Zahlen und Grundrechenarten

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1 Zhlen und Grundrechenrten In diesem Kpitel... Ntürliche Zhlen durch die Nchfolgeropertion erkennen Mit Differenzen zu den gnzen Zhlen Mit Quotienten zu den rtionlen Zhlen Irrtionle Zhlen hinzunehmen v Rechnen mit Vriblen, Klmmern und Summenzeichen I n diesem ersten Kpitel zeige ich Ihnen, woher die Zhlen kommen und wie Sie mit diesen rechnen können. Mit diesem Verständnis lernen Sie nebenbei noch einml, wie Sie mit Brüchen zu rbeiten hben. Am Ende dieses Einführungskpitels werden Sie mit den Grundbestndteilen der mthemtischen Sprche vertrut gemcht: den Vriblen! Ds Rechnen mit diesen Unbeknnten muss sitzen, wie Sie sehen werden. Mthemtik und ihre ntürlichen Zhlen Fngen wir lngsm n. Wenn Sie in einem Korb Ihre Äpfel zählen wollen, dnn strten Sie mit der Eins und zählen weiter: zwei, drei, vier und so weiter. Diese Zhlen benötigen Sie ständig im täglichen Leben es hndelt sich um die so gennnten ntürlichen Zhlen. Die Menge der ntürlichen Zhlen bilden die Zhlen 0,1,,3,4,5,... Diese Menge ist unendlich groß: Ist nämlich eine Zhl n in der Menge enthlten, so uch ihr Nchfolger n + 1. Die ntürlichen Zhlen sind in Abbildung 1.1 drgestellt, so wie Sie sie erwrten: Abbildung 1.1: Ntürliche Zhlen Die Mthemtiker sind sich oft nicht gnz einig, ob sie die Null zur Menge der ntürlichen Zhlen hinzuzählen sollen. Ds stellt ber uch kein Problem dr. Es hndelt sich um eine typische Sitution in der Mthemtik: Mit beiden Vrinten können sie leben und rechnen, ber sie müssen es vorher festlegen die Mthemtiker nennen dies»definieren«. In diesem Buch gehört die Null zur Menge der ntürlichen Zhlen. Ich sge Ihnen uch, wrum ich dies gut finde: Stellen Sie sich vor, Sie möchten die ntürlichen Zhlen verwenden, um eine Anzhl von Gegenständen zu beschreiben: Wie viele Äpfel im Korb sind; wie 33

2 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure für Dummies viele Birnen sich im Regl befinden oder wie viele Autos uf der Strße vorbeifhren. Dies können eben 1,, 3 oder 1000 sein. Der Korb, ds Regl oder die Strße knn ber genuso gut uch leer sein. Diese Anzhl würden Sie dnn mit Null beschreiben. Ntürliche Zhlen ls Äquivlenzklssen Betrchten Sie eine Tüte mit drei Birnen. Nehmen Sie nun die drei Birnen herus und pcken Sie drei Äpfel hinein. Wenn Sie nur die Anzhl der Objekte beschreiben möchten, die sich in der Tüte befinden, dnn kommt es nicht uf ds Objekt n, die Äpfel und Birnen, sondern nur uf die Anzhl: in beiden Fällen»3«. Dher beschreibt die Zhl»3«offenbr gnz viele Dinge, nämlich gnz viele Tüten mit jeweils drei Objekten oder uch eine kleine Herde von drei Pferden oder eine Fmilie mit der Mutter, dem Vter und dem Kind. Die Zhl»3«ist dher eine Abkürzung, ein Repräsentnt der Mengen mit jeweils drei Objekten. Ds ist Mthemtik! Es wird ber noch besser: Der Null entspricht lso die leere Tüte mit Äpfeln oder uch die leere Tüte mit Birnen. Achtung! Die leere Tüte ist nicht nichts! Es bleibt eine Tüte, in der einfch nur nichts enthlten ist. So wie die Zhl 0 eben immer noch eine Zhl ist. Auch ds ist Mthemtik. Im Bereich der ntürlichen Zhlen hben Sie (mindestens) zwei Opertionen, mit denen Sie rechnen können: die Addition»+«und die Multipliktion» «. (Mnchml wird der Multipliktionspunkt uch ls» «geschrieben. Diese Opertionen sind beide zweistellig, ds heißt Sie verknüpfen zwei ntürliche Zhlen und erhlten eine neue, nämlich die so gennnte Summe beziehungsweise ds Produkt. Ein pr technische Detils für die richtigen Worte: Bei der Addition verknüpft mn zwei Zhlen und b zu einer neuen Zhl + b. Dbei heißen und b die beiden Summnden und + b die Summe. Bei der Multipliktion verknüpft mn zwei Zhlen und b zu einer neuen Zhl b. Dbei heißen und bdie beiden Fktoren und bds Produkt. Mit ntürlichen Zhlen können Sie schon schön rechnen. Ds liegt n den Eigenschften, die diese Zhlen in Verbindung mit Ihren Opertionen hben. Wenn Sie diese ngeben möchten, müssen Sie über lle ntürlichen Zhlen gleichzeitig sprechen. Ds ist gr nicht so einfch, denn es gibt unendlich viele von ihnen. Wenn Sie eine Eigenschft lso ncheinnder für lle Zhlen ngeben wollten, dnn werden Sie j nicht fertig soviel Zeit können Sie sich gr nicht nehmen (oder zumindest sollten Sie sich nichts dnch vornehmen)! Um dieses scheinbre Problem in den Griff zu bekommen, bruchen wir zunächst einml eine Schreibweise hierfür: Sie verwenden die so gennnten Quntoren " und $ wie folgt: Den Allquntor " lesen Sie ls»für lle«und verwenden diesen, um über lle Zhlen gleichzeitig zu sprechen: So lesen Sie die Formel»" x( x+ 1> x) «ls»für lle x ist x + 1 echt größer ls x«. Ds bedeutet, dss es egl ist, welche Zhl x Sie nehmen, ihr Nchfolger x + 1 wird stets echt größer sein. Dies gilt lso für 0, 1,, ber uch für 11 oder 111 oder uch und lle nderen Zhlen uch. 34

3 1 Zhlen und Grundrechenrten Den Existenzquntor $ lesen Sie ls»es existiert ein«und verwenden diesen, um die Existenz einer Zhl zu postulieren: So lesen Sie die Formel» $ y( + y = 8) «ls»es existiert ein y, so dss plus y gleich 8 ist«. Ds bedeutet, dss es eine Zhl geben muss, die zur ddiert 8 ergibt. Diese Zhl gibt es ntürlich uch, nämlich die 6. Mithilfe der Quntoren können Sie nun beliebig komplizierte Formeln ufstellen, die ds Verhlten der Zhlen und ihrer Opertionen beschreiben. Ein Beispiel: Es gilt in den ntürlichen Zhlen " x" y$ z( x < y Æ x+ z = y ). Ds bedeutet, dss egl welche Zhlen Sie uswählen, wenn die erste kleiner ls die zweite ist, dnn können Sie immer eine Zhl finden, die zur ersten ddiert die zweite ergibt. Verstnden? Sonst lesen Sie diesen Stz bitte noch einml und überprüfen Sie sich selbst, ob Sie diesen Inhlt uch us der Formel bgelesen hätten. Dbei geht es weniger um den Wortlut, sondern nur um den beschriebenen Schverhlt. Mehr zur mthemtischen Logik und den Formeln der Mthemtik lernen Sie in Kpitel 3. Um Mthemtik zu verstehen, müssen Sie Mthemtik lesen, schreiben und sprechen lernen. Formeln sind dbei die Schriftsprche, die Sie wählen um zu kommunizieren. Formeln sind in der Mthemtik sehr wichtig, um kurz und knpp über Zusmmenhänge zu sprechen. Wenn Sie lles mit Worten beschreiben würden, dnn würden die Inhlte untergehen. In der Mthemtik ist es sehr wichtig, den Überblick zu behlten und dies erreichen Sie durch kurze ber übersichtliche Drstellungen. Aber seien Sie beruhigt, ein solches Gefühl kommt nicht von heute uf morgen. Hben Sie Geduld. Sie erlernen eine neue Sprche dies geht uch nicht von heut uf morgen. Eigenschften der Grundrechenrten Lssen Sie uns endlich rechnen und trotzdem Mthemtik betreiben. Ich zeige Ihnen nun mithilfe der Formeltheorie ein pr llgemeine Rechengesetze und Sie versuchen diese gemeinsm mit mir zu verstehen. Folgende grundlegende Eigenschften der Opertionen Addition und Multipliktion über den ntürlichen Zhlen können Sie leicht verstehen: Assozitivgesetz der Addition: " x" y" z ( ( x+ y) + z = x+ ( y+ z) ) Kommuttivgesetz der Addition: " x" y ( x+ y = y+ x) Existenz des neutrlen Elementes der Addition: " x( x+ 0 = x Ÿ 0+ x = x) Assozitivgesetz der Multipliktion: " x" y" z ( ( x y) z = x ( y z) ) Kommuttivgesetz der Multipliktion: " x" y ( xy = yx ) Existenz des neutrlen Elementes der Multipliktion: " x( x 1 = x Ÿ 1 x = x) Distributivgesetz: " x" y" z ( x ( y+ z) = x y+ x z) Ds ist Ihnen zu technisch beschrieben? Aber verständlich ist es dennoch, oder? Sie können lso beliebig klmmern oder uch die Summnden oder Fktoren in ihrer Reihenfolge tu- 35

4 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure für Dummies schen. Und schließlich gibt es jeweils ein Element pro Opertion, dessen Verknüpfung nichts m Ausgngswert ändert: Addieren Sie die Null, pssiert genuso viel, ls wenn Sie mit der Eins multiplizieren, nämlich nichts Neues. Mehr zum Verknüpfen von Aussgen lesen Sie in Kpitel 3. Ein Beispiel: Wenn Sie beispielsweise den Term (( x ) ( ( 1 x) ) x) betrchten, dnn können Sie wegen der Assozitivität die Klmmern sofort weglssen und erhlten den wesentlich vereinfchten Ausdruck: x 1 x x. Hier können Sie wegen der Kommuttivität uch noch ordnen: xxx 1. Die neutrle Eins können Sie glücklicherweise uch noch weglssen, ohne etws inhltlich zu ändern und die Multipliktion mit sich selbst können Sie bkürzend ls Potenzen schreiben, wenn Sie ds möchten und erhlten schließlich: 3 3 x ds ist doch viel einfcher! Übrigens, Sie können gnz llgemein eine Menge M mit einer Opertion druf betrchten. Gilt " x" y" z ( ( x y) z = x ( y z) ) so nennt mn die Struktur ( M, ) eine Hlbgruppe. Gilt zusätzlich " x" y ( x y = y x), so spricht mn von einer kommuttiven (oder belschen) Hlbgruppe. Gibt es in einer Hlbgruppe ein neutrles Element, so nennt mn die Struktur Monoid. Von den ntürlichen zu den gnzen Zhlen In den ntürlichen Zhlen können Sie lso ddieren und muliplizieren und ds ohne jede Einschränkung. Allerdings kennen Sie uch noch ndere Opertionen, die Sie zumindest teilweise uch uf den ntürlichen Zhlen usführen können: Ich spreche von den Umkehropertionen, lso Subtrktion und Division: 7-4 = 3 und 8:4 =. Allerdings können Sie nicht einfch 4-7 oder 4: 8berechnen, d es keine ntürliche Zhl gibt, die diesen Termen entsprechen würde. Dennoch hben Sie sofort ein Gefühl dfür, ws 4-7 sein sollte, nämlich - 3. Und schon sind wir bei den gnzen Zhlen. Zu jeder ntürlichen Zhl n Œ bezeichnet -n ihre Gegenzhl, die die Eigenschft n+ (- n) = (- n) + n = 0 besitzt. Die Menge der ntürlichen Zhlen zusmmen mit ll ihren Gegenzhlen bezeichnet mn ls Menge der gnzen Zhlen, lso: = {, -n,, -3,-,-1,0,1,,3,, n, }. Die gnzen Zhlen erweitern die Ntürlichen und ergeben dher folgende Sitution: Abbildung 1.: Gnze Zhlen Schuen Sie sich folgende erste Eigenschften der gnzen Zhlen n: Bechten Sie, dss per Definition»- 0«offenbr gleich 0 sein muss. Überprüfen Sie dies bitte, indem Sie sich die Summeneigenschft der Gegenzhl der 0 nschuen: Es gilt nämlich, dss die Gegenzhl der 0, lso - 0, offenbr die Zhl z ist, so dss 0+ z = z+ 0 = 0 gilt. Diese Eigenschft erfüllt genu die Zhl 0 selbst. 36

5 1 Zhlen und Grundrechenrten Des Weiteren sehen Sie, dss die gnzen Zhlen die ntürlichen Zhlen erweitern. Mn sgt, dss die ntürlichen Zhlen eine Teilmenge der gnzen sind und schreibt: Ã. Der Betrg einer gnzen Zhl z Œ ist gnz einfch definiert, wenn Sie es gnz lngsm Ï- z, flls z < 0 Ô lesen: z : = Ì0, flls z = 0 Ô Óz, flls z > 0 Bechten Sie, dss der Betrg einer gnzen Zhl nie negtiv ist! Es gilt: 3 = 3 und - 3 = -- ( 3) = 3. Die Addition der ntürlichen Zhlen wird uf die gnzen Zhlen komptibel fortgesetzt schuen Sie selbst: Der Term 7+ 4 ist uch weiterhin 11, d beide Summnden positiv sind. Der Term 7 + (-4) entspricht 7-4 = 3, d Sie die betrgskleinere Zhl einfch von der betrgsgrößeren bziehen, denn ds Minuszeichen steht vor der betrgskleineren Zhl und wird einfch durchgereicht. Der Term (- 7) + 4 entspricht -(7-4) =- 3, d Sie die betrgskleinere Zhl von der betrgsgrößeren bziehen diesml ber ds Minuszeichen bei der betrgsgrößeren stnd und sich durchsetzt! Der Term (- 7) + (-4) entspricht -(7 + 4) =- 11, d beide Summnden negtiv sind, ddieren Sie die Beträge der Summnden und setzen ein Minuszeichen dvor. Sie sehen, wie ufwändig es sein knn, nur die Addition zu definieren, wenn mn dies forml durchführen möchte. Ich bin sicher, dss Sie diese beispielhfte Vorgbe zu einer llgemeinen Definition fortsetzen könnten dzu müssten Sie lediglich die konkreten Zhlen durch Vriblen ersetzen. Die Fortsetzung der Opertionen beschränkt sich zurzeit ntürlich nur uf die Addition für die Multipliktion zeige ich Ihnen dies in Kurzform: Es gilt: 84 = (-8)( - 4) = 3 und 8 ( - 4) = (- 8) 4 =-3. Ds bedeutet, wenn ein Minuszeichen dbei ist, dominiert es sind gr zwei Minuszeichen dbei, wird drus wieder ein Pluszeichen. Ein pr technische Detils für die richtigen Worte: Bei der Subtrktion verknüpft mn zwei Zhlen und b zu einer neuen Zhl - b. Dbei heißt der Minuend, b der Subtrhend und -b die Differenz. Bei diesen formlen Definitionen der Addition können wir uch die Subtrktion definieren Sie schreiben: -b für gnze Zhlen, b und meinen dmit den Term + (- b). Ein Beispiel: 4-7 = 4 + (- 7) = (- 7) + 4 = -(7-4) =- 3. Noch ein Beispiel: Berechnen Sie den Term Sie sehen sofort, dss es sich um -3 Elemente von»«hndelt, zu denen Sie eines hinzufügen. Somit muss ds Ergebnis - 37

6 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure für Dummies sein. (Stellen Sie sich dies ls Schulden vor: Wenn Sie jemndem 3 Äpfel schulden und Sie diesem Geschäftsprtner einen Apfel geben, dnn schulden Sie ihm nur noch Äpfel.) Ds sehen Sie uch nhnd der obigen Regeln, denn - 3 = 3 >, lso gilt =-(3 - ) = -. Sie könnten uch rechnen: = (- 3) + 1 = [- 3+ 1] = [-(3-1)] = -. Nicht schöner, ber ds steckt eigentlich hinter der ersten Rechnung. Also keine Angst vor Vriblen ber dies können Sie im letzten Abschnitt dieses Kpitels noch weiter üben. Existenz inverser Elemente nicht unterschätzen Ein großer Unterschied zwischen der Addition und der Multipliktion uf den gnzen Zhlen ist die Ttsche, dss es zu jeder gnzen Zhl eine ndere gnze Zhl gibt, so dss deren Summe ds neutrle Element Null ergibt: Zu jedem z Œ können Sie die Gegenzhl -z Œ finden, denn es gilt z+ (- z) = 0. Dies gilt weder für die Addition in den ntürlichen Zhlen (denn für die Zhl 3 gibt es keine ndere ntürliche Zhl, so dss die Summe 0 ergibt) noch für die Multipliktion in den ntürlichen und gnzen Zhlen: Für die Zhl gibt es keine ntürliche oder gnze Zhl, so dss ds Produkt mit ihr ds neutrle Element der Multipliktion, die Eins, ergibt. Verstnden? Dnn suchen Sie noch weitere Gegenbeispiele für diese Negtivussgen. In der Struktur (,+ ) gilt ds Assozitivgesetz, ds Kommuttivgesetz sowie die Existenz des neutrlen Elements. Des Weiteren gilt ds Gesetz der Existenz der Inversen: " x$ y( x+ y = 0). Mthemtiker nennen solche Strukturen belsche Gruppen. Die Struktur (,+ ) ist keine Gruppe, so ist uch die Struktur (, ) keine Gruppe; beides sind llerdings Monoide. Mthemtiker und ihre Konstruktion der gnzen Zhlen Wenn Mthemtiker die gnzen Zhlen definieren, dnn schreiben Sie nicht einfch die ntürlichen Zhlen und ihre Gegenzhlen uf. Die Gegenzhlen existieren in dieser Art uch gr nicht, denn wenn Sie ehrlich sind, dnn nutzen Sie bei der Schreibweise -3 bereits ihr Wissen drüber, dss diese Zhl irgendwo existieren muss. Sie müssen sich vorstellen und ds können Mthemtiker sehr gut, dss Sie nur Wissen über die ntürlichen Zhlen hben und us diesem Wissen über diese Zhlen neue kreieren möchten unvorstellbr, oder? Ich zeige Ihnen die Idee: Ws Ihnen in der Welt der ntürlichen Zhlen fehlt, sind Differenzen beliebiger ntürlicher Zhlen. Mthemtiker kzeptieren typischerweise nicht oft, dss etws nicht existiert sie definieren sich diese Dinge einfch. So uch hier: Betrchten Sie einfch die Menge der folgenden Zhlenpre [ b, ] für ntürliche Zhlen bund, interpretieren Sie dies (im Kopf) ls b-. Nun können Sie verschiedene solche Pre miteinnder identifizieren, nämlich diese, die in Ihrer Interprettion gleich sein sollen: Also etw [,4 ] und [ 6,8 ], denn beide würden Sie interpretieren ls 4- = 8-6 =. Mthemtiker sprechen hier von der Bildung von Äquivlenzklssen. Verstnden soweit? Gut! Dnn weiter: Sehen Sie, dss Sie uch Zhlenpre hben, die Ihrer - entsprechen, beispielsweise [ 4,] oder uch [ 14,1 ]. Dmit entspricht diese Menge von Zhlenpren, jeweils ls gleich mrkierte Pre nur einml gezählt, genu der Menge von gnzen Zhlen diesml ber nur mittels der ntürlichen Zhlen definiert. Immer noch verstnden gut, dnn weiter im Text. Auf dieser Menge von Zhlen- 38

7 1 Zhlen und Grundrechenrten pren können Sie nun uch Opertionen, wie etw die Addition definieren. Sie schreiben forml: [ b, ] + [ cd, ] = [ + c, b+ d]. Dies entspricht uch Ihrer Interprettion, denn ( b- ) + ( d - c) = ( b+ d) -( + c). Für die Multipliktion würde mn dnn schreiben: [, b] [ c, d] = [ bc + d, bd + c ]. Dies ist schon viel komplizierter, ber es stimmt schuen Sie selbst: ( b-) ( d - c) = bd -bc - d + c = ( bd + c) -( bc + d). Aufgben mit Klmmern richtig lösen Hier gibt es nicht viel zu erläutern, ber wenn ich es nicht erkläre, dnn fehlt es. D die Addition und die Multipliktion ssozitiv sind, können Klmmern meistens weggelssen werden. Sie müssen lso nicht (( 0+ ( 1+ ) + ( 3+ 4) ) + 5) schreiben, sondern können dies einfch ls notieren. Allerdings müssen Sie ufpssen, wenn Sie subtrhieren, denn: Steht ein Minuszeichen vor der Klmmer, ändern sich lle Zeichen in der Klmmer! Ds bedeutet, us einem Pluszeichen innerhlb der Klmmer wird beim Weglssen ein Minuszeichen und umgekehrt, ds heißt: -( ) ist ds Gleiche wie Klmmern werden dnn interessnt, wenn Sie dmit eine Reihenfolge zwischen verschiedenen Opertionen festlegen. So ist 1+ 3 = 1+ ( 3) = 7, ber ntürlich gilt ( 1+ ) 3 = 9. Im ersten Fll hbe ich eine weitere Regel verwendet, nämlich Punktrechnung geht vor Strichrechnung erinnern Sie sich n Ihre Schulzeit? Aus gnz wird rtionl Bruchrechnung ml nders In dem vorngegngen Abschnitt hben Sie gesehen, dss Sie mit den gnzen Zhlen zwr ddieren, subtrhieren und multiplizieren können llerdings nicht dividieren zumindest nicht teilen durch beliebige Zhlen. Um eine Zhlenmenge zu bekommen, die uch unter Division bgeschlossen ist, müssen wir die gnzen Zhlen erweitern. (Abgeschlossen unter einer Opertion zu sein bedeutet, dss ds Ergebnis der Opertion von zwei beliebigen Elementen der Menge wieder in der Menge liegt.) Dies muss ber so geschehen, dss die größere Menge die positiven Eigenschften betreffs der Addition, Subtrktion und Multipliktion nicht verliert. Ds ist nämlich gr nicht so klr. Die Zhlenklsse, die hier benötigt wird, sind die rtionlen Zhlen. Diese werden durch Brüche p von gnzen Zhlen, q pqœ (für q π 0 ) gebildet, so dss dmit per Definition die Division möglich ist. Außerdem sind die gnzen Zhlen ebenflls in dieser neuen Menge p enthlten, denn durch Division durch Eins bleibt die Ausgngszhl erhlten: 1 = p. Die Menge ller p q für p Œ, q Œ, q π 0 bezeichnet mn ls rtionle Zhlen. Die Elemente der Menge werden uch Brüche gennnt. Sie lesen p q ls»p durch q«. Dbei heißt p der Zähler und q der Nenner des Bruchs p q. Der Kehrwert von p q ist q. Sie vertuschen lso Zähler und Nenner. p Die rtionlen Zhlen drzustellen, ist gr nicht so einfch, wenn mn die übliche Zhlengerde betrchtet. Die fehlenden (irrtionlen) Löcher im Vergleich zu den beknnten reellen 39

8 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure für Dummies Zhlen sind nicht drstellbr bestenflls erkennbr mit einer unendlichfch vergrößernden Lupe. Dher erscheint die Drstellung sehr strk verruscht: Abbildung 1.3: Rtionle Zhlen Bechten Sie, dss verschiedene Drstellungen ls Brüche doch gleiche Zhlen ergeben ds Stichwort, welches Sie sicher sofort errten, ist Kürzen von Brüchen. Die Brüche p q und p sind für lle 0 q π gleich. So knn us dem Bruch 10 8 leicht durch Kürzen (Division durch = ) der Bruch 5 entstehen und es gilt: =. Wenn der Bruch p nicht weiter gekürzt werden knn, dnn sind Zähler 8 4 q und Nenner teilerfremd, hben lso keinen weiteren Teiler. Ds Gegenteil von Kürzen ist Erweitern. So können Sie den Bruch 7 leicht durch Erweitern (Multipliktion mit = 6) uf den Bruch 4 bringen, ohne 1 etws m Wert des Bruches zu ändern. Ein Beispiel: Ds Kürzen benötigen Sie, um die Zhlenwerte in Zähler und Nenner möglichst klein zu hlten. Niemnd möchte mit dem Bruch 4 weiterrechnen, sondern dnn 1 lieber mit dem gekürzten Bruch 7, oder? 1 Mnchml sehen Sie uch gemischte Zhlen, beispielweise 1. Dnn hndelt 3 1 es sich um eine verkürzte Form von 1 +. D mn dies uch mit einem weggelssenen Multipliktionszeichen verwechseln knn, benutzen Sie diese Schreibweise sehr vorsichtig, es gilt 1 = + = Noch ein Beispiel: Ds Erweitern benötigen Sie dgegen um den so gennnten Huptnenner zu finden: Der Huptnenner ist ds kleinste gemeinsme Vielfche der Nennerzhlen. Auf diesen Zhlenwert erweitern Sie dnn beide Brüche: Die Brüche ½ und ¾ hben ls Huptnenner die Zhl 4 und Sie können den ersten uf erweitern. Sie könnten uch beide Brüche uf ndere gemeinsme Vielfche erweitern, etw uf 8. Dnn werden us ½ und ¾ die 4 Brüche 4 8 und 6. Ist lso gnz leicht. 8 Nun können Sie lle vier Grundopertionen usführen schuen Sie ml: Es ist offensichtlich, dss Sie nun gnze Zhlen teilen können und in bleiben. Die Frge ist ber, ws pssiert, wenn Sie nun rtionle Zhlen selbst mit einnder verknüpfen. Aber uch ds geht recht einfch: Beim Addieren p + müssen Sie beide Summnden zunächst uf den Huptnenner bringen, lso uf ds kleinste gemeinsme Vielfche der Nennerzhlen q und b. Ws q b immer 40

9 1 Zhlen und Grundrechenrten geht ist ds Produkt qb, dies muss ber nicht ds kleinste gemeinsme Vielfche sein. Nchdem Sie nun beide Summnden erweitert hben, können Sie weiterrechnen: p pb q pb+ q + + = + =. Dbei ist wieder eine rtionle Zhl. q b qb qb qb pb q qb Subtrhieren können Sie über die Addition: p p - - = +. Fertig. Multiplizieren ist gnz einfch es gilt: p q b q b q b p q b =. Multiplizieren von Brüchen heißt: Zähler ml Zähler und Nenner ml Nenner. Beim Dividieren müssen Sie sich konzentrieren, denn dies wird leider gnz oft und gnz rsch wieder verlernt: Wenn Sie den Term : p p q p b q b b q p p q q b b fch : = =, denn Sie müssen folgende Regel nwenden: = berechnen wollen, rechnen Sie ein Division durch einen Bruch ist gleich Multipliktion mit seinem Kehrwert. Ein Beispiel: Rechnen Sie Gleichheitszeichen für Gleichheitszeichen mit durch Übung wird die Sche verständlicher: / / = = = = = - = = = = = = / : = = = = / = 3 Noch ein Beispiel: Berechnen Sie die Summe, ds Produkt und den Quotienten von und 3b. Sie rechnen dher gnz in Ruhe 3 3b + 3 b + 6b = = sowie b = b = b und schließlich 3 3b : 3. b 3b 6b = = =. Auch nicht wirklich schwieriger, oder? Denken Sie immer drn, dss Sie nichts us Summen und Differenzen kürzen können lso konkret: In dem Bruch 3 + 6b können Sie nichts kürzen! Nchdem Sie nun verstnden hben, wie Bruchrechnung funktioniert, können wir einen Schritt weiter gehen. Sie hben nun nämlich eine Struktur mit einer zusätzlichen Eigenschft vor sich: 41

10 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure für Dummies Sowohl die Struktur (,+ ) ls uch ( \{ 0 }, ), ds heißt die rtionlen Zhlen mit der Addition und der Multipliktion, bilden jeweils eine belsche Gruppe. Ds bedeutet, dss Sie Summnden oder Fktoren vertuschen können, Sie beliebig klmmern dürfen, jeweils ein neutrles Element bezüglich der jeweiligen Opertion existiert und dss es schließlich zu jedem Element ein Inverses gibt. Bechten Sie, dss ds neutrle Element von (,+ ) ntürlich die Null ist, ber ds neutrle Element in ( \ { 0 }, ) selbstverständlich die Eins drstellt. Drn ht sich vom Übergng von den gnzen Zhlen nichts geändert. Neu ist nun, dss es in den rtionlen Zhlen bezüglich der Multipliktion ebenflls beliebige Inverse gibt, denn zu einer rtionlen Zhl bildet p q p q ihr Kehrwert ds pssende Inverse: = = 1. q p q p Ein pr technische Detils für die richtigen Worte: Bei der Division verknüpft mn zwei Zhlen und b zu einer neuen Zhl : b. Dbei heißt der Dividend, bder Divisor und : b = der Quotient. Mthemtiker und ihre Definition der rtionlen Zhlen Ich möchte Ihnen wie bei den gnzen Zhlen etws weiter vorn in diesem Kpitel nicht verheimlichen, wie Mthemtiker sich us den gnzen Zhlen die rtionlen Zhlen herleiten. Dzu definieren Sie sich wieder geeignete Äquivlenzklssen, wie uch schon bei den gnzen Zhlen. In diesem Fll sind uch wieder Zhlenpre [ b, ] im Spiel, diesml ber für eine gnze Zhl und eine positive ntürliche Zhl b. Sie können dies, ls den Quotienten interpretieren. Die Äquivlenzklssenbildung erfolgt nun sehr ähnlich: Sie b sgen, dss zwei Zhlenpre [ b, ] und [ cd, ] gleich sein sollen, wenn d = bc. Sehen c Sie wrum? Es muss nämlich entsprechend Ihrer Interprettion gelten: =, wenn b d d = bc. Wie schon bei den gnzen Zhlen definieren Sie nun die fehlenden Opertionen: c d + bc Sie schreiben [, b] + [ c, d] = [ d + bc, bd ], denn es soll gelten + =. Einfcher b d bd geht diesml die Multipliktion: [ b, ] [ cd, ] = [ c, bd ]. Rtionle Zhlen und ihre Dezimlbrüche In den letzten Abschnitten hben Sie sich Ihre Gednken über ntürliche, gnze und rtionle Zhlen gemcht. Beim Übergng von den ntürlichen zu den gnzen Zhlen wollten Sie neben der Addition uch noch beliebig subtrhieren können. Dies wr mit den gnzen Zhlen möglich. Allerdings wr trotz der möglichen Multipliktion immer noch keine beliebige Division möglich hierfür generierten Sie sich die rtionlen Zhlen. Sind dies nun lle Zhlen, die Sie zum Rechnen bruchen? Sie können ddieren, subtrhieren, multiplizieren und dividieren. Fehlt etws? Ds kommt druf n, ws Sie mchen möchten. Sie können schon sehr viele mthemtische Frgestellungen in dieser rtionlen Welt bentworten. Beliebige Gleichungen und Ungleichungen, in denen ddiert, subtrhiert, multipliziert und dividiert wird, können Sie schon lösen. (Mehr über Gleichungen und Ungleichungen lesen Sie in Kpitel 4.) b 4

11 1 Zhlen und Grundrechenrten Ein Beispiel: Lösen Sie die Gleichung x+ = 8. Ds ist einfch, oder? Sie multiplizieren 4 beide Seiten der Gleichung mit 4 und erhlten x + = 3. Ziehen Sie uf beiden Seiten b und die neue Gleichung x = 30 teilen Sie uf beiden Seiten durch und erhlten schließlich ds gewünschte Ergebnis: x = 15. Dennoch ist mn oftmls nicht zufrieden, denn es gibt immer wieder Frgestellungen, die dnn doch nicht zu bentworten sind. Ein wichtiges Beweisbeispiel: Wenn Sie versuchen wollen, über den rtionlen Zhlen die Gleichung x = zu lösen, dnn versgen Sie utomtisch glorreich. Es gibt eben kein rtionles x, so dss x = gilt. Ds liegt drn, dss keine rtionle Zhl ist. Sie ist, so sgt mn, irrtionl. Ds ist uch leicht zu sehen: 1. Angenommen, wäre rtionl, dnn könnten Sie sie ls Quotient p für gnze Zhlen p q und q drstellen. Nehmen Sie weiterhin n, dss diese gnzen Zhlen mximl gekürzt p sind, ds heißt, dss p und q teilerfremd sind. Es würde lso gelten: q =.. Qudrieren Sie beide Seiten der Gleichung und es müsste = gelten. 3. Bringen Sie nschließend durch Multipliktion mit q diese Gleichung uf die Form p = q. Und nun? 4. Schuen Sie genu hin: Auf der rechten Seite der Gleichung steht ds Doppelte einer ntürlichen Zhl, diese muss lso eine gerde Zhl sein, so dnn uch die linke Seite der Gleichung. 5. In Kpitel 3 im Abschnitt Grundlegende Beweistechniken in der Mthemtik zeige ich Ihnen, dss wenn p gerde ist, dnn uch p. Dher finden Sie eine (ndere) ntürliche Zhl, so dss p =, denn ist die typische Gestlt einer gerden Zhl (im Gegenstz zu einer ungerden Zhl der Gestlt + 1). 6. Nun holen Sie zum Gegenschlg us: Dnn gilt nämlich uch p = 4. Zusmmen mit der Gleichung p = q gilt insgesmt: 4 = q. 7. Durch Teilen erhlten Sie = q. Aber dnn wiederum ist uch q mit dem gleichen Argument eine gerde Zhl und dmit uch q. 8. Insgesmt wären dnn p und q durch teilbr und dies widerspräche der ngenommenen Teilerfremdheit. Mn muss sich schon konzentrieren um ds richtig zu verstehen. Nun gut, nch dem gerde gesehenen Beispiel wissen Sie, dss die Wurzel us nicht rtionl sein knn, ber ws mcht diese Zhl denn nun so irrtionl? Wie sehen denn rtionle Zhlen us? Am Wurzelzeichen knn es nicht liegen, denn 4 ist uf jeden Fll rtionl, sogr gnz (mit den Lösungen - und ). Rtionle Zhlen können Sie ls Dezimlbrüche schreiben. Dezimlbrüche hben die Gestlt einer Kommzhl, wobei vor dem Komm der gnze Anteil der Zhl zu finden ist und nch dem Komm verschiedene Nchkommstellen. Rtionle Zhlen in Dezimlbruchschreibweise hben die Eigenschft, dss sie p q 43

12 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure für Dummies entweder nur endlich viele Nchkommstellen hben oder es im Flle einer unendlichen Anzhl von Nchkommstellen eine Periode gibt, in der Sie eine Wiederholung von Ziffernfolgen finden können. Ein Beispiel: Betrchten Sie folgende rtionle Zhlen in endlicher Dezimlbruchschreibweise: 1 = 0,5 3 = 0,75 3 = 0, = 0, = 10, 4375 = 9, Betrchten Sie nun folgende rtionle Zhlen in unendlicher, ber periodischer Dezimlbruchschreibweise. Dbei deute ich Ihnen die Periode mit einem Strich über den entsprechenden Stellen n, die sich unendlich oft wiederholen schuen Sie selbst: 5 = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, Und plötzlich wird s irrtionl und rel! Im vorngegngenen Abschnitt hben Sie bereits gesehen, dss die Wurzel us nicht rtionl sein knn. Sie ist irrtionl. Nch der Theorie über die Dezimlbruchdrstellung wissen Sie uch, dss die Drstellung von ls Dezimlbruch unendlich viele Nchkommstellen besitzen muss, die keine Periode in sich trgen, lso kein Schem, welches unendlich oft wiederholt wird. Es ist gr nicht so einfch, sich dies vorzustellen. Aber ich knn Ihnen ein pr Detils zeigen folgenden Sie mir einfch. Wenn Sie uf dem Tschenrechner die Wurzel von berechnen, dnn zeigt dieser Ihnen eine Approximtion des echten Ergebnisses n. Mehr knn dieser uch nicht, denn wie gesgt, ds Ergebnis ht unendlich viele Nchkommstellen und der Tschenrechner, so genu er uch sein mg, knn nur endlich viele von diesen berechnen. Ein typisches Ergebnis des Tschenrechners ist 1, Wie genu ist dies nun, wenn es nicht ds echte Ergebnis ist? Nähern wir uns schrittweise n, so gilt: 1,4 = 1,96 und 1,5 =,5. Dher muss die Wurzel us irgendwo zwischen 1,4 und 1,5 liegen. Klr, oder? Dnn weiter es gilt dher: 1,4 = 1,96 < <,5 = 1,5 1,41 = 1,9881 < <,0164 = 1, 4 1, 414 = 1, < <,005 = 1, 415 1,414 = 1, < <, = 1, , 4141 = 1, < <, = 1,414 1,41413 = 1, < <, = 1, , = 1, < <, = 1,

13 1 Zhlen und Grundrechenrten Können Sie sehen, dss Sie sich immer näher n die Zhl nnähern, diese ber nicht erreichen können? Und diese Kette könnten wir unendlich lng fortsetzen, ohne einen Rhythmus (Periode!) in der Ausgngszhl zu bekommen. Die Menge der rtionlen Zhlen zusmmen mit den irrtionlen sind die reellen Zhlen. Diese erweitern die Menge der rtionlen Zhlen. Die Opertionen werden entsprechend fortgesetzt. Die reellen Zhlen stellen nun ds Bild dr, wie Sie es erwrten: Abbildung 1.4: Reelle Zhlen Mthemtiker und ihre Konstruktion der reellen Zhlen Sie hben bereits gesehen, dss die irrtionlen Zhlen in der Dezimlbruchdrstellung unendlich viele Nchkommstellen besitzen, ohne dss eine Periode zu finden ist. Dies klingt nicht nch der idelen Beschreibung, um solche Zhlen wirklich zu finden. Die im Text gezeigte Annäherungsmethode n die Wurzel von zeigt dbei einen möglichen Weg, den Mthemtiker gehen, um solche irrtionlen Zhlen zu beschreiben. Diese Methode wird Intervllschchtelung gennnt. Entsprechend der im Text verwendeten Rechnung könnten Sie uch die immer kleiner werdenden Intervlle wie 1,414;1,4143, folgt ngeben: [ 1, 4; 1,5 ], [ 1,41;1,4 ], [ 1, 414; 1, 415 ], [ ] [ 1, 4141;1,414 ],[ 1, 41413; 1, ], [ ] 1, ; 1, Sie erkennen, dss ds jeweils nchfolgende Intervll immer im Vorhergehenden enthlten ist und somit stets eine zwr positive ber stets kleiner werdende Länge besitzt. Wenn Sie dies bis ins Unendliche betreiben, dnn beschreiben Sie genu einen Punkt, sozusgen ds Grenzintervll der Länge null. Dieser eine Punkt, der vollständig mit rtionlen Zhlen beschrieben wurde (in Form dieser Schchtelung der Intervlle) ist die gewünschte irrtionle Zhl in unserem Fll. Andere berühmte Vertreter der irrtionlen Zhlen sind die Kreiszhl p = 3, sowie die Eulersche Zhl e. Beide Zhlen können nicht ls gnze Zhl drgestellt werden: Sie hben unendlich viele Nchkommstellen und es ist keine sich wiederholende Periode vorhnden. Sie sind sogr trnszendent. Ds bedeutet, dss Sie nicht ls Nullstellen eines Polynoms mit rtionlen Koeffizienten drgestellt werden können im Gegenstz zu, welche Nullstelle von f( x) = x - ist. Die Kreiszhl ist in der Geometrie sehr wichtig, denn Sie entspricht dem Umfng eines Kreises mit dem Durchmesser Eins und dem Flächeninhlt eines Kreises mit dem Rdius Eins. Die Eulerzhl e =, spielt in der Diffentilund Integrlrechnung eine wesentliche Rolle, wie ich Ihnen noch im Ver- 45

14 Vorkurs Mthemtik für Ingenieure für Dummies lufe des Buches zeigen werde: So lässt sich diese Zhl etw wie folgt drstellen: e = 1 n 1 lim ( 1 + ) =Â. næ n n= 0 n! Abbildung 1.5: Zhlbereiche im Vergleich Keine Angst vor dem Rechnen mit Vriblen Glücklichweise gehören Sie nicht zu der Spezies, die Angst vor Vriblen ht, oder doch? Lssen Sie mich Ihnen zeigen, wrum Ihre Nicht-Angst uch wirklich berechtigt ist, denn wenn Vriblen ufkommen, dnn behndeln Sie diese mit Respekt, ber nsonsten wie jede ndere Zhl uch. Ds Prinzip der Rechnungen bleibt nämlich ds gleiche. Ein Beispiel: Sie möchten vereinfchen. Tun Sie es! Wie würden Sie vereinfchen? b Sie würden die uf den Bruchstrich ziehen und mit der nderen multiplizieren? Gut! Dnn mchen Sie es genu so mit den Buchstben: = =. Fertig. Noch ein Beispiel: Vereinfchen Sie den Term c c = b b c / = c = c c = b b b / b b c b b b 3. Ds ist nun uch einfch. Sie rechnen: und kürzen ds in Zähler und Nenner weg Sie erhlten ds Ergebnis mit. Und noch ein Beispiel: Sie bleiben tpfer und vereinfchen diesen Term :. Ich rechne b einfch ml vor und Sie prüfen es nch und überdenken Sie bei jeden einzelnen Schritt, c wrum ich diesen mchen durfte: : = = = c. b b b c b c Und schließlich noch ein Beispiel: Jetzt wird es spnnend! Berechnen Sie den Term 3b c + 1 b +. Eins nch dem nderen und sich nicht gleich verrückt mchen lssen. Sie möchten lso Brüche ddieren. Dfür bruchen Sie den Huptnenner oder zumindest einen gemeinsmen Nenner beider Brüche. Der erste Bruch ht den Nenner 3b, der zweite b. Dher könnten Sie ls gemeinsmen Nenner 3 b nehmen, denn beide nderen Nenner teilen diesen. Sie erweitern beide Brüche uf diesen neuen Nenner 3b. Dzu multiplizieren Sie den ersten Bruch mit und den zweiten mit 3b prüfen Sie es bitte nch! c 46

15 Schließlich rechnen Sie wie folgt: 1 Zhlen und Grundrechenrten ( ) 1 c 1 3b + = + = + = c bc ( + 1) + 3 b( c + 1) ( ) ( ). 3b b 3b b 3b 3b 3b 3b Fertig. x+ 1 1 Und noch ein Abschlußbeispiel: Vereinfchen Sie bitte 3 +. Sie können nun den x -x 3 Stndrdweg gehen und einen gemeinsmen Nenner finden: x ( x x ) x+ 1 1 x ( x+ 1) 1 ( x -x ) x ( x+ 1) + ( x -x ) x + x + x -x 3 + = = 3 = 3 x -x x x ( x -x ) x ( x -x ) x ( x -x ) x ( x -x ) 3 x 3 x 3/ x/ 3 x ( x -x ) 3 x ( x -x) 3/ x/ ( x -x) x ( x-1) = = = = Wr nicht so schwer, oder? Aber konzentrieren muss mn sich eben dennoch. Ds Summenzeichen x -. Sie rechnen: In der Mthemtik geht es oft drum, komplizierte Zusmmenhänge geschickt kompkt drzustellen. Dieses Prinzip werden Sie immer wieder erkennen nicht immer wird es Ihnen im ersten Moment verständlich sein, d Sie erst die Symbole lesen lernen müssen, ber uf den zweiten oder dritten Blick werden Sie mir recht geben. n Mn schreibt:  i = n-1 + n. Mnchml schreibt mn diese Summe uch n i= 0 ls  i. Dies nimmt ber sehr viel Pltz weg und so bevorzuge ich die erste Schreibweise. i= 0 Ein Beispiel: Es gilt:  3 i= 0 i + 1 = ( ) + ( 1+ 1 ) + ( + 1 ) + ( 3 + 1) = = 16 Ntürlich müssen Sie nicht immer bei 0 strten. So ist  6 i= 4 i = = 15. Erste Anwendungen zum Summenzeichen finden Sie in Kpitel 3 in den Beispielen bei den Beweistechniken. 47

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