Nichtkonforme finite Elemente und Doedel-Kollokation für elliptische Differentialgleichungen

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1 Nictkonforme finite Elemente und Doedel-Kollokation für elliptisce Differentialgleicungen - Diplomarbeit - Eingereict am Facbereic Matematik und Informatik der Pilipps-Universität Marburg von Bastian Goldlücke Betreuer: Prof. Dr. Klaus Bömer Zusammenfassung Unter Zuilfename von Tecniken zu finiten Elementen mit Variational Crimes aus der Arbeit [B] von Klaus Bömer wird eine Konvergenzteorie für eine Klasse nictkonformer Diskretisierungen elliptiscer Randwertprobleme erarbeitet. Diese zeicnet sic dadurc aus, daß die approximierenden Funktionen zwar im Inneren der finiten Elemente glatt sind, auf Übergängen zwiscen zwei Elementen jedoc nur in endlic vielen Punkten stetig mit stetiger Normalenableitung sein müssen. Zu dieser Klasse zält insbesondere ein effizientes Kollokationsverfaren, welces von Eusebius Doedel 1997 in [D] vorgestellt worden ist, für das die Konvergenz biser aber noc nict sicergestellt war. Einige numerisce Beispielrecnungen mit einem eigens entwickelten Programmpaket illustrieren die teoretiscen Resultate. Erklärung Ic versicere, die Arbeit selbständig verfaßt und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt zu aben. Marburg, den ,

2 Inaltsverzeicnis 0 Einfürung Problem und Diskretisierung Geometrisce Situation und Notation Der Algoritmus von Doedel Ausblick auf die folgenden Untersucungen I Teorie 6 1 Das Variationsproblem Diskretisierung und scwace Lösungen Bilinearformen und zugeordnete Operatoren Koerzive und elliptisce Bilinearformen. Stabilität Stabilität impliziert Konvergenz Beweisstruktur Elliptisce Randwertprobleme Bilinearformen Ein Regularitätssatz Stabilität für elliptisce Bilinearformen Operatorform und Randfeler Beweisstruktur Die Interpolationsoperatoren Lokale Konstruktion Globale Konstruktion Existenz Konvergenz der Interpolation Interpolation auf Kollokationspunkten Bescränkteit Beweisstruktur Glättung Konstruktion des Operators und Felerabscätzung Analyse der Randintegrale Beweisstruktur Kollokation Formulierung als Variationsaufgabe Stabilität und Konvergenz Beweisstruktur Zusammenfassung Forderungen an die Geometrie Forderungen an die Bilinearformen Forderungen an das Referenzelement Konvergenzresultat Ansatzpunkte für weitere Untersucungen

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 II Praxis 52 7 Das Programmpaket Konzept und Arcitektur Struktur des Moduls nan Der Lösungsalgoritmus Matematisce Bescreibung Newton-Verfaren Implementation Numerisce Resultate Die Skriptsprace Ausfürung von Skripten und Ausgabe Helmoltz-Gleicung mit Lösung in C (Ω) Helmoltz-Gleicung mit Lösung in C 2 (Ω) Fazit: Auswal des Referenzelementes III Anänge 73 A Sobolev-Räume 74 A.0 Einbettungs- und Dicteitssätze A.1 Affine Transformationen A.2 Aussagen für diskrete Normen A.3 Existenz bestimmter Funktionen A.4 Approximation durc Taylorpolynome B Quadraturfeler 78 B.0 Eindimensional B.1 Merdimensional C Alle experimentellen Daten 81 C.0 Helmoltz-Gleicung mit Lösung in C (Ω) C.1 Helmoltz-Gleicung mit Lösung in C 2 (Ω)

4 Kapitel 0 Einfürung 0.0 Problem und Diskretisierung In dieser Arbeit get es im wesentlicen um ein konkretes Lösungsverfaren für partielle Differentialgleicungen, welces in [D] von E.Doedel bescrieben worden ist. Es fügt sic ein in den Ramen der Teorie der nictkonformen finiten Elemente, wobei die zu lösenden Gleicungssysteme durc Kollokation entsteen. Im folgenden wird es sic stets darum dreen, die Gleicung Au = F für u zu lösen, wobei A ein partieller Differentialoperator, u die gesucte, genügend oft differenzierbare Funktion auf einem Gebiet Ω R D und F L (Ω) ist. Um eine eindeutige Lösung zu gewärleisten, werden später noc geeignete Randbedingungen mit ins Spiel kommen, und die Klasse der betracteten Operatoren und Gebiete eingescränkt. Wollen wir diese Gleicung recnertauglic macen, so muß sie in eine Gleicung für endlicdimensionale Funktionenräume überfürt werden, da Computer betrüblicerweise mit unendlicen Dingen erzlic wenig anfangen können - es mangelt zum Beispiel an unendlic großen Speicern. Die Tecnik der finiten Elemente basiert nun darauf, dies zu erreicen, indem das Gebiet Ω geeignet in endlic viele Teilgebiete - die finiten Elemente - zerlegt wird, und dann ein endlicdimensionaler Funktionenraum konstruiert wird, indem jedem Element ein gewisser Raum lokaler Funktionen zugeordnet wird. Dieser at natürlic ebenfalls endlicdimensional zu sein und wird vernünftigerweise so gewält, daß man streßfrei damit arbeiten kann, weswegen sic zumeist Polynome als Basisfunktionen anbieten. Das Gleicungssystem für diesen Funktionenraum ist dann dadurc gegeben, daß die Differentialgleicung in bestimmten endlic vielen Punkten, den sogenannten Kollokationsstellen, erfüllt ist - die daintersteckende Idee ist, daß der Differentialoperator für die einfacen Basisfunktionen leict auszuwerten ist. Wie diese Betractungen konkret in exakte Definitionen übersetzt werden, mit denen man arbeiten kann, offenbaren die restlicen Abscnitte dieses einfürenden Kapitels. 0.1 Geometrisce Situation und Notation Zunäcst soll die geometrisce Situation in maximal möglicer Allgemeineit bescrieben werden, notwendig werdende Restriktionen werden dann an geeigneter Stelle eingefürt. Wir fixieren im folgenden natürlice Zalen D, F, N und M und bezeicnen mit Ω Ein Gebiet im R D, zerlegt in F paarweise disjunkte, offene Mengen ω 1,..., ω F in dem Sinne, daß F i=1 ω i = Ω. X i Eine Menge X i = {x i 1,..., x i M } ω i von Randpunkten zu jedem ω i, von denen jeder in einem glatten Teilstück des Randes liegt. Sie müssen weiterin die Bedingung erfüllen, daß Punkte, die sowol in X i als auc auf einem ω j liegen, auc zu X j geören. Y i Eine weitere Menge Y i = {y1, i..., ym i } ω i von Randpunkten zu jedem ω i, die analoge Bedingungen wie die X i erfüllen. Z i Eine Menge Z i = {z1, i..., zn i } ω i von inneren Punkten zu jedem ω i. 1

5 KAPITEL 0. EINFÜHRUNG 2 Beispiel für zwei benacbarte finite Elemente und die Mengen Y und Z. Es ist N = 4 und M = 4. Das Bild für die Mengen X und Z siet entsprecend aus, mit eventuell anderer Lage der Punkte aus X. ω i y4 i y j 4 ω j + + y1 i η j (y j 1 ) ηi (y3) i y3 i y j 1 y j y2 i y j 2 Punkte in Y i Y j Punkte in Y i \ Y j Punkte in Y j \ Y i Punkte in Z i + Punkte in Z j Zu jedem Element assoziieren wir nun noc einen Unterraum der Dimension K := M + N der (reellen) Polynome in D Variablen, welce als glatte Funktionen auf ω i interpretiert werden. Die Basispolynome seien φ i 1,..., φ i K : P i := φ i 1,..., φ i K R C (ω i ) P[x 1,..., x D ]. Ein Tupel (ω i, X i, Y i, Z i, P i ) eißt finites Element mit Verbindungspunkten X i and Y i, Kollokationspunkten Z i und lokalen Funktionen P i. Wenn aus dem Kontext eraus klar ist, daß ein bestimmtes Element fixiert ist, werden wir den Index i zur Vereinfacung der Notation gewönlic fortlassen. Eine Summe von lokalen Funktionen, die trivial auf Ω fortgesetzt wurden, eißt global. Man beacte, daß globale Funktionen glatt sind, wenn man sie auf ein einzelnes ω i einscränkt, im allgemeinen jedoc unstetig auf den Rändern der Elemente. Aus diesem Grund werden so konstruierte finite Elemente auc als nictkonform bezeicnet. Einem Vektor c i R K kann man nun auf kanonisce Weise eine lokale Funktion in P i zuordnen vermöge einer Linearkombination von Basisfunktionen, die im folgenden mit P i ( c i) bezeicnet wird: P i ( c i) := K c i kφ i k Nict weniger kanonisc kann man dann zu einer Matrix c = (c i ) 1 i F R F K eine globale Funktion V (c) konstruieren durc Fortsetzen und Aufaddieren der einzelnen lokalen Funktionen, die durc die Zeilenvektoren gegeben sind: F V (c) := Θ Ω P i ( c i), i=1 dabei bezeicnet Θ Ω triviale Fortsetzung nac Ω durc Null. Eine auf diese Weise konstruierte Funktion soll zulässig eißen genau dann, wenn zwei Verbindungsbedingungen und eine Randbedingung erfüllt sind: k=1 Die lokalen Funktionen, aus denen die globale Funktion zusammengeflickt wurde, sind auf gemeinsamen Verbindungspunkten der jeweiligen Mengen X gleic: P i ( c i) = P j ( c j) auf X i X j.

6 KAPITEL 0. EINFÜHRUNG 3 Die Ableitung der lokalen Funktionen in Rictung der zugeordneten Normalenvektoren ist stetig beim Übergang über den Rand in einem Verbindungspunkt aus den Mengen Y. Dafür bezeicne η i das Vektorfeld von Eineitsvektoren auf ω i, welces normal zum Rand ist und nac außeralb von ω i weist. Dann soll gelten 1 : P i ( c i) η i (y) = P j ( c j) η j (y) für alle y Y i Y j. Die Funktionswerte in Verbindungspunkten, die auf Ω liegen, sind gleic den Funktionswerten einer gegebenen Funktion 2 B C( Ω), die Randbedingungen eines Problems wiedergibt: P i ( c i) = B auf X i Ω. Scließlic ist der Funktionenraum, der für gegebene Randbedingungen die Diskretisierung definiert, der Raum aller zulässigen Funktionen: V B := { V (c) : c R F K und V (c) zulässig }. Der Übersict alben sind ier noc einmal die festgelegten natürlicen Zalen mit irer Bedeutung festgealten: D Die Dimension des Raumes, in der Ω liegt. F Die Anzal der finiten Elemente in einer Zerlegung von Ω. M Die Anzal der Verbindungspunkte pro Element sowol für Funktionswerte als auc für Rictungsableitungen. N Die Anzal der Kollokationspunkte pro Element. K Definiert als K := M + N, die Dimension des Funktionenraumes P, der jedem Element zugeordnet ist. 0.2 Der Algoritmus von Doedel Zunäcst soll einmal vereinfacend vorausgesetzt werden, daß A linear ist. In dieser Ausgangssituation sclug Eusebius Doedel in [D] ein möglices Gleicungssystem zur Bestimmung einer zulässigen Funktion vor, welce vermutlic näerungsweise die Differentialgleicung erfüllt. Man kann dafür zunäcst nacprüfen, daß der Raum V B genau die Dimension N F at. Daer liegt es nae, die Erfüllung der Differentialgleicung in den Kollokationspunkten zu fordern: Finde ũ 0 V B, so daß für alle z Z : Aũ 0 (z) = F (z). Das ergibt genau N F Gleicungen, durc die offentlic ein Element in V B eindeutig bestimmt ist. Ein wesentlicer Gewinn, den man durc die Wal dieser Gleicungen at, ist, daß das entsteende System extrem effizient gelöst werden kann: Falls die finiten Elemente durc fortgesetzte Zweiteilung des Ausgangsgebietes Ω entsteen, so kann der rekursive direkte Lösungsalgoritmus Nested dissection, welcer in Kapitel 8 genau bescrieben wird, dazu verwendet werden. Außerdem besitzen die lokalen Funktionenräume eine rect oe Dimension, wodurc eine oe Genauigkeit erzielt werden kann, die beispielsweise für die Untersucung von Bifurkationsszenarien wictig ist. Es war jedoc noc nict geklärt worden, unter welcen Umständen Das Verfaren tatsäclic auf ein nictsinguläres Gleicungssystem fürt Die potentielle Näerungslösung ũ 0 gegen die exakte Lösung u 0 konvergiert, falls das Gebiet immer feiner unterteilt wird. 1 Der Einfaceit der Notation zuliebe benutzen wir die in der Differentialgeometrie üblice Konvention, daß skalare Multiplikation mit einem Tangentialvektor im Punkt y Auswertung des Gradienten in y impliziert, d.. P (c) η(y) := P (c) y η(y) 2 Zumeist wird B 0 sein

7 KAPITEL 0. EINFÜHRUNG 4 Typisces Veralten von Lösungen, die mit dem Verfaren gewonnen werden: Bei einem groben 2x2-Gitter sind die unstetigen Übergänge noc deutlic erkennbar. Nac Verfeinerung des Gitters werden die Lösungen zunemend glatter.

8 KAPITEL 0. EINFÜHRUNG Ausblick auf die folgenden Untersucungen Das Ziel der folgenden Kapitel in Teil I wird es sein, diese beiden Mißstände anzugeen und inreicende Kriterien erauszuarbeiten, bei deren Erfüllung sowol die Existenz und Eindeutigkeit der Kollokationslösungen als auc deren Konvergenz gegen die exakte Lösung eines Problems gegeben sein wird. Dabei werden vor allem Metoden aus der Arbeit [B] zu sogenannten Variational Crimes 3 von Klaus Bömer zum Einsatz gelangen. Dafür werden in Kapitel 1 zunäcst abstrakte Kriterien bewiesen, unter denen die scwacen Lösungen in den Räumen V gegen die exakte Lösung konvergieren. Die Herangeensweise ist die Verallgemeinerung der in der Literatur 4 zu findenden Konvergenzteorie für konforme finite Elemente auf den nictkonformen Fall. Diese Kriterien liefern Bedingungen an den Operator, dessen zugeörige Bilinearform einige Eigenscaften aufweisen muß, von denen die Elliptizität die am scwierigsten naczuweisende ist. Im folgenden Kapitel 2 wird daer zunäcst gezeigt, daß die Operatoren einer speziellen Klasse partieller Differentialgleicungen, der sogenannten elliptiscen Randwertprobleme, eben die geforderten Voraussetzungen erfüllen. Im Zuge dessen wird mit Hilfe einer Regularitätsaussage ein Beweis für die Stabilität der Diskretisierung im Falle einer elliptiscen Bilinearform erbract. Als weiteres Kriterium ergibt sic die Existenz von Interpolations- und Glättungsoperatoren mit gewissen Eigenscaften, welce in den Kapiteln 3 und 4 unter weiteren Anforderungen an die finiten Elemente nacgewiesen werden. Diese Anforderungen werden allesamt von der Art sein, daß man sie für ein gegebenes Standardelement, das sogenannte Referenzelement, nacprüfen muß. Der eigentlic Nacweis kann dann natürlic im Vorfeld per Hand erfolgen, bequemer und für komplizierte Elemente vermutlic notwendig wird es jedoc sein, die Bedingungen durc das Programm prüfen zu lassen, welces die Berecnung durcfürt. Da es nur um Tests get, ob gewisse Matrizen invertierbar sind, wird man im diese Aufgabe relativ gefarlos anvertrauen können. Scließlic at man biser nur die Konvergenz der scwacen Lösungen, und es felt noc der Nacweis, daß auc die Kollokationslösungen gegen die exakte Lösung konvergieren. Darum kümmert sic Kapitel 5, welces gleiczeitig auc deren Existenz und Eindeutigkeit nacweist. Dabei wird eine Bedingung an die Kollokationspunkte in Form der Existenz einer geeigneten Quadraturformel ins Spiel kommen. Die weiteren Bedingungen, die noc an die finiten Elemente und das beandelte Problem gestellt werden müssen, werden im Laufe des Textes an geeigneter Stelle eingefürt. Damit dennoc die Übersict gewart bleibt, findet sic in Kapitel 6, welces den teoretiscen Teil abscließt, noc eine Zusammenfassung aller Forderungen und der damit erreicten Resultate. Teil II befaßt sic dann mit der Praxis der Metode und soll überprüfen, inwiefern sic die teoretisc erzielten Resultate in konkreten Recnungen wiederspiegeln. Es wird in Kapitel 7 in aller Kürze das Programmpaket vorgestellt, das parallel zu dieser Arbeit entstanden ist, eine ausfürlice Dokumentation liegt nur in elektroniscer Form vor. Das anscließende Kapitel 8 bescreibt ausfürlicer den eben nur skizzierten Lösungsalgoritmus aus [D] und seine Implementation im vorliegenden Programm. Es rictet sic daer vornemlic an Leser, die sic mit der Programmierung befassen, und kann von anderen getrost übersprungen werden. Zum Abscluß werden in Kapitel 9 mit diesem Programmsystem etlice Beispielrecnungen durcgefürt, die systematisc die versciedenen Einflüsse variieren, welce laut der teoretiscen Resultate für die Güte der Konvergenz entsceidend sein sollten. Daraus abgeleitete Empfelungen für die Wal des Referenzelementes runden die Ergebnisse ab. In den Anängen scließlic finden sic noc tecnisce Hilfssätze, deren Beweis im Haupttext diesen zu arg zerfleddert ätte. Außerdem ist dies der Ort, an dem des Komforts wegen noc einmal einige wolbekannte zentrale Teoreme zitiert werden, die für diese Arbeit benötigt wurden. Zusätzlic werden Quellen angegeben, wo man iren Beweis finden kann. 3 Verbrecen gegen die Variationsrecnung - die in der engliscen Facliteratur üblice Bezeicnung für Diskretisierungsverfaren mit nictkonformen finiten Elementen 4 Hier vornemlic bei W.Hackbusc in [H]

9 Teil I Teorie 6

10 Kapitel 1 Das Variationsproblem 1.0 Diskretisierung und scwace Lösungen Ziel dieses Kapitels ist es, auf rect abstrakter Ebene den Ramen zu analysieren, der in dieser Arbeit Gegenstand der Untersucung ist. Dabei wird zunäcst präzisiert, was unter Diskretisierung und Näerungslösungen auf der Ebene von Bilinearformen verstanden werden soll, sowie Kriterien erarbeitet, unter denen Konvergenz der Näerungslösungen gegen die exakte Lösung gewärleistet ist. Entsceidend ierfür ist die sogenannte Stabilität, welce für den Spezialfall elliptiscer Bilinearformen für das von uns untersucte Szenario nacgewiesen wird. Gegeben sei im folgenden ein Gebiet Ω R d und abgesclossener Unterraum V H 1 (Ω). Weiter soll eine stetige Bilinearform a auf V V mit Stetigkeitskonstante α gegeben sein. Sei außerdem f V eine stetige Linearform auf V mit Stetigkeitskonstante φ = f V. Unter gewissen Zusatzvoraussetzungen, die später noc geklärt werden, ist dann eine exakte (scwace) Lösung u 0 V eindeutig bestimmt durc a(u 0, v) = f(v) für alle v V. Eine Diskretisierung des Problems zu einer Indexmenge H (0, 1] mit Häufungspunkt 0 bestet nun aus den folgenden Zutaten: Einer Familie von Zerlegungen (ω i ) 1 i F des Gebietes Ω in finite Elemente. Einer Familie (V ) H endlicdimensionaler Unterräume von L 2 (Ω). Diese sollen die Eigenscaft aben, daß für jedes v V die Restriktionen v ω in C (ωi ) liegen - man sagt in diesem i Zusammenang auc gerne, daß Funktionen aus V stückweise glatt auf den finiten Elementen sind. Der Sinn der Sace ist, daß dadurc Normen auf V definiert werden können, die mit den üblicen Normen auf H 1 (Ω) in gewisser Weise verträglic sind. Die Konstruktion läuft dadurc ab, daß die Integrale über ganz Ω durc die Summen der Integrale über finite Elemente ersetzt werden. Die neuen diskreten Normen werden durc ein als Index kenntlic gemact. Es ist also zum Beispiel v,w 1 p := F v p Wp 1(ω i ) i=1 1/p. In analoger Weise sind die weiteren Normen und Halbnormen definiert. Das innere Produkt (, ) 2 von L 2 (Ω) mact sowieso auc auf V L 2 (Ω) noc Sinn. Abkürzend soll :=,H 1 die von der üblicen Norm auf H 1 (Ω) induzierte diskrete Norm bedeuten. Man beacte, daß alle diskreten Normen auc für Funktionen im Raum V woldefiniert sind und dort mit den üblicen Normen übereinstimmen, da das Integral die Ränder der finiten Elemente als Nullmengen nict siet. Insbesondere liefern die diskreten Normen also auc woldefinierte Normen auf dem vergrößerten Raum H := V + V. Einer Familie von Bilinearformen (a ) H, welce Fortsetzungen der ursprünglicen Bilinearform a auf die Räume H sein sollen. Zusätzlic soll die Eigenscaft der Stetigkeit, nun bezüglic der Norm, aber mit der gleicen Konstanten α, eralten bleiben. 7

11 KAPITEL 1. DAS VARIATIONSPROBLEM 8 Einer Familie von Linearformen (f ) H, welce ebenfalls Fortsetzungen der ursprünglicen Linearform f auf die Räume H sein sollen. Wieder soll die Eigenscaft der Stetigkeit bezüglic der Norm mit der gleicen Konstanten φ eralten bleiben. Die neuen (Bi-)linearformen induzieren nun unter gewissen noc zu untersucenden Voraussetzungen für jedes H eine scwace Näerungslösung u 0, die eindeutig festgelegt ist durc a (u 0, v ) = f (v ) für alle v V. Zu einer sinnvollen Diskretisierung geört selbstverständlic noc eine Reie von weiteren Eigenscaften. Wesentlic ist, daß die V den Raum V zunemend gut approximieren in dem Sinne, daß von unabängige Konstanten C ac, C ip > 0 existieren, so daß ( dist u, V ) R 1 C ip u H R (Ω) für alle u V HR (Ω) und umgekert dist ( V, u ) G C ac u für alle u V, dabei sind R > 1 und G > 0 geeignete Konstanten. Etwas scärfer formuliert soll sogar gelten: Für jedes H existiert ein Interpolationsoperator I : V H R (Ω) V mit I u u R 1 C ip u HR (Ω) für alle u V HR (Ω). Im allgemeinen wird man leider nict erreicen können, daß jede Funktion aus V interpoliert werden kann, da zumeist R > 1 ist. Dies liegt daran, daß die Interpolation überaupt nur woldefiniert ist, wenn die zu interpolierende Funktion gewisse Glatteitseigenscaften at, da man z.b. lokal Funktionswerte kennen muß. Das Sobolev-Lemma ergibt dann notwendige und inreicende Bedingungen an die Glatteit der Funktionen. Da insbesondere die Lösung u 0 in den späteren Beweisen interpoliert werden muß, stellt dies eine zusätzlice Regularitätsforderung an u 0 dar, von der man sic im Vorfeld überzeugen muß. Im allgemeinen wird es mit sic bringen, daß sowol der Rand von Ω als auc die vorgegebene Funktion F und die Koeffizientenfunktionen des Differentialoperators genügend armlos sind. Entsprecende Kriterien finden sic z.b. in [H], Kapitel 9.1. Des weiteren muß für jedes H ein Glättungsoperator E : V V mit E u u G C ac u für alle u V existieren. In diesem Falle at man zum Glück keine Einscränkungen an die Funktionen, die geglättet werden können, dies ist selbstverständlic auc notwendig. Der Mangel an Einscränkungen erklärt sic dadurc, daß Funktionen in V stückweise glatt sind und man sic daer um die Existenz von Funktionsund Ableitungswerten keine Sorgen macen muß. Die Konvergenzaussage für die Räume folgt sofort aus der Existenz von Interpolations- und Glättungsoperator. Sie werden uns im folgenden erlauben, die Lösung u 0 durc Funktionen aus V mit 0 immer besser zu approximieren, ebenso beliebige Funktionen aus V durc Funktionen aus V. Dabei at man die Güte der Approximation aufgrund der Abscätzungen rect genau unter Kontrolle. In späteren Beweisen wird noc deutlic werden, auf welce Weise man Nutzen aus dieser Tatsace zieen kann. Unter geeigneten Umständen, die nun untersuct werden sollen, ist dann nict nur die bloße Existenz, sondern auc die Konvergenz der Näerungslösungen gegen die exakte scwace Lösung gesicert. Leser, die sic in der Materie etwas auskennen, werden feststellen, daß die folgende Entwicklung der Struktur nac dem üblicen Zugang folgt, wie er z.b. in [H] ausgefürt wird. Man beacte jedoc, daß die meisten der ier bewiesenen Teoreme Verallgemeinerungen der von dort bereits bekannten darstellen: Das ier untersucte Szenario stammt von nictkonformen finiten Elementen, daer gilt im Gegensatz zum normalerweise untersucten Fall V V. 1.1 Bilinearformen und zugeordnete Operatoren In diesem Abscnitt wird H stets ein Hilbertraum sein, dies ist für den folgenden Begriff wesentlic. Zu einer Bilinearform b auf H H existiert dann nämlic der eindeutig bestimmte zugeordnete Operator B L(H, H ), dessen definierende Gleicung lautet: Bu, v H H = b(u, v) für alle u, v H. Zwiscen Invertierbarkeit von B und der Lösbarkeit des Variationsproblems bestet naturgemäß eine enge Bezieung. Ebenso sind die folgenden Zalen stark daran beteiligt:

12 KAPITEL 1. DAS VARIATIONSPROBLEM Definition. Sei EH := {v H : v H = 1} die Eineitskugel in H. Weiter sei für eine stetige Bilinearform b : H H C mit Stetigkeitskonstante β ω b := inf sup b(u, v) β < u EH v EH ω b := inf sup b(u, v) β <. v EH u EH und Das näcste Lemma tauct die Verbindung zwiscen alldem in elles Lict: 1.2 Lemma. Sei B L(H, H ) der zur stetigen Bilinearform b geörende Operator. Dann sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent: (i) ω b > 0 und ω b > 0 (ii) B 1 L(H, H) existiert Falls eine der beiden Aussagen rictig ist, so gilt außerdem noc weiter existiert für alle f H ein u f H so daß ω b = ω b = B 1 1 H H, b(u f, v) = f(v) für alle v H, und u f H 1 ω b f H. Beweis. Die einzelnen Implikationen werden der Reie nac gezeigt: (i) = (ii): B 1 L(H, H ) existiere. Dann ergibt stures Ausrecnen: ω b = inf sup b(u, v) = inf sup u EH v EH 0 u H BB 1 u, v H = inf sup H 0 u H 0 v H = inf = 0 u H 1 ( sup 0 u H 0 v H b(u, v) u H v H = B 1 u H v H u, v B 1 u sup H H H 0 v H B 1 u ) 1 H 1 u = H B 1 > 0. H H inf sup 0 u H 0 v H v H = inf 0 u H u H B 1 u H Bu, v H H u H v H Ganz analog folgt ω b = 1/ B 1 H H, man beacte, daß B der zur dualen Bilinearform b mit b (u, v) := b(v, u) geörige Operator ist. Diese Eigenscaft sorgt dann dafür, daß Vertauscung von u und v in der Definition von ω b zur Ersetzung von b durc b und damit B durc B fürt. Die Normen von B 1 und B 1 stimmen aber überein, daer ist ω b = ω b. (ii) = (i): Um diese Implikation zu beweisen, müßte man etwas ausscweifiger werden und unter anderem noc den Riesz-Isomorpismus zwiscen H und H mit etlicen Eigenscaften eranzieen. Da es sic um eine Standardaussage andelt, sei auf die Literatur verwiesen, man lese den Beweis z.b. in [H], Lemma nac. Die für unser weiteres Vorgeen entsceidenden Zusätze ergeben sic wie folgt: Zunäcst ist die erste beauptete Gleicung eben scon bewiesen worden, und für ein beliebiges f H gilt mit u f := B 1 f: b(u f, v) = Bu f, v H H = f, v H H = f(v) für alle v H. In den weiteren Abscnitten beacte man, daß das vorerige Lemma anwendbar ist für die Bilinearform a auf V, da V als abgesclossener Unterraum eines Hilbertraumes wieder ein Hilbertraum ist. Gleices gilt für die Bilinearformen a auf den endlicdimensionalen Unterräumen V. In diesem Sinne denken wir uns, wenn von ω a die Rede ist, a ab sofort immer als Abbildung a : V V R, obwol a auc auf dem größeren Raum H definiert ist und auf V mit a übereinstimmt - auc von dieser Tatsace wird reger Gebrauc gemact.

13 KAPITEL 1. DAS VARIATIONSPROBLEM Koerzive und elliptisce Bilinearformen. Stabilität. In diesem Abscnitt sollen zunäcst wesentlice Eigenscaften definiert werden, die eine Bilinearform auszeicnen können. Ein Hauptziel ist es, den Zusammenang von Koerzivität und Elliptizität zur Stabilität zu klären, dabei wird es sic ergeben, daß Stabilität sofort aus Koerzivität und unter zusätzlicen Voraussetzungen auc aus der scwäceren Eigenscaft der Elliptizität folgt. 1.3 Definition. Seien H L 2 (Ω) ein normierter Vektorraum mit Norm H und b : H H C eine Bilinearform, κ > 0 und µ R. b eißt dann (κ, µ)-elliptisc über L 2 (Ω) genau dann, wenn b(v, v) κ v 2 H µ(v, v) 2 für alle v V. b eißt κ-koerziv, wenn sogar µ = 0 gewält werden kann. In Zukunft werden diese Eigenscaften natürlic vor allem für a und a interessant sein. Die Rolle von H spielt im Falle von a der Raum (V, H1 (Ω) ), im Falle von a im Sinne der Sclußbemerkung zum letzten Abscnitt die Räume (V, ). Die entsceidende Bedeutung der Koerzivität ist, daß sie auf einface Weise sowol Existenz aller scwacen Lösungen als auc Stabilität der Diskretisierung garantiert, falls a und alle a κ-koerziv mit der gleicen Konstante κ sind. Analoges gilt für Elliptizität unter gewissen zusätzlicen Voraussetzungen, was ungleic scwieriger zu zeigen ist. Beides wird in Kürze bewiesen, zunäcst soll jedoc erst einmal definiert werden, was Stabilität eigentlic genau bedeuten soll. 1.4 Notation. Um im folgenden nict immer zwei genau gleic ausseende Aussagen für a und a inscreiben zu müssen, wird folgende Notation vereinbart: Ein () in einer Formel soll bedeuten, daß die Formel sowol mit als auc one gültig ist. Stet an mereren Stellen in einer Formel ein (), so muß entweder überall ein oder nirgends ein steen. Wo Unklareiten besteen könnten, wird die Formel sicereitsalber ausformuliert. 1.5 Definition. Die Stabilitätsindizes ω, ω und ω der Diskretisierung sind die Zalen ω () := ω a () = inf sup a () (u, v) und u EV () v EV () ω := ω a = inf sup a(u, v) v EV u EV Die Diskretisierung eißt ɛ-stabil mit ɛ > 0, falls ω ɛ, ω ɛ und ω ɛ für alle H. Die entsceidende Bedeutung der Stabilität ist, daß dann alle scwacen Lösungen existieren und außerdem ire Normen gleicmäßig bescränkt bleiben. Wir wollen dies etwas präzisieren: 1.6 Satz. Bei ɛ-stabiler Diskretisierung existieren die scwacen Lösungen u 0 und u 0 für alle H. Weiter gilt: u 0 φ ɛ und u 0 φ ɛ für alle H. Beweis. Wegen 0 < ɛ ω = ω a und 0 < ɛ ω a ist die Aussage für u 0 eine unmittelbare Konsequenz von Lemma 1.2. Um den Rest der Beauptung zu zeigen, wird bewiesen, daß ω a = ω a gilt. Der Grund dafür ist letztendlic, daß die Vektorräume V endlicdimensional sind. Die Bedingung ω ɛ ist nämlic zunäcst äquivalent zu sup v EV a (u, v ) ɛ u für alle u V. Links stet aber nun für den zu a geörenden Operator A L(V, V ) die Dualnorm von A u. Es ist also A u V ɛ u, mitin ist A injektiv. Da dim V = dim V, existiert (A ) 1 L(V, V ). Die Beauptung für u 0 folgt nun wiederum mit Lemma 1.2.

14 KAPITEL 1. DAS VARIATIONSPROBLEM 11 Gleicmäßige Koerzivität impliziert Stabilität: 1.7 Lemma. Sei κ > 0 so daß a und a für alle H κ-koerziv sind. Dann ist die Diskretisierung ɛ-stabil, wobei ɛ = 1/κ gewält werden kann. Beweis. Wegen Koerzivität ist für festes u = EV () : sup a () (u, v) a () (u, u) 1 κ, v EV () also ist auc das Infimum über alle diese u größer oder gleic 1/κ, womit sofort die Beauptung folgt. 1.3 Stabilität impliziert Konvergenz Der erste Satz liefert eine abstrakte Abscätzung für den Diskretisationsfeler im Falle der Stabilität der Diskretisierung. Anscließend wird gezeigt, daß unter der Voraussetzung der Existenz genügend guter Interpolations- und Glättungsoperatoren daraus bereits Konvergenz der Näerungslösungen gegen die exakte Lösung folgt. Insbesondere liegt also im Falle der Koerzivität aller beteiligten Bilinearformen sofort Konvergenz vor, da dies Stabilität der Diskretisierung implizierte. 1.8 Satz. Die Diskretisierung sei ɛ-stabil. Dann gilt für alle H: ( u0 u α ) inf u0 v ɛ v V + 1 sup a (u 0 u ɛ 0, w ) w EV Beweis. Sei v V beliebig. Dann gilt mit der Definition der Stabilität und Stetigkeit von a : u0 u 0 u0 v + v u 0 u0 v + 1 ɛ = u0 v + 1 ɛ ( 1 + α ) u 0 v ɛ + 1 ɛ sup a (v u 0, w ) w EV sup a (v u 0, w ) + a (u 0 u 0, w ) w EV sup a (u 0 u 0, w ) w EV Nac Bildung des Infimums über alle v folgt die Beauptung, da der recte Summand nict mer von v abängt. Die Terme auf der recten Seite der Abscätzung müssen nun untersuct werden. Dies ist Gegenstand der beiden folgenden Lemmas. Der erste ängt ab von der Güte der Interpolation: 1.9 Lemma. Unter Voraussetzung der Existenz der Interpolationsoperatoren gilt: inf u 0 v v V R 1 C ip u 0 H R (Ω). Beweis. Man beobacte, daß I u 0 V, und wende die vorausgesetzte Abscätzung für den Interpolationsfeler an. Der näcste Scritt ist die Abscätzung des Supremums-Terms in der Ungleicung aus Satz 1.8. Dies ist nun die Stelle, wo die Existenz der Glättungsoperatoren entsceidend einfließt Lemma. Unter Voraussetzung der Existenz der Glättungsoperatoren gilt: sup a (u 0 u 0, w ) G C ac (α u 0 + φ). w EV Beweis. Sei w V mit w = 1. Dann gilt für alle w V: a (u 0 u 0, w ) = a (u 0, w ) a (u 0, w ) (da a bilinear) = a (u 0, w ) f (w ) (Definition von u 0) = a (u 0, w ) a (u 0, w) + a (u 0, w) ( f (w ) f (w) ) f (w) (Fundamentaltrick der Analysis) = a (u 0, w w) f (w w) (Definition von u 0 ) (α u 0 + φ) w w (Dreiecksungleicung, Stetigkeit)

15 KAPITEL 1. DAS VARIATIONSPROBLEM 12 Wäle speziell w := E w, so folgt mit der vorausgesetzten Qualität der Glättungsoperatoren: a(u 0 u 0, w ) (α u 0 + φ) G C ac w und damit die Beauptung des Lemmas. = (α u 0 + φ) G C ac Zusammenfassend eralten wir also das erste Hauptresultat über die Konvergenz der Approximation: 1.11 Teorem. Seien alle a κ-koerziv auf V. Die exakte Lösung u 0 liege in H R (Ω) mit R 2. Dann gilt für alle H: [ ] u0 u 0 min{g,r 1} C ac κ (α u 0 + φ) + C ip (1 + κ α) u 0 H R (Ω) Beweis. Stabilität bezüglic ɛ = 1/κ folgt mit Lemma 1.7. Kombiniere nun Satz 1.8 mit Lemma 1.9 und Bemerkung. Get man den Beweisgang noc einmal durc, so stellt man fest, daß eine öere Konvergenzordnung nur zu erreicen ist, falls man sowol die Konvergenzordnung der Interpolation als auc der Glättung verbessert. Bei der Interpolation ist das noc relativ leict, Teorem 3.7 wird die Aussage liefern, daß man lediglic die Dimension der lokalen Funktionenräume geeignet eröen muß. Allerdings get das nur unter der Voraussetzung, daß die Lösung u 0 eine genügend oe Regularität R aufweist, wobei R mindestens so groß ist wie die gewünscte Konvergenzordnung eröt um eins. Derzeit ist außerdem noc keine allgemeine Abscätzung zur Hand, mit der sicergestellt werden kann, daß man die Felerordnung der Glättung auf änlic einface Art verbessern könnte. In Kapitel 4 wird sic weiter erausstellen, daß G ser klein ist, im allgemeinen wird man nur G = 1/2 erreicen. Dies ist allerdings nict weiter tragisc, wie sic bald erausstellen wird, da beim Übergang zum Kollokationsverfaren noc eine andere abstrakte Abscätzung ergeleitet wird. Verwendet man diese, so erält man ein Resultat für die Konvergenzordnung, welces von der Ordnung der Glättung unabängig ist.

16 KAPITEL 1. DAS VARIATIONSPROBLEM Beweisstruktur Zur besseren Orientierung wird jedem Kapitel aus dem teoretiscen Teil ein Grap beigefügt, der die Zusammenänge in der Beweisstruktur zwiscen den zugrundeliegenden, bzw. den im Verlauf des Kapitels verwendeten oder bewiesenen Sätzen illustriert. Lemma 1.2 Invertierbarkeit und Stabilität Satz 1.6 Existenz der Lösungen bei Stabilität Satz 1.8 Abstrakte Abscätzung für Konvergenz im koerziven Fall Lemma 1.9 Abscätzung des Interpolationsterms Teorem 3.7 Existenz des Interpolationsoperators Lemma 1.7 Koerzivität impliziert Stabilität Teorem 1.11 Existenz der Lösungen und Konvergenz im koerziven Fall Lemma 1.10 Abscätzung des Konsistenzterms Teorem 4.1 Existenz des Glättungsoperators

17 Kapitel 2 Elliptisce Randwertprobleme In diesem Kapitel soll der Zusammenang zwiscen den Bilinearformen in der Variationsformulierung und den Differentialoperatoren erausgearbeitet werden. Insbesondere wird eine Klasse von Operatoren eingefürt, deren Bilinearformen die notwendigen Eigenscaften für die in den letzten Abscnitten ergeleitete Konvergenzteorie erfüllen. Dies sind die sogenannten elliptiscen Operatoren, welce ser viele wictige Beispiele umfassen, auf ein paar davon wird im Laufe der Diskussion noc näer eingegangen. Mit Hilfe einer Aussage über die Regularität von Lösungen wird außerdem das Stabilitätsresultat für koerzive Bilinearformen aus dem letzten Kapitel auf elliptisce Bilinearformen übertragen. 2.0 Bilinearformen 2.1 Definition. Eine Matrix (a ij ) i,j=1,...,d mit Koeffizienten a ij L (Ω) eißt (gleicmäßig) elliptisc, falls eine Konstante κ 0 existiert, so daß für alle x Ω und ξ R D : 1 2 D a ij (x) ξ i ξ j i,j=1 D κ ξi 2. i=1 Im folgenden seien ebenfalls b 1,..., b d L (Ω) und c 0 L (Ω). Diese definieren eine Bilinearform a : H 1 (Ω) H 1 (Ω) R durc a(u, v) := D a ij i u j v + Ω i,j=1 D b k k u v + c 0 u v Um die Notation etwas übersictlicer zu alten wird im folgenden vereinbart, daß doppelt auftretende Indizes von 1 bis D summiert werden. Damit screibt es sic etwas kürzer: a(u, v) = a ij i u j v + b k k u v + c 0 u v Ω Die Zerlegungen induzieren dann für alle H in naeliegender Weise Bilinearformen auf V V : F a (u, v ) := n=1 Ω n k=1 a ij i u j v + b k k u v + c 0 u v Diese Darstellung liefert bei gleicmäßig elliptiscer Koeffizientenmatrix (a ij ) eine Klasse von Bilinearformen, die alle Eigenscaften erfüllen, wie sie für die Konvergenzteorie gebrauct werden. Sowol für a als auc die a at man dann nämlic: Stetigkeit mit einer gemeinsamen Stetigkeitskonstanten, Elliptizität mit gemeinsamen Elliptizitätskonstanten, daraus folgend Stabilität der Diskretisierung, somit Existenz und Konvergenz der scwacen Lösungen. Wir zeigen dies in einer Reie von Lemmas: 14

18 KAPITEL 2. ELLIPTISCHE RANDWERTPROBLEME Lemma. a und alle a sind stetig mit der Stetigkeitskonstanten α := D D a ij L (Ω) + b k L (Ω) + c 0 L (Ω). i,j=1 Beweis. Die Beauptung folgt mit der Abscätzung a (u, v ) F aij i u j v L1 (Ω n ) + bk k u v L1 (Ω n ) + c0 u v L1 (Ω n ) n=1 k=1 a ij i L (Ω n ) u j L2 (Ω n ) v L2 (Ω n ) F n=1 + b k L (Ω n ) k u L 2 (Ω n ) v L 2 (Ω n ) + c 0 L (Ω n ) u L 2 (Ω n ) v L 2 (Ω n ) (Hölder) α u H 1 (Ω v n ) H 1 (Ω n ) F n=1 α u v (Lemma A.4) für alle u, v V, die in völlig analoger Weise auc für a gezeigt wird, nur daß die Summation und die letzte Zeile dann sogar entfällt. In der vorletzten Zeile der Ungleicungskette wurden die Supremumsnormen auf den einzelnen Elementen durc die Supremumsnorm auf ganz Ω, bzw. die L 2 -Normen durc geeignete Sobolev-Normen nac oben abgescätzt. 2.3 Lemma. (Verallgemeinerte Gårding-Ungleicung). a und alle a sind (κ, µ)-elliptisc. Dabei kommt das κ aus der Definition der gleicmäßigen Elliptizität der Koeffizientenmatrix (a ij ), die Konstante µ ist gegeben durc µ := κ + β2 4κ γ, wobei D β := b k L (Ω) k=1 γ := ess inf c 0 Insbesondere sind a und a sogar κ-koerziv, falls γ κ + β 2 /(4κ). Beweis. Wir zeigen die Aussage zunäcst wieder für a. Für alle v V gilt aufgrund der Elliptizität von (a ij ) punktweise unter dem Integral angewandt mit ξ = v(x): F n=1 ω n Damit folgt für beliebiges µ R: F a ij i v j v 2κ i=1 ω n v 2 2 (Elliptizität) = 2κ v 2 (Definition von H 1 (ωn ) H1 (ωn )) F i=1 = 2κ v 2,H 1 (Definition von,h 1) a (v, v ) + µ v 2,L 2 2κ v 2,H 1 + F b k k v v + (c 0 + µ)v v n=1 ωn

19 KAPITEL 2. ELLIPTISCHE RANDWERTPROBLEME 16 Der mittlere Summand läßt sic folgendermaßen abscätzen: F b k k v v b F k L (Ω) k v v L2 (ωn ) L2 (ωn ) n=1 ω n n=1 (Hölder) D F b k L (Ω) v v H 1 (ωn ) L (Definition von 2 (ωn ) H1 (ωn )) k=1 n=1 = β v v H1 (ωn ) L2 (ωn ) (Definition von β) F n=1 β v,h 1 v,l 2 Für den letzten Summanden findet man: F n=1 ω n F (c 0 + µ)v v (γ + µ) n=1 ω n v 2 (Definition von γ) = (γ + µ) v 2,L 2 (Definition von,l 2) Zusammen mit der ursprünglicen Ungleicung ergibt sic dann (Lemma A.4) a (v, v ) + µ v 2,L 2 2κ v 2,H 1 β v,h 1 v,l 2 + (γ + µ) v 2,L 2 Zum gewünscten Ergebnis kommt man nun durc trickreice Anwendung der verallgemeinerten Ungleicung zwiscen aritmetiscem und geometriscen Mittel. Es gilt nämlic für beliebige x, y R und δ > 0: xy δ 2 x δ y2. Wendet man diese auf die gegebene Situation an mit δ = 2κ/β, x = v,h 1 und y = v,l 2 an, so ergibt sic: a (v, v ) + µ v 2 2κ (,L v 2 2κ β 2,H v 2 + β ) 1 2β,H v 2 1 4κ,L 2 + (γ + µ) v 2,L 2 ( v = κ 2 + ) ),H v 2 + (µ + γ κ β2 v 2 1,L 2 4κ = κ ) v 2 + (µ + γ κ β2 v 2,H 1 4κ,L 2,L 2 Das bedeutet aber gerade, daß a (κ, µ)-elliptisc ist, falls µ so gewält wird, daß µ + γ κ β2 4κ = 0, und das war die Beauptung. Die Ungleicung für a folgt wie eben völlig analog, indem auf die Summation verzictet wird - der mißtrauisce Leser kann den Beweis für diesen Spezialfall aber auc bei [BS], Satz nacsclagen. 2.1 Ein Regularitätssatz Um die Stabilitätsaussage, die man für koerzive Bilinearformen atte, auf die allgemeineren elliptiscen zu übertragen, brauct man an einer Stelle eine etwas öere Regularität der Lösungen als u 0 H 1 (Ω). Dies ist nur unter weiteren Einscränkungen an das Ausgangsgebiet und die Koeffizientenfunktionen möglic. Das entsprecende Resultat soll ier nur zitiert werden, da der Beweis noc einige Vorarbeit mer erfordern würde.

20 KAPITEL 2. ELLIPTISCHE RANDWERTPROBLEME Satz. Sei Ω bescränkt und konvex. Die Bilinearform a(u, v) = a ij i u j v + b k k u v + c 0 u v besitze im Hauptteil Lipscitz-stetige Koeffizienten Ω a ij C 0,1 (Ω) für 1 i, j D. Sei weiter f L (Ω) und u 0 V die scwace Lösung der Aufgabe a(u 0, v) = f v für alle v V. Dann ist sogar u 0 V H 2 (Ω) mit Ω u 0 H2 (Ω) C ( f L (Ω) + u 0 ). Die Konstante C ängt dabei nur vom Durcmesser von Ω ab. Beweis. Wegen der verallgemeinerten Gårding-Ungleicung 2.3 ist a (κ, µ)-elliptisc. Die Aussage folgt dann mit Satz aus [H]. 2.2 Stabilität für elliptisce Bilinearformen. Wir aben in Lemma 1.7 geseen, daß die wictige Eigenscaft der Stabilität relativ leict naczuweisen ist, falls gleicmäßige Koerzivität vorliegt. Wesentlic scwieriger und nur unter weiteren Einscränkungen möglic ist es, ein änlices Resultat für die scwäcere gleicmäßige Elliptizität zu erzielen. In diesem Abscnitt soll die Aufgabe angegangen werden, den Weg dortin ebnet das folgende Teorem, welces eigentlic aus der Eigenwertteorie von Bilinearformen stammt, uns aber ier gute Dienste leistet. Auf die eigentlice Teorie der Eigenwerte soll nict näer eingegangen werden, um die Arbeit nict mit für unsere Ziele unnötiger Teorie zu befracten. Der Beweis des Teorems ergibt sic durc filigranes Zusammenwirken des Glättungsoperators mit der bereits gezeigten Stabilität und Konvergenz im koerziven Fall. Leider ist er nict ganz elementar und benötigt an der entsceidenden Stelle die eben zitierte Regularitätsaussage. Der Grund bestet in der Notwendigkeit, eine Lösung inreicend gut zu interpolieren, von der man zunäcst nur weiß, daß sie in V H 1 (Ω) liegt. Allerdings ist das Analogon des Teorems in der konformen Teorie scon ser scwierig 1 zu beweisen, und es wäre daer wol vermessen zu offen, daß es ausgerecnet im nictkonformen Fall einfacer sein sollte. So ist der folgende Beweis auc einer der kompliziertesten in der gesamten Arbeit. 2.5 Teorem. Die Bilinearformen a und a seien allesamt (κ, µ)-elliptisc. Die Voraussetzungen für die H 2 -Regularität der Lösungen aus Satz 2.4 seien erfüllt. Dann gibt es Zalen C > 0 und η() > 0 mit lim 0 η() = 0, so daß gilt: ω Cω η() für alle H. Beweis. Nac Definition sind die Bilinearformen a () µ (u, v) := a () (u, v) µ(u, v) 2 für alle H κ-koerziv, d.. die Diskretisierung ist nac Lemma 1.7 bezüglic dieser Bilinearformen ɛ = 1/κ-stabil. Sei nun zunäcst H fest. Dann existieren für ein beliebiges u V mit u = 1 z V als Lösung von a µ (z, v) = µ(e u, v) 2 =: g (v) für alle v V und z V als Lösung von a µ(z, v ) = µ(u, v ) 2 =: g(v ) für alle v V, da g, g V V mit g V = E u und g V = u = 1. Man erält nun eine Reie von Aussagen: 1 vergleice [H], Lemma

21 KAPITEL 2. ELLIPTISCHE RANDWERTPROBLEME 18 (i) Für alle v V gilt: a µ (E u z, v) = a(e u z, v) µ(e u z, v) 2 (Definition a µ ) = a(e u, v) a(z, v) µ(e u, v) 2 + µ(z, v) 2 (Bilinearität) = a(e u, v) a µ (z, v) µ(e u, v) 2 (Definition a µ ) = a(e u, v) (Definition z) (ii) Für alle v V gilt: a µ(u z, v ) = a (u z, v ) µ(u z, v ) 2 (Definition a µ) = a (u, v ) a (z, v ) µ(u, v ) 2 + µ(z, v ) 2 (Bilinearität) = a (u, v ) a µ(z, v ) µ(u, v ) 2 (Definition a µ) = a (u, v ) (Definition z ) (iii) Es ist 1 G C ac E u 1 + G C ac, denn nac Dreiecksungleicung und Abscätzung für die Glättung gilt 1 = u = u E u + E u G C ac u + E u und = G C ac + E u E u = E u u + u G C ac u = G C ac u Insbesondere folgt damit g V = E u 1 + G C ac und ω(1 G C ac ) ω E u (gerade gezeigt) sup a(e u, v) (nac Definition von ω) v EV = sup aµ (E u z, v) (nac (i)) v EV C α E u z, denn mit a ist sicerlic auc a µ stetig mit einer geeigneten Konstanten C α. (iv) Nötig ist auc eine Abscätzung für z z. Sei dafür z V Lösung von a µ ( z, v) = g(v) für alle v V, eine solce Lösung existiert wiederum wegen Koerzivität von a µ. Dann ist z z Lösung von und nac Satz 1.6 gilt: Nac dem Regularitätssatz 2.4 gilt aber sogar a µ (z z, v) = (g g)(v) für alle v V, z z κ g g V κ E u u G C ac κ u = G C ac κ, sowie z κ g V = κ. z H 2 (Ω) und z H2 (Ω) C 1 ( g V + z ).

22 KAPITEL 2. ELLIPTISCHE RANDWERTPROBLEME 19 Daer greift Teorem 1.11 mit R = 2 und man at weiter: z z [ ] min{1,g} κ C α C ac z + (1 + κ C α ) C ip z H2 (Ω) + κ g V C ac min{1,g} [κ 2 C α C ac + (1 + κ C α ) C ip C 1 (1 + κ) + C ac κ ] =: min{1,g} C. Insgesamt folgt z z z z + z z min{1,g} (C ac κ + C). Nun ist alles beieinander. Mit den biserigen Ergebnissen kann man nämlic endlic die gewünscte Abscätzung für ω durcfüren: sup a (u, v ) v EV = sup a µ (u z, v ) (nac (ii)) v EV 1 u z κ (Koerzivität von a µ) E u z (Dreiecksungleicung) 1 κ 1 κ u E u 1 κ E u z min{1,g} 1 ω C α κ min{1,g} 1 κ 1 z z κ κ C ac min{1,g} 1 κ [ ωcac C α + C ac + C ac κ + C ( C ac κ + C ) (Glättung und (iv)) ]. (nac (iii)) Da u EV beliebig war, folgt die Aussage des Teorems mit C := 1 C α κ und η() := min{1,g} 1 [ ] ωcac + C ac (1 + κ) + κ C wegen G > Korollar. Alle a und a seien (κ, µ)-elliptisc. Der zur Bilinearform a geörende Operator A L(V, V) sei invertierbar. Dann existiert ein ɛ > 0 und 0 > 0, so daß [ u0 u 0 min{r 1,G} Cac ɛ C α ω ɛ für alle H, 0. Mit anderen Worten: Die Diskretisierung ist für inreicend kleine ɛ-stabil, d.. alle scwacen Lösungen existieren und sind in der Norm bescränkt durc φ/ɛ. Insbesondere gilt dann für 0 : ]. ( (α u 0 + φ) + C ip 1 + α ) u 0 ɛ H R (Ω) Beweis. Falls A invertierbar ist, so ist nac Lemma 1.2 ω = ω = ω a > 0. Die erste Beauptung folgt dann mit der Abscätzung des Teorems und η() 0, die Abscätzung für den Feler der Diskretisierung folgt durc einen analogen Scluß wie in Teorem Das Ergebnis der ganzen Müen ist nun, daß die im letzten Kapitel erarbeitete Konvergenzteorie voll auf elliptisce Bilinearformen von der Form wie oben definiert anwendbar ist. Insbesondere gilt dies also für die elliptiscen Randwertprobleme, partielle Differentialgleicungen mit dem zur Bilinearform a geörenden Differentialoperator. Dieser Übergang wird im näcsten Abscnitt bescrieben.

23 KAPITEL 2. ELLIPTISCHE RANDWERTPROBLEME Operatorform und Randfeler Es soll nun ergeleitet werden, welce Gestalt die Differentialoperatoren besitzen und welcer Art die Randbedingungen sind, die man natürlicerweise zu einer Bilinearform der Gestalt a(u, v) = a ij i u j v + b k k u v + c 0 u v assoziiert. Partielle Integration liefert zunäcst einmal a(u, v) = Ω Ω ( j (a ij i u) + b k k u v + c 0 u) v + Der zu a geörende Differentialoperator A ist mitin gegeben durc A := j (a ij i ) + b k k + c 0, Ω i,j=1 D a ij η j i u v. falls man die Randbedingungen derart wält, daß das bei der partiellen Integration auftretende Randintegral für beliebige u und v aus V verscwindet. Funktionen u V müssen also auf jedem Teilstück von Ω entweder identisc Null sein, oder die sogenannten natürlicen Randbedingungen D a ij η j i u = 0 i,j=1 erfüllen. Jede klassisce Lösung u 0 V C 2 (Ω) der Gleicung Au 0 = F ist dann auc eine scwace Lösung, umgekert ist eine Lösung des Variationsproblems, welce sogar in C 2 (Ω) liegt, auc eine Lösung der partiellen Differentialgleicung mit den gegebenen Randbedingungen. Diese Gleicung nennt man bei Diriclet- oder natürlicen Randbedingungen und einem Operator mit gleicmäßig elliptiscer Koeffizientenmatrix auc ein elliptisces Randwertproblem oder eine elliptisce Differentialgleicung. Get man nun zu den Bilinearformen a über, so at man damit zu kämpfen, daß Funktionen aus V auf den Rändern der finiten Elemente nict stetig sind. Insbesondere ist also der klassisce Operator nur im Inneren der finiten Elemente überaupt definiert, und bei der partiellen Integration muß man noc Feler berücksictigen, die durc Integrale auf den Elementrändern gegeben sind. Es gilt für Funktionen u, v V : F a (u, v ) = a ij i u j v + b k k u v + c 0 u v n=1 F = n=1 ω n ω n Au v + ωn j=1 D a ij η j i u n vn, man erinnere sic daran, daß u n die lokale Funktion aus C (ω n) bezeicnet, durc welce u dort definiert ist. Wegen der Unstetigkeit der Funktionen u und v auf den Elementrändern und der Tatsace, daß diese wegen V V im allgemeinen nict die Randbedingungen erfüllen, ergibt die Summe über die Randintegrale nict Null wie im Falle konformer finiter Elemente. 2.7 Definition. Der Feler beim Übergang von a zur Operatordarstellung sei bezeicnet mit F ρ (u, v ) : = a (u, v ) F = n=1 ωn j=1 n=1 ω n Au v D a ij η j i u n vn. Die Abscätzung dieses Felers wird essentiell notwendig beim Übergang zur Kollokation, ängt aber stark von der Art der finiten Elemente ab. Die Diskussion wird erst im Kapitel über die Glättungsoperatoren speziell für den in der Einfürung bescriebenen Typ durcgefürt.

24 KAPITEL 2. ELLIPTISCHE RANDWERTPROBLEME Beweisstruktur Zur besseren Orientierung wird jedem Kapitel aus dem teoretiscen Teil ein Grap beigefügt, der die Zusammenänge in der Beweisstruktur zwiscen den zugrundeliegenden, bzw. den im Verlauf des Kapitels verwendeten oder bewiesenen Sätzen illustriert. Satz [H] Regularität der Lösungen Lemma 2.4 Regularität der Lösungen Lemma 2.2 Stetigkeit der Bilinearformen elliptiscer Operatoren Teorem 2.5 Abscätzung für Stabilität im Falle der Elliptizität Lemma A.4 Normungleicung Lemma 2.3 Verallgemeinerte Gårding- Ungleicung Satz 1.6 Existenz der Lösungen bei Stabilität Teorem 1.11 Existenz der Lösungen und Konvergenz im koerziven Fall Lemma 1.2 Invertierbarkeit und Stabilität Korollar 2.6 Stabilität für elliptisce Bilinearformen

25 Kapitel 3 Die Interpolationsoperatoren Biser waren die Räume V noc rect abstrakte Objekte mit gewissen notwendigen Eigenscaften. Es soll nun konkreter die Situation V := V 0 untersuct werden, d.. die V entsteen durc Diskretisierung mit nictkonformen finiten Elementen, so wie es in Abscnitt 0.1 gescildert worden ist. Das erste Ziel dieses Kapitels ist es, eine Familie stetiger Operatoren I : V H R (Ω) V mit der für Konvergenz erforderlicen Approximationseigenscaft u I u R 1 C ip u HR (Ω) für alle H und u V H R (Ω) zu konstruieren. Dabei ist R eine geeignete natürlice Zal, welce die zusätzlice Forderung mit sic bringt, daß die exakte Lösung u 0 der Variationsaufgabe sogar in V H R (Ω) liegt, also eine gewisse Regularität aufweist. Dies ergibt sic aus den Beweisen in den vorerigen Kapiteln, in denen insbesondere die Lösung u 0 durc Funktionen in V interpoliert werden mußte. Im folgenden wird zunäcst ein festes H fixiert und die entsprecenden Indizes unterdrückt, um die Notation übersictlicer zu alten. Die Konstruktion wird nur für den speziellen Fall 2M = K N = M explizit durcgefürt, die Metode ist jedoc mit etwas müseligerer Screibweise leict auf den Fall M N verallgemeinerbar, an geeigneter Stelle wird dies durc einen Hinweis näer erläutert. In dieser Verallgemeinerung ist die Einscränkung nict allzu scwerwiegend: Der Lösungsalgoritmus wird wesentlic genauer, wenn mer Kollokationspunkte im Spiel sind, und ab einer gewissen Untergrenze ist die Bedingung dann auf natürlice Weise erfüllt, one daß die Elementgeometrie allzu seltsam ersceint - wie man sic leict vorstellen kann, liegen bei einer omogenen Verteilung der Punkte über die Fläce des Elementes automatisc mer Punkte im Inneren als auf dem Rand. Anscließend wird dann ein Kriterium bewiesen, mit dessen Erfüllung die Existenz des Interpolationsoperators sicergestellt ist. Jenes kann zur Programmlaufzeit durc eine einzelne LR-Zerlegung einer K K-Matrix pro Referenzelement überprüft werden, jedoc natürlic auc im Vorfeld, falls die genaue Geometrie und die Basisfunktionen bekannt sind. Durcgefürt wird ein exakter matematiscer Beweis nur für einen einzigen Elementtyp (den unter der Nebenbedingung einfacsten denkbaren), da die Recnungen per Hand scnell ausgesprocen müsam werden - es mact keinen Spaß, größere Matrizen auf einem Blatt Papier zu invertieren. In der Praxis wird diese Aufgabe wol das Programm übernemen, welces die Berecnungen durcfürt, und bei der Definition des Referenzelements nacprüfen, ob dieses alle erforderlicen Eigenscaften aufweist - es werden später noc mer inzukommen. Der Nacweis der Konvergenzeigenscaft ist nac geeigneter Umformulierung des Szenarios eine direkte Anwendung der Interpolationsteorie für konforme finite Elemente, das entsprecende Resultat wird dann auc lediglic aus [BS] zitiert. 3.0 Lokale Konstruktion Wir arbeiten zunäcst rein lokal auf einem ausgewälten Element i und werden dessen Index in den näcsten Absätzen unterdrücken. Man bealte aber bitte im Hinterkopf, daß die folgenden Definitionen vom Element abängen, sofern nict ausdrücklic anderweitiges beauptet wird. 22