Exponentielles Wachstum
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- Frieder Graf
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Transkript
1 Expoetielles Wachstum
2 Expoetielles Wachstum BEISPIEL: Fiboacci-Folge
3 Die Fiboacci-Zahle f
4 Die Fiboacci-Zahle f f 1 = 1 f 2 = 1
5 Die Fiboacci-Zahle f f 1 = 1 f 2 = 1 f +1 = f + f 1 ( > 1)
6 Die Fiboacci-Zahle f f 1 = 1 f 2 = 1 f +1 = f + f 1 ( > 1) f 3 = 2
7 Die Fiboacci-Zahle f f 1 = 1 f 2 = 1 f +1 = f + f 1 ( > 1) f 3 = 2 f 4 = 3
8 Die Fiboacci-Zahle f f 1 = 1 f 2 = 1 f +1 = f + f 1 ( > 1) f 3 = 2 f 4 = 3 f 5 = 5
9 Die Fiboacci-Zahle f f 1 = 1 f 2 = 1 f +1 = f + f 1 ( > 1) f 3 = 2 f 4 = 3 f 5 = 5 f 6 = 8
10 Die Fiboacci-Zahle f f 1 = 1 f 2 = 1 f +1 = f + f 1 ( > 1) f 3 = 2 f 4 = 3 f 5 = 5 f 6 = 8 f 7 = 13
11 Die Fiboacci-Zahle f f 1 = 1 f 2 = 1 f +1 = f + f 1 ( > 1) f 3 = 2 f 4 = 3 f 5 = 5 f 6 = 8 f 7 = 13 f 8 = 21
12 Die Fiboacci-Zahle f f 1 = 1 f 2 = 1 f +1 = f + f 1 ( > 1) f 3 = 2 f 4 = 3 f 5 = 5 f 6 = 8 f 7 = 13 f 8 = 21 f 9 = 34
13 Die Fiboacci-Zahle f f 1 = 1 f 2 = 1 f +1 = f + f 1 ( > 1) f 3 = 2 f 4 = 3 f 5 = 5 f 6 = 8 f 7 = 13 f 8 = 21 f 9 = 34 f 10 = 55
14 Die Fiboacci-Zahle f = 1,..., 10 f
15 f f 10 =
16 f wächst schell a f
17 fillerfillerf = 1,..., fillerfiller f
18 f f
19 f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e f = 1,...,
20 f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e f
21 Uiformative Graphik: f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e
22 f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e f 30 domiiert alles
23 Die Etwicklug f 1, f 2,..., f 20 sieht ma icht mehr f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e
24 f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e Was tu?
25 f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e Logarithmiere!
26 f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e Warum?
27 Dadurch werde große Werte gestaucht f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e
28 Auf eier logarithmische Skala hat das Itervall f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05 [( ), ( )]
29 Auf eier logarithmische Skala hat das Itervall f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05 [( ), ( )]
30 Auf eier logarithmische Skala hat das Itervall f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05 [( ), ( )] dieselbe Läge wie [2, 8]
31 Auf eier logarithmische Skala hat das Itervall f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05 [( ), ( )] [f 27, f 30 ] dieselbe Läge wie [2, 8]
32 Auf eier logarithmische Skala hat das Itervall f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05 [( ), ( )] [f 27, f 30 ] dieselbe Läge wie [2,8] = [f 3, f 6 ]
33 Wir trage log 10 f gege auf f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e
34 log 10 f log 10 f
35 log 10 f wächst liear! log 10 f
36 log 10 f wächst aäherd liear, we groß ist log 10 f
37 log 10 f +1 log 10 f c ( 1) log 10 f
38 log 10 (f +1 /f ) c ( 1)12345 c 6/30 = 0.2 log 10 f
39 log 10 (f +1 /f ) c ( 1)12345 c 6/30 = 0.2 log 10 f
40 f +1 /f φ := 10 c ( 1) log 10 f
41 f +1 /f φ = 10 c c 6/30 = log 10 f
42 f +1 /f φ φ = 10 c = log 10 f
43 f A φ φ 1.6 ( 1) log 10 f
44 Ma ka φ auch direkt aus f +1 /f schätze: log 10 f
45 f +1 /f f +1 /f φ
46 f +1 /f f +1 /f φ
47 SATZ Es gibt Kostate A ud φ so, dass f Aφ.
48 SATZ Es gibt Kostate A ud φ so, dass f Aφ. Ma sagt:
49 SATZ Es gibt Kostate A ud φ so, dass f Aφ. Ma sagt: f wächst asymptotisch expoetiell.
50 EXPONENTIELLES WACHSTUM
51 EXPONENTIELLES WACHSTUM Geerell: Zuwachs proportioal Größe
52 EXPONENTIELLES WACHSTUM Geerell: Zuwachs proportioal Größe Stimmt das für die Fiboacci-Zahle?
53 EXPONENTIELLES WACHSTUM Geerell: Zuwachs proportioal Größe Stimmt das für die Fiboacci-Zahle? f +1 f Aφ +1 Aφ
54 EXPONENTIELLES WACHSTUM Geerell: Zuwachs proportioal Größe Stimmt das für die Fiboacci-Zahle? f +1 f Aφ +1 Aφ f +1 f (φ 1)(Aφ )
55 EXPONENTIELLES WACHSTUM Geerell: Zuwachs proportioal Größe Stimmt das für die Fiboacci-Zahle? f +1 f Aφ +1 Aφ f +1 f (φ 1)(Aφ ) f +1 f b f
56 EXPONENTIELLES WACHSTUM
57 EXPONENTIELLES WACHSTUM Warum expoetielles Wachstum?
58 EXPONENTIELLES WACHSTUM Warum expoetielles Wachstum? {f } wächst expoetiell
59 EXPONENTIELLES WACHSTUM Warum expoetielles Wachstum? {f } wächst expoetiell im Expoete: f Aφ
60 EXPONENTIELLES WACHSTUM Warum expoetielles Wachstum? {f } wächst expoetiell im Expoete: f Aφ f A exp(a) a = l φ
61 Ausblick: Woher kommt die Zahl φ? f +1 /f φ
62 Betrachte wir die Abbildug F : (x, y) (y, x + y) f +1 /f φ
63 Betrachte wir die Abbildug F(1, 1) = (1, 2) f +1 /f φ
64 Betrachte wir die Abbildug F(1, 2) = (2, 3) f +1 /f φ
65 Betrachte wir die Abbildug F(2, 3) = (3, 5) f +1 /f φ
66 Betrachte wir die Abbildug F (1, 1) = (f +1, f +2 ) f +1 /f φ
67 F ist eie lieare Abbildug: R 2 R f +1 /f φ
68 φ = größter Eigewert vo F f +1 /f φ
69 Das Lagzeitverhalte liearer Systeme hägt vom größte Eigewert ab.
70 Wie ka das Lagzeitverhalte aussehe?
71 Verallgemeierte Fiboacci-Zahle
72 Verallgemeierte Fiboacci-Zahle g 1 = 1 g 2 = 1
73 Verallgemeierte Fiboacci-Zahle g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g + k g 1
74 Verallgemeierte Fiboacci-Zahle g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g + k g 1 (Fiboacci: k = 1)
75 Verallgemeierte Fiboacci-Zahle g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g + k g 1 (Fiboacci: k = 1) Wie wächst g für verschiedee Werte vo k?
76 BEISPIEL k = 2
77 BEISPIEL k = 2 g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g + 2 g 1
78 BEISPIEL k = 2 g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g + 2 g 1 {g } = {1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85,...}
79 BEISPIEL k = 2 g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g + 2 g 1 {g } = {1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85,...} Vergleich mit Fiboacci (k = 1)?
80 Hier wieder die Fiboacci-Folge f f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e
81 f 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e f
82 g 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e Hier g
83 g 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e g
84 log 10 f ist asymptotisch liear log 10 f
85 log 10 g ascheied auch log 10 g
86 log 10 g +1 log 10 g c log 10 g
87 log 10 g +1 log 10 g c c 6/20 = log 10 g
88 g +1 /g r = 10 c log 10 (g)
89 g +1 /g g +1 /g φ?
90 g +1 /g g +1 /g φ 2
91 g +1 /g g B φ 2
92 BEISPIEL k = 1 2
93 BEISPIEL k = 1 2 g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g g 1
94 BEISPIEL k = 1 2 g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g g 1 {g } = {1, 1, 1.5, 2, 2.75, 3.75, 5.125,...}
95 BEISPIEL k = 1 2 g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g g 1 {g } = {1, 1, 1.5, 2, 2.75, 3.75, 5.125,...}
96 {g } ist viel kleier als {f } g 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e
97 g 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e g
98 Auch log 10 g wächst liear log 10 g
99 log 10 g +1 log 10 g c 4/ log 10 g
100 g C r r = 10 c log 10 g
101 Was passiert, we k egativ wird?
102 Was passiert, we k egativ wird? k = 0.1
103 Was passiert, we k egativ wird? k = 0.1 g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g 0.1 g 1
104 Was passiert, we k egativ wird? k = 0.1 g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g 0.1 g 1 {g } = {1, 1, 0.9, 0.8, 0.71, 0.63, }
105 Was passiert, we k egativ wird? k = 0.1 g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g 0.1 g 1 {g } = {1, 1, 0.9, 0.8, 0.71, 0.63, } g immt ab.
106 g k =
107 log 10 g fällt liear log 10 g
108 log 10 g +1 log 10 g c ( 1.5)/30 = log 10 g
109 g D r r = 10 c g
110 r > 1
111 r > 1 expoetielles Wachstum
112 r > 1 expoetielles Wachstum 1 > r > 0
113 r > 1 expoetielles Wachstum 1 > r > 0 expoetielles Abklige
114 r > 1 expoetielles Wachstum 1 > r > 0 expoetielles Abklige expoetielles Schwide
115 r > 1 expoetielles Wachstum 1 > r > 0 expoetielles Abklige expoetielles Schwide expoetieller Zerfall
116 BEISPIEL
117 BEISPIEL k = 0.25
118 k = 0.25 : Das Abklige wird beschleuigt g
119 log 10 g log 10 g
120 g E (0.5) g
121 Ud so weiter?
122 Ud so weiter? Ho hum?
123 Ud so weiter? Ho hum? Nei!
124 Ud so weiter? Ho hum? Nei! BEISPIEL
125 Ud so weiter? Ho hum? Nei! BEISPIEL k = 0.6
126 Ud so weiter? Ho hum? Nei! BEISPIEL k = 0.6
127 g k =
128 Vorzeichewechsel. Schwiguge g
129 log 10 g log 10 g
130 Maxima vo log 10 g Maxima ud Miima vo g log 10 g
131 Maxima vo log 10 g Maxima ud Miima vo g g
132 Maxima vo log 10 g Maxima ud Miima vo g log 10 g
133 Miima vo log 10 g g log 10 g
134 Miima vo log 10 g g g
135 Miima vo log 10 g g log 10 g
136 log 10 g scheit im Mittel liear abzuehme log 10 g
137 Der Tred wird klarer, we größer wird log 10 g
138 Der Tred wird klarer, we größer wird log 10 g
139 Die Miima etwickel sich uregelmäßig log 10 g
140 Die Maxima falle liear log 10 g
141 Die Maxima falle liear log 10 g
142 Maxima Amplitude der Schwiguge log 10 g
143 Amplitude Fr r = 10 c c ( 11)/ log 10 g
144 k = 0.6 : Schwiguge mit expoetiell abkligeder Amplitude g
145 k = 0.9 : aalog, aber Abfall lagsamer g
146 log 10 g log 10 g
147 log 10 g log 10 g
148 log 10 g log 10 g
149 k = 1.2 : aalog, aber Amplitude wächst g
150 log 10 g log 10 g
151 log 10 g log 10 g
152 log 10 g log 10 g
153 Fasse wir zusamme:
154 Fasse wir zusamme: Sei {g } die rekursive Folge g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g + kg 1 ( > 1).
155 Fasse wir zusamme: Sei {g } die rekursive Folge g 1 = 1 g 2 = 1 g +1 = g + kg 1 ( > 1).
156 Für k > 0 : gilt:
157 Für k > 0 : gilt: g wächst expoetiell.
158 Für k > 0 : gilt: g wächst expoetiell. Für 0 > k 0.25 g kligt expoetiell ab.
159 Für 0.25 > k > 1
160 Für 0.25 > k > 1 g schwigt mit expoetiell abkligeder Amplitude.
161 Für 0.25 > k > 1 g schwigt mit expoetiell abkligeder Amplitude. Für 1 > k
162 Für 0.25 > k > 1 g schwigt mit expoetiell abkligeder Amplitude. Für 1 > k g schwigt mit expoetiell wachseder Amplitude.
163 Für 0.25 > k > 1 g schwigt mit expoetiell abkligeder Amplitude. Für 1 > k g schwigt mit expoetiell wachseder Amplitude.
164 Lagzeitverhalte liearer Systeme
165 Lagzeitverhalte liearer Systeme expoetielles Wachstum
166 Lagzeitverhalte liearer Systeme expoetielles Wachstum expoetielles Schwide
167 Lagzeitverhalte liearer Systeme expoetielles Wachstum expoetielles Schwide expoetielle Schwiguge
168 Lagzeitverhalte liearer Systeme expoetielles Wachstum expoetielles Schwide expoetielle Schwiguge bestimmt durch de größte Eigewert.
169 ENDE
5.3 Wachstum von Folgen
53 Wachstum vo Folge I diesem Abschitt betrachte wir (rekursiv oder aders defiierte) Folge {a } = ud wolle vergleiche, wie schell sie awachse, we wächst Wir orietiere us dabei a W Hochstättler: Algorithmische
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Ifiite Impulse Respose-Filter Rekursivfilter DSP-8-IIR IIR-Filter. Ordug y [ ] ay [ ] bx o [ ] bx [ ] FIR-Teil x[] b v[] y[] x + + z - z - b a x Feed-forward Teil (FIR-Filter) x y[-] Feed-back Teil DSP-8-IIR
3.3 Grenzwert und Stetigkeit
50 KAPITEL 3. FUNKTIONEN 3.3 Grezwert ud Stetigkeit Wichtige Eigeschafte eier Fuktio f a eier Stelle 0 sid mit ihrem Verhalte bei beliebiger Aäherug a 0 verbude. Eier dieser Eigeschafte ist die Stetigkeit
2 Konvergenz von Folgen
Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge
Analysis I - Zweite Klausur
Aalysis I - Zweite Klausur Witersemester 2004-2005 Vorame: Name: Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Summe Aufgabe 4 Pukte Bestimme Sie (mit Beweis)
Lösungen zur Übungsserie 10
Aalysis Herbstsemester 08 Prof Peter Josse Motag, 3 Dezember Lösuge zur Übugsserie 0 Aufgabe,,4,,6,8,9,,,3,4 Aufgabe Sei V der R-Vektorraum der stetige Fuktioe auf dem Itervall [0, ], ud sei d 0 eie gaze
Grundkurs Mathematik II
Prof. Dr. H. Breer Osabrück SS 2017 Grudkurs Mathematik II Vorlesug 48 Itervallschachteluge Eie weitere Möglichkeit, reelle Zahle zu beschreibe, eizuführe, zu approximiere ud recherisch zu hadhabe, wird
Folgen, Reihen und Rekursionen
Kapitel 2 Folge, Reihe ud Rekursioe I de Naturwisseschafte stehe Messergebisse im Mittelpukt, die immer als reelle oder i Spezialfälle auch als ratioale oder atürliche) Zahle darstellbar sid, ud atürlich
Mathematische Grundlagen (01141) WS 2010/11
Mathematische Grudlage (04) WS 200/ Klausur am 26.0.20: Musterlösuge Aufgabe Sei 0 = 2. Da gilt 2 2 = 4 ud 2 + =, also 2 2 > 2 +, der Iduktiosafag. Iduktiosaahme: Für ei 2 gilt 2 > +. Iduktiosschritt:
Repetitionsaufgaben Potenzfunktionen
Repetitiosaufgabe Potezfuktioe Ihaltsverzeichis A) Vorbemerkuge/Defiitio 1 B) Lerziele 1 C) Etdeckuge (Graphe) 2 D) Zusammefassug 7 E) Bedeutug der Parameter 7 F) Aufgabe mit Musterlösuge 9 A) Vorbemerkuge
Grenzwerte von Folgen. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Grezwerte vo Folge -E Ma Lubov Vassilevskaya Berechug vo Grezwerte: Aufgabe Die Berechug vo Grezwerte ka oft ziemlich umstädlich sei. Die etwickelte Regel vereifache oft solche Berechuge. Diese Regel beruhe
8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. 8.1 Definition der Exponentialfunktion
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8. Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: w lim + = k = 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k
Ausführliche Lösungen
usführliche Lösuge,6 8. Lohsteuer: 8,, Lohsteuersatz: 6,7%. a),9 9.9,6 Netto,,6 brutto B Zuschlagsfaktor B gegeüber Zuschlag MWSt..8, Der MWSt-Faktor,6 ka gekürzt werde, der Bruttopreis ist also bei B
Wirksamkeit, Effizienz
3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue
Übungen mit dem Applet Taylor-Entwickung von Funktionen
Taylor-Etwickug vo Fuktioe Übuge mit dem Applet Taylor-Etwickug vo Fuktioe Ziele des Applets... Mathematischer Hitergrud... 3 Vorschläge für Übuge... 3 3. Siusfuktio si(...3 3. Cosiusfuktio cos(...4 3.3
Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen.
Folge ud Reihe (Izwische Stoff der Hochschule. ) Stad: 30.03.205. Folge Was sid Zahlefolge? Z.B. oder Das ist die vereifachte Wertetabelle eier Fuktio geschriebe wie üblich bei Fuktioe i eier Wertetabelle.
2 Differentialrechnung und Anwendungen
Differetialrechug ud Aweduge Differetialrechug ud Aweduge Der Begriff des Differetialquotiete hat sich i zahlreiche Aweduge ierhalb ud außerhalb der Mathematik als äußerst fruchtbar erwiese. Bestimmug
Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,
Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk.
Arithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr
ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gaz ausführliches Traiig Datei Nr. 4002 Neu Überarbeitet Stad: 7. Juli 206 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
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Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,
Beweis des ausgezeichneten numerischen Theorems über die Koeffizienten der Binomialpotenzen
Beweis des ausgezeichete umerische Theorems über die Koeffiziete der Biomialpoteze Leohard Euler p We dieser Charakter q die Koeffiziete der Potez x q bezeichet, der aus der Etwicklug des Bioms + x p etsteht,
Grenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen
. Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.
Kapitel 11. Rekursion
Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 16/17 Kapitel 11 Rekursio Rekursio 1 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 16/17 Ziele Das Prizip der rekursive
Kapitel 11. Rekursion
Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 17/18 Kapitel 11 Rekursio Rekursio 1 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 17/18 Ziele Das Prizip der rekursive
KAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...
KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4
Analysis Übungen Hausaufgaben für 4. April
Aalysis Übuge Hausaufgabe für 4. April Reihe sg 1. AN 8.2. c), AN 8.9. a). 2. Beweise die otwedige Bedigug für die Kovergez eier Reihe: we a koverget ist, da lim a = 0. (I der Praxis: we lim a 0, da ist
Aufgaben zur Analysis I
Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.
Angewandte Mathematik und Programmierung
Agewadte Mathematik ud Programmierug Eiführug i das Kozept der objektorietierte Aweduge zu wisseschaftliche Reches mit C++ ud Matlab SS03 Orgaisatorisches Dozete Gruppe: Ago (.50), Ludger Buchma(.50) Webseite:
6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung
6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez
Gebrochenrationale Funktionen
Gebrocheratioale Fuktioe Aufgabe Bestimme de Defiitiosbereich der Fuktio f() = ösug: Hier ist der maimale Defiitiosbereich icht R, de im der Neer wird für = Null ud ma würde durch Null teile. Aus diesem
KAPITEL 2. Zahlenfolgen
KAPITEL Zahlefolge. Kovergete Zahlefolge...................... 35. Grezwertbestimmug....................... 38.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug............. 4.4 Mootoe Folge..........................
Optische Systeme (4. Vorlesung)
4.1 Optische Systeme (4. Vorlesug) Uli Lemmer 06.11.2006 Uiversität Karlsruhe (TH) Ihalte der Vorlesug 4.2 1. Grudlage der Welleoptik 1.1 Die Helmholtz-Gleichug 1.2 Lösuge der Helmholtz-Gleichug: Ebee
Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien
www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit
6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen
8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8.1 Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: lim 1 w k 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k 2 3
Dynamische Programmierung Matrixkettenprodukt
Dyamische Programmierug Matrixketteprodukt Das Optimalitätsprizip Typische Awedug für dyamisches Programmiere: Optimierugsprobleme Eie optimale Lösug für das Ausgagsproblem setzt sich aus optimale Lösuge
Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive Komplexe Analysis und Integraltransformationen
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz Dr P C Kustma Dipl-Math M Uhl Sommersemester 009 Höhere Mathematik II für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese Physik ud Geodäsie iklusive Komplexe Aalysis
KAPITEL 11. Ungleichungen. g(x) g(x 0 ) + K 0 (x x 0 ).
KAPITEL 11 Ugleichuge 111 Jese-Ugleichug Defiitio 1111 Eie Fuktio g : R R heißt kovex, we ma für jedes x R ei K = K (x ) R fide ka, so dass für alle x R gilt: g(x) g(x ) + K (x x ) Bemerkug 111 Eie Fuktio
Langrange-Multiplikators und Hinreichende Bedingungen
Albert Ludwigs Uiversität Freiburg Abteilug Empirische Forschug ud Ökoometrie Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Dr. Sevtap Kestel Witer 008 10. November 008 14.-4 Lagrage-Multiplikators ud Hireichede
Vl Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 5
Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Aufgabe ) Sei p = P(A) die Wahrscheilichkeit für ei Ereigis A, dh., es gilt 0 p. Bereche Sie das Maximum der Fuktio f(p) = p(-p). Aufgabe
Lösungsskizzen Mathematik für Informatiker 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartmann
Lösugssizze Mathemati für Iformatier 6. Aufl. Kapitel 4 Peter Hartma Verstädisfrage 1. We Sie die Berechug des Biomialoeffiziete mit Hilfe vo Satz 4.5 i eiem Programm durchführe wolle stoße Sie schell
4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
4. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 6: Bestimme Sie alle Häufugspukte der Folge mit de Folgeglieder a) a 2 + cosπ), b) b i) i j, ud gebe Sie jeweils eie Teilfolge a, die gege diese Häufugspukte kovergiert.
Behörde für Schule und Berufsbildung Abitur 2010 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik
II. Erforschug vo Schädligspopulatioe LA/AG Eie wisseschaftliche Arbeitsgruppe bestehed aus Mathematikerie ud Biologe hat de Auftrag, das Wachstum vo Populatioe eier bestimmte Schädligsart zu erforsche.
Wallis-Produkt, Gammafunktion und n-dimensionale Kugeln
Wallis-Produkt, Gammafuktio ud -dimesioale Kugel Thomas Peters Thomas Mathe-Seite www.mathe-seite.de 6. Oktober 3 Das Ziel dieses Artikels ist es, Formel für das Volume ud die Oberfläche vo -dimesioale
HEUTE. Beispiele. O-Notation neue Einführung Ideen und Eigenschaften Aufgaben 47 und 52
11.02.04 1 HEUTE 11.02.04 3 Beispiele 2, 2 2, 2 +, 1 2 2 log habe asymptotisch gleiches Wachstum: O-Notatio eue Eiführug Idee ud Eigeschafte Aufgabe 47 ud 2 Aufteilugs- ud Beschleuigugssatz Idee ud Awedug
38 Normen und Neumannsche Reihe
168 V. Lieare Algebra 38 Norme ud Neumasche Reihe Wir erier zuächst a (vgl. 15.6) 38.1 Normierte Räume. Es sei E ei Vektorraum über K = R oder K = C. Eie Abbildug : E [0, ) heißt Norm auf E, falls gilt
Kurvenanpassung durch Regression (3) Ac nichtlineare Regression/Linearisierung -
Kurveapassug durch Regressio (3) Ac 207 - ichtlieare Regressio/Liearisierug - Für Probleme, die eie icht lieare ( ud icht polyomiale) Apassugsfuktio ahelege, ist eie direkte Berechug ach der Methode der
+ a 3 cos (3ωt) + b 3 sin (3ωt)
Fourier-Reihe Wir gehe aus vo eier gegebee periodische Fuktio f (t). Die Fuktio hat die Fudametalperiode ( Schwigugsdauer ) ud damit die Grud-Kreisfrequez ω = π. Zeit t Periode Die Fuktio f (t) soll zerlegt
Tutoraufgabe 1 (Rekursionsgleichungen):
Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datestrukture ud Algorithme SS4 Lösug - Übug F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe (Rekursiosgleichuge): Gebe Sie die Rekursiosgleichuge für die Laufzeit der folgede
Übung 2 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 1. Oktober 2018 in den Übungsstunden
Mathematik I für Naturwisseschafte Dr. Christie Zehrt 7.09.18 Übug (für Pharma/Geo/Bio) Ui Basel Besprechug der Lösuge: 1. Oktober 018 i de Übugsstude Aufgabe 1 Sid die folgede Abbilduge f : X Y umkehrbar?
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 8 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie
8. Regressionsanalyse
8. Regressiosaalyse Beschreibug der Abhägigkeit zweier Merkmale Gegebe eie Stichprobe (X ; Y ) : : : (X ; Y ) zur Grudgesamtheit (X; Y ), = corr(x; Y ) Korrelatioskoe ziet, R empirischer Korrelatioskoe
LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018
LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
Numerische Lineare Algebra - Theorie-Blatt 2
Prof Dr Stefa Fuke Uiversität Ulm MSc Adreas Batle Istitut für Numerische Mathematik Dipl-Math oec Klaus Stolle Witersemester 04/05 Numerische Lieare Algebra - Theorie-Blatt Lösug (Abgabe am 04 vor der
Aufgabe 4.2. (a) lim 7 + = (b) lim. ( 2n 3 6n 2 + 3n 1. (c) lim n n 2 ( 1) n n 3) = lim. (d) n n + 1. lim. (e) n n. Aufgabe 4.3.
Folge Eie Folge ist eie Aordug vo reelle Zahle. Die eizele Zahle heiße Glieder der Folge. Kapitel 4 Folge ud Reihe Formal: Eie Folge ist eie Abbildug a : N R, a Folge werde mit a i i oder kurz a i bezeichet.
Musterlösungen zur Klausur Analysis I Verständnisteil
WS 2008/2009 Prof. Dr. Scheider Musterlösuge zur Klausur Aalysis I Verstädisteil 04.02.2009. a A ist ach Defiitio abzählbar, falls A edlich ist, oder falls carda = cardn gilt. b Ei Pukt x A ist ei ierer
Kapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38. a : N R, n a n
Kapitel 4 Folge ud Reihe Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 1 / 38 Folge Eie Folge ist eie Aordug vo reelle Zahle. Die eizele Zahle heiße Glieder der Folge. Formal: Eie
4. Die Menge der Primzahlen. Bertrands Postulat
O. Forster: Eiführug i die Zahletheorie 4. Die Mege der Primzahle. Bertrads Postulat 4.1. Satz (Euklid. Es gibt uedlich viele Primzahle. Beweis. Wir zeige, dass es zu jeder edliche Mege p 1, p 2,..., p
Folgen explizit und rekursiv Ac
Folge explizit ud rekursiv Ac 03-08 Folge sid Fuktioe, bei dee atürliche Zahle ( 0; ; ; ) reelle Zahle a() zugeordet werde. Ma schreibt dafür : a() bzw. a. Für die Folge schreibt ma auch < a >. Folge köe
Zusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud -ugleichuge 6 Für Eperte 9 Polyomgleichuge ud -ugleichuge Defiitio: Ei Term
4. Reihen Definitionen
4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a
Funktionenreihen. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Fuktioereihe Erst durch Newto wurde die Theorie uedlicher Reihe zu eiem eigestädige Forschugsgebiet i der Mathematik, das da i Britaie besodere Beachtug ud weitere Etwicklug durch Brook Taylor ud Coli
Handout. Instationäre Wärmeleitung. ka t. kat V. ktg D. Mit dem Körperfaktor G = bzw. = folgt. ktga. ktg = D. λkörper. ktga. kdfog. Mit = + folgt.
T T T T k ex t ρcv D G Mit dem Körerfaktor G bzw. folgt V V D kt ρc V ktg ρc D Körer Körer Mit a bzw. ρc folgt ρc a ktg ρc D ktga D Körer at at Mit Fo bzw. D Fo folgt D D ktga D Körer kdfog Körer Mit +
Kapitel 9: Geometrische Summe und ein Mischmodell
Kapitel 9: Geometrische Summe ud ei Mischmodell Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 2009/10 1 Die Summeformel der geometrische Reihe + 1 2 1 q 1 + q+ q +... + q =, 0, q> 0, 1 1 q Bemerkuge 1. Mit Hilfe des -Zeiches