Mathematikunterricht im Schuljahr. Der Lehrplan und seine Inhalte. Sammlung von Materialien zur Vorlesung. R.Deißler

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1 Mthemtikunterriht im Shuljhr Der Lehrpln und seine Inhlte Smmlung von Mterilien zur Vorlesung R.Deißler WS 003/004

2 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE i DEISSLER WS 03/04 INHALTSVERZEICHNIS ZIELE DES MATHEMATIKUNTERRICHTS.... TIMS-STUDIE: MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHER UNTERRICHT IM INTERNATIONALEN VERGLEICH.... INTERNATIONALE LEISTUNGSVERGLEICHSSTUDIE PISA....3 MATHEMATIK ALS HILFSMITTEL IM PRIVATEN UND BERUFLICHEN ALLTAG EIN SZENARIO FÜR DEN KÜNFTIGEN MATHEMATIKUNTERRICHT?...6 ARITHMETIK IM 7.SCHULJAHR: RATIONALE ZAHLEN...7. EIN SPIEL ZUR EINFÜHRUNG: SALDIX...7. EIN SPIEL ZU NEGATIVEN ZAHLEN MIT DEM TASCHENRECHNER: KATZ UND MAUS EIN SPIEL ZUR ADDITION UND SUBTRAKTION: DAS KONTOSPIEL AUS DER GESCHICHTE DER NEGATIVEN ZAHLEN: DIE NEGATIVEN ZAHLEN IM UNTERRICHT DES 7.SCHULJAHRES Vorkenntnisse Modelle zur Einführung und zum Rehnen mit negtiven Zhlen Shülerfehler beim Rehnen mit negtiven Zhlen Verwendung von negtiven Zhlen in späteren Shuljhren....6 EIN UNGEWÖHNLICHES MODELL ALGEBRA ALGEBRA IM ÜBERBLICK: FACHLICHE GRUNDLAGEN Zentrle Leitbegriffe Fhwissenshftlihe Grundlgen: VARIABLEN UND VARIABLENASPEKTE EIN SPIEL ZU TERMEN: RATE MEINE REGEL ALGEBRA VOM 7.-0.SCHULJAHR: INHALTE UND FACHLICHER HINTERGRUND Terme und linere Gleihungen (7.Shuljhr) Terme mit Klmmern (8. Shuljhr) Bruhterme und Bruhgleihungen (8. Shuljhr) Der Funktionsbegriff (b 8. Shuljhr.) Koordintensysteme Linere Funktionen (8.Shuljhr) Linere Gleihungssysteme mit Vriblen (8.Shuljhr) Potenzen und Wurzeln (9.Shuljhr) Qudrtishe Funktionen und qudrtishe Gleihungen (9. und 0. Shuljhr) Vershieben und Streken/Stuhen von Funktionsgrphen: GLEICHUNGEN IM 7.SCHULJAHR: MODELLE EIN SPIEL ZU BRUCHTERMEN: HINDERNISRENNEN ÜBUNGSPROGRAMME ZUR ALGEBRA: BEISPIEL TERMUMFORMUNG (KLETT SOFTWARE) EIN PAKET VON ÜBUNGS- UND TESTPROGRAMMEN ZUR ALGEBRA IN DER SI: SMILE FUNKTIONALES DENKEN SACHRECHNEN SACHRECHNEN: ÜBERSICHT SINNVOLLES RUNDEN, GENAUIGKEIT BEIM RECHNEN VON SACHAUFGABEN PROPORTIONALE UND ANTIPROPORTIONALE ZUORDNUNGEN PROZENTRECHNUNG...40

3 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE ii DEISSLER WS 03/ Inhlte der einzelnen Shuljhre im Prozentrehnen Modelle zum Prozentbegriff Möglihe Zugänge zur Prozentrehnung Digrmme Prozentrehnen: Grundufgben Verminderter und vermehrter Grundwert (8.Shuljhr) Verknüpfen von Prozentsätzen (9.Shuljhr) ZINSRECHNEN (AB 8. SCHULJAHR) SPEZIELLE BEGRIFFE ZUM PROZENT- UND ZINSRECHNEN AUFGABEN ZUM SACHRECHNEN: PROZENT UND ZINS GEOMETRIE ÜBERSICHT GRUNDLEGENDE KONZEPTE UND ZIELE DES GEOMETRIEUNTERRICHTS, MATERIALIEN Ziele des Geometrieunterrihts Geometrishe Grundkonzepte Beweisen im Geometrieunterriht Mterilien und Modelle, Aktivitäten Dynmishe Geometrieprogrmme INHALTE Dreieke (7. Shuljhr) Fläheninhlt von Dreieken und Viereken (8. Shuljhr) Hus der Viereke (8.Shuljhr) Fläheninhlt und Umfng von Polygonen (8.Shuljhr) Stz des Thles und Konstruktion von Kreistngenten (8.Shuljhr, niht verpflihtend) Volumen, Oberflähe und Shrägbild von Prismen (8.Shuljhr) Zentrishe Strekung (9.Shuljhr) Strhlensätze (9.Shuljhr) Ähnlihe Figuren (9.Shuljhr, Whlgebiet) Stzgruppe des Pythgors (9.Shuljhr) Der Kreis (9.Shuljhr) Shrägbilder von Zylinder und Kegel (9. bzw. 0.Shuljhr) Trigonometrie (0.Shuljhr) Räumlihe Geometrie GEOMETRIE: AUFGABEN UND FORMELSAMMLUNG ABSCHLUSSPRÜFUNG 996: AUFGABEN UND LEHRERBLÄTTER (MIT BEWERTUNGSSCHLÜSSEL) LITERATURVERZEICHNIS ANHANG: PISA BEISPIELAUFGABEN AUS DEM MATHEMATIKTEST NEUE BILDUNGSPLÄNE HÄUFIG GESTELLTE FRAGEN ZUR BILDUNGSPLANREFORM...4

4 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE DEISSLER WS 03/04 Ziele des Mthemtikunterrihts. TIMS-Studie: Mthemtish-nturwissenshftliher Unterriht im interntionlen Vergleih TIMSS: Third Interntionl Mthemtis nd Siene Study (997) Shlehte Noten für den Mthemtikunterriht in Deutshlnd - Anlss und Chne für Innovtionen Erklärung der Fhverbände DMV, GDM und MNU (*) Soeben sind die Ergebnisse einer großen interntionlen Studie veröffentliht worden (TIMSS: Third Interntionl Mthemtis nd Siene Study, durhgeführt von der IFA: Interntionl Assoition for the Evlution of Edulionl Ahievement), bei der u.. Leistungen von Siebt- und Ahtklässlern us 4 Ländern in Mthemtik getestet worden sind. Dbei hben die Shülerinnen und Shüler us Deutshlnd vergleihsweise shwh bgeshnitten, sie liegen nur im weltweiten Durhshnitt. Werden von den 4 Ländern nur die 6 OECD-Stten betrhtet (in der Presse mitunter missverständlih ls OECD-Studie bezeihnet), so liegt Deutshlnd sogr in der unteren Hälfte. Die Ergebnisse der großen westlihen Stten (Frnkreih, Knd, Englnd, USA) bewegen sih ebenflls im Mittelfeld. Vier sitishe Stten liegen deutlih vor llen nderen n der Spitze: Singpur, Südkore, Jpn und Hongkong. Wie sind die für Deutshlnd enttäushenden, z.t. lrmierenden Ergebnisse einzushätzen? Einige der Gründe liegen siher ußerhlb der Mthemtik in der gesmtgesellshftlihen Siht von Shule; so geht die öffentlihe Wertshätzung für shulishes Lernen offenbr immer mehr zurük, und dmit einhergehend vermindern sih die verbindlihen Leistungsnforderungen, ws insbesondere uh für den Mthemtikunterriht negtive Auswirkungen ht (und dort besonders gut ufzeigbr ist). Auf dieses gesellshftspolitishe Problem müssen wir ufmerksm mhen. Bildungsnstrengungen müssen bei uns wieder einen hohen Stellenwert erhlten, wie sie ihn in den gennnten sitishen Stten in besonderem Mße besitzen. Unter mthemtikspezifishen Aspekten fällt uf, dss die Shülerinnen und Shüler us Deutshlnd bei reinen Routineufgben us Arithmetik und Algebr meist besser bgeshnitten hben ls bei geometrishen Problemstellungen und dss sie vor llem bei Aufgben, in denen ein inhltlihes Eingehen uf gegebene Problemsitutionen oder ein selbständiges Anwenden von mthemtishen Verfhren erforderlih wren, enttäusht hben. Auh bei zeitlih weiter zurükliegenden Themengebieten liegen sie eher unter dem Durhshnitt. All dies korrespondiert mit - us mehreren früheren Untersuhungen shon beknnten - Beobhtungen, dss im Mthemtikunterriht bei uns zu viel Wert gelegt wird uf ds routinemäßige, mnhml gr shemtishe Lösen innermthemtisher Stndrdufgben und dss viele Stoffe nur kurzzeitig für die nähste Klssenrbeit gelernt werden und dnh rsh wieder vergessen werden können. Zu kurz kommen insbesondere ds selbständige, ktive Problemlösen, ds inhltlihe, niht-stndrdisierte Argumentieren, ds Herstellen von Verbindungen mthemtisher Begriffe mit Situtionen us Alltg und Umwelt sowie ein wiederholendes und vertiefendes Wiederufgreifen weiter zurükliegender Stoffe und deren Vernetzung. Wie Begleitstudien zeigen, ist es mit vielen dieser Punkte z.b. in Jpn deutlih besser bestellt. Wir verkennen niht, dss es noh weitere Gründe gibt, welhe zum shlehten deutshen Abshneiden beigetrgen hben können, so etw ds Problem, wie gut die Testfrgen mit unseren Lehrplänen für die Mittelstufe hrmonieren. Aber dies entkräftet keineswegs die vorhin ufgezählten Kritikpunkte. Siher können wir uns niht ohne weiteres mit den n der Spitze liegenden sitishen Stten vergleihen, denn diese hben ein nderes Bildungssystem mit gnz nderen Leistungsnforderungen, ws wir niht einfh übernehmen können und wollen. Unsere Jugendlihen werden trotzdem im späteren Berufsleben mit den Jugendlihen us diesen sitishen Ländern im Wettbewerb stehen. Es bedrf deshlb besonderer Anstrengungen in der Forshungs- und Entwiklungsrbeit zum Lernen und Lehren von Mthemtik sowie einer konsequenten Umsetzung, dmit wir zu einem - für unsere Gesellshft däquten - erfolgreihen Mthemtikunterriht kommen. Unser Mthemtikunterriht muss sih verändern, Innovtionen sind nötig! Mthemtik ist existentieller Bestndteil unserer Kultur. Mthemtik ist u.. uh die Sprhe, in der Wissen usgedrükt wird, bevor es durh Computer-Softwre benutzt werden knn; deshlb ist z.b. die Beherrshung der Übersetzung zwishen Alltgswissen und präziser mthemtisher Drstellung eine Shlüsselqulifiktion, die unsere Jugendlihen weit besser beherrshen müssen, ls sie es in den Tests gezeigt hben. Wirtshft und Gesellshft bruhen uf llen Stufen unseres Bildungswesens shulishe Absolventen. die im Kernfh Mthemtik möglihst gut usgebildet sind. 997

5 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE DEISSLER WS 03/04 Ein pr Stihworte mögen die Rihtung ndeuten, in der sih der Mthemtikunterriht verändern muss: mehr selbständiges und ktives Mthemtiktreiben, mehr fhübergreifendes Lernen, mehr inhltlihes Argumentieren und Problemlösen, systemtishes Wiederufgreifen und Vernetzen von behndelten Inhlten. Ds lles bedeutet uh eine Veränderung der Leistungsnforderungen n unsere Shülerinnen und Shüler. Zugleih sind verstärkte Anstrengungen in der Lehrerus- und -fortbildung nötig, um Lehrerinnen und Lehrer zu qulifizieren, solhe Konzepte - uf wissenshftlih bgesiherter Grundlge - uh wirklih umzusetzen. Hier besteht gerde in Deutshlnd ufgrund der ungünstigen Altersstruktur unseres Lehrkörpers ein besonderer Bedrf All dies sind Forderungen, wie sie von uns, den unterzeihnenden mthemtishen Fhverbänden, shon seit lngem erhoben und mit vielen eigenen Vorshlägen uh hinlänglih konkretisiert, in der Breite des Unterrihts bisher ber noh unzureihend relisiert worden sind. Ntürlih sind uh in der Zukunft noh weitere Forshungs- und Entwiklungsnstrengungen nötig. Dbei setzt, wie shon eingngs erwähnt, eine Relisierung solher Konzepte däqute gesellshftlihe Rhmenbedingungen vorus. Wir bieten den Verntwortlihen in Politik und Bildungsverwltung unsere Hilfe bei der Implementierung und Relisierung solher Innovtionen und bei der begleitenden Lehrerus- und -fortbildung n. Konkret shlgen wir vor, eine bundesländerübergreifende Arbeitsgruppe bei der KMK einzurihten, die Konzepte für eine Veränderung des Mthemtikunterrihts vorlegen soll, dmit dieses wihtige Fh den Anforderungen bis zum und vor llem uh nh dem Jhr 000 besser genügen knn, ls es derzeit offenbr der Fll ist. *Anmerkung Diese Erklärung zu den Ergebnissen der interntionlen Mthemtikstudie TIMSS ist unterzeihnet für die Deutshe Mthemtiker-Vereinigung (DM V) von Prof. Dr. Günter TÖRNER, Duisburg. für die Gesellshft für Didktik der Mthemtik (GDM} durh Prof. Dr. Werner BLUM, Kssel, sowie für den Deutshen Verein zur Förderung des mthemtishen und nturwissenshftlihen Unterrihts (MNU) durh StD Jürgen WULFTANGE. Hnnover. Aus: Mthemtik in der Shule 35 (997) 5. Interntionle Leistungsvergleihsstudie PISA Im Jhr 00 wird die Diskussion um ds Bildungswesens, insbesondere uh die Diskussion um den Mthemtikunterriht, gnz entsheidend durh die Veröffentlihung der Ergebnisse der interntionlen Leistungsvergleihsstudie PISA 000 und der ntionlen Ergänzungsuntersuhung PISA-E bestimmt. Im Folgenden eine kurze Drstellung der Ziele und Ergebnisse der interntionlen Studie (Quelle: Mx-Plnk-Institut für Bildungsforshung, Berlin / ZUM). Ws PISA bedeutet, wer dbei mitmht, wie Deutshlnd bgeshnitten ht. Die 0 wihtigsten Antworten. Ws heißt "PISA"? Die Abkürzung PISA steht für "Progrmm for Interntionl Student Assessment", eine interntionle Shulleistungsstudie. Sie ist Teil des Indiktorenprogrmms INES, "Inditors of Edutionl Systems", der OECD (Orgnistion für wirtshftlihe Zusmmenrbeit und Entwiklung).. Ws wird untersuht? PISA erfsst drei Bereihe: Lesekompetenz (reding litery), mthemtishe Grundbildung (mthemtil litery) und nturwissenshftlihe Grundbildung (sientifi litery). Dbei geht es neben dem, ws die Jugendlihen gelernt hben, vor llem drum, inwieweit sie llgemeinere Konzepte und Fähigkeiten besitzen, die sie bruhen, um ihr Wissen uh nzuwenden. 3. Wer nimmt n der Untersuhung teil? Die Untersuhung wird mit 5-jährigen Shülerinnen und Shülern in ihren Shulen durhgeführt. 3 Stten sind beteiligt, dvon 8 Mitgliedsstten der OECD. In jedem Lnd werden zwishen und Shülerinnen und Shülern getestet. Der Leistungsvergleih im Jhr 000 umfsste Jugendlihe.

6 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 3 DEISSLER WS 03/04 4. Welhe Ziele ht PISA? Die OECD-Stten erfhren ddurh, wie es mit dem Wissen, den Fähigkeiten und Fertigkeiten ihrer Shüler/innen bestellt ist, und wie gut die Jugendlihen uf lebenslnges Lernen und uf die Übernhme von konstruktiven Rollen ls Mitglieder ihrer Gesellshft vorbereitet sind. Sie erheben, wie leistungsfähig ihre Bildungssysteme sind und stellen sih dem interntionlen Vergleih. Die gewonnenen Erkenntnisse lssen sih im Anshluss shulpolitish nutzen. 5. Wer ht sih PISA usgedht? Die PISA-Rhmenkonzeption wurde von interntionlen Expertengruppen entwikelt. Dmit wurde zum einen gewährleistet, dss die Studie hohen wissenshftlihen Anforderungen genügt, zum nderen konnten die beteiligten Länder so ihre jeweiligen kulturellen und bildungspolitishen Shwerpunkte einbringen. Auh Wissenshftler us Deutshlnd wren beteiligt. Ds Konzept stellt dmit einen interntionlen Kompromiss dr, der ls wissenshftlih solide begründet und ussgekräftig gilt. Die Koordintion des Projekts obliegt einem interntionlen Konsortium unter Federführung des Austrlin Counil for Edutionl Reserh (ACER). Für die Durhführung der Studie in Deutshlnd sind sieben Forshungseinrihtungen unter der Federführung des Mx-Plnk-Instituts für Bildungsforshung verntwortlih. 6. Ws ist in Deutshlnd nders? Im deutshen Shulsystem verteilen sih die 5-Jährigen infolge der Stihtgsregelung bei der Einshulung, reltiv häufiger Zurükstellungen und hoher Wiederholungsrten uf sehs (!) Jhrgngsstufen, wobei sie sih uf die Jhrgänge 8, 9 und 0 konzentrieren. In den meisten OECD-Ländern, die n der Vergleihsstudie teilnehmen, ist die Jhrgngsstreuung geringer bei einem deutlihen Shwerpunkt uf den höheren Jhrgängen. In Deutshlnd wurde deshlb die interntionl vorgesehene ltersbsierte Stihprobe durh eine jhrgngsbsierte Stihprobe ergänzt. Ds deutshe Konsortium ht - wie uh ndere Länder - die interntionle Untersuhung um bestimmte Frgestellungen erweitert, unter nderem um Urshen für Leistungsuntershiede unter den Jugendlihen zu erforshen und Anstzpunkte für konstruktive Interventionsmßnhmen zu finden. Shlüsselqulifiktionen wie z.b. Problemlösen, Aspekte von Koopertion und Kommuniktion wurden erfsst. Die Kultusministerkonferenz ht zusätzlih beshlossen, im Rhmen von PISA uh Leistungsvergleihe zwishen den Bundesländern durhzuführen. Die Ergebnisse von PISA-E (PISA-Erweiterungsstudie) sollen m beknnt gegeben werden. Insgesmt wurden in der Bundesrepublik Deutshlnd..460 Shulen mit insgesmt Shülerinnen und Shülern mit den interntionlen und ntionlen Testinstrumenten getestet. Dvon bilden. 0 Shulen die interntionle Stihprobe (PISA),. 50 Shulen wurden zusätzlih untersuht. 7. Wie läuft die Untersuhung b und worum geht es dbei? Die Tests fnden in der jeweiligen Shule von Ende April bis Ende Juni 000 n zwei ufeinnderfolgenden Tgen sttt: erster Testtg: 0 Minuten Leistungstests, 30 Minuten Shülerfrgebogen; zweiter Testtg:. 30 Minuten, zuzüglih Pusen Jede Shülerin bzw. jeder Shüler erhielt eines von insgesmt neun vershiedenen Testheften. Rund zwei Drittel der in PISA eingesetzten Aufgben mßen Lesefähigkeiten und Leseverständnis. Ein Drittel der Testufgben stmmten je us der Mthemtik oder us den Bereihen der Nturwissenshften. Eine relitätsnhe Sitution ist jeweils Ausgngspunkt für vershiedene Frgen, teilweise Multiple-Choie-Aufgben, zum Teil rbeiten die Shüler/innen eigene Antworten us. Die Jugendlihen bentworten ußerdem einen Frgebogen mit Hintergrundfrgen über sih selbst, Duer etw 30 Minuten. Dbei geht es z.b. um den fmiliären Hintergrund, um die Einstellung zum Lernen und die Lernstrtegien, Lesegewohnheiten, Umgng mit neuen Tehnologien und die shulishe Krriere. Auh die Shulleiter erhlten einen Frgebogen zu ihrer Shule, Duer etw 30 Minuten. Er beinhltet Frgen zur Shule, der finnziellen und personellen Sitution, ob öffentlihe oder privte Aufsiht und Finnzierung, zu Entsheidungsprozessen und Personlpolitik, zu Unterriht, Klssengröße und Grd der Shüler- und Elternbeteiligung. Aus diesen drei Elementen ergibt sih ein Profil der Kenntnisse und Fähigkeiten von Shülerinnen und Shülern gegen Ende der Pflihtshulzeit. Außerdem lässt sih ein Zusmmenhng zwishen den Ergebnissen und den Merkmlen von Jugendlihen und Shulen herstellen. Durh die Wiederholung der Untersuhung wird zusätzlih deutlih, wie sih die Ergebnisse im Zeitverluf ändern. 8. Wie geht es mit PISA weiter? OECD/PISA ist keine einmlige länderübergreifende Messung, sondern ein fortlufendes Progrmm. Alle drei Jhre werden Dten erhoben. Dmit ist es möglih, uh Entwiklungstrends im Wissens- und Kompetenzbestnd von Shüler/innen us den vershiedenen Ländern und us vershiedenen demogrphishen Untergruppen zu erfssen. Bei jeder Erhebung wird ein nderer Bereih detilliert untersuht, der dnn fst zwei Drittel der Gesmttestzeit in Anspruh nimmt. Im Jhr 000 stnd die Lesekompetenz im Mittelpunkt, im Jhr 003 wird es die mthemtishe Grundbildung sein und im Jhr 006 die nturwissenshftlihe Grundbildung. So wird in jedem dieser Bereihe lle neun Jhre eine gründlihe Leistungsnlyse und lle drei Jhre ein "hek-up" stttfinden.

7 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 4 DEISSLER WS 03/04 9. Ws wird im einzelnen geprüft? Ntürlih ist es wihtig, ws die Jugendlihen gelernt hben. Aber ob sie dieses Wissen später nwenden können, hängt entsheidend von llgemeineren Fähigkeiten und Kenntnissen b. PISA frgt lso weniger Fktenwissen b, sondern prüft ds Verständnis und die Fähigkeit, selbständig zu denken und Shlüsse zu ziehen. Lesen: Können die Jugendlihen shriftlihes Mteril verstehen, interpretieren und nutzen, über Inhlt und Eigenshften von Texten reflektieren - um eigene Ziele zu erreihen, ds eigene Wissen und Potentil weiterzuentwikeln und m gesellshftlihen Leben teilzunehmen? Mthemtik: Hier kommt es im täglihen Leben uf die Fähigkeit n, die Bedeutung der Mthemtik im heutigen Leben whrzunehmen, quntittiv zu rgumentieren, Beziehungen oder Abhängigkeiten zu erfssen und fundierte mthemtishe Urteile bzugeben. Nturwissenshften: Für die nturwissenshftlihen Probleme, die in der Welt der Erwhsenen diskutiert werden, sind ein Verständnis von umfssenderen Konzepten und Themen wihtig wie Energieverbruh, Artenvielflt und menshlihe Gesundheit sowie die Fähigkeit, Shlussfolgerungen zu ziehen, um Entsheidungen zu verstehen und zu treffen, die die ntürlihe Welt und die durh menshlihes Hndeln n ihr vorgenommenen Veränderungen betreffen. Von besonderer Bedeutung sind in llen Bereihen fäherübergreifende Fähigkeiten wie Flexibilität, Anpssungsfähigkeit, Problemlösefähigkeit, die Fähigkeit zur Nutzung von Informtionstehnologien, die Fähigkeit zu Kommuniktion und Koopertion. Weil sih Jugendlihe uh später immer neu Wissen und Fähigkeiten neignen müssen, sollen sie ußerdem in der Lge sein, ihren eigenen Lernprozess zu orgnisieren und zu regulieren, selbstständig und in Gruppen zu lernen und Shwierigkeiten im Lernprozess zu überwinden. 0. Wie ht Deutshlnd bgeshnitten? Ziemlih shwh: In llen Bereihen liegen wir teilweise deutlih unter dem OECD-Durhshnitt. Vom Volk der Dihter und Denker zum Volk der funktionlen Anlphbeten? Fst jedes vierte Kind ht enorme Shwierigkeiten beim Lesen: 3% der Jugendlihen shfften grde ml die unterste Stufe der Lesekompetenz und können dmit simple Informtionen herusfinden oder ds Huptthem erfssen - fst zehn Prozent niht ml ds. Beim Rehnen und in den Nturwissenshften sind die Werte ähnlih: Ein Viertel der Shüler erreiht höhstens Kompetenzstufe. Ds bedeutet Grundshulniveu. Außerdem ist Deutshlnd eines der Länder mit dem größten Abstnd zwishen den leistungsstärksten und leistungsshwähsten Shülern. Im Gegenstz zu diversen nderen Länder shffen wir es niht, dss uh die shwhen Shüler ein gewisses Leistungsniveu erreihen. Der Einfluss der sozilen Herkunft uf die Shülerleistungen ist bei uns überdurhshnittlih groß und wird durh die Shule niht ufgefngen..3 Mthemtik ls Hilfsmittel im privten und beruflihen Alltg (Aus Heymnn, Allgemeinbildung und Mthemtik, Beltz 996, S ) Welhe Mthemtik bzw. welhe mthemtikhltigen Qulifiktionen verwenden Erwhsene in unserer Gesellshft ls Hilfsmittel in ihrem privten und beruflihen Alltg? Der beruflihe Alltg derjenigen Minderheit, die in usgesprohen mthemtikintensiven Berufen tätig ist, bleibe dbei usdrüklih usgeklmmert. Obwohl es... keine empirishen Studien gibt, in denen diese Frge repräsenttiv untersuht wird, weisen die n Teilpopultionen und zu spezielleren Frgestellungen erhobenen Ergebnisse eine derrt hohe Konvergenz uf, dss der weiter unten von mir ufgestellte Ktlog ls reht bruhbre Annäherung betrhtet werden knn. Zudem wird jeder Erwhsene in unserer Gesellshft, der sih ufgrund eigener Beobhtungen ein eigenes Urteil zu bilden suht, diese Ergebnisse im großen und gnzen bestätigen können. Die Fkten, um die es hier geht, sind gleihsm ls Elemente einer geteilten gesellshftlihen Erfhrung für jedes Gesellshftsmitglied durh Reflexion von Alltgswissen offen zugänglih. - Der unten ngeführte Ktlog berüksihtigt folgende Untersuhungen: Rtz (974) interviewte einerseits Ausbildungsleiter und Personlhefs nh den mthemtishen Mindestkenntnissen und Mindestfertigkeiten von Betriebsngehörigen, ndererseits direkt Arbeitnehmer, überwiegend mit Fhrbeiterqulifiktion,,,n usgewählten Arbeitsplätzen mit hohen mthemtishen Anforderungen" (.. O., S. 43ff). Es wurden die,,bereihe Elektronishe Dtenverrbeitung, Verwltung, Tehnishe Büros und Produktion erfsst.

8 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 5 DEISSLER WS 03/04 In Englnd befrgte ds Sheffield Region Centre for Siene nd Tehnology eine repräsenttive Stihprobe von Industriebetrieben der Region nh den Mthemtikkenntnissen, die von Jugendlihen im ersten Jhr ihrer Beshäftigung gebruht werden (Knox 977). Ebenflls englishe Verhältnisse wurden in dem großngelegten Projekt,,Mthemtis in Employment (6-8) untersuht, ds sih uf Arbeitspltzbeobhtungen und Interviews stützte (Fitzgerld/Rih 98). Ergebnisse dieser Studie flossen in den Cokroft-Report ein, der der Reform des Mthemtikunterrihts in Großbritnnien eine neue Bsis zu geben versuhte (Cokroft u.. 98). In einer österreihishen Studie wurde die Verwendung von Mthemtik m Arbeitspltz von Beshäftigten mit Abitur untersuht, lso eine gänzlih ndere Popultion ls in den bisher gennnten Untersuhungen erfsst (Borovnik u.. 98, vgl. uh Peshek 98). In einer Fllstudien-Serie befrgte ih im Sommer 989 mittels hlbstrukturierter eineinhlbstündiger Interviews eine nihtrepräsenttive Gruppe von zehn berufstätigen Erwhsenen beiderlei Geshlehts, Akdemiker und Fhhohshulbsolventen - drunter keine Mthemtiker, Nturwissenshftler und Lehrer - nh ihrer Mthemtikverwendung im beruflihen und privten Alltg: Trotz der grvierenden Untershiede der berüksihtigten Popultionen in Bildungsniveu, ktueller Tätigkeit, Alter und Ntionlität stimmen die Ergebnisse in erstunlihem Mße überein. Eine Essenz bietet der folgende Ktlog: Mthemtishe Inhlte und inhltsbezogene Qulifiktionen, uf die Niht-Mthemtiker nh Abshluss ihrer Ausbildung im Alltg bisweilen zurükgreifen: Arithmetisher Bereih. Anzhlbestimmungen; Beherrshung der Grundrehenrten je nh Komplexität,,im Kopf oder shriftlih); Rehnen mit Größen, Kenntnis der wihtigsten Mßeinheiten, Durhführung einfher Messungen (vor llem Zeit und Längen); Rehnen mit Brühen mit einfhen Nennern in nshulihen Kontexten; Rehnen mit Dezimlbrühen; Ausrehnen von Mittelwerten (rithmetishes Mittel); Prozentrehnung; Zinsrehnung; Shlussrehnung (,,Dreistz ); Durhführung rithmetisher Opertionen mit einem Tshenrehner; Grundfertigkeiten im Abshätzen und Übershlgen. Geometrisher Bereih: Kenntnis elementrer regelmäßiger Figuren (Kreis, Rehtek, Qudrt et.) und Körper sowie elementrer geometrisher Beziehungen und Eigenshften (Rehtwinkligkeit, Prllelität et.); Fähigkeit zur Deutung und Anfertigung einfher grphisher Drstellungen von Größen und Größenverhältnissen (Shubilder, Digrmme, Krten) sowie von Zusmmenhängen zwishen Größen mittels krtesisher Koordintensysteme. Selbstverständlih weist dieser Ktlog unshrfe Ränder uf. Es gibt viele mthemtiksheue Erwhsene, denen selbst Anwendungen der Prozent- und Zinsrehnung oder des Dreistzes - lso der vergleihsweise,,höhsten" in obigem Ktlog ufgeführten Mthemtik - große Shwierigkeiten bereiten, die sih deshlb in -Situtionen, in denen sih persönlihe Entsheidungen uf entsprehende Rehnungen stützen ließen, lieber uf ndere verlssen: etw uf den Anlgeberter ihrer Bnk oder den Verkäufer, die ihnen,,mthemtikfrei erklären, welhe Geldnlge oder welhes Produkt für sie m günstigsten sei. Umgekehrt gibt es einfhe Anwendungen der elementren Algebr (z. B. ds,,formelumstellen ), die in mnhen hndwerklihen und tehnishen Berufen eine gewisse untergeordnete Rolle spielen (vgl. Ltz 974, S.60). Generell ist festzustellen, dss der,,dreistz ls Berehnungsverfhren beim Vorliegen proportionler Zusmmenhänge dem (mthemtish elegnteren und llgemeineren) Verfhren des Aufstellens und Lösens einer lineren Gleihung von Niht-Mthemtikern vorgezogen wird. In den von mir durhgeführten Fllstudien-Interviews zeigte sih ds usnhmslos uh bei den Probnden, die ds Hntieren mit Gleihungen hndwerklih" durhus beherrshten. Dmit bestätigt sih zunähst einml: Ws n Mthemtik im Alltg verwendet wird, ist - gemessen m durhshnittlihen Gymnisil-, ber durhus uh m Huptshul-Curriulum - reht wenig. Und obwohl in den letzten Jhrzehnten immer mehr gesellshftlihe Bereihe einer intensiven Mthemtisierung unterzogen wurden - von der industriellen Fertigung und betrieblihen Plnung bis zum Mrketing, von der sttistishen Erfssung ller Lebensbereihe bis zu Whlprognosen, von der wissenshftlihen Forshung in trditionell mthemtiknhen Gebieten wie der Physik bis hin zur Linguistik und Geshihtswissenshft -, gibt es kum Hinweise uf einen Bedrfszuwhs mthemtisher Qulifiktionen im Alltg, der dieser zunehmenden Mthemtisierung entsprähe. Gnz im Gegenteil, die Verlgerung nspruhsvoller Mthemtik in Computer bzw. ufwendig konstruierte Softwre stellt dem Nutzer sheinbr problemlose,,werkzeuge zur Verfügung, denen von ußen die in sie investierte Mthemtik niht mehr nzusehen ist. Und die effektive Nutzung solher Werkzeuge setzt keineswegs komplexe mthemtishe Qulifiktionen vorus. Bei genuer Betrhtung des obigen Ktlogs wird ber ein weiteres Phänomen deutlih: Obgleih ds, ws im üblihen Mthemtikunterriht gelehrt wird, weit über ds lebensprktish Gebruhte hinusgeht, wird ein Teil der ngeführten Bsisqulifiktionen nur rndständig, beiläufig, j hlbherzig gefördert. Ds betrifft insbesondere: Fähigkeiten und Fertigkeiten im quntittiven Abshätzen, Übershlgen und Erkennen von Größenordnungen sowie die Interprettion und Hndhbung von Dten in Tbellen und grphishen Drstellungen. Beiden Bereihe gemeinsm ist: Entsprehende Qulifiktionen lssen sih niht ohne weiteres uf ds Abrbeiten von Algorithmen (d.h. eindeutige Ketten von Hndlungsshritten) zurükführen, wie sie für weite Teile der Shulmthemtik hrkteristish sind. Es lssen sih dem gemäß uh niht ohne weiteres Übungsufgben mit rezeptrtigen Lösungsshemt und eindeutigen Lösungen konstruieren. Weshlb in einem zeitgemäßen llgemeinbildenden Mthemtikunterriht diese Bereihe niht derrt vernhlässigt werden dürften, soll im übernähsten Abshnitt nher erläutert werden.

9 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 6 DEISSLER WS 03/04.4 Ein Szenrio für den künftigen Mthemtikunterriht? (us: Heymnn, H., Allgemeinbildung und Mthemtik) Erste Stufe: Für lle Shüler gemeinsm wird n der Grundshule und n jeder Shulform der SI bis zum Ende der Klsse 8 ein llgemeinbildender Mthemtikunterriht ngeboten. Dieser Unterriht ist verpflihtend und vermeidet konsequent Themen, die nur fhspezilistish motiviert sind. (Als fhspezilistish bezeihne ih Themen, die huptsählih deshlb niemnd us dem mthemtishen Stndrd-Curriulum zu streihen wgt, weil später im Rhmen des Stndrd-Curriulums wieder uf sie zurükgegriffen wird). Großer Wert wird in diesem gemeinsmen Unterriht gelegt uf Fitness für die mthemtishe Alltgskultur, uf exemplrishe Vertiefungen entsprehend den Überlegungen, die ih unter den Stihworten Kulturelle Kohärenz, Weltorientierung und Kritisher Vernunftgebruh nstellen werde, sowie uf eine Unterrihtskultur, wie sie in späteren Abshnitten dieses Kpitels beshrieben wird. Zweite Stufe. Ab Klsse 9 setzt dnn eine äußere Differenzierung ein: - Der Mthemtikunterriht für diejenigen Shülerinnen und Shüler, die sih die Whl eines mthemtikintensiven Berufs offen hlten wollen, die mthemtishe Neigungen zeigen und von ihren Lehrern (?) ls hinreihend mthemtish befähigt eingeshätzt werden, vertieft gezielt fhlihe Aspekte. Unter nderem wird ds Hndwerkszeug des Mthemtikers triniert (von Termumformungen bis zum Beweisen), und es werden systemtish Shgebiete behndelt, die für die,,niht- Mthemtiker" niht mehr obligtorish sind, die ber ls Vorussetzung für eine intensivere Beshäftigung mit Mthemtik ls bedeutsm erhtet werden, z.b. qudrtishe Gleihungen, Trigonometrie, Potenzen und Logrithmen. - Für lle nderen Shüler wird der llgemeinbildende Unterriht unter den generellen Zielsetzungen fortgesetzt, die bereits für die Klssen bis 8 beshrieben wurden - selbstverständlih unter Berüksihtigung der gewhsenen kognitiven Fähigkeiten und des veränderten Interessenhorizonts der nun 4- bis 7-jährigen. Deskriptive Sttistik könnte eine größere Rolle spielen ls im herkömmlihen Unterriht. Denkbr wäre uh ein kretiver Umgng mit neuen Computer-Werkzeugen wie der Tbellenklkultion und Geometrie-Softwre. Bei diesem Unterriht für die Mehrheit wäre durhus Rum (bei entsprehender Leistungsfähigkeit und Interesse der Lerngruppe) für Wgensheinshe Vertiefungen innermthemtish und mthemtikhistorish bedeutsmer Themen, für Untersuhungen der Stzgruppe des Pythgors oder zhlentheoretisher Phänomene, für die Beshäftigung mit niht-lineren Funktionen im Zusmmenhng mit interessnten Anwendungen. Die Untershiede zwishen den Differenzierungsniveus könnten dbei n den vershiedenen Shulformen untershiedlih definiert werden. Dritte Stufe. In der gymnsilen Oberstufe shließlih werden die Shülerinnen und Shüler, die ds Abitur nstreben, konsequent getrennt unterrihtet, etw den heutigen Grund- und Leistungskursen entsprehend. Inhltlih bestehen hingegen deutlihe Untershiede zur gegenwärtigen Prxis: - Die Grundkurse neuer Art werden niht länger ls,,verdünnte Leistungskurse geführt, sondern koppeln sih weitgehend vom herkömmlihen Oberstufenurriulum b: Anlysis und Linere Algebr sind niht mehr obligtorish. Sttt dessen steht eine Vertiefung nwendungs- und lltgsorientierter Mthemtik im Vordergrund, vorwiegend im Zusmmenhng mit stohstishen Themen und unter Einbeziehung des Computers ls mthemtishes Werkzeug. - Auh in den Leistungskursen, die inhltlih niht gnz so weitgehend umgestltet werden müssten, wäre eine Umgewihtung zugunsten stohstisher Themen erwägenswert. Hier würde llerdings dem Ziel, ngemessene Vorussetzungen für ds Hohshul- oder Fhhohshulstudium von Mthemtik im Hupt- oder Nebenfh zu shffen, Priorität zukommen.

10 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 7 DEISSLER WS 03/04 Arithmetik im 7.Shuljhr: Rtionle Zhlen. Ein Spiel zur Einführung: Sldix Sldix Spielnleitung: Spielerzhl: -4. Benötigt werden 5 gleihrtige Spielsteine ( Knöpfe, Männhen,...), von denen der erste Stein uf den shwrzen Punkt gesetzt wird und die übrigen uf die Spieler gleihmäßig verteilt werden. Reihum werden Steine uf die Ekpunkte der Dreieke gesetzt. Wer m Zug ist, muss setzen. Werden bei einem Zug eines Spielers ein oder mehrere Dreieke gnz eingeshlossen, so erhält dieser Spieler die entsprehende Punktzhl uf sein Konto gutgeshrieben oder bgezogen. Sieger ist, wer m Spielende die höhste Punktzhl ht. Abänderung eines Spiels us Mthemtik Lehren, Heft 43, Korrektur in Heft 44, bzw. Smmelheft Mthemtik Lehren, Spiele

11 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 8 DEISSLER WS 03/04 Auswertung zu Sldix: Welhe Vorerfhrungen sind nötig? Wozu knn ds Spiel dienen? Welhe Rehenopertionen und welhe Opernden treten uf? Wie lnge duert ein Durhgng (ohne Erklärung der Regel, ohne Zeit für ds Ausgeben und Einsmmeln des Spielmterils)?

12 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 9 DEISSLER WS 03/04. Ein Spiel zu negtiven Zhlen mit dem Tshenrehner: Ktz und Mus Ktze und Mus Spieler A (Ktze) B (Mus) Beide legen zuerst einen Zhlbereih um 0 herum fest. z.b. von -0 bis +0. A muss versuhen B s Zhl in höhstens 0 Versuhen zu finden Sonst ist ihm die Mus entkommen. Er nennt B eine positive oder eine negtive Zhl. B denkt sih eine Zhl us diesem Bereih und gibt sie uf seinem TR ls konstnten Summnden (und zur Siherheit uh in den Speiher) ein. A notiert seine Zhl und die Antwort und nennt B eine weitere Zhl. B gibt sie uf seinem Rehner ein und sgt nur, ob ds Ergebnis (die Summe) plus oder minus ist. B gibt sie wieder ein und sgt ob ds Ergebnis plus oder minus ist. Wenn ds Ergebnis,,Null" ist, ht die Ktze die Mus gefngen. Rollentush. Beispiel: Zhlenbereih von 0 bis +0 B denkt sih 3 und gibt in den TR ein oder 3 ± + INV K 3 ± + + A nennt Zhl und notiert B s Antwort je nh Rehnertyp Ansge Antwort Eingbe von B Anzeige von B -5-5 ± = = + - = - +3 getroffen 3 = 0 Es werden mehrere Runden gespielt. 3 Aus: Lörher/Rümmele, Didktik des Tshenrehners

13 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 0 DEISSLER WS 03/04.3 Ein Spiel zur Addition und Subtrktion: Ds Kontospiel 4 Zu Beginn erhält jede SpielerIn 0 Gutsheine und 5 Shuldsheine. Als Gutsheine dienen rote Legosteine oder Kärthen, ls Shuldsheine dienen blue Steine oder Kärthen. In der Mitte liegen zwei Stpel von Kärthen mit Anweisungen. Auf jeder Krte des einen Stpels steht eine gnze Zhl von -0 bis +0. Auf jeder Krte des nderen Stpels steht + oder -. Die SpielerIn, die n der Reihe ist, nimmt von den beiden Stpeln eine Krte. Es gewinnt, wer m Shluß den höhsten Kontostnd ht. Jede Kontobewegung wird in einer Tbelle notiert. Beispiel: bedeutet,,nimm 7 Gutsheine uf." bedeutet,,nimm 7 Shuldsheine uf." bedeutet Gib 7 Gutsheine b." bedeutet,,gib 7 Shuldsteine b." lter Kontostnd Kontobewegung neuer Kontostnd.Runde +5 -(+8) -3.Runde -3 +(+) - 3.Runde - +(-5) +3 usw..4 Aus der Geshihte der negtiven Zhlen 5 : Es ht sehr lnge geduert, bis negtive Zhlen ls sinnvolle Zhlen nerknnt wurden. Dies zeigen die folgenden Beispiele: Altertum Bbylon: negtive Zhlen beknnt, ber es ist unklr, ob mn dmit gerehnet ht. Chin vor 000 Jhren: negtive Zhlen ddiert und subtrhiert. Aus dem 9.Jhrhundert: Sttt 3 + (-7) = -4 D der Betrg des Nihts größer ist ls der des Sein, überwindet die nihtexistierende 7 die existierende 3 und verzehrt sie durh ihr Nihtsein, und es bleiben von ihr selbst 4 nihtexistierende Zhlen 3.Jrhundert: Leonrdo von Pis (gennnt Fiboni) beshreibt ein Gleihungssystem negtiven Lösungen. Er beshreibt Rehenregeln für negtive Zhlen: Es ist noh festzustellen, dss wenn mn Abzuziehendes mit Abzuziehendem multipliziert, ds Multipliktionsergebnis vergrößernd wirkt,... 7.Jhrundert: Blise Psl Ih kenne Leute, die niht begreifen können, dss Null übrig bleibt, wenn mn von Null Vier wegnimmt John Wllis deutet ber etw zur gleihen Zeit negtive Zhlen uf dem Zhlenstrhl ls Längen in vershiedenen Rihtungen. In der Folge werden negtive Zhlen immer weiter kzeptiert, bis sie im 9. Jhrhundert endgültig ls rihtige Zhlen nerknnt wren. 4 nh: Denken und Rehnen 7, Westermnn-Verlg, S.0/0 5 Aus Mlle,G., Hllo!, mthemtik lehren, Heft 76. Sequenz über die Einführung des Rehnens mit gnzen Zhlen, und Shnittpunkt 7, Klett 996.

14 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE DEISSLER WS 03/04 Es ist niht verwunderlih, dss es so lnge geduert ht, bis mn die negtiven Zhlen nerknnt ht: Die meisten Probleme der Alltgsmthemtik lssen sih mit positiven Zhlen lleine lösen, wenn mn mit zwei Sorten von Größen rehnet: Sttt von negtivem Guthben spriht mn von Shulden, sttt von negtiven Temperturen von Temperturen unter Null usw. Erst wenn mn systemtish Zusmmenhänge drstellen will, ohne Flluntersheidungen vornehmen zu müssen, zeigt sih die Nützlihkeit des Konzepts, nur eine Sorte von Zhlen zu Grunde zu legen, nämlih die Menge der gnzen Zhlen bzw. der rtionlen Zhlen..5 Die negtiven Zhlen im Unterriht des 7.Shuljhres.5. Vorkenntnisse Kenntnisse über Sklen mit negtiven Mrkierungen (Tempertur, Höhe über/unter Meeresspiegel, Minuspunkte im Spiel, Guthben und Shulden wir sind im minus, Kellergeshosse Rum 3, Zeiten vor Chr.) Opertor in der Grundshule in der Form 3.5. Modelle zur Einführung und zum Rehnen mit negtiven Zhlen Die wesentlihen Shritte bei der Behndlung der rtionlen Zhlen: Erweiterung des Zhlenrums der positiven rtionle Zhlen (6.Shj.) zum Zhlenrum der rtionlen Zhlen mit Hilfe von Sklen. Ableseübungen, Ordnen n der Zhlengerden, Einzeihnen von Werten (uh Zwishenwerte shätzen). Betrg und Gegenzhl einer Zhl, Vorzeihen (uh uf dem TR). Erhöhen und erniedrigen von Sklenwerten um gewisse Beträge (z.b. Erhöhung/Erniedrigung der Tempertur um 5 ) in der Form Sklenwert ± Änderung = neuer Sklenwert. So nur Addition und Subtrktion von positiven Werten. Addition und Subtrktion rtionler Zhlen. Shwierig dbei Subtrktion negtiver Zhlen. 7 + (- ) + (-3 ) Tempertur: Addition über Berehnung von Mittelwerten 3, Subtrktion über Temperturuntershiede. Guthben/Shulden, Kontostände: Addition über Gutshrift und Lstshrift, zur Subtrktion noh Rükbuhen von Gutshriften und Lstshriften nötig (! Kontospiel, etws künstlihe Sprehweisen wie Lstshrift rükbuhen oder Shulden wegnehmen ) Pfeile uf dem Zhlenstrhl: Zhl und Gegenzhl ls entgegen gerihtete Pfeile; Addition: Pfeile neinnder hängen; Subtrktion: Addition der Gegenzhl. Rehenstreifen: Entspriht den Pfeilen uf dem Zhlenstrhl. Permnenzreihen: 5 + (+4) = 9, 5 + (+) = 7, 5 + (+0) = 5, 5 + (-) = 3, 5 + (-4) =, 5 - (+4) =, 5 - (+) = 3, 5 - (+0) = 5, 5 - (-) = 7, 5 - (-4) = 9. Vermeidet künstlihe Sprehweisen, ist ber wenig hilfreih ls Gedähtnisstütze, d niht mit inhltlihen Vorstellungen verbunden. Subtrktion ls Umkehropertion der Addition: +5-(-) = +7 d 7 + (-) = +5, -5-(-) = -3 d -3 + (-) = -5 Modell Kner : siehe Ein ungewöhnlihes Modell. Verziht uf verquere Erklärungen wie gehe die Treppe bwärts hoh. Multipliktion rtionler Zhlen. Guthben/Shulden, Kontostände: Ein Fktor ls Opertor verstnden, Multipliktion mit positiver Zhl ist wiederholte Addition, mit negtiver Zhl wiederholte Subtrktion ; 5 DM (-3) heißt 5 DM dreiml bziehen usw. Pfeile uf dem Zhlenstrhl: Multipliktion mit positiven Zhlen ls Strekungsopertion, mit negtiven Zhlen ls Spiegelung mit Strekung. Permnenzreihen: 5 (+3) = 5, 5 (+) = 0, 5 (+) = 5, 5 0 = 0,5 (-) = -5, 5 (-) = -0 usw. für + ml, 4 (-3) = -, 3 (-3) = -9, (-3) = -6, (-3) = -3, 0 (-3) = 0, (-) (-3) = +3, (-) (-3) = +6, usw. für - ml -, Division rtionler Zhlen. Kum einsihtige, inhltlih deutbre Modelle für lle Fälle. Division ls Verteilen : Fälle plus durh plus und minus durh plus in diesem Modell gut deutbr. Division ls Messen : Fälle plus durh plus und minus durh minus gut deutbr, z.b. ls wie oft sind 30 DM Shulden in 0 DM Shulden enthlten?. (-3) Umkehropertion zur Multipliktion: Wohl m einsihtigsten +5 : (-3) = -5, d (-5) (-3) = +5 ist :(-3)

15 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE DEISSLER WS 03/04 Permnenzreihen wie bei der Multipliktion für + : -, wenn - : - shon erklärt ist, z.b. durh Messen (niht gut geeignet): (-6) : (-) = +3 (-4) : (-) = + (-) : (-) = + 0 : (-) = 0 (+) : (-) = - (+4) : (-) = - (+6) : (-) = Verbindung der vier Rehenrten ( Rehenvorteile : Kommuttivgesetze, Assozitivgesetze, Distributivgesetz). Strtegien zur Berehnung von einfhen Summen und Differenzen (ohne Klmmern) : (-)+(-7)-(-5)-(+4) =?.Strtegie: Gesmten Term in Summe von positiven und negtiven Zhlen umwndeln, dnn lle positiven ddieren, lle negtiven ddieren und dmit uf Summe von zwei rtionlen Zhlen zurükführen (formler ls die. Strtegie). Beispiel: (-)+(-7)-(-5)-(+4) = (-)+(-7)+(+5)+(-4) = (-)+(-7)+ (-4)+(+5) = -(+7+4)+(+5) = (-3)+(+5) = -8.Strtegie: Gesmten Term in Summe und Differenz von positiven Zhlen umwndeln, dnn lle zu ddierenden ddieren, lle zu subtrhierenden ddieren und uf Differenz von zwei positiven rtionlen Zhlen zurükführen. Beispiel: (-)+(-7)-(-5)-(+4) = -(+)-(+7)+(+5)-(+4) = 5 - (+7+4) = 5-3 = Shülerfehler beim Rehnen mit negtiven Zhlen Verwehseln von Addition und Subtrktion mit Multipliktion: 3 4 = 7 wegen minus ml minus gibt plus Minuszeihen vor Klmmern (3x+4) = -3x +4 Flshe Gegenopertion bei Äquivlenzumformungen: -x = 8 + x = Verwendung von negtiven Zhlen in späteren Shuljhren Algebr: Termumformungen, Lösen von Gleihungen und lineren Gleihungssystemen Koordintensystem: Systemtishe Drstellung von Funktionen; negtive Steigung von lineren Funktionen (8.Shj.), qudrtishe Funktionen mit negtivem Formfktor Potenzen: negtive Exponenten (9.Shj.), Zhldrstellung uf dem Tshenrehner und Computer in wissenshftliher Nottion (Si), z.b..3 EE-5 Geometrie: zentrishe Strekung mit negtivem Strekfktor (9.Shj.) Trigonometrie: trigonometrishe Funktionen bei Winkeln im Einheitskreis (0.Shj.) Prozentrehnen: prozentule Zunhme und Abnhme einheitlih behndelt : positive und negtive Änderungsrten (8.Shj.)

16 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 3 DEISSLER WS 03/04.6 Ein ungewöhnlihes Modell From bstrt to onrete Tehing negtive numbers by Peter Kner On the BBC omputer progrmme, there ws n expert tlking bout using the omputer to write musi. "There re three prmeters for musil sounds, pith, durtion nd volume." He went on to explin tht volume is entered on 5-point sle, -5 to 0. "-5 gives the loudest. lt's bit odd but you get used to it." This seemed to me to be the zniest ever in long time of lunti pplition of negtive numbers. l n only ssume tht the progrmmer hd his own resons or perhps hd never herd of p, pp, ppp, f, ff,fff. Negtive numbers hve lwys bffled the mjority of hildren, espeilly the onrete minded nd they hve wthed with onfusion the ttempts of their tehers to prove the properties of negtives by referene to the rel world. These pplitions suh s going upstirs downwrds or to the right leftwrds hve ppered eentri to sy the lest. The ft is tht the world gets by very omfortbly without negtives by the use of few pproprite signl words suh s below (4 degrees below zero) or overdrft' (Der sir, I regret to inform you tht your overdrft hs risen by further 00, in spite of...et ). Even when the redoubtble number line is used s mens of explining negtives it is not ler why right should be positive nd left negtive. Anything tht is done with grph n be done with its mirror imge so hoie of left or right is only mtter of onvention. It is not even vitl to hve "up" s positive nd "down" s negtive, temperture for exmple gets lower s you go higher in the tmosphere. (Perhps this is why the progrmmer hose his weird sle... lt is extremely negtive to hve mximum volume of sound blring from the speker output of omputer, espeilly if the omposition is by omputer frek!). There is, thnk goodness, ompletely bstrt wy of tehing negtive numbers whih rrely fils to interest hildren nd lmost lwys gives them relible tehnique for deling with negtive numbers when they do our in genuine pplition. The ide strts from the ft tht zero is not indivisible but n be divided in innumerble wys into pir of of opposites. Perhps seprted or split would be better words to use thn divided. This splitting of zero provides the most vluble introdution nd n be shown digrmmtilly s split zero with the prts lbelled + nd. + split A three dimensionl model ould be mde from oonut shells or, if you wnt n nient ulturl symbol to represent the reltionship between positive, negtive nd zero, wht bout the yin yng, the eternl symbol of mle nd femle. The tehniques of ddition nd subtrtion follow in the simplest possible wy s I hve shown in the exmples. ADDITION = +8 obvious = -8 obvious + Subtrtion 5 3 = + st step = - The omplete zeros n be rubbed out rther thn rossed out nd step 3 rd step 3 5 = - 5 (-3) = 8 follows the bove proedure but this time three zeros re introdued so tht 3 n be subtrted. st step nd step 3 rd step Three re tken wy or rubbed out. Obvious! This is the key exmple. Two extr zeros re introdued nd split so tht 5 n be tken wy. If you need further illustrtion of this proess, smll topologil distortion produes the soiologil phenomenon of men nd women looking for prtners t prty. 5 (-3) beomes the story... there re five spre men t prty, three women go home so now there re eight spre men t the prty. (Very sd!) Men Women Historins tell us tht negtive numbers were developed reltively lte in the ourse of mthemtis nd even now mny tehers would hesitte before giving rigorous proof of the well known rule the produt of two negtives is positive. In ft, the proof is extremely simple yet subtle. One is reminded of the wy Mozrt melody n hve simpliity nd t the sme time rry gret emotion nd be very diffiult to ply.

17 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 4 DEISSLER WS 03/04 3 Algebr 3. Algebr im Überblik: Fhlihe Grundlgen 3.. Zentrle Leitbegriffe Die folgenden Begriffe sind zentrle Bestndteile der Shullgebr und werden im Lufe des Curriulums uf immer höherer Stufe behndelt und vertieft. Vriblen! Aspekte Terme Aufbu, Definitionsbereih Äquivlenz von Termen (Definition semntish, d.h. inhltlih) Äquivlenzumformung von Termen (syntktish: forml, nh Regeln) Gleihungen Lösen von Gleihungen Äquivlenz von Gleihungen bzgl. Grundmenge (Definition semntish: inhltlih) Äquivlenzumformungen (syntktish: forml, nh Regeln) Funktionen Allgemeiner Funktionsbegriff Spezielle Funktionstypen Proportionlität, Antiproportionlität ( y = m x, y = ) x linere Funktionen (genuer: ffine Funktionen) qudrtishe Funktionen trigonometrishe Funktionen Exponentilfunktion mit gnzzhligen Exponenten (implizit bei Zinseszins, Whstum und Zerfll: y=k 0 q n ) 3.. Fhwissenshftlihe Grundlgen: Vriblen In der Mthemtik sind Vriblen Symbole für Objekte, in der Algebr der Shule meist für Zhlen. In der Informtik stehen Vriblen für Speiherplätze für Dten vershiedener Typen wie Zhlen, Wörter oder komplexerer Gebilde. Terme Terme sind Ausrüke, die us Vriblen, Zhlen(nmen), Opertionszeihen und Klmmern nh festen Regeln ufgebut sind. Opertionszeihen sind dbei die Zeihen für die Grundrehenrten +, -,, : sowie weitere Zeihen wie Bruhstrihe, Wurzelzeihen, Qudrtzeihen, Zeihen für die Potenzopertion hoh und weitere Funktionen. Ersetzt mn lle in einem Term vorkommenden Vriblen, so bezeihnet ein Term ein Objekt. Beispiele für Terme: 5x, 3 + 4, + b + b, x 3 ( x + 4) Zu jedem Term gehört ein größter Bereih von Werten für die Vriblen, für die der Term definiert ist. Diesen Bereih nennt mn den Definitionsbereih des Terms. Alle bis uf den letzten Term der Beispiele sind für lle Einsetzungen der Vriblen definiert, der letzte Term nur für x 4 und 3. Flls nötig, knn mn diesen Bereih noh weiter einshränken. Bemerkungen: Oft werden zusätzlihe Regeln zur Abkürzung von Termshreibweisen benutzt: Klmmerersprnis durh Punkt vor Strih, Weglssen des Mlpunktes in eindeutigen Fällen usw. In der Informtik (z.b. Tbellenklkultion) kommen komplexe Terme mit vielen weiteren Funktionszeihen vor, vielfh uh niht numerishe Terme (z.b. für Zeihenketten). Äquivlenz von Termen Definition: Zwei Terme t und t heißen äquivlent (in Zeihen oft ls t ~ t notiert) wenn () ihre Definitionsbereihe übereinstimmen und () die Werte von t und t für lle zugelssenen Einsetzungen der Vriblen übereinstimmen

18 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 5 DEISSLER WS 03/04 Diese Definition nimmt Bezug uf die Bedeutung der Opertionen (sie ist lso semntisher Ntur), von Umformungsregeln muss dbei niht gesprohen werden. Allerdings gibt diese Definition keinen Hinweis druf, wie die Äquivlenz von zwei Termen nhgewiesen werden könnte. Für die Shule sollte dieser Aspekt möglihst lnge im Vordergrund stehen, d er intuitiv erfßt werden knn und Äquivlenz immer wieder ufs neue unmittelbr eingesehen werden knn. Beispiele: Prüfen Sie uf Äquivlenz () (+b) und + 6b (b) x und x () (-)(-) und -3+ (d) x x + und x- (e) sin x und sin(x) Mn knn von einer Termumformung sprehen, wenn ein Term t durh einen äquivlenten Term t ersetzt wird. Dbei knn mn inhltlih rgumentieren, ohne Bezug uf Regeln. Es knn vorkommen, dss die Werte von zwei Termen t und t niht für lle Werte von Vriblen us den Definitionsbereihen von t und t übereinstimmen, dss dies ber für Vriblenwerte us einer eingeshränkten Grundmenge G gilt. Mn sgt dnn, dss t und t äquivlent bezüglih der Menge G sind. Erläutern Sie dies n den Beispielen oben. Termumformungen syntktish (forml) Um shnell und einfh die Äquivlenz von Termen nhzuweisen, suht mn ein System von (formlen) Regeln, die es erluben, zu einem gegebenen Term äquivlente Terme zu finden. Solhe Regeln können dnn uh in einem Computer zur Umformung von Termen benutzt werden (! Computer Algebr Systeme, z.b. DERIVE uf dem PC oder Tshenrehner TI 9). Probleme dbei:. Jede Regelnwendung uf einen Term t muss einen äquivlenten Term t ergeben.. Jeder zu einem gegebenen Term t äquivlente Term t sollte durh eine wiederholte Anwendung von Regeln us t hervorgehen. Während () meist einfh nhzuweisen ist, ist es niht immer einfh, für ein Regelsystem zu zeigen, dss () erfüllt ist. Verwenden Sie ein System von Regeln, um Terme äquivlent umzuformen? Welhes System von Regeln verwenden Sie (und uh der LP), um Terme umzuformen, wenn nur Zeihen für die Grundrehenrten +, -,, : vorkommen? Es zeigt sih, dss meist einige Regeln verwndt werden, dzwishen ber uh wieder uf die inhltlihe Definition zurükgegriffen wird. Gleihungen Eine Gleihung ist ein Ausdruk der Form t = t, wobei t und t Terme sind. Eine Gleihung ist eine Aussgeform. Ersetzt mn lle in einer Gleihung vorkommenden Vriblen durh konkrete Zhlen us den Definitionsbereihen der Terme, so erhält mn eine Aussge, die whr oder flsh sein knn. Der Definitionsbereih einer Gleihung ist der Durhshnitt der Definitionsbereihe der beiden vorkommenden Terme. Ersetzt mn die in einer Gleihung vorkommenden Vriblen v, v,...,v n durh ein n-tupel von Werten (k, k,...,k n ) us dem Definitionsbereih der Gleihung und ist die Gleihung dnn erfüllt (whr), dnn heißt (k, k,...,k n ) eine Lösung der Gleihung. Die Menge ller Lösungen heißt Lösungsmenge der Gleihung. Meist betrhtet mn nur den Fll n=. Definition: Zwei Gleihungen t = t und t = t heißen äquivlent wenn () ihre Definitionsbereihe übereinstimmen und () die Lösungsmengen der beiden Gleihungen übereinstimmen, d.h. jede Einsetzung der vorkommenden Vriblen, die eine Gleihung erfüllt, erfüllt uh die ndere. Oft sind Gleihungen nur äquivlent, wenn mn die zugelssenen Einsetzungen der Vriblen uf eine Grundmenge G beshränkt. Mn spriht dnn wieder von Äquivlenz bezüglih der Grundmenge G. Auh diese Definition ist wieder inhltlih (semntish) gegeben, sie bezieht sih niht uf irgendwelhe Umformungsregeln. Die Zulässigkeit von Regeln zur Äquivlenzumformung wird wiederum inhltlih begründet. Äquivlenzumformungen syntktish (forml) Auh für Gleihungen suht mn ein System von (formlen) Regeln, die es erluben von einer gegebenen Gleihung zu einer äquivlenten überzugehen. Auh diese Regeln können wieder in einem Computer zur Umformung von Gleihungen benutzt werden.

19 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 6 DEISSLER WS 03/04 Wiederum muss gelten:. Jede Regelnwendung uf eine Gleihung muss eine äquivlente ergeben.. Jede zu einer gegebenen Gleihung äquivlente Gleihung sollte durh eine wiederholte Anwendung von Regeln us der ersten hervorgehen. Während () wieder meist einfh nhzuweisen ist, ist es oft shwer, für ein Regelsystem zu zeigen, dss () erfüllt ist. Nennen Sie die Regeln, die Sie benutzen, um Gleihungen äquivlent umzuformen. 3. Vriblen und Vriblenspekte Vriblenspekt : Ws ist eine Vrible? Bedeutung (semntish) Forml (syntktish). Gegenstndsspekt x ist eine Zhl Für welhe Zhl x ist x+5=3x-5?. Einsetzungsspekt Für x wird eine Zhl eingesetzt Löse die Gleihung x+5=3x-5.3 Klkülspekt Mit x wird nh gewissen Regeln operiert Termumformung nh Regeln Gleihungslösen nh Regeln Objektsprhe Metsprhe Vriblenspekt : Woruf bezieht sih eine Vrible?. Einzelzhlspekt Lösen von Gleihungen x steht für eine spezielle Zhl, die ih (noh) niht kenne Prmeter (beliebig, ber fest). Bereihsspekt.. Simultnspekt Alle Zhlen eines Bereihs gleihzeitig: "Formeln" b, IR ( + b) = + b + b.. Veränderlihenspekt dynmish y= x +, x IR, x "durhläuft" IR Veränderlihe x Vorerfhrungen der Shüler mit Vriblen vor deren expliziten Behndlung im 6.Shuljhr: Wortvriblen der Umgngssprhe ein Mnn, eine Zhl, Pltzhlter, Leerstellen in Termen und Gleihungen seit der Grundshule ( 3 +5 =, 3 + =7, 3 ) Buhstben ls Pltzhlter in Zhlenrätseln

20 DER LEHRPLAN UND SEINE INHALTE 7 DEISSLER WS 03/04 Vorbereitung zum Vriblenbegriff: Zhlenrätsel. K L E I N. H A U S + K L E I N + H A U S W I N Z I G S T A D T 3. E I N S 4. V A T E R E I N S + M U T T E R E I N S E L T E R N E I N S + E I N S F Ü N F Vershiedene Buhstben sollen vershiedene Ziffern bedeuten! 3.3 Ein Spiel zu Termen: Rte meine Regel 6 Ziel des Spiels: Durh Vergleih von Eingbe- und Ausgbezhlen die von einem Mitspieler erdhte Regel errten. Mteril: Tshenrehner für den Experten, Ppier zum Notieren der Eingbe- und Ausgbezhlen. Spielregel mit Beispiel. Ein Mitspieler (Experte) denkt sih eine Regel us, die sih uf lle Zhlen nwenden läßt. Die übrigen Mitspieler versuhen diese Regel zu errten, indem sie reihum Zhlen nennen, zu denen der Experte jeweils eine neue Zhl sgt, die sih nh Anwendung der Regel uf die Zhl ergibt. Jeder Mitspieler shreibt lle Zhlen der Frger mit den Antworten des Experten in eine zweispltige Liste und versuht us dem Vergleih die Regel zu ershließen. Wenn jemnd glubt, die Regel gefunden zu hben, gibt ihm der Experte, bevor er die Regel nennt, zwei Zhlen zur Berbeitung. Wenn die Antwort so usfällt, wie sie sih der Experte gedht ht, drf er die Regel nennen. Flls es die rihtige Regel ist, wird dieser Spieler neuer Experte, ndernflls wird mit dem bisherigen Experten weiter gespielt. Beispiele: Frger: ,8 x Experte: 8,5-0 -,5 48,5-6,5 -, Regel y = x:-,5 Frger: ,8 x Experte: Regel y = Hunderterziffer von x Frger: ,8 x Experte: 0,8 0,95 0 0,666. ERROR 0,99, -0,5 Regel y = -/x Frger: x Experte: Regel y = Summe der letzten gennnten Zhlen Vrinten: Nur bestimmte Regelrten zulssen: z.b. nur Rehenrt (5. Shuljhr) oder nur Rehenrten (7. Shuljhr) oder Division muss dbei sein (8. Shuljhr) oder Qudrt muss dbei sein (9. Shuljhr). Vorbereitung: Klären, wie mn Regeln ufshreiben knn; dbei Möglihkeit, uf eine lgebrishe Form ls Abkürzung eines verblen Shverhlts hinzurbeiten: z.b. gennnte Zhl verdoppeln und 3 dzuzählen wird kürzer +3 oder x +3. Spieleinführung: Ein Spiel mit der Klsse vorspielen, dbei Liste n der Tfel notieren, um zu zeigen, wie ufgeshrieben wird und wie mn m Shluß die Regel hinshreiben knn. Lernziele: Experte: Sih vershiedene Regeln usdenken; Zhlen einsetzen; Lüken im Definitionsbereih erkennen; Gleihwertigkeit von Termen erkennen, wenn Frger die gleihe Regel in nderer Form formuliert ht. Frger: Zusmmenhänge zwishen Eingbe- und Ausgbezhl untersuhen; vershiedene Rehnungen testen; Muster und Gesetzmäßigkeiten erkennen, geeignete Testzhlen usdenken (besondere Rolle der 0); Hypothesen formulieren; Hypothesen testen; Hypothesen verwerfen; Umgng mit Vriblen: Gesetzmäßigkeiten formulieren; Vrible einsetzen. Strtegie: Bei bestimmten Regeln knn mn shließlih durh Nennung von Zhlen die Regel finden. Stellung im Unterriht: In llen Phsen denkbr (ls Vorbereitung - begleitend - oder ls Nhbereitung). Zwei große Vorteile des Spiels: einfhe Durhführbrkeit und ständige Erweiterungsfähigkeit. 6 Quelle: Dine Resek, Berkeley (973 mündlih n Herrn Lörher)