Einführung in die Geostatistik (4) Fred Hattermann (Vorlesung), Michael Roers (Übung),

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1 Einfürung in die Geostatistik (4) Fred Hattermann (Vorlesung), Micael Roers (Übung),

2 Gliederung 4 Grundlegende (geo-)statistisce Annamen 4. Stationarität erster und zweiter Ordnung 4. Intrinsisce Hypotese 4.3 Vergleic der Hypotesen 5 Variogrammscätzung 5. Experimentelle Variogramme 5. Teoretisce Variogramme 5.3 Variogrammanpassung

3 4 Einfürung Geostatistik Geostatistik im weiteren Sinne: Anwendung von statistiscen Metoden in den Geowissenscaften. Geostatistik im engeren Sinne: Analyse und Modellierung räumlicer Pänomene unter Nutzung statistiscer Metoden G. Materon: Geostatistik ist die Anwendung der Formalismen von Zufallsfunktionen auf die Erkundung und Scätzung natürlicer Pänomene, die als ortsabängige (ortsgebundene, regionalisierte) Variablen statistisc gesetzmäßig räumlic variieren. Scwerpunkt der Vorlesung und Übung: D

4 4 Einfürung Geostatistik D.G. Krige: Anwendung statistiscer Tecniken zur Erkundung von Goldlagerstätten in Südafrika in den 50iger Jaren des 0. Jarunderts G. Materon: Entwicklung eines teoretiscen Konzeptes zu den von Krige entwickelten Metoden in den 60iger Jaren des 0. Jarunderts Ursprünglice Anwendung: Erkundung von Lagerstätten und Ressourcenscätzung Heutige Anwendungen: Bergbau, Bodenkunde, Hydrogeologie, Hydrologie, Meteorologie, Ökologie, Landwirtscaft, Kartograpie...

5 4 Einfürung Geostatistik Ausgangspunkt: ortsabängige (ortsgebundene, regionalisierte) Variable, d.. Messung einer Variablen an versciedenen Punkten im Raum Ziele: Bescreibung der räumlicen Struktur von Variablen: Variograpie Scätzung der Variablenwerte an unbeobacteten Punkten, Ermittlung der räumlicen Verteilung der Variablen im gesamten Untersucungsgebiet: Interpolation (Kriging) Quantifizierung und Propagation der Unsicereit möglicer Parameterverteilungen: geostatistisce Simulation Evaluierung und Optimierung von Messnetzen Geostatistik nutzt die Teorie der regionalisierten Variablen.

6 Arbeitsscritte bei der geostatistiscen Analyse Variogram ) Messung ) Datenanalyse ) Variograpie 5) Validierung Feleranalyse! Column C: Ozon [ppm]? Direction: 0.0 Tolerance: ) Interpolation mit Kriging Lag Distance

7 Grundlegendes Problem Ermittlung der räumlicen Korrelation der Zufallsvariablen Z und des Wertes der Variablen für unbeobactete Punkte Genauer: Wie scätzt man den Wert einer ortsabängigen Variablen Z(u) an einem Ort u, an dem keine Messwerte vorliegen, auf der Basis von benacbarten Messwerten z(u i ). Idee: Neuer Wert Z*(u) ist gewictetes Mittel der Nacbarwerte Z *( u) i n z( i u i )? mit den Gewicten λ i

8 Nictstatistisce und statistisce Interpolationsverfaren Beispiele für nictstatistisce Interpolationsverfaren: Tiessen-Polygone Inverse Distanz Triangulation Splines Nacteil: nictstatistisce Interpolationsverfaren wissen nicts über die zu interpolierende Variable. Statistisce Interpolationsverfaren zeicnen sic dadurc aus, dass inen ein (geo-)statistisces Modell zugrunde liegt, durc das die spezifiscen räumlicen Eigenscaften der zu untersucenden Variablen in die Interpolation einbezogen werden können.

9 Niedersclag [mm] Augenzal Fallöe [m] Was ist ein statistisces Modell? Ein statistisces Modell bescreibt die Eigenscaften eines Zufallsprozesses. Beispiel für deterministisces Ereignis: Fallöe eines Balles. Zeit [t] Beispiel für unkorreliertes stocastisces (stat.) Ereignis: Würfeln. Zeit [t] Zeit [t] Beispiel für korreliertes stocastisces (stat.) Ereignis: Niedersclagsöe.

10 y Was ist ein statistisces Modell? Wictigstes statistisces Modell: Normalverteilung Mit Mittelwert (Erwartungswert) µ, Streuung (Varianz) σ und Standardabweicung σ. Für die Standardnormalverteilung ist µ = 0 und σ =. y e ( x ) σ µ + σ Normalverteilung x

11 Durc welce Parameter wird ein statistisces Modell bescrieben?. Moment: Erwartungswert von Z: E [ Z] z f ( z) dz x n i n x i Für Normalverteilung gleic dem Mittelwert. Moment: Varianz von Z Var[ Z] E[( Z E[ Z]) ] s n i n ( x i x) Kovarianz zweier Zufallsvarialen Z und Z : Cov[ ZZ] E[( Z E[ Z])( Z E[ Z])] n Cov( Z, Z) ( z, i z)( z, i z) n i Korrelation zweier Zufallsvariablen: Kor[ Z Z ] Cov( Z Z Var[ Z ) ] Var[ Z ]

12 Frage: Kann das statistisces Modell für die räumlice Variable angewendet werden? Problem: Probename räumlicer Daten lässt sic nict wiederolen, dadurc kann es keine Wiederolungen geben. Beispiel: Pipettieren zum Messen der Säurestärke. Der Versuc kann teoretisc unendlice Male wiederolt werden. => Ein statistisce Modell kann einfac durc Anpassung an die Messergebnisse ermittelt werden.? Beispiel: Borungen zur geologiscen Erkundung. An jedem Ort kann nur genau eine Probe genommen werden, Wiederolungen sind nict möglic. => Wie kann man ein statistisces Modell zur Interpolation eranzieen?

13 4 Einfürung Geostatistik Notation: Z(u i ): z(u i ): Z(u): z(u): Zufallsvariable am Ort u i Wert der Zufallsvariablen am Ort u i (konkreter Messwert) Zufallsfunktion = Menge aller Zufallsvariablen an den Punkten u im Raum D Z(u) = {Z(u ), Z(u ),..., Z(u n )} u D Realisation der Zufallsfunktion (Menge der Messwerte) = regionalisierte, ortsabängige Variable, Menge aller Werte für einen Zustand an den Punkten u im Raum D z(u) = {z(u ), z(u ),..., z(u n )} u D z(u i +): Messwert am Ort u i +, wobei der Abstandsvektor ist: z(u i ) z(u i +) Wictig: Vektoren aben eine Rictung und eine Länge!

14 4 Geostatistisce Hypotesen I Problem: Es können von einer Probename keine Wiederolungen gebildet werden, dadurc mangelnder Sticprobenumfang - Nur ein Wert pro Punkt / Ort u zur Scätzung von Z(u i ) - nur eine Realisation z(u) zur Scätzung von Z(u) Lösung: Felende Wiederolungen an einem Punkt werden ersetzt durc Verwenden von Werten, die an anderen Orten gemessen wurden. -> Es werden Annamen die Warsceinlickeitsstruktur der räumlicen Zufallsvariablen betreffend getroffen. -> die Werte müssen derselben Grundgesamteit entstammen

15 4 Geostatistisce Hypotesen 4. Strenge Stationarität. Strenge Stationarität: Verteilung der Zufallsfunktion Z(u) ist unabängig von den Orten u. -> ser starke Anname. Exkurs zur Stationarität: Stationarität einer Variablen bedeutet, dass das zugrundeliegende statistisce Modell invariant gegen zeitlice oder räumlice Translationen ist y y Links: Zu zwei untersciedlicen Zeitpunkten wurde eine Variable Y gemessen; Die Verteilungen zeigen nictstationäres Veralten. Beispiel: Hydrologisce Größen unter Klimawandel!

16 Exkurs zur Stationarität Die Skale ist wictig! Unter nictstationären Bedingungen entstammen die Messungen nict aus derselben Grundgesamteit!

17 4 Geostatistisce Hypotesen II 4. Scwace Stationarität. Scwace Stationarität / Stationarität. Ordnung:. Erwartungswert der Zufallsfunktion Z(u) ist konstant über das gesamte Gebiet D: E[Z(u)] = m für alle u D. Die Kovarianz* der Zufallsvariablen von zwei Punkten ist nur abängig vom Abstandsvektor und nict vom Ort der zwei Punkte: E[(Z(u+)-m)(Z(u)-m)] = C() für alle u, u+ D für = 0: C(0) = E [(Z(u)-m)(Z(u)-m)] = Var[Z(u)] => konstante Varianz und konstanter Erwartungswert über das gesamte Gebiet. * Die Kovarianz ist eine Maßzal für den Zusammenang zweier statistiscer Merkmale X und Y.

18 4 Geostatistisce Hypotesen 4. Intrinsisce Hypotese 3. Intrinsisce Hypotese:. Der Erwartungswert der Zufallsfunktion Z(u) ist konstant über das gesamte Gebiet D. a. Der Erwartungswert der Differenzen zwiscen Z(u+) und Z(u) ist gleic null: E [Z(u+)-Z(u)] = 0 für alle u D b. Die (Semi-) Varianz des Inkrements Z(u+) Z(u) zwiscen zwei Punkten ist nur abängig vom Abstandsvektor und nict vom Ort der zwei Punkte: ½ Var [Z(u+)-Z(u)] = ½ E [(Z(u+)-Z(u)) ] = () für alle u D Im Gegensatz zur Stat.. Ordnung wird keine endlice Varianz verlangt. Bei der intrinsiscen Hypotese muss man nur das (Semi-) Variogramm () zur Bescreibung der räumlicen Korrelation kennen. Diese Bedingungen sind nict erfüllt, wenn eine Drift vorliegt: E [Z(u+)-Z(u)] 0

19 Wie bescreibt man die Varianz des Inkrementes? Ein Variogramm ist die statistisce Bescreibung der räumlicen Korrelation einer Zufallsfunktion. Allgemeine Scätzung anand einer Sticprobe: mit i : N() N() : Anzal N() : Abstandsin tervall z(u ) : Messwert i der (z(u ) : Semivarianz an der i z(u Wertepaare mit i )) Stelle u i Abstand

20 Exkurs: Kovariogramm und Semivariogramm Variogramm: γ() = C(0) C() => Mit zunemendem Abstand nimmt die Kovarianz ab und die Semivarianz (Streuung) zu.

21 Exkurs: Herleitung der Semivarianz. Die Varianz s einer Verteilung: s n n i ( x i x). Die Semivarianz zweier Werte: s z ( z z) Mittelwert ( z z) ( z von z und z z ) 3. Übertragen auf zwei Messwerte einer räumlicen Variablen: s u [ z( u) z( u )] Koordinaten eines Punktes im Raum Abstandsve ktor 4. Übertragen auf viele/alle Messwerte einer räumlicen Variablen: s n n i [ z( u ) i z( u i )]

22 Das Variogramm - Kennwert des stationären stocastiscen Prozesses: Gesuct ist ein Maß für den räumlicen Zusammenang zwiscen zwei ortsbezogenen Zufallsvariablen des stocastiscen Prozesses. Hierzu verwenden wir die Varianz der Differenz der beiden Zufallsvariablen, die sic insictlic irer räumlicen Lage um den Abstandsvektor = v - u untersceiden und daer untersciedlice Prozesswerte aben können: Var[Z(u) - Z(v)] = Var[Z(u) - Z(u+)] Die Varianz ist ein Maß für die mittlere Streuung der Werte einer Zufallsvariable: Streuen die Werte der Differenz der beiden Zufallsvariablen Z(u) und Z(v) stark, ist also die Varianz irer Differenz groß, so bedeutet dies, daß die beiden Zufallsvariablen im Mittel ser versciedenen Werte annemen, ir räumlicer Zusammenang ist also klein. Streuen die Werte der Differenz Z(u) - Z(v) wenig, so eißt das, daß im Mittel Z(u) änlice Werte wie Z(v) annimmt, ir räumlicer Zusammenang ist also groß. Damit kann Var[Z(u) - Z(v)] als Maß für den räumlicen Zusammenang zweier Zufallsvariablen angeseen werden.

23 Gliederung 4 Grundlegende (geo-)statistisce Annamen 4. Stationarität erster und zweiter Ordnung 4. Intrinsisce Hypotese 4.3 Vergleic der Hypotesen 5 Variogrammscätzung 5. Experimentelle Variogramme 5. Teoretisce Variogramme 5.3 Variogrammanpassung

24 5. Berecnung eines experimentellen (empiriscen) Variogramms Ein Variogramm ist die statistisce Bescreibung der räumlicen Korrelation einer Zufallsfunktion: Variogramm: () = ½ E [(Z(u+)-Z(u)) ] Allgemeine Scätzung anand einer Sticprobe: mit : N( ) : i N( ) N ( ) i : Semivarian z Anzal der Wertepaare mit : Abstand svektor ( z( u ) z( u ) : Messwert an der Stelle u i z( u i )) i Abstand Berecnung kann nur in diskreten Abständen erfolgen => Es werden experimentelle Variogrammwerte für Vektoren berecnet, deren Scrittweite ein Merfaces k der Scrittweite l beträgt => = k*l

25 Messwert 5. Berecnung eines experimentellen (empiriscen) Variogramms N( ) N ( ) i ( z( u ) i z( u i )) mit : N( ) : Anzal der Wertepaare mit : Abstands vektor Abstand z( u ) : Messwert an der Stelle i u i Sucabstand (Abstandvektor) ( ) Sucabstand (Abstandvektor) ( ) Sucabstand (Abstandvektor) 3 ( 3 ) u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 0 u u u 3 X [m]

26 Beispiel: Variogrammberecnung Messwert Ort z(u) = u = N( ) N ( ) i ( z( u i ) z( u i )) mit : N( ) : Anzal der Wertepaare mit Abstand : Abstandsin tervall oder Lag - distance z( u ) : Messwert an der Stelle i u i ((7 6) (6 5)...) 0.79 ((7 5) (6 5)...).09 Y 4 9 ((7 4) (6 3)...) 5.78

27 5. Empirisce/experimentelle Variogramm

28 Beispiel: Variogrammeinfluss bei Interpolation, Krigevarianz und Kreuzvalidierung

29 5. Variogramme: Range, Nugget und Sill Das Variogramm ist in der Regel eine monoton wacsende Funktion. So wie der Zusammenang zwiscen zwei Zufallsvariablen des stocastiscen Prozesses mit irem Abstand abnimmt, nimmt die Varianz der Differenz der beiden (also das Variogramm) zu. Der Abstand, bei dem das Variogramm asymptotisc einen Scwellenwert (sill) erreict, wird Aussageweite (range) genannt. Zufallsvariablen, die in größerem räumlicen Abstand als die Aussageweite zueinander steen, werden praktisc als unabängig voneinander betractet. Verläuft das Variogramm nict durc den Ursprung, so wird der Scnittpunkt mit der y- Acse Nuggeteffekt genannt.

30 Wodurc wird der Nugget-Effekt ervorgerufen? Durc tatsäclice Varianzen (Untersciede) im Mikrobereic: z.b. Goldnuggets; Durc Messfeler, welce eine öere Varianz der Werte im Nabereic vortäuscen; Durc zu große Messabstände im Nabereic; => Versucen, den Nugget zu erklären, Expertenwissen nutzen!

31 Reguläre und irreguläre Gitter: Sucdistanz und rictung Die meisten Messnetze sind in der Praxis (aus guten Gründen!) irregulär. Dadurc aben oft nur ser wenige Beobactungspunkte denselben Abstand in der Rictung des Abstandsvektors. Da aber nac einer Faustregel ungefär 30 Wertepaare in der Klasse N() entalten sein sollten, nimmt man diejenigen Tupel (Wertepaare) in die Klasse N(), deren Beobactungsorte ungefär denselben Abstand in ungefär derselben Rictung aufweisen. Man teilt damit den Raum in Entfernungs- und Rictungsklassen ein. Die Bedingung u i u j = muss abgescwäct werden. Es werden Abweicungen in Winkel und Länge des Vektors zugelassen und anscließend die Summation über die Punktpaare durcgefürt. Faustwerte für eine erste (isotrope) Scätzung: Abstandstoleranz = ½ * Scrittweite (Lag distance) Winkeltoleranz = 90

32 Sucparameter für die Variogrammscätzung Nord Winkeltoleranz lagtoleranz Scrittweite Sucweite lag 5 Sucwinkel lag 4 lag 3 lag lag Ost

33 Gliederung 4 Grundlegende (geo-)statistisce Annamen 4. Stationarität erster und zweiter Ordnung 4. Intrinsisce Hypotese 4.3 Vergleic der Hypotesen 5 Variogrammscätzung 5. Experimentelle Variogramme 5. Teoretisce Variogramme 5.3 Variogrammanpassung

34 Y 5. Teoretisce Variogramme Experimentelle Variogramme sind Näerungen an das teoretisce Variogramm. Sie können nur für eine begrenzte Anzal von Vektoren berecnet werden. In der Praxis ist man allerdings auc an den Werte dazwiscen interessiert. Es wurden untersciedlice teoretisce Variogrammfunktionen entwickelt, welce in zwei Gruppen unterteilt werden können, je nacdem, ob die Bedingungen der Stationarität zweiter Ordnung erfüllt werden oder nict. Gilt die Stationarität zweiter Ordnung und sind die Zufallsvariablen weit entfernter Punkte unabängig, so erält man Variogramme mit einem Scwellenwert (sill). In der Praxis werden fast ausscließlic diese beandelt. teoretisces Variogramm empirisces Variogramm Sucdistanz

35 5. Reiner Klumpeneffekt (Pure nugget effect) Semivarianz [ppm²] Unkorreliert / zufallsverteilt: () 0 für 0 () c für Distanz [m]

36 Semivarianz [ppm²] 5. Lineares Variogramm Parameter: a = 00 m (C+C 0 ) = 500 ppm² Distanz [m] () () C C 0 C 0 C C a 0 für für a a wobei: γ(): Semivarianz C 0 : Nugget, Mikrovarianz (C+C 0 ): Scwellenwert, Sill a: Reicweite, Range : Distanz

37 Semivarianz [ppm²] 5. Spärisces Variogramm Parameter: a = 00 m (C+C 0 ) = 500 ppm² () () C0 C C a C C 0 Distanz [m] a 3 3 für für a a wobei: γ(): Semivarianz C 0 : Nugget, Mikrovarianz (C+C 0 ): Scwellenwert, Sill a: Reicweite, Range : Distanz

38 Gauss`sces variaogramm und exponentielles Variogramm V ( 0 0 ) C C C e a Exponentielles Variaogramm: Effektiver Einflussbereic = 3a! ( ) C 0 C C 0 e a Gauss`sces Variogramm: Effektiver Einflussbereict a* 3 C C R 0 Nugget Sill Range V gauss Data V exponential Actung! Beim diesen Modellen ist der effektiver Range gefitteter Range!

39 V Gaußsces Variogramm () C 0 C C0 e a Gauss-Variogramm () C C C0 e a 95% des Sills a a eff 0 0* V E.5 a a eff * a a eff 0( gefittet) 0* effektiver Range gefitteter Range!

40 Gliederung 4 Grundlegende (geo-)statistisce Annamen 4. Stationarität erster und zweiter Ordnung 4. Intrinsisce Hypotese 4.3 Vergleic der Hypotesen 5 Variogrammscätzung 5. Experimentelle Variogramme 5. Teoretisce Variogramme 5.3 Variogrammanpassung

41 5.3 Variogrammscätzung : Berecnung des experimentellen Variogramms N( ) N ( ) i ( z( u ) z( i u i ))

42 5.3 Variogrammscätzung : Berecnung des teoretiscen Variogramms Spärisces Variogramm

43 5.3 Variogrammscätzung : Berecnung des teoretiscen Variogramms Gaussces Variogramm

44 5.3 Variogrammscätzung : Berecnung des teoretiscen Variogramms Exponentielles Variogramm

45 Y Y 5.3 Variogramme: Anisotropie Zonale Anisotropie: Scwellenwert (Sill) und eventuell auc Range in untersciedlicen Raumrictungen untersciedlic. In diesem Fall muss man mit versciedenen Variogrammen für die beiden Hauptanisotropieacsen arbeiten. Sucdistanz Geometrisce Anisotropie: Scwellenwert (Sill) gleic, der Range ist aber in untersciedlicen Raumrictungen untersciedlic. In diesem Fall kann man den Range für die untersciedlicen Hauptanisotropieacsen durc einen Faktor angleicen. Sucdistanz

46 5.3 Variogramme: Anisotropie Eine Zufallsfunktion ist isotrop, falls das Variogramm nur von der Länge des Vektors und nict auc von seiner Rictung abängig ist. Zur Prüfung der Isotropie berecnet man Variogramme in versciedene Raumrictungen und prüft die Übereinstimmung Untersciedlice Variogramme in versciedene Raumrictungen => Anisotropie! Grundwasserstände

47 Y Y 5.3 Variogramme: Drift und Hole- Effekt Sucdistanz Drift: Das Variogramm erreict nict oder nur sceinbar den Scwellenwert (Sill). Danac steigen die Variogrammwerte wieder. Daraus folgt, dass der Erwartungswert m über das Untersucungsgebiet nict konstant ist und nict-stationäre Verfaren angewandt werden müssen! Hole-Effekt: Scwellenwert (Sill) wird sceinbar erreict, danac fallen die Variogrammwerte wieder. In diesem Fall liegen oft regelmäßige Strukturen vor, so dass in einem regelmäßigen Abstand die Werte der Variablen wieder stärker äneln. Sucdistanz

48 5.3 Beispiel: Hole-Effekt 0,50 m,50 m Humoser Boden Sand; stark umos Feinsand 3,50 m 5,30 m Feinsand Feinsand 8,50 m 0,00 m Sand; scarf Grobsand; scarf,30 m 3,50 m Sand; kiesig, steinig 5,00 m Feinsand; scarf; Holz Vertikales Variogramm der Substratwerte. 8,40 m Grobsand; scarf Feinkies; feinsteinig Beispielborung 3,00 m 4,00 m Ton

49 5.3 Beispiel: Drift Variogramm in Nord-Südrictung Grundwasserstände

50 Beispiel: Variogrammeinfluss bei Interpolation, Krigevarianz und Kreuzvalidierung