4.3.3 Beschränktheit von Funktionen

Transkript

1 4.3.3 Beschräktheit vo Fuktioe I Abb Seite 181 liege alle Fuktioswerte uterhalb der Horizotale y=1 Eie Fuktio f heisst ach obe beschräkt, falls es eie Schrake (eie Wert) M gibt, so dass für alle i Defiitiosbereich f() M gilt. M heisst obere Schrake für f. Graphisch heisst das, der Graph vo f liegt vollstädig uterhalb der Parallele zur -Achse: der kostate Fuktio y=m (vergl. Abb. 4.46) Frage: wie gross sid die obere Schrake i Abb ud 4.47? Aalog: heisst ach ute beschräkt, falls es eie Schrake (eie Wert) gibt, so dass für alle i Defiitiosbereich f() gilt. Graphisch heisst das, der Graph vo f liegt vollstädig oberhalb der Parallele zur -Achse: der kostate Fuktio y= Frage: wie gross ist die utere Schrake i Abb. 4.47? Eie Fuktio f heisst beschräkt, falls sie ach obe ud ach ute beschräkt ist Lese Sie die Beispiele 1-2 Seite 181 obe sowie 1-2 Seite 181 itte ud zeiche Sie die Fuktioe i Fuktiosplotter, falls keie Abbildug eistiert Sid sie ach obe/ute beschräkt ud we ja it welche Schrake? Der Beweis, dass eie Fuktio ach ute/obe beschräkt ist it Schrake bzw. M erfolgt durch Zeige, dass die Lösugsege der Ugleichuge f() bzw. f() M de gaze Defiitiosbereich der Fuktio ufasst. Beweise wir das Beispiel 2 Seite 181 obe Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block 7-1- Itervall Ei Itervall I ist ei Abschitt a-b auf der Zahlegerade, d.h. alle Pukte zwische de Begrezugspukte a ud b d.h. I = { R a<<b} Oder abgekürzt geschriebe: I = (a,b) Die Radpukte a ud b sid hier icht dabei. Das et a ei offees Itervall Geschlossees Itervall: I=[a,b] = {a b}, d.h. die Radpukte a ud b sid dabei. Halboffees Itervall: I = [a,b) oder I = (a,b], d.h. ei Radpukt ist dabei Falls das Itervall de gaze Zahlestrahl ach liks oder ach rechts ufasst, so schreibt a: I=(-,b] = { b} bzw. [a, ) = { a} d.h. bei de Radpukte ± ist das Itervall auf dieser Seite ier offe, da es sich bei ± icht u richtige Zahle hadelt ud sie soit icht ibegriffe sid. Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block

2 Mootoie vo Fuktioe Eie Fuktio f heisst i eie Itervall I ooto wachsed, falls der Fuktiosgraph dort irgeds fällt, d.h. überall steigt oder kostat bleibt (vergl. Abb Seite )... streg ooto wachsed, falls er überall steigt (vergl. Abb ) Recherisch: falls für zwei beliebige 1, 2 aus de Itervall I aus 1 < 2 folgt: f( 1 ) f( 2 ) (ooto wachsed) f( 1 ) < f( 2 ) (streg ooto wachsed) i eie Itervall I ooto falled, falls der Fuktiosgraph dort irgeds steigt, d.h. überall fällt oder kostat bleibt (vergl. Abb Seite 183)... streg ooto falled, falls er überall fällt (vergl. Abb ) Recherisch: falls für zwei beliebige 1, 2 aus de Itervall I aus 1 < 2 folgt: f( 1 ) f( 2 ) ooto falled f( 1 ) > f( 2 ) streg ooto falled Mit der Differetialrechug werde wir später eie Methode erhalte, u die Mootoie vo Fuktioe recherisch zu utersuche. Lese Sie die Beispiele 1-5 Seite ud beurteile Sie die Mootoie ahad der erwähte Abbilduge Löse Sie die Übug 1 i Übugsblatt Beweise wir, dass f()=-3+1 streg ooto falled ist Satz: eie lieare Fuktio f() = +b ist für >0 überall streg ooto wachsed ud für <0 überall streg ooto falled. Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block 7-3- Koveität, Krüugsverhalte vo Fuktioe Eie Fuktio f heisst i Itervall I (vo ute) kove (oder liks gekrüt), falls ei Radfahrer auf der Fuktioskurve vo liks ach rechts fahred, stets eie Likskurve fährt (vergl. Abb Seite 185) Gleichwertige Defiitio: falls die Verbidugsstrecke zwische zwei beliebige Pukte auf de Fuktiosgraph stets oberhalb des Graphe verläuft Prüfe Sie i de Abb auf Seite 185 dass die Verbidugsgerade vo zwei beliebige Pukte wirklich ier oberhalb des Graphe verläuft. Eie Fuktio f heisst i Itervall I (vo ute) kokav (rechts gekrüt), falls ei Radfahrer auf der Fuktioskurve vo liks ach rechts fahred, stets eie Rechtskurve fährt (vergl. Abb Seite 186) falls die Verbidugsstrecke zwische zwei beliebige Pukte auf de Fuktiosgraph stets uterhalb des Graphe verläuft Eselsleiter: la cave (das Kellergewölbe) est cocave Lese Sie die Beispiele 1 ud 2 Seite Mit der Differetialrechug werde wir später eie Methode erhalte, u die Koveität/Kokavität vo Fuktioe recherisch zu bestie. Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block

3 Wedepukte vo Fuktioe Ei Wedepukt eier Fuktio f ist ei Pukt 0, bei de die Krüug vo kove zu kokav wechselt oder ugekehrt. Abb Seite 186: liks vo Wedepukt 0 ist die Fuktio kokav, rechts davo kove. Löse Sie die Übug 2 i Übugsblatt Für die Wirtschaftswisseschafte sid die folgede 2 Fuktiostype wichtig: 1. Eie streg ooto wachsede kovee Fuktio heisst progressiv wachsed (überproportioal wachsed) (vergl. Abb Seite 182) 2. Eie streg ooto wachsede kokave Fuktio heisst degressiv wachsed (uterproportioal wachsed) (vergl. Abb Seite 182) Mit der Differetialrechug werde wir später eie Methode erhalte, u die Wedepukte vo Fuktioe zu bereche. Lese Sie die Beispiele 1-3 Seite 187 Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block Ukehrfuktioe Beispiel Seite 187: die Nachfragefuktio eies Produktes gibt die Nachfrage (= Azahl verkaufter Stücke ) i Abhägigkeit des Preises p a: = (p), z.b. = p p=80 bewirkt =0, d.h. ei Preis vo 80 ist so hoch, dass ichts ehr verkauft wird Je kleier der Preis p, desto höher die verkaufte Stückzahl (vergl. Abb Seite 188) Dieser Zusaehag zwische Preis ud Stückzahl lässt sich auch ach de Preis auflöse: Löse Sie = p ach p auf Dait lässt sich aus der Ketis der verkaufte Stückzahl der Preis p() ableite. p() ist die Ukehrfuktio der Nachfragefuktio (p). Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block

4 Ukehrfuktioe 2 Bliebe die Achse p ud uverädert, so hätte die Ukehrfuktio p() deselbe Graphe wie die ursprügliche Fuktio (p), da ja derselbe Zusaehag zwische ud p besteht (vergl. Abb Seite 188). Allerdigs würde für die Bestiug des Fuktioswertes p 0 =p( 0 ) vo eie Pukt 0 auf der vertikale -Achse ausgegage (vergl. Abb. 4.63). Verwedet a, wie es üblich ist, die uabhägige Variable als horizotale Achse, so ist der Graph der Ukehrfuktio gerade eie Spiegelug des ursprügliche Graphe a der erste Wikelhalbierede f()= (vergl. Abb Seite 191) D.h. das Spiegel a der Wikelhalbierede f()= hat deselbe Effekt wie das Vertausche der Achse ud y. Löse Sie die Übug 3 i Übugsblatt Nicht jede Fuktio f hat eie Ukehrfuktio f -1. Wir wisse: eie Kurve ist ei Fuktiosgraph, falls jede Parallele zur y-achse die Kurve höchstes eial scheidet Falls wir die Achse für die Ukehrfuktio u vertausche, so wird aus der y-achse die - Achse, das bedeutet: Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block 7-7- Wa besitzt eie Fuktio eie Ukehrfuktio? Graphisch: Eie Fuktio f besitzt geau da eie Ukehrfuktio, falls jede Parallele zur -Achse de Fuktiosgraph höchstes eial scheidet. Recherisch: die Gleichug y=f() ist eideutig ach auflösbar. Abb ud 4.65 Seite 188 sid Graphe vo ukehrbare Fuktioe, Abb ud 4.67 Seite 189 Graphe vo Fuktioe, welche keie Ukehrfuktioe besitze. Lese Sie die Beispiele 1-4 Seite Es ist üblich, die uabhägige Variable ud die abhägige Variable y zu ee. Ma schreibt deshalb die Ukehrfuktio =f -1 (y) häufig als y=f -1 (), was ja keie Rolle spielt, weil z.b. f()=e ud g(t)=e t dieselbe Fuktio ist. Ist f -1 () die Ukehrfuktio vo f(), so ist f() die Ukehrfuktio vo f -1 (), d.h. die Verkettug eier Fuktio it ihrer Ukehrfuktio gibt die Idetität: f -1 (f()) = Löse Sie die Aufgabe 21 ud 22 Seite Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block

5 4.3.5 Grezwert vo Fuktioe a der Stelle 0 Das Thea Grezwert ist eie wichtige Voraussetzug ud Vorbereitug auf die Stetigkeit vo Fuktioe ud auf die später i Studiu behadelte Differetial- ud Itegralrechug sowie die bereits behadelte Beschräktheit. Löse Sie die Übug 4 i Übugsblatt f() = Obscho die Fuktio - 2 a der Stelle =2 icht defiiert ist, so eistiert doch ei so geater Grezwert -1. Koe die Fuktioswerte eier Fuktio f() bei beliebiger Aäherug a eie Stelle 0 eier Zahl a ier äher (beliebig ahe), so heisst a der Grezwert der Fuktio f() a der Stelle 0 ud a schreibt: li f a gelese: lies f() für gege 0 gleich a 0 ( ) = Also: li 2 = 1-2 Lese Sie die Beispiele 1-4 Seite 192 ud überprüfe Sie 2-4 it Hilfe eier autoatisierte Ecel-Wertetabelle Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block 7-9- Ueigetliche Grezwerte vo Fuktioe Löse Sie die Übug 5 i Übugsblatt f() = 1/ 2 steigt für gege 0 über alle Greze (vergl. Abb Seite 193) Eie Fuktio f heisst a eier solche Stelle bestit diverget ud a ordet ihr de ueigetliche Grezwert + zu. 1 Also: li 0 = + 2 Aalog: fällt eie Fuktio für gege 0 uter alle Greze, so erhält sie de ueigetliche Grezwert - Hiweis: ± sid keie Zahle soder Sybole dafür, dass f über alle Greze steigt bzw. fällt. Der Grezwert ist ebe keie richtige Zahl. Lese Sie die Beispiele 1-3 Seite 193 ud überprüfe Sie die Grezwerte it Hilfe eier Ecel-Wertetabelle Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block

6 Eiseitige Grezwerte vo Fuktioe Beispiel: der Fuktiosgraph vo Abb Seite 194 We wir us der Stelle =3 vo liks äher, so erhalte wir de Fuktioswert f(3)=4. Näher wir us vo rechts so gilt f(3)=3. Ma spricht vo liksseitige bzw. rechtsseitige Grezwert ud schreibt li f( 4 bzw. li f( ) = ) = -0 soll adeute, dass a ei weig abzieht, d.h. sich vo liks her aähert +0 soll adeute, dass a ei weig dazuzählt, d.h. sich vo rechts her aähert Nur we der liks- ud der rechtsseitige Grezwert übereistie, hat f a der Stelle 0 eie Grezwert. Der liks- bzw. rechtsseitige Grezwert ka auch ueigetlich sei: Beispiel 1 Seite 195: f()=1/ hat bei =0 de liksseitige Grezwert - ud de rechtsseitige + (vergl. Abb Seite 195) Lese Sie die Beispiele 2-4 Seite 195 ud prüfe Sie die Grezwerte, dort wo keie Abbilduge agegebe sid, it Hilfe des Fuktiosplotters Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block Verhalte vo Fuktioe i Uedliche f()=1/ ähert sich für ier grössere Werte vo ier ehr de Wert 0 (vergl. Wertetabelle Seite 195 ute). 1 Ma schreibt: li = 0 Weiter gilt auch für ier kleiere Werte vo, d.h. ier egativere: li Lese Sie die Beispiele 1-7 Seite 196 ud überprüfe Sie die Grezwerte ahad der Abbilduge Falls li f ( ) = a so ähert sich der Graph für ier grössere ier ehr der Gerade y=a (vergl. Abb. 4.75) Eie solche Gerade heisst Asyptote der Fuktio f. 1 = 0 Eie Fuktio ka für gege ± atürlich auch de ueigetliche Grezwert + oder - aehe, z.b. f() =. Lese Sie die Beispiele 1-6 Seite 197 ud überprüfe Sie die Grezwerte ahad der Abbilduge oder it Hilfe des Fuktiosplotters Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block

7 Wichtige Grezwerte i Uedliche Löse Sie die Übug 6 i Übugsblatt Die folgede Grezwerte eleetarer Fuktioe bilde eie Basis für die Berechug der Grezwerte vo kopleere Fuktioe 1 1 li = li = 0 + für atürliche Zahle 1 (vergl. Übuge 6 a)-d)) li e = 0 li a = falls a>1 (vergl. Übuge 6 g)-h)) li + e = 0 für jedes, d.h. Epoetialfuktioe wachse stärker als Potezfuktioe (vergl. Übug 6 i)) li a + = 0 falls 0<a<1 (vergl. Übug 6 g)) Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block Grezwertsätze Wir ehe a, dass f() ud g() für 0 edliche Grezwerte a ud b besitze. Da gelte die folgede Grezwert-Sätze: Der Grezwert eier Sue (bzw. Differez) ist gleich der Sue (bzw. Differez) der Grezwerte: li ( f ( ) ± g( )) = li f ( ) ± li g( ) = a ± b Der Grezwert eies Produkts (bzw. Quotiete) ist gleich de Produkt (bzw. Quotiete) der Grezwerte: li ( f ( ) g( )) = li f ( ) li g( ) = a b f ( ) li f ( ) a 0 li( ) = = ; falls b 0 g( ) li g( ) b Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block

8 Grezwertsätze 2 Weiter gilt, falls ei Grezwert li f ( ) = a eistiert li )) li f ( ) = ( li f ( = 0 0 f ( ) = li f ( ) = a a li f ( ) f ( ) li e = e = e a li l( f ( )) = l( li f( )) = l( a) D.h. grudsätzlich dürfe bei zusaegesetzte Fuktioe (vergl. Block 6 Folie 8) die Grezwerte der eizele Fuktioe geoe ud zusaegesetzt werde. Diese Sätze gelte auch für das Verhalte i Uedliche ( ), falls der betreffede Grezwert eistiert, also falls li f()=a Für ueigetliche Grezwerte, d.h. für li f()= gelte die Grezwertsätze i allgeeie icht Lese Sie die Beispiele 1-3 Seite 198 Löse Sie die Aufgabe Seite 231 Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block Verhalte vo gebroche-ratioale Fuktioe i Uedliche Lese Sie die Beispiele 1-3 Seite 199 Daraus ergebe sich die folgede Recheregel für gebroche ratioale a +... Fuktioe: li 1. =, d.h. Grad des Zählerpolyos gleich de Grad des Neerpolyos: a +... a +... a li = li = b d.h. gleich de Quotiete der höchste Koeffiziete +... b +... b 2. <, d.h. Grad des Zählerpolyos kleier als Grad des Neerpolyos: a +... a +... li = li = b b +... ± b +... d.h. das Neerpolyo wächst stärker 3. >, d.h. Grad des Zählerpolyos grösser als Grad des Neerpolyos: a +... li = ± ± b d.h. das Zählerpolyo wächst stärker +... wobei das Vorzeiche vo gleich de Vorzeiche vo a /b ist Lese Sie die Beispiele 1-7 Seite 200 Löse Sie die Aufgabe 25 Seite 231 Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block

9 4.3.5 Stetigkeit vo Fuktioe Grafische Defiitio: Eie Fuktio f heisst i eie Itervall I stetig, falls ihr Fuktiosgraph i eie Zug, ohe Absetze, gezeichet werde ka. Recherische Defiitio: falls der Grezwert i jede Pukt des Itervalls it de Fuktioswert übereistit: li f() = f( 0 ) für alle 0 I Beispiel: Abb Seite 203: f() ist überall stetig ausser i Pukt = 0. Aus de vorherige Grezwertsätze folgt dait bezüglich Stetigkeit: Sid f 1 ud f 2 i Itervall I stetig, so auch: f 1 ± f 2 f 1 f 2 f 1 / f 2 ausser a de Stelle it f 2 ()=0 Ist f i Itervall I stetig, so auch: (f()) e f() f() für f() 0 l f() für f()>0 Daraus lasse sich aus der Tatsache, dass f() = ud f() = 1 stetig sid, alle wichtige stetige Fuktioe kostruiere: Polyoe, gebroche ratioale Fuktioe ierhalb des Defiitiosbereichs, Epoetialfuktio, Wurzelfuktioe ud Logarithusfuktio ierhalb des Defiitiosbereichs. Lese Sie die Beispiele 1-7 Seite 202 Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block Ustetigkeitsstelle vo Fuktioe Alle Ustetigkeitsstelle der für us wichtige Fuktioe gehöre zu eie der folgede 3 Type: 1. Sprug 2. Uedlichkeitsstelle (auch Pol geat) 3. Lücke Bei eie Sprug sid der liksseitige ud der rechtsseitige Grezwert verschiede aber edlich (vergl. Abb Seite 203). Sprüge etstehe häufig bei Fuktioe, welche abschittsweise defiiert sid. Lese Sie die Beispiele 1 ud 2 Seite U zu etscheide, ob eie stückweise zusaegesetzte Fuktio überall stetig ist, üsse a alle Übergagsstelle der liks- ud der rechtsseitige Grezwert berechet ud vergliche werde. Die Fuktio i Abb Seite 204 ist stetig i Pukt 0 =0. Löse Sie die Aufgabe 26 Seite 231 Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block

10 Ustetigkeitsstelle 2 A eier Uedlichkeitsstelle hat die Fuktio eie ueigetliche Grezwert, d.h. der Grezwert ist uedlich (vergl. Abb Seite 205). Diese Stelle gehöre jeweils gar icht zu Defiitiosbereich. So hat z.b. f() = 1/ a der Stelle =0 eie Uedlichkeitsstelle. =0 gehört aber auch gar icht zu Defiitiosbereich. Gebroche-ratioale Fuktioe habe a de Nullstelle des Neerpolyos i der Regel Uedlichkeitsstelle. Auch sie gehöre icht zu Defiitiosbereich. Es gibt spezielle Fuktioe, welche sogar ur eie eiseitige Uedlichkeitsstelle besitze (vergl. Abb Seite 206) Eie Lücke etsteht, we der liks- ud rechtsseitige Grezwert zwar übereistie, der Pukt aber icht zu Defiitiosbereich gehört. Sie etstehe z.b. bei gebroche-ratioale Fuktioe, wo eie Nullstelle gekürzt werde köte. 2 ( 1) Beispiel Seite 206: f( ) = a der Stelle =1 1 (-1) darf hier a der Stelle =1 icht gekürzt werde, da 0/0 icht defiiert ist. Eie Lücke ist stets hebbar, d.h. a ka de Defiitiosbereich erweiter, ide a de Wert bei der Lücke gleich de Grezwert setzt. Lese Sie das Beispiel vo Abb Seite 206 Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block Diskussio eier Fuktio Mit de was wir bisher gelert habe, köe wir eie Fuktio bei gegebeer Fuktiosforel f() wie folgt diskutiere : 1. Defiitiosbereich 2. Nullstelle (Schittpukte it der -Achse): f()=0 3. Ustetigkeitsstelle: Neer=0, Logarithus vo Null 4. Schittpukt it der y-achse: f(0) 5. Verhalte für + ud für - : li ± f() 6. De qualitative Fuktiosgraph zeiche, d.h. ohe dass wir eie Wertetabelle bereche üsse Löse wir die Übug 7 i Übugsblatt Mit Hilfe der Differetialrechug i Studiu werde Sie och weitere Fuktioskriterie diskutiere köe: Mootoie, Krüug, Maia/Miia, Wedepukte. Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block

11 Aufgabe Lese Sie das Skript bis zur ächste Präsez ochals durch. Löse Sie die dari agegebee Übuge aus de Buch ud aus de Übugsblatt fertig. Lese Sie Purkert Kap Löse Sie de Kurztest Bei Problee Mail a boek@ku-dir.ch oder epeter@ferfachhochschule.ch Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block Ziele dieses Blocks Die Studierede kee die Defiitio der Beschräktheit, eier ooto wachsede/fallede Fuktio ud eier vo ute kovee/kokave Fuktio. Sie köe bei gegebee Fuktiosgraph agebe, ob die Fuktio beschräkt ist ud die Itervalle eizeiche, wo die Fuktio ooto wachsed bzw. falled ud wo sie kove bzw. kokav ist. Sie kee die Defiitio der Ukehrfuktio ud köe ahad des Graphe oder der Fuktiosforel agebe, ob eie Fuktio ukehrbar ist. Sie kee die verschiedee Arte vo Grezwerte. Sie köe die Grezwertsätze awede ud de Grezwert eier gebrocheratioale Fuktio bereche Sie sid i der Lage, zu eie gegebee Fuktiosgraphe oder eier eifache Fuktiosgleichug Ort ud Art der Ustetigkeitsstelle azugebe. Sie köe eie Fuktio diskutiere Ufag: Purkert Kap Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block

12 Erest Peter Propädeutiku Matheatik für die Betriebsökooie, Block