Deser sasche Ansaz seh deulch m Wderspruch dazu, dass sch dese Wahrschenlchkeen sehr dynamsch über de Ze verändern und sark vom Konjunkurzyklus abhängen. Desen Krkpunken wrd durch ökonomerschen Ausfallmodellen begegne n d denen de Ausfallwahrschenlchke n der akuellen Perode n Abhänggke x p enes Vekors von exogenen Varablen erklär wrd. Defner man de Zufallsvarable D als 1, falls der Schuldner n Perode ausfäll, und als 0, falls er ( ) d nch ausfäll, so erfolg de Modellerung gemäß p = PrD = 1 x. Sandardmodelle für desen Ansaz snd de Prob und de Log Modelle. Bespele: d a) Das Prob Modell: p N( β' x ) =, wobe N de kumulave Sandardnormalverelung und β den Vekor der Gewche der enzelnen exogenen Varablen bezechne. β wrd üblcherwese aus hsorschen Daenrehen geschäz. β ' x d e b) Das Log Modell: p =. β ' x 1+ e Dem Prob Modell leg de Normal-, dem Log Modell de logssche Verelung zugrunde, de sch durch heaver als auszechne. Das wohl bekannese Modell deser Klasse wurde vom Thomas Wlson n ener Sere von Arbeen (Wlson (1997a) und Wlson (1997b)) vorgesell. Weerenwckele Varanen snd de Grundlage des von McKnsey propageren Kredrskomodelles CredPorfoloVew. Herbe wrd de Ausfallwahrschenlchke n jeder Perode bedng nach enem Index Y aus makroökonomscher Fakoren, (we z:b. Wrschafswachsum, Arbeslosgke, Znsnveau,..) hergelee. Jeder deser Fakoren wrd als Zerehe, ypscherwese als en auokorrelerer Prozess der Ordnung, m normalverelen Innovaonen modeller. X j, = k,0 + k j,1x j, 1 + k j,x j, + ε j, X j, (3.8) Der Index ergb sch dann als gewchee Summe der Fakoren.

14 Y, ν, = β,0 + β, j X, +, (3.9) wobe de Fehlererme weder als normalverel angenommen werden. Schlesslch wrd der Index mels der Log Funkon n ene Ausfallwahrschenlchke ransformer: p, = 1 1+ exp( Y ). (3.10), Da de zufällgen Komponenen der Fakoren n ener normalverelen Varable zusammengefass werden können, ergb sch de Ausfallwahrschenlchke als Logransformere ener sandardnormalverelen Zufallsvarable. Zus Kalbrerung müssen alle Parameer aus dem Sysem von Glechungen (3.8) (3.10) geschäz werden, was enen relav hohen Daenbedarf nach sch zeh. Neben den Daen zu Frmenausfällen, müssen auch de für de relevanen makroökonomschen Fakoren ausrechend lange Hsoren zur Verfügung sehen. De Wahl der logsschen Regresson wrd von Wlson (Wlson (1997a) und Wlson (1997b)) m der Tasache begründe, dass der Wer der Response Varable (Ausfallwahrschenlchke) zwschen Null und Ens leg, und, n verschedenen Tessuden der Wer das Besmmhesmasses R zufredensellend war. In deser Allgemenhe snd bede Argumene bedenklch: Ausfallwahrschenlchkeen snd ypscherwese relav klen und dam robus gegenüber moderaen Veränderungen des Indexes. Weerhn s R als unzurechendes Qualäskrerum für Modellperformance n der logsschen Regresson hnrechend dokumener. De Konsrukon mplzer daher, dass das Modell für Subnvesmen-Grade Frmen (höchse Sensvä gegenüber Kredzyklus und größe Ausfallwahrschenlchkeen) am besen geegne s Vergech der Ansäze Ene verglechende Analyse der Ausfallwahrschenlchkeen enzelner Schuldner durch de Modelle kann snnvollerwese nur zwschen emprscher und oponspresheorescher Modellerung erfolgen. (Der nensäsbaserende Ansaz berache nur Ausfallhäufgkeen n Porfolos und nch ndvduelle Ausfallhäufgkeen). Wr wollen zunächs de beden Ansäze an enem Bespel veranschaulchen. Wr besmmen dazu de Enjahres-Ausfallwahrschenlchkeen für de Meallgesellschaf für enen Zeraum von November 1990 bs Okober Desem Ergebns werden de von Moody s angegebenen Wahrschenlchkeen gegenübergesell. Daengrundlage snd de Markkapalserungen der Meallgesellschaf aus Daasream, de kurz- und langfrsgen Verbndlchkeen aus Reuers, Znssäze (Lbor) und hsorsche Rangänderungen aus Bloomberg.