Ausschreibungsbetrug im Licht der Gemeinsamkeiten und Unterschiede von Bietverfahren

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Ausschreibungsbetrug im Licht der Gemeinsamkeiten und Unterschiede von Bietverfahren"

Transkript

1 [S. 1000]* Fritz Helmedag, Chemitz Ausschreibugsbetrug im Licht der Gemeisamkeite ud Uterschiede vo Bietverfahre I. Itrasparez schützt vor Strafe icht Im Strafgesetzbuch (StGB) sid mit der Fassug vom i 298 wettbewerbsbeschräkede Absprache bei Ausschreibuge uter Strafe gestellt. Es hadelt sich somit icht mehr bloß um eie Verstoß gege die Bestimmuge des (alte) Gesetzes gege Wettbewerbsbeschräkuge (GWB). Bis dahi wurde dort aufeiader abgestimmtes Verhalte als Ordugswidrigkeit mit Geldbuße geahdet. Nu droht das StGB mit Freiheitsetzug bis zu füf Jahre. Zugleich schreibt das GWB seit 1998 i 97 vor, dass die öffetliche Auftraggeber Ware, Bau- ud Diestleistuge im Wettbewerb ud im Wege traspareter Vergabeverfahre beschaffe. Allerdigs besteht zwische de beide Norme Abstimmugsbedarf. Zum eie habe die Abieter bei Fehlverhalte mit eier beträchtliche Strafe zu reche; zum adere wäre es durchaus hilfreich zu erfahre, welche Erforderisse die Verastalter ihrerseits gerecht werde müsse, damit die Geschehisse wie gewüscht ablaufe. Leider spezifiziert das Gesetz icht äher, was geau uter Trasparez zu verstehe ist. Wohl werde i 101 GWB drei verschiedee Arte der Vergabe agesproche (offee ud icht offee Verfahre hisichtlich der Teilehmerzahl sowie Verhadluge), doch es magelt a substatiierte Hiweise, welche Iformatioe aufzudecke sid. Dieses Mako ist jedoch icht allei der Legislative azulaste. De die Ökoomik, i dere Zustädigkeitsbereich die Beschreibug korrekter Ausschreibuge falle sollte, liefert diesbezüglich weig Hilfestellug. Zwar ist die Literatur über Bietverfahre i de letzte Jahre gewaltig ageschwolle, aber wie i so viele adere Bereiche der Volkswirtschaftslehre auch, sid Aufwad ud Ertrag ur lose miteiader verküpft: Trotz massive Eisatzes des mathematische Istrumetariums wirke die praxisrelevate Erketisse bei äherer Betrachtug eher bescheide. Nach der hier vertretee Auffassug liegt das hauptsächlich dara, dass die Eiud Verkaufsaktioe bei Eimalgebote stillschweiged als spiegelbildlich agesehe werde. 1 Das Umfeld für das da erforderliche strategische Verhalte differiert ides grudsätzlich. Bedauerlicherweise hat sich die Forschug praktisch ausschließlich mit * Der folgede Text etspricht der gleichamige Veröffetlichug i: Wirtschaft ud Wettbewerb, 54. Jg. (2004), S Die Seiteagabe dieses Abdrucks sid i der vorliegede Fassug i eckige Klammer agegebe. Leider fehlt i dem Zeitschrifteartikel die Gleichug (8). 1 Eie zweibädige Sammlug wichtiger Aufsätze zum Gegestad ethält keie Beitrag, der sich explizit mit de Uterschiede der Bietverfahre im Ei- ud Verkauf beschäftigt. Vgl. Klemperer, (Hrsg.), The Ecoomic Theory of Auctios, Vol. I ud Vol. II, Gleiches gilt für eischlägige Moografie. Vgl. etwa Krisha, Auctio Theory, 2002.

2 2 Fritz Helmedag Verfahre befasst, die der Veräußerug eies Objektes diee. Die Alterative zum Erwerb eier Leistug wurde dagege verachlässigt. Die folgede Betrachtuge zeige, dass strategische Bieter bei Beschaffugs- gegeüber Veräußerugstrasaktioe eier zusätzliche Usicherheit ausgesetzt sid. Darum ist der Druck auf die Wettbewerber, die Abläufe zu orgaisiere, besoders hoch, obwohl dies euerdigs krimialisiert wird. Die Verastalter [S. 1001] habe jedoch ei Mittel zur Had, um de Straftatbestad vo vorherei auszuschließe. Außerdem liefer i diesem Sie trasparete Auftragserteiluge die Grudlage eier ratioale Agebotskalkulatio ud eies effiziete Zuschlags zum Vorteil beider Seite. Nach eier Beschreibug der grudsätzliche Alterative, über Gebote Güter umzusetze, folgt eie Aalyse der Strategie im Ei- ud Verkauf. Hieraus lasse sich Schlüsse hisichtlich des jeweilige Marktergebisses ableite. Schließlich werde die wirtschaftspolitische Kosequeze der Utersuchug erörtert. II. Merkmale ud Auspräguge Es gibt vielfältige istitutioelle Arragemets, de Güterverkehr kokret abzuwickel, ma deke ur a Gaststätte, Kaufhäuser, Takstelle, Wertpapierbörse, Wettbüros etc. I diesem facettereiche Esemble spiele Bietverfahre, die eie Nachfrager oder Abieter durch eie Vergleich zwische mehrere kokurrierede Gebote auswähle, seit lagem eie promiete Rolle. Zwei bemerkeswerte historische Beispiele tauche im Schrifttum des Öftere auf. 2 Scho Herodot (ca v. Chr.) beschreibt die Auktio vo Fraue i Babylo zu Heiratszwecke, wobei das Midestgebot sogar ei egativer Preis sei kote. Offesichtlich wurde zuweile die Akzeptaz der Offerte durch die Dreigabe eies Sümmche bare Geldes versüßt. 3 Das adere häufig erwähte Exempel ist etwas makaber: Im Jahr 193. Chr. versteigerte die aufrührerische römische Palastwache das Imperium, achdem sie de Kaiser ermordet hatte. Allerdigs traf de siegreiche Höchstbieter Didius Juliaus ei besoderer Fluch des Gewiers, er wurde bereits zwei Moate später durch Septimius Severus ethauptet. 4 Solche Soderfälle deute icht ur auf ei sost seltees Phäome hi, vielmehr bilde sie die Spitze eies Eisberges: Bietprozesse sid seit Jahrhuderte gebräuchlich, um kappe Güter a de Ma (oder die Frau) zu brige. Durch die Etwicklug der elektroische Dateverarbeitug ud des Iterets hat sich i der jügste Vergageheit das Spektrum der Gegestäde, die uter de Hammer komme, 2 Vgl. z. B. Wolfstetter, Topics i Microecoomics, Idustrial Orgaizatio, Auctios, ad Icetives, Cambridge 1999, S Vgl. Cassady, Auctios ad Auctioeerig, 1967, S. 26 ff. 4 Vgl. ebeda S. 29 sowie Shubik, Auctios, Biddig, ad Markets, A Historical Sketch, i: Egelbrecht-Wiggas / Shubik / Stark, Auctios, Biddig, ad Cotractig, New York 1983, S , S. 42 f.

3 Ausschreibugsbetrug im Licht der Gemeisamkeite ud Uterschiede vo Bietverfahre 3 sogar beträchtlich erweitert. Viele Seite im World Wide Web biete Fore für Kauf oder Verkauf praktisch aller Güter, die i de meschliche Begehrkreis falle. Damit verbude ist ei immeses Awachse der Zahl (poteziell) Beteiligter. Auch Idustrieuterehme gehe heutzutage zuehmed dazu über, ihre Beschaffug vo Vorleistuge auf diese Art ( E-Procuremet ) durchzuführe. Es hadelt sich um sog. Busiess-to-Busiess-Geschäfte, oft abgekürzt als B2B. 5 Allerdigs soll es scho vorgekomme sei, dass Verastalter selbst preisseked mitgebote habe, was seites der Zulieferer eie Ruf ach faire Regel für Iteret-Auktioe hat laut werde lasse. 6 Immerhi zeigt die Klage, wie wichtig es aus eizel- ud gesamtwirtschaftlicher Sicht ist, die Fuktiosweise der eizele Trasaktiosforme zu verstehe; icht zuletzt, damit Vorkehruge gege Missbrauch getroffe werde köe. Leider ist trotz der lage Traditio ud vielleicht gerade wege der gegewärtig rasch awachsede Popularität der Bietverfahre mehr de je ei termiologischer [S. 1002] Wirrwarr zu registriere, der hauptsächlich dem ugefilterte Import eier etwas laxe agelsächsische Sprachpraxis geschuldet ist. So ist der gerade beutzte Ausdruck Auktio für eie Beschaffug eigetlich fehl am Platze, richtig wäre der (izwische fast vergessee) Begriff Lizitatio, der auf eie (i Wahrheit gemeite) Eikauf des Verastalters deutet. 7 Nebe dieser grudsätzliche ud, wie sich zeige wird, wettbewerbspolitisch bedeutsame Differezierug besteht der Hauptuterschied der eizele Auspräguge dari, ob die Bieter ihr Gebot äder dürfe oder icht. Demetspreched liegt es ahe, zwische iterative ud defiitive Verfahre zu tree. Tatsächlich laufe die Divergeze des Bietgeschehes i erster Liie auf das Vorhadesei oder Fehle dieses Hadlugsspielraumes hiaus. Dadurch wird ämlich im Wesetliche das Procedere determiiert: Zum Beispiel hält i eier mehrstufige Abfolge steigeder Offerte für ei Gut jeder Teilehmer eifach so lage mit, wie die eigee Wertschätzug des Objekts de Preis übertrifft. Dieses simple Reaktiosmuster setzt zweierlei voraus. Erstes müsse die Preise offe mitgeteilt werde, der aktuelle Stad des Geschehes wird dadurch allgemei bekat gemacht. Zweites ist es erforderlich, die Nachbesserug eies frühere Gebots zu gestatte, um die mechaische Vorgehesweise zu praktiziere, die ma ach Festlegug der Limits durchaus eiem Computer überlasse ka. 5 Zu de juristische Aspekte siehe Gramlich / Kröger / Schreibauer, Rechtshadbuch B2B Plattforme, Vgl. FAZ, 8000 Zulieferer forder eie Schiedsstelle für Iteret-Auktioe, Große Automobilhersteller reagiere positiv auf ei Fairesspapier der Arbeitsgemeischaft Zulieferidustrie, (Nr. 96), S Auctio bedeutet im Lateiische Vermehrug, Versteigerug. Das Dude-Fremdwörterbuch erläutert die Lizitatio bloß als Versteigerug, ohe auf de Eikaufscharakter der Verastaltug hizuweise. Vgl. Dude, Das Große Fremdwörterbuch, 1994, S Im Eglische wird im vorliegede Fall machmal icht vo auctio gesproche, soder eie Formulierug mit dem Wort teder gewählt. Allerdigs ket die Klassifikatio des Joural of Ecoomic Literature ur die Rubrik D44 Auctios.

4 4 Fritz Helmedag Werde die Preise higege verdeckt eigereicht, meist i Form eier Aus- oder Eischreibug, fehlt es a dem sichere Wisse, wo die Kokurrez steht. We der Zuschlag zum eigee Gebot erfolgt, muss ma sich daher Vorstelluge über die Preise der Wettbewerber ud ihre Verteilug mache. Außerdem ist sozusage ur ei Schuss zulässig, um zu treffe. Immer da ist strategisches Hadel agesagt. Dies wird us och beschäftige. Ei weiterer Aküpfugspukt zur Klassifikatio bildet die Ursache der Wertschätzug des agebotee Objekts. Sofer es sich um ei Kosumgut zur private Nutzug hadelt, hägt die Zahlugsbereitschaft atürlich vo de subjektive Präfereze ab ( private-value auctios ), ma deke ur a Gemälde etc. Aders sieht es aus, we das Ersteigerte ausgebeutet werde soll, z.b. Ölbohr- oder Schürfrechte. Solche Lizeze habe zwar eie moetäre Wert, er ist aber icht defiitiv progostizierbar. Vielmehr ist ma auf mehr oder weiger exakte Schätzuge agewiese. Bei diese commo-value auctios kommt u systematisch derjeige zum Zug, der dem Gegestad das höchste Weiterverwertugspotezial beimisst. 8 Die Agelegeheit wird da kritisch, we dieser Preis die realisierbare Ertragskraft des Objekts übersteigt. Tatsächlich dürfte sich desse wirkliche Lukrativität im Durchschitt ziemlich i der Mitte der Erwartuge eipedel. Das Ree macht aber i. d. R. derjeige, welcher sich am gravieredste zu seiem spätere Nachteil irrt; er uterliege demach eiem Fluch ( wier s curse ), der ih i ei Verlustgeschäft treibe. Die alte lateiische Losug caveat emptor gilt ascheied gleichermaße für die Limits, die ma bildet. Besodere Gefahr droht, falls i commo-value-auktioe die Gebote miteiader positiv korreliert sid [S. 1003] ( calor licitatis ) ud i der Hitze des Gefechts die eigee Zahlugsbereitschaft mit de Steigeruge der Wettbewerber ach obe wadert. 9 Im Folgede werde die reie Forme der Allokatio mittels Bietprozesse besproche. I der Praxis komme davo eiige kaum vor, sie strahle jedoch aus theoretischer Sicht Charme aus ud empfehle sich womöglich zum tatsächliche Eisatz. Dafür ket die Wirklichkeit wiederum Mischforme, die durch die Überahme bestimmter Elemete vo adere Verfahre etstehe, beispielsweise die Zulassug vo schriftliche Gebote bei Auktioe. Allerdigs begreift ma die Fuktiosweise dieser Realtype relativ leicht, sobald die Grudauspräguge durchdruge sid. 8 I der Realität vermische sich zuweile die beide Motive; so werde Kustwerke icht ur zum private Geuss erworbe, soder auch als Kapitalalage bzw. Spekulatiosgegestad. 9 Die Erfahruge bei der Versteigerug der UMTS-Lizeze ( Uiversal Mobile Telecommuicatios Stadard ) i Deutschlad deute auf diese Möglichkeit hi. Es ist allerdigs fraglich, ob der Fluch des Gewiers wirklich eie Gleichgewichtslösug darstellt, da die Kokurrete berücksichtige dürfte, dass sie ur zum Zug komme, we sie eie zu optimistische Iformatio über de Wert des Bietobjektes empfage habe. Ei eifaches Exempel brigt Feess, Mikroökoomie, Eie spieltheoretisch- ud awedugsorietierte Eiführug, 1997, S. 726 ff.

5 Ausschreibugsbetrug im Licht der Gemeisamkeite ud Uterschiede vo Bietverfahre 5 III. Verkaufsmethode Die meiste Mesche deke bei der typische Form eies Bietprozesses zuerst a die ( Eglische ) Auktio. Ausgehed vo eiem Midestgebot erhöht der Versteigerer die Preisforderuge etweder i feste oder variable Schritte. Der Meistbietede erhält schließlich de Zuschlag. 10 Nimmt ma a, die Differez der aufeiader folgede Offerte sei hireiched klei, bedeutet dies de facto, dass der icht zum Zug gekommee Kokurret mit dem zweithöchste Limit de Preis setzt. Deshalb steht vo Afag a das Ergebis der Auktio fest: Das Gut geht a de Nachfrager mit der höchste Wertschätzug ud er muss dafür eie Preis i Höhe der Zahlugsbereitschaft des zweitstärkste Bieters etrichte. Trotz der Namesverwadtschaft hadelt es sich bei der Hollädische Auktio icht um ei iteratives Steigerugs-, soder um ei defiitives Miderugsverfahre: Ei hoch agesetzter Ausgagsbetrag wird kotiuierlich gesekt, bis jemad Akzeptaz sigalisiert. Der Gegestad ist damit zugeteilt. Dieses Procedere wird etwa i de Niederlade beim Vertrieb vo Blume agewadt. Dabei dreht sich bei de eizele Charge eie sog. Preisuhr ud die professioelle Großhädler köe auf eie Kligelkopf drücke, sobald die Preisforderug i ihre Auge hireiched tief gefalle ist. Wer zuerst schellt, wird Käufer. Diese Zuschlagspraxis erfordert u ei gäzlich aderes Vorgehe als das schematische Verhalte der traditioelle Versteigerug. Würde sich der spätere Sieger scho bei Erreiche seies Limits melde, hätte er ichts vom Geschäft. Ihm bliebe keie Rete, da der moetäre (Brutto-)Tauschvorteil, die Zahlugsbereitschaft, gerade der zu begleichede Rechug etspräche. User repräsetativer Gewier wird also de Preis uter seie Wertschätzug durchsacke lasse. Freilich geht er das Risiko ei, dass ei Wettbewerber ih ausbootet, we jeer ihm mit eiem Gebot zuvorkommt. Wie weit uterschreitet der strategische Bieter seie Zahlugsbereitschaft? Scho diese Frage macht klar, dass die Hollädische Auktio keieswegs das Gegestück zur Eglische Auktio ist. 11 Die Hollädische ud die Eglische Auktio sid isoweit offe, als alle Iteressete die aktuelle Preisforderug kee ud ihr Verhalte daach auszurichte vermöge. Bei de verdeckte Verfahre muss demgegeüber a priori etschiede werde: Welche Betrag reicht der Bieter ei? Hierbei sid zwei Zuteilugsmodi [S. 1004] auseiader zu halte. Bei der klassische Eischreibug bekommt der Höchstbieter das Gut zu seiem Gebot ( First Price Sealed Bid ). Wie bei der Hollädische Auktio wird er daher icht seie Obergreze ee, damit sich der Hadel für ih loht. Wie- 10 Ma et dieses Verfahre im Agelsächsische gelegetlich ope cry auctio. Dabei besteht ei Uterschied zwische bieter- bzw. auktioatorgesteuerter Versteigerug. Vgl. zum Optimierugsproblem des Verastalters die Studie vo Leitziger, Submissio ud Preisbildug, Mechaik ud ökoomische Effekte der Preisbildug bei Bietverfahre, 1988, S. 23 ff. 11 The Dutch auctio is the coverse of the Eglish auctio heißt es kompakt ud uzutreffed bei McAffee / McMilla, Auctios ad Biddig, i: Joural of Ecoomic Literature Vol. XXV, 1987, S (702).

6 6 Fritz Helmedag derum ist strategisches Agiere agesagt: Welches Gebot uterhalb der Zahlugsbereitschaft verspricht de größte Gewi? Eifacher wird es, we die verdeckte Eischreibug das Objekt der Begierde aders zuweist. Der Nobelpreisträger vo 1996, William Vickrey, hatte 35 Jahre früher i eiem Aufsatz de Vorschlag gemacht, zwar dem Höchstbieter de Gegestad zu übertrage, allerdigs habe dieser lediglich das Gebot des zweithöchste Kokurrete dafür zu zahle ( Secod Price Sealed Bid ). 12 Damit wird bei dieser Ausgestaltug der Eischreibug eie iterative Versteigerug simuliert: Es ist für die Teilehmer sivoll, ihr Limit azugebe ( Ne das Limit ). Da eröffet sich stets eie Geschäftsmöglichkeit, welche dem Käufer i jedem Fall eie Überschuss lässt, de bei eiem Zuschlag wird weiger als der idividuelle Höchstpreis fällig. Dieses Procedere et ma deshalb wege der offekudige Ählichkeit im Ergebis auch Vickrey-Auktio. Die Tab. 1 fasst die Charakteristika der vier agesprochee Forme zusamme. Es ist och zu kläre, wie das strategische Verhalte bei Abschlag ud Eischreibug kokret aussieht. Bezeichug Methode Zuschlagbestimmug Verhalte Eglische Auktio (Versteigerug) offee (mehrfache) Steigerug iterativ vom Midestgebot a Letztbieter Überbiete bis zum Limit Hollädische Auktio (Abschlag) offee Miderug defiitiv vom Höchstpreis a Erstbieter Strategie Eischreibug (First Price Sealed Bid) verdecktes Eimalgebot defiitiv a Höchstbieter zum Höchstgebot Strategie Vickrey-Auktio (Secod Price Sealed Bid) verdecktes Eimalgebot defiitiv a Höchstbieter zum Gebot des zweithöchste Bieters Ne das Limit Tab. 1: Bietverfahre im Verkauf IV. Eikaufsmethode Die meiste Darstelluge der alterative Bietprozesse begüge sich mit der Beschreibug der soebe geate Alterative, die aus Sicht des Verastalters dem Verkauf eies Objekts diee. Jedoch lässt sich der Erwerb eies Gutes ebefalls auf verschiedee Art ud Weise durchführe. Im Uterschied zur Veräußerug geht es dem Orgaisator eier solche Trasaktio jetzt freilich icht darum, eie ach Kräfte hohe Preis zu erziele. Vielmehr solle u spezifizierte Leistuge z.b. die Errichtug eies Bauwerkes oder bestimmte Gegestäde etwa Leuchtkörper am güs- 12 Vickrey, i: Joural of Fiace, Vol. XVI (1961), S. 8 ff.

7 Ausschreibugsbetrug im Licht der Gemeisamkeite ud Uterschiede vo Bietverfahre 7 tigste beschafft werde. Dafür sid wiederum vier Auspräguge dekbar, die jeweils mit eier der besprochee Absatzmethode korrespodiere. Das Pedat zur Versteigerug stellt ei iteratives Miderugsverfahre dar, die Lizitatio: Der Verastalter gibt eie Höchstpreis vor (ählich wie bei der Hollädische Auktio), de die potezielle Lieferate uterbiete (solle). Dak der modere Telekommuikatio müsse sie dafür icht ubedigt a eiem Ort zugege sei. Die Beteiligte wisse um die aktuelle Gebotshöhe ud sie dürfe mehrere Agebote mache. Sobald iemad mehr zu eiem weitere Preiszugestädis bereit ist, erhält der Letztbieter de Zuschlag. Aus Optimierugssicht [S. 1005] gibt es bei der Lizitatio im Prizip kei Problem: Ma muss ur de Preis bestimme, der für die zu erbrigede Leistug weigstes zu verlage ist. Über dieser Marke spielt ma bei dem Miderugsprozess mit. Demetspreched edet der Vorgag idividuell etweder mit eiem Sieg oder eiem Ausstieg. Das Gegestück zur Hollädische Auktio bildet die Hollädische Lizitatio. Hier bewegt sich beispielsweise eie Azeige vo eiem gerige Betrag (der durchaus ull sei ka) ach obe. Der erste Bieter, der die Had hebt oder de Kligelkopf drückt, bekommt de Auftrag. Uter solche Verhältisse ist strategisches Agiere agesagt: Wie weit lässt ma de Preis über die eigee Midestforderug steige? Gaz ählich liege die Dige bei der Submissio, die isbesodere bei der Vergabe vo Bauleistuge gebräuchlich ist. Die Kokurrete reiche ierhalb eier bestimmte Frist ihre Gebote schriftlich ei; die Ausschreibug gewit i. d. R. der billigste. Ereut ist Strategie gefragt, de ma ket weder die Offerte der adere, och darf ma achbesser. Dies führt vor allem i Krisesituatioe eier Brache dazu, um jede Preis zum Zug komme zu wolle, d.h. eiige Gebote äher sich de zur Auftragsabwicklug umittelbar ötige Auszahluge. Der Erlös reicht da systematisch icht aus, die volle Koste zu decke. I der Praxis macht sich deshalb eie starke Neigug bemerkbar, de existezielle Gefahre solcher Ausschreibuge durch Absprache zu etgehe. 13 Vor diesem Hitergrud werde weiter ute die eischlägige Regeluge der Vergabe öffetlicher Aufträge überprüft, die sich als vierter Teil im Gesetz gege Wettbewerbsbeschräkuge i der seit geltede Fassug ( 97 ff. GWB) fide. Seit lägerem diskutiert ma die Etschärfug der geschilderte ruiöse Situatio durch die sog. Vickrey-Submissio. Die Bewerber teile wie gehabt ihre Forderuge mit ud selbstverstädlich gewit der Tiefstbieter dieses Verfahre, aber er erhält umehr de Zuschlag zum Gebot des ächstiedrigste Kokurrete. Preissetzer ist demach wie bei der Secod-Price-Sealed-Bid-Auktio der icht berücksichtigte Zweitbeste, der quasi zum eutrale Makler wird. Damit ist ei Areiz wirksam, eifach die Wahrheit zu sage, d.h. die tatsächliche Midestpreise zu ee. Der Sieger streicht trotzdem eie Rete ei, die der ihm folgede, allerdigs leer ausgehede Abieter bestimmt. Die Tab. 2 gibt die Charakteristika der vier Beschaffugsmethode wieder. Wie bei de Alterative im Verkauf gibt es zwei Forme, die ei strategisches Verhalte erfor- 13 Vgl. dazu im Eizele Leitziger, a.a.o. (F. 10), S. 113 ff.

8 8 Fritz Helmedag der. Diesem Problemkreis wede wir us jetzt zu. Zuächst erörter wir das Verhalte der Nachfrager beim Erwerb eies Objekts, um aschließed die Vergabeverfahre uter die Lupe zu ehme. Bezeichug Methode Zuschlagbestimmug Verhalte Lizitatio offee (mehrfache) Miderug iterativ vom Höchstpreis a Letztbieter Uterbiete bis zum Limit Hollädische Lizitatio offee Steigerug defiitiv vom Midestpreis a Erstbieter Strategie Submissio (Ausschreibug) verdecktes Eimalgebot defiitiv a Tiefstbieter zu Tiefstgebot Strategie Vickrey- Submissio verdecktes Eimalgebot defiitiv a Tiefstbieter zum Gebot des zweittiefste Bieters Ne das Limit Tab. 2: Bietverfahre im Eikauf [S. 1006] V. Strategisches Verhalte zum Erwerb eies Gutes 1. De Zufall überbiete Die Etscheidug, ei bestimmtes Gebot zu uterbreite, wird i eier Hollädische Auktio vo de gleiche Überleguge wie bei eier Eischreibug getrage. Die Frage lautet i beide Fälle, welcher Teil der maximale Zahlugsbereitschaft offeriert werde soll. Eie Zerlegug der Aufgabe i zwei Kompoete erleichtert die Atwort. Zuächst wird utersucht, was zu tu ist, we es gilt, besser als der Zufall zu sei. Um die wahrscheilichkeitstheoretische Zusammehäge möglichst plastisch darzustelle, sei eie sichere commo-value-auktio betrachtet. Ageomme, es bestüde die Gelegeheit, a eiem Preisausschreibe besoderer Art mitzumache. Dabei erhält derjeige eie bestimmte Summe, etwa eie Euro, der dafür am meiste etrichtet. Das auf eie Zettel geschriebee Gebot als Prozetsatz der Auszahlug soll z.b. bis zu eiem bestimmte Termi i eie Ure geworfe werde. Der Sieger verbucht als Rete die Differez zwische der Ausschüttug ud seier Zahlug. Selbstverstädlich macht der glückliche Gewier ei Geschäft, de iemad wird mehr als eie Euro ee. Es gebe isgesamt i = 1, 2,, Mitspieler, wobei jedoch ( 1) zufällig ihr Gebot wähle. Das mag dari begrüdet sei, dass sie sich überhaupt keie Vorstellug über die Teilehmerzahl mache köe. Da ist es durchaus sivoll, die Etscheidug dem Los zu überlasse. Die ( 1) gezogee Beträge seie auf der Wahrscheilichkeitsstrecke zwische ull ud eis gleichmäßig verteilt. Der -te Spieler verfolgt ides

9 Ausschreibugsbetrug im Licht der Gemeisamkeite ud Uterschiede vo Bietverfahre 9 eie Strategie; vielleicht deshalb, weil er erfahre hat, wie viele Zettel bis kurz vor Toresschluss eigegage sid. User risikoeutraler Protagoist möchte de Erwartugswert seier Rete (R) maximiere. Mit eiem Gebot i. H. vo g % schlägt er eie zufällig bietede Kokurrete mit ebe dieser Wahrscheilichkeit 0 g 1. Um Höchstbieter zu sei, müsse jedoch alle adere weiger offeriere. Mithi lautet die Siegwahrscheilichkeit für de Stratege: 1 = g P ( g, ) (1) S Der Erwartugswert seies Gewis beläuft sich damit auf: E 1 ( R( g) ) = P ( g, ) R( g) = g (1 g) S (2) Als otwedige Bedigug für das optimale Gebot ergibt sich: E( R) 2 1 = ( 1) g (1 g) g = 0 g (3) Der erwartete Vorteil wird maximal 14 für: Er beträgt: 1 g* = (4) E ( R( g*) ) = (5) Bei wachseder Bieterzahl kovergiert die Siegwahrscheilichkeit gege: [S. 1007] 1 ˆ 1 PS = lim = e 1 0,368 (6) Der Stratege gewit demach sogar bei viele Wettbewerber i mehr als eiem Drittel solcher Preisausschreibe. Die Siegwahrscheilichkeit kovergiert dabei relativ rasch: Bereits bei = 7 liegt P S bei 39,7 %. 2. Uterschiedliche Wertschätzuge I Wirklichkeit ka ides die Ertragskraft des ersteigerte Gutes oft ur mehr oder weiger präzise geschätzt werde. Außerdem differiere bei private-value auctios die Zahlugsbereitschafte der Bieter i Abhägigkeit des persöliche Nutzes, de sie dem Objekt beimesse, das sie ihr Eige ee möchte. Die bisherige Überleguge sid da zu modifiziere. Hierfür wird allerdigs weiterhi vorausgesetzt, es gäbe eie 14 Die hireichede Bedigug ist hier ud später erfüllt.

10 10 Fritz Helmedag Obergreze (A), jeseits der gewiss keie Zahlugsbereitschaft liegt. Dies mag etwa bei der Zwagsversteigerug eier Immobilie der Marktpreis eies vergleichbare Grudstücks sei. Die Limits der Bieter (V i ) seie gleich verteilt. Überdies kee jeder die Zahl der Iteressete. Ei strategisch dekeder Nachfrager wählt auf Grud der ermittelte Optimierugsvorschrift ei Gebot i Höhe vo: 1 gi* = V i (7) Sofer kei Zufallsbieter im Spiel ist ud alle meie, es wäre isgesamt Nachfrager vorhade, wird offesichtlich der Bieter mit der höchste Wertschätzug (V ˆ) das Ree mache. Wie hoch ist diese maximale Zahlugsbereitschaft? Bei Wettbewerber wird die Strecke vo ull (bzw. eiem Midestgebot) bis A i + 1 Abschitte geteilt, da die Eckwerte icht besetzt sid (vgl. Abb. 1). A A A + 1 ( 1) A + 1 A Abb. 1: Die Abfolge der Zahlugsbereitschafte Als Erwartugswert des oberste Limits ergibt sich damit: E( Vˆ) = A + 1 (8) Der Gewier eier Eischreibug wird im Schitt mit folgeder Offerte zum Zuge komme: 1 1 g *( Vˆ) = A = A (9) Dies ist aber ichts aderes als der Preis i eier Eglische bzw. Vickrey-Auktio. De bei diese Trasaktiosforme liegt der erwartete Betrag der zweithöchste Bewertug eie Streckeateil uter der maximale Zahlugsbereitschaft. Somit lautet der Zuschlag (g) : 1 1 g = A A = A = g *( Vˆ) (10) Die Verkaufsverfahre brige demach ascheied das gleiche Ergebis. Dieses Vickrey zugeschriebee reveue equivalece theorem, wurde sogar als das biggest result i auctio theory gefeiert. 15 Uabhägig vo der kokrete Ausgestaltug [S. 1008] der Veräußerug komme der Bieter zum Zug, der die höchste Zahlugsbereit- 15 Vgl. Rasmuse, Games & Iformatio, A Itroductio to Game Theory, 3. Aufl. 2001, S. 328.

11 Ausschreibugsbetrug im Licht der Gemeisamkeite ud Uterschiede vo Bietverfahre 11 schaft aufweist. Die Auktiostype seie daher i diesem Sie gleichermaße effiziet. Nu gibt es aber, wie eigags agerisse, i der Realität seit lagem ud dauerhaft verschiedee Verkaufsmethode. Dari lässt sich ei starkes Idiz dafür erblicke, dass dem Verastalter vo Fall zu Fall ebe doch verschiedee Vorteile wike. So dürfte im Eizele das Risikoprofil der Nachfrager, die Möglichkeite der Rigbildug (Kollusio) ud vor allem die Zahl der Iteressierte ud mithi die Wahrscheilichkeit für hohe obere Limits erheblich differiere. Vo eier geerelle Ergebisgleichheit der Alterative i der Praxis ka also ur mit Eischräkuge gesproche werde. 16 Vor diesem Hitergrud spiegelt die Fähigkeit, die kokrete Veräußerugsweise zu bestimme, durchaus Marktmacht wider. Trifft dies zu, etsteht aus wirtschaftspolitischer Sicht Hadlugsbedarf, um faire Wettbewerb zu förder. Das sollte gerade da gelte, we der Staat selbst Beschaffugsaktioe derart gestaltet, dass die Tauschrete zu seie Guste verteilt wird ud de Leistugserbriger kaum Vorteile erwachse. Damit komme wir zu jee Bietverfahre, die dem Erwerb eies Guts diee. VI. Strategisches Verhalte zur Bereitstellug eier Leistug 1. De Zufall uterbiete Währed der Verkäufer eies Objekts eie möglichst hohe Eiahme astrebt, geht es dem Verastalter bei der Vergabe vo Aufträge um eie ach Kräfte gerige Ausgabe. Die Lizitatio ud die Vickrey-Submissio sorge quasi automatisch dafür, dass der zweittiefste Bieter de Preis bestimmt. Was ergibt sich jedoch bei de u zu behadelde Geschäfte aus strategischem Verhalte? Wie wir sehe werde, kezeichet eie etscheidede Differez sowohl die Ausschreibug als auch die Hollädische Lizitatio gegeüber Abschlag ud Eischreibug. Es wird sich ochmals lohe, mit eiem spezielle Preisausschreibe azufage, bei dem ma als Teilehmer ur gewie ka. Diesmal wird dem Publikum agebote, eie Forderug zu ee, die demjeige erfüllt wird, welcher am weigste verlagt hat. Allerdigs existiert eie vorher festgesetzte Höchstgreze, die icht überschritte werde darf, z.b. ei Euro. Was tu? Wiederum trete ei ratioaler Etscheider gege ( 1) Zufallsgebote a, die als Prozetagabe gleich verteilt zwische ull ud eis liege. Gesucht ist eie optimale Offerte des Stratege ( f ), die seie erwartete Rete (Q) maximiert. Die Siegwahrscheilichkeit beträgt: 1 P ( f, ) = (1 f ) (11) S 16 Vgl. dazu äher Klemperer, What Really Matters i Auctio Desig, i: Joural of Ecoomic Perspectives, Vol. 16, 2002, S

12 12 Fritz Helmedag Mit dieser Wahrscheilichkeit erhält user Protagoist die Auszahlug f. Der Erwartugswert der Rete berechet sich damit zu: E 1 ( Q( f )) P ( f, ) Q( f ) = (1 f ) f Die erste Ableitug lautet: = (12) S E Q f ( ) 1 2 = (1 f ) f ( 1)(1 f ) (13) Null setze ud Auflöse liefert das optimale Gebot: [S. 1009] 1 f * = (14) Die erwartete Rete beläuft sich auf: E ( Q( f *)) = = E( R( g*) ) (15) Ereut strebt die Siegwahrscheilichkeit gege die us bereits bekate Größe: 1 ˆ 1 = lim 1 PS = e 1 0,368 (16) Damit divergiere für eie größere Zahl a Mitspieler Abschlag ud Eischreibug zum eie ud Hollädische Lizitatio ud Submissio zum adere zwar hisichtlich der siegreiche Gebote, icht aber i Bezug auf die Erwartugswerte der Rete. Diese Übereistimmug der Resultate strategische Verhaltes ka ma desgleiche als ei reveue equivalece theorem iterpretiere. Doch och ist zu prüfe, ob die vier Beschaffugsverfahre ihrerseits zum selbe Resultat führe. 2. Uterschiedliche Midestforderuge Um die Ergebisse der Alterative zum Erwerb eies Gutes zu vergleiche, muss ma wisse, wo bei symmetrischer Verteilug das zweittiefste Gebot agesiedelt ist. Bei de Verkaufsmethode wurde die Zahlugsbereitschaftsstrecke i ( + 1) Segmete zerlegt, da die Radpositioe kozeptiosgemäß freigelasse werde (vgl. Abb. 1). Dies ist umehr aders: Die Bieter uterscheide sich icht durch verschiedee Höchstpreise, soder hisichtlich ihrer Midestforderuge (C i 0). Nehme wir ferer a, der Maximalbetrag (M), de der Auftraggeber zu zahle willes oder fähig ist, sei allgemei bekat, da resultiert für das optimale Strategiegebot jedes Wettbewerbers die Bietformel: 1 fi* = Ci + ( M Ci ) (17)

13 Ausschreibugsbetrug im Licht der Gemeisamkeite ud Uterschiede vo Bietverfahre 13 Selbstverstädlich kommt der Abieter zum Zuge, desse Tauschbereitschaft am tiefste liegt. Diese Preisutergreze sid i der Wirklichkeit häufig kostedetermiiert; zum Beispiel brigt ei Auftrag, der mit mehr als C i etgolte wird, we scho icht Gewi, so doch Deckugsbeitrag. Uter solche Verhältisse stelle die gerigste variable bzw. auszahlugswirksame Koste de kleiste dekbare Zuschlag dar. Dies soll der Abieter j mit seiem Limit C j sei. Setzt ma obedrei voraus, dass die eizele Preisutergreze äquidistat platziert sid, ist die Strecke zwische C j ud M u lediglich i Abschitte zu dividiere (vgl. Abb. 2). Bei de Verkaufsverfahre war es ei Segmet mehr, da dort beide Edpukte ubesetzt bliebe. C j 1 C + ( M j C j )... 1 C + ( M j C j 2 C j + ( M C j ) M ) Abb. 2: Die Platzierug der Midestforderuge [S. 1010] Die wechselseitige Uterbietug bei der Lizitatio bzw. die Zuteilug zu dem zweitiedrigste Gebot bei der Vickrey-Submissio führt dazu, dass der Wettbewerber j mit de güstigste variable Koste bzw. dem tiefste Midestpreis de Auftrag erhält. Er bekommt als Etgelt das Limit des Zweitbeste: f j = C j 1 + ( M C ) j Wäre stattdesse eie Hollädische Lizitatio oder eie Submissio verastaltet worde, hätte der Bieter j gem. der obe abgeleitete Formel (17) das Ree mit folgedem Gebot gemacht: ( M C j ) f j (18) 1 f j* = C j + = (19) Offebar stimmt uter de vorliegede Aahme das Marktergebis aller Akaufsmethode überei: Das reveue equivalece theorem wird auch i diesem Rahme bestätigt. Allerdigs ist die zur Herleitug erforderliche Gleichverteilug der Midestpreise zwische C j ud M bei Beschaffugsaktioe kritischer zu sehe als bei Auktioe, wo ma dies bei viele Nachfrager durchaus akzeptiere ka. We Preisutergreze kosteabhägig sid, dürfte es eiige ählich effiziete Abieter gebe, dere Limits dicht aufeiader folge, währed der Abstad dieser Gruppe zu adere relativ groß ausfalle mag. Das strategische Gebot übertrifft uter etsprechede Umstäde die zweitiedrigste Koste. Aaloge Betrachtuge lasse sich für commovalue-verkäufe astelle. Dies uterstreicht die obe bereits erhobee Bedeke gege eie leichtfertige Übertragug des Theorems auf die Praxis. Somit ist der Aspekt agesproche, dem wir us abschließed zuwede wolle.

14 14 Fritz Helmedag VII. Wirtschaftspolitische Kosequeze Um das strategische Agiere der Wettbewerber i Bietverfahre auf der Nachfragebzw. Agebotsseite auszulote, habe wir zwei Preisausschreibe aalysiert: Zuächst wikte dem Höchstbieter ei Sümmche, da bekam der Tiefste sei Gebot, wobei eie Obergreze fixiert wurde. Iteressaterweise sid beide Spiele für de risikoeutrale Etscheider, der es mit dem Zufall aufimmt, gleichwertig: Der Erwartugswert der Rete stimmt überei. Es wäre jedoch verfehlt, aus dieser Erketis zu schließe, dass Ei- ud Verkaufsmethode symmetrisch zueiader sid. Sollte die Bediguge für die Gültigkeit des reveue equivalece-theorems verletzt sei, bleibt das für die beide strategische Variate der Veräußerug, Hollädische Auktio ud die Eischreibug, ohe Belag. Das Ergebis mag zwar vo de mechaische Ausgestaltuge, der Eglische bzw. der Vickrey-Auktio, abweiche. Jeder Iteresset ka ides ach wie vor aus eigeer Kraft sei optimales Gebot bereche. Nebe seier Zahlugsbereitschaft muss lediglich die Kokurretezahl als eizige extere Größe geschätzt werde. Die Akteure habe bei ihrer Etscheidugsfidug quasi die Möglichkeit zur Selbsthilfe. Ei Blick auf das strategische Gebot bei de Eikaufsverfahre, Hollädische Lizitatio ud Submissio, macht de Uterschied klar. Zwar stellt die Preisutergreze ebefalls eie Größe dar, die sozusage i eigeer Veratwortug ermittelbar ist. Ferer muss der Abieter desgleiche eie Aahme treffe, wie viele ebe ihm sich um de Auftrag bemühe. Doch jetzt kommt ei zweiter fremdbestimmter Faktor hizu, ämlich das Limit des Verastalters: Die Formel (17) ethält die Differez zwische dem Höchstbetrag, de der Beschaffer ausgebe will oder ka ud der Midestforderug, die der Leistugserbriger verlage muss! Falls es dem Bieter icht geligt, sich über die Preisobergreze der Gegeseite begrüdete Vorstelluge zu verschaffe, stochert er mit der Stage im Nebel.[S. 1011] Deswege sid die Akaufsverfahre viel problematischer, was die Stärke der Marktparteie abelagt. Wer ei Gut kaufe möchte, ist sich selbst Recheschaft schuldig, we er de geldwerte Nutze falsch eischätzt ud zu viel offeriert. Ei Abieter higege, der meit, der Auftraggeber zahle ur weig mehr als die erforderliche Aufweduge, wird Opfer eier Prozesslogik, die ihm über Gebühr die Last des Iformatiosdefizits aufbürdet. Vor diesem Hitergrud gilt es zu überlege, welche Trasaktiosmethode zum Erwerb aus Grüde der Fairess zu empfehle ist. Eigags wurde Klage der private Wirtschaft erwäht, woach Orgaisatore vo elektroische Lizitatioe sich selbst preisseked eischaltete. Obwohl dies vo der öffetliche Had kaum zu erwarte ist, tediert die wechselseitige Miderug bei ählicher Kostestruktur der Lieferate zu scharfer, we icht gar ruiöser Kokurrez. Immerhi ka ma sich ei Bild über de Stad des Geschehes mache ud gegebeefalls achbesser. Bei eier Hollädische Lizitatio fehlt sogar diese Möglichkeit. Zudem besteht eie größere Usicherheit über die Zahl der Kokurrete, vor allem bei der Iteret-Variate. Vielleicht gibt es darum diese Trasaktiostyp i der Realität praktisch icht, de es dürfte sich kaum Teilehmer fide, die zu solche Koditioe mitspiele. Es bleibe somit die verdeckte Vergabemodi übrig. Die Vickrey-Submissio wurde gerade deshalb propagiert, weil sie dem Sieger eie höhere Rete verspricht als die

15 Ausschreibugsbetrug im Licht der Gemeisamkeite ud Uterschiede vo Bietverfahre 15 Ausschreibug, um damit de Fluch des Gewiers zu milder. Aber hier wie dort ka das Marktergebis für de Sieger mager ausfalle, sofer die Limits dicht beieiader liege. Beide Vorgehesweise verleitete vor diesem Hitergrud die Abieter i besoderem Maße zu Absprache, um sich dem Druck auf die Preise etgegezustemme. Doch dagege lässt sich etwas uterehme. Hierzu liefert die voragegagee Utersuchug eie Hilfestellug. Demach ist es für die Lieferate vo zetraler Bedeutug, die Obergreze zu kee, die der Nachfrager zu zahle bereit ist. Kosequeterweise wäre die Erstellug der Ausschreibugsuterlage i Richtug Vorkalkulatio auszudehe. Zugleich ist eie Verpflichtug des Eikäufers zweckdielich, zu eiem Agebot uter seier bekudete Zahlugsbereitschaft tatsächlich abzuschließe. Gegewärtig kommt es durchaus vor, dass der Auftrag trotz vorliegeder Bewerbuge icht vergebe wird. Wie der Verkäufer durch die Agabe eies Midestgebotes offebart, was er weigstes eistreiche möchte, so sollte der Käufer mitteile, welche Betrag er maximal zahlt. Dies geschieht im Übrige bei der Lizitatio; dort wird der Ausgagspreis so gewählt, dass der Verastalter zu diese Koditioe kotrahiert, falls kei Miderugsprozess begit. 17 Darüber hiaus ist bei Beschaffuge des Staats eie Modifikatio dahigehed möglich, dass die Bewerber lediglich ihre Preisutergreze eireiche, der Zuschlag erfolgt da vo Amts wege gem. Gleichug (17). Die Vorgehesweise profitierte dabei vo eier eigebaute Selbststeuerugseigeschaft: Eie hoch (gerig) agesetzte Zahlugsbereitschaft M attrahiert relativ viele (weige) Wettbewerber, womit das siegreiche Gebot quasi automatisch marktgerecht reguliert wird. Die Abieter wäre bei eier solche Ausgestaltug obedrei vo der Last befreit, Aahme über die Zahl der Beteiligte zu treffe: Ne das Limit wird zur domiate Strategie. Durch die Aufdeckug des Höchstpreises wäre jeder uterdesse ach 298 StGB strafrechtlich relevate Ulauterkeitsvorwurf vom Tisch. Ferer verrigerte sich die Neigug zur Kollusio, da die propagierte Vergabepraxis dem wirtschaftlichste Lieferate eher auskömmliche Preise beschert. Deshalb erscheit es bedekeswert, auch bei der gewerbliche Beschaffug ähliche Aforderuge [S. 1012] a eie ordugsgemäße Auftragsvergabe zu stelle, um ugebührliche Marktmacht eizudämme. 17 Im Iteret wird das Verfahre izwische sogar vo Private beutzt, um Sachgüter ud Diestleistuge achzufrage, vgl. etwa das Portal [ ].

16 16 Fritz Helmedag Literaturverzeichis Cassady, Ralph, Auctios ad Auctioeerig, Berkeley / Los Ageles Dude, Das Große Fremdwörterbuch, Maheim Frakfurter Allgemeie Zeitug, 8000 Zulieferer forder eie Schiedsstelle für Iteret- Auktioe, Große Automobilhersteller reagiere positiv auf ei Fairesspapier der Arbeitsgemeischaft Zulieferidustrie, (Nr. 96), S. 22. Feess, Eberhard, Mikroökoomie, Eie spieltheoretisch- ud awedugsorietierte Eiführug, Marburg Gramlich, Ludwig / Kröger, Detlef / Schreibauer, Marcus, Rechtshadbuch B2B Plattforme, Müche Klemperer, Paul (Hrsg.), The Ecoomic Theory of Auctios, Vol. I ud Vol. II, Chelteham / Northampto Klemperer, Paul, What Really Matters i Auctio Desig, i: Joural of Ecoomic Perspectives, Vol. 16 (2002), S Krisha, Vijay, Auctio Theory, Sa Diego u.a Leitziger, Helmut, Submissio ud Preisbildug, Mechaik ud ökoomische Effekte der Preisbildug bei Bietverfahre, Köl u.a McAffee, R. Presto / McMilla, Joh, Auctios ad Biddig, i: Joural of Ecoomic Literature, Vol. XXV (1987), S Rasmuse, Eric, Games & Iformatio, A Itroductio to Game Theory, 3. Aufl., Oxford Shubik, Marti, Auctios, Biddig, ad Markets: A Historical Sketch, i: Egelbrecht-Wiggas, Richard / Shubik, Marti / Stark, Robert M., Auctios, Biddig, ad Cotractig, New York 1983, S Vickrey, William, Couterspeculatio, Auctios ad Competitive Sealed Teders, i: Joural of Fiace, Vol. XVI (1961), S Wolfstetter, Elmar, Topics i Microecoomics, Idustrial Orgaizatio, Auctios, ad Icetives, Cambridge [S. 998] SUMMARY Fritz Helmedag, Chemitz: Collusive Tederig i the Light of Aalogies ad Differeces i Biddig Processes The literature o competitive biddig ceters o procedures servig to sell a object from the orgaizer s poit of view. Uder ideal coditios, the four typical auctios lead to reveue equivalece. I cotrast, the correspodig buyig methods have attracted little attetio so far. Yet, this seems iappropriate because the bidders strategical behaviour as well as their iformatio requiremets systematically differ depedig o whether they demad or supply a good. The aalysis aswers the questio how to establish trasparecy which public ivitatios to teder have to heed accordig to the (ameded) Germa competitio law.

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert.

Auch im Risikofall ist das Entscheidungsproblem gelöst, wenn eine dominante Aktion in A existiert. Prof. Dr. H. Rommelfager: Etscheidugstheorie, Kaitel 3 7 3. Etscheidug bei Risiko (subjektive oder objektive) Eitrittswahrscheilichkeite für das Eitrete der mögliche Umweltzustäde köe vom Etscheidugsträger

Mehr

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES

SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES SUCHPROBLEME UND ALPHABETISCHE CODES Der Problematik der alphabetische Codes liege Suchprobleme zugrude, dere Lösug dem iformatiostheoretische Problem der Fidug eies (optimale) alphabetische Codes gleich

Mehr

IWW Studienprogramm. Vertiefungsstudium. Modul XI: Volkswirtschaftslehre. Lösungshinweise zur 1. Musterklausur

IWW Studienprogramm. Vertiefungsstudium. Modul XI: Volkswirtschaftslehre. Lösungshinweise zur 1. Musterklausur Istitut für Wirtschaftswisseschaftliche Forschug ud Weiterbildug GmbH Istitut a der FerUiversität i Hage IWW Studieprogramm Vertiefugsstudium Modul XI: Volkswirtschaftslehre Lösugshiweise zur 1. Musterklausur

Mehr

beck-shop.de 2. Online-Marketing

beck-shop.de 2. Online-Marketing beck-shop.de 2. Olie-Marketig aa) Dateschutzrechtliche Eiwilligug immer erforderlich Ohe Eiwilligug des Nutzers ist eie Erhebug persoebezogeer Date icht zulässig. Eie derartige Eiwilligug ka auch icht

Mehr

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung

Grundgesamtheitsanaylsen und Stichproben. Betrachtungen zur Stichprobenfindung MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools http://www.mathematik.uikl.de/ mamaeusch Grudgesamtheitsaaylse ud Stichprobe. Betrachtuge zur Stichprobefidug Paula Lagares Justo Puerto 1 MaMaEuSch 2

Mehr

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:

n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen: 61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl

Mehr

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie

Analysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik

Mehr

Lernhilfe in Form eines ebooks

Lernhilfe in Form eines ebooks Ziseszisrechug Lerhilfe i Form eies ebooks apitel Thema Seite 1 Vorwort ud Eiführug 2 2 Theorie der Ziseszisrechug 5 3 Beispiele ud Beispielrechuge 12 4 Testaufgabe mit Lösuge 18 Zis-Ziseszis.de 212 Seite

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung

Lerneinheit 2: Grundlagen der Investition und Finanzierung Lereiheit 2: Grudlage der Ivestitio ud Fiazierug 1 Abgrezug zu de statische Verfahre Durchschittsbetrachtug wird aufgegebe Zeitpukt der Zahlugsmittelbewegug explizit berücksichtigt exakte Erfassug der

Mehr

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV LS Retail Die Brachelösug für de Eizelhadel auf Basis vo Microsoft Dyamics NAV akquiet Focus auf das Wesetliche User Focus liegt immer auf der Wirtschaftlichkeit: So weig wie möglich, soviel wie ötig.

Mehr

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Ierbetriebliche Leistugsverrechug I der Kostestellerechug bzw. im Betriebsabrechugsboge (BAB ist ach der Erfassug der primäre Kostestellekoste das Ziel, die sekudäre Kostestellekoste, also die Koste der

Mehr

15.4 Diskrete Zufallsvariablen

15.4 Diskrete Zufallsvariablen .4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet

Mehr

IWW Studienprogramm. Aufbaustudium. Gründungscontrolling. Lösungshinweise zur 3. Musterklausur

IWW Studienprogramm. Aufbaustudium. Gründungscontrolling. Lösungshinweise zur 3. Musterklausur Istitut für Wirtschaftswisseschaftliche Forschug ud Weiterbildug GmbH Istitut a der FerUiversität i Hage IWW Studieprogramm Aufbaustudium Grüdugscotrollig Lösugshiweise zur 3. Musterklausur Lösugshiweise

Mehr

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst.

Kryptologie: Kryptographie und Kryptoanalyse Kryptologie ist die Wissenschaft, die sich mit dem Ver- und Entschlüsseln von Informationen befasst. Krytologie: Krytograhie ud Krytoaalyse Krytologie ist die Wisseschaft, die sich mit dem Ver- ud Etschlüssel vo Iformatioe befasst. Beisiel Iteretkommuikatio: Versiegel (Itegrität der Nachricht) Sigiere

Mehr

Sichtbar im Web! Websites für Handwerksbetriebe. Damit Sie auch online gefunden werden.

Sichtbar im Web! Websites für Handwerksbetriebe. Damit Sie auch online gefunden werden. Sichtbar im Web! Websites für Hadwerksbetriebe. Damit Sie auch olie gefude werde. Professioelles Webdesig für: Hadwerksbetriebe Rudum-sorglos-Pakete Nur für Hadwerksbetriebe Webdesig zu Festpreise - ukompliziert

Mehr

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik

Übungsblatt 1 zur Vorlesung Angewandte Stochastik Dr Christoph Luchsiger Übugsblatt 1 zur Vorlesug Agewadte Stochastik Repetitio WT Herausgabe des Übugsblattes: Woche 9, Abgabe der Lösuge: Woche 1 (bis Freitag, 1615 Uhr), Rückgabe ud Besprechug: Woche

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

Factoring. Alternative zur Bankfinanzierung?

Factoring. Alternative zur Bankfinanzierung? Factorig Alterative zur Bakfiazierug? Beschreibug Factorig Im Factorigverfahre schließ e Uterehme ud Factor eie Vertrag, auf desse Grudlage alle kü ftige Forderuge des Uterehmes laufed gekauft werde. Zuvor

Mehr

Einführung in die Grenzwerte

Einführung in die Grenzwerte Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der

Mehr

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung)

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung) 3 Die Außefiazierug durch Fremdkapital (Kreditfiazierug) 3.1 Die Charakteristika ud Forme der Kreditfiazierug Aufgabe 3.1: Idealtypische Eigeschafte vo Eige- ud Fremdkapital Stelle Sie die idealtypische

Mehr

Umrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung

Umrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung .3. Prozetuale Häufigkeitsverteilug (HV) Die prozetuale Häufigkeitsverteilug erlaubt de Vergleich vo Auswertuge, dee uterschiedliche Stichprobegröße zugrude liege. Es köe auch uterschiedliche Stichprobegröße

Mehr

B. Sachliche und geschäftsverteilungsmäßige Zuständigkeit des Familiengerichts 1

B. Sachliche und geschäftsverteilungsmäßige Zuständigkeit des Familiengerichts 1 Reemers Publishig Services GmbH O:/DAV/Boer_Hadbuch_Familierecht/3d/av.1059.p0001.3d from 12.05.2010 09:52:38 B. Sachliche ud geschäftsverteilugsmäßige Zustädigkeit des Familiegerichts 1 Beispiel 1: Beim

Mehr

Bau- und Wohncenter Stephansplatz

Bau- und Wohncenter Stephansplatz Viele gute Grüde, auf us zu baue Bau- ud Wohceter Stephasplatz Parter der Bak Austria Silvia Nahler Tel.: 050505 47287 Mobil: 0664 20 22 354 Silvia.ahler@cityfiace.at Fiazservice GmbH Ralph Decker Tel.:

Mehr

Kunde. Kontobewegung

Kunde. Kontobewegung Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:

Mehr

Handelsrecht 16. Auflage 2016. Skripten. Alpmann/Braasch. Alpmann Schmidt

Handelsrecht 16. Auflage 2016. Skripten. Alpmann/Braasch. Alpmann Schmidt S Skripte Alpma/Braasch Hadelsrecht 16. Auflage 2016 Alpma Schmidt Überblick Überblick Das Hadelsrecht ist das besodere Privatrecht der Kaufleute. Es diet de Aforderuge des Wirtschaftsverkehrs, für de

Mehr

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet

Page-Rank: Markov-Ketten als Grundlage für Suchmaschinen im Internet Humboldt-Uiversität zu Berli Istitut für Iformatik Logik i der Iformatik Prof. Dr. Nicole Schweikardt Page-Rak: Markov-Kette als Grudlage für Suchmaschie im Iteret Skript zum gleichamige Kapitel der im

Mehr

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable

Allgemeine Lösungen der n-dimensionalen Laplace-Gleichung und ihre komplexe Variable Allgemeie Lösuge der -dimesioale Laplace-Gleichug ud ihre komplexe Variable Dr. rer. at. Kuag-lai Chao Göttige, de 4. Jauar 01 Abstract Geeral solutios of the -dimesioal Laplace equatio ad its complex

Mehr

Selektive. Sicherheit. Immobilien Service GmbH. Vermittlung von Privat- und Gewerbeimmobilien. Qualifizierte Wertermittlung nach Gutachtermethode

Selektive. Sicherheit. Immobilien Service GmbH. Vermittlung von Privat- und Gewerbeimmobilien. Qualifizierte Wertermittlung nach Gutachtermethode Selektive Immobilie Service GmbH Vermittlug vo Privat- ud Gewerbeimmobilie Qualifizierte Wertermittlug ach Gutachtermethode Besodere Vermarktugsstrategie Uabhägige Baudarlehevermittlug Verwaltug vo Immobiliebesitz

Mehr

AXA Immoselect. Ein solides Fundament für jedes Anlegerportfolio

AXA Immoselect. Ein solides Fundament für jedes Anlegerportfolio Hattersheim, Philipp-Reis-Straße AXA Immoselect Ei solides Fudamet für jedes Alegerportfolio Bitte beachte Sie, dass die Rückahme der Ateile vom AXA Immoselect mit Wirkug zum 17.11.2009 ausgesetzt wurde.

Mehr

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen

Vorkurs Mathematik für Informatiker Folgen Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,

Mehr

PFLEGERECHT. BAGS-Kollektivvertrag im Mischbetrieb. Zuwendungen zu Ersatzpflege-Kosten. Unterbringung: offen versus geschlossen

PFLEGERECHT. BAGS-Kollektivvertrag im Mischbetrieb. Zuwendungen zu Ersatzpflege-Kosten. Unterbringung: offen versus geschlossen Schriftleitug: Marti Greifeeder ud Klaus Mayr 2/2011 Österreichische Zeitschrift für PFLEGERECHT Zeitschrift für die Heim- ud Pflegepraxis ud Krakeastalte GuKG, Arbeitsrecht & Astalterecht BAGS-Kollektivvertrag

Mehr

Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme

Physikalische Grundlagen: Strahlengang durch optische Systeme ieser Text ist ür iteressierte Leser gedacht, die sich über die klausur-relevate, physiologische Grudlage hiaus mit der Optik des Auges beschätige wolle! Physikalische Grudlage: Strahlegag durch optische

Mehr

2 Vollständige Induktion

2 Vollständige Induktion 8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes

Mehr

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ Das FSB Geldkoto Eifache Abwicklug ud attraktive Verzisug +++ Verzisug aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ zuverlässig servicestark bequem Kompeteter Parter für Ihr Wertpapiergeschäft Die FodsServiceBak zählt

Mehr

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn

... a ik) i=1...m, k=1...n A = = ( a mn Zurück Stad: 4..6 Reche mit Matrize I der Mathematik bezeichet ma mit Matrix im Allgemeie ei rechteckiges Zahleschema. I der allgemeie Darstellug habe die Zahle zwei Idizes, de erste für die Zeileummer,

Mehr

KUNDENPROFIL FÜR GELDANLAGEN

KUNDENPROFIL FÜR GELDANLAGEN KUNDENPROFIL FÜR GELDANLAGEN Geldalage ist icht ur eie Frage des Vertraues, soder auch das Ergebis eier eigehede Aalyse der Fiazsituatio! Um Ihre optimale Beratug zu gewährleiste, dokumetiere wir gemeisam

Mehr

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation

Methodische Grundlagen der Kostenkalkulation Methodische Grudlage der Kostekalkulatio Plaugsebee Gebrauchsgüter Die i der ladwirtschaftliche Produktio eigesetzte Produktiosmittel werde i Gebrauchsgüter ud Verbrauchsgüter uterteilt. Zu de Gebrauchsgüter

Mehr

Robuste Asset Allocation in der Praxis

Robuste Asset Allocation in der Praxis Fiazmarkt Sachgerechter Umgag mit Progosefehler Robuste Asset Allocatio i der Praxis Pesiosfods ud adere istitutioelle Aleger sid i aller Regel a ei bestimmtes Rediteziel (Rechugszis) gebude, das Jahr

Mehr

Statistik I/Empirie I

Statistik I/Empirie I Vor zwei Jahre wurde ermittelt, dass Elter im Durchschitt 96 Euro für die Nachhilfe ihrer schulpflichtige Kider ausgebe. I eier eue Umfrage uter 900 repräsetativ ausgewählte Elter wurde u erhobe, dass

Mehr

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit

Mehr

Die Instrumente des Personalmanagements

Die Instrumente des Personalmanagements 15 2 Die Istrumete des Persoalmaagemets Zur Lerorietierug Sie solle i der Lage sei:! die Ziele, Asätze ud Grüde eier systematische Persoalplaug darzulege;! die Istrumete der Persoalplaug zu differeziere;!

Mehr

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben

Höhere Finanzmathematik. Sehr ausführliches Themenheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit vielen Trainingsaufgaben Expoetielles Wachstum Höhere Fiazmathematik Sehr ausführliches Themeheft (d. h. mit Theorie) Aber auch mit viele Traiigsaufgabe Es hadelt sich um eie Awedug vo Expoetialfuktioe (Wachstumsfuktioe) Datei

Mehr

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09 Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug

Mehr

Beispiel 4 (Die Urne zu Fall 4 mit Zurücklegen und ohne Beachten der Reihenfolge ) das Sitzplatzproblem (Kombinationen mit Wiederholung) Reihenfolge

Beispiel 4 (Die Urne zu Fall 4 mit Zurücklegen und ohne Beachten der Reihenfolge ) das Sitzplatzproblem (Kombinationen mit Wiederholung) Reihenfolge 1 Beispiel 4 (Die Ure zu Fall 4 mit Zurücklege ud ohe Beachte der Reihefolge ) das Sitzplatzproblem (Kombiatioe mit Wiederholug) 1. Übersicht Ziehugsmodus ohe Zurücklege des gezogee Loses mit Zurücklege

Mehr

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a) Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Istitut für tochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math.. Urba Lösugsvorschlag 9. Übugsblatt zur Vorlesug Fiazmathematik I Aufgabe Ei euartiges Derivat) Wir sid i eiem edliche, arbitragefreie Fiazmarkt,

Mehr

Musterlösung zu Übungsblatt 2

Musterlösung zu Übungsblatt 2 Prof. R. Padharipade J. Schmitt C. Schießl Fuktioetheorie 25. September 15 HS 2015 Musterlösug zu Übugsblatt 2 Aufgabe 1. Reelle Fuktioe g : R R stelle wir us üblicherweise als Graphe {(x, g(x)} R R vor.

Mehr

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs Das Digitale Archiv des Budesarchivs 2 3 Ihaltsverzeichis Das Digitale Archiv des Budesarchivs 4 Techische Ifrastruktur 5 Hilfsmittel zur Archivierug 5 Archivierugsformate 6 Abgabe vo elektroische Akte

Mehr

Gliederung. Value-at-Risk

Gliederung. Value-at-Risk Value-at-Risk Dr. Richard Herra Nürberg, 4. Noveber 26 IVS-Foru Gliederug Modell Beispiel aus der betriebliche Altersversorgug Verteilug des Gesatschades Value-at-Risk ud Tail Value-at-Risk Risikobeurteilug

Mehr

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003 Credit Risk+ Itegratiossemiar zur BBL ud BWL Witersemester 2002/2003 Oksaa Obukhova lia Sirsikova Credit Risk+ 1 Ihalt. Eiführug i die Thematik B. Ökoomische Grudlage I. Ziele II. wedugsmöglichkeite 1.

Mehr

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S

Statistik mit Excel 2013. Themen-Special. Peter Wies. 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S Statistik mit Excel 2013 Peter Wies Theme-Special 1. Ausgabe, Februar 2014 W-EX2013S 3 Statistik mit Excel 2013 - Theme-Special 3 Statistische Maßzahle I diesem Kapitel erfahre Sie wie Sie Date klassifiziere

Mehr

evohome Millionen Familien verfolgen ein Ziel: Energie zu sparen ohne auf Komfort zu verzichten

evohome Millionen Familien verfolgen ein Ziel: Energie zu sparen ohne auf Komfort zu verzichten evohome Eergie spare weiter gedacht Millioe Familie verfolge ei Ziel: Eergie zu spare ohe auf Komfort zu verzichte evohome Nie war es schöer Eergie zu spare Es gibt viele iteressate Möglichkeite, eergie-

Mehr

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110 Name, Vorame Matrikel-Nr. Studiezetrum Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studieleistug Datum 10.11.2001 BW-WMT-S12 011110 Verwede Sie ausschließlich das

Mehr

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39

Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39 Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle

Mehr

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man:

von solchen Abbildungen. Eine solche Folge bestimmt für jedes x M die Folge der Werte f n. Schreibt man dies noch einmal formal hin, so erhält man: Gleichmäßige Kovergez Wir betrachte im Folgede Abbilduge f : M N, wobei M eie Mege ud N ei metrischer Raum ist. Isbesodere iteressiere ud Folge f vo solche Abbilduge. Eie solche Folge bestimmt für jedes

Mehr

Mit Ideen begeistern. Mit Freude schenken.

Mit Ideen begeistern. Mit Freude schenken. Mehr Erfolg. I jeder Beziehug. Mit Idee begeister. Mit Freude scheke. Erfolgreiches Marketig mit Prämie, Werbemittel ud Uterehmesausstattuge. Wo Prämie ei System habe, hat Erfolg Methode. Die Wertschätzug

Mehr

2 Wahl des Betriebsrats

2 Wahl des Betriebsrats 2 Wahl des Betriebsrats Übersicht R R Stadardprobleme aus diesem Kapitel 1 1. Wer ist wahlberechtigt?.. 1 2. Soderküdigugsschutz bei Wahle.... 2 3. Afechtug ud Nichtigkeit vo Betriebsratswahle.... 3 4.

Mehr

Baugrundstück für Individualisten

Baugrundstück für Individualisten Immobilie Baugrudstück für Idividualiste Courtage: Kaufpreis: Auf Afrage 3,57% icl. 19% MwSt für de Käufer hausudso Immobilie Moltkestr. 14 77654 Offeburg Tel. 0781 9190891 Fax 0781 9190892 Email ifo@hausudso.de

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

Die Risiken der privaten Altersvorsorge und deren Handling durch die Anbieter

Die Risiken der privaten Altersvorsorge und deren Handling durch die Anbieter Die ud dere Hadlig durch die Abieter 1 Übersicht Sichere Altersvorsorge: Was erwarte wir vo der private Altersvorsorge? Was macht die private Altersvorsorge usicher? Altersvorsorge i volatile Kapitalmärkte

Mehr

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen

Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen Grudlage Löslichkeitsdiagramm Grudlage Zur etrachtug des Mischugsverhaltes icht vollstädig mischbarer Flüssigkeite, das heißt Flüssigkeite, die sich icht bei jeder Temperatur i alle Megeverhältisse miteiader

Mehr

WS 2000/2001. zeitanteiliger nomineller Jahreszinssatz für eine unterjährige Verzinsungsperiode bei einfachen Zinsen

WS 2000/2001. zeitanteiliger nomineller Jahreszinssatz für eine unterjährige Verzinsungsperiode bei einfachen Zinsen Aufgabe 1: WS 2000/2001 Aufgabe 1: (4 P (4 Pukte) Gebe Sie die Formel zur Bestimmug des relative sowie des koforme Zissatzes a ud erläuter Sie die Uterschiede bzw. Gemeisamkeite der beide Zisfüße. Lösug:

Mehr

1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX

1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX 1741 Switzerlad Idex Series 1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX Reglemet Versio vom 01.07.2015 1741 Switzerlad Equal Weighted Idex 2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Eileitug 3 2 Idex Spezifikatioe 4 3 Idex Uiversum

Mehr

Internet-Zahlungsverfahren aus Sicht der Händler: Ergebnisse der Umfrage IZH5

Internet-Zahlungsverfahren aus Sicht der Händler: Ergebnisse der Umfrage IZH5 Iteret- aus Sicht der Hädler: Ergebisse der Umfrage IZH5 Vorab-Kurzauswertug ausgewählter Aspekte Dezember 2009 1 Gegestad ud ausgewählte Ergebisse der Studie Mit der aktuelle füfte Umfragewelle zum Thema

Mehr

Einige Worte vorweg 11. Wohnungssuche richtig geplant 13

Einige Worte vorweg 11. Wohnungssuche richtig geplant 13 5 Ihalt Eiige Worte vorweg 11 Wohugssuche richtig geplat 13 Behalte Sie de Überblick................ 13 So fide Sie Ihre Traumwohug............ 13 Der Blick i die Zeitug................. 15 Suche im Iteret....................

Mehr

Aktueller Status hinsichtlich der angekündigten Kursgewinnsteuer

Aktueller Status hinsichtlich der angekündigten Kursgewinnsteuer ÄNDERUNGEN IM JAHR 2011 Aktueller Status hisichtlich der ageküdigte Kursgewisteuer Abei möchte wir Sie über wesetliche Ihalte aus der Regierugsvorlage Budgetbegleitgesetz 2011-2014 vom 30.11.2010 zur Kursgewibesteuerug

Mehr

Testen statistischer Hypothesen

Testen statistischer Hypothesen Kapitel 9 Teste statistischer Hypothese 9.1 Eiführug, Sigifiaztests Sigifiaztest für µ bei der ormalverteilug bei beatem σ = : X i seie uabhägig ud µ, ) verteilt, µ sei ubeat. Stelle eie Hypothese über

Mehr

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $

6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum

Mehr

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3

AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2. Datenfluß und Programmablauf 2. Vorbedingung 3. Nachbedingung 3. Schleifeninvariante 3 INHALTSVERZEICHNIS AUFGABENSTELLUNG (ZUSAMMENFASSUNG) 2 SPEZIFIKATION 2 Datefluß ud Programmablauf 2 Vorbedigug 3 Nachbedigug 3 Schleifeivariate 3 KONSTRUKTION 4 ALTERNATIVE ENTWURFSMÖGLICHKEITEN 5 EFFEKTIVE

Mehr

Preisblatt. Service. über Netzanschlüsse Erdgas, Trinkwasser, Strom und Fernwärme, Baukostenzuschüsse und sonstige Kosten. Gültig ab 1.

Preisblatt. Service. über Netzanschlüsse Erdgas, Trinkwasser, Strom und Fernwärme, Baukostenzuschüsse und sonstige Kosten. Gültig ab 1. Preisblatt über Netzaschlüsse Erdgas, Trikwasser, Strom ud Ferwärme, Baukostezuschüsse ud sostige Koste Gültig ab 1. Jui 2015 Service Preisblatt Netzaschluss ud sostige Koste zu de Ergäzede Bestimmuge

Mehr

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I

Lösungen der Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur Mathematik für Informatiker I Uiversität des Saarlades Fakultät für Mathematik ud Iformatik Witersemester 2003/04 Prof. Dr. Joachim Weickert Dr. Marti Welk Dr. Berhard Burgeth Lösuge der Aufgabe zur Vorbereitug auf die Klausur Mathematik

Mehr

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern KASSENBUCH ONLINE Olie-Erfassug vo Kassebücher Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Ituitive Olie-Erfassug des Kassebuchs... 5 3.2 GoB-sicher

Mehr

Digitales Belegbuchen

Digitales Belegbuchen Digitales Belegbuche Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Belege scae ud sede... 5 3.2 Belege buche... 6 3.3 Schelle Recherche... 7 3.4

Mehr

Kunde Studie: Erfolgsfaktoren von Online-Communities

Kunde Studie: Erfolgsfaktoren von Online-Communities Kude Studie: Erfolgsfaktore vo Olie-Commuities Titel Frakfurt, des Projekts 17. September 2007 Durchgeführt vo: HTW Dresde, Prof. Dr. Ralph Sotag BlueMars GmbH, Tobias Kirchhofer, Dr. Aja Rau Mit freudlicher

Mehr

Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen

Dritter Zirkelbrief: Ungleichungen Matheschülerzirkel Uiversität Augsburg Schuljahr 014/015 Dritter Zirkelbrief: Ugleichuge Ihaltsverzeichis 1 Grudlage vo Ugleichuge 1 Löse vo Ugleichuge 3 3 Mittel 4 4 Mittelugleichuge 5 5 Umordugsugleichug

Mehr

Wahrscheinlichkeit & Statistik

Wahrscheinlichkeit & Statistik Wahrscheilichkeit & Statistik created by Versio: 3. Jui 005 www.matheachhilfe.ch ifo@matheachhilfe.ch 079 703 7 08 Mege als Sprache der Wahrscheilichkeitsrechug, Begriffe, Grudregel Ereigisraum: Ω Ω Mege

Mehr

APPENDX 3 MPS Umfragebögen

APPENDX 3 MPS Umfragebögen APPENDX 3 MPS Umfrageböge Iformatio zur Mitarbeiterbefragug Liebe Mitarbeiteri, lieber Mitarbeiter, die Etwicklug eies eiheitliche Produktiossystems für Mercedes-Bez ist abgeschlosse ud seit Jauar 2000

Mehr

Kapitel 4: Stationäre Prozesse

Kapitel 4: Stationäre Prozesse Kapitel 4: Statioäre Prozesse M. Scheutzow Jauary 6, 2010 4.1 Maßerhaltede Trasformatioe I diesem Kapitel führe wir zuächst de Begriff der maßerhaltede Trasformatio auf eiem Wahrscheilichkeitsraum ei ud

Mehr

Projekte des BTW. Deutscher Bundestag/Stephan Erfurt. Projekte des BTW

Projekte des BTW. Deutscher Bundestag/Stephan Erfurt. Projekte des BTW Projekte des BTW Deutscher Budestag/Stepha Erfurt Projekte des BTW 21 Wirtschaftsfaktor Tourismus Belastbare Zahle für eie umsatzstarke Querschittsbrache Das Jahr 2011 stad für de BTW uter aderem im Zeiche

Mehr

Bereichsleitung Fitness und GroupFitness (IST)

Bereichsleitung Fitness und GroupFitness (IST) Leseprobe Bereichsleitug Fitess ud GroupFitess (IST) Studieheft Persoalmaagemet Autori Corelia Trikaus Corelia Trikaus ist Diplom-Ökoomi ud arbeitet als wisseschaftliche ud pädagogische Mitarbeiteri bei

Mehr

Linsengesetze und optische Instrumente

Linsengesetze und optische Instrumente Lisegesetze ud optische Istrumete Gruppe X Xxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxx Xxxxxx Mat.-Nr.: XXXXX Mat.-Nr.: XXXXX XX.XX.XX Theorie Im olgede werde wir eie kurze Überblick über die Fuktio, de Aubau ud die Arte vo

Mehr

Wir verbessern jede Photovoltaik-Anlage!

Wir verbessern jede Photovoltaik-Anlage! Wir verbesser jede Photovoltaik-Alage! Kompetez durch Erfahrug Solarpark Katharierieth II 2.0 MWp Sichere Erträge seit 2011 eergizig a clea future Solarpark Westmill 5.0 MWp Solarpark Huge 2.9 MWp Solarpark

Mehr

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle

Kapitel 6: Statistische Qualitätskontrolle Kapitel 6: Statistische Qualitätskotrolle 6. Allgemeies Für die Qualitätskotrolle i eiem Uterehme (produzieredes Gewerbe, Diestleistugsuterehme, ) gibt es verschiedee Möglichkeite. Statistische Prozesskotrolle

Mehr

Evaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt

Evaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt 2.4.5 Gauss-Test ud t-test für verbudee Stichprobe 2.4.5.8 Zum Begriff der verbudee Stichprobe Verbudee Stichprobe: Vergleich zweier Merkmale X ud Y, die jetzt a deselbe Persoe erhobe werde. Vorsicht:

Mehr

LTN-Newsletter. Evaluation 2011

LTN-Newsletter. Evaluation 2011 LTN-Newsletter Evaluatio 211 LTN-BBiT LearTechNet Bereich Bildugstechologie Uiversität Basel Vizerektorat Lehre Petersgrabe 3 CH-43 Basel ifo.ltn@uibas.ch www.ltn.uibas.ch - 2 - Ihaltsverzeichis Durchführug

Mehr

10. Fachtagung Tag der Kommunen Rheinland-Pfalz

10. Fachtagung Tag der Kommunen Rheinland-Pfalz 10. Fachtagug Tag der Kommue Rheilad-Pfalz Bige, 24. Jui 2014 Theme des Tages Kommuale News - Steuer, Gebühre, Beiträge, weitere Neueruge Durchsetzug Äderuge Grudzüge Alles kommualer Forderuge im Isolvezverfahre

Mehr

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81 Fiazmathematik 8 FINANZMATHEMATIK. Zise ud Ziseszise Die Zise als Preis für die Zurverfügugstellug vo Geld bilde das zetrale Elemet i der Fiazmathematik. Hierbei sid verschiedee Arte der Verzisug zu uterscheide.

Mehr

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT

Qualitätskennzahlen für IT-Verfahren in der öffentlichen Verwaltung Lösungsansätze zur Beschreibung von Metriken nach V-Modell XT Qualitätskezahle für IT-Verfahre i der öffetliche Verwaltug Lösugsasätze zur Vo Stefa Bregezer Der Autor arbeitet im Bereich Softwaretest ud beschäftigt sich als Qualitätsbeauftragter mit Theme zu Qualitätssicherug

Mehr

Lösungen zu Kontrollfragen

Lösungen zu Kontrollfragen Lehrstuhl für Fiazwirtschaft Lösuge zu Kotrollfrage Fiazwirtschaft Prof. Dr. Thorste Poddig Fachbereich 7: Wirtschaftswisseschaft 2 Forme der Fremdfiazierug (Kapitel 6) Allgemeier Überblick 89. Ma ka die

Mehr

Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09

Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09 Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht

Mehr

1 Analysis T1 Übungsblatt 1

1 Analysis T1 Übungsblatt 1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.

Mehr

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v

Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v Tao De / Pa JiaWei Ihrig/Pflaumer Fiazmathematik Oldeburg Verlag 1999 1..Ei Darlehe vo. DM soll moatlich mit 1% verzist ud i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Wie hoch sid a) die Moatsrate? b)

Mehr

2. Einführung in die Geometrische Optik

2. Einführung in die Geometrische Optik 2. Eiührug i die Geometrische Optik 2. Allgemeie Prizipie 2.. Licht ud Materie Optische Ssteme werde ür de Spektralbereich zwische dem extreme Ultraviolette ( m) ud dem thermische Irarote (Q-Bad bei 2

Mehr

Finanzmathematik für HAK

Finanzmathematik für HAK Fiazmathematik für HAK Dr.Mafred Gurter 2008. Kapitalverzisug bei der Bak mit lieare (eifache) Zise währed des Jahres Beispiel : Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% für 250 Tage verzist. Wie viel bekommt ma

Mehr

SHOP MAMBO DER WEG ZU IHREM. Was ist Mambo und was steckt dahinter? Grundlagen eines Franchisenehmers. Wer macht was? Was liefert Mambo?

SHOP MAMBO DER WEG ZU IHREM. Was ist Mambo und was steckt dahinter? Grundlagen eines Franchisenehmers. Wer macht was? Was liefert Mambo? DER WEG ZU IHREM SHOP Was ist Mambo ud was steckt dahiter? Grudlage eies Frachiseehmers Wer macht was? Was liefert Mambo? Was liefert Mambo och? Was ist? Ud wer steht dahiter? Was ist Mambo ud was steckt

Mehr

A 2. Abb. 1: Analogon zum rechtwinkligen Dreieck

A 2. Abb. 1: Analogon zum rechtwinkligen Dreieck Has Walser, [0076], [0080] Verallgemeierug des Satzes vo Pythagoras Hiweis: H. Sch., W. Im Raum. Aalogo zum rechtwiklige Dreieck Wir ersetze de zweidimesioale rechte Wikel durch eie Raumecke, wie sie bei

Mehr

Elektrostatische Lösungen für mehr Wirtschaftlichkeit

Elektrostatische Lösungen für mehr Wirtschaftlichkeit Elektrostatische Lösuge für mehr Wirtschaftlichkeit idustrie für igeieure, profis ud techiker i etwicklug, produktio ud motage. www.kerste.de Elektrostatische Lösuge kerste ist seit über 40 Jahre der führede

Mehr