Fallunterscheidungen. 1. Grundsätzliches und erste Beispiele. Arthur Krämer

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1 8 Arthur Krämer Fllunterscheidungen Beim Fllunterscheiden hndelt es sich um eine Vorgehensweise, die bereits im Alltg gebräuchlich ist, wie mn etw n Termini wie "flls", "je nchdem", "sonst", "entweder...oder" usw. sehen knn, die dnn uch in die Wissenschftssprche übernommen werden. Allerdings ist im Alltg zu beobchten, dß sich die dbei ergebenden verschiedenen Möglichkeiten nicht immer gegenseitig usschließen müssen. Auch in der Mthemtik ht ds fllweise Vorgehen seinen Pltz, obwohl einheitliche Argumenttionen i.. mehr Gefllen zu finden scheinen. Verschiedene Möglichkeiten einer gegebenen mthemtischen Grundsitution lssen sich eben oft nicht geschlossen drstellen. Im übrigen hndelt es sich bei der Fllunterscheidung um ein llgemeines wissenschftliches Arbeitsverfhren, ds durchus nicht nur uf die Mthemtik eingeschränkt usgeübt wird. Die llgemeine Grundsitution knn dbei immer nur über einen besonderen Fll, ls einen der möglichen Fälle relisiert werden, wobei die verschiedenen Fälle einnder logisch usschließen. 1. Grundsätzliches und erste Beispiele Durch ds Zerlegen eines Problems in Teilprobleme (siehe in der Grfik TP1, TP, usw.) knn die Komplexität verringert werden, wodurch die Lösung vielleicht leichter gefunden werden knn; llerdings nimmt mn ddurch eine Vermehrung des Arbeitsufwndes in Kuf. Mn knn dbei mit dem einfchsten Fll beginnen. Mnchml lssen sich dnn hierbei gewonnene Ergebnisse beim Lösen der weiteren Fälle verwenden. Zum Schluß werden die gewonnenen Teillösungen (in der folgenden Grfik siehe TL1, TL, usw.) zur Gesmtlösung zusmmengefßt. Problem P geht über in Lösung Vorerfhrungen bezüglich des Fllunterscheidens sind beim Schüler zur Genüge vorhnden, uch wenn er sie nicht unbedingt dmit verbindet: - Zuerst lernt er gleichnmige Brüche ddieren, nschließend erst ungleichnmige. Hier hndelt es sich um ein typisches Vorgehen:

2 83 Zunächst wird ein Spezilfll gelöst, uf den mn dnn die nderen Fälle zurückführt. - Er lernt Terme uf ihrer Grundmenge zu unterscheiden, je nchdem sie größer, kleiner oder gleich null sind. - Betrchtung der Lgebeziehungen zweier Gerden: identisch, echt prllel, schneidend oder windschief. Beknntschft mit Fllunterscheidungen mcht der Schüler uch - beim Definieren: : =, flls 0 oder : = -, flls < 0. - in Aussgen: Die Verknüpfung zweier ebener Spiegelungen n den Gerden g und h ist eine Trnsltion, flls g und h prllel sind, sonst eine Drehung. - beim Beweisen, ws llerdings viele Schulbücher unterschlgen: So muß mn z. B. beim Peripheriewinkelstzbeweis mit den Bezeichnungen der nebenstehend gezeichneten Figur Fälle unterscheiden, je nchdem ob M innerhlb oder ußerhlb des Dreiecks oder uf einer Seite des Dreiecks ABC liegt. Durch vollständige Fllunterscheidung - wird verhindert, dß unvollständig rgumentiert wird. - es werden Zusmmenhänge zerlegt und leichter zugänglich. - werden Gednken geordnet. - werden Probleme trnsprenter gemcht. Eine Fllunterscheidung ist nur dnn sinnvoll, wenn sie vollständig ist, d. h. wenn mn keinen zu behndelnden Fll vergessen ht. Wie findet mn nun eine solche? Verfhren zum Auffinden vollständiger Fllunterscheidungen: Im llgemeinen geht mn in der Mthemtik von einer sogennnten zweiwertigen Logik us, d. h. ds logische Gegenteil von whr ist flsch. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Deshlb werden i.. Fllunterscheidungen mit dem logischen Gegenteil ngelegt. D. h. mn ht einen Fll erknnt und bekommt dnn durch sein logisches Gegenteil den dzugehörigen zweiten Fll. Wie die folgenden Beispiele zeigen, knn es sein, dß mn vom. Fll zunächst nur einen Teil lösen knn. Mn erhält so im Fll einen Unterfll ), der innerhlb des Flles zu einem logischen Gegenteil des Teilflles ) führt, ds wir b) nennen werden. Nun knn mn entweder den Fll b) gnz lösen oder die Fllunterscheidung fächert sich weiter uf. Ds eben beschriebene Verfhren wird i.. unnötig ufwendig sein. Häufig läßt sich dieses Verfhren kürzen. Beispiel 1: Die Anzhl der Lösungen einer qudrtischen Gleichung x + px + q = 0 soll in Abhängigkeit von p und q us R nhnd der sog. Diskriminnte D = p - 4q untersucht werden. 1. Lösung: Fll 1: D knn positiv sein. Dnn ist

3 84 Fll : D ist nicht positiv. Unterfll : D ist negtiv. Ds hierzu logische Gegenteil im Unterfll lutet dnn: Unterfll b: D ist null. Entsprechend der Konstruktion dieser Fllunterscheidung findet mn dnn die folgende Lösung: Fll 1: D > 0: Die qudrtische Gleichung ht im Reellen zwei verschiedene Lösungen. Fll : D ist nicht positiv: Unterfll : D < 0: Die qudrtische Gleichung ht keine reelle Lösung. Unterfll b: D = 0: Die qudrtische Gleichung ht genu eine reelle Lösung.. Lösung: Mit Recht sieht mncher die 1. Lösung ls übertrieben n; denn mn weiß j, dß eine Zhl D größer oder kleiner oder gleich null sein knn, und diese Fllunterscheidung vollständig ist. Also wird mn hier die Konstruktionsmethode mit dem logischen Gegenteil nicht prktizieren und von 3 sich usschließenden Fällen usgehen: Fll 1: D > 0 Fll : D < 0 Fll 3: D = 0. Kombintorik und geometrische Fllunterscheidung nhnd einer Konstruktion Vollständige Fllunterscheidungen lssen sich ber uch mit nderen Mitteln erreichen. Die Kombintorik sichert, wie mn im Rhmen gewisser Bedingungen lle Fälle erreicht. Dies wird hier n einem Beispiel useinndergesetzt, ohne dß uf Grundsätzliches der Kombintorik eingegngen wird: Beispiel : Wir gehen von dem nebenstehend skizzierten stndrdisierten Dreieck us, von dem zwei Seiten g 1, g und der Gegenwinkel ϕ 1 zu g 1 gegeben sind. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Vorgbe nzuschreiben, wenn hierbei die Seiten, b, c und deren Gegenwinkel gleichberechtigt sind? Lösung: g 1 b b c c g b c c b ϕ α α β β γ γ Wie findet mn eine solche vollständige Fllunterscheidung? Ist g 1 =, so knn g nur b oder c sein. Beide Fälle sind möglich. Anstelle von könnte ber uch g 1 = b oder g 1 = c stehen. Zustz: Die ufgezeichneten Fälle unterscheiden sich nur in ihrer Bezeichnungsweise. Geometrisch sind sie gleichwertig. In der Geometrie werden z. B. bei Dreieckskonstruktionen im Rhmen der sogennnten Determintion lle zur gegebenen Grundufgbe denkbren Lösungsmöglichkeiten untersucht. Mn betrchtet dbei die drei (unbhängigen) Bestimmungsstücke ls Veränderliche und untersucht, unter welchen Bedingungen die Konstruktion überhupt möglich, wnn die Lö-

4 85 sung eindeutig bzw. wnn sie mehrdeutig ist. Im Schulunterricht wird diese Determintion im llgemeinen n einer konkret vorgegebenen Sitution durchgeführt. Beispiel b: Untersuche die Lösungsmnnigfltigkeit der Konstruktion eines Dreiecks ABC us zwei Seiten g 1, g und dem Gegenwinkel ϕ 1 zu g 1. Lösung: Nch dem Zustz bei Beispiel knn nun ohne Beschränkung der Allgemeinheit g 1 = b, g = und ϕ 1 = β ngenommen werden. Die erforderliche Fllunterscheidung ergibt sich us der Ausführung der durchnumerierten Konstruktionsschritte, wenn mn bei Durchführung des jeweiligen Schrittes die Frge stellt, wie sich der Fortgng der Konstruktion ändert, wenn ds eben benutzte gegebene Stück eine ndere Größe ht, lso die eben benutzte geometrische Veränderliche vriiert. 1. Mn beginnt mit g =, wobei es "offenbr" gleichgültig ist, welche Länge ht, solnge diese nur ungleich null ist.. An die Strecke trägt mn in einem Endpunkt den Winkel ϕ 1 = β n, wobei zunächst die Größe des Winkels keine Rolle spielt. 3. Um den nderen Endpunkt von der Strecke wird dnn ein Kreis mit Rdius g 1 = b gezeichnet, dessen "Wirkung" offenbr von h (vgl. die Abbildung) bhängt. Diese Abhängigkeit führt in einer Fllunterscheidung zu keiner, einer oder zwei nicht kongruenten Lösungen. Jetzt erst stellt sich herus, dß diese Fllunterscheidung nicht von der Größe ϕ 1 = β unbhängig ist. Hierbei ist "offenbr" ϕ 1 = 90 o ein Grenzfll, weshlb sich die Fllunterscheidung in ϕ 1 ls zweckmäßig erweist. Die getroffene Fllunterscheidung ist vollständig, weil zwei reelle Zhlen entweder gleich oder die eine größer oder kleiner ls die ndere sein knn. In einer Tbelle werden nun die Fälle zusmmengefßt. Mn bechte h = g sin ϕ 1. Fll ϕ Fll g 1 Fll g 1 Lösungsverhlten 1 ϕ 1 < 90 o g 1 < h g 1 = h g 1 > h g > g 1 > h g 1 g 0 Lösungen 1 Lösung (rechtwinkliges Dreieck) Lösungen 1 Lösung

5 86 ϕ 1 = 90 o.1. 3 ϕ 1 > 90 o g 1 g g 1 > g g 1 g g 1 > g 0 Lösungen 1 Lösung (rechtwinkliges Dreieck) 0 Lösungen 1 Lösung 3. Weitere Beispiele Es wird jeweils ngegeben, mit welcher Methode die Fllunterscheidung gefunden bzw. uf ihre Vollständigkeit überprüft wurde. Beispiel 3: Bestimme die Lösungsmenge zu x + 1 x 1 in einem mximlen Definitionsbereich. (1) 1. Lösung (lgebrisch: 1.Methode): Die mximle Definitionsmenge ist R\ {1}. Mit dem logischen Gegenteil findet mn: x - 1 > 0 x > 1 und (1) wird mit dem Nenner x - 1 > 0 multipliziert: x + 1 x - 3 x. Mn erhält ls Teillösung: L 1 = { x x > 1 und x 3} = {x x 3}. Fll: x - 1 < 0 x < 1 und (1) wird mit dem Nenner x - 1 < 0 multipliziert: x + 1 x - 3 x. Mn erhält ls Teillösung: L = {x x < 1 und x 3} = {x x < 1} Hierus folgt ls Gesmtergebnis L = L 1 L = {x x<1 oder x 3}.. Lösung (lgebrisch:. Methode): Durch eine äquivlente Umformung bringt mn die Ungleichung uf die Form größer, gleich oder kleiner ls null und betrchtet dnn die erforderlichen Vorzeichenkombintionen von Zähler Z und Nenner N. x 0 Aus (1) folgt äquivlent: 3 x 1 Z 0 und N < x 0 und x - 1 < 0 3 x und x < 1. Mn erhält L 1 = {x x < 1}.. Fll: Z 0 und N > x 0 und x - 1 > 0 3 x und x > 1. Mn erhält L = {x x 3}. Hierus erfolgt ds Gesmtergebnis L = L 1 L = ]- ; 1[ [3; [. 3. Lösung (grphische Methode) nlog zur. Lösung: x + 1 x 1 3 x 0 x 1

6 87 Zhlengerde ] - ; 1[ 1 ]1;3[ 3 ]3; [ Z = 3 - x positiv positiv 0 negtiv N = x - 1 negtiv 0 positiv positiv Z:N = 3 x 1 x negtiv nicht definiert positiv 0 negtiv Mn muß dies ntürlich nicht so ufwendig in einer Tbelle schreiben, sondern knn dies mit einigen Strichen n einer Zhlengerden demonstrieren. Hinweis: Die Intervllgrenzen der Lösung sind bei einer grphischen Methode stets gesondert zu untersuchen. 4. Lösung grphische Methode nlog zur. Lösung): Zähler Z und Nenner N werden ls Funktionsterme von Gerdengleichungen ufgefßt und diese Gerden gezeichnet. Z > 0 bedeutet dnn z. B., dß der zugehörige Grph oberhlb der x- Achse liegt usw. Beispiel 4: 3 Löse x 5 < x + 3 in einem mximlen Definitionsbereich. (1) Bei einer Ungleichung, bei der uf beiden Seiten Bruchterme bzw. Summen von solchen stehen, multipliziert mn mit dem Huptnenner HN, um die Brüche zu beseitigen. Dies liefert die Fälle HN > 0 und HN < 0 im zugehörigen Definitionsbereich, d dieser durch HN 0 festgelegt ist. Die Lösung knn dnn lgebrisch oder grphisch durch Fllunterscheidung mit dem logischen Gegenteil erfolgen. 1. Lösung (lgebrisch): Die Definitionsmenge beträgt R\{- 3;5}.

7 88 (x-5)(x+3) > 0, d. h. 1.1 x - 5 > 0 und x + 3 > 0 x > 5 und x > - 3, lso x > 5. oder 1. x - 5 < 0 und x + 3 < 0 x < 5 und x < - 3, lso x < - 3 Aus 1.1 und 1. folgt x us D 1 = ] - ; - 3[ ]5; [. Fll: (x- 5)(x + 3) < 0 d. h. 1.1 x - 5 > 0 und x + 3 < 0 x > 5 und x < - 3, lso gibt es kein x. oder 1. x < 5 und x > - 3, lso x us ]-3; 5[ Aus 1.1 und 1. folgt x us D = ] - 3; 5[ Aus (1) folgt 3(x + 3) < (x - 5) Aus (1) folgt 3(x + 3) > (x - 5) 3x + 9 < x - 10 () x < - 19 ] - ; - 19[ ist in D 1 enthlten, lso ist L 1 = ] - ; - 19[ 3x + 9 > x - 10 () x > - 19 ] - 19; [ ht mit D den Schnitt D ; lso ist L = ]-3; 5[ Ergebnis: L = L 1 L = ] - ; - 19[ ] - 3; 5[. Lösung (grphisch): Mn präpriert ds Problem bis zur Zeile () der 1. Lösung und zeichnet die Gerden mit den Gleichungen y = 3x + 9 und y = x Beispiel 5: Löse 3x - 6 x +. (3) Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen knn mn uf verschiedene Weisen mit oder ohne Fllunterscheidung lösen. 1. Lösung (Rückgriff uf die Betrgsdefinition, eine Fllunterscheidung nch dem logischen Gegenteil):

8 89 3x x und us (3) 3x - 6 x + x 4. Die beiden Bedingungen ergeben L 1 = [; 4]. Ergebnis: L = [1;4]. Fll: 3x - 6 < 0 x < und us (3) - 3x + 6 x + x 1. Die beiden Bedingungen ergeben L = [1;[.. Lösung (Eliminieren des Betrgs durch Qudrieren): Qudrieren ist keine Äquivlenzumformung; deshlb muß i.. die sogennnte Probe Bestndteil des Lösungsverfhrens werden. Bei dem vorliegenden Beispiel ist ds Qudrieren problemlos, d wegen des stets nicht negtiven Betrgs uch x + stets positiv sein wird. Also gilt: (3) 9x - 36x + 36 x + 4x + 4 x - 5x Die Lösung dieser qudrtischen Ungleichung findet mn unter Beispiel Lösung (Abstndsuntersuchung uf der Zhlengerden): Bei x - < 4 werden diejenigen Punkte uf der Zhlengerden gesucht, die von einen kleineren Abstnd ls 4 hben. Mn findet ls Lösung L = ]-; 6[. Beispiel 6: Löse x - 5x (1) 1. Lösung (grphisch): Die Lösung qudrtischer Gleichungen läßt sich mit einer grphischen Überlegung sehr einfch gewinnen, wenn mn die Nullstellen und die Öffnung der Prbel der zugehörigen qudrtischen Funktion y = x + bx + c bechtet. y = x - 5x + 6 ht die Nullstellen x 1, = ± lso x 1 = 3 und x =. Im vorliegenden Fll ist = +1 > 0 und dmit die zugehörige Prbel nch oben geöffnet; wie mn einer Skizze entnehmen knn, hben die Prbelpunkte negtive y-werte für x us [;3].. Lösung (mit einer Fllunterscheidung nch dem logischen Gegenteil nhnd qudrtischer Ergänzung): (1) ( x ) x 4. Fll: x x x 3. Mn findet lso L 1 = [,5; 3]. Ergebnis: L = L 1 L = [; 3] x < x + lso L = [;,5[. x. Mn findet

9 90 3. Lösung (nch dem Stz von Viet): Der qudrtische Term wird nch dem Stz des Viet fktorisiert und nschließend eine Fllunterscheidung nch dem logischen Gegenteil ufgebut: Es gilt: x - 5x (x - )(x - 3) 0 (x - ) 0 und (x - 3) 0 x und x 3 L 1 = [; 3]. Ergebnis: L = L 1 L = [; 3]. Fll: (x - ) 0 und (x - 3) 0 x 0 und x 3 L =. Beispiel 7: Bruchgleichung mit Prmeter: Löse in der Grundmenge der rtionlen Zhlen: x + b x = (1) x x Lösung: Die Definitionsmenge ist lso D = Q\{0, }. Bruchgleichungen löst mn ddurch, dß mn innerhlb der Definitionsmenge mit dem Huptnenner multipliziert, d. h. die Nenner beseitigt. (1) x + bx = x - x + x( + b) = () Die weitere Lösung geschieht durch Fllunterscheidung nch dem logischen Gegenteil: + b 0 () x = Fll 1.1: ( + b) (3) ist eine Lösung, flls gehört, lso 0 und ( + b) ( + b) 0 und b (3) ( + b) zu D. Fll: + b = 0 () lutet hier x 0 = Fll.1: = 0 L 3 = D Hier ist dnn lso L 1 = { } ( + b) Fll 1.: "sonst", lso in den Fällen, bei denen = 0 oder b = ist, ergibt sich ls Fll.: 0 L 4 = Lösungsmenge L =. Ergebnis: L = L 1 L L 3 L 4 =

10 91 = {x x =, flls + b 0 und 0 und b ( + b) } {x x, flls ( + b 0 und ( = 0 oder b = )) oder ( + b = 0 und 0} {x x D, flls = b = 0} 4. Aufgben 1. Beweise: Alle Umfngswinkel über einer Sehne, die uf derselben Seite dieser Sehne wie der Mittelpunkt liegen, sind gleich dem zugehörigen hlben Mittelpunktswinkel.. Untersuche die Lösungsmnnigfltigkeit der qudrtischen Gleichung x + bx + c = 0 mit reellen Koeffizienten, b, c. 3. Ein Dreieck ABC ist zu konstruieren us der Seite, der Seitenhlbierenden s Winkel β. Führe eine Determintion us. und dem 4. Löse die folgenden Gleichungen und Ungleichungen: x ) x + 0 b) x - < 5 c) 3x 4 5 x x 4 d) x - < x + 1 e) x -6x+8 - x-1 +1 = 0 f) 4x - 3 < x 1 3 3x 1 1 g) x x + x + 4 h) = x i) 4 x x x + 5. Aufgben mit Prmetern: ) 1 = x x b) p x = x c) x + b x = 1 1 d) + = x x c( y + s) c( y s) c( y s ) 6. Gegeben sei eine Gerde g und zwei verschiedene Punkte A und B. Zu konstruieren sind lle Kreise k(m;r), die die Gerde g berühren und die durch die Punkte A und B gehen (Skizzen, Fllunterscheidungen, Determintion). 7. Die Zhl 131 ist ls Summe zweier ntürlicher Zhlen drzustellen, wobei der eine Summnd bei Division durch 7 den Rest 3 und der ndere Summnd bei Division durch 11 den Rest 5 läßt. Litertur

11 9 Häusler, F.: Ungleichungen, Mthemtikinformtion Nr. 6 (1996) Seiten 5 bis 3 Herterich, K.: Die Konstruktion von Dreiecken, Ernst Klett Verlg Stuttgrt 1986 Hofmnn, W.: Der Absolutbetrg in Gleichungen und Ungleichungen, bsv München 1974 König, H.: Heuristik beim Lösen problemhfter Aufgben us dem ußerunterrichtlichen Bereich, Selbstverlg Krl-Mrx-Stdt 1984 Meyer, Kh. u..: Brennpunkt Algebr 8, Schroedel-Schulbuchverlg Hnnover 1990 Weber, W.: Ein Vorzeichenschem oder: Wie Fllunterscheidungen übersichtlich werden, mthemtiklehren Heft 38 (1990) Anschrift des Autors: Arthur Krämer Buchenweg 8343 Niederpöcking