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Kristina Kruse
vor 7 Jahren
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2 - Ihaltsverzeichis - '. Allgemeie Wachstumsvorgäge...+. Uterscheidug explizit rekursiv...+. Bedeutug der Iteratio Graphische Iteratio Lagzeitverhalte liearer Rekursiosgleichuge Fixpukte ud Zykle Eigeschafte der Attraktore...5. Die logistische Gleichug...6. Die Verhulst-Formel...6. Trasformatioe i die logistische Gleichug....3 Fixpuktutersuchug....4 Etdeckug eies -Zyklus....5 Stabilitätsbedigug für periodische Pukte....6 Bestimmug der Stabilität des -Zyklus....7 Bifurkatio....8 Die Feigebaumkostate....9 Greze des Bifurkatios-Szearios Das Feigebaumdiagramm Isel der Ordug Itermittez Strecke ud Falte Defiitio chaotische Verhaltes Ergebisse der Chaosforschug Ahag Graphische Iteratio Überblick über das Verhalte der log. Gleichug Literaturverzeichis Selbstädigkeitserklärug...

3 Allgemeie Wachstumsvorgäge 8 0!9: -; &!# 0! <!!% 0! => 0!!! 0! 0: ; 9 &> > )?!;! 0! 8# (!! <7 < < #>= $!A!.: BCD A! 0!9: ; E!<! $! E7 ' :A!,<!# ;! )!;. Uterscheidug explizit - rekursiv E (! 0!9: F! )< 87 % =>) #9 < 0 :# 9. '<?!# (>% = ( = ) = = 4 = + $:?!# (>% = ( = ) = = 5 = % = + = = + 8 < <! ) (! 7 < )! E =>) 9<!# /(< ' +4%

4 7 3 7 ':I% I% = + = = = + = = /! ; 0! = = = /! ; => 0!. Bedeutug der Iteratio J 0!9;!!; < < >:! 7 ; # 9 # )?!#? < 8 < E K! #! 7 / %K K -! < = ; < E: x ; f ( ) x = ; #)9!; ; 7 x ) 0 #?) f ( f ( f (...( x )... ) E#! ( ) 9 x ; 8.# 9 x = ; f ( ) x x f )! ; A ;.3 Graphische Iteratio E $!! L <: : 9 87 ; M) F < '! #! 0# N 8 < $ 3 7!; %! "# $" # % & '# #!!! ##! $" # #( )!!! "#! +/.; (; ' 6+

5 .4 Lagzeitverhalte liearer Rekursiosgleichuge!"#$ %&#' ( ) = ) + = ) + # ' + ",#- -+../ ( ) + =, ( ) + = = ( ( x + b) = lim. -+ = ( 3) '#,- # ) + = ) ) ) = +.5 Fixpukte ud Zykle #4#.. 5, 6 '# -) -0!&-) '78 f (x b ) = x ax + b = x x ax = b x = a 9 # - (& # #$#:; "#3( Auf eie Uterscheidug vo»grezwertpukt«ud»fixpukt«wird verzichtet, beide Begriffe werde, ebeso wie»rekursio«bzw.»iteratio«, syoym verwedet.

6 < x,# f (x ) = x 0 &'-) =+ # ' f (x ) <, x f (x ) >, x, 6('# f (x ) = 0, '# f (x ) = & # >, #, " - #&#( ( ) 0;,# f ( f ( x ) = x x,# ( x) x f = 0 &$-) &!, #),#( m f ( x) = x, ( x) x f + ##4 x,x,...,x, x,... ={ x,x,.., x } ; x.6 Eigeschafte der Attraktore "# ','## 6 9 $ = #, 4 f ( x) x,( ( ) lim f x = x &9-) ' 3#3-), U( x ) ),! "3 x %9#,?&&,

7 @ 4 # -),5 +# 9A# # 6,# 6A+ B?6#9 %# C,',#4## -, 3 +'+, 5#C+,?&&,0C. Die logistische Gleichug 3#'9;A # D= ;-E #& ' 9 6#. Die Verhulst-Formel 3F##, GH, # B # F,;,9 % & % B 6 &8B;,# %, A 96I J,), 69% GG ;,6 + p =>6 + p p = z"

8 D, 9%! ) #6BK!,#6 >, < L p >3+-( + p p p & F+ ;-+ ;6 # =+-! ',6 ( p + = p + ap p = + a p ap ( ) ( ). Trasformatioe i die logistische Gleichug B+#6 x + = rx ( x ), 0 r 4,+"A3 ML, N6O- x + = rx rx,>' < 3,IJCO,IJ CF +', ++#&'+ +##+ &6'+6 >,#C ;## a x = p r = a + 9+ ' a + a a a x + = p+ = ( p + ap ( p )) = ap p a + a + a +

9 a a a x + = rx ( x ) = ( a + ) p p = ap p a + a + a + + +! "!! ##$! ##%&#' ("))'+,!-. # # # /0! # '& 4 " 4 5 )# # 0.3 Fixpuktutersuchug )0##%)!- ( ) f x = x!! r x 0 ud x = r 7 '5 0 8# ( x) = rx( x) = %6##0 - f ( ) = r rx f ( x ) = r; f ( x ) = r 0 0 # f ( x ) < %)!+-' 0 r [ 0;3] & x 9 #'5&.5 0 < r < # 5 ; #5!#<08 0 : < r < 30& #. ##9 x : 0 =><5##0 #5 '& ##?& :

10 @ ) # ' ## A # 8 0. & B@C & 0 & # 0 # /! ' ("))'+D!! E0 F& 7!# A # ( ) + = = A $ ### 95 r =,5; x = 0, 3! #. # 9 A #5# = =.4 Etdeckug eies -Zyklus 9# # #!## = 9! E+F r = 3,05; x = 0,3? A #!!# $ % - ;!! #. 5# #! %&#8D- ( ) + = = G=# 9 '! A #) # # #! 0 )##!!#%)!- f ( x) r( rx( x) ) r( rx( rx ) = x = )#H & 0 #@! Diese Tatsache wird als Ivariaz bezeichet.

11 EF >#= 9 6# 00 A # + r ± r r 3 x/ = r. r = 3, 05!#0 0 x 4,5 3,6 = 0, ud x = 0, , 6, 8# 0 I##& J 0 (5#EF)4 08+## #!8 E8 0 F& #.5 Stabilitätsbedigug für periodische Pukte 8! #/ # '50! 0 & %&#(K',- ## A # # # A >! G# # ( f ) ( x) < A! 0( f ) ( x) > + '!5A0> %!! -! G# # ( f ) ( x) = 0 ( f ) ( x) = )##)! &! # ) 8D +!# EF '! 0! 0 A # 0!#A &% 8, +-) 0!

12 # L ' & G# 0 # 5 0 #.6 Bestimmug der Stabilität des -Zyklus " 8## 0 0)'50 #5>)! + G& # " #!# f ( f ) ( x ) = f f ( x ) ( ) f ( x ) = f ( x ) f ( x ) ( x ) f ( x ) = r( x ) r( x ) = r ( x )( x ) ( f ) ( x ) < r ( x )( x ) < < r ( x )( x ) < ) A ##! A # (= #I## 5 ] [ < < + $ 0 '! 0 (5#EF.7 Bifurkatio 8?&3 #'& & # 9 3, < r < 3, & 0'5 H0 4 # 4 & # 0 85! 9 0& #; #& 0 0! #M. 0 8##0 0

13 +.8 Die Feigebaumkostate )(# 0 G0 G & ## # 85! 0 #! r+ r r lim = lim r r r = δ = 4, ! 0 85 # # %&#8+-## # a lim a + = α =, δαπ &% -'% 8 ++-".9 Greze des Bifurkatios-Szearios < # 85! 00 # 6 #& =# r = 3, &=## # ' =N I7 0 &!! # #! 085##0& )#!A #!#

14 H 3. Das Feigebaumdiagramm Abb. A ' 0! 0! 4 #" #) )# <#5# 0 < r <. < r < 3 ## r 3 < r < 3, ! 0 r 00 0 ) 4 #& >'!% M ; # $ & #! +. # & I # #0 A & 0 $ & # 0 ; 0. 00! 8##0 & 0 0. &> = H # A & # #! %&#(K' " δ #0 3 Kritische Stimme köte eiwede, dass evtl. deoch ei Zyklus, we auch sehr hoher Ordug, vorliegt. Bei der Behadlug dieser Frage stößt ma schell auf tiefere algebraische Probleme, dere Behadlug de Rahme dieser Facharbeit überschreite würde.

15 D 3. Isel der Ordug 0 > '!#)# ' E F 0 4 A!!5# ; #! # f 3 ( x) 3, < r < 3,845...!! % N +!. &!! & 9 & Abb. : Ausschittvergrößerug aus Abb. f 3 ( x) Abb. 3 Abb ?&A r = + 8 3, %< 6#=#!# H - f 3 ( x) % 0'0#@- HDO(M'##'00 EF A = 0 0! 0009 A!. ## #&; # ) 8! 0 G 0! A A#!

16 , 3. Itermittez ) 7 ## & ; # K!# #!! 0I#0 D #5 ; ##0# 4 # 8+#= # Abb. 5 G 0!+05'? )#. 8+#A 05 #! 5 ; <5 04 #5>#) &0&)! 0#5! I## 0! %A 05 #! '5 #8-3.3 Strecke & Falte < #7 #5# #5 ##! K 0 # 4 ) # # #! )! # !8 & $ 0 4 Die Bedigug für 3-periodische Pukte (s. Defiitio.) liefert ei Polyom 8. Grades, das icht mehr elemetar gelöst werde ka. Durch die zusätzliche Forderug ach Superstabilität ud uter Verwedug der Cardaische Formel ist deoch der Beweis möglich. 5 Itermittez bedeutet, dass (bei kostatem Systemparameter) irreguläre Bewegugsphase durch zeitweise reguläres Verhalte abgelöst werde.

17 P ' 0 5 &=# 5##&, G#8# 4 #! 9 5 = H. '! ' 0#A &!(5# #! #(5# 4!# '! 0 x = 0, 5 x = 0' &! 8! 9 A I##& x P ' x # 8 0.! x = x λ e # λ # 0.0! ; # K. λ < 0 8 ' %-!# 0& # ; λ > 0##! 5 0 & %-)G=#0 #&λ (K'D,!! )# ' 0#!.& 8 #00= 4 #5# # ) )0 4 0!!! # 0 6 Diese Tatsache wird auch, ach E. Lorez, als»schmetterligseffekt«bezeichet. Der historische Hitergrud hierfür ist bei Peitge, Bausteie, S. 59ff beschriebe.

18 Q. &.L8!#.!0. L## Q )G Defiitio chaotische Verhaltes )G=#0 K 0 #4 4!## A 0 K! A#! AL. &)8# f : J J>L!!!###!! &85##0&8!###!# & + 0# L ) ## = #!& 5' # 5 5 r = 4 0 x ± / = # >0 8 r = 4 &%- 0A & 9 )! ' ' #5> # 8 #&!& % - =#(# & #!! 7 x wurde icht zufällig gewählt. Der bei eier lokale Extremalstelle startede dyamische Prozess heißt auch»kritischer Orbit«. Vgl. Sterema, LKDD, S. 99ff 8 Beweis siehe Lergemüller, Chaos im Grud- ud Leistugskurs, S Nebe der Devaey sche existiere u.a. och Defiitioe ach Lee / Yorke, Diamod, etc wies eie Gruppe australischer Studete ach, dass Bedigug () zwiged aus () ud (3) folgt, die Defiitio also verbesserugsfähig ist. Eie Mege D eies metrische Raums M heißt dicht i der Mege M0 M, we zu jedem x0 M0 ud jeder reelle Zahl ε > 0 ei x D existiert mit x x0 < ε..

19 ' A#!8# 9 ##!? 6 0 ##4 3.4 Ergebisse der Chaosforschug 8#& 0# "& ' 0 4!% 9 0###4!&= 0 - ) 5 EKF & #; # # ' 0 =# 8# 0!!! ' # 8# ' ##! # 4 # 0 ' # K. # (# & '##'# '! # 5!# 6#! ) & # (# ;. #0 0 # )4 # ' &. 5 5 K #0 > ' #!!0 A # A # 80 ' = I0& #5 4 ' 0 3 # " 0= 4 5 )00 85!#!4 5 # 5#&K@ #!

20 @ 8!# K! #G$ 0?&8# 0!#A0# ' =#!!! # # %&# # 0-) 8# &!5# '0 &0 09 & # ) #& 0# A5#&' Über die Bedeutug dieses Begriffs herrscht Ueiigkeit. Exakter wäre es, vo der Erforschug icht-liearer Systeme zu spreche.

21 4. Ahag 4. Graphische Iteratio ) # &) #A #0& ## 0$ 5# 8#&! " 5# )#. # ; # 60! x = f ( x ) = 0.5 x 5 # R! # 8> 0 '! 8 & 04 0 " & 4 '0 / 90 & 4 0 " & + + ) 8H# A # # % Abb. : a < Abb. : a > Abb. 3: a = Abb. 4: a = -

4. Überblick über das Verhalte der log. Gleichug. #. &0 r =,5; x = 0, 3%EA0F8 0 +- Abb. : Graphische Iteratio Abb. : Zeitreihe Abb. 3: Itervallkompressio ) #!# &#8H % r = 3, 5#5 r = 3, 05 # 0 - Abb.

22 4. Überblick über das Verhalte der log. Gleichug. #. &0 r =,5; x = 0, 3%EA0F Abb. : Graphische Iteratio Abb. : Zeitreihe Abb. 3: Itervallkompressio ) #!# &#8H % r = 3, 5#5 r = 3, 05 # 0 - Abb. 4: Graphische Iteratio Abb. 5: Zeitreihe Abb. 6: Itervallkompressio. r = 4%'D!!-. & S0 ; # D@. 0 6#5>#0 Abb. 7: Graphische Iteratio Abb. 8: Itervallexpasio bzw. kompressio )# &85##0%&#++- ' Abb. 9: Zeitreihe x = 0,400000, 00 Iteratioe Abb. 0: Zeitreihe x = 0,40000, 00 Iteratioe

23 + 5. Literaturverzeichis A #!#R/! & 8/6G0GPQ ( # 8 K (#0 & =!! G0 ;D (;K S $ ' G +, #/KS 0 6 A(#90KG! I A! ## #!5 #! '! L ##!@)! ' 9(#0 )0 )0 G I & G0(#0 L ##!+K(# 9 0 #! < $# / #(! '9 #'D JJ 0JJ JJ J#!J! JJ?& #J+P@+J JJJT! J& J JJ JJ#J JJ#JJ JJ! #JT!J JJJ JJ # JJ A # 0!# # &.9.<M 94 +@ & I '#M H+,9 ' 94 D@L'! Q

24 H 6. Selbstädigkeitserklärug. 05! /!#! # ( & ## R /! UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU ; )I!'

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