Portfolio Selection. 1 Einführung und grundlegende Begriffe. 1.1 Diskrete und stetige Rendite

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1 Portfolio Selection 1 Einführung und grundlegende Begriffe Mit dem Kauf eines Wertpapiers im Zeitpunkt t zum Preis P t, P t > 0, verbindet der Käufer die Erwartung zukünftiger nichtnegativer Auszahlungen C t+i, i I IN, die sicher oder unsicher sind und zu einem oder mehreren Zeitpunkten erfolgen (z.b. Dividenden auf Aktien, Verkaufserlös bei Wiederverkauf, Kuponzahlungen und/oder Rückzahlung des Nennwerts einer Anleihe). In der Regel gehen wir davon aus, dass die Preisbeobachtungen, Einzahlungen und Auszahlungen in diskreten Zeitpunkten t IN 0 vorliegen, wobei ein Zeitintervall von t bis t + n jeweils n (Basis-)Perioden lang ist. 1.1 Diskrete und stetige Rendite Wir unterscheiden die interne Rendite einer Anlage danach, ob bei der Diskontierung von einer diskreten Verzinsung oder von einer stetigen Verzinsung ausgegangen wird. Die diskrete (Netto-)Rendite R (und damit die zugehörige Bruttoertragsrate 1 + R) einer Anlage im Zeitpunkt t in ein Wertpapier wird definiert in Abhängigkeit von dem Wertpapierpreis P t, P t > 0, und von den zukünftigen Auszahlungen C t+i in den Zeitpunkten t + i, i I IN, mit C t+i 0, als die eindeutig bestimmte Lösung der folgenden Gleichung, für die 1 + R > 0 gilt: P t = i I C t+i (1 + R) i. (1) Wenn alle Auszahlungen gleich Null sind, dann wird R = 1 gesetzt, d.h. es gilt stets R 1. Die Rendite R ist so bestimmt, dass die mit R diskontierten Gegenwartswerte der Auszahlungen C t+i sich auf den heutigen Preis addieren. Bei der Diskontierung wird hier also von einer diskreten Verzinsung ausgegangen, bei der erst jeweils am Ende einer Periode der Zinsertrag gut geschrieben wird.

2 Die gleiche Bruttoertragsrate 1+R für eine Periode kann man auch bei stetiger Verzinsung (d.h. wenn der Zinsertrag kontinuierlich wieder angelegt wird) mit einem entsprechend kleineren, konstanten Zinssatz r erreichen. Dieser wird als stetige Rendite r definiert und ist die Lösung der Gleichung Die stetige Rendite r ist also gegeben mit lim k (1 + r k )k = 1 + R. (2) e r = 1 + R bzw. r = ln(1 + R). (3) Zugleich löst die stetige Rendite r damit auch die Gleichung P t = i I C t+i e ir. (4) Wenn R = 0 gilt, dann stimmen die stetige Rendite und die diskrete Rendite überein. Sonst ist die stetige Rendite stets kleiner als die diskrete Rendite, wobei der Unterschied für R 0 nur gering ist. Beachte aber, dass r für R Renditen bei einmaliger Auszahlung Die Rendite für ein Wertpapier, das zum Zeitpunkt t die Einzahlung des Preises P t, P t > 0, erfordert und einmalig nach n Perioden eine Auszahlung C t+n erbringt, kann aus Gleichung (1) auch explizit bestimmt werden. Für die diskrete Rendite R ergibt sich P t = C t+n (1 + R) n bzw. 1 + R = ( ) 1 Ct+n n P t (5) und damit für die stetige Rendite r P t = C t+n e nr bzw. r = ln(1 + R) = 1 n (ln C t+n ln P t ). (6) Es ist zu beachten, dass die Rendite R bzw. r, wenn nichts anderes vermerkt wird, auf die gewählte Basisperiode bezogen ist, unabhängig davon, ob die Auszahlung nach einer oder mehreren Perioden erfolgt. Im Zusammenhang mit festverzinslichen Wertpapieren, die wir im nächsten Kapitel betrachten, stellen Null-Kupon-Anleihen (Zero Bonds) ein Beispiel für Wertpapiere mit einmaliger Auszahlung dar. Die Anlage in eine Null-Kupon-Anleihe verspricht nach Ablauf 2

3 der Laufzeit von n Perioden eine Auszahlung von C t+n = 1. Die Renditen von Zero Bonds in Abhängigkeit von der Laufzeit werden als Zinsstruktur bezeichnet; offensichtlich ist die Zinsstruktur durch die Preise der Zero Bonds unterschiedlicher Laufzeiten festgelegt. Als einen anderen Spezialfall für die Rendite bei einmaliger Auszahlung kann man auch den Kursgewinn einer Aktie, d.h. die durch die Preisveränderungen eines Wertpapiers in aufeinander folgenden Perioden entstehende Rendite betrachten. Für diese Periodenrenditen, die sich durch das Halten eines Wertpapiers über jeweils eine Periode aus der Preisänderung ergeben, wird im nächsten Abschnitt die Notation eingeführt. 1.3 Periodenrenditen Es sei (P t ) t IN 0 die Zeitreihe, d.h. die zeitlich geordnete Folge, der Preise P t eines Wertpapiers. Die diskrete Rendite für die Periode von t 1 bis t wird mit R t bezeichnet. Wenn zwischen t 1 bis t keine Auszahlung auf das Wertpapier erfolgt, dann ist R t vollständig durch die Preisänderung von P t 1 zu P t bestimmt als 1 R t = P t P t 1 1 = P t P t 1 P t 1. (7) Die stetige Rendite, für die Periode von t 1 bis t, die über diese Periode konstant bleibt und mit r t bezeichnet wird, ist dann gegeben mit r t = ln(1 + R t ) = ln ( Pt P t 1 ) = ln P t ln P t 1. (8) Bisher wurde die Rendite stets auf eine Basisperiode fester Länge bezogen. Bei der Beschreibung und Analyse von Preiszeitreihen ist es aber von Interesse, Renditen über Zeitintervalle unterschiedlicher Länge zu betrachten. Zum Beispiel kann man aus der Zeitreihe der börsentäglichen Schlusskurse einer Aktie neben den Tagesrenditen (1-Periodenrenditen von t 1 bis t) auch Wochenrenditen (5-Periodenrenditen von t 5 bis t) berechnen. Die diskrete k Periodenrendite R t (k) ist die Rendite aus der Preisänderung von P t k auf P t, bezogen auf das Zeitintervall mit der Länge von k Perioden, 1 Wenn dagegen z.b. eine Dividendenzahlung D t unmittelbar vor dem Zeitpunkt t erfolgt und P t der Preis ex-dividende ist, dann erhöht sich der Wert der Anlage in t um diese Dividende, so dass P t durch P t + D t zu ersetzen ist. 3

4 d.h. R t (k) mit P t = (1 + R t (k)) P t k bzw. R t (k) = P t P t k 1 = P t P t k P t k. (9) Die Bruttoertragsrate für ein Wertpapier über k Perioden, also (1 + R t (k)) = Produkt der k Einperiodenerträge aus den Preisen P t k, P t k+1,..., P t : 1 + R t (k) = P t P t k = P t P t 1 Pt 1 P t 2 Pt P t k, ist das Pt k+1 k 1 = (1 + R t i ). (10) P t k Die über k Perioden konstante stetige k Periodenrendite r t (k) ist festgelegt mit ) r t (k) = ln(1 + R t (k)) = ln ( Pt P t k i=0 = ln P t ln P t k (11) und ist identisch mit der Summe der entsprechenden k stetigen Einperiodenrenditen: r t (k) = k 1 i=0 r t i. (12) Aus statistischer Sicht liegt gerade in dieser Eigenschaft ein bedeutender Vorteil der stetigen Rendite für die Modellbildung, denn die Herleitung von statistischen Eigenschaften ist für additive Prozesse wesentlich einfacher als für multiplikative Prozesse. Um die Vergleichbarkeit von Wertpapierrenditen herzustellen, die sich auf Zeitintervalle unterschiedlicher Länge beziehen, werden in der Praxis oft Renditen auf Jahresbasis umgerechnet und als sogenannte annualisierte Rendite angegeben. Damit wird insbesondere auch der Vergleich mit der risikolosen Rendite eines Referenzpapiers, die üblicherweise als Zinssatz per anno angegeben wird, erleichtert. Bei der Berechnung der annualisierten Rendite geht man davon aus, dass die entsprechende Periodenrendite für den Ablauf eines Jahres konstant bleibt. Wenn die unterschiedlichen Periodenrenditen z.b. auf Tagesdaten (250 Börsentage pro Jahr) basieren, erfolgt die Annualisierung einer diskreten Tagesrendite R t bzw. einer diskreten Wochenrendite R t (5) durch folgende Umrechnung: Tagesrendite R t annualisiert mit: (1 + R t ) 250 1, Wochenrendite R t (5) annualisiert mit: (1 + R t (5)) Für die stetigen Renditen vereinfacht sich die Annualisierung durch die Additivität zu Tagesrendite r t annualisiert mit: 250 r t, Wochenrendite r t (5) annualisiert mit: 52 r t (5). 4

5 2 Festverzinsliche Anleihen, Zinsen und Zinsstruktur In diesem Abschnitt betrachten wir Anleihen, die dem Anleger entweder eine einzige Auszahlung am Ende der Laufzeit garantieren (Null-Kupon-Anleihen) oder in festgelegten Abständen Kuponzahlungen und zusätzlich am Ende der Laufzeit die Auszahlung des Nennwerts der Anleihe (Kupon-Anleihen). Die jeweils vereinbarten Zahlungen werden als sicher angesehen. Der Einfachheit halber ist der Nennwert stets auf 1 Geldeinheit festgesetzt. 2.1 Null-Kupon-Anleihen (Zero Bonds) Null-Kupon-Anleihen und Zinsstrukturkurve Im folgenden verwenden wir zur Notation von Variablen, mit denen Null-Kupon-Anleihen beschrieben werden, Doppelindizes, wobei mit dem ersten Index die jeweilige Restlaufzeit bis zur Fälligkeit (time to maturity) und mit dem zweiten Index der Bewertungszeitpunkt bezeichnet wird. Mit dem Begriff Null-Kupon-Anleihe bezeichnen wir den Vertrag Einmalige Auszahlung bei Fälligkeit in t + n : Einzahlung (Preis) in t : P 0,t+n = 1 Geldeinheit P nt Weiterhin bezeichnen wir dann die Rendite (yield to maturity): Als diskrete Rendite: Y nt, mit P nt = 1 (1+Y nt) n (Y nt wird als Emissionsrendite bezeichnet, wenn die Anleihe in t emittiert wird.) Als stetige Rendite: y nt, mit ln P nt = ny nt Beachte, dass wegen ln P nt = n ln(1 + Y nt ) die Elastizität des Preises P nt in Bezug auf eine Änderung der Bruttorendite (1 + Y nt) mit dem Negativen der Laufzeit n übereinstimmt. Die Kurse von zero bonds reagieren also auf eine Änderung des Zinsniveaus mit wachsender Laufzeit n zunehmend elastischer. 5

6 Der Preis P nt = 1 (1+Y nt) n, der zum Zeitpunkt t für eine in t + n auszuzahlende Geldeinheit verlangt wird, ist der Diskontfaktor, mit dem in t + n fällige Beträge auf den Zeitpunkt t diskontiert werden. Als Zinsspanne (yield spread) wird im Zusammenhang mit diskreten Renditen die Differenz S nt = Y nt Y 1t bezeichnet, im Zusammenhang mit stetigen Renditen entsprechend s nt = y nt y 1t. Als Zinsstruktur in t bezeichnen wir Y nt (oder y nt ) als Funktion der Restlaufzeit n. Als Zinsstrukturkurve in t wird die entsprechende graphische Darstellung bezeichnet. Die Zinsstruktur wird als normal bezeichnet, wenn die Zinsstrukturkurve monoton steigend ist, der Zinssatz also mit zunehmender Laufzeit nicht kleiner wird (Y it Y jt für i < j). Wenn umgekehrt die Zinsstrukturkurve monoton fallend ist, die langfristigen Zinsen also niedriger als die kurzfristigen Zinsen sind (Y it Y jt für i < j), dann wird die Zinsstruktur als invers bezeichnet. Man spricht von einer flachen Zinsstruktur, wenn der Zinssatz für alle Laufzeiten konstant ist. Natürlich sind auch Mischfälle möglich, in denen die Zinsstruktur über unterschiedlichen Bereichen steigt, fällt oder konstant ist. Durch die umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen Y nt und dem Diskontfaktor P nt bzw. zwischen y nt und ln P nt kann man die Zinsstruktur auch mit der Diskontfunktion, d.h. mit P nt oder ln P nt als Funktion der Laufzeit n charakterisieren Periodenrendite und Terminzinssätze Als Periodenrendite R n,t+1 bezeichnen wir die Rendite, die durch die Kursänderung einer Null-Kupon-Anleihe von P nt (in t) auf P n 1,t+1 (in t + 1) erzielt wird, wobei die Restlaufzeit n in t mindestens eine Periode betragen muss, also 1 + R n,t+1 = P n 1,t+1 P nt = bzw. für die stetige Periodenrendite: (1 + Y nt ) n (1 + Y n 1,t+1 ) n 1 (13) r n,t+1 = ln P n 1,t+1 ln P nt = y nt (n 1)(y n 1,t+1 y nt ). (14) Im Vergleich zur sicheren Rendite y 1t aus einem 1-periodigen zero bond ist die Periodenrendite r n,t+1 für n > 1 unsicher. Die Überschussrendite r n,t+1 y 1t ist von der 6

7 Zinsspanne s nt = y nt y 1t und der Zinsänderung y n 1,t+1 y nt abhängig: r n,t+1 y 1t = s nt (n 1)(y n 1,t+1 y nt ). (15) Über die gesamte Restlaufzeit von n Perioden kumuliert erhält man als stetige n-perioden- Rendite r n,t+1 + r n 1,t r 1,t+n = ln P 0,t+n ln P n,t = 0 ln P nt = ny nt. Die stetige Rendite y nt eines zero bonds mit n Perioden Laufzeit kann somit als Durchschnitt der stetigen Periodenrenditen über die n Perioden der Restlaufzeit betrachtet werden, y nt = 1 n n 1 i=0 r n i,t+1+i. (16) Als Terminzinssatz (Forward Rate) F nt bezeichnen wir den in t vereinbarten Zinssatz für eine 1-periodige Anlage, die erst n Perioden später erfolgt, also von t + n bis t + n + 1, n > 0. (Für n = 0 ist der entsprechende vereinbarte Zinssatz F 0t offensichtlich identisch mit Y 1t.) Äquivalent zur Vereinbarung des Terminzinssatzes F nt kann man auch in t die zum Zeitpunkt t + n zu leistende Einzahlung x festlegen, für die man die Auszahlung von 1 Geldeinheit in t + n + 1 erhält. Offensichtlich gilt (1 + F nt )x = 1. Wenn davon ausgegangen wird, dass auf dem Markt keine Arbitrage möglich ist, muss diese Einzahlung in n mit dem Verhältnis P n+1,t /P nt der Diskontfaktoren zu den Laufzeiten n + 1 und n übereinstimmen, d.h. es muss der folgende Zusammenhang zwischen dem Terminzinssatz und den Renditen der Null-Kupon-Anleihen bestehen: 1 + F nt = P n,t P n+1,t = (1 + Y n+1,t) n+1 (1 + Y nt ) n. (17) Um diese Beziehung zu zeigen, wird das Termingeschäft (Einzahlung x = 1/(1 + F nt ) in t+n, Auszahlung von 1 in t+n+1) durch Kauf und Verschuldung in Null-Kupon-Anleihen dargestellt: 1) Kauf einer Null-Kupon-Anleihe mit Laufzeit n+1 zum Preis P n+1,t und der Auszahlung von 1 in t + n + 1, 7

8 2) Kreditaufnahme in der Höhe des Kaufpreises P n+1,t in Null-Kupon-Anleihen der Laufzeit n, also in P n+1,t /P nt Null-Kupon-Anleihen der Laufzeit n zum Preis P nt. D.h. in t + n ist die Zahlung in Höhe von P n+1,t /P nt zu leisten. Damit keine Möglichkeit zur Arbitrage besteht, muss also heute (in t) für das Recht auf Auszahlung von 1 in t+n+1 als Einzahlung in t+n der Betrag x = P n+1,t /P nt vereinbart werden. Man beachte, dass der Terminzinssatz F nt als Funktion von n eine weitere Möglichkeit zur Kennzeichnung der Zinsstruktur darstellt. Denn mit Gleichung (17) ist nicht nur die Funktion F nt aus der Diskontfunktion bzw. der Zinsstruktur bestimmt, sondern umgekehrt ist mit F nt und Gleichung (17), aufgelöst nach P n+1,t, also P n+1,t = P nt 1 + F nt, mit dem Start P 0t = 1, (18) auch die Diskontfunktion und damit die Zinsstruktur bestimmt. Entsprechendes gilt für den stetigen Terminzinssatz f nt = ln(1 + F nt ): f nt = ln P nt ln P n+1,t = y nt + (n + 1)(y n+1,t y nt ) = y n+1,t + n(y n+1,t y nt ). (19) Wie oben, wo wir die stetige Rendite y nt als Durchschnitt der stetigen Periodenrenditen dargestellt haben, erweist sich y nt auch als arithmetisches Mittel der stetigen Terminzinssätze: denn n 1 i=0 n 1 y nt = 1 n n 1 i=0 f it, (20) f it = (ln P it ln P i+1,t ) = ln P nt = ny nt. (21) i=0 Anmerkungen: 1) f nt > 0 (und damit auch F nt > 0), falls die Diskontfaktoren P nt mit zunehmender Dauer n bis Fälligkeit abnehmen. 2) f nt > y nt und f nt > y n+1,t (und damit auch F nt > Y nt und F nt > Y n+1,t ), wenn die Zinsstrukturkurve steigend ( normal ) ist. 3) Der in t vereinbarte, also bekannte, Terminzinssatz F nt ist zu unterscheiden von dem zukünftigen, in t unbekannten, Zinssatz Y 1,t+n (= F 0,t+n ) für die gleiche Periode. 8

9 2.2 Kupon-Anleihen Zur Notation von Variablen, mit denen Kupon-Anleihen beschrieben werden, verwenden wir neben den beiden Indizes für die Restlaufzeit und den Zeitpunkt einen weiteren, vorangestellten, Index C, der die Höhe des Kupons angibt. Der bei Fälligkeit zurückzuzahlende Nennwert wird wieder auf 1 Geldeinheit festgesetzt Kupon-Anleihen und interne Rendite Mit dem Begriff Kupon-Anleihe bezeichnen wir den Vertrag Folge von Auszahlungen K i = C (Kuponzahlung) in t + i, i = 1,..., n 1 und bei Fälligkeit in t + n: K n = 1 + C (Kuponzahlung und Rückzahlung des Nennwerts der Anleihe). Einzahlung (Preis) in t : P Cnt Man kann eine Kupon-Anleihe als ein Bündel von zero bonds mit Laufzeiten 1, 2,..., n betrachten, so dass für die korrekte Bewertung im arbitragefreien Markt gilt n n K i P Cnt = K i P it = (1 + Y it ). (22) i Bei dieser korrekten Bewertung werden die Auszahlungen in den verschiedenen Perioden mit dem jeweiligen von der Laufzeit i abhängigen Zinssatz Y it diskontiert. Als rechnerische Kennziffer kann man für eine Kupon-Anleihe mit gegebenem Kupon C, C 0, Laufzeit n und Preis P Cnt auch eindeutig eine einheitliche Diskontrate, nämlich die Rendite Y Cnt (auch: interne Rendite) als Lösung der folgenden Gleichung bestimmen: P Cnt = n K i (1 + Y Cnt ) = C n 1 i (1 + Y Cnt ) + 1 (23) i (1 + Y Cnt ) n Wegen der geforderten Gleichheit von (22) mit (23) muss für die interne Rendite Y Cnt gelten: min Y it Y Cnt max Y it,...,n,...,n Neben dem trivialen Fall n = 1, in dem sofort Y C1t = Y 1t folgt, ergibt sich die interne Rendite dann sehr einfach als der relative Anteil des Kupons am Preis, C/P Cnt, 9

10 1) wenn die Laufzeit unendlich ist, n =, also Y C t = C/P C t, oder 2) wenn nach einer Laufzeit von n Perioden der Anlagepreis als Nennwert zurückgezahlt wird, d.h. wenn die Anlage zum Nennwert (al pari) verkauft wird, also P Cnt = 1 und Y Cnt = C/P Cnt = C. Abgesehen von diesen Sonderfällen ist die interne Rendite als Lösung der Gleichung numerisch zu bestimmen, bzw. in Tabellen zu den gegebenen Parametern Laufzeit n, Kuponhöhe C und Preis P Cnt nachzuschlagen Zinsstruktur und Kuponstruktur Da in der Praxis häufig Kupon-Anleihen gehandelt werden, stellt sich die Frage, wie anhand der Kupon-Anleihen der Zinssatz in Abhängigkeit von der Laufzeit bestimmt werden kann. Die interne Rendite Y Cnt kann dazu nicht ohne weiteres verwendet werden, da sie nicht nur von der Laufzeit sondern auch von der Kuponhöhe C abhängig ist. Betrachten wir in t Kupon-Anleihen mit gleicher Restlaufzeit n, die zu unterschiedlichen Zeiten (und unterschiedlichen Zinsniveaus) emittiert wurden, daher in der Kuponhöhe C variieren und dementsprechend auch über oder unter dem Nennwert 1 gehandelt werden, dann ergeben sich unterschiedliche interne Renditen. So wird etwa bei normaler, d.h. steigender Zinsstrukturkurve, die interne Rendite der Anleihen mit besonders hohem Kupon kleiner sein als die interne Rendite der Anleihen mit besonders niedrigem Kupon. Denn bei besonders hohen Kuponzahlungen erhalten die kurzfristigen Zinssätze, d.h. bei normaler Zinsstruktur die niedrigeren Zinssätze, ein stärkeres Gewicht bei der Bestimmung der internen Rendite als bei niedrigen Kuponzahlungen. Die Eindeutigkeit der internen Rendite Y Cnt zu gegebener Restlaufzeit n wird erreicht, wenn man sich auf Kupon-Anleihen beschränkt, die zum Nennwert gehandelt werden. Für diese ist die interne Rendite Y Cnt identisch mit dem Kupon C der Anleihe, siehe oben. Wir bezeichnen die interne Rendite einer solchen Kupon-Anleihe mit Restlaufzeit n, Preis P Cnt = 1 und Kupon C mit Y Cnt P =1, wobei dann Y Cnt P =1 = C gilt. Als Kuponstruktur in t (auch: Renditestruktur in t) bezeichnen wir Y Cnt P =1 als Funktion der Restlaufzeit n. Als Kuponstrukturkurve in t wird die entsprechende graphische Darstellung bezeichnet. 10

11 Bei korrekter Bewertung ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen der Kuponstruktur Y Cnt P =1 und der Zinsstruktur Y nt : 1 = P Cnt = n K i (1 + Y it ) i = Y Cnt P =1 n 1 (1 + Y it ) + 1, (24) i (1 + Y nt ) n also Y Cnt P =1 = 1 1 (1+Y nt) n n 1 (1+Y it ) i = Y nt n 1 (1+Ynt )i n 1 (1+Y it )i, n = 1, 2,... (25) Man verifiziert leicht, dass bei normaler Zinsstruktur (Y it Y nt für i < n) die Kuponstrukturkurve unter der Zinsstrukturkurve liegt (Y Cnt P =1 Y nt ) und bei inverser Zinsstruktur (Y it Y nt für i < n) die Kuponstrukturkurve über der Zinsstrukturkurve liegt (Y Cnt P =1 Y nt ). Weiterhin kann gezeigt werden, dass bei normaler (inverser) Zinsstruktur auch die Kuponstruktur normal (invers) ist Duration Bei einer Kupon-Anleihe hängt die durchschnittliche Dauer bis zur Rückzahlung nicht nur von der Restlaufzeit n ab, sondern auch von der Kuponhöhe, d.h. von der Höhe der vorzeitigen Rückzahlungen. Als Kennziffer für die durchschnittliche Dauer bis zur Rückzahlung einer Kupon-Anleihe wird das Konzept der Duration nach Macauly 2 verwendet, das sich gleichzeitig als (negative) Kurselastizität bezüglich einer Zinsänderung (genauer: bezüglich einer Änderung der internen Bruttorendite) erweist. Die Duration D Cnt einer Kupon-Anleihe mit der (Rest-)Laufzeit n, dem Preis P Cnt und den Rückzahlungen K i = C, i = 1,..., n 1 und K n = 1 + C ist definiert als n D Cnt = w i i, mit w i = K i (1+Y Cnt ) i P Cnt und n w i = 1, (26) d.h. als gewogenes arithmetisches Mittel der Laufzeiten i = 1, 2,..., n, wobei das Gewicht der Laufzeit i durch den Anteil der mit der internen Rendite Y Cnt diskontierten Rückzahlung K i, die nach i Perioden erfolgt, am Gegenwartswert P Cnt aller Rückzahlungen bestimmt ist. 2 Macauly, F.,(1938) Some Theoretical Problems Suggested by the Movement of Interest Rates, Bond Yields, and Stock Prices in the United States Since 1856, National Bureau of Economic Research, N.Y. 11

12 Beachte, dass diese Definition durch die Verwendung der internen Rendite Y Cnt bei der Diskontierung ohne Kenntnis der Zinsstruktur operational ist. Aus theoretischer Sicht wäre eine andere Definition, bei der die Diskontierung mit den Zinssätzen Y it erfolgt, sinnvoll; ihre Anwendung würde aber die Kenntnis der Zinsstruktur voraussetzen. Wenn C = 0, dann liegt ein Zerobond vor und dann ist D Cnt = n. Sonst (also mit C > 0) ist die Duration D Cnt kleiner als n und fällt mit wachsendem Kupon C. Für Kupon-Anleihen, die zum Nennwert gehandelt werden (P Cnt = 1), ergibt sich D Cnt = 1+C C (1 ( 1 1+C )n ), z.b. n = 10 Jahre, C = 0.05, dann ist die Duration D Cnt = Wenn n = gilt, dann liefert die Definition der Duration D C t = 1+Y C t Y C t = P C t+c, z.b. ergibt sich bei einer C Rendite Y C t = 5% die Duration zu D C t = 21 Jahre. Wenn man formal den Preis P Cnt einer Kupon-Anleihe entsprechend der impliziten Bestimmungsgleichung für die interne Rendite Y Cnt, P Cnt = n K i (1 + Y Cnt ) i als Funktion der internen Bruttorendite 1 + Y Cnt versteht, und die Elastizität des Preises P Cnt in Bezug auf 1 + Y Cnt berechnet, erhält man die negative Duration, d.h. es gilt dp Cnt D Cnt = d(1 + Y Cnt ) (1 + Y Cnt ) P Cnt. (27) Wenn man von dem Sonderfall einer flachen Zinsstruktur in t ausgeht, dann ist Y Cnt identisch mit dem (laufzeitunabhängigen) Zinssatz und die Duration ist dann auch als negative Zinselastizität des Kurses P Cnt der Kupon-Anleihe zu verstehen. (Wir hatten oben für zero bonds festgestellt, dass deren Laufzeit n wegen ln P nt = n ln(1 + Y nt ) mit der negativen Zinselastizität des Kurses übereinstimmt.) Auch wenn keine flache Zinsstruktur vorliegt, wird die Duration approximativ in diesem Sinn angewandt, wobei dann die interne Rendite und deren Veränderung als Näherung für das Marktzinsniveau und dessen Änderung behandelt wird. Wenn man die Duration derart zur Kennzeichnung des Kursrisikos von Kupon-Anleihen durch Änderung der Marktzinsen verwendet, dann wird oft die modifizierte Duration benutzt, die - nicht wie die Elastizität den Effekt einer relativen Zinssatzänderung - den Effekt einer absoluten Änderung der internen Bruttorendite (etwa um einen Basispunkt, d.h. um 0.01 Prozentpunkte, zum Beispiel von 4.50% auf 4.51%) auf die prozentuale Änderung des Anleihekurses angibt. 12

13 Die modifizierte Duration DCnt ergibt sich durch Division der Duration durch die interne Bruttorendite: D Cnt := D Cnt (1 + Y Cnt ) = dp Cnt dy Cnt 1 P Cnt = d ln P Cnt dy Cnt. (28) Die Duration bzw. die modifizierte Duration wird u.a. angewandt, um geeignete Kuponanleihen für ein Portfolio auszuwählen, mit dem das durch Zinsänderung bedingte Kursrisiko von Zerobond-Verbindlichkeiten abgesichert werden soll ( Immunisierung ). Abgesehen davon, dass die Interpretation der Duration als Zinselastizität schon vom Konzept her - durch die Verwendung der internen Bruttorendite als Kennziffer für das Marktzinsniveau - eine Approximation ist, liefert die erste Ableitung nur eine lineare Näherung der Kursänderung auf Grund einer Änderung der Rendite. Die Beziehung zwischen dem logarithmierten Anleihepreis und der internen Rendite ist nicht linear sondern konvex. D.h. dass die modifizierte Duration bei sinkendem Zinssatz den Kursanstieg unterschätzt und bei steigendem Zinssatz den Kursrückgang überschätzt. Eine Verbesserung der Approximation wird durch eine quadratische Taylorreihenapproximation erreicht: dp Cnt P Cnt dp Cnt dy Cnt 1 P Cnt } {{ } D Cnt dy Cnt + 1 d 2 P Cnt 1 (dy 2 dycnt 2 Cnt ) 2 (29) P Cnt } {{ } K Cnt Während der lineare Term durch die (negative) modifizierte Duration D Cnt bestimmt wird, geht in den quadratischen Term die sogenannte Konvexität K Cnt der Kupon-Anleihe ein, K Cnt := d 2 P Cnt dy 2 Cnt 1 P Cnt = n i(i+1) (1+Y Cnt ) i+2 K i P Cnt > 0. (30) Die Berücksichtigung der Konvexität wird mit zunehmender Zinsänderung dy Cnt bedeutsamer. Beispiel: Sei n = 5, P Cnt = 1.0, C = Y Cnt = Der Effekt einer Änderung des Zinsniveaus, ausgedrückt durch die angenommene Erhöhung der internen Rendite auf 5%, auf den Kurs der Anleihe wird (1) exakt berechnet, (2) mit der Duration abgeschätzt, (3) mit Duration und Konvexität abgeschätzt: (1) Mit Y Cnt = natürlich bei unverändertem Kupon C = berechnet man den Kurs der Anleihe mit (23) als Barwert

14 (2) Die Duration der gegebenen Anleihe wird mit (26) berechnet als D Cnt = , die modifizierte Duration als D Cnt = D Cnt /1.04 = Mit der Zinsänderung dy Cnt = 0.01 berechnet man mit (28) als lineare Näherung für den neuen Kurs mit Hilfe der modifizierten Duration D Cnt: P Cnt (1 + dp Cnt P Cnt ) P Cnt (1 D Cnt dy Cnt ) = P Cnt ( ) = (3) Die Konvexität der gegebenen Anleihe folgt mit (30) als K Cnt = Als quadratische Approximation für den durch die Zinsänderung dy Cnt = 0.01 bestimmten neuen Anleihekurs folgt mit (29) unter Verwendung von D Cnt und K Cnt : P Cnt (1 + dp Cnt P Cnt ) P Cnt (1 D Cnt dy Cnt K Cnt (dy Cnt ) 2 ) = P Cnt ( ) = Schätzung der Zinsstrukturkurve Aus empirischer Sicht ist die Datensituation für Kupon-Anleihen wesentlich besser als für zero bonds. Daher stellt sich die Frage, wie man zu einem gegebenen Zeitpunkt t die mit Hilfe der zero bonds definierte Zinsstruktur der Y nt, als Funktion von n, bzw. theoretisch äquivalent dazu die Diskontfunktion P nt oder die Struktur der Terminzinssätze F nt, aus den Marktpreisen P Cnt von Kupon-Anleihen bestimmen kann. Wie wir bereits feststellten, stimmt die Renditestruktur Y Cnt P =1 der al pari gehandelten Kupon-Anleihen nicht mit der Zinsstruktur Y nt überein und kann im übrigen auch nur einen kleinen Teil der Kupon-Anleihen verwenden. Man kann aber theoretisch, d.h. unter der Annahme der Arbitragefreiheit, nicht nur den Gegenwartswert P Cnt einer Kupon-Anleihe durch die Preise ( Diskontfaktoren ) P 1t, P 2t,..., P nt der zero bonds ausdrücken, P Cnt = P 1t C + P 2t C + + P nt (1 + C), (31) sondern kann auch umgekehrt, wenn die Preise P Cjt für ein System von n Kupon-Anleihen mit den Laufzeiten j = 1, 2,..., n vorliegen (ohne weiteres auch mit unterschiedlichen Kupons C j ), das resultierende System von n linearen Gleichungen nach den Diskontfaktoren P 1t, P 2t,..., P nt auflösen. Wegen der rekursiven Gestalt des Gleichungssystems ist die Auflösung sehr einfach und mit den Diskontfaktoren ist auch die Zinsstruktur Y 1t, Y 2t,..., Y nt bestimmt. 14

15 Die lineare Beziehung zwischen dem Preis einer Kupon-Anleihe P Cnt und den Diskontfaktoren der zero bonds wird aber auf Grund zahlreicher Marktunvollkommenheiten nicht exakt gelten. Insbesondere wird man auch nicht damit rechnen können, dass für eine beliebige zusätzlich betrachtete Kupon-Anleihe mit einer Laufzeit bis zu n Perioden deren Marktpreis exakt übereinstimmt mit dem theoretischen Gegenwartswert, wie er als lineare Funktion der berechneten Diskontfaktoren der zero bonds resultiert. Es liegt nahe anzunehmen, dass sich die Marktpreise P Cnt von Kupon-Anleihen durch einen zufälligen Störterm von der linearen Funktion der Diskontfaktoren unterscheiden. Für die Schätzung der Zinsstruktur wird man dann von vornherein die Marktpreise eines möglichst großen Querschnitts von Kupon-Anleihen unterschiedlicher Laufzeit als empirisches Datenmaterial verwenden. Im folgenden verzichten wir in der Notation der Variablen auf den in der Querschnittsanalyse fixierten Zeitindex t. Für einen Querschnitt von J Kupon-Anleihen mit den beobachteten Marktpreisen P Cj n j, Kupons C j und Laufzeiten n j, j = 1,..., J, könnte man dementsprechend als Regressionsgleichung ansetzen: P Cj n j = C j P 1 + C j P (1 + C j )P nj + u j, j = 1,..., J. (32) Nach den klassischen Annahmen für das lineare Regressionsmodell werden die u j, j = 1,..., J, als unabhängig identisch verteilte Störgrößen mit Erwartungswert E (u j ) = 0 und Varianz Var (u j ) = σ 2 angenommen. Dabei wird die zuletzt genannte Annahme einer über den Querschnitt konstanten Standardabweichung des Störterms (Homoskedastizität) in der Literatur in Frage gestellt. McCulloch zieht in Betracht, die Standardabweichung σ j der Störgröße u j proportional zum bid-ask spread zu spezifizieren und damit eine gewichtete Kleinst-Quadrate-Schätzung durchzuführen. 3 Alternativ wird von Ricart und Sicsic die Duration als Gewichtungsfaktor für die Fehler vorgeschlagen. 4 Auch wenn eine etwaige Heteroskedastizität unberücksichtigt bleibt und die Summe der ungewichteten quadrierten Fehler minimiert wird, behält die Kleinst- Quadrate-Schätzfunktion die Eigenschaft der Konsistenz. Wenn N = max j n j die maximale Laufzeit bezeichnet, dann gibt es als N unbekannte, 3 Vgl. McCulloch (1971), Measuring the Term Structure of Interest Rates, Journal of Business, 44, Vgl. Ricart und Sicsic, (1995), Estimating the Term Structure of Interest Rates from French Data, Banque de France Bulletin Digest, 22, October, Die Duration wird wegen ihrer Eigenschaft als Elastizität des Anleihepreises in Bezug auf die interne Bruttorendite als Gewichtungsfaktor vorgeschlagen. 15

16 zu schätzende Parameter die Diskontfaktoren P 1, P 2,..., P N. Die Voraussetzung einer nichtsingulären Matrix X X, wobei X die (J N)-Matrix der Regressoren bezeichnet, ist erfüllt (und die Methode der Kleinsten Quadrate liefert eindeutig einen Vektor von Schätzwerten ˆP 1, ˆP 2,..., ˆP N ), wenn in diesem Ansatz unter den J Kupon-Anleihen alle Laufzeiten von 1 bis N vertreten sind. Eine solche direkte Schätzung der Diskontfunktion bzw. Zinsstruktur aus den Marktdaten von Kupon-Anleihen ist aber nicht üblich. Wenn man davon ausgeht, dass die Zinsstrukturkurve eine glatte Funktion der Zeit ist - dass also bei kleinen Änderungen der Laufzeit der Zinssatz nur wenig variiert - kann man dies formal mit der Annahme einer bestimmten, von einem zu schätzenden Parametervektor θ abhängigen, stetigen, oder sogar mehrfach differenzierbaren Funktion P n = P (n), n IR 0, umsetzen. Damit wird man zugleich die Anzahl der unbekannten Parameter (oben: N) wesentlich verringern. Ein besonders einfacher und restriktiver Ansatz wäre etwa mit einem Polynom, das für n = 0 den Wert 1 annimmt, gegeben, z.b.: P n = P (n) = 1 + θ 1 n + θ 2 n 2 + θ 3 n 3. (33) Die Anzahl der unbekannten Koeffizienten ist damit von N auf 3 zurückgeführt. Durch Einsetzen dieser Funktion in die Regressionsgleichung und Sortieren nach den unbekannten Parametern θ 1, θ 2, θ 3 ergibt sich als neue Regressionsgleichung PC j n j = X nj 1θ 1 + X nj 2θ 2 + X nj 3θ 3 + u j, j = 1,..., J, (34) mit PC j n j = P Cj n j 1 n j C j X nj 1 = n j n j + C j i X nj 2 = n 2 j + C j n j X nj 3 = n 3 j + C j n j i 2 i 3 Mit Parameterschätzwerten ˆθ 1, ˆθ 2, ˆθ 3 ist dann auch eine Schätzung für die Diskontfunktion durch das entsprechende Polynom dritten Grades gegeben. Weiterhin ist mit der Diskontfunktion auch die Zinsstrukturkurve bestimmt als Ŷn = Ŷ (n) = ˆP (n) 1 n 1. 16

17 Verschiedene Arbeiten zur Schätzung der Zinsstruktur 5 haben Spline -Funktionen für P (n) verwendet. Dabei ist es zweckmäßig, dass der untersuchte Querschnitt von Kuponanleihen zunächst nach Fälligkeit sortiert wird und die Zeitachse bis zur längsten Laufzeit mit K Knotenpunkten (einschließlich dem Anfangs- und Endpunkt) so in K 1 Intervalle aufgeteilt wird, dass jedes Teilintervall etwa die gleiche Anzahl von Anleihen enthält. Eine Spline-Funktion ist dann durch unterschiedliche Polynome r ten Grades in den Teilintervallen bestimmt, die aber an den Knoten zwischen den Teilintervallen so glatt ineinanderübergehen müssen, dass die Funktion P (n) auch in den Knoten eine stetige Ableitung bis zur Ordnung r 1 hat. Diese Restriktionen reduzieren zugleich die Anzahl der freien, zu schätzenden Parameter auf K 2 + r: 6 Für das erste, in n = 0 beginnende Teilintervall werden r Parameter für ein Polynom 1 + θ 1 n + θ 2 n θ r n r verbraucht, für jedes der weiteren K 2 Teilintervalle müssen die r + 1 Polynomkoeffizienten jeweils r lineare Gleichungen erfüllen (Gleichheit im Funktionswert und in den r 1 ersten Ableitungen mit dem vorigen Polynom im linken Randpunkt des Teilintervalls), so dass mit jedem dieser Teilintervalle nur ein freier Koeffizient hinzukommt. Die Verwendung von Polynomen für die Diskontfunktion P (n), sei es einheitlich über den gesamten Laufzeitbereich oder in der Form von Spline-Funktionen, führt vor allem im Bereich langer Laufzeiten zu Schwierigkeiten. Damit die aus der Diskontfunktion resultierenden Terminzinssätze stets nichtnegativ sind, muss P (n) monoton fallen. Bei einer näherungsweise flachen Zinsstrukturkurve, also mit laufzeitunabhängigem Zinssatz Y n Y > 0 geht P (n) = (1 + Y n ) n exponentiell gegen Null. Ein Polynom in der Laufzeit n wird dagegen mit wachsendem n divergieren. Um dieser Schwäche von Polynomen zu begegnen, wurden andere, in den Parametern nichtlineare, Funktionen für P (n) vorgeschlagen. 5 Vgl. McCulloch(1971), a.a.o., McCulloch(1975),The Tax-Adjusted Yield Curve, Journal of Finance, 30, , und Adams and van Deventer(1994), Fitting Yield Curves and Forward Rate Curves with Maximum Smoothness,Journal of Fixed Income, 4, Ausführlich werden Spline-Funktionen behandelt in der Monographie von Poirier(1974), The Econometrics of Structural Change, Amsterdam: North-Holland. 17

18 Nelson und Siegel 7 haben für den stetigen Terminzinssatz f n = ln(1 + F n ) als Funktion der Fälligkeit n, n IR 0 f(n) = β 0 + β 1 e αn + β 2 α ne αn, (35) mit den vier Parametern α, β 0, β 1, β 2 vorgeschlagen. Mit Gleichung (20) hatten wir festgehalten, dass der stetige Kassazinssatz y n für die Laufzeit von n Perioden gleich dem arithmetischen Mittel der stetigen Terminzinssätze f i für die n Zeitintervalle [i, i + 1], i = 0,..., n 1 ist. Dabei wurde unterstellt, dass die stetigen Terminszinssätze jeweils über die Länge einer Basisperiode konstant bleiben, als reelle Funktion der Zeit verstanden also eine Treppenfunktion darstellen. Wenn man, um die mit der gegebenen funktionalen Spezifikation des Terminszinssatzes angenommene kontinuierliche Veränderung von f(n) zu erfassen, jedes Basisintervall immer weiter unterteilt, muss die Summe durch das Integral ersetzt werden, also man erhält den stetigen Kassazinssatz y n = y(n) mit: y(n) = 1 n n 0 f(x)dx = 1 n = 1 n n [ 0 [ β0 + β 1 e αx + β 2 α xe αx] dx β 0 x β 1 α e αx + β 2 α ( α xe αx e αx ) ] n 0, also ( ) 1 e αn y(n) = β 0 + β 1 αn + β 2 ( 1 e αn αn ) e αn. (36) Damit ist auch die Funktion der Diskontfaktoren mit ln P (n) = n y(n), also P (n) = exp( n y(n)) festgelegt. Unter Anwendung der Regel von L Hospital kann man zeigen, dass β 0 als langfristiger Zinssatz und β 0 + β 1 als kurzfristiger Zinssatz interpretiert werden kann, d.h. lim y(n) = β 0, n lim y(n) = β 0 + β 1. n 0 7 Nelson, C. and A. Siegel (1987), Parsimonious Modelling of Yield Curves, Journal of Business 60,

19 Die von Nelson und Siegel vorgeschlagene funktionale Form ist so flexibel, dass damit nicht nur normale und inverse Zinsstrukturkurven repräsentiert werden können, sondern auch solche Strukturen, bei der die Zinssätze mit wachsender Frist zunächst steigen (fallen) und dann wieder fallen (steigen). Eine weitere Verallgemeinerung, die auch von der Deutschen Bundesbank verwendet wird, wurde von Svensson durch Hinzufügen eines zusätzlichen Terms mit zwei weiteren Parametern eingeführt: 8 ( ) ( ) 1 e α 1 n 1 e α 1 n y(n) = β 0 + β 1 + β 2 e α 1n α 1 n α 1 n Der zusätzliche Term mit dem Koeffizienten β 3 + β 3 ( 1 e α 2 n α 2 n e α 2n ). (37) geht ebenso wie der β 2 -Term sowohl für n 0 als auch für n gegen Null, so dass sich weiterhin β 0 als langfristiger Zinssatz und β 0 + β 1 als kurzfristiger Zinssatz ergibt. Die Flexibilität dieses parametrischen Ansatzes für die Zinsstrukturkurve illustriert die Grafik 1, in der für gegebene Parameterwerte neben der Zinsstrukturkurve y(n) über dem Laufzeitbereich bis 25 Jahre auch die Zerlegung in die einzelnen additiven Komponenten dieser Kurve dargestellt wird. Mit numerischen Verfahren können aus einem Querschnitt von J Kupon-Anleihen die Parameterschätzwerte ˆβ 0, ˆβ 1, ˆβ 2, ˆβ 3, ˆα 1, ˆα 2 nach der nichtlinearen Kleinst-Quadrate Methode bestimmt werden, d.h. diejenigen Schätzwerte, die das Kriterium minimieren, wobei J (P Cj n j ˆP Cj n j ) 2 (38) j=1 ˆP Cj n j = C j ˆP (1) + Cj ˆP (2) + + (1 + Cj ) ˆP (n j ), j = 1,..., J, (39) und ˆP (n) = exp( n ŷ(n)). Wenn man annimmt, dass die Standardabweichung des Fehlerterms proportional zu einer für jede Anleihe berechneten Kennziffer s j (z.b. bid-ask spread, Duration) ist, minimiert 8 Svensson, L. (1994), Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden , IWF Working Paper 114. Schich, S.T. (1997), Schätzung der deutschen Zinsstrukturkurve. Diskussionspapier 4/97, Volkswirtschaftliche Forschungsgruppe der Deutschen Bundesbank. Das Interesse der Deutschen Bundesbank an der regelmäßigen Schätzung der deutschen Zinsstruktur ist u.a. darin begründet, dass die Zinsstruktur auch als ein wichtiger Indikator für die Inflationserwartungen zu betrachten ist; vgl dazu: Langfeldt, E. (1994), Die Zinsstruktur als Frühindikator für Konjunktur und Preisentwicklung in Deutschland, Arbeitspapier 615, Institut für Weltwirtschaft, Kiel. 19

20 Komponenten einer Svensson-Zinsstrukturkurve beta0 = 0.08, beta1 = -0.06, beta2 = -0.3, beta3 = 0.6, alpha1 = 0.66, alpha2 = BETA_0 BETA_1 BETA_2 BETA_3 Y Figure 1: Zinsstrukturkurve man mit der gewichteten Kleinst-Quadrate Methode das Kriterium J (P Cj n j ˆP Cj n j ) 2. (40) j=1 s 2 j Es ist zu beachten, dass mit den genannten Ansätzen nicht mehr als die Messung der Zinsstrukturkurve, wie sie zu einem bestimmten festen Zeitpunkt t gilt, beabsichtigt ist. Weder wird damit die Zinsstrukturkurve in der jeweils aktuellen Gestalt erklärt, noch deren Veränderung in der Zeit. Von der Messung der aktuellen Zinsstruktur und insbesondere des Zinsspreads s nt = y nt y 1t für unterschiedliche Laufzeiten n erhofft man sich u.a. Informationen, die für die Prognose der Veränderung von nominalen und realen Zisssätzen, der Inflationsrate und der konjunkturellen Entwicklung genutzt werden können. Zum Teil werden diese Zusammenhänge damit begründet, dass die Zinsstruktur, die sich aktuell am Markt herausbildet, von den Erwartungen der Marktteilnehmer über die zukünftige Zinssatzentwicklung bestimmt werden. Im folgenden Abschnitt werden einige Ansätze vorgestellt, diese Erwartungshypothese exakt zu formulieren. Dabei wird die aktuelle Zinsstruktur immer als bekannt vorausgesetzt. 20

21 2.4 Zinsprognosen auf Basis der Zinsstruktur: Erwartungshypothesen Die Hypothese, dass die gegenwärtige Zinsstruktur Y nt, die den Anleihemarkt ins Gleichgewicht bringt, von den Erwartungen der Marktteilnehmer über zukünftige Zinssätze Y is, s > t abhängig ist, wird als Erwartungshypothese bezeichnet; sie kann in unterschiedlichen Varianten formuliert werden. Wenn eine derartige Erwartungshypothese zur Zinsstruktur zutrifft, dann müsste die gegenwärtige Zinsstruktur die Erwartungen über Zinsänderungen reflektieren und insofern zur Zinsprognose aufschlussreich sein. Wir wollen hier zunächst auf einige unterschiedliche Formulierungen der reinen Erwartungshypothese und deren Beziehungen zueinander eingehen. Generell betrachten wir dabei zukünftige Zinssätze als Zufallsvariablen, deren Verteilung durch die aktuell (in t) verfügbare Informationsmenge I t bestimmt ist. Bezüglich der von den Marktteilnehmern erwarteten Zinssätze gehen wir von rationalen Erwartungen aus Erwartungshypothesen für diskrete Zinssätze Die beiden folgenden Hypothesen können gleichermaßen eine intuitive Plausibilität für sich beanspruchen, können aber nicht zugleich exakt gelten. In der ersten Hypothese wird aus der Sicht eines kurzfristigen Anlegers der kurzfristige Zinssatz Y 1t gleichgesetzt mit der erwarteten Periodenrendite R n,t+1 aus dem Kauf eines langfristigen Zerobonds und dessen Wiederverkauf nach einperiodiger Haltedauer, also: Erwartungshypothese I ( ) ( ) Pn 1,t+1 (1 + Y 1t ) = E t (1 + R n,t+1 ) = E t = (1 + Y nt ) n 1 E t P nt (1 + Y n 1,t+1 ) n 1 (41) In der zweiten Hypothese wird aus der Sicht eines langfristigen Anlegers der Ertrag aus der langfristigen Anlage zum Zinssatz Y nt gleichgesetzt mit dem erwarteten Ertrag aus der wiederholten kurzfristigen Anlage zu den Zinssätzen Y 1s, s = t,..., t + n 1, also: 9 D.h. wir setzen die Erwartungen gleich den Erwartungswerten der auf die Information in t bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und bezeichnen sie mit E t ( ). 21

22 Erwartungshypothese II (1 + Y nt ) n = E t ((1 + Y 1t )(1 + Y 1,t+1 ) (1 + Y 1,t+n 1 )) (42) Diese zweite Hypothese wird nun umformuliert, damit der Widerspruch zur ersten Hypothese erkennbar wird. Dazu nehmen wir an, dass (42) auch mit t + 1 (statt t) und n 1 (statt n) gilt, also: (1 + Y n 1,t+1 ) n 1 = E t+1 ((1 + Y 1,t+1 ) (1 + Y 1,t+n 1 )) Die Erwartungswertbildung mit E t ( ) auf beiden Seiten liefert dann mit der Anwendung der Regel des iteritierten Erwartungswerts, d.h. der Gleichung E t (E t+1 (X)) = E t (X): E t ( (1 + Yn 1,t+1 ) n 1) = E t (E t+1 ((1 + Y 1,t+1 ) (1 + Y 1,t+n 1 ))) = E t ((1 + Y 1,t+1 ) (1 + Y 1,t+n 1 )). Durch Einsetzen des letzten Terms in die rechte Seite von (42) - der Faktor (1 + Y 1t ) ist bezüglich des Erwartungswerts E t ( ) deterministisch - folgt damit die Erwartungshypothese II in der Form (1 + Y nt ) n = (1 + Y 1t ) E t ( (1 + Yn 1,t+1 ) n 1). (43) Wenn die Erwartungshypothese I (41) und die Erwartungshypothese II in der Form (43) jeweils nach (1 + Y 1t )/(1 + Y nt ) n aufgelöst wird, erhält man zwei Terme, die nach der Ungleichung von Jensen 10 voneinander verschieden sind (wenn man den Fall ausschließt, dass die zukünftigen Zinssätze bereits in t mit Sicherheit bekannt sind): ( ) 1 E t > (1 + Y n 1,t+1 ) n 1 1 E t ((1 + Y n 1,t+1 ) n 1 ). Der Widerspruch zwischen den beiden Varianten der Erwartungshypothese verschwindet, wenn sie nicht für die diskreten Renditen, sondern für die stetigen Renditen formuliert 10 Wenn g eine konvexe oder konkave Funktion ist, dann gilt für jede Zufallsvariable X E (g(x)) g (E (X)), E (g(x)) g (E (X)), falls g konvex ist falls g konkav ist Diese Regel heißt Jensensche Ungleichung. Die Funktion g(x) = 1/X ist strikt konvex, weshalb die Ungleichung strikt gilt, wenn die Varianz von X nicht Null ist. 22

23 werden. Mit der Verwendung der stetigen Renditen ergeben sich lineare Beziehungen, bei denen die Erwartungshypothesen in beiden Varianten äquivalent sind. In empirischen Anwendungen dominiert diese Operationalisierung der Erwartungshypothese Erwartungshypothesen für stetige Zinssätze Die erste Hypothese basiert wieder auf der kurzfristigen Anlageperspektive. Sie postuliert also, dass der stetige kurzfristige Zinssatz y 1t, der sich am Anleihemarkt bildet, mit der Erwartung der stetigen Periodenrendite r n,t+1 aus dem Kauf eines langfristigen Zerobonds und dessen Wiederverkauf nach einperiodiger Haltedauer übereinstimmt, also: Erwartungshypothese I y 1t = E t (r n,t+1 ) = E t (ln P n 1,t+1 ) ln P nt = n y nt (n 1) E t (y n 1,t+1 ) (44) In der zweiten Hypothese wird aus der Sicht eines langfristigen Anlegers die stetige Rendite ny nt über n Perioden aus der langfristigen Anlage gleichgesetzt mit der erwarteten stetigen Rendite aus der wiederholten kurzfristigen Anlage zu den stetigen Zinssätzen y 1s, s = t,..., t + n 1, also: Erwartungshypothese II n y nt = y 1,t + E t (y 1,t+1 ) + + E t (y 1,t+n 1 ). (45) Zum Vergleich mit (44) wird diese zweite Hypothese wieder umformuliert. Mit der Annahme, dass (45) auch mit t + 1 (statt t) und n 1 (statt n) gilt, also mit (n 1) y n 1,t+1 = y 1,t+1 + E t+1 (y 1,t+2 ) + + E t+1 (y 1,t+n 1 ), folgt durch die Erwartungswertbildung mit E t ( ) auf beiden Seiten: (n 1) E t (y n 1,t+1 ) = E t (y 1,t+1 ) + E t (y 1,t+2 ) + + E t (y 1,t+n 1 ). Durch Einsetzen des letzten Terms in die rechte Seite von (45) folgt damit die Erwartungshypothese II in Form der Gleichung n y nt = y 1,t + (n 1) E t (y n 1,t+1 ), (46) 23

24 die offensichtlich äquivalent mit (44) ist. Die Formulierung der Erwartungshypothese für stetige Renditen führt also bei kurzfristiger und langfristiger Anlageperspektive zum gleichen Ergebnis; natürlich schließt sie zugleich aus, dass eine Erwartungshypothese für die diskreten Zinssätze exakt gültig ist. Aus der stetigen Erwartungshypothese in der Formulierung (45) kann man leicht eine Beziehung zwischen dem stetigen Terminzinssatz f n 1,t, der in t für die Periode von t + n 1 bis t + n vereinbart wird und dem Kassazinssatz y 1,t+n 1 für diese Periode herleiten. Für den stetigen Terminzinssatz f n 1,t gilt nach (19) f n 1,t = ny nt (n 1)y n 1,t. Wenn man die Gleichungen (45) für n und für n 1 voneinander subtrahiert, folgt daher f n 1,t = E t (y 1,t+n 1 ). (47) Bei Gültigkeit der stetigen Erwartungshypothese muss daher der stetige Terminzinssatz die optimale Prognose im Zeitpunkt t für den entsprechenden zukünftigen Kassazinssatz liefern. Weiterhin folgt aus (47) für den Terminzinssatz f nt, der heute für eine einperiodige Anlage im zukünftigen Zeitpunkt t+n gilt, dass dieser zugleich die beste Prognose für den Terminzinssatz f n 1,t+1 ist, der eine Periode später für die gleiche Anlageperiode gelten wird: f nt = E t (y 1,t+n ) = E t (E t+1 (y 1,t+n )) = E t (E t+1 (y 1,t+1+n 1 )) = E t (f n 1,t+1 ). (48) Modifikation durch Zulassung von Terminprämien Die Erwartungshypothesen, die oben formuliert wurden und die eine Übereinstimmung zwischen den gegenwärtig am Finanzmarkt gültigen Zinsen und den Erwartungen über entsprechende zukünftige Zinssätze annehmen, sind mit unterschiedlichen Argumenten dahingehend abgeschwächt worden, dass eine jeweilige Abweichung als konstant über die Zeit t postuliert wird, aber nicht gleich Null sein muss. Die konstanten Unterschiedsterme werden auch als Terminprämien bezeichnet. 11 Die in (44) gegebene Erwartungs- 11 Auch die zeitliche Veränderung von Terminprämien ist in neueren theoretischen Ansätzen modelliert worden, vgl. dazu Campbell, Lo, MacKinlay (1997), The Econometrics of Financial Markets, Princeton Unversity Press, Ch

25 hypothese I für stetige Zinssätze kann dann unter Zulassung einer Terminprämie α n notiert werden als y 1t = E t (r n,t+1 ) + α n. (49) Unter Verwendung der Beziehung (15) für die Überschussrendite, folgt damit durch Anwendung von E t ( ), bzw. mit α n := α n/(n 1): r n,t+1 y 1t = s nt (n 1)(y n 1,t+1 y nt ), (y 1t α n) y 1t = s nt (n 1)E t (y n 1,t+1 y nt ), α n + s nt n 1 = E t (y n 1,t+1 y nt ). (50) Unter Vernachlässigung des Effekts der Terminprämie würde damit die Erwartung, dass nach Ablauf einer Periode die langfristigen Zinsen steigen, eine positive Zinsspanne (normale Zinsstruktur) erklären, und die Erwartung einer Senkung der langfristigen Zinssätze würde eine negative Zinsspanne (inverse Zinsstruktur) erklären. 12 Umgekehrt müssten, wenn diese Erwartungshypothese gilt, die jeweils über eine Periode realisierten Zinsänderungen um ihren Erwartungswert, d.h. um α n + snt streuen und die n 1 Zinsspanne s nt zwischen y nt und y 1t müsste sich zur Prognose der Änderung der langfristigen Zinsen eignen. Der folgende abschließende Abschnitt dieses Kapitels behandelt solche Ansätze zur Zinsprognose mit Hilfe des Spread, die auf der Erwartungshypothese (unter Berücksichtigung von Terminprämien) beruhen Zinsprognosen mit Hilfe der aktuellen Zinsspanne Um die Erwartungshypothese in der Form (50) und damit den Prognosegehalt der Zinsspanne für die Änderung der langfristigen Zinsen empirisch zu überprüfen, schätzt man für gegebenes n die folgende Regressionsgleichung: s nt y n 1,t+1 y nt = α n + β n n 1 + ɛ nt, t = 1,..., T. (51) 12 Bei längerer Laufzeit n kann man von y n 1,t+1 y n,t+1 ausgehen. 25

26 Wenn die Hypothese (50) gilt, dann ist β n = 1 für alle n > 1 und ɛ nt eine Störgröße mit Erwartungswert Null. Empirische Untersuchungen stützen diese Hypothese aber nicht. Die Kleinst-Quadrate-Schätzwerte für β n, die sich aus US-Monatsdaten über den Zeitraum von 1952 bis 1991 für Laufzeiten von n = 3 bis n = 120 ergeben, sind alle negativ. Bei einem Signifikanzniveau von 5% sind die Schätzwerte alle signifikant kleiner als 1 und einige sogar signifikant negativ. 13 Der Vermutung, dass die negativen Schätzwerte für β n auf Messfehler in der Variablen y nt, die in der abhängigen Variablen und im Regressor s nt mit entgegengesetztem Vorzeichen auftritt, zurückzuführen ist, sind Campbell und Shiller (1991) nachgegangen, haben jedoch auch mit anderen Schätzverfahren, die den Fehlern in den Variablen Rechnung tragen, die negativen Schätzwerte bestätigt. 14 empirischen Daten sprechen also gegen den aus der Erwartungshypothese abgeleiteten Prognoseansatz für die kurzfristige Die Änderung der langfristigen Zinsen. Die Erwartungshypothese mit konstanten Terminprämien könnte allenfalls dann Gültigkeit besitzen, wenn die Zinserwartungen der Marktteilnehmer nicht rational gebildet werden, d.h. wenn die Erwartungen nicht dem mathematischen Erwartungswert gleichgesetzt werden können. Die Erwartungshypothese lässt sich auch in einen Prognoseansatz für die Änderung der kurzfristigen Zinsen umsetzen und erweist sich dabei als erfolgreicher. Nach der Erwartungshypothese (49) ist die erwartete Überschussrendite für die jeweils nächste Periode über die Zeit konstant, also E t+i 1 (r n+1 i,t+i y 1,t+i 1 ) = α n+1 i, für i = 1,..., n, (52) also mit der Regel des iterierten Erwartungswerts E t (E t+i 1 ( )) = E t ( ) auch ( 1 n ) n E t (r n+1 i,t+i y 1,t+i 1 ) = 1 n (α n + + α2 + α1) def = µ n. (53) Unter Verwendung von (53) und der Darstellung (16) von y nt als arithmetisches Mittel der Überschussrenditen, y nt = (1/n) n r n+1 i,t+i, folgt für den Zinsspread s nt = E t (s nt ) = E t (y nt y 1t ) = 1 ( n ) n E t (r n+1 i,t+i y 1t ) = 13 Vgl. Campbell, Lo, MacKinlay (1997), The Econometrics of Financial Markets, Princeton Unversity Press, S Vgl. Campbell, Shiller (1991), Yield Spreads and Interest Rate Movements: A Bird s Eye View, Review of Economic Studies, 58,