Diplomarbeit. Die L-Funktionen Methode und die Sato-Tate-Vermutung. vorgelegt von Stefan Keil

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1 Diplomarbeit Die L-Funktionen Methode und die Sato-Tate-Vermutung vorgelegt von Stefan Keil Gutachter: Prof. Dr. Stefan Wewers Dr. Marcos Soriano Solá Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Hannover, den 9. März 200

2 Erklärung Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe, dass alle Stellen der Arbeit, die wörtlich oder sinngemäß aus anderen Quellen übernommen wurden, als solche kenntlich gemacht sind und dass die Arbeit in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegt wurde. Hannover, den 9. März 200

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung. Einführung in die Thematik Zielsetzung und Gliederung der Arbeit Notationen Grundlagen 4 2. Elliptische Kurven Das Haar-Maß Unitäre Darstellungen und Charaktere Dirichlet-Reihen, L-Reihen und L-Funktionen Taubersche Sätze Die L-Funktionen Methode Gleichverteilung Die Methode Die Sato-Tate-Vermutung Die Anwendung der L-Funktionen Methode l-adische Galois-Darstellungen Komplexe Multiplikation Numerische Tests Anhang 69 Literaturverzeichnis 7 i

4 Einleitung. Einführung in die Thematik Ist E/Q eine elliptische Kurve über dem Körper der rationalen Zahlen, so ist seit 934 nach Hasse bekannt, dass für die Anzahl der Punkte auf der modulo p reduzierten Kurve Ē/F p gilt: Ē(F p) = p + a p, mit a p 2 p, für Primzahlen p mit guter Reduktion. Wir können also schreiben a p = 2 p cos θ p, für einen eindeutigen Winkel θ p [0, π]. Durchläuft p nun alle Primzahlen (mit guter Reduktion), so kann man sich fragen, inwiefern die Winkel θ p in dem Intervall [0, π] verteilt sind. Eine Antwort darauf für elliptische Kurven E/Q ohne komplexe Multiplikation gibt die von Mikio Sato und John Tate Anfang der 60er aufgestellte Sato-Tate-Vermutung (siehe Vermutung 4.). Sie besagt, dass diese Winkel so zufällig wie möglich verteilt sind, oder präziser formuliert, dass sie bezüglich des sogenannten Sato-Tate-Maßes µ = 2 π sin2 θ dθ im Intervall [0, π] gleichverteilt sind. Siehe dazu Abbildung. Die Sato-Tate-Vermutung ist seit 2006 von Laurent Clozel, Michael Harris, Nick Shepherd-Barron und Richard Taylor in einer Reihe von Artikeln (siehe [CHT08], [Tay08] und [HSBT09, Thm. C]) unter zweier zusätzlicher Bedingungen bewiesen worden. Es wird dort jedoch eine weitaus umfassendere Aussage über die potentielle Automorphie von bestimmten L-Funktionen getroffen, woraus sich eine gewisse meromorphe Fortsetzbarkeit dieser L- Funktionen ableiten lässt (siehe Theorem 4.4). Die sogenannte L-Funktionen Methode (siehe Korollar 3.9) besagt nun, dass dies ein hinreichendes Kriterium für die Gültigkeit der Sato-Tate-Vermutung darstellt, womit diese in großen Teilen bewiesen ist (siehe Theorem 4.5). Diese L-Funktionen Methode wurde bereits 40 Jahre zuvor im Jahre 968 von Jean-Pierre Serre in [Ser68] in allgemeiner Form aufgeschrieben. Serre selbst prägte dabei nicht diesen Begriff, aber er wurde z.b. von Nicholas Katz in [Kat06] benutzt. Die Idee, mit gewissen analytischen Eigenschaften von L-Funktionen eine Gleichverteilung zu beweisen, hat eine lange Tradition. Als Prototyp gilt der 837 von Dirichlet geführte Beweis über die Verteilung von Primzahlen in arithmetischer Progression. Viele weitere Gleichverteilungen, wie z.b. das Čebotarevsche

5 Abbildung : Die Verteilung der Winkel θ p von E/Q : y 2 = x 3 + 6x 2 für p < und einer Unterteilung des Intervalls [0, π] in 00 Bereiche. Der Flächeninhalt der blauen Balken gibt dabei den prozentualen Anteil der in dem jeweiligen Abschnitt des Intervalls [0, π] enthaltenen θ p an. Die Vergleichskurve ist das Sato-Tate-Maß auf [0, π]. Dichtigkeitstheorem lassen sich mit dieser Methode ebenfalls beweisen, siehe Beispiele 3. und 3.2. Eine natürliche Verallgemeinerung der Sato-Tate-Vermutung ist der Übergang zu elliptischen Kurven E/K über beliebigen Zahlkörpern K. Diese allgemeine Version ist jedoch bisher nur für den Fall eines total reellen Zahlkörpers K bewiesen. Dies ist eine der beiden Zusatzannahmen des in [HSBT09] geführten Beweises. Die zweite Einschränkung setzt voraus, dass die elliptische Kurve mindestens einmal eine multiplikative Reduktion bei einer endlichen Primstelle v habe. Im Juli 2009 hat allerdings Richard Taylor auf seiner Webseite ein Preprint [BLGHT09] veröffentlich, in dem er und Tom Barnet-Lamb, David Geraghty und Michael Harris beanspruchen diese zweite Einschränkung aufgehoben zu haben. Damit wäre die Sato-Tate-Vermutung für total reelle Zahlkörper und damit insbesondere über Q vollständig bewiesen..2 Zielsetzung und Gliederung der Arbeit Die primären Ziele dieser Arbeit sind die Erläuterung der Sato-Tate- Vermutung, die Erklärung der L-Funktionen Methode und die Durchführung eines detaillierten Beweises von jener, sowie das Aufzeigen, wie aus den Resultaten von Tayler et al. mittels der L-Funktionen Methode die (eingeschränkte) Sato-Tate-Vermutung folgt. Dies ist mit Abschnitt 4. vollständig vollzogen. Sekundär soll begründet werden, wieso bei einer elliptischen Kurve 2

6 mit komplexer Multiplikation die Sato-Tate-Vermutung nicht zutrifft, bzw. wieso die Verteilung der Winkel θ v ein anderes Verhalten aufweist und wie dieses aussieht. Dies wird in Abschnitt 4.3 abgehandelt. Tertiär wird sich mit der Frage auseinander gesetzt, worin bei der Sato-Tate-Vermutung der Zusammenhang zur Gruppe SU(2) begründet liegt. Es wird noch versucht anzudeuten, welche Eigenschaften generell von den L-Reihen von Galois- Darstellungen vermutet werden und bei welchen bisher betrachteten L- Reihen es sich um derartige L-Reihen handelt. Außerdem wird mittels numerischer Berechnungen exemplarisch die Sato-Tate-Vermutung in bisher immer noch unbewiesenen Fällen gestützt. Dies beides passiert in den Abschnitten 4.2 und 4.4. Diese Arbeit ist in drei Teile aufgeteilt. Ein ausführlicher Grundlagen- Teil dient dem Zweck, dass - mit nur wenigen externen Referenzen - ein detaillierter Beweis der L-Funktionen Methode geliefert werden kann und dem Leser generell die wichtigsten Begriffe und Eigenschaften noch einmal in Erinnerung gerufen werden. Ein besonderes Augenmerk wird hier bereits auf die spezielle unitäre Gruppe SU(2) geworfen, da diese Gruppe eine entscheidende Rolle bei der Sato-Tate-Vermutung spielt. Es folgt der erste von zwei Hauptteilen, welcher die Formulierung und einen ausführlichen Beweis der L-Funktionen Methode enthält, sowie abschließend zwei Anwendungsbeispiele, den Dirichletschen Dichtigkeitssatz und den Čebotarevschen Dichtigkeitssatz. Der zweite Hauptteil widmet sich der Sato-Tate-Vermutung und setzt sich nacheinander mit den oben genannten Zielen auseinander. Im Anhang befindet sich ein von mir geschriebenes Sage Worksheet, mit dem die verwendeten Graphiken erstellt wurden..3 Notationen Mit N, Z, Q, R, C, Q l bezeichnen wir die natürlichen, ganzen, rationalen, reellen, komplexen und l-adischen Zahlen, für eine Primzahl l P. Es ist 0 / N. Es bezeichnen Re s und Im s den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl s C und s kennzeichnet die komplex konjugierte Zahl. Die endlichen Primstellen v eines Zahlkörpers und die Primideale p des Ganzheitsringes O K von K benutzen wir in einer austauschbaren Art und Weise. Dabei grenzen wir das Nullideal (0) aus der Menge der Primideale stets aus. 3

7 2 Grundlagen Dieser Abschnitt dient als interne Referenz für die beiden Hauptteile und liefert Definitionen, sowie grundlegende Eigenschaften der definierten Objekte. Damit sollen alle Begriffe zum Erläutern der Sato-Tate-Vermutung und der L-Funktionen Methode geklärt werden, weshalb wir auch gleich mit einem Abschnitt über elliptische Kurven beginnen. Will man nun die L-Funktionen Methode anwenden, um die Sato-Tate-Vermutung zu beweisen, so stellt man fest, dass die kompakte Lie-Gruppe SU(2) von wichtiger Bedeutung ist. Deswegen werden die für die L-Funktion Methode benötigten Werkzeuge, wie das Haar-Maß und stetige, irreduzible, unitäre Darstellungen, erst allgemein für kompakte Gruppen vorgestellt und dann gleich im Konkreten für die Gruppe SU(2) bestimmt. Ein wichtiger Satz in dem Abschnitt über Darstellungen ist das Peter-Weyl-Theorem (Theorem 2.35), das einen zentralen Teil der L-Funktionen Methode ausmacht. Es folgt ein Überblick über Dirichlet- Reihen, bei dem auch insbesondere die L-Reihen von elliptischen Kurven vorgestellt werden. Zuletzt wird als zweiter wichtiger Pfeiler für den Beweis der L-Funktionen Methode ein Tauberscher Satz über Dirichlet-Reihen vorgestellt, das Wiener-Ikehara-Theorem (Theorem 2.45). Dies schließt den Grundlagen-Teil ab. 2. Elliptische Kurven Wir eröffnen den Grundlagen-Teil mit einem Abschnitt über elliptische Kurven und fassen kurz einige wichtige Definitionen und Eigenschaften zusammen, um die nötigen Begriffe für die Formulierung der Sato-Tate-Vermutung beisammen zu haben. Die Hauptreferenz des nachstehenden Absatzes ist [Sil86]. Definition 2.. Eine elliptische Kurve ist eine projektive, irreduzible, nichtsinguläre, algebraische Kurve mit Genus g = über einem Körper K, ausgezeichnet mit einem K-rationalen Punkt. Sofern wir uns über einem Körper mit Charakteristik 2, 3 befinden kann der affine Anteil von E als Lösungsmenge einer Weierstraß-Gleichung y 2 = x 3 + ax + b, a, b K beschrieben werden. Dazu fixieren wir einen algebraischen Abschluss K von K. Die Lösungspaare (x, y) K 2 der Weierstraß-Gleichung inklusive genau eines Punktes im Unendlichen O sind dann - als Teilmenge des 2- dimensionalen projektiven Raumes über K - die elliptische Kurve E. Mengentheoretisch werden diese Punkte auch mit E( K) bezeichnet. Generell kann 4

8 man zu beliebigen algebraischen Körpererweiterungen L/K die Lösungspaare (x, y) L 2 der Weierstraß-Gleichung betrachten, und diese Punkte zusammen mit O bezeichnen wir mit E(L) und nennen dies die L-rationalen Punkte von E. Der Punkt O ist das neutrale Element der natürlichen abelschen Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve (genauer: auf E(L)), mit der diese zu einer abelschen Varietät wird. Die Nichtsingularität ist äquivalent dazu, dass die Diskriminante := 6(4a b 2 ) 0 ist. Die Diskriminante ist selbst keine wirkliche Invariante von E, allerdings gibt es die so genannte j-invariante, j := 728(4a 3 /(4a b 2 )), welche tatsächlich eine Invariante darstellt, und somit E bis auf Isomorphie bestimmt. Haben wir eine elliptische Kurve E/Q in einer Weierstraß-Gleichung E : y 2 = x 3 +ax+b gegeben, so lässt sich diese leicht mittels einer gültigen Variablentransformation (x, y) (c 2 x, c 3 y), c Q, welche ein Isomorphismus ist, in eine Weierstraß-Gleichung der Form y 2 = x 3 +c 4 ax+c 6 b = x 3 +a x+b bringen, deren Koeffizienten a und b dann aus Z sind. Wir nehmen also immer schon zu Beginn an, dass a, b Z, für eine elliptische Kurve E/Q. Somit ist es möglich über die modulo einer Primzahl p reduzierte Kurve Ē/F p : ȳ 2 = x 3 + ā x + b zu sprechen, deren Koeffizienten ā, b in F p liegen. Allgemeiner lässt sich dieses Konzept auf elliptische Kurven E/K über einem beliebigen Zahlkörper K verallgemeinern. Dort ist es dann immer möglich, dass die Koeffizienten a, b der Weierstraß-Gleichung aus dem Ganzheitsring O K sind, sodass man sinnvoll über die Reduktion der elliptischen Kurve modulo einer endlichen Primstelle v von K sprechen kann. Wir bezeichnen mit F v := O K /v den endlichen Restklassenkörper von K bei v, und mit Ē/F v die modulo v reduzierte Kurve. Die Diskriminante und die j-invariante der reduzierten Kurve seien und j. Allerdings ist die Weierstraß-Gleichung einer elliptischen Kurve E/K nicht eindeutig. Damit die modulo v reduzierte Kurve wohldefiniert ist, benötigt man eine (lokale) minimale Weierstraß-Gleichung von E/K. Dies bedeutet, dass die Koeffizienten a, b O K (mittels gültiger Variablentransformation) derart gewählt werden, dass die Bewertung der Diskriminante von E/K bezüglich v minimal wird. Sei dazu K v die Vervollständigung von K bei v, O v := {x K v v(x) 0} der Ganzheitsring von K v, und 5

9 m v := {x K v v(x) > 0} das maximale Ideal von O v. Da wir K auf natürliche Weise in den lokalen Körper K v einbetten können, können wir so die elliptische Kurve E/K als elliptische Kurve E/K v auffassen, deren Koeffizienten aus O v sind. Somit ist auch die Diskriminante aus O v, d.h. v( ) 0. Die Minimierung der Diskriminante ist somit immer möglich, da v eine diskrete Bewertung ist, mit anderen Worten, eine (lokale) minimale Weierstraß-Gleichung existiert immer. Wir reduzieren dann die Kurve E/K v modulo m v, womit die Koeffizienten wieder in O v /m v = F v liegen und erhalten so die modulo v reduzierte Kurve Ē/F v. Es bleibt die Wohldefiniertheit der reduzierten Kurve, und damit auch die Anzahl der Punkte auf ihr, zu begründen. Nach der Konstruktion der lokalen minimalen Weierstraß-Gleichung ist es wohldefiniert, ob die reduzierte Diskriminante = 0 oder 0 ist. Somit ist die reduzierte Kurve Ē/F v im Sinne der Singularität wohldefiniert. Ist sie nicht-singulär, und demnach ist 0, also v( ) = 0, so ist noch zu zeigen, dass die reduzierte j- Invariante j wohldefiniert ist. Wendet man eine gültige Variablentransformation (x, y) (c 2 x, c 3 y), c K an, bei der natürlich weiterhin die Koeffizienten in O K bleiben sollen, so hat dies folgenden Effekt auf die Veränderung der j-invariante j = 728 c2 4a 3 c 2. Es folgt, dass zur Erhaltung der Minimalität der lokalen Weierstraß- Gleichung v(c) = 0 gelten muss. Mit v( ) = 0 folgt die Gleichkeit von j und j, womit alles gezeigt ist. Definition 2.2. Ist die reduzierte Kurve Ē/F v eine nicht-singuläre Kurve, so sprechen wir von guter Reduktion, sonst von schlechter Reduktion. Der Fall der schlechten Reduktion wird dabei noch in drei Fälle unterteilt: a) zerfallende multiplikative Reduktion, wenn Ē einen Knoten (Node) hat und die Steigungen der Tangenten rational über F v liegen, b) nicht zerfallende multiplikative Reduktion, wenn Ē einen Knoten (Node) hat und die Steigungen der Tangenten nicht rational über F v liegen, c) additive Reduktion, wenn Ē eine Spitze (Cusp) hat. Eine elliptische Kurve E/K : y 2 = x 3 + ax + b, a, b O K über einem Zahlkörper K hat also genau dann gute Reduktion modulo einer Primstelle v von K, wenn es eine gültige Variablentransformation gibt, die die Koeffizienten a, b O K dementsprechend anpasst, dass die danach modulo v reduzierte Kurve Ē/F v : ȳ 2 = x 3 + ā x + b, ā, b F v nicht-singulär ist. Entscheidend ist, dass der Fall der schlechten Reduktion nur endlich oft eintreten kann. Es gilt nämlich 6

10 Proposition 2.3. Sei E/K eine elliptische Kurve über einem lokalen Körper K, gegeben in einer lokalen minimalen Weierstraßgleichung bezüglich der nicht-archimedischen Bewertung v von K. Sei die zugehörige Diskriminante dieser Gleichung. Dann gilt: E hat gute Reduktion bei v v( ) = 0. Beweis. E hat genau dann gute Reduktion bei v, wenn die reduzierte Diskriminante 0 ist. Dies ist äquivalent dazu, dass eine Einheit in O K ist, was wiederum äquivalent dazu ist, dass v( ) = 0 ist. Bemerkung 2.4. Es folgt also, dass wenn man eine elliptische Kurve E/K über einem Zahlkörper K in irgendeiner Weierstraß-Gleichung mit Koeffizienten und Diskriminante aus O K gegeben hat, dass dies für alle endlichen Primstellen v, mit v( ) = 0, bereits eine minimale Weierstraß-Gleichung ist und dort außerdem gute Reduktion hat. Jede Weierstraß-Gleichung kann also für höchstens endlich viele v nicht minimal sein und E/K kann also auch höchstens dort schlechte Reduktion haben. Eventuell gibt es aber für diese endlich vielen endlichen Primstellen sogar jeweils eine andere lokale minimale Weierstraß-Gleichung, bei der die Kurve dann gute Reduktion hat. Gibt es eine Weierstraß-Gleichung von E/K, die minimal bezüglich aller endlichen Primstellen v von K ist, so sprechen wir von einer globalen minimalen Weierstraß-Gleichung. Diese gibt es im Allgemeinen nicht, allerdings immer (siehe [Sil86, VIII, Cor. 8.3]), sofern der Zahlkörper K die Klassenzahl hat, also O K ein Hauptidealring ist, wie bei Q. Im Falle von guter Reduktion bei v kann man nun nach bekannter Manier die Punkte auf der reduzierten Kurve Ē/F v zählen. Setze q v := Nv := #F v, die Norm von v, und Ē(F v) =: q v + a v. Dann gilt mit Hasse (siehe [Sil86, V, Thm..]) a v 2 q v = cos θ v [, ], also θ v [0, π]. Bezeichnen wir mit Σ die Menge aller endlichen Primstellen v von K, bei denen E/K gute Reduktion hat, so erhalten wir also eine Familie {θ v } v Σ von Elementen im Intervall [0, π], deren Verteilung somit der Gegenstand der Sato-Tate-Vermutung ist. Was eine elliptische Kurve mit komplexer Multiplikation ist klären wir im entsprechenden Abschnitt

11 2.2 Das Haar-Maß Es folgt ein Abschnitt über topolgische Gruppen und einem besonderen natürlichen Maß, das auf jeder (lokal) kompakten Gruppe existiert. Dies wird das Maß sein bezüglich dessen mit der L-Funktionen Methode dann die Gleichverteilung gezeigt werden kann. Als Hauptreferenz diente [Sug90]. Definition 2.5. Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe G, die mit einer Topologie versehen ist, derart, dass die Gruppenverknüpfung : G G G und die Inversenbildung ( ) : G G bezüglich dieser Topologie stetige Funktionen sind (wobei auf G G die induzierte Produkttopologie genommen wird). Eine topologische Gruppe heißt hausdorffsch, kompakt, lokal kompakt, etc., wenn sie als topologischer Raum diese Eigenschaften hat. Meistens wird in der Literatur bei der Definition der topologischen Gruppe bereits verlangt, dass die Gruppe hausdorffsch sein muss. Um Missverständnissen entgegen zu wirken, schreiben wir dies stets dazu. Bemerkung 2.6. (a) Unterguppen von topologischen, hausdorffschen Gruppen sind topologische, hausdorffsche Gruppen bezüglich der Relativtopologie, weil Unterräume von Hausdorffräumen wieder Hausdorffräume sind und die Gruppenverknüpfung und Inversenbildung in der Untergruppe trivialerweise stetig sind. (b) Die komplexe allgemeine lineare Gruppe Gl(n, C) ist als komplexe Lie-Gruppe ein Beispiel einer topologischen, hausdorffschen Gruppe. Die Untergruppe SU(2) Gl(2, C) ist somit auch eine topologische, hausdorffsche Gruppe. Außerdem ist die Gruppe SU(2) nach Heine-Borel auch kompakt, da sie als Teilmenge von C 22 abgeschlossen und beschränkt ist (siehe auch Proposition 2.0). Jede topologische, lokal kompakte, hausdorffsche Gruppe besitzt ein so genanntes linkes oder rechtes Haar-Maß. Dies wurde erstmals vollständig 940 von André Weil bewiesen, siehe [Wei53, S.34-38]. Ist die Gruppe sogar kompakt, so kann man durch eine Normierung ein eindeutiges Haar-Maß erhalten. Wir werden hier explizit das normierte Haar-Maß für die kompakte Gruppe SU(2) konstruktiv bestimmen. Dazu zunächst einige grundlegende Definitionen. Definition 2.7. Sei X ein topologischer, lokal kompakter, Hausdorffraum und sei B die Borel-Algebra der kompakten Teilmengen von X, d.h. die kleinste σ-algebra, die jede kompakte Teilmenge von X enthält. Ein Element B B heißt Borel-Menge von X. Ein Maß µ auf B (bzw. auf X) heißt Borel- Maß, wenn es endlich auf kompakten Teilmengen K X ist. Ein Borel-Maß 8

12 heißt regulär, wenn für alle Borel-Mengen B B gilt: µ(b) = inf{µ(u) U X offen und B U} von außen regulär = sup{µ(k) K X kompakt und K B} von innen regulär. Ein Radon-Maß ist ein reguläres Borel-Maß. Sei jetzt G eine topologische, lokal kompakte, hausdorffsche Gruppe. Ein rechtes (bzw. linkes) Haar-Maß µ von G ist ein unter Translation rechts- (bzw. links-) invariantes Radon-Maß, bei dem es keine nicht-leeren offenen Nullmengen gibt, d.h. µ erfüllt zusätzlich zu den Eigenschaften eines Radon- Maßes: () µ(bg) = µ(b), bzw. µ(gb) = µ(b), für alle Borel-Mengen B B und alle g G, wobei Bg := {bg b B} und gb := {gb b B}. (2) µ(u) > 0, für alle nicht-leeren offenen Teilmengen = U B. Bemerkung 2.8. Ein rechtes (bzw. linkes) Haar-Maß ist eindeutig bis auf einen skalaren Faktor, d.h. sind µ und µ 2 zwei rechte oder zwei linke Haar- Maße, so gibt es ein c > 0, mit µ = c µ 2. Ist die Gruppe G sogar kompakt oder abelsch, so ist ein linkes Haar-Maß auch ein rechtes Haar-Maß und umgekehrt. Allgemein heißen Gruppen, die diese Eigenschaft haben unimodular. Diese Eindeutigkeit des Haar-Maßes war schon vor dem Existenzbeweis von André Weil bekannt. Im Falle einer kompakten Gruppe G lässt sich wegen µ(g) < das Haar-Maß außerdem noch normieren, d.h. man wählt den skalaren Faktor so, dass µ(g) = gilt. In diesem Fall spricht man dann von dem normierten Haar-Maß und es ist klar, dass es sich dabei um ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf G handelt. Es ist z. B. das Lebesgue-Maß ein Haar-Maß auf den reellen Zahlen mit µ([0, ]) =. Definition 2.9. Ist X ein topologischer, lokal kompakter, Hausdorffraum und C C (X) der Raum der komplexwertigen, stetigen Funktionen auf X mit kompaktem Träger, so liefert ein Radon-Maß µ ein Integral, das Radon- Integral, für Funktionen f C C (X), im Zeichen: µ(f) := f(x) dµ(x). X Dabei ist dµ(x) das Volumenelement von µ. Ist X eine kompakte Gruppe G und C(G) der Raum aller komplexwertigen, stetigen Funktionen auf G, so ist demnach C C (G) = C(G). Mit dem Haar-Maß µ ist also ein Haar-Integral µ(f) := f(g)dµ(g), G 9

13 für Funktionen f C(G), auf der kompakten Gruppe G definiert. Wegen der Invarianz unter Translation des Haar-Maßes gilt für das Haar-Integral, dass f(hg)dµ(g) = f(g)dµ(g), für alle h G. G G Es sei an dieser Stelle einmal erwähnt, dass wir in dieser Arbeit gewöhnlicherweise nicht explizit zwischen einem Maß und seinem Volumenelement unterscheiden werden, sondern dies als dasselbe betrachten. Wir wollen jetzt bestimmen, wie das normierte Haar-Maß für die kompakte Lie-Gruppe SU(2) aussieht. Dazu folgen wir [Sug90, II] und identifieren zunächst SU(2) mit der dreidimensionalen Einheits-Sphäre S 3 R 4, also { } 4 S 3 := x = (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 2 i =. Proposition 2.0. Die Abbildung i= Φ : S 3 SU(2), x ( ) x = x 2 x 3 Φ(x) := x + ix 2 x 3 + ix 4 x 3 + ix 4 x ix 2 x 4 ist ein Homöomorphismus. ( ) a b Beweis. Eine Matrix g = ist in SU(2) genau dann, wenn g c d = g (ā ) ( ) c d b und det g =, sprich = und ad bc =, und dies ist genau dann der Fall, wenn d = ā, b = c und aā + c c = a 2 + c 2 =. b d c a Es folgt zum einen sofort, dass( Φ(x) ) SU(2), für alle x S 3, und a b zum anderen, dass jedes g = SU(2) ein eindeutiges Urbild c d Φ (g) = (Re a, Im a, Re c, Im c) in S 3 hat. Also ist Φ eine Bijektion. Außerdem ist Φ stetig, da die Matrixeinträge Polynome sind. Da S 3 nach Heine-Borel kompakt ist, ist jede abgeschlossene Teilmenge A S 3 ebenfalls kompakt. Damit ist das Bild von A unter dem stetigen Φ ebenfalls kompakt. Kompakte Teilmengen eines Hausdorffraumes sind abgeschlossen, somit ist Φ(A) abgeschlosen in SU(2). Also ist die stetige, bijektive Abbildung Φ abgeschlossen und damit ist auch Φ stetig. 0

14 Auf S 3 kann man des Weiteren 3-dimensionale Polarkoordinaten einführen, mittels [0, π] [0, π] [0, 2π] S 3 x (θ, φ, ψ) x 2 x 3 := x 4 cos θ sin θ cos φ sin θ sin φ cos ψ sin θ sin φ sin ψ. Auf diese Art und Weise ist allerdings nicht jeder Punkt x = (x, x 2, x 3, x 4 ) S 3 eindeutig definiert. So sind φ und ψ nicht eindeutig bestimmt, wenn θ = 0 oder π, und ψ ist nicht eindeutig bestimmt, wenn φ = 0 oder π. Diese nicht eindeutig darstellbaren Punkte bilden jedoch nur eine -dimensionale Untermannigfaltigkeit {(cos θ, ± sin θ, 0, 0) 0 θ π}, die zur Berechnung des Haar-Maßes unerherblich ist, da sie eine Nullmenge ist. Mittels der Polarkoordinaten lässt sich jetzt das Haar-Integral auf SU(2) leicht beschreiben: Satz 2.. Identifiziert man SU(2) mit S 3 mittels Φ und versieht man S 3 mit Polarkoordinaten wie oben, so berechnet sich das normierte Haar-Integral für eine Funktion f C(G) auf G = SU(2) durch f(g)dµ(g) = π π 2π f(θ, φ, ψ) sin 2 θ sin φ dψ dφ dθ. G 2π Beweis. Die euklidische Metrik auf R 4 induziert eine Riemannschen Metrik m auf der Hyperfläche S 3 R 4 und liefert somit via Φ ein Radon-Maß µ auf SU(2), für das alle nicht-leeren, offenen Teilmengen positives Maß haben. Da S 3 orientierbar ist, gibt es eine kanonische Volumenform von m, bzw. µ, die in lokalen Polarkoordinaten (θ, φ, ψ) folgenden Gestalt hat: d µ(g) = det(m ij ) dψ dφ dθ, für g SU(2). Man rechnet leicht nach, dass damit gilt d µ(g) = sin 2 θ sin φ dψ dφ dθ. Bleibt noch die Invarianz unter Translation von µ zu zeigen. Es ist klar, dass µ auf S 3 invariant unter Rotationen ist und es ist nicht schwer zu zeigen, dass (unter dem gegebenen Homöomorphismus Φ) eine Rechts- oder Linkstranslation auf SU(2) einer Rotation auf S 3 entspricht, siehe [Sug90, II, Pro. 3.2]. Also ist µ ein (rechtes und linkes) Haar-Maß. Wegen π π 2π sin 2 θ sin φ dψ dφ dθ = 2π 2

15 ist dµ(g) := 2π 2 sin2 θ sin φ dψ dφ dθ die zugehörige Volumenform des normierten Haar-Maßes auf SU(2), womit alles gezeigt ist. Später wird vor allem der Raum der Konjugiertenklassen X von SU(2) von Interesse sein und Funktionen, die darauf definiert sind. Definition 2.2. Eine Funktion f auf einer Gruppe G heißt Klassenfunktion, wenn sie konstant auf den Konjugiertenklassen ist, d.h. es gilt für alle g und h in G. f(ghg ) = f(h), Wir geben nun ein Repräsentantensystem der Konjugiertenklassen von SU(2) an. Proposition 2.3. Jedes Element g in SU(2) ist konjugiert zu genau einem Element ( ) e iθ 0 h(θ) := 0 e iθ, mit θ [0, π]. Wir haben also eine Bijektion zwischen dem Intervall [0, π] und dem Raum der Konjugiertenklassen X von SU(2). Beweis. Die Matrizen g SU(2) sind unitär und damit unitär diagonalisierbar mit Eigenwerten e iθ und e iθ, für ein θ [0, π]. Dies ist klar, da die Eigenwerte den Absolutbetrag haben müssen und ihr Produkt ebenfalls sein muss. Wegen ( ) ( ) ( ) 0 e iθ ( ) 0 0 e iθ e iθ = 0 0 e iθ, gibt es also zu jedem g SU(2) ein u SU(2), sodass g = uh(θ)u. Also ist g konjugiert zu h(θ). Für zwei verschiedene θ, θ 2 [0, π] haben die Matrizen h(θ ), h(θ 2 ) verschiedene Paare an Eigenwerten und können somit nicht konjugiert zueinander sein. Damit ist auch die Eindeutigkeit gezeigt. Betrachtet man nur Klassenfunktionen von G, also Funktionen auf dem Raum der Konjugiertenklassen X von SU(2), so vereinfacht sich ein Radon-, bzw. Haar-Integral entsprechend. Ein normiertes Radon-Maß µ auf G induziert so auf natürliche Weise ein normiertes Radon-Maß auf X, was wir auch 2

16 mit µ bezeichnen, indem wir eine stetige Funktion f auf X einfach als stetige Klassenfunktion f auf G betrachten, d.h. f dµ(x) := f dµ(g). X Proposition 2.4. Das von SU(2) auf den Raum der Konjugiertenklassen X induzierte normierte Haar-Integral für eine komplexwertige, stetige Klassenfunktion f lässt sich berechnen mittels f(x)dµ(x) = 2 π f(h(θ)) sin 2 θ dθ, π wobei h(θ) = X ( ) e iθ 0 0 e iθ. Beweis. Sei g SU(2). Nach Proposition 2.3 gibt es dann ein u SU(2), sodass g = uh(θ)u. Für eine Klassenfunktion f gilt also f(g) = f(h(θ)). Betrachten wir SU(2) bezüglich der Polarkoordinaten, so sieht man sofort, dass f(θ, 0, 0) = f(h(θ)), womit wegen π π 2π f(θ, 0, 0) sin 2 θ sin φ dψ dφ dθ = 2 π f(θ, 0, 0) sin 2 θ dθ 2π π 0 die Aussage der Proposition folgt. Wir haben also gezeigt, dass das (induzierte) normierte Haar-Maß µ auf dem Raum der Konjugiertenklassen von SU(2) dem Maß 2 π sin2 θ dθ auf dem kompakten Intervall [0, π] entspricht, sofern man [0, π] und SU(2)/ conj mittels ( ) e iθ 0 θ 0 e iθ identifiziert. Definition 2.5. Das Maß 2 π sin2 θ dθ auf [0, π] heißt das Sato-Tate-Maß. Alternativ kann man die mittels der Kosinusfunktion gegebene Bijektion zwischen [0, π] und [, ] betrachten, also θ cos(θ) =: t. Dann entspricht dort dem normierten Haar-Maß µ das Maß 2 π t2 dt. Gelegentlich betrachtet man auch die Bijektion θ 2 cos(θ) =: t zwischen [0, π] und [ 2, 2] welche dann das Maß (/2π) 4 t 2 dt liefert. In allen diesen Fällen spricht man von dem Sato-Tate-Maß. 0 G 3

17 2.3 Unitäre Darstellungen und Charaktere Die so genannten stetigen, irreduziblen, unitären Darstellungen einer kompakten Gruppe G spielen eine wichtige Rolle bei der Formulierung der L- Funktionen Methode, da deren Charaktere eine besondere Familie von C- wertigen Funktionen auf G bilden. Dies ist das Resultat des Peter-Weyl- Theorems Die L-Funktionen Methode benötigt eine derartige Familie von Funktionen, auf die nun mit diesem Ergebnis immer auf kanonische Art und Weise zugegriffen werden kann. Deswegen bestimmen wir sie auch gleich für die kompakte Gruppe SU(2), da diese für den Beweis der Sato-Tate- Vermutung benötigt wird. Erneut liegt diesem Abschnitt hauptsächlich das Werk [Sug90] zugrunde. Bemerkung 2.6. Die stetigen, irreduziblen, unitären Darstellungen von kompakten Gruppen sind stets endlich dimensional, siehe [Sug90, I, Thm. 3]. Deswegen werden wir hier der Einfachkeit halber alle Begriffe direkt für den endlich dimensionalen Fall einführen und nicht erst eine Theorie über unendlich dimensionale Darstellungen entwickeln und diese nachträglich entsprechend vereinfachen. Definition 2.7. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum der Dimension n und sei Aut(V ) die Gruppe der Automorphismen auf V. Eine (endlich dimensionale) Darstellung ϱ auf V einer Gruppe G ist ein Gruppenhomomorphimus ϱ : G Aut(V ), g ϱ(g). Die Dimension n des Vektorraums V heißt Grad oder Dimension der Darstellung und V heißt Darstellungsraum von ϱ. Ist K = C oder Q l, so heißt die Darstellung entsprechend komplex oder l-adisch. In diesem Abschnitt betrachten wir nur komplexe Darstellungen, wohingegen im Abschnitt 4.2 über l-adische Galois-Darstellungen - wie der Name schon verrät - auch l-adische Darstellungen betrachtet werden. Wenden wir einen Automorphismus ϱ(g) auf ein v V an, so schreiben wir dies als v g := v ϱ(g) := (ϱ(g))(v). Fixieren wir eine Basis B von V, so erhalten wir einen Isomorphismus M : Aut(V ) = Gl n (K) zwischen der Gruppe der Automorphismen auf V und der multiplikativen Gruppe der invertierbaren n n-matrizen mit Koeffizienten in K. Damit können wir explizit über die Matrixdarstellung von ϱ(g) sprechen und bezeichnen jene mit M(ϱ(g)). Allerdings führen wir diese Unterscheidung nicht 4

18 konsequent durch und betrachten ϱ(g) auch als Matrix, bzw. definieren eine Darstellung direkt als einen Gruppenhomorphismus ϱ : G Gl n (K). Die einzelnen Einträge von M(ϱ(g)), bzw. ϱ(g), heißen Matrix-Koeffizienten von G und sind K-wertige Funktionen auf G. Ist G eine topologische Gruppe, so kann man stetige Darstellungen definieren. Dazu muss natürlich klar sein bezüglich welcher Topolgie auf Aut(V ) die Stetigkeit definiert sein soll. Bei den von uns betrachteten komplexen Darstellungen werden wir dafür Aut(V ) = Gl n (C) als komplexe Lie-Gruppe ansehen und deren natürliche Topologie wählen. Ist G eine endliche Gruppe, so wählen wir auf ihr stets die diskrete Topologie und damit ist jede ihrer Darstellungen stetig. Die triviale Darstellung von G ist eine -dimensionale Darstellung ϱ : G Gl (V ) = K, mit ϱ(g) = id V = id K, für alle g G. Der Charakter χ einer (endlich dimensionalen) Darstellung ϱ ist deren Spur, also χ : G K, g χ(g) := T r(ϱ(g)) = T r(m(ϱ(g))). Das letzte Gleichheitszeichen ist wohldefiniert, da die Spur bekanntlich unabhängig von der gewählten Basis ist. Der Charakter der trivialen Darstellung heißt trivialer Charakter χ =: und ist die konstante Einsfunktion. Bemerkung 2.8. Charaktere sind Klassenfunktionen auf G, d.h. χ(h gh) = χ(g), für alle g, h G. Dies gilt, da die Spur invariant unter Basiswechsel ist und die Konjugation h gh als Basiswechsel von ϱ(g) verstanden werden kann. Integriert man Charaktere χ auf einer kompakten Gruppe G bezüglich eines (nicht unbedingt normierten) Haar-Maßes µ, so gilt der folgende elementare Fakt. Lemma 2.9. Sei G eine kompakte Gruppe mit einem Haar-Maß µ und sei χ ein Charakter von G. Dann gilt für das Haar-Integral: { µ(g), wenn χ =. χ(g)dµ(g) = 0, wenn χ. G 5

19 Beweis. Die obere Gleichheit ist trivial per Definition. Für die untere Gleichheit betrachte die Translation mit einem Element h. Unter jener ist das Haar- Integral invariant. Daher χ(g)dµ(g) = χ(g h)dµ(g) = χ(h) χ(g)dµ(g). G G G Da χ, gibt es also ein h mit χ(h), womit χ(g)dµ(g) = 0 folgt. G Definition Sei G eine Gruppe und ϱ : G Aut(V ) eine komplexe Darstellung. Ein Skalarprodukt <, > auf dem C-Vektorraum V heißt G- invariant (bezüglich ϱ), wenn gilt: < v, w >=< v g, w g >, für alle v, w V und für alle g G. Eine komplexe Darstellung ϱ heißt unitär, wenn es auf dem Darstellungsraum V ein (bezüglich ϱ) G-invariantes Skalarprodukt <, > gibt. Bemerkung 2.2. Eine komplexe, endlich dimensionale Darstellung ϱ : G Aut(V ) einer Gruppe G auf einem endlich dimensionalen C-Vektorraum mit Skalarprodukt <, > ist also genau dann unitär, wenn ϱ(g) für alle g G ein unitärer Operator auf V bezüglich <, > ist, d.h ein Operator, der das Skalarprodukt <, > erhält. Fixieren wir eine bezüglich <, > orthonormale Basis von V, so ist damit die Darstellung ϱ ein Gruppenhomomorphismus ϱ : G U(n) Gl n (C) in die unitäre Gruppe vom Grad n. Proposition Jede stetige, endlich dimensionale, komplexe Darstellung einer kompakten Gruppe G ist unitär. Beweis. Sei V der endlich dimensionale, komplexe Darstellungsraum mit einem Skalarprodukt,. Dann ist durch < v, w >:= v g, w g dµ(g) G ein G-invariantes Skalarprodukt auf V definiert, wobei µ das eindeutige, normierte Haar-Maß auf G ist. Dass <, > ein Skalarprodukt auf V ist rechnet man leicht nach. Außerdem ist <, > G-invariant, weil für ein festes h G gilt < v h, w h >= (v h ) g, (w h ) g dµ(g) = v g, w g dµ(g) =< v, w >. G G 6

20 Bemerkung Bei stetigen, endlich dimensionalen, komplexen Darstellungen auf kompakten Gruppen sind die Matrixdarstellungen M(ϱ(g)) der Automorphismen ϱ(g) für alle g G diagonalisierbar. Dies folgt aus Proposition 2.22, weil die M(ϱ(g)) dann unitäre Matrizen sind. Insbesondere sind also bei diesen Darstellungen die entsprechenden Charaktere χ(g) die Summe der n Eigenwerte λ (i), i =,..., n, der Automorphismen ϱ(g) U(n) Gl n (C). Definition Sei G eine Gruppe mit einer Darstellung ϱ : G Aut(V ). Ein Unterraum U V des Darstellungsraumes V heißt G-invariant (bezüglich ϱ), wenn gilt U g := U ϱ(g) := {u g u U} U, für alle g G. V und {0} heißen die trivialen G-invarianten Unterräume. Bemerkung Sei U V ein G-invarianter Unterraum von V (bezüglich ϱ). Für ein g G ist dann die Einschränkung von ϱ(g) auf U ein Isomorphismus auf U, also ϱ(g) U Aut(U). Außerdem ist die Abbildung g ϱ(g) U ein Gruppenhomomorphismus von G nach Aut(U) und somit eine Darstellung von G auf U. Definition Die in der vorigen Bemerkung definierte Darstellung heißt Einschränkung der Darstellung ϱ auf U, im Zeichen ϱ U, also ϱ U : G Aut(U), g ϱ(g) U. Sei V = V V 2 eine direkte Summe von G-invarianten Unterräumen V i {0} und sei ϱ eine Darstellung mit V als Darstellungsraum. Sind ϱ i : g ϱ(g) Vi die Einschränkungen von ϱ auf V i, so sagen wir ϱ ist die Summe der Darstellungen ϱ i, im Zeichen ϱ = ϱ ϱ 2. Iterativ definiert man endliche Summen. Proposition (Satz von Maschke) Sei G eine kompakte Gruppe mit einer stetigen, endlich dimensionalen, komplexen Darstellung ϱ : G Aut(V ) und sei U ein nicht-trivialer G-invarianter Unterraum von V. Dann existiert ein G-invariantes Komplement W von U in V, also V = U W. Beweis. Nach Proposition 2.22 gibt es ein G-invarintes Skalarprodukt <, > auf V. Definiere W := U als das Komplement von U bezüglich <, >. Somit ist V = U W. Außerdem ist W G-invariant, da für alle w W, u U, g G gilt < w g, u >=< (w g ) g, u g >=< w, u g >= 0, da u g U U g, also W g U = W. 7

21 Definition Eine Darstellung ϱ : G Aut(V ) heißt irreduzibel, wenn es keine nicht-trivialen G-invarianten Unterräume in V gibt (bezüglich ϱ). Unter einem stetigen, irreduziblen, unitären Charakter einer kompakten Gruppe wollen wir den Charakter einer stetigen, irreduziblen, unitären Darstellung dieser Gruppe verstehen. Folgerung Jede stetige, endlich dimensionale, komplexe Darstellung ϱ einer kompakten Gruppe G ist Summe stetiger, irreduzibler, unitärer Darstellungen. Also ϱ = ϱ ϱ k, mit ϱ i stetig, irreduzibel und unitär. Beweis. Nehme einen nicht-trivialen G-invarianten Untervektorraum U von V mit minimaler Dimension und wende dann Proposition 2.27 an, um ein G-invariantes Komplement U zu erhalten. Wiederhole den Prozess iterativ mit U. Die ϱ i sind unitär nach Proposition Bemerkung Die Aussage von Folgerung 2.29 gilt auch für unendlich dimensionale, stetige, unitäre Darstellungen einer kompakten Gruppe G. Jede dieser Darstellungen lässt sich in eine unendliche Summe von stetigen, endlich dimensionalen, irreduziblen und unitären Darstellungen zerlegen, siehe [Sug90, I, Thm. 3]. Die stetigen, irreduziblen, unitären Darstellung bilden also die Bausteine aller stetigen, endlich dimensionalen, komplexen Darstellungen, bzw. allgemeiner aller stetigen, (unendlichen), unitären Darstellungen, einer kompakten Gruppe und es reicht das Studium auf jene Darstellungen zu beschränken. Ist die Gruppe zusätzlich abelsch, so vereinfacht sich die Situation noch deutlich. Proposition 2.3. Die stetigen, irreduziblen, unitären Darstellungen von abelschen, kompakten Gruppen sind -dimensional, d.h. Charaktere. Beweis. [BD85, II, Pro..3] Auf der Menge der Darstellungen einer Gruppe kann man eine Äquivalenzrelation definieren, die - im Falle einer kompakten Gruppe - Darstellungen mit gleichen Charakteren zusammenfasst. Für die L-Funktionen Methode wird es genügen aus jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter zu kennen. Definition Seien V und V Darstellungsräume zweier Darstellungen ϱ : G Aut(V ) und ϱ : G Aut(V ) einer Gruppe G. Ein Isomorphismus σ : V V heißt G-invariant, wenn gilt σ ϱ(g) = ϱ (g) σ, für alle g G, 8

22 und die beiden Darstellungen ϱ : G Aut(V ) und ϱ : G Aut(V ) heißen äquivalent oder isomorph, wenn es einen G-invarianten Isomorphismus σ : V V gibt, im Zeichen ϱ = ϱ. Für kompakte Gruppen gibt es ein schönes Kriterium für die Äquivalenz zweier Darstellungen, bzw. für die Irreduzibelität einer Darstellung, was mit folgender Definition möglich ist. Definition Mit (, ) bezeichnen wir das natürliche Skalarprodukt auf dem Hilbert-Raum L 2 (G) der quadratintegrierbaren Funktionen auf der kompakten Gruppe G, d.h. ist µ das normierte Haar-Maß von G und sind χ, χ L 2 (G), so gilt (χ, χ ) = χ(g)χ (g) dµ(g). G Proposition Sei G eine kompakte Gruppe und seien ϱ und ϱ zwei stetige, irreduzible, unitäre Darstellungen von G mit zugehörigen Charakteren χ und χ. Dann gilt: (a) (Orthogonalitätsrelationen von Charakteren) { (χ, χ, falls ϱ ) = = ϱ, 0, falls ϱ ϱ. (b) (Äquivalenzkriterium) (c) (Irreduzibelitätskriterium) ϱ = ϱ χ = χ. ϱ ist irreduzibel (χ, χ) =. Beweis. [Sug90, II, Pro. 2.2 & Pro. 2.3] Der folgende Satz von Hermann Weyl und seinem Studenten Fritz Peter über stetige, irreduzible, unitäre Darstellungen von kompakten Gruppen ist einer von zwei fundamentalen Sätzen im Beweis der L-Funktionen Methode. Für den zweiten Satz siehe Wiener-Ikehara Theorem Theorem (Peter-Weyl-Theorem) Sei G eine kompakte Gruppe und X der Raum der Konjugiertenklassen von G. Dann liegt der lineare C-Spann der stetigen, irreduziblen, unitären Charaktere von G dicht im Raum C(X) der stetigen C-wertigen Funktionen auf X, d.h. der Raum der stetigen C- wertigen Klassenfunktionen auf G. 9

23 Beweis. [BD85, III, Thm. 3.] In der Voraussicht die Sato-Tate-Vermutung mit der L-Funktionen Methode beweisen zu wollen werden wir jetzt die Äquivalenzklassen der stetigen, irreduziblen, unitären Darstellungen von der kompakten Gruppe SU(2) bestimmen. Dazu definieren wir zunächst für alle n N Abbildungen ϱ n auf SU(2), zeigen dann, dass diese ϱ n stetige, irreduzible, unitäre Darstellungen von SU(2) sind und zuletzt weisen wir in Theorem 2.38 nach, dass wir damit ein volles Vertretersystem für die Äquivalenzklassen gefunden haben. Definition Sei C[X, Y ] die Polynomalgebra über den komplexen Zahlen C in 2 Variablen X und Y. Für n N sei V n C[X, Y ] der (n + )- dimensionale Unterraum der homogenen Polynome vom Grad n. Definiere für alle n N eine Abbildung mittels ϱ n : SU(2) Gl n+ (V n ), g ϱ n (g), φ ϱn (g) (x, y) := φ((x, y)g), für alle φ V n. Dabei ist (x, y)g die folgende Rechtsoperation von SU(2) auf C 2 : (x, y)g := (ax + cy, bx + dy), ( ) a b für g = SU(2) und (x, y) C c d 2. Die Abbildungen ϱ n nennen wir die Darstellungen von SU(2) auf die homogenen Polynome in (X, Y ) vom Grad n. Proposition Die Abbildungen ϱ n sind stetige, irreduzible, unitäre Darstellungen von SU(2). Beweis. () (komplexe) Darstellung: Zu zeigen ist, dass die oben definierte Abbildung ϱ n tatsächlich eine Abbildung in Gl n+ (V n ) ist und dann, dass es sich dabei um einen Gruppenhomomorphismus handelt. Dies ist beides klar. (2) stetig: Die Darstellung ϱ n ist stetig, da die Matrixeinträge von M(ϱ n (g)) (bezüglich einer gewählten Basis) Polynome in den Variablen a, b, c und d von g sind und Polynome stetig sind. (3) unitär: Nach () und (2) kann man Proposition 2.22 anwenden, da SU(2) kompakt ist. (4) irreduzibel: Nach (3) können wir Proposition 2.34 (c) anwenden, nach der eine unitäre Darstellung ϱ genau dann irreduzibel ist, wenn für den zugehörigen Charakter χ gilt, dass (χ, χ) = ist. Zu der gegebenen Darstellung 20

24 ϱ n ist der Charakter χ n eine Klassenfunktion von SU(2), für die nach [Sug90, II, Pro. 2.5] gilt sin(n + )θ χ n (h(θ)) =, sin θ falls θ kein ganzes Vielfaches von π ist. Dabei ist wieder ( ) e iθ 0 h(θ) := 0 e iθ. Mit Proposition 2.4 über das Haar-Maß von SU(2) auf Klassenfunktionen folgt (χ n, χ n ) = = 2 π π π womit die Irreduzibelität gezeigt ist. 0 0 χ n (h(θ))χ n (h(θ)) sin 2 θ dθ sin 2 (n + )θ dθ =, für alle n N, Theorem Jede stetige, irreduzible, unitäre Darstellung ϱ von SU(2) ist äquivalent zu genau einer der Darstellungen ϱ n. Beweis. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Sei ξ eine beliebige stetige, irreduzible, unitäre Darstellung von SU(2). Somit ist ξ nach der einführenden Bemerkung 2.6 endlich dimensional. Sei χ der Charakter von ξ. Unter der Annahme, dass ξ inäquivalent zu allen ϱ n sei, gelte also nach den Orthogonalitätsrelationen 2.34 (a), dass (χ, χ n ) = 0, für alle n N, wobei χ n die Charaktere von ϱ n sind. Nach der Parsevalschen Gleichung (siehe [Sug90, I, Thm. 4.3]) gilt dem entgegen die folgende Gleichheit (χ, χ) 2 = (χ, χ n ) 2, n=0 womit also (χ, χ) 2 = 0 folgte. Dies steht nun im Widerspruch zu Proposition 2.34 (c), nach der (χ, χ) 2 = ist, womit dann das Theorem bewiesen ist. Bei der Eindeutigkeitsaussage ist nichs zu zeigen, da die Darstellungsräume der ϱ n verschiedene Dimension haben und somit nicht äquivalent sein können. 2

25 Bemerkung Betrachtet man ( die Matrixdarstellungen ) M(ϱ n (g)) der e Autmorphismen ϱ n iθ 0 (g), mit g = 0 e iθ SU(2), bezüglich der kanonischen Basis {z n i z2} i n i=0 von V n, so ist diese eine (n + ) (n + )- Diagonalmatrix e niθ e (n 2)iθ 0 M(ϱ n e (n 4)iθ (g)) = e ( n+2)iθ e niθ Die Darstellungen ϱ n sind also die symmetrischen n-ten Potenzen der natürlichen Darstellung ϱ, da ( ) e M(ϱ iθ 0 (g)) = 0 e iθ. In Abschnitt 4. werden wir für den Beweis der Sato-Tate-Vermutung die Matrixdarstellungen der ϱ n (g) bezüglich einer beliebigen Basis von V n für einen beliebigen Vertreter g jeder Konjugiertenklasse von G benötigen. Dies haben wir hiermit bestimmt. 2.4 Dirichlet-Reihen, L-Reihen und L-Funktionen Hier klären wir grundlegende Begriffe für die L-Funktionen Methode und führen die L-Reihe einer elliptischen Kurve ein. Dieser wird insbesondere ein verstärktes Interesse beigemessen, nachdem die Sato-Tate-Vermutung durch die L-Funktionen-Methode bewiesen worden ist und dann die Diskussion der sekundären und tertiären Ziele beginnt. Eine gute Einführung in das Gebiet der Dirichlet-Reihen bieten [Ser96a] und [Kob93], aus denen auch die grundlegenden Eigenschaften und Definitionen entnommen wurden. Für die L-Reihen von elliptischen Kurven siehe [Hus04] und [Sil99]. Definition Sei (a n ) n N C eine arithmetische/zahlentheoretische Funktion, d.h. eine Folge komplexer Zahlen. Dieser kann eine formale Dirichlet-Reihe a n n s n= zugeordnet werden. Dabei ist s C ein komplexer Parameter, der traditionell als s = σ + it in Real- und Imaginärteil zerlegt wird. Eine arithmetische 22

26 Funktion a n heißt schwach multiplikativ, wenn a m n = a m a n, für ggt(m, n) = und (stark) multiplikativ, wenn a m n = a m a n, für alle m, n N. Bemerkung 2.4. (i) Liegt bei einer Dirichlet-Reihe a n n s für ein s 0 C (bedingte) Konvergenz vor, so konvergiert sie auch (bedingt) für jedes s C, mit Re s > Re s 0 und die Funktionenreihe F (s) := n= a n n s, mit Re s > Re s 0, konvergiert in diesem Bereich auf jeder kompakten Teilmenge gleichmäßig, d.h. sie stellt dort eine holomorphe Funktion dar. Der Konvergenzbereich der Dirichlet-Reihe enthält also eine maximale offene rechte Halbebene, die Konvergenzhalbebene, deren Rand auf der x-achse (also Re s 0 ) als Konvergenzabszisse bezeichnet wird. Betrachtet man die Reihe a n n s, so nennen wir deren Konvergenzhalbebene die absolute Konvergenzhalbebene von F (s). (ii) Ist die Folge a n beschränkt, so konvergiert F (s) absolut für Re s >. (iii) Ist die Folge a n schwach multiplikativ und konvergiert die Dirichlet-Reihe an n s für ein s 0 C absolut, so gilt das folgende Euler-Produkt n= a n n s = p P k=0 und ist a n sogar (stark) multiplikativ, so gilt n= a p k p ks, für Re s > Re s 0, a n n = s a p p, für Re s > Re s 0. s p P Die Euler-Produkt-Formel gilt also in der absoluten Konvergenzhalbebene. Oft wird einem algebraischen oder geometrischen Objekt eine gewisse Dirichlet-Reihe zugeordnet, die sogenannte L-Reihe dieses Objektes. Gewöhnlich erwartet man, dass solche L-Reihen eine meromorphe Fortsetzung aus ihrer Konvergenzhalbebene auf ganz C besitzen, sowie einer Funktionalgleichung gehorchen. Die so entstandene Funktion, in Abhängigkeit des komplexen Parameters s, wird dann eine L-Funktion genannt. Auch wenn eine meromorphe Fortsetzbarkeit nicht bekannt ist, wird die L-Reihe auf ihrer Konvergenzhalbebene als L-Funktion bezeichnet. Allerdings wird auf die sprachliche Unterscheidung zwischen L-Reihe und L-Funktion nicht besonders viel Wert gelegt. Die so erhaltene analytische L-Funktion soll dabei 23

27 helfen arithmetische Informationen über das algebraische/geometrische Objekt zu entschlüsseln. Der Prototyp aller L-Reihen, bzw. L-Funktionen, ist die Riemannsche Zeta-Funktion ζ(s) := n N n s, also a n =, für alle n N. Die Riemannsche Zeta-Funktion konvergiert für Re s > absolut, sie besitzt dort also ein Euler-Produkt. Dieses hat die Gestalt ζ(s) = p. s p P Zusätzlich ist die Riemannsche Zeta-Funktion auf die ganze komplexe Ebene holomorph fortsetzbar mit Ausnahme eines einfachen Pols bei s =, und erfüllt eine Funktionalgleichung mit s s (vgl. auch Bemerkung 2.4). Eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion ζ(s) ist die L-Reihe eines Zahlkörpers K, die Dedekindsche Zeta-Funktion ζ K (s) := p, Re s >. (Np) s Dabei durchläuft das Euler-Produkt alle Primideale p (0) von K. Die Riemannsche Zeta-Funktion ζ(s) ist also die L-Reihe/Funktion der rationalen Zahlen, da sie gleich der Dedekindschen Zeta-Funktion von Q ist. Bemerkung Die Dedekindschen Zeta-Funktionen ζ K (s) sind holomorph fortsetzbar auf C \ {} und haben bei s = einen einfachen Pol. Außerdem genügen sie einer Funktionalgleichung mit s s. Des Weiteren sind sie in der Halbebene Re s ungleich Null (siehe [Koc92, Thm..04 &.09]). Diese wichtige Eigenschaft auf der Geraden Re s = der Dedekindschen Zeta-Funktionen ζ K (s) werden wir noch für den Beweis der Sato-Tate-Vermutung benötigen, da es sich hierbei um Hypothese () der L-Funktionen Methode handelt (siehe Hypothesen 3.5). Zudem sei noch bemerkt, dass dieses Verhalten auf der Geraden Re s = von der Riemannschen Zeta-Funktion ζ(s) = ζ Q (s) den Primzahlsatz impliziert. Wir wollen jetzt die L-Reihen von elliptischen Kurven definieren. Definition Sei E/K eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper K. Für jede endliche Primstelle v von K (mit guter Reduktion) sei wie gehabt F v = O K /v der endliche Restklassenkörper von K bei v, 24

28 Damit definieren wir ein Polynom q v = Nv = #F v die Norm von v, und #Ē(F v) = q v + a v. L v (E/K, T ) := a v T + q v T 2, welches wir die lokale L-Reihe von E/K bei v nennen. Für die endlich vielen endlichen Primstellen v mit schlechter Reduktion (vgl. Bemerkung 2.4) definieren wir die lokale L-Reihe folgendermaßen: T, wenn E zerfallende multiplikative Reduktion bei v hat, L v (E/K, T ) := + T, wenn E nicht zerfallende multiplikative Reduktion bei v hat,, wenn E additive Reduktion bei v hat. Substituieren wir T qv s, s C, und nehmen das Produkt über die Kehrwerte aller lokalen L-Reihen, so erhalten wir die (globale) L-Reihe von E/K L(E/K, s) := v L v (E/K, q s v ), welche auch die Hasse-Weil L-Funktion von E/K genannt wird. Faktorisieren wir die lokale L-Reihe L v (E/K, s) (für gute Reduktion) über C, so ergibt dies L v (E/K, s) = a v q s v + q 2s v wobei nach dem Theorem von Hasse gilt, dass = ( α v qv s )( ᾱ v qv s ), α v = ᾱ v = q v, da a v 2 q v. Somit ist ᾱ v lässt. das komplex Konjugierte von α v, wie sich leicht nachprüfen Bemerkung Aus der Abschätzung a v 2 q v folgt, dass das Euler- Produkt von L(E/K, s) für Re s > 3/2 konvergiert (siehe [Hus04, 6(2.4)]) und dort somit eine holomorphe Funktion darstellt. Eines der größten mathematischen Ergebnisse des letzten Jahrhunderts war der in den 90er Jahren geführte Beweis des Modularitätssatzes [BCDT0] (ehemals Taniyama- Shimura-Weil-Vermutung), welches als Korollar zum einen die holomorphe Fortsetzbarkeit von L(E/Q, s) auf die ganze komplexe Ebene liefert und zum anderen aussagt, dass L(E/Q, s) einer Funktionalgleichung s 2 s genügt. Bemerkenswert ist dabei noch, dass dies auch den großen Satz von Fermat impliziert. Für elliptische Kurven über beliebigen Zahlkörpern K werden diese Eigenschaften von L(E/K, s) weiterhin nur vermutet und dies ist unter 25

29 dem Namen Hasse-Weil-Vermutung bekannt. Handelt es sich allerdings bei E/K um eine elliptische Kurve mit komplexer Multiplikation, so sind diese Vermutungen von Deuring [Deu53] bereits 953 bewiesen worden, welches wir im zweiten Hauptteil dieser Arbeit im Abschnitt 4.3 über komplexe Multiplikation noch behandeln werden (siehe Bemerkung 4.3). 2.5 Taubersche Sätze Bei den nächsten Theoremen handelt es sich um sogenante Taubersche Sätze. In diesem Kontext kann man dies verstehen als eine Aussage, bei der eine zunächst gewichtete Reihe unter gewissen Zusatzannahmen auch ohne die Gewichtung weiterhin konvergent bleibt. Beide Sätze sind [Lan94, XV] entnommen und sie geben ein Hilfsmittel aus der Analysis für den Beweis der L-Funktionen Methode. Den ersten Satz, das Wiener-Ikehara-Theorem, zitieren wir nur, da der Beweis sehr technisch ist, und dort rein analytisch mit Integralen gearbeitet wird. Das Wiener-Ikehara-Theorem ist der zweite zentrale Satz für den Beweis der L-Funktionen Methode, neben dem Peter-Weyl Theorem Theorem (Wiener-Ikehara Theorem) Sei F (s) = a n n s eine Dirichlet-Reihe. Sei weiterhin F + (s) = a + n n s eine Dirichlet-Reihe mit reellen, nicht-negativen Koeffizienten a + n 0, für die außerdem gilt: (a) a n Ca + n, für alle n und eine Konstante C > 0, (b) die Reihen F + (s) und F (s) konvergieren für Re s >, (c) die Funktionen F + und F können auf Re s meromorph fortgesetzt werden, und sie haben dort keine Pole mit Ausnahme bei s =, wo F + einen einfachen Pol mit Residuum c + > 0 und F einen möglichen einfachen Pol mit Residuum c hat. (Also c = 0, wenn F holomorph bei s = ist.) Dann gilt: a n = cn + o(n), für N, n N oder mit anderen Worten Beweis. [Lan94, XV, Thm. ] lim N N N a n = c. n= Ebenfalls benötigt für den Beweis der L-Funktionen Methode wird die 26

30 Proposition Sei (b n ) n 2 eine Folge komplexer Zahlen für die gelte, dass N b n = αn + o(n), für ein α C. Dann gilt auch: n=2 N b n log n = α N ( ) N log N + o. log N n=2 Beweis. Setze Ψ(N) := N n=2 b n mit Ψ() := 0, sowie Ω(N) := N n=2 also gilt für n 2, dass b n = Ψ(n) Ψ(n ). Wir haben also Ω(N) = N n=2 Ψ(n) Ψ(n ) log n = N n=2 N Ψ(n) log n Ψ(n) log(n + ) n= b n, log n = Ψ(N) N log N + ( ) Ψ(n) log n =: Ψ(N) log(n + ) log N + S(N). n=2 ( ) N Es reicht deshalb zu zeigen, dass die Summe S(N) = o ist, da Ψ(N) = log N log N ( ) α N + o N nach Voraussetzung. Um S(N) abzuschätzen ersetzen wir log N log N Ψ(n) mit Cn für eine Konstante C. Wegen e x + x, x R, gilt n log ( + n) und somit auch ( ) log n log(n + ) = log + n log(n) log(n + ) < n (log n). 2 Also ist die Summe S(N) durch N n=2 N n Cn (log n) = C 2 n=2 (log n) 2 nach oben beschränkt. Es reicht also zu zeigen, dass N n=2 ( ) N (log n) = o. 2 log N Dazu wird diese Summe bei n = N aufgebrochen in 2 n< N (log n) + 2 (log n). 2 N n<n 27

31 Schätzt man nun diese beiden Summen mittels ihrer größten Summanden und trivialer Summandenanzahl ab, so erhält man als obere Schranke N (log 2) + N 2 (log N) = N N (log 2) 2 (log N). 2 ( Man sieht sofort, dass dies aus o N log N ) ist, da N + N (log N) 2 N log N = log N N + log N 0, für n. 28

32 3 Die L-Funktionen Methode Das Ziel der L-Funktionen Methode ist das Zeigen der Gleichverteilung einer Folge von Elementen (x n ) n N im Raum der Konjugiertenklassen X einer kompakten Gruppe G bezüglich des induzierten Haar-Maßes µ. Dazu wird für jede Äquivalenzklasse der stetigen, irreduziblen, unitären Darstellungen ϱ von G eine gewisse L-Funktion konstruiert und es wird sich dann herausstellen, dass deren analytische Eigenschaften auf der Geraden mit Re s = in einem wesentlichen Zusammenhang zur µ-gleichverteilung der Folge (x n ) n N in X stehen. Die Referenz ist [Ser68, I Appendix]. Zunächst erläutern wir Grundlegendes zur Gleichverteilung. 3. Gleichverteilung In diesem Abschnitt sei X stets ein kompakter, topologischer Raum und C(X) der Banachraum der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf X, versehen mit der gewöhnlichen Supremumsnorm f = sup x X f(x). Als messbare Mengen nehmen wir die Borel-Mengen der Borel-Algebra B der kompakten Teilmengen von X. Die Gleichverteilung der Elemente einer Folge (x n ) n N in X bezüglich eines Radon-Maßes µ wird mittels einer (natürlichen) Dichte definiert. Definition 3.. Für ein x 0 X sei δ x0 das jeweilige Dirac-Maß zu x 0, d.h. {, wenn x 0 B, δ x0 (B) := 0, wenn x 0 B, für alle messbaren Mengen B B. Damit ist δ x0 (f) := f(x) dδ x0 (x) = f(x 0 ), für alle f C(X). Weiterhin definieren wir für N N X µ N := N i= δ x i N i=. Ist µ ein normiertes Radon-Maß auf X, so heißt eine Folge (x n ) n N in X gleichverteilt bezüglich µ oder auch µ-gleichverteilt, wenn lim N µ N schwach gegen µ konvergiert, d.h. für alle f C(X) muss gelten: lim N lim µ N(f) = µ(f), also N N N f(x i ) = i= 29 X f(x) dµ(x).

33 Anschaulich sieht man durch diese Definition sehr schön, dass eine Gleichverteilung bedeutet, dass die Elemente derart gleichmäßig und unbevorzugt über den gesamten Raum X hinweg verteilt sind, dass eine durchschnittliche (unendliche) Summierung über die Funktionswerte an diesen Stellen das gleiche ergibt, wie das kontinuierliche Integral über den ganzen Raum. Und dies muss für jede stetige Funktion gelten. Nun gibt es eine Standardreduktion, die besagt, dass man die Gleichverteilung nicht bezüglich sämtlicher Funktionen f C(X) prüfen muss, sondern es reicht Funktionen zu nehmen, die einen dicht liegenden Unterraum in C(X) aufspannen. Lemma 3.2. Sei {f i } C(X) eine Familie von stetigen, komplexwertigen Funktionen auf einem kompakten Raum X, deren linearer C-Spann dicht in C(X) liegt und sei (x n ) n N eine Folge in X. Außerdem existiere für alle i der Grenzwert lim µ N(f i ) := lim N N N N f i (x n ). Dann ist die Folge (x n ) n N gleichverteilt bezüglich eines eindeutigen Maßes µ, für das gilt µ(f i ) = lim N µ N(f i ), i. Beweis. Ist f C(X), so folgt mit einem Argument der gleichgradigen Stetigkeit, dass die Folge (µ N (f)) N N einen Grenzwert µ(f) hat, welcher stetig und linear in f ist, womit das Lemma folgt. Dies soll hier nicht weiter erläutert werden, siehe [Ser68, I, Appendix, Lem. ]. Für uns besonders interessant ist der Fall, wenn der kompakte Raum X der Raum der Konjugiertenklassen einer kompakten Gruppe G ist, weil es in diesem Fall nach dem Peter-Weyl-Theorem (siehe Theorem 2.35) eine natürliche Familie von Funktionen gibt, deren C-Spann dicht in C(X) liegt, nämlich die Charaktere der stetigen, irreduziblen, unitären Darstellungen von G. Es ergibt sich somit folgendes Kriterium für die Gleichverteilung einer Folge (x n ) n N von Elementen in X: Proposition 3.3. Sei G eine kompakte Gruppe mit einem Radon-Maß µ und (x n ) n N eine Folge im Raum der Konjugiertenklassen X. Dann ist die Folge (x n ) n N in X gleichverteilt bezüglich des induzierten Maßes µ genau dann, wenn gilt: lim N N n= N χ(x i ) = µ(χ), für alle stetigen, irreduziblen, unitären Charaktere χ von G. i= 30

34 Beweis. ist trivial, da ein Charakter eine Klassenfunktion ist und somit in C(X) liegt. Nach dem Peter-Weyl-Theorem 2.35 spannen die stetigen, irreduziblen, unitären Charaktere χ von G einen dichten Unterraum von C(X) auf. Damit folgt die Behauptung mit dem vorherigen Lemma 3.2. Nimmt man für das Radon-Maß µ das normierte Haar-Maß auf G so ergibt sich der folgende Spezialfall. Korollar 3.4. (Weyl-Kriterium für Gleichverteilung) Sei G eine kompakte Gruppe mit normiertem Haar-Maß µ. Dann ist eine Folge (x n ) n N im Raum X der Konjugiertenklassen genau dann gleichverteilt bezüglich des (induzierten) Maßes µ, wenn gilt: lim N N N χ(x i ) = 0, i= für alle stetigen, irreduziblen, unitären Charaktere χ von G. Beweis. Nach vorheriger Proposition 3.3 muss lim N N N i= χ(x i) = µ(χ) gelten. Für den trivialen Charakter sind beide Seiten gleich und somit immer identisch. Im nichttrivialen Fall ist nach Lemma 2.9 die rechte Seite µ(χ) = 0, woraus die Behauptung folgt. Proposition 3.3 bzw. Korollar 3.4 sind bereits die erste Hälfte der L- Funktionen Methode, die jetzt vorgestellt wird. 3.2 Die Methode Sei also wie gehabt G eine kompakte Gruppe und X der kompakte Raum der Konjugiertenklassen. Die L-Funktionen Methode nutzt das Weyl-Kriterium (Korollar 3.4) und gibt eine hinreichende Bedingung dafür, dass eine Folge (x n ) n N in X gleichverteilt ist bezüglich des (induzierten) Haar-Maßes µ. Die allgemeine Situation, so wie sie in [Ser68] geschildert ist, ist dabei die Folgende: Statt einer Folge (x n ) n N in X nehmen wir vorerst eine abzählbare Familie {x v } v Σ von Elementen aus X und dazu eine Abbildung N : Σ N 2, v Nv von der abzählbaren Indexmenge Σ in die natürlichen Zahlen 2. Dabei nennen wir Nv die Norm von v. Wir werden die folgenden 3 Hypothesen annehmen, auf die im nachfolgenden Text immer wieder Bezug genommen wird. 3

35 Hypothesen 3.5. () Das unendliche Produkt v Σ (Nv) s konvergiere für jedes s C mit Re s > und lasse sich auf Re s meromorph fortsetzen, sei dort überall 0 und habe nirgends einen Pol mit Ausnahme eines einfachen Pols bei s =. (2) Für jede stetige, irreduzible, unitäre Darstellung ϱ von G definiere eine L-Funktion L(s, ϱ) := v Σ det( ϱ(x v )(Nv) s ) und diese konvergiere für Re s > und lasse sich auf Re s meromorph fortsetzen und habe dort weder Null- noch Polstellen, außer eines möglichen Pols bei s = mit Ordnung c χ (wobei χ der Charakter von ϱ ist). Es ist also c χ := ord s= L(χ, s). (3) Es gebe eine Konstante C > 0, sodass für alle n N gilt, dass die Anzahl der Elemente v Σ mit Norm gleich n durch C beschränkt ist, also C. Nv=n Bemerkung 3.6. (i) Die Formel aus Hypothese () entspricht also genau dem in Hypothese (2) auftretenden Sonderfall der L-Funktion L(s, ϱ) zur trivialen Darstellung zusätzlich einer Klassifizierung des Pols, nämlich c =. (ii) Aus Hypothese () ergibt sich außerdem noch, dass die Normabbildung jeden Wert nur endlich oft annehmen kann, also <, für alle n N, Nv=n da dies sonst im Widerspruch zur Konvergenz des Produktes stünde. (iii) Hypothese (3) verschärft diese Endlichkeitsbedingungen der Norm demnach noch einmal. So lassen sich dann die Elemente v Σ derart als Folge (v n ) n N anordnen, dass gilt Nv i Nv j, für i j. Insgesamt erhalten wir also auch eine Anordnung für die Familie {x v } v Σ und können somit sinnvoll über die Gleichverteilung der x v in X sprechen, da wir eine Folge (x n ) n N in X haben. Die resultierende Folge (x n ) muss nicht eindeutig sein, trotzdem ist die 32

36 Gleichverteilung (bezüglich eines Maßes µ) unabhängig von der gewählten Anordnung der x v, da es nach Hypothese (3) nur beschränkt endlich viele v Σ mit gleicher Norm gibt, deren Reihenfolge untereinander frei gewählt werden darf, was keinen Einfluss auf den Grenzwert lim N N N i= f(x i) hat. (iv) Streng genommen meinen wir mit meromorph fortsetzbar auf Re s natürlich, dass sich die Funktion auf einer offenen Umgebung, die die Halbebene Re s enthält, meromorph fortsetzen lässt. (v) In Hypothese (2) sind die L-Reihen L(s, ϱ) äquivalenter Darstellungen identisch, weil die Determinanten det( ϱ(x v )(Nv) s ) durch den Charakter χ der Darstellung ϱ eindeutig bestimmt sind. Da gleiche Charaktere zu äquivalenten Darstellungen gehören, siehe Proposition 2.34 (b), reicht es also für je einen Vertreter aus jeder Äquivalenzklasse der stetigen, irreduziblen, unitären Darstellungen ϱ von G die Hypothese (2) zu prüfen. Es gilt das folgende entscheidende Theorem 3.7. Sei {x v } v Σ eine abzählbare Familie von Elementen aus dem Raum der Konjugiertenklassen X einer kompakten Gruppe G mit einer Normabbildung N : Σ N 2 derart, dass die Hypothesen () und (2) erfüllt sind. D.h. für jede stetige, irreduzible, unitäre Darstellung ϱ von G muss die zugeordnete L-Reihe L(s, ϱ) = det( ϱ(x v )(Nv) s ) v Σ die benannten analytischen Eigenschaften in der Halbebene Re s besitzen. Zur Erinnerung erwähnen wir, dass mit c χ die Polordnung von L(s, ϱ) bei s = gemeint ist, wobei χ der Charakter von ϱ ist. Dann gilt: (i) Für jeden stetigen, irreduziblen, unitären Charakter χ von G gilt n χ(x v ) = c χ log n + o( n ), für n. log n Nv n (ii) Für die Anzahl der Elemente v Σ mit Nv n gilt = n log n + o( n ), für n. log n Nn n (iii) Ist zusätzlich noch Hypthose (3) erfüllt, und liegt somit eine Folge (x n ) in X vor, so gilt für jeden stetigen, irreduziblen, unitären Charakter χ von G, dass lim N N N χ(x i ) = c χ. i= 33

37 Beweis. Der Beweis verläuft in 4 Schritten. Ziel ist es auf zwei Funktionen F (s) und F + (s), welches Dirichlet-Reihen sind, das Wiener-Ikehara Theorem 2.45 anzuwenden, woraus sich das Gewünschte dann mit Proposition 2.46 direkt ableiten lässt. Es gilt also zu zeigen, dass F (s) und F + (s) über die geforderten analytischen Eigenschaften verfügen. Schritt : Wir betrachten zunächst die logarithmische Ableitung L /L von L(s, ϱ) im Bereich Re s >. Dabei ist d der Grad der Darstellung ϱ und die sind die endlich vielen (vgl. Bemerkung 2.6) Eigenwerte von ϱ(x v ). Diese sind unabhängig von der Wahl des Repräsentaten der Konjugiertenklasse x v von X in G bestimmt. ( L L = (log L) = log ) d v Σ i= λ (i) v (Nv) s λ (i) v = v Σ d i= = v Σ k= = v Σ d i= ( log( λ (i) v (Nv) s ) ) ( ) (λ (i) v (Nv) s ) k, da λ (i) v (Nv) s < k d i= k= = v Σ = v Σ log(nv)(λ (i) v ) k (Nv) ks k= k= log(nv) (Nv) ks d i= (λ (i) v ) k log(nv)χ(x k v) (Nv) ks. Wir zerlegen weiter in die beiden Summanden = v Σ log(nv)χ(x v ) (Nv) s v Σ k=2 log(nv)χ(x k v) (Nv) ks =: F (s) + φ(s). Nach Hypothese (2) kann die logarithmische Ableitung von L, also F (s) + φ(s), auf Re s meromorph fortgesetzt werden, und ist dort sogar holomorph, mit Ausnahme eines möglichen einfachen Pols bei s = mit Residuum c χ. Dies gilt, da die meromorphe Funktion /L auf Re s keine Pole und bei s = eine Nullstelle der Ordnung c χ hat, und die meromorphe Funktion L auf Re s keine Pole, mit Ausnahme eines Pols bei s = mit 34

38 Ordnung c χ + hat, also ist L /L auf Re s meromorph und hat keine Pole mit Ausnahme eines einfachen Pols bei s =. Fehlt noch die Aussage über das Residuum. Dazu betrachten wir die führenden Koeffizienten der jeweiligen Laurent-Reihen an der Stelle s =. Ist dieser für L die Zahl b cχ, so ist er für /L die Zahl /b cχ und für L die Zahl c χ b cχ, also für L /L die Zahl c χ b cχ /b cχ = c χ. Um zu zeigen, dass F (s), ebenfalls wie L /L = F (s) + φ(s), auf Re s meromorph fortgesetzt werden kann und dort holomorph ist, mit Ausnahme eines möglichen einfachen Pols bei s = mit Residuum c χ, weisen wir im nächsten Schritt nach, dass φ(s) = v Σ k=2 log(nv)χ(x k v) (Nv) ks auf Re s > holomorph ist. 2 Schritt 2: Da χ(x k v) dim ϱ = d können wir φ(s) betragsmäßig leicht nach oben abschätzen durch das d-fache Produkt der Reihe log(nv) (Nv) ks v Σ k=2 = ( ) k log(nv) (Nv) s v Σ k=2 = log(nv) (Nv) 2s (Nv), da s (Nv) s <. v Σ Es reicht also zu zeigen, dass diese Reihe für Re s > /2 konvergiert. Setzt man σ/2 = Re s, so wird die Reihe majorisiert von der Reihe v Σ welche wiederum von der Reihe C v Σ log(nv), mit σ >, (Nv) σ, für ɛ > 0 und einer Konstante C, (Nv) σ+ɛ majorisiert wird. Die Konvergenz der zuletzt genannten Reihe folgt aus Hypothese (), weil die Konvergenz des Produktes v Σ, für σ > (Nv) σ 35

39 impliziert die Konvergenz der Summe v Σ, für σ >, (Nv) σ womit alles gezeigt ist. Schritt 3: Damit erfüllt F (s) die Bedingungen (b) und (c) für das Wiener- Ikehara-Theorem, und F (s) ist eine Dirichlet-Reihe, denn schreibe F (s) = v Σ χ(x v ) log(nv) (Nv) s =: a v (Nv) =: a n s n, s v Σ n N wobei für das letzte Gleichheitszeichen, diejenigen endlich vielen a v, deren zugehörige Normen Nv gleich der natürlichen Zahl n sind (vgl. Bemerkung 3.6(ii)), zu einem a n aufaddiert wurden. Als Dirichlet-Reihe F + nehmen wir F + (s) := d v Σ log(nv) (Nv) s =: v Σ a + v (Nv) =: a + n s n. s n N Damit ist a v a + v, für alle v Σ, da χ(x v ) d, und somit gilt auch a n a + n. Außerdem ist natürlich a + n 0. Dies erfüllt (a) aus den Bedingungen des Wiener-Ikehara Theorems. Bedingungen (b) und (c) gelten ebenfalls für F + (s), mit c + = d > 0, was man sofort sieht, wenn man die Gleichung F + (s) = ( d)f (s) χ= betrachtet, wobei F (s) χ= der erste Summand aus der entsprechenden Zerlegung der logarithmischen Ableitung von L(s, ϱ) zur trivialen Darstellung ϱ id C ist. Nach den vorherigen Überlegungen ist F (s) χ= eine auf Re s meromorph fortsetzbare Funktion, die überall holomorph ist, mit Ausnahme eines einfachen Pols bei s = mit Residuum c =, womit sofort die Aussagen für F + (s) folgen. Schritt 4: Damit sind alle Voraussetzungen für das Wiener-Ikehara Theorem erfüllt und es folgt a m = c χ n + o(n), für n. Nv n χ(x v ) log(nv) = m n Mit Proposition 2.46 folgt also χ(x v ) = a m log m = c χn log n + o( n ), für n, log n Nv n m n 36

40 womit Teil (i) bewiesen ist. Für Teil (ii) betrachten wir speziell den trivialen Charakter χ =, für den nach Hypothese () c = gilt. Demnach resultiert = (x v ) = n log n + o( n ), für n. log n Nv n Nv n Aussage (iii) folgt sofort aus Teil (i) und (ii), denn ordnen wir die {x v } v Σ nach ansteigender Norm Nv als eine Folge (x i ) i N an, so gilt demnach N N χ(x i ) = i= Nv n χ(x v) Nv n c χ, für n bzw. N, wobei N := Nv n ist. Damit ist alles gezeigt. Unter Zuhilfenahme des Weyl-Kriteriums folgt direkt: Korollar 3.8. Es gelten die Hypothesen ()-(3) und sei µ ein normiertes Radon-Maß auf G, induziert auf X. Dann gilt: Die angeordneten Elemente {x n } n N sind µ-gleichverteilt in X µ(χ) = c χ, für alle stetigen, irreduziblen, unitären Charaktere χ von G. Beweis. Sei (x n ) n N eine gewählte Anordnung der x v nach Hypothese (3). Nach Proposition 3.3 ist die Folge (x n ) n N genau dann gleichverteilt bezüglich µ, wenn gilt lim N N N χ(x i ) = µ(χ), i= für alle stetigen, irreduziblen, unitären Charaktere χ von G. Nach vorherigem Theorem 3.7 Teil (iii), ist die linke Seite lim N N N i= χ(x i) = c χ, also muss auch die rechte Seite µ(χ) = c χ sein. Damit entsteht folgender Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der L-Funktionen L(s, ϱ) und der Gleichverteilung einer Folge (x n ) n N in X bezüglich des (induzierten) normierten Haar-Maßes µ, welches wir als die L-Funktionen Methode bezeichnen wollen. Korollar 3.9. (L-Funktionen Methode) Sei X der Raum der Konjugiertenklassen der kompakten Gruppe G mit (induziertem) normiertem Haar-Maß 37

41 µ und sei {x v } v Σ eine abzählbare Familie von Elementen in X. Unter Annahme der Hypothesen ()-(3) (siehe Hypothesen 3.5) gilt dann: Die angeordneten Elemente {x n } n N sind µ-gleichverteilt in X c χ = 0, für alle stetigen, irreduziblen, unitären Charaktere χ von G L(s, ϱ) ist holomorph und 0 auf der Geraden Re s =, für alle stetigen, irreduziblen, unitären Charaktere χ von G. Beweis. Das zweite Äquivalenzzeichen gilt per Definition der c χ. Das erste Äquivalenzzeichen gilt, da nach vorherigem Theorem 3.8 µ(χ) = c χ sein muss, für alle stetigen, irreduziblen, unitären Charaktere χ von G. Nach Lemma 2.9 ist µ(χ) = 0 im nicht-trivialen Fall, also folgt für diese Charaktere c χ = 0, und für den trivialen Charakter χ = ist die Bedingung µ(χ) = c χ stets erfüllt, da trivialerweise µ() = und c = nach Hypothese (). Bemerkung 3.0. Das grobe Beweisschema der L-Funktionen Methode sieht somit so aus: 0 = }{{} 2.9 (x n ) ist µ-gleichverteilt in X N µ(χ) = lim χ(x i ) N N i= } {{ } 3.3 = c χ }{{} 3.7 Dabei gehen in Lemma 2.9 die Eigenschaften des Haar-Integrals bezüglich der Charaktere einer kompakten Gruppe ein. Dies ist die einzige Stelle, an der ausgenutzt wird, dass es sich bei dem Radon-Maß µ um das normierte Haar-Maß handelt. In Proposition 3.3 wird für die Äquivalenz das Peter- Weyl-Theorem 2.35 und die Standardreduktion 3.2 benutzt und in Theorem 3.7 gehen die Tauberschen Sätze (Wiener-Ikehara 2.45, Proposition 2.46) ein. Wir wollen die L-Funktionen Methode nun an zwei klassischen Beispielen anwenden, bevor wir uns der Sato-Tate-Vermutung widmen. 38

42 Beispiel 3.. (Dirichletscher Dichtigkeitssatz) Für jede natürliche Zahl n N sind die Primzahlen p n gleichverteilt in den primitiven Restklassen mod n, d.h. die (natürliche) Dichte der Primzahlen in einer beliebigen arithmetischen Progression p a mod n, für ggt(a, n) =, ist /φ(n), wobei φ(n) die Eulersche-φ-Funktion ist. Die Situation für die L-Funktionen Methode ist also die Folgende: ˆ G = (Z/nZ) (mit diskreter Topologie), ˆ X = G (da G abelsch), ˆ Σ = {p P p n}, ˆ {x p } = { p} eine Familie in X, wobei p die Reduktion von p modulo n ist. Bei endlichen Gruppen ist das Haar-Integral die Summe über alle Gruppenelemente, geteilt durch die Kardinalität der Gruppe, also f(g)dµ(g) = f(g). φ(n) G Das Haar-Maß µ ist also das Standard-Wahrscheinlichkeitsmaß auf der endlichen Menge G, was einer Standard-Gleichverteilung entspricht. Bei der Normfunktion N : Σ N 2 handelt es sich schlicht um die Identität. Demnach ist Hypothese (3) trivialerweise erfüllt und die Anordnung der {x p } als Folge ist sogar eindeutig. Hypthose () ist ebenfalls erfüllt, da es sich in diesem Fall bei = ζ(s) p s p s p Σ um die Riemannsche Zeta-Funktion handelt, die nur um einen endlichen Faktor 0 abgeändert wurde. Interessant ist dagegen Hypothese (2). Hier müssen wir die Äquivalenzklassen der stetigen, irreduziblen, unitären Darstellungen von G kennen. Da es sich bei G um eine endliche und abelsche Gruppe handelt, sind die Darstellungen alle -dimensional, also Dirichlet-Charaktere mod n (siehe Proposition 2.3). Als formale L-Funktionen erhalten wir die entsprechenden Dirichlet-L-Reihen L(s, χ) = p P, p n p n g G χ( p)p s, welche bekanntlich für Re s > konvergieren und damit dort eine holomorphe und nicht verschwindende Funktion darstellen. Die Essenz des Beweises 39

43 für den Dirichlet schen Primzahlsatz liegt demnach darin zu zeigen, dass diese L-Funktionen eine holomorphe Fortsetzung auf die Gerade Re s = haben und dort nicht verschwinden. Im klassischen Beweis der Aussage, dass es unendlich viele Primzahlen in jeder arithmetischen Progression gibt, liegt aber das Kernstück lediglich darin, aufzuzeigen, dass die holomorphe Fortsetzung der L-Reihen auf der Geraden Re s = im Punkt s = nicht verschwindet. Der Unterschied ist der, dass mit dieser schwächeren Aussage nur etwas über die Dirichlet-Dichte lim s p a(n) p s p P p s dieser Teilmenge von Primzahlen gesagt wird, und man für die stärkere Aussage über die natürliche Dichte p a(n),p n lim n p P,p n dann das Nicht-Verschwinden auf der ganzen Geraden benötigt. Aus der Existenz der natürlichen Dichte folgt die Existenz der Dirichlet-Dichte und sie sind in diesem Fall identisch. Die Umkehrung gilt allerdings nicht. Ein Beispiel dafür findet man in [Ser68]. Hier wird diejenige Teilmenge der Primzahlen betrachtet, bei denen die erste Ziffer (im Dezimalsystem) mit einer beginnt. Diese Menge hat keine natürliche Dichte, aber die Dirichlet-Dichte ist log 0 2. Um die Unendlichkeit einer Primzahl-Teilmenge zu zeigen, reicht es allerdings, wenn man weiß, dass die Dirichlet-Dichte > 0 ist. Beispiel 3.2. (Čebotarevscher Dichtigkeitssatz) Sei L eine endliche Galois- Erweiterung eines Zahlkörpers K mit Galois-Gruppe G = Gal(L/K). Sei x eine Konjugiertenklasse von G. Die Menge der in L unverzweigten Primideale p von K, deren zugeordnete Frobenius-Konjugiertenklasse Frob p gleich x ist, hat (natürliche) Dichte #x/#g, wobei die Kardinalität von x als Teilmenge von G gemeint ist. Mit anderen Worten, die Frobeniuselemente der unverzweigten Primstellen sind gleichverteilt (gemäß Kardinalität) in den Konjugiertenklassen der Galois-Gruppe. Die Situation für die L-Funktionen-Methode ist also die Folgende: ˆ G = Gal(L/K), ˆ X = G/ conj, ˆ Σ = {p K p unverzweigt in L}, 40

44 ˆ {x p } = {Frob p } eine Familie in X, wobei Frob p die Konjugiertenklasse von G ist, in der das Frobeniuselement Frob p von p liegt. Wie vorher gilt für das Haar-Integral auf G f(g)dµ(g) = f(g), #G G g G und damit gilt für das induzierte Haar-Integral auf X f(x)dµ(x) = #x X #G f(x). x X Das induzierte Haar-Maß µ ist also das Standard-Wahrscheinlichkeitsmaß auf der endlichen Menge X, relativ zur Größe der Äquvalenzklasse [x] in G. Als Normabbildung nehmen wir die übliche Ideal-Norm, also N : Σ N 2, p Np := q p = #F p. Damit ist Hypothese (3) der L-Funktionen Methode sofort erfüllt, da es nur beschränkt endlich viele Primdeale im Ganzheitsring von K gibt, die die gleiche Norm haben, und wir können die {x p } = {Frob p } aufsteigend der Norm von p als eine Folge anordnen. Die Bedingungen aus Hypothese () treffen ebenfalls sofort zu (vgl. Bemerkung 2.42), da es sich dort bis auf endliche viele Faktoren um die Dedekindsche Zeta-Funktion ζ K (s) des Zahlkörpers K handelt, denn (Np) s p unverzweigt = (Np) s p } {{ } ζ K (s) p verzweigt ( (Np) s ). Bleibt Hypothese (2) zu betrachten. Um eine vollständige Liste der stetigen, irreduziblen, unitären Darstellungen ϱ von G zu bekommen, reicht es nach Proposition 2.34 (b) die Charaktere χ von G zu kennen. Die Anzahl der verschiedenen Charaktere χ auf einer endlichen Gruppe G ist dabei die Anzahl der Konjugiertenklassen (siehe [Ser96b, I, chap. 2, Thm. 7]), also insbesondere endlich. Die so erhaltenen L-Reihen L(s, ϱ) := p Σ det( ϱ(frob p )(Np) s ) 4

45 sind die (unverzweigten) Artinschen L-Reihen der Galois-Gruppe von L/K mit Darstellung ϱ. Streng genommen gehören zu den Artinschen L-Reihe noch die endlich vielen Faktoren für die verzweigten Primideale p von K, welche aber für Fragen bezüglich der holomorphen Fortsetzbarkeit und des Nicht-Verschwindens auf der Geraden Re s = unerheblich sind. Es ist bekannt, dass die Artinschen L-Reihen für Re s > konvergieren und dort eine holomorphe Funktion darstellen. Außerdem besitzen sie eine meromorphe Fortsetzung auf ganz C und genügen einer Funktionalgleichung s s (bezüglich der komplex konjugierten Darstellung), siehe [Neu92, VII, Thm. 2.6]. Entscheidend für das Anwenden der L-Funktionen Methode ist also die Holomorphie und das Nicht-Verschwinden auf der Geraden Re s = einer unverzweigten Artinschen L-Reihe L(s, ϱ) im Falle einer irreduziblen Darstellung ϱ. Dies hat Emil Artin 923 in [Art65, Satz 3] bewiesen, siehe auch [Ser68, I, Appendix, Ex. ]. Analog reicht wieder die schwächere Aussage bei s = für das Bestimmen der Dirichlet-Dichte, siehe [Neu92, VII, Thm. 3.4]. Der Čebotarevsche Dichtigkeitssatz ist eine echte Verallgemeinerung des Dirichletschen Primzahlsatzes, was man sofort sieht, wenn man für K = Q die rationalen Zahlen und für L = Q(ξ n ) den n-ten Kreisteilungskörper nimmt. Dann ist nämlich die zugehörige abelsche Galois-Gruppe G = Gal(Q(ξ n )/Q) kanonisch isomorph zu (Z/nZ), und die unverzweigten Primideal p von K stehen in einem : Zusammenhang zu den Primzahlen p, die prim zu n sind, womit genau der Fall des Dirichletschen Primzahlsatzes hergestellt ist. 42

46 4 Die Sato-Tate-Vermutung Wir formulieren noch einmal präzise die Sato-Tate-Vermutung. Dann folgt zunächst eine Demonstration, wie aus den Resultaten von Tayler et al. mittels der L-Funktionen Methode die (eingeschränkte) Sato-Tate-Vermutung bewiesen werden kann. Dies schließt die primären Ziele dieser Arbeit ab. Danach soll mittels l-adischer Galois-Darstellungen begründet werden, worin der bis dato eher zufällig erscheinende Zusammenhang zur Gruppe SU(2) besteht. In einem abschließenden Kommentar wird mittels L-Reihen von Galois-Darstellungen eine Parallele zwischen den Artinschen L-Reihen, den L-Reihen einer elliptischen Kurve und den noch kommenden L-Reihen L(Symm m E, s) angedeutet. Nachfolgend wird der bisher stets herausgehaltene Spezialfall der elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation ausführlich behandelt, und es wird erläutert, warum dies ein anderes Verhalten aufweist, womit das sekundäre Ziel abgeschlossen ist. Abschließend wird kurz ein Blick auf den noch unbewiesenen Teil der Sato-Tate-Vermutung geworfen und die Vermutung dort mittels numerischer Beispiele gestützt. Vermutung 4.. (Sato-Tate) Sei E/K eine elliptische Kurve ohne komplexe Multiplikation über einem Zahlkörper K und sei Σ die Menge der endlichen Primstellen v von K, bei denen E gute Reduktion hat. Weiterhin sei F v := O K /v, der endliche Restklassenkörper von K bei v, und q v := Nv := #F v, die Norm von v. Bekanntlich gilt für die modulo v reduzierte Kurve Ē/F v, dass Ē(F v) = q v + a v, mit a v 2 q v, also a v = 2 q v cos θ v, mit θ v [0, π]. Dann sind die Winkel {θ v } v Σ (angeordnet nach ansteigender Norm Nv der endlichen Primstellen v) gleichverteilt im Intervall [0, π] bezüglich des Sato- Tate-Maßes µ = 2 π sin2 θ dθ. Bemerkung 4.2. (a) Äquivalent kann man auch sagen, dass die normierten {a v /(2 q v )} v Σ gleichverteilt im Intervall [, ] bezüglich des entsprechenden Sato-Tate-Maßes (2/π) t 2 dt sind, bzw. dass die normierten {a v / q v } v Σ gleichverteilt im Intervall [ 2, 2] bezüglich (/2π) 4 t 2 dt sind. 43

47 (b) Die Gleichverteilung bedeutet hier, dass für alle 0 α β π gilt: N #{v q v n und α θ v β} i= lim = lim δ [α,β](θ i )! = 2 β sin 2 θ dθ, n #{v q v n} N N π α wobei die (θ i ) i N, die bezüglich ansteigender Norm Nv angeordneten θ v sind und δ [α,β] (θ) das Dirac-Maß zum Intervall [α, β] ist, also gleich Eins ist, wenn θ [α, β] und sonst gleich Null ist. 4. Die Anwendung der L-Funktionen Methode Wir wollen nun zeigen, wie mit der L-Funktionen Methode die Sato-Tate- Vermutung bewiesen werden könnte bzw. in großen Teilen auch wurde. Da es nach Proposition 2.3 eine Bijektion ( ) e iθ 0 [0, π] X := SU(2)/ conj, θ 0 e iθ zwischen [0, π] und den Konjugiertenklassen X der Gruppe G = SU(2) gibt und das induzierte normierte Haar-Maß von SU(2) auf X genau dem Sato- Tate-Maß 2 π sin2 θdθ auf [0, π] entspricht, wie wir in Proposition 2.4 gezeigt haben, können wir für das Nachweisen der Gleichverteilung der Winkel {θ v } in [0, π] nun die L-Funktionen Methode anwenden, da wir mit dieser die Gleichverteilung der ( ) e iθ v 0 x v := 0 e iθ v im Raum X der Konjugiertenklassen von SU(2) prüfen können. Wir haben also ˆ G = SU(2), ˆ X = SU(2)/ conj = [0, π], ˆ Σ die Menge aller endlichen Primstellen v von K, bei denen die elliptische Kurve E/K gute Reduktion hat, ˆ {x v } eine Familie in X, bzw. {θ v } eine Familie in [0, π]. Als Normabbildung nehmen wir die übliche Ideal-Norm, also N : Σ N 2, v Nv := q v = #F v. Damit ist Hypothese (3) der L-Funktionen Methode sofort erfüllt und wir können die {θ v } bzw. die {x v } aufsteigend der Norm von v als eine Folge 44

48 anordnen. Die Bedingungen aus Hypothese () treffen ebenfalls sofort zu, da es sich dort bis auf endliche viele Faktoren um die Dedekindsche Zeta- Funktion ζ K (s) des Zahlkörpers K handelt. Für eine genauere Begründung dieser beiden Hypothesen siehe das Beispiel 3.2 über den Čebotarevschen Dichtigkeitssatz. Für die entscheidende Hypothese (2) müssen wir also die (zunächst formalen) L-Reihen L(s, ϱ m ) := v Σ det( ϱ m (x v )(Nv) s ) im Wesentlichen auf der Geraden mit Re s = untersuchen, wobei ϱ m alle irreduziblen, stetigen, unitären, nichttrivialen Darstellungen von SU(2) durchläuft. Dabei reicht es wie immer je einen Verterter aus jeder Äquivalenzklasse zu nehmen. Mit Theorem 2.38 und der anschließenden Bemerkung 2.39 ergibt dies L(s, ϱ m ) = v Σ m k=0 Substituiert man s s + m/2, so erhält man e i(m 2k)θv (Nv) s. m Es ist also L(s m 2, ϱm ) = v Σ = v Σ m k=0 k=0 e i(m 2k)θ v (Nv) s (Nv) m 2 (Nv) 2 (m k) e i(m k)θv (Nv) 2 k e ikθv (Nv) s = v Σ m k=0 α m k v ᾱv k qv s =: L(Symm m E/K, s), mit, α v := q v e iθv, ᾱ v := q v e iθv. L(s, ϱ m ) = L(Symm m E/K, s + m/2). Die Funktion L(Symm m E/K, s) heißt die L-Funktion zur symmetrischen m- ten Potenz von E/K. Vergleicht man diese L-Funktion mit der gewöhnlichen L-Funktion der elliptischen Kurve, so sieht man, dass der v-te Faktor von L(E/K, s), ( ( ) ) e iθ v 0 L v (E/K, s) = det 0 e iθ q s+/2 v v, 45

49 dem v-ten Faktor von L(Symm m E/K, s), ( ( ) ) e L v (Symm m E/K, s) = det ϱ m iθ v 0 0 e iθ q s+ v v, entspricht, wobei es eine Verschiebung des Argumentes um /2 gab, und noch die m-ten symmetrischen Potenzen ϱ m der natürlichen Darstellung ϱ angewendet wurden. Man zeigt leicht, dass L(s, ϱ m ) für Re s >, bzw. L(Symm m E/K, s) für Re s > +m/2, absolut konvergiert und damit dort eine holomorphe Funktion darstellt, die nicht verschwindet. Die L-Funktionen L(Symm m E/K, s) zur symmetrischen m-ten Potenz wurden von Tate untersucht [Tat65]. Die Vermutung, dass sie für jedes m in der Halbebene Re s + m/2 holomorph und ungleich Null sind, solange es sich bei E um eine elliptische Kurve ohne komplexe Multiplikation handelt, impliziert (bzw. ist) also die Sato-Tate-Vermutung. Wir fassen kurz zusammen. Satz 4.3. Die holomorphe Fortsetzbarkeit der L-Funktionen L(Symm m E/K, s) auf der Geraden mit Re s = + m/2 und das dortige Nicht-Verschwinden der Funktionswerte implizieren die Sato-Tate- Vermutung für die elliptische Kurve E/K. Die vollständige Vermutung ist bis heute nicht bewiesen, jedoch der Fall, wenn E eine elliptische Kurve über einem total reellen Zahlkörper F (also insbesondere über Q) ist. In dem bereits 2006 als Preprint erschienen Artikel [HSBT09] findet sich noch die zusätzliche Einschränkung, dass E mindestens einmal eine multiplikative Reduktion haben muss. Diese Einschränkung wurde jetzt in einem neuen Preprint vom Juli 2009 [BLGHT09] fallen gelassen. Dort heißt es in den beiden letzten Korollaren: Theorem 4.4. [BLGHT09, Corollary 8.8] Suppose that F is a totally real field, that E/F is an elliptic curve and that m N. The L-function L(Symm m E, s) has meromorphic continuation to C and satisfies the expected functional equation relating the values at s and m + s. If E is not CM then L(Symm m E, s) is holomorphic and non-zero on Re s + m/2. Mit Satz 4.3 folgt damit also die Sato-Tate-Vermutung. Theorem 4.5. [BLGHT09, Corollary 8.9] If F is a totally real field and if E/F is a non-cm elliptic curve then the numbers ( + q v Ē(F v) )/2 q v = a v /2 q v are equidistributed in [, ] with respect to the measure (2/π) t 2 dt. 46

50 An dieser Stelle sind die primären Ziele dieser Arbeit abgeschlossen. Am Ende des nächsten Abschnittes über Galois-Darstellungen geben wir noch einen kurzen Kommentar zu der bisher nicht weiter begründeten Definition der L(Symm m E, s). 4.2 l-adische Galois-Darstellungen Die unausgesprochene Frage war bisher natürlich stets: Wieso die Gruppe G = SU(2)? Es hätte ja auch jede andere kompakte Gruppe G sein können, deren Raum X der Konjugiertenklassen sich durch das Intervall [0, π] parametrisieren lässt, bzw. warum gibt es dort überhaupt einen Zusammenhang zu einer Gruppe, sodass die Verteilung der {θ v } mit dem (induzierten) Haar-Maß übereinstimmt? Eine Antwort darauf geben die sogenannten l-adischen Galois-Darstellungen der elliptischen Kurve E/K, die eine natürliche 2-dimensionale l-adischen Galois-Darstellung der absoluten Galois-Gruppe Gal( K/K) des Zahlkörpers K sind. Dieser Abschnitt richtet sich im Wesentlichen nach [Sil86, III und Appendix C 2 der 2nd Edition], sowie nach [DS05, 9] und nach [Ser68, I]. Definition 4.6. Sei E/K eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper K und sei K ein fest gewählter algebraischer Abschluss von K. Die Multiplikation-mit-m-Abbildung auf E ist Wir bezeichnen mit [m] : E( K) E( K), P [m]p := } P +. {{.. + P }. m-mal E[m] := {P E( K) [m]p = O}, die Gruppe der m-torsionspunkte von E, d.h. die Punkte, deren Ordnung ein Teiler von m ist. Dies ist also der Kern der Multiplikation-mit-m-Abbildung. Weiterhin sei l eine Primzahl. Dann bezeichnen wir mit dem folgenden projektiven Limes T l (E) := lim E[l n ], n den (l-adischen) Tate-Modul von E, wobei die Transitionsmorphismen des projektiven Systems die Multiplikation-mit-l-Abbildungen sind, also Damit gilt dann T l (E) = { E[l n ] [l] E[l n+ ]. (P n ) n N E[l n ] : [l]p n+ = P n }. 47

51 Wir betrachten noch einen weiteren projektiven Limes und zwar die absolute Galois-Gruppe Gal( K/K) eines Zahlkörpers K. Es ist Gal( K/K) = Gal( K/K) := lim Gal(L/K), L wobei L über alle endlichen Galois-Erweiterungen von K (in K) läuft. Das projektive System aller Gal(L/K) erhält man, indem man sagt, dass Gal(L i /K) kleiner als Gal(L j /K) ist, wenn L i L j. Die Transitionsmorphismen sind dann die Einschränkung von L j auf L i. Somit gilt (σ L ) L/K galois Gal(L/K) : σ Lj Li = σ Li, für L i L j Bemerkung 4.7. Der projektive Limes wird mit der Produkt-Topologie versehen. Dazu werden die endlichen Mengen E[m] und Gal(L/K) mit der diskreten Topologie ausgestattet. Damit werden der l-adische Tate-Modul T l (E) und die absolute Galois-Gruppe Gal( K/K) zu kompakten Räumen, die überdies beide nicht leer sind. Dies liegt daran, da zum einen der projektive Limes von endlichen, nichtleeren Mengen nicht leer ist und zum anderen, dass der projektive Limes von kompakten, nichtleeren Mengen kompakt ist (siehe [Neu92, IV, Satz 2.3]). Haben wir einen Punkt P E( K) der elliptischen Kurve E/K gegeben, so definieren wir für ein σ Gal( K/K) folgende Operation P σ := (x, y) σ := (σ(x), σ(y)) := (σ L (x), σ L (y)). Dabei ist L/K eine beliebige endliche Galois-Erweiterung, mit x, y L K. Sowohl die Wohldefiniertheit dieser Operation, als auch die Existenz von L, ist klar. Bemerkung 4.8. Die Operation von Gal( K/K) auf E( K), sowie die Multiplikation-mit-m-Abbildung kommutieren, denn [m]p ist eine rationale Funktion mit Koeffizienten in K, da es ein Morphismus auf E ist (siehe [Sil86, III, Thm. 3.6]). Proposition 4.9. Sei E/K eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper K, dann gilt E[m] = Z/mZ Z/mZ.. 48

52 Also ist E[m] ein Z/mZ-Modul frei vom Rang 2. Damit hat T l (E) eine natürliche Struktur als Z l -Modul frei vom Rang 2, also T l (E) = Z l Z l. Außerdem ist die durch den projektiven Limes auf T l (E) induzierte Topologie identisch mit der l-adischen Topologie, die T l (E) als Z l -Modul bekommt. Beweis. [Sil86, III Cor. 6.4(b), Pro. 7.(a)] Jedes Element σ aus der absoluten Galois-Gruppe Gal( K/K) von K definiert einen Automorphismus auf E[m], denn für ein P E[m] gilt wegen Bemerkung 4.8, dass [m](p σ ) = ([m]p ) σ = O, und somit ist auch P σ E[m]. Gal( K/K) operiert also auf E[m] und wir haben damit eine Darstellung Gal( K/K) Aut(E[m]) = Gl 2 (Z/mZ). Ebenso kommutiert die Operation von Gal( K/K) auf E[l n ] mit der Multiplikation-mit-l-Abbildung, womit Gal( K/K) auch auf dem Tate-Modul T l (E) operiert. Definition 4.0. Die durch die oben beschriebene Gruppenoperation erhaltene Darstellung ϱ E,l : Gal( K/K) Aut(T l (E)) = Gl 2 (Z l ) Gl 2 (Q l ) heißt die l-adische Galois-Darstellung von E/K. (Der Isomorphismus sei dabei für eine beliebige Basis von T l (E) als Z l -Modul fest gewählt.) Allgemein heißt eine Darstellung einer Galois-Gruppe eine Galois- Darstellung. Wir haben also bereits im Beispiel 3.2 des Čebotarevschen Dichtigkeitssatzes Galois-Darstellungen von endlichen Galois-Gruppen gesehen. Bemerkung 4.. Die Darstellungen ϱ E,l sind stetig (siehe [Sil86, III 7]). Wir erhalten also stetige, 2-dimensionale, l-adische Galois-Darstellungen der Gruppe Gal( K/K). Der entscheidende Punkt für die Begründung des Zusammenhangs zwischen dem Wert a v, den wir vorher mittels Abzählen erhalten haben, und einer Konjugiertenklassen von SU(2) liegt in den l-adischen Galois- Darstellungen ϱ E,l von E/K. Wendet man diese auf ein (absolutes) Frobeniuselement Frob v einer endlichen Primstelle v von K an, so ist die Spur 49

53 der so erhaltenen Matrix stets a v - unabhängig von der Wahl von l. Und die Determinante ist immer q v. Damit kann man dann leicht der endlichen Primstelle v, bzw. dem Wert a v, eine Konjugiertenklasse in SU(2) zuordnen. Doch bevor wir dies ausführen zunächst die zugehörige Definition 4.2. Sei v eine endliche Primstelle von K. Ein (absolutes) Frobeniuselement Frob v von v ist ein Element aus Gal( K/K), das man wie folgt erhält: (i) Fixiere eine Primstelle V von K, die über v liegt. Für jede endliche Galois-Erweiterung L/K von K (in K) erhält man so eine eindeutige Primstelle w von L, die zwischen v und V liegt, also w = V L. (ii) Bestimme für jedes Paar (L, w) die Frobeniuselemente {σ (L,w),v } von v bezüglich L und V, also bezüglich (L, w). D.h. jedes σ (L,w),v ist ein Element aus Gal(L/K), für das gilt: σ (L,w),v (w) = w, σ (L,w),v (x) x Nv mod w, für alle x O L. Die Elemente σ (L,w),v operieren also auf dem Restklassenkörper F w = O L /w wie der Frobeniusautomorphismus von F w /F v φ v : F w F w, x x Nv. (iii) Die Einschränkung eines Frobeniuselementes σ (L,w),v aus Gal(L/K) auf einen Unterkörper M L, der galois über K ist, automatisch wieder ein Frobeniuselement aus Gal(M/K), also σ (L,w),v M {σ (M,w ),v}, mit w M = w. Weil der projektive Limes endlicher, nichtleerer Mengen nicht leer ist (vgl. Bemerkung 4.7), kann man nun für jede endliche Galois-Erweiterung L/K aus jeder der Mengen {σ (L,w),v } derart ein Frobeniuselement σ (L,w),v auswählen, dass das so entstandene Tupel (σ (L,w),v ) L/K über alle endlichen Galois- Erweiterungen L/K in Gal( K/K) liegt. Dies nennen wir dann ein (absolutes) Frobeniuselement Frob v von v (bezüglich V ). Die Menge der absoluten Frobeniuselemente Frob v von v bezüglich V sind also der projektive Limes aller Frobeniuselmente σ (L,w),v, mit V L = w. Definition 4.3. Die Trägheitsgruppe I V einer endlichen Primstelle V von K über der endlichen Primstelle v von K ist der projektive Limes der 50

54 Trägheitsgruppen I w der endlichen Galois-Gruppen Gal(L/K), mit V L = w. Die Trägheitsgruppe I w sind dabei diejenigen σ aus Gal(L/K), für die gilt: σ(w) = w, σ(x) x mod w, für alle x O L. Bemerkung 4.4. Ein Frobeniuselement Frob v zu festem v von K und festem V von K ist nicht eindeutig, sondern alle zusammen bilden eine Nebenklasse der Trägheitsgruppe I V von Gal/ K/K) bezüglich V. Ist das Bild der Trägheitsgruppe I V unter einer Galois-Darstellung nur die Einheitsmatrix, so sagen wir, dass die Darstellung bei v unverzweigt ist. Damit ist das Bild von Frob v bezüglich V eindeutig. Da für zwei verschiedene Primstellen V und V, die über v liegen, die Bilder der Galoisdarstellung konjugiert zueinander sind, ist also im unverzweigten Fall die Konjugiertenklasse des Bildes von Frob v eindeutig bestimmt, d.h. insbesondere sind Spur und Determinante dieser Matrix wohldefiniert. Die l-adische Galois-Darstellung ϱ E,l von E ist an den Primstellen v, bei denen E gute Reduktion hat, unverzweigt. Es kann also hier von der Spur und Determinante von ϱ E,l (Frob v ) gesprochen werden. (Siehe [Ser68, I 2]) Ist E/K eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper K, so ergibt sich bei der l-adische Galois-Darstellung ϱ E,l die folgende entscheidende Besonderheit bezüglich der absoluten Frobeniuselemente Frob v. Der nachfolgende Satz zum Spezialfall K = Q findet sich in [DS05, Thr. 9.4.]. Theorem 4.5. Sei Σ wieder die Menge der endlichen Primstellen v von K, bei denen E/K gute Reduktion hat. Für jedes v Σ wählen wir ein Frobeniuselement Frob v Gal( K/K). Ist die Primzahl l prim zu q v = Nv = #(F v ), so sind Spur und Determinante der Matrix ϱ E,l (Frob v ) unabhängig von l bestimmt und beide liegen in Z. Es gilt sogar Spurϱ E,l (Frob v ) = a v und det ϱ E,l (Frob v ) = q v, wobei a v und q v die üblichen Bedeutungen haben, wie in der Formulierung der Sato-Tate-Vermutung 4.. Beweisskizze. Wir betrachten zunächst die modulo v Σ reduzierte Kurve Ē/F v. Dort haben wir den Frobeniusendomorphismus φ v : Ē/F v Ē/F v, P = (x, y) (x q v, y q v ). Dieser induziert einen Frobeniusendomorphismus φ v,l auf dem l-adischen Tate-Modul T l (Ē), da φ v auf den Torsionspunkten Ē[ln ] operiert und mit 5

55 der Multiplikation-mit-l-Abbildung kommutiert. Fixieren wir eine Z l -Basis des Tate-Moduls T l (Ē), so können wir φ v,l als 2 2-Matrizen auffassen und die Spur und Determinante von φ v,l berechnen, die apriori in Z l liegen. Mit [Sil86, V, Pro. 2.3 & Beweis Thm.. & II, Pro. 2.(c)] folgt, dass det(φ v,l ) = q v und Spur(φ v,l ) = + q v Ē(F v) = a v, sofern l prim zu q v ist (siehe auch [Was08, Pro. 4.]). Somit sind diese Werte in Z und unabhängig von l. Bleibt noch zu zeigen, dass φ v auf dem Tate- Modul die gleiche Abbildung induziert, wie Frob v. Dies liegt daran, da die kanonische Reduktionsabbildung E[l n ] Ē[ln ] für Primstellen, an denen E gute Reduktion hat und die prim zu l sind, ein Isomorphismus ist. Das charakteristische Polynom der Matrix ϱ E,l (Frob v ) ist demnach det (X ϱ E,l (Frob v )) = X 2 Spurϱ E,l (Frob v ) + det ϱ E,l (Frob v ) = X 2 a v X + q v, d.h. es ist ein normiertes Polynom mit Koeffizienen aus den ganzen Zahlen. Demnach sind die Nullstellen, also die Eigenwerte, ganzalgebraische Zahlen und können mit einer komplexen Zahl identifiziert werden. Es folgt, dass die Matrix ϱ E,l (Frob v ) Gl 2 (Q l ) damit insbesondere konjugiert zu einer Matrix in Gl 2 ( Q) ist. Faktorisieren wir das charakteristische Polynom über C, X 2 a v X + q v = (X α v ) (X ᾱ v ), so erhalten wir zwei komplexe Nullstellen α v und ᾱ v, die zueinander komplex konjugiert sind und deren Betrag q v ist. Dies folgt leicht aus Hasse s Ungleichung a v 2 q v. Es gilt also o.b.d.a.: α v = q v e iθv, ᾱ v = q v e iθv, mit einem eindeutigen Winkel θ v [0, π]. Damit hat dann die Matrix ϱ E,l (Frob v / q v ) zwei komplexe Eigenwerte vom Betrag, nämlich e iθv und e iθv, und ist also konjugiert zu einer Matrix in SU(2), die für unterschiedliche θ v auch 52

56 in unterschiedlichen Konjugiertenklassen liegt. Wir erhalten also für jedes l durch die l-adischen Darstellungen von E/K eine natürliche Abbildung Σ SU(2)/ conj, v [ϱ E,l (Frob v / [( )] e iθ v 0 q v )] = 0 e iθ, v welche wohldefiniert und unabhängig von der Wahl von l ist. Dabei bezeichnet Σ diejenigen endlichen Primstellen v von K, bei den E/K gute Reduktion hat, und für die zusätzlich gilt, dass l prim zu q v ist. Aufgrund der Unabhängig bezüglich l und der Tatsache, dass jedes v Σ für mindestens ein l in einem Σ liegt, erhalten wir so die obige Abbildung definiert auf ganz Σ. Wir haben also auf natürliche Art und Weise den endlichen Primstellen v von K, bei denen E/K gute Reduktion hat, eine Konjugiertenklasse in SU(2) zugeordnet. Überdies gilt natürlich wieder a v 2 q v = cos θ v, θ v [0, π], wobei wir die drei Größen a v, q v und θ v mittels der l-adischen Galois- Darstellungen definieren können oder auf die herkömmliche Art und Weise wie bisher, durch Nachzählen der Punkte auf der reduzierten Kurve. Der Unterschied zum vorherigen Zugang an die θ v ist der, dass wir nicht erst einer endlichen Primstelle v durch Abzählen ein a v und dann einen Winkel θ v zugeordnet haben und dies danach - weil sich der Raum der Konjugiertenklassen von SU(2) zufälligerweise durch das Intervall [0, π] parametrisieren lässt - mit einer Konjugiertenklasse von SU(2) in Verbindung brachten, sondern wir haben auf natürliche Weise über die l-adischen Galois-Darstellungen erst den endlichen Primstellen v eine Konjugiertenklasse in SU(2) zugeordnet und im Nachhinein dies dann auf das Intervall [0, π] übertragen. Dieser Übergang auf das Intervall [0, π] wurde schlichtweg deswegen vollzogen, da sich so das (induzierte) normierte Haar-Maß auf dem Raum der Konjugiertenklassen von SU(2) mit der Sprache der reellen Analysis formulieren lässt. Es ist somit auch klar, wo das zunächst vielleicht mysteriös anmutende Sato-Tate-Maß dµ = 2/π sin 2 θ dθ auf dem Intervall [0, π] herkommt. Abschließend skizzieren wir einige Ausführungen aus dem ersten Kapitel von [Ser68]. Derartige Galois-Darstellungen, bei denen das charakteristische Polynom der absoluten Frobeniuselemente für fast alle l übereinstimmen und diese für fast alle endlichen Primstellen v definiert sind, nennt man auch streng kompatible Galois-Darstellungen. Sind die Koeffizienten dieser charakteristischen Polynome, welche wir im Folgenden mit P v,ϱ (X) bezeichnen wollen, aus Q oder Z, so nennt man die Darstellung entsprechend rational 53

57 oder ganz. Bei der l-adischen Galois-Darstellung ϱ E,l von E handelt es sich also um eine ganze, streng kompatible Galois-Darstellung ϱ. Solchen Galois- Darstellungen kann man nun auch eine L-Reihe zuordnen L(ϱ, s) := v P v,ϱ ((Nv) s ), wobei das Euler-Produkt wieder über alle endlichen Primstellen v läuft, bis auf die endlich vielen Ausnahmen. Man sieht sofort, dass die L-Reihe der l-adischen Galois-Darstellung einer elliptischen Kurve E genau der L- Reihe der elliptischen Kurve E entspricht, sofern man die endlich vielen endlichen Primstellen v mit schlechter Reduktion vernachlässigt. Dies kann natürlich durch eine entsprechende Korrektur der Definition der L-Reihe einer Galois-Darstellung angepasst werden. Über solche L-Reihen von Galois- Darstellungen gibt es eine Vielzahl von Vermutungen, unter anderem, dass sie holomorph fortsetzbar auf die ganze komplexe Ebene sind. Eine stärkere Vermutung besagt, dass die L-Reihen mit einer L-Reihe einer sogenannten automorphen Form identifiziert werden kann, woraus die Holomorphie dann folgen würde. Dies ist auch momentan der einzige Ansatz, wie man überhaupt eine Möglichkeit sieht, die Holomorphie generell zu beweisen. Schon bei den Artinschen L-Reihen, die ja die entsprechenden L-Reihen der Galois-Darstellungen von endlichen Galois-Gruppen sind, ist diese Artinsche Vermutung bis heute unbewiesen. In dieser Arbeit kann leider nicht weiter auf diesen Punkt eingegangen werden. Es sei nur kurz erwähnt, dass es sich bei der L-Funktion L(Symm m E/K, s) zur symmetrischen m-ten Potenz um die L-Reihe der symmetrischen m-ten Potenz der l-adischen Galois-Darstellung von E handelt. Es wird auch hier vermutet, dass sie einer L-Reihe einer holomorphen Form zugeordnet werden kann. Dies ist bis heute unbewiesen, jedoch ist von Tayler et al. für total reelle Zahlkörper die schwächere Aussage über potentielle Automorphie bewiesen worden. Dieses reicht, um die für die L-Funktionen Methode benötigten Konsequenzen daraus abzuleiten. Es ist in dieser Arbeit leider nicht mehr möglich auf den Begriff der potentiellen Automorphie in irgendeiner Weise weiter einzugehen. Dafür wenden wir uns jetzt aber ausführlich dem Fall einer elliptischen Kurve mit komplexer Multiplikation zu. 4.3 Komplexe Multiplikation Gewisse elliptischen Kurven E/K nehmen eine Sonderrolle ein. Dies ist die kleine Minderheit der Kurven mit komplexer Multiplikation, kurz CM. Hier die 54

58 Definition 4.6. Ein Endomorphismus auf E/K ist ein Gruppenhomomorphismus f : E( K) E( K), der durch rationale Funktionen mit Koeffizienten in K gegeben ist. Die Menge aller Endomorphismen End(E) wird auf gewohnte, natürliche Weise zu einem Ring gemacht, dem Endomorphismenring von E. Als Beispiele für Endomorphismen sind die Multiplikation-mit-m-Abbildung auf der elliptischen Kurve E/K zu nennen. Somit ist klar, dass Z in End(E) enthalten ist. Dies ist in den meisten Fällen auch der gesamte Endomorphismenring. Ist der Endomorphismenring End(E) jedoch nicht isomorph zu Z, sondern damit echt größer, so sagen wir die elliptische Kurve E/K habe komplexe Multiplikation und nennen E/K dann eine CM-Kurve. Es folgen zwei Bemerkungen über Eigenschaften von CM-Kurven, die wir in den in diesem Abschnitt vorkommenden Beweisen gebrauchen werden. Bemerkung 4.7. Im Falle einer CM-Kurve E/K über einem Zahlkörper K ist End(E) isomorph zu einer Ordnung O eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers k, siehe [Sil86, VI, Thm. 6.]. Es gilt nach [Lan87, S. 39]: k K jedes Element aus End(E) ist definiert über K. Bemerkung 4.8. Eine CM-Kurve E/K über einem Zahlkörper K hat im Falle einer schlechten Reduktion nie multiplikative Reduktion, sondern stets additive. Dies liegt daran, dass die j-invariante einer solchen CM-Kurve immer eine ganz algebraische Zahl ist, nach [Sil99, II, Thm. 6.]. Mit [Sil86, VII, Pro. 5.5] ist dies äquivalent dazu, dass es eine endliche Erweiterung L/K gibt, sodass E/L überall gute Reduktion hat. Man sagt dann E/K habe potentiell gute Reduktion. Nun kann aber eine elliptische Kurve mit potentiell guter Reduktion keine multiplikative Reduktion haben, nach dem Theorem über semistabile (=multiplikative) Reduktion, siehe [Sil86, VII, Pro. 5.4(b)], da dies besagt, dass für jede endliche Erweiterung L/K die Kurve E/L überall dort multiplikative Reduktion hat, wo dies auch die Kurve E/K hatte. Aufgrund dieser besonderen Eigenschaften einer CM-Kurve E/K über einem Zahlkörper K hat Deuring in [Deu53] gezeigt, dass damit die L- Funktionen L(E/K, s) dieser Kurven entweder gleich einer Hecke-L-Reihe bezüglich einer imaginär-quadratischen Erweiterung von K sind, oder in ein Produkt aus zwei zueinander komplex konjugierten Hecke-L-Reihen von K zerfallen. Hecke hatte in [Hec20] zuvor schon gezeigt, dass die Werte eines 55

59 Hecke-Charakteres von K über die endlichen Primstellen v von K gleichverteilt im Kreis sind. Beides werden wir hier gleich diskutieren. Zuvor geben wir im folgenden Satz an, welche Konsequenzen dies für die Verteilung der a v, bzw. θ v, im Falle einer CM-Kurve ergibt. Der Beweis von Satz 4.9 wird dann den Abschluss dieses Abschnitts darstellen. Satz 4.9. (CM-Fall) Sei E/K eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper K, welche komplexe Multiplikation mit einer Ordnung O des imaginärquadratischen Zahlkörper k habe. Sei Σ die Menge aller endlichen Primstellen v von K, bei denen E/K gute Reduktion hat. Weiterhin sei wie gehabt Ē(F q v ) = q v + a v, a v 2 q v = cos θ v, wobei q v := Nv = #F v die Norm von v ist, und F v := O K /v der endliche Restklassenkörper von K bei v. Dann sind die Winkel {θ v } v Σ (angeordnet nach ansteigender Norm Nv der endlichen Primstellen v) gleichverteilt im Intervall [0, π] bezüglich des Maßes µ = { π dθ, falls k K, δ 2 π/2 + 2π dθ, falls k K. Bemerkung Im zweiten Fall ist der erste Summand des angegebenen Maßes ein halbes Dirac-Maß, d.h. im Durchschnitt hat jedes zweite θ v den Wert π/2 und die andere Hälfte ist gleichverteilt im Kreis, wohingegen im ersten Fall die sämtlichen θ v gleichverteilt im Kreis sind. Die folgenden beiden Abbildungen (2 und 3) sollen dies illustrieren. Wir beginnen mit einigen Definitionen und Bemerkungen und beweisen dann anschließend zuerst die Resultate von Hecke. Definition 4.2. Sei K ein Zahlkörper und sei K v die Vervollständigung von K bei einer (endlichen oder unendlichen) Primstelle v von K. Mit O v bezeichnen wir den Ganzheitsring von K v, wenn v eine endliche Primstelle ist, sonst setzen wir O v := K v. Mit O v bezeichnen wir die Einheitengruppe von O v. Das eingeschränkte Produkt über die Einheitengruppen Kv nennen wir die Idelgruppe A K von K, im Zeichen: A K := v K v. 56

60 Abbildung 2:. Fall: k = Q( 3) Q( 3) = K. Die Verteilung der Winkel θ v von E/Q( 3) : y 2 = x 3 + für q v < 4000 und einer Unterteilung des Intervalls [0, π] in 50 Bereiche. Die Vergleichskurve liegt bei /π. Abbildung 3: 2. Fall: k = Q( 3) Q = K. Die Verteilung der Winkel θ p von E/Q : y 2 = x 3 + für p < 5000 und einer Unterteilung des Intervalls [0, π] in 50 Bereiche. Aufgrund einer Balkenbreite von π/50 müsste ein Balken mit Flächeninhalt 0, 5 eine Höhe von ungefähr 7, 96 haben, was auch in etwa der Fall ist. Die Einschränkung ist dabei folgendermaßen zu verstehen, dass ein Element s = (s v ) v K v aus dem uneingeschränkten Produkt genau dann in A K ist, wenn s v O v für fast alle v. Ein solches Element s A K heißt dann Idel. Versieht man die Menge A K mit komponentenweiser Multiplikation, so wird damit A K zu einer abelschen Gruppe. Des Weiteren wird die Idelgruppe mit einer gewissen Topologie versehen, die nicht weiter erläutert werden soll, und mit der A K zu einer topologischen, lokal kompakten, hausdorffschen 57

61 Gruppe wird (siehe [Neu92, VI ]). Wir können K auf natürliche Weise in A K einbetten, mittels der diagonalen Einbettung, K A K, α (..., α, α, α, α,...), da jedes α K auch in O v ist, für fast alle v. Ebenso können wir K v einbetten, mittels K v A K, t (...,,, t,,,...), wobei das t in der v-komponente steht, und sonst überall Einsen stehen. Definition Ein Hecke-Charakter des Zahlkörpers K ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus χ K : A K C, mit χ K (K ). (Die Werte von χ K müssen dabei nicht den Absolutbetrag haben; es handelt sich also eigentlich um einen Quasi-Charakter.) Sei v eine endliche Primstelle von K. Wir sagen, dass χ K unverzweigt bei v ist, wenn χ K (O v), sonst nennen wir χ K verzweigt bei v. Ein erzeugendes Element π v des maximalen Ideals m v des diskreten Bewertungsringes O v nennen wir eine Uniformisierende von v, also m v = π v O v. Wir definieren dann { χ K (...,,, π v,,,...), χ K ist unverzweigt bei v, χ K (v) := 0, χ K ist verzweigt bei v. Da zwei verschiedene Uniformisierende von v sich nur um Einheiten unterscheiden, ist diese Definition, wegen χ K (O v), unabhängig von der Wahl von π v wohldefiniert. Damit lässt sich χ K auf die Gruppe der gebrochenen Ideale J K von K multiplikativ fortsetzen. Die (Ideal-)Norm von v ist Nv = q v = #F v = #O K /v = #O v /m v. Mit χ K bezeichnen wir den komplex konjugierten Hecke-Charakter, d.h. χ K (s) := χ K (s), für s A K, bzw. χ K (a) := χ K (a), für a J K. Einen Hecke-Charakter χ K, der auf den unverzweigten Primstellen v von K ausschließlich Werte mit Absolutbetrag annimmt, bezeichnen wir als Größencharakter λ K. 58

62 Definition Eine Hecke-L-Reihe L(χ K, s) zu einem Hecke-Charakter χ K eines Zahlkörpers K ist für Re s > definiert als das Euler-Produkt L(χ K, s) := v χ K (v)(nv) s, wobei v alle endlichen Primstellen von K durchläuft. Wir haben also auch hier wieder lokale Faktoren L v (χ K, s) := ( χ K (v)(nv) s ), also L(χ K, s) = v L v (χ K, s). Bemerkung Ursprünglich wurden von Hecke sogenannte (idealtheoretische) Größencharaktere auf der Gruppe der gebrochenen Idealen J K von K als gewisse Charaktere in die komplexen Zahlen mit Absolutbetrag eingeführt, wobei wieder dem verzweigten Fall der Wert Null zugewiesen wird. Dies ist dann die additive Variante der Hecke-L-Reihe als Dirichlet-Reihe (mit dem obigen Euler-Produkt) L(χ K, s) = χ K (a) (Na) = s a J K p χ K (p)(np) s. Die Verallgemeinerung von den (idealtheoretischen) Größencharakteren zu den (ideltheoretischen) Hecke-Charakteren wurde von Tate 950 in seiner Doktorarbeit [Tat67] vollzogen. Er konnte damit dann auch die komplizierten Faktoren in der Funktionalgleichung der Hecke-L-Reihen als die lokalen Euler-Faktoren der unendlichen Primstellen beschreiben. Die Definition der Hecke-Charaktere auf den endlichen Primstellen v von K entspricht dem, was vorher ein (idealtheoretischer) Größencharakter auf den Primidealen p von K war, sofern man den Hecke-Charakter noch zusätzlich normiert. Häufig wird in der Literatur zwischen Hecke-Charakteren und Größencharakteren sprachlich nicht unterschieden, sondern das, was wir einen Größencharakter nennen wird auch manchmal normalisierter Hecke-Charakter genannt, wie in [Koc92], oder die Hecke-Charaktere werden direkt als wirkliche Charaktere und nicht als Quasi-Charaktere definiert, wie in [Neu92]. Bemerkung In der ersten Mitteilung von [Hec20] hat Hecke gezeigt, dass die Hecke-L-Reihen (von Größencharakteren λ K ) auf ganz C meromorph fortsetzbar sind und einer Funktionalgleichung s s gehorchen (bezüglich des komplex konjugierten Charakters). Diese Eigenschaften gelten auch für Hecke-L-Reihen von allgemeinen Hecke-Charakteren χ K, nur 59

63 dass dann die Funktionalgleichung zu s C s, C R, verallgemeinert werden muss, siehe [Sil99, II, Thm. 0.3]. Weiterhin gilt, dass die Hecke-L- Reihen auf der Geraden Re s = holomorph sind und nicht verschwinden, mit Ausnahme des trivialen Charakters, bei dem es sich dann schlicht um die Dedekindsche Zeta-Funktion ζ K (s) des Zahlkörpers K handelt, und es somit bei s = einen einfachen Pol gibt, siehe [Koc92, Thm..04 &.09]. Nachstehend nun das Theorem von Hecke, aus welchem wir in einem Korollar dann die gleichmäßige Verteilung der Werte eines Größencharakters im Kreis ziehen. Theorem (Hecke [Hec20, S. 37 (5)]) Sei λ K ein Größencharakter eines Zahlkörpers K und v stehe für die endlichen Primstellen von K, bei denen λ K unverzweigt ist. Dann gilt lim n #{v Nv n} Nv n λ K (v) = lim N N N λ K (v i ) = 0. i= Dabei ist (v i ) i N eine Anordnung nach ansteigender Norm Nv der endlichen Primstellen v von K, d.h. für i j gilt Nv i Nv j, für alle i, j N. Beweis. (Vergleiche [Lan94, XV, Thm. 5].) Wir verfahren genau wir in Theorem 3.7 und wenden dies auf die Hecke-L-Reihen L(λ K, s) = v λ K (v)(nv) s an, wobei v die bezüglich des Größencharakters λ K unverzweigten Primstellen von K durchläuft. Dazu müssen wir zeigen, dass die drei Hypothesen, siehe Hypothesen 3.5, erfüllt sind. In Hypothese () betrachten wir also die Dedekindsche Zeta-Funktion ζ K (s) von K und in Hypothese (2) die obigen Hecke-L-Reihen zu den nicht-trivialen Charakteren. Mit Bemerkung 2.42 und Bemerkung 4.25 sind beide Hypothesen erfüllt und in Hypothese (2) gilt sogar c λk = 0 aufgrund der Holomorphie. Die Gültigkeit von Hypothese (3) wurde schon mehrmals erwähnt. Durchläuft man nun den Beweis von Theorem 3.7, so resultiert mit Teil (iii) lim N N N λ K (v i ) = c λk = 0, i= und damit genau das Theorem von Hecke. Als Korollar erhalten wir jetzt die gleichmäßige Verteilung der Werte eines Größencharakters im Kreis. 60

64 Korollar Sei (x i ) i N := (λ K (v i )) i N die Folge der Werte eines Größencharakters, definiert wie im Theorem 4.26 von Hecke. Dann ist die Folge (x i ) i N gleichmäßig verteilt im Einheitskreis S, d.h. wir haben eine Gleichverteilung bezüglich des Maßes µ = /(2π)dθ, wobei wir die Elemente aus S in der Form e iθ, mit θ mod 2π schreiben. Beweis. Es ist klar, dass das Theorem 4.26 von Hecke äquvalent dazu ist, dass N lim (x i ) m = 0, für alle m Z \ {0}, N N i= da die Abbildung x x m, m Z \ {0} ein Automorphismus auf S ist. Wir können jetzt das Weyl-Kriterium für Gleichverteilung anwenden (siehe Korollar 3.4), denn wir haben folgende Situation ˆ G = S die kompakte Gruppe, ˆ X = G der Raum der Konjugiertenklassen, da G abelsch, ˆ µ = /(2π)dθ das normierte Haar-Maß auf G und X (siehe [Ser96b, 4.2]), ˆ x x m, m Z \ {0} alle stetigen, irreduziblen, unitären Charaktere χ von G (siehe [BD85, II, Pro. 8.]). Das Theorem 4.26 von Hecke liefert also mit obiger Äquivalenz genau das zu erbringende, um mit Korollar 3.4 die Gleichverteilung zu beweisen. Widmen wir uns nun den Resultaten von Deuring. Die Kernaussage zitieren wir im nachstehenden Theorem Sie besagt, dass die Eigenwerte der Operation eines absoluten Frobeniuselementes Frob v auf dem l-adischen Tate-Modul T l (E) genau den Werten eines Hecke-Charakters χ K von K und dessen komplex konjugierten Charakter χ K bei der Primstelle v von K entsprechen, sofern es sich bei E/K um eine CM-Kurve handelt. Dies hat dann weitreichende Konsequenzen für die Eigenschaften einer L-Reihe einer solchen CM-Kurve, was wir im anschließenden Korollar demonstrieren werden. Theorem (Deuring [Deu53]) Sei E/K eine elliptische Kurve über einem Zahlkörper K. E/K habe komplexe Multiplikation mit einer Ordnung O des imaginär-quadratischen Zahlkörpers k und sei L(E/K, s) die Hasse- Weil L-Funktion von E. Weiterhin gelte k K. Dann gibt es einen der elliptischen Kurve E/K zugeordneten Hecke-Charakter des Zahlkörpers K χ E/K : A K k C 6

65 mit folgenden Eigenschaften: (i) χ E/K ist genau an den endlichen Primstellen v von K unverzweigt, an denen E/K gute Reduktion hat. (ii) Für die unverzweigten Primstellen v von χ E/K gilt, dass die Werte des Hecke-Charakters χ E/K und die des komplex konjugierten Hecke-Charakters χ E/K bei v genau den beiden Eigenwerten der l-adischen Galois-Darstellung ϱ E,l eines absoluten Frobeniuselementes Frob v entsprechen. Es ist also Somit gilt {χ E/K (v), χ E/K (v)} = { q v e iθv, q v e iθv }, denn ( ) qv e ϱ E,l (Frob v ) iθv 0. 0 qv e iθv a v = χ E/K (v) + χ E/K (v), und q v = χ E/K (v) χ E/K (v). (iii) Normieren wir den Hecke-Charakter χ E/K, indem wir den Faktor qv herausziehen, so erhalten wir einen Größencharakter λ E/K := χ E/K (q v ) /2, für den bei (ii) dann entsprechend gilt: {λ E/K (v), λ E/K (v)} = {e iθ v, e iθ v }. Beweis. Siehe [Sil99, II, 9-0] für den Fall, dass O die maximale Ordnung in K ist oder [Lan87, 0 4] für beliebige Ordungen O oder [Shi7, 7.8] für den allgemeinen Fall einer abelschen Varietät mit komplexer Multiplikation und beliebigem Genus g. Wir erhalten als Korollar die folgende Beschreibung einer L-Reihe einer CM-Kurve. Korollar (a) Sei k K. Dann gilt L (E/K, s) = L ( χ E/K, s ) L ( χ E/K, s ), bzw. L (E/K, s) = L ( λ E/K, s /2 ) L ( λe/k, s /2 ). (b) Sei k K. Setze K := kk und E /K sei die elliptische Kurve E/K betrachtet über dem erweiterten Körper K K. Dann gilt L (E/K, s) = L ( χ E /K, s), bzw. L (E/K, s) = L ( λ E /K, s /2). 62

66 Beweis. (a) Für die zu zeigende Gleichheit der L-Reihen weisen wir nach, dass die lokalen L-Reihen jeweils übereinstimmen. Im Falle, dass E/K bei der endlichen Primstelle v von K schlechte Reduktion hat, ist auf Grund von Bemerkung 4.8 und Teil (i) des vorherigen Theorems 4.28 nichts zu zeigen, da dort die beteiligten lokalen L-Reihen = sind. Betrachten wir nun die lokale L-Reihe L v (E/K, s) einer elliptischen Kurve E/K an einer endlichen Primstelle v von K, bei der die Kurve gute Reduktion hat: L v (E/K, s) = ( q v e iθv qv s )( q v e iθv qv s ) = ( e iθ v qv (s /2) )( e iθ v qv (s /2) ) Entsprechend gilt mit Teil (ii) und (iii) des vorherigen Theorems 4.28, dass L v (χ E/K, s)l v ( χ E/K, s) = ( q v e iθv q s v )( q v e iθv q s ), bzw. L v (λ E/K, s /2)L v ( λ E/K, s /2) = ( e iθ v qv (s /2) )( e iθ v qv (s /2) ), womit alles gezeigt ist. (b) Für den Beweis von Teil (b) betrachten wir zunächst die Kurve E /K. Nach Teil (a) gibt es einen Hecke-Charakter χ E /K von K, für den gilt: a v = χ E /K (v ) + χ E /K (v ), q v = χ E /K (v ) χ E /K (v ), wobei a v und q v die entsprechenden Werte von E /K bezüglich einer endlichen Primstelle v von K sind. Gruppieren wir die lokalen Faktoren der L-Reihe von χ E /K bezüglich der endlichen Primstellen v von K, die über derselben Primstelle v von K liegen, so ergibt dies L v (χ E /K, s)l v (χ E /K, s), falls vo K = v v, d.h. v zerfällt, L v (χ E /K, s) := L v (χ E /K, s), falls vo E /K = v, d.h. v ist träge,, falls v verzweigt in K ist. Wir wollen jetzt die Werte q v und a v von E/K in Abhängigkeit von χ E /K bestimmen und unterscheiden dazu wieder die endlichen Primstellen v von K nach ihrem Zerfällungsverhalten in K.. Fall: v zerfällt, d.h. vo K = v v. Da der Trägheitsgrad ist, haben v, v und v die gleiche Norm, also q v = q v = q v und damit ist F v = F v = F v. Damit sind auch die reduzierten Kurven Ē/F v und Ē /F v identisch, d.h. a v = a v. Überdies ist χ E /K (v ) = χ E /K (v ). Es folgt, dass q v = χ E /K (v ) χ E /K (v ), und 63 v

67 a v = χ E /K (v ) + χ E /K (v ). 2. Fall: v ist träge, d.h. vo K = v. Der Trägheitsindex ist 2, also ist q 2 v = q v. Wir behaupten, dass sich an dieser Stelle zeigen lässt, dass q v = χ E /K (v ). Für einen Beweis dieser Behauptung siehe [Lan87, 0 4, Thm. 0]. Damit ist a v = χ E /K (v ) + χ E /K (v ) = 2q v. Wegen Ē/F v 2 = Ē /F v folgt dann a v = + q v Ē /F v, was wiederum äquivalent zu Ē/F v = + q v ist. Damit ist also a v = 0. Nun wollen wir die lokalen L-Reihen von E/K und die von χ E /K miteinander vergleichen. Sei dazu Σ die Menge der endlichen Primstellen v von K, bei denen E/K gute Reduktion hat. Die lokalen L-Reihen von E/K können wir mit obiger Fallunterscheidung und den dort berechneten Werten für a v und q v schreiben als L v (E/K, s) = a v qv s + q v qv 2s ( χ E /K (v )qv s )( χ E /K (v )qv s ), falls vo E /K = v v und v Σ, = ( χ E /K (v )qv 2s ), falls vo K = v und v Σ,, falls v / Σ. und die lokalen L-Reihen von χ E /K werden zu L v (χ E /K, s) ( χ E /K (v )qv s )( χ E /K (v )qv s ), falls vo K = v v, d.h. v zerfällt, = ( χ E /K (v )qv 2s ), falls vo K = v, d.h. v ist träge,, falls v verzweigt in K ist. Für die Gleichheit von L v (E/K, s) und L v (χ E /K, s) bleibt zum einen also noch zu zeigen, dass im unverzweigten Fall von v der Hecke-Charakter χ E /K genau dann verzweigt bei einer Primstelle v über v ist, wenn E/K schlechte Reduktion bei v hat, weil damit ist dann L v (χ E /K, s) auch =, und zum anderen, dass im verzweigten Fall von v die elliptische Kurve E/K schlechte Reduktion hat, weil damit ist dann L v (E/K, s) auch =. Dies zeigt jeweils das folgende Lemma Damit ist das Korollar bewiesen. 64

68 Lemma (a) Sei v eine endliche Primstelle von K, die unverzweigt in K ist und sei v eine Primstelle von K, die über v liegt. Dann gilt: E/K hat schlechte Reduktion bei v E /K hat schlechte Reduktion bei v χ E /K ist verzweigt bei v. (b) Hat E/K gute Reduktion bei der endlichen Primstelle v von K, so ist v unverzweigt in K. Beweis. (a) Das zweite Äquivalenzzeichen ist Teil (i) von Deurings Theorem Für das erste Äquivalenzzeichen verweisen wir nur auf die Literatur. Deuring selbst nannte dies die Wesentliche Schwierigkeit in seinem Artikel [Deu53, 4. Mitteilung]. In heutigen Beweisen wird das Kriterium von Néron- Ogg-Šafarevič verwendet (siehe [ST68,.] und [Ser68, S. IV-5]), wie z. B. in [Lan87, Remark auf S. 4] oder [Shi7, Pro. 7.47] geschildert. (b) Sei τ der nicht-triviale Automorphismus aus Gal(K /K). Mit Bemerkung 4.7 gibt es wegen k K einen Endomorphismus f End(E) = End(E ) auf E( K) = E( K ), der nicht über K definiert ist, aber über K, und somit ist τ nicht die Identität auf allen Koeffizienten von f. Wir haben also f τ f. Wir nehmen nun an, dass v verzweigt sei in K, also vo K = v 2, und betrachten dann die Reduktionsabbildung End(E ) End(Ē ), f f, bei der die in K liegenden Koeffizienten von f modulo v reduziert werden. Da der Effekt von τ auf dem Restklassenkörper F v trivial ist, gilt demnach f τ = f. Dies steht allerdings im Widerspruch zur Injektivität der Reduktionsabbildung und somit ist die Annahme widerlegt. Bemerkung 4.3. Dadurch, dass die L-Reihe einer CM-Kurve E/K nun einer (oder zwei) verschobenen Hecke-L-Reihen gleicht, übertragen sich deren analytische Eigenschaften und es folgt, dass die L-Reihe einer CM-Kurve auf ganz C holomorph fortsetzbar ist und einer Funktionalgleichung mit s s 2 genügt, siehe [Sil99, II, Cor. 0.5.]. 65

69 Nun können wir die Ergebnisse von Deuring und Hecke zusammenfassen und damit den Satz 4.9 über die Verteilung der θ v im Falle einer CM-Kurve beweisen. Beweis von Satz 4.9 (a) Es bezeichne (v i ) i N die Folge der nach ansteigender Norm angeordneten endlichen Primstellen v von K und λ K sei ein Größencharakter von K. Wir verändern jetzt die Folge (λ K (v i )) i N der Werte von λ K auf den v i derart, dass wir bei denjenigen Werte λ K (v i ), deren Imaginärteil negativ ist, den komplex konjugierten Wert nehmen, sodass damit alle Imaginärteile nicht-negativ sind. Somit liegen dann alle diese Werte in der oberen Einheitskreishälfte und wir bezeichnen diese neuen Werte mit Im 0 Im 0 λk (v i ). Mit Deurings Theorem 4.28 gilt demnach λk (v) = e iθ v, für alle endlichen Primstellen v von K, bei denen E/K gute Reduktion hat. Aus den Resultaten von Hecke folgt sofort, dass die Folge ( Im 0 λk (v i ) ) in i N der oberen Einheitskreishälfte gleichmäßig verteilt ist und somit sind auch die e iθv (aufsteigend nach der Norm Nv) gleichmäßig verteilt in der oberen Einheitskreishälfte. Damit sind die θ v gleichmäßig verteilt im Intervall [0, π]. (b) Nach dem Čebotarevschen Dichtigkeitssatz (Beispiel 3.2) beträgt die natürliche Dichte der endlichen Primstellen v von K, die in K träge sind genau 0,5. Dies erklärt das halbe Dirac-Maß bei π/2, da für diese Primstellen a v = cos θ v = 0 ist, und somit θ v = π/2. Für die Hälfte der vollständig zerlegten Primstellen wende Teil (a) an. Damit ist Satz 4.9 über die Verteilung der {θ v } im Falle einer CM-Kurve bewiesen. Bemerkung Werfen wir abschließend noch einen Blick auf die beiden Abbildungen 2 und 3, so sehen wir, dass es sich dabei im Prinzip um die gleiche elliptische Kurve E/Q : y 2 = x 3 + handelt, deren zugrundeliegender Körper aber im ersten Fall derart vergrößert wurde, dass er nun den Körper k enthält, mit dessen Ordnung O die elliptische Kurve E/Q komplexe Multiplikation hat. So etwas ist natürlich immer möglich und wir wollen kurz erläutern, warum dabei in der Verteilung der Winkel {θ v } dann der halbe Dirac-Impuls bei π/2 verschwindet, wie man beim Übergang von Abbildung 3 auf Abbildung 2 gut sehen kann. Der springende Punkt ist, dass die Norm einer trägen Primstelle von K dann in K quadriert wird, und sie somit in der nach ansteigender Norm angeordneten Folge der Primstellen erst viel später auftaucht. Insgesamt geht der prozentuale Anteil der bis zu einer gegebenen Schranke N über trägen Primstellen v liegenden Primstellen v in K somit gegen Null, wenn N gegen Unendlich geht. Einen Einfluss auf die Verteilung nehmen also nur diejenigen Primstellen v von K ein, die über einer voll zerlegten Primstelle v von K liegen. Nach den Ergebnissen diesen Abschnittes sind deren zugehörige Winkel gleichmäßig verteilt im Intervall [0, π]. 66

70 4.4 Numerische Tests Zu guter Letzt betrachten wir vier numerische Berechnungen zu elliptischen Kurven E/K, die über einem nicht total reellen Zahlkörper K definiert sind, und für die die Sato-Tate-Vermutung somit weiterhin unbewiesen ist. Die approximierte Verteilung der θ v ist in den nachfolgenden Abbildungen 4-7 dargestellt. Abbildung 4: Die Verteilung der Winkel θ v von E/Q(i) : y 2 = x 3 + 2ix + 3 für q v < 0000 und einer Unterteilung des Intervalls [0, π] in 50 Bereiche. Abbildung 5: Die Verteilung der Winkel θ v von E/Q( 3) : y 2 = x 3 5x 3 3 für q v < 0000 und einer Unterteilung des Intervalls [0, π] in 50 Bereiche. Für die Erstellung dieser Graphiken wurden zuerst alle θ v bestimmt, deren zugehörige Norm q v kleiner als eine vorgegebene obere Schranke N N 67

71 Abbildung 6: Die Verteilung der Winkel θ v von E/Q( 67) : y 2 = x x + 2 für q v < 0000 und einer Unterteilung des Intervalls [0, π] in 50 Bereiche. Abbildung 7: Die Verteilung der Winkel θ v von E/Q(ω) : y 2 = x 3 + ωx + für q v < 0000 und einer Unterteilung des Intervalls [0, π] in 50 Bereiche. Dabei ist ω eine Nullstelle des Polynoms x 5 + 4x 3 7. ist. Danach wurden diese auf endlich viele Bereiche des Intervalls [0, π] aufgeteilt, und dann der prozentuale Anteil der enthaltenen θ v in jedem dieser Bereiche berechnet. Dies wurde dann durch den Flächeninhalt des zugehörigen Balkens visualisiert. Zum Vergleich wurde dazu das Sato-Tate- Maß als Kurve eingezeichnet. Die Wahl der genutzten elliptischen Kurven war dabei völlig zufällig. Man sieht, dass die numerischen Ergebnisse die Sato-Tate-Vermutung stützen. 68