Vorlesung zur Veranstaltung Vermessungskunde. Teil 3: Statistik

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1 Prof. Dr. techn. Alfred Mchke Vorleung zur Verantaltung Vermeungkunde Tel 3: Stattk Meungen nd.d.r. mt Fehlern behaftet. De mu berückchtgt erden, um Ergebne n ener geünchten Genaugket zu erzelen. Man unterchedet zunächt zchen ytematchen und zufällgen Fehlern. Sytematche Fehler nd Enflüe, de Meergebne reproduzerbar n ene Rchtung verfälchen. Se laen ch dehalb ncht durch mehrfache Meen elmneren und müen dehalb unbedngt vermeden oder rchtg berückchtgt erden. De beden chtgten ytematchen Fehler nd: - Dejuterte Mentrumente - Ncht (korrekt) berückchtgte Wtterungenflüe (Temperatur, Luftdruck etc.) De chtgten zufällgen Fehler nd: - Begrenzte Megenaugket (Meauflöung) der engeetzten Intrumente - Kurzfrtge Wtterungchankungen - Ungenaue Zelerfaung De zufällgen Fehler ollten theoretch be ener unendlchen Zahl von Meederholungen durch Mttelbldung n hrer Aurkung volltändg verchnden. E gbt Fehler, de ch beden Gruppen zuordnen laen; herzu gehören nbeondere Fehler m Intrumentenaufbau (fehlerhafte Horzonterung oder Zentrerung). Bezogen auf alle Meungen ene Aufbau handelt e ch um ytematche Fehler. Wrd da Intrument mehrfach für Wederholungmeungen an der glechen Stelle aufgebaut, rken ch ngeamt de Fehler m Intrumentenaufbau e zufällge Fehler au. Al etere Fehler kommen ogenannte Aureßer hnzu. De nd Meerte, de offenchtlch falch nd. Aureßer müen.d.r. eratzlo getrchen erden, da e da Ergebn enetg verfälchen. In der Vermeung erden Meungen tet überbetmmt ermttelt, d.h. e erden mehr Meungen durchgeführt, al zur endeutgen Betmmung ener Löung notendg nd. De Überbetmmungen denen oohl der Kontrolle ener Meung al auch der Stegerung der Genaugket. Meten erden de Ergebne ener Vermeung mthlfe ener Auglechung nach vermttelnden Beobachtungen berechnet. De bedeutet, da de Summe der Verbeerungen v an den Meerten glech Null en mu und de Summe der Verbeerungquadrate mnmert rd. 0. Gl.1 1

2 Unterchede n der Genaugket von Mentrumenten laen ch durch Gechte an den Beobachtunggrößen berückchtgen. 0. Abhänggketen zchen Meungen laen ch durch entprechende Korrelatonkoeffzenten berückchtgen. En chtge Maß für de Genaugket ener Meung t deren Standardabechung. De Standardabechung t defnert al potve Quadraturzel der Varanz de Erartungerte, obe der Erartungert da (gechtete) Mttel aller Werte t, de en geuchter Wert annehmen kann. De Standardabechung ollte n der Regel um ene Dezmale genauer angegeben en, al de Meauflöung. In beonderen Aunahmefällen t der Erartungert vorab bekannt (gegebener Sollert); herau folgt, da ert be ener unendlch großen Zahl von Meerten de Bedngung 0 erfüllt äre! De Standardabechung t ncht mt dem Begrff der Toleranz zu verecheln. It de Standardabechung von Beobachtunggrößen gegeben (Hertellerangaben), lät ch vorab berechnen, elche Standardabechung von enem herau abgeleteten Wert zu erarten t. De Vorabberechnung, auch a pror-berechnung genannt, erfolgt mt Hlfe de Varanz-Kovaranz-Geetze (oder Varanz-Kovaranz-Fortpflanzunggeetze), bekannter al Fehlerfortpflanzunggeetz. Be unkorrelerten Beobachtungen entfällt der Kovaranzantel und e glt: x = f(a,b,c, ) Bepel 1: Mttelbldung ener Streckenmeung: x ² = (df/da* a )² + (df/db* b )² + (df/dc* c )² + =>... be... glt: 1 1 Bepel : Berechnung ene Wnkel au ze Rchtungen: = r r 1 ² = r ² + r1 ² be r1 = r = r glt: ² = r ² => Im Gegenatz zu a pror berechneten Genaugketen laen ch au den Wderprüchen aufgrund der Überbetmmungen ener Meung de errechten Genaugketen (a poteror)

3 betmmen. De Summe der Verbeerungen v an den Meerten, de notendg nd, um ene derpruchfree Löung zu erzelen, mu be lnearen Problemtellungen und glechgechteten Beobachtungen glech Null en. Ihr Quadrat mu mnmal en (. Gl.1). De Standardabechung berechnet ch.d.r. dann zu 1 1 Für den Sonderfall, da der Erartungert bekannt t und ken ytematcher Fehlerantel vorlegt, berechnet ch de Standardabechung zu: Bepel: Genaugket ener Streckenmeung: v = Verbeerungen = Standardabechung ener enzelnen Streckenmeung: Für de Genaugket de Mttel der Streckenmeung: Für ogenannte Doppelmeung, d.h. Paare von Meungen, de denelben Erartungert haben, ändert ch de Formel zur Berechnung der Standardabechung ener Enzelmeung e folgt: It der ahre Wert von Meungen bekannt, mu von den enzelnen Meungen zunächt en ytematcher Fehlerantel entfernt erden, bevor de Standardabechung berechnet erden kann. Vorauetzung t, da genug Meerte vorlegen und ene Sytematk erkennbar rd. De führt be der Prüfung von Mentrumenten z.b. dazu, da außer ener Genaugketangabe auch noch zuätzlch en Maßtab oder ene Addtonkontante ermttelt erden müen (ytematche Fehlerantele). 3

4 Bepele: 1. Ene ca. 1, m lange Strecke oll mt enem Zolltock gemeen erden. De Standardabechung ener Zolltockmeung Z beträgt Z mm. We oft mu man de Strecke meen, damt de Standardabechung der gemttelten Strecke klener al 3 mm t? Z n mm 3 mm n mm n n 3 mm 3 n,8 n 3. Ene Strecke urde mal mt enem Meband gemeen. We groß t de Standardabechung ener Meung? We groß de de Mttelerte? m 1 = 17,8 m m = 17,87 m m 3 = 17,7 m m = 17,8 m m = 17,76 m 1 m 17,81 m 1 v cm,7 cm, cm 3. In enem Dreeck urden mal alle Wnkel gemeen. De Wnkelummen ergaben: Fall A: 1 = 199,997 gon = 199,9979 gon 3 = 199,9968 gon = 199,9973 gon Herau betmmen ch de Wnkelderprüche zu (bekannter Sollert): 1 = 00 gon - 199,997 gon =,8 mgon 3 = 00 gon - 199,9968 gon = 3, mgon = 00 gon - 199,9979 gon =,1 mgon = 00 gon - 199,9973 gon =,7 mgon 1,7 mgon Deer Wert t von den Wderprüchen zunächt abzuzehen, um de Werte v zur Berechnung der Standardabechung zu ermtteln. D.h. e gbt enen ytematchen Fehlerantel von,7 mgon, der be allen (eteren) Meungen zu berückchtgen äre, oe zuätzlch ene Standardabechung von: v 1 = 0,1 mgon v = - 0,6 mgon v 3 = 0, mgon v = 0,0 mgon Probe v = 0 v 1 1 0,01 0,36 0, 0 mgon 3 0,3 mgon ( Mttelert) 0, mgon ( Enzelmeung)

5 Fall B: 1 = 199,997 gon = 00,0039 gon 3 = 199,9968 gon = 199,9999 gon Herau betmmen ch de Wnkelderprüche zu: 1 = 00 gon - 199,997 gon =,8 mgon 3 = 00 gon - 199,9968 gon = 3, mgon = 00 gon - 00,0039 gon = -3,9 mgon = 00 gon - 199,9999 gon = 0,9 mgon E t ken ytematcher Fehlerantel zu erkennen, der be allen (eteren) Meungen zu berückchtgen äre, o da unmttelbar glt: v 1 = -,8 mgon v = 3,9 mgon v 3 = -3, mgon v = -0,9 mgon De Probe v = 0 mu ncht erfüllt en, da der Sonderfall ene bekannten Erartungerte vorlegt und de Zahl der Meerte ncht gegen unendlch geht. 1 v 7,8 1,110, 0,81 mgon 1,6 mgon,9 mgon Erkennen und Behandeln von Aureßern n der Meung Zum verenfachten Aufpüren von Aureßern recht n den meten Fällen tatt ene treng mathematch-/tattchen Anatze ene Analye nach folgenden beden Krteren, de erfüllt en müen: 1. Aureßer nd Werte, de deutlch tärker vom Mttelert abechen, al de gemäß der berechneten Standardabechung vorkommen ollte. Se tragen maßgeblch zur Höhe der Standardabechung be. Dementprechend kann n ener Meung ncht ene Velzahl von Aureßern en; chent de der Fall zu en, t de Meung chlchteg chlecht bz. ungenau.. Aureßer echen tärker vom Mttelert ab, al de m Normalfall be der Genaugket de Megeräte zu erarten äre. Mt ener hohen Zuverlägket können Aureßer durch entprechende Aureßer- und Hypotheentet n enem treng mathematchen Verfahren ermttelt erden. De bezüglch e auf de entprechenden Lehrverantaltungen und de zugehörge Fachlteratur vereen. Be erkannten Aureßern t zunächt zu prüfen, ob e ch um Zahlendreher (z.b. 13, tatt 13,) oder um glatte Schrebfehler (z.b. 13, tatt 133,) handelt. In deem Fall nd de Fehler zu korrgeren, obe der Orgnalentrag lebar bleben mu. De etere Berechnung erfolgt mt dem berchtgten Wert. Lät der Aureßer ch ncht nachträglch korrgeren, o mu de betreffende Meung getrchen erden; hängen etere Meungen von deem Meert ab, nd auch dee zu trechen. De verrngerte Anzahl von Meungen t be der Berechnung der Standardabechung zu berückchtgen.