WORKING PAPERS. Der IRB-Ansatz im Rahmen von Basel II. bfw07v1/01. von Marc Gürtler. Arbeitspapiere der Betrieblichen Finanzwirtschaft

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1 WORKING PAPERS Arbetspapere der Betreblchen Fnanzwrtschaft Lehrstuhl für Betrebswrtschaftslehre, nsbes. Betreblche Fnanzwrtschaft bfw07v/0 Der IRB-Ansatz m Rahmen von Basel II von Marc Gürtler Frst Draft: Ths Verson: Aachen Unversty of Technology Department of Fnance Templergraben 64 D Aachen Germany Phone: Fax:

2 Der IRB-Ansatz m Rahmen von Basel II von Marc Gürtler Dr. rer. pol. Marc Gürtler Wssenschaftlcher Assstent an der Rhensch-Westfälschen Technschen Hochschule Aachen Lehrstuhl für Betrebswrtschaftslehre, nsbesondere Betreblche Fnanzwrtschaft Templergraben 64, Aachen, Germany Tel.: Fax:

3 . Internes Ratng m Rahmen der Baseler Vorschrften Das derzet n der Dskusson stehende Konsultatonspaper zur Neufassung der Baseler Egenkaptalverenbarung von 988 (Basel II) seht für de Bemessung der Egenkaptalunterlegung von Kredtrsken neben enem Standardansatz zusätzlch zwe auf banknternen Rskoenstufungen baserende Ansätze vor. Dese werden als enfache bzw. fortgeschrttene Varante des Internal Ratngs Based Approach (IRB-Ansatz) bezechnet, wobe her aus Verenfachungsgründen ausschleßlch der enfache IRB-Ansatz behandelt werden soll. Auch wenn de Egenkaptalanforderungen rege n der Lteratur dskutert werden, st de nhaltlche Bedeutung des IRB-Ansatzes noch ncht herausgestellt worden. So merken Boos/Schulte-Mattler (200) an: Zentraler Bausten be dem Internen-Ratng-Ansatz st en hypothetsches Nchtbanken-Kredtportefeulle mt ener Restlaufzet von enem Jahr. (...) Unter Verwendung enes vom Baseler Ausschuss ncht weter spezfzerten und daher bslang ncht nachvollzehbaren «Merton-Kredtrskomodells» wrd (...) de Summe der erwarteten und unerwarteten Verluste für das Benchmarkportfolo ermttelt. Anhand deser Äußerung wrd deutlch, dass de Ausgestaltung der m IRB-Ansatz vorgesehenen Mndestkaptalanforderungen noch weterer nhaltlcher Erläuterung bedarf. Zu desem Zweck wrd zunächst de m Rahmen des IRB-Ansatzes vorgesehene Ermttlung des haftenden Egenkaptals dargelegt, de auf Grundlage der Größen Exposure at default (EAD), Loss gven Default (LGD) und Probablty of Default (PD) geführt wrd. Dabe beschrebt EAD de erwartete Höhe von Forderungen m Zetpunkt des Ausfalls enes Schuldners. LGD steht für den prozentualen erwarteten Verlust auf ausstehende Forderungen enes Kredtnehmers m Falle des Ausfalls, und PD schleßlch steht für de (bespelswese durch en Ratng ermttelte) Ausfallwahrschenlchket enes Kredts be enem Zethorzont von enem Jahr. Dem IRB-Bassansatz zufolge sollte das für enen Unternehmenskredt zu unterlegende Egenkaptal (EK) folgender Bedngung nachkommen: EK EAD LGD mn{(976,5/ 650) N(,8 G(PD),288) ( 0,047 ( PD) / PD 0,44 ), }. () In desem Zusammenhang steht N(x) für de Normalvertelung an der Stelle x und G für deren Umkehrfunkton N. Ohne Weteres st ncht erschtlch, aus welchem Grund gerade de Anforderung () für das zu unterlegende Egenkaptal gewählt wrd, womt der IRB-Bassansatz ohne wetere Ausführungen recht wllkürlch erschent. Der Notwendgket ener Erläuterung soll m nächsten Abschntt nachgekommen werden, ndem unter Verwendung des Merton-Kredtrskomodells aus dem Jahre 974 de nhaltlchen Bedeutung der rechten Sete aus Unglechung () herausgestellt wrd.

4 2. Der IRB-Bassansatz und das Merton-Kredtrskomodell Zur Verenfachung se von ener Bank ausgegangen, de n enem Zetpunkt t = 0 enem Kredtnehmer gegenübersteht, der n t = Forderungen der Höhe F zu beglechen hat. De Rückzahlungen des Kredtnehmers snd aus heutger Scht jedoch unscher und belaufen sch auf z F. Für en enfaches Verständns stelle man sch den Gesamtkredt als en Portfolo von n (klenen) homogenen Telkredten =,..., n vor, deren jewelger unscherer Rückzahlungsbetrag z / n sch ncht oberhalb enes Forderungsbetrags F/n realsert. Dabe seen alle unscheren Größen z unabhängg und dentsch zu z vertelt. Auch wenn des anhand der Darstellung () noch ncht erschtlch st, wrd m Rahmen von Basel II (scherlch recht wllkürlch) verlangt, dass de Bank Egenkaptal (EK) n Höhe von mndestens 99,5 % der Kredtausfallsumme des Gesamtkredts zu hnterlegen hat. Deser Sachverhalt wrd m Folgenden näher erläutert. Zu desem Zweck wrd davon ausgegangen, dass de Ausfallwahrschenlchket p enes jeden Telkredts aus Scht des Zetpunktes t = 0 unscher st und sch erst n enem zukünftgen Zetpunkt t = 0,5 realsert. Dabe seen de Ausfallwahrschenlchketen p unabhängg und dentsch zu ener Zufallsvarablen p vertelt. Des Weteren bezechne λ : = ( z / F) (z F) den aus heutger 2 < Scht (bedngten) unscheren prozentualen Kredtausfall für den Fall, dass der Telkredt ausfällt. De Größen p und λ j (, j =,..., n) seen unabhängg, das heßt, de Höhe des Kredtausfalls be Kenntns enes Ausfalls legt unabhängg von der Ausfallwahrschenlchket vor. Nach Realsaton der Ausfallwahrschenlchketen p m Zetpunkt t = 0,5 kann das unschere Ausfallvolumen V der Telkredte charaktersert werden, de ene Ausfallwahrschenlchket von mndestens 0,5 % bestzen: n V : = F λ I [0,5 %,]( p ). (2) n = Dabe bezechnet I [ 0,5 %,](p) ene Indkatorfunkton, de den Wert annmmt, falls p 0,5%, und ansonsten den Wert 0, womt ausschleßlch Ausfälle gezählt werden, de mt ener Wahrschenlchket von mndestens 0,5 % entreten. Das auf dese Wese festgelegte Mndestegenkaptal st für ene endlche Anzahl n offenschtlch unscher, da n t = 0,5 noch kene genaue Kenntns des (auf enen Ausfall bedngten) Ausfallvolumens F λ für den Kredt vorlegt. Geht man jedoch von velen, volumenmäßg sehr klenen Telkredten aus (n ), so nmmt das Mndestegenkaptal auf der rechten Sete der Glechung (2) gemäß dem Gesetz der großen Zahlen mt der Wahrschenlchket den folgenden scheren Wert an:

5 n lm F λ I[0,5 %,]( p) = E[F λ I[0,5 %,]( p)] n n = (3) E[F z z < F] = F prob[ p 0,5 %] = EAD LGD prob[ p 0,5 %]. F Dabe bezechne prob[p 0,5 %] de Wahrschenlchket für ene Ausfallwahrschenlchket von mndestens 0,5 % und E[.] für den Erwartungswert ener Zufallsvarablen. Um nun den Zusammenhang zwschen dem IRB-Ansatz () und dem letzten Term aus (3) nachvollzehen zu können, wrd auf das sogenannte Merton-Kredtrskomodell zurückgegrffen, mt dem de n (3) auftretende Wahrschenlchket genauer untersucht werden kann. Es wrd davon ausgegangen, dass de unscheren Rückzahlungen z / n der Telkredte normalvertelt snd. Zur weteren Verenfachung werden de Varablen z n standardnormalvertelte Hlfsvarablen Index-Modell zugrunde gelegt, wonach sch alle Zufallsvarablen zurückführen lassen: 2 z = ρ ρ ε x z transformert, und es wrd en Sngle- z we folgt auf enen Index x. (4) Dabe snd sowohl x als auch ε ( =,..., n) standardnormalvertelt und unterenander unkorrelert. De Korrelaton der Hlfsvarablen z und z j ermttelt man lecht als 2 ρ. Nun kann auf deser Grundlage m Spezalfall enes we n (4) angenommenen Sngle-Index-Modells de Wahrschenlchketsdchte f(p) der unscheren Ausfallswahrschenlchket angegeben werden: ρ N (PD) ρ N (p) f (p) = N' N'(N (p)). (5) ρ ρ Dabe bezechnet PD - we schon angesprochen - de anhand enes Ratngs n t = 0 ermttelte Schätzung der Ausfallwahrschenlchket, de als erwartete Ausfallwahrschenlchket E[ p ] dent. Mt der Kenntns deser Wahrschenlchketsdchte lässt sch schleßlch de n (3) noch ncht erörterte Wahrschenlchket ermtteln: 2 prob[ p 0,5%] = N N ρ (PD) ρ N ρ (0,5%). (6) Für den IRB-Ansatz wrd nun spezell von ener Korrelaton ρ = 0, 2 ausgegangen, womt sch (6) wegen / 0,8, 8 und 0,2 / 0,8 = 0, 5 sowe N (0,5%) 2,576 we folgt darstellen lässt: prob[ p 0,5%] N(,8 N (PD),288). (7) Vgl. für den Nachwes Koyluoglu/Hckman (998). 2 Der Nachwes der folgenden Aussage st bem Autor deses Betrags erhältlch. 3

6 Letzterer Ausdruck st auch n der den IRB-Ansatz charakterserenden Glechung () enthalten und beschrebt gemäß den Ausführungen des Baseler Ausschusses de Summe aus erwarteten und unerwarteten Verlusten enes hypothetschen, unendlch granularen Portfolos enjährger Kredte be LGD = 00 % und ener erwarteten Ausfallwahrschenlchket der Höhe PD. Dese Interpretaton st nun unter Berückschtgung der Darstellungen (3) und (7) nachvollzehbar. So entsprcht N(,8 N (PD),288) n = für ene große Anzahl n von Kredten n etwa dem Ausdruck = λ V / F (/ n) I[0,5 %,]( p) mt λ 00 %, das heßt dem Antel von unendlch klenen = Telkredten be LGD = 00 %, de ene Ausfallwahrschenlchket von mndestens 0,5 % bestzen. Dementsprechend stellt V / F das Ausfallvolumen für Telkredte mt ener Ausfallwahrschenlchket unterhalb von 0,5 % dar. Von letzteren Telkredten werden be ener großen Anzahl n offenschtlch höchstens 0,5 % ausfallen, womt 99,5 % enes möglchen ( erwarteten und unerwarteten ) Ausfalls den Telkredten mt ener Ausfallwahrschenlchket von mndestens 0,5 % zuzuordnen st. Demnach führt ene Egenkaptalunterlegung n Höhe des Volumens V zu ener Abscherung von erwarteten und unerwarteten Verlusten n Höhe von mndestens 99,5 %. Schleßlch se angemerkt, dass de n () enthaltenen her ncht behandelten Faktoren 0,44 0,047 ( PD) / PD und 976,5/650 ausschleßlch normerende Bedeutung bestzen, de enersets ene durchschnttlche Kredtlaufzet von 3 Jahren (statt enem Jahr) abblden und anderersets enem Kredt mt PD = 0,7 % und LGD = 50 % en Rskogewcht von 00 % zuordnen sollen. Das n () auftretende Mnmum gewährlestet, dass de auf de beschrebene Wese normerte Größe zur Charakterserung ener Wahrschenlchket den Wert ncht überschretet. Zusammenfassend stellt sch neben der her behandelten nhaltlchen Problematk des IRB-Ansatzes de grundsätzlche Frage, ob das Zel der Kredtausfallscherung n Höhe von mndestens 99,5 % überhaupt als sachgerecht angesehen werden kann, da deser Ansatz zunächst ener entschedungstheoretschen Funderung entbehrt. Lteraturhnwese Boos, Karl-Henz/Schulte-Mattler, Hermann (200): Basel II: Externes und nternes Ratng. In: De Bank (200), S Deutsche Bundesbank (200): De neue Baseler Egenkaptalverenbarung (Basel II). In: Monatsberchte der Deutschen Bundesbank, 53. Jg. (200), Nr. 4, S Koyluoglu, Ugur, H./Hckman, Andrew (998): A Generalzed Framework for Credt Rsk Portfolo Models. DefaultRsk.com - Workng Paper. Merton, Robert C. (974): On the Prcng of Corporate Debt: The Rsk Structure of Interest Rates. In: Journal of Fnance, Vol. 29 (974), S