Kurze Einführung in die Berechnung der Messunsicherheit nach GUM. Stephan Mieke Physikalisch-Technische Bundesanstalt Institut Berlin, 8.

Transkript

1 Kurze Enführung n de Berechnung der Messunscherhet nach GUM Stephan Meke Physkalsch-Technsche Bundesanstalt Insttut Berln, 8.40

2 Glederung Enletung Gude to the Epresson of Uncertanty (GUM) Monte-Carlo-Methode (GUM-S) Resümee

3 Enletung Messunscherhet, was st das? VIM.6 Messunscherhet u nchtnegatver Parameter, der de Streuung der Werte kennzechnet, de der Messgröße auf der Grundlage der benutzten Informaton begeordnet st u Wahrschenlchketsvertelung (probablty densty functon, PDF): Quanttatve Beschrebung der Informaton (Kenntns) über den Wert der Messgröße ( degree of belef ). 3

4 Enletung Lteratur: Evaluaton of measurement data An Introducton to the Gude to the epresson of uncertanty n measurement and related documents, JCGM 04:009 (kostenloser Download: deutsche Übersetzung: ) Evaluaton of measurement data Gude to the epresson of uncertanty n measurement GUM 995 wth mnor correctons, JCGM 00:008 (kostenloser Download: DIN V ENV 3005: Letfaden zur Angabe der Unscherhet bem Messen, Beuth Verlag Berln, 999 (deutsche Übersetzung des GUM) Evaluaton of measurement data Supplement to the "Gude to the epresson of uncertanty n measurement" Propagaton of dstrbutons usng a Monte Carlo method, JCGM 0:008 Evaluaton of measurement data Supplement to the "Gude to the epresson of uncertanty n measurement" Etenson to any number of output quanttes, JCGM 0:0 (kostenloser Download der Supplements: Internatonal Vocabulary of Metrology Basc and General Concepts and Assocated Terms, VIM, 3rd edton, JCGM 00:008 sowe Corrgendum aus 00 (kostenloser Download: DIN: Internatonales Wörterbuch der Metrologe, 3. Auflage 00, Beuth Verlag GmbH (deutsche Übersetzung des VIM, korrgerte Fassung 0) 4

5 Enletung Lteratur: DKD-3 Angabe der Messunscherhet be Kalbrerungen (0/998) DKD-3-E Angabe der Messunscherhet be Kalbrerungen, Ergänzung - Bespele (0/998) DKD-3-E Angabe der Messunscherhet be Kalbrerungen, Ergänzung - Zusätzlche Bespele (08/00) DKD-4 Rückführung von Mess- und Prüfmtteln auf natonale Normale (0/998) (kostenloser Download aller DKD-Dokumente: DIN 39-3: Grundlagen der Meßtechnk - Tel 3: Auswertung von Messungen ener enzelnen Meßgröße, Meßunscherhet, Beuth Verlag Berln, 996 DIN 39-4: Grundlagen der Meßtechnk - Tel 4: Auswertung von Messungen, Meßunscherhet, Beuth Verlag Berln, 999 5

6 Enletung Darstellung Kalbrerung Kalbrerung Kalbrerung (SI) Enhet Prmärnormal Sekundärnormal Gebrauchsnormal Messunscherhet Messung Messgerät Messergebns Quelle: Wolfgang Schmd 6

7 Enletung wahrer Wert Messwert Messwert mt Messunscherhet 7

8 Enletung Mess- Stratege, Messgeräte- Genaugket Messwerte Mathematsches Modell der Messung Messwert mt begeordneter Messunscherhet 8

9 Enletung Messgröße Unkorregerter Mttelwert der Beobachtungen Zufällge Messabwechung (der Messrehe) Korrektur der systematschen Messabwechung Wahrer Wert Messergebns (Mttelwert) Messunscherhet zusammengesetzt aus - der Standardabwechung des Mttelwerts der Messrehe - der Unscherhet der Korrektur - der Unscherhet auf Grund anderer Informatonen Quelle: CENAM / Euramet 9

10 Enletung Engangsgrößen X und deren Messunscherheten (Engangsgrößen und deren Standardabwechungen der Wahrschenlchketsdchtevertelung) Modell der Messung Ausgangsgröße Y und Messunscherhet (Ausgangsgröße Messgröße), u( ) y Schätzwert, u( ) Yf(X ) Unscherhetsfortpflanzung u(y) Kombnerte Standardmessunscherhet 3, u( 3 ) [y - ; y + ] Überdeckungsntervall GUM S GUM GUM S: Hstogramm der Vertelung 0

11 Beschrebung der Messung Mathematsches Modell der Messung 3 Informatonen über de Engangsgrößen 4 Messunscherhet der Engangsgrößen 5 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 6 Berechnung der erweterten Messunscherhet 7 Angabe des Ergebnsses Ergänzung: Monte-Carlo-Methode

12 Beschrebung der Messung Mathematsches Modell der Messung 3 Informatonen über de Engangsgrößen 4 Messunscherhet der Engangsgrößen 5 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 6 Berechnung der erweterten Messunscherhet 7 Angabe des Ergebnsses

13 Beschrebung der Messung: zuerst en paar Defntonen Gegenstand Größe Größenwert Messwert Defnton (verkürzt) Egenschaft enes Phänomens, enes Körpers oder ener Substanz, Zahlenwert und Referenz, de zusammen ene Größe quanttatv angeben Größenwert, der en Messergebns repräsentert VIM (Wörterb. d. Metrologe) Bespele / Anmerkungen. Länge, Spannung, Energe, Stoffmengenkonzentraton.9 Masse enes Körpers: 0,5 kg ; Stoffmengenkonz. von L. n ener Plasmaprobe: 5,0 I E / L Mess- Menge von Größenwerten, de ener.9 En Messergebns wrd m Allgemenen ergebns Messgröße zugewesen snd, zusammen als en enzger Messergebns mt jeglcher verfügbarer relevanter wert und ene Messunscherhet Informaton ausgedrückt. Messunscherhet Überdeckungsntervall nchtnegatver Parameter [u], der de Streuung der Werte kennzechnet, de der Messgröße auf der Grundlage der benutzten Informaton begeordnet st Intervall [U], das de Menge der wahren Werte ener Messgröße mt ener angegebenen Wahrschenlchket enthält, Deutsch-englsche Fassung des ISO/IEC-Letfaden 99 PDF: Wahrschenlchketsdchtefunkton (probablty densty functon) 3

14 Beschrebung der Messung ) Messaufgabe und Messgröße ) Messprnzp 3) Messmethode 4) Messverfahren Ergebns von Schrtt : - Identfkaton der Messgröße - bessere Kenntns und Verständns des Messverfahrens 4

15 Beschrebung der Messung: Volumenmessung Messaufgabe und Messgröße: Bestmmung des Volumens V enes Bechers mt enem Nennwert von L be ener Temperatur von 0 C. L Messprnzp: Volumen Masse / Dchte 3 Messmethode: Gravmetrsche Kalbrerung,995 kg 4 Messverfahren: Wederholtes Füllen des Bechers mt bdstllertem Wasser und Wegen der Masse m des enthaltenen Wassers Bespel: CENAM / Euramet 5

16 Beschrebung der Messung: Messabwechung enes Thermometers Messaufgabe und Messgröße: Bestmmung der Messabwechung enes Thermometers be 0 C Messprnzp: Messung der Temperatur n enem Medum bekannter Temperatur 3 Messmethode: Verglech der Anzegen zweer Thermometer (Prüflng {X} und Normal {S}) 4 Messverfahren: Verglech der Anzegen bem Entauchen n enem Wasserbad S Normal t nd, S t Bad X Prüflng t nd, X Quelle: Bernd R.L. Sebert δt Bad, X 6

17 Beschrebung der Messung Mathematsches Modell der Messung 3 Informatonen über de Engangsgrößen 4 Messunscherhet der Engangsgrößen 5 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 6 Berechnung der erweterten Messunscherhet 7 Angabe des Ergebnsses 7

18 Mathematsches Modell der Messung ) Suchen der Größen, de de Messung beenflussen könnten ) Struktureren und Bewerten der Engangsgrößen 3) Aufstellen des mathematschen Modells der Messung Ergebns von Schrtt : - Mathematsches Modell der Messgröße: Y f( X, X, X N ) 8

19 Mathematsches Modell der Messung Formulerung des Modells der Messung (GUM 4.) Y f(x, X..., X N ) Im GUM wrd f als Funkton angesehen, de alle Größen enthält, de ene sgnfkante Unscherhetskomponente zum Messergebns betragen können. Anmerkungen zur Nomenklatur: Engangsgrößen X, X..., X N stehen rechts vom Glechhetszechen, se snd Messwertmttelwerte, systematsche Abwechungen, Korrekturen usw. AusgangsgrößeY steht lnks vom Glechhetszechen, se st das Ergebnss En- oder Ausgangsgrößen werden GROß geschreben, deren Schätzwerte (bzw. Erwartungswerte) werden klen geschreben 9

20 Mathematsches Modell der Messung Ichkawa Dagramm (Bespel): 0

21 Mathematsches Modell der Messung Ichkawa Dagramm: Bespel: Volumenmessung An alles Denken, nchts vergessen, was zur Messunscherhet betragen könnte.

22 Mathematsches Modell der Messung Bespel: Volumenmessung V m ρ W + B ρ ar W + W cal + W ρ res + B ar mt V m W W Cal W res B ar ρ Volumen des Bechers Masse des engefüllten Wassers Netto-Messwert (vermndert um de Masse des leeren Bechers) Messabwechung der Waage (Kalbrerschen-Angabe) Auflösung der Waage Korrektur des Luftauftrebs Dchte des Wassers Hnwes: Dese Glechung verletzt de Lneartätsforderung des (Standard-)GUM. Praktsch st das, be hnrechend klenen Messunscherheten der Engangsgrößen, ohne Bedeutung. Be größeren Messunscherheten müßte de Berechnung mttels Monte-Carlo-Smulaton per Software durchgeführt werden.

23 Mathematsches Modell der Messung Bespel: Thermometerkalbrerung t nd, S t Bad + t S S Normal X Prüflng t nd, X tbad + t X + δtbad, X t X t nd, X t nd, S δ t Bad, X + t S t nd, S t nd, X mt t nd, S t nd, X t X t S t Bad δt Bad, X Anzege des Normals Anzege des Prüflngs Messabwechung des Prüflngs Messabwechung des Normals ene örtlche Temperatur des Bads Messabwechung auf Grund der verschedenen Messorte t Bad Quelle: Bernd R.L. Sebert δt Bad, X 3

24 Beschrebung der Messung Mathematsches Modell der Messung 3 Informatonen über de Engangsgrößen 4 Messunscherhet der Engangsgrößen 5 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 6 Berechnung der erweterten Messunscherhet 7 Angabe des Ergebnsses 4

25 Informatonen über de Engangsgrößen 3 Bestmmung der Messunscherheten aller relevanten Engangsgrößen X durch Messung oder aus anderen Informatonsquellen Ergebns von Schrtt 3: Angaben zu jeder Engangsgröße - bester Schätzwert - Informatonen dessen Messunscherhet 5

26 Informatonen über de Engangsgrößen 3 Der beste Schätzwerte ener Engangsgröße X und dessen begeordnete Standardunscherhet u( ) kann auf zwe verschedenen Wegen ermttelt werden: Typ A Typ B wederholte Messungen be glechen Messbedngungen Angaben aus anderen Informatonsquellen Kalbrer- / Echschen Gerätespezfkaton Lteratur vorherge Messungen usw 6

27 Informatonen über de Engangsgrößen 3 GUM Der Zweck der Klassfzerung nach Typ A und Typ B st nur, de beden Arten zur Ermttlung von Unscherhetskomponenten zu unterscheden. Bede Methoden beruhen auf Wahrschenlchketsvertelungen. De mt beden Methoden ermttelten Unscherhetskomponenten werden durch Varanzen oder Standardabwechungen quanttatv bestmmt. 7

28 Informatonen über de Engangsgrößen 3 Typ A: wederholte Messungen bester Schätzwert: arthmetscher Mttelwert (GUM 4..) q n q k n k Standardunscherhet: Standardabwechung des Mttelwerts (GUM 4..3) n s( qk ) u( q) s( q) ( q n n( n ) k k q) emprsche Standardabwechung 8

29 Informatonen über de Engangsgrößen 3 Der beste Schätzwerte ener Engangsgröße X und dessen begeordnete Standardunscherhet u( ) kann auf zwe verschedenen Wegen ermttelt werden: Typ A Typ B wederholte Messungen be glechen Messbedngungen Angaben aus anderen Informatonsquellen Kalbrer- / Echschen Gerätespezfkaton Lteratur vorherge Messungen usw 9

30 Informatonen über de Engangsgrößen 3 Typ B: Angaben aus anderen Informatonsquellen Echschen: de Echfehlergrenzen werden engehalten Kalbrerschen: der Wert der Messgröße beträgt 9,98 C de begeordnete Standardunscherhet beträgt 0,05 C es wurden 5 Verglechsmessungen durchgeführt Herstellerangabe: Genaugket: % der Anzege + Dgts 30

31 Informatonen über de Engangsgrößen 3 geechtes Gerät Gerät mt Kalbrerschen Gerät mt Kalbrerschen und zusätzlchen Informatonen Quelle: deutschen Übersetzung des GUM S 3

32 Beschrebung der Messung Mathematsches Modell der Messung 3 Informatonen über de Engangsgrößen 4 Messunscherhet der Engangsgrößen 5 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 6 Berechnung der erweterten Messunscherhet 7 Angabe des Ergebnsses 3

33 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 ) Typ A : Standardunscherhet berets als Standardabwechung des Mttelwerts bekannt. ) Typ B: Berechnung der Standardunscherheten (d.h.: Standardabwechungen) aller Engangsgrößen aus deren angenommenen Wahrschenlchketsdchtevertelungen nach festen Regeln. Ergebns von Schrtt 4: Standardunscherheten (bzw. Standardabwechungen) aller Engangsgrößen 33

34 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 GUM 4.3.7, Gl. (7) GUM des Mttelwerts GUM 4.3.9, Gl. (9) PDF: probablty densty functon, Wahrschenlchketsdchtefunkton 34

35 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Auflösung ener numerschen Anzege: Rechteckvertelung V dc 088 V V dc? V dc? V dc? ,5 88,5 a - a + Anzege Wert 35 Quelle: Euramet

36 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Bespel: Volumenmessung Wederholte Füllungen: W 99 g 993 g 990 g 996 g 994 g Waage: w 5 j w ua( w) 994 g 5 4 j Kalbrerschen: Messabwechung: W cal - 0, g 5 j 5 993,0 erweterte Messunscherhet: U, g (k) Standardunscherhet u( W cal ) 0,60 g Auflösung: g 0,5g g u( Wres ) 0, 9g 3 Schätzwert: W res 0 g g 5 ( w j w),0 g 36

37 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Bespel: Volumenmessung Größe X Schätzwert Standardunscherhet u( ) Vertelung Empf.- koeff. c Unscherhetsbetrag u (y) W 993,00 g,00 g Normal W cal - 0,0 g 0,60 g Normal W res 0,00 g 0,9 g Rechteck ρ Wasser B ar V 37

38 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Bespel: Volumenmessung Wederholte Füllungen: W 99 g 993 g 990 g 996 g 994 g Waage: w 5 j w ua( w) 994 g 5 4 j Kalbrerschen: Messabwechung: W cal - 0, g Dchte des Wassers be t ar (0 ± ) ºC : ρ Wasser? 5 j 5 993,0 erweterte Messunscherhet: U, g (k) Standardunscherhet u( W cal ) 0,6 g Auflösung: g 0,5g g u( Wres ) 0, 9g 3 Schätzwert: W res 0 g g 5 ( w j w),0 g Auftreb n Luft be t ar (0 ± )ºC, p ar 04 hpa ±?, h r 50% ±? : B ar? 38

39 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Dchte des Wassers: ρ Wasser g 999, L ( t 3, C) ( t + 30,797 C) ( ) 55 58,9( C) t + 69,348 8 C t : Temperatur n ºC Tanaka et al Metrologa 38 (00) p n g/l ρ wasser n 999,0 998,8 998,6 998,4 998, 998,0 997,8 997,6 997, Temperatur t n ºC Dchte des Wassers: t (0 ± ) ºC ρ Wasser (998, ± 0,4) g/l u(ρ Wasser ) 0,4 / 3 g/l 0,3 g/l Quelle: CENAM 39

40 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Dchte der Luft: ρ ar p ar 0, C hpa + hr t + ar ( 0, C t 0, 00 5) 735, C ar g L nach EURAMET Calbraton Gude 9, eq. (4) p ar t ar h r Luftdruck Lufttemperatur relatve Feuchte Dchte der Luft: t ar 0 ºC / p ar 04 hpa / h r 50% ρ ar,0 g/l Unter normalen Bedngungen sollte sch de Dchte der Luft um ncht mehr als ± 5 % ändern (Epertenwssen) ρ ar (,0 ± 0,06) g/l B ar ρ ar V B ar (,40 ± 0,) g, Rechteck-Vertelung der Unscherhet u(b ar ) 0, / 3 g 0,07 g 40

41 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Bespel: Volumenmessung Größe X Schätzwert Standardunscherhet u( ) Vertelung Empf.- koeff. c Unscherhets -betrag c u W 993,00 g,00 g Normal W cal - 0,0 g 0,60 g Normal W res 0,00 g 0,9 g Rechteck ρ Wasser 998,0 g/l 0,3 g/l Rechteck B ar,40 g 0,07 Rechteck V,9988 L 4

42 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Bespel: Thermometerkalbrerung S Normal X Prüflng t X tnd, X tnd, S δtbad, X + t S t nd, S t nd, X mt t nd, S t nd, X t X t S t Bad δt Bad, X Anzege des Normals Anzege des Prüflngs Messabwechung des Prüflngs Messabwechung des Normals ene örtlche Temperatur des Bads Messabwechung auf Grund der verschedenen Messorte t Bad Quelle: Bernd R.L. Sebert δt Bad, X 4

43 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Messungen (Typ A Engangsgröße): Normal (Ablesung m Wechsel mt Prüflng) n t nd, S 0,005 C 9,995 C 3 0,05 C 4 0,00 C Mttelwert: 0,006 C Standardunscherhet: 4,7 0-3 C Frehetsgrad : ν n 3 Kalbrerschen (Typ B Engangsgröße): Normal Messabwechung: t S - 0,050 C erweterte Messunscherhet: U 0,05 C (k) Standardunscherhet u( t S ),5 0-3 C Frehetsgrad : ν 50 43

44 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Messungen (Typ A Engangsgröße): Prüflng (Ablesung m Wechsel mt Normal) n t nd, X 9,85 C 9,86 C 3 9,87 C 4 9,86 C Mttelwert: 9,860 C Standardunscherhet: 4, C Frehetsgrad : ν n 3 44

45 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Kenntns (Typ B Engangsgröße): Wasserbad Herstellerangabe: mamale radale Temperaturabwechung m Bad: ± C Vertelungsform: rechteckg, Halbwete: a C Erwartungswert: δt Bad, X 0 C Standardunscherhet u(δt Bad, X ) a / 3, C 45

46 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Frehetsgrad: Defnton (GUM C..3): Ganz allgemen de Anzahl der Gleder ener Summe abzüglch der Anzahl der Nebenbedngungen, de für de Gleder deser Summe gelten. Bespel für ene Nebenbedngung: Mttelwert, be der Berechnung der Standardabwechung Effektve Frehetsgrade (GUM G.4) Welch-Satterthwate-Formel: mt ν eff ν eff N 4 uc ( y) 4 u ( y) ν N ν 46

47 Messunscherhet der Engangsgrößen 4 Bespel: Thermometerkalbrerung Größe X Schätzwert Standardunscherhet u( ) Vertelung F.- grad ν Empf.- koeff. c Unscherhets -betrag c u t nd, S 0,006 C 4,7 0-3 C Normal 3 nd, S t nd, X 9,860 C 4, C Normal 3 t S - 0,050 C,5 0-3 C Normal 50 δt Bad, X 0,000 C, C Rechteck t X - 0,96 C 47

48 Beschrebung der Messung Mathematsches Modell der Messung 3 Informatonen über de Engangsgrößen 4 Messunscherhet der Engangsgrößen 5 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 6 Berechnung der erweterten Messunscherhet 7 Angabe des Ergebnsses 48

49 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Ermttlung der kombnerten Standardunscherhet (GUM 5) De Standardunscherhet enes Messergebnsses (ener Ausgangsgröße) u c wrd aus den Standardunscherheten durch Fehlerfortpflanzung berechnet. Dabe snd Fälle zu unterscheden: unkorrelerte Engangsgrößen (GUM 5.) und korrelerte Engangsgrößen (GUM 5.) 49

50 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Was snd Korrelatonen m Snne des GUM? GUM 5. Korrelerte Engangsgrößen gleches Zechen, aber unterschedlche Bedeutung! (Engangs-/Zufallsgröße) 5.. Glechungen (0) und... snd nur dann gültg, wenn de Engangsgrößen X unabhängg vonenander oder unkorrelert snd (de Zufallsgrößen, ncht de physkalschen Größen, de als Invaranten [unveränderlche Größen] angenommen werden, sehe 4.., Anmerkung ). Snd enge X sgnfkant korrelert, so müssen de Korrelatonen berück- schtgt werden. 4.., Anmerkung : Zur ökonomschen Gestaltung der Schrebwese wrd... das gleche Formelzechen für de physkalsche Größe und für de Zufallsgröße verwendet, es wrd angenommen, daß de physkalsche Größe selbst durch enen m wesentlchen endeutgen Wert charaktersert werden kann. 50

51 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5. Fall: unkorrelerte Engangsgrößen (GUM 5..) De Unscherhet der Ausgangsgröße (dem Ergebns) errechnet sch aus den Unscherheten der Engangsgrößen nach bzw. u c u ( y) c ( y) N ( c u( )) N ( c u( )) mt c : Empfndlchketskoeffzent Durch de Empfndlchketskoeffzenten werden de Antele der Unscherheten der Engangswerte gewchtet. 5

52 5 Der Empfndlchketskoeffzent c berechnet sch nach: Durch de partellen Abletungen wrd das mathematsche Modell analysert nach den Engangsgrößen, de potentell de größten Antele lefern. Für das Quadrat (de Varanz) der Unscherhet der Ausgangsgröße ergbt sch: X f c Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Hntergrund: Dese Glechung (und de für den korrelerten Fall) beruht auf ener Näherung erster Ordnung ener Taylor-Rehe von Y f(x, X..., X N ). ) ( ) ( N c u f y u

53 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Taylor-Rehen-Entwcklung für f(): y f f f ( ) f ( 0) + δ + δ höhere Gleder der Taylor- Rehen-Entwcklung müssen berückschtgt werden f( 0 ) 0 53

54 Mathematsches Modell der Messung Bespel: Volumenmessung V m ρ W + B ρ ar W + W cal + W ρ res + B ar mt V m W W Cal W res B ar ρ Volumen des Bechers Masse des engefüllten Wassers Netto-Messwert (vermndert um de Masse des leeren Bechers) Messabwechung der Waage (Kalbrerschen-Angabe) Auflösung der Waage Korrektur des Luftauftrebs Dchte des Wassers 54

55 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 V W + W cal + W ρ res + B ar u c ( V ) ( c u( W )) + ( c Wcal u( W W cal + ( c Wres u( Wres )) + ( cbar u( Bar )) + ( c ρ u( ρ )) )) Empfndlchketskoeffzenten c : c W V W ρ c Wcal V W cal ρ c Wres V W res ρ V V W + Wcal + W cbar cρ B ρ ρ ρ ar res + B ar 55

56 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Bespel: Volumenmessung Größe X Schätzwert Standardunscherhet u( ) Vertelung Empf.- koeff. c Unscherhetsbetrag c u W 993,00 g,00 g Normal 0,000 L/g 0,000 L W cal - 0,0 g 0,60 g Normal 0,000 L/g 0,0006 L W res 0,0 g 0,9 g Rechteck 0,000 L/g 0,0003 L ρ Wasser 998,0 g/l 0,3 g/l Rechteck -0,000 L /g 0,0005 L B ar,40 g 0,07g Rechteck 0,000 L/g 0,000 L V,9988 L 0,003 L u ( y) c N ( c u( )) u c (y) 0,003 L 56

57 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Bespel: Volumenmessung, ergänzt mt Frehetsgrad und Unscherhets-Inde: Größe X Schätzwert Standardunscherhet u( ) Vertelung Frehets -grad ν Empf.- koeff. c Unscherhetsbetrag c u Antele (c u / u c ) W 993,00 g,00 g Normal 4 0,000 L/g 0,000 L 60, % W cal - 0,0 g 0,60 g Normal 50 0,000 L/g 0,0006 L,7 % W res 0,00 g 0,9 g Rechteck 0,000 L/g 0,0003 L 5,0 % ρ Wasser 998,0 g/l 0,3 g/l Rechteck 0,000 L /g 0,0005 L,8 % B ar,40 g 0,07g Rechteck 0,000 L/g 0,000 L 0, % V,9988 L 0,003 L 0 Kann man den Wert verbessern? Mehr Messungen, mehr Sorgfalt? 57

58 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Bespel: Thermometerkalbrerung t X tnd, X tnd, S δtbad, X + t S Größe X Schätzwert Standardunscherhet u( ) Vertelung F.- grad ν Empf.- koeff. c Unscherhets -betrag c u Antele (c u / u c ) t nd, S 0,006 C 4,7 0-3 C Normal ,3 0-3 C 5,6 % t nd, X 9,860 C 4, C Normal 3 4, 0-3 C 5, % t S - 0,050 C,5 0-3 C T-Vertelt 50,5 0-3 C 48, % δt Bad, X 0,000 C, C Rechteck - -,6 0-3 C 4, % t X - 0,96 C 0,08 C 50 u ( y) c N ( c u( )) 58

59 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Was snd Korrelatonen m Snne des GUM? GUM 5. Korrelerte Engangsgrößen 5.. Glechungen (0) und... snd nur dann gültg, wenn de Engangsgrößen X unabhängg vonenander oder unkorrelert snd (de Zufallsgrößen, ncht de physkalschen Größen, de als Invaranten [unveränderlche Größen] angenommen werden, sehe 4.., Anmerkung ). Snd enge X sgnfkant korrelert, so müssen de Korrelatonen berückschtgt werden. 59

60 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Korrelerte Engangsgrößen: Typsche Ursachen für de Korrelaton der Zufallsgrößen zweer (oder mehrerer) Engangsgrößen: benutzen desselben Messgeräts benutzen desselben Normals benutzen desselben Referenzwerts benutzen derselben Energequelle Wel sch de Schwankungen ener Quelle auf mehrere (Engangs-) Größen auswrken, kommt es zur Korrelaton. 60

61 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Bespel: Bestmmung des Gesamtkohleverbrauchs Wenn de Gesamtmenge des (Kohle-) Verbrauchs ener Feuerungsanlage aus Enzelmessungen mt stets derselben Waage bestmmt wrd, snd de Enzelmessungen vonenander abhängg. Foto: Modellesenbahn Hamburg e.v. (MEHEV) Bespel: Wderstandsrehenschaltung vgl. GUM, 5.., Anmerkung Wrd ene Wderstandsrehenschaltung durch gleche Enzelwderstände realsert, de alle mt demselben Referenzwderstand kalbrert wurden, so wrkt sch de Unscherhet des Referenzwderstands auf alle Enzelwderstände und somt auch auf den Gesamtwderstand aus. 6

62 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Mathematsches Modell: Y f (X ) GUM 5.. kombnerte Varanz (GUM, Gl. 3): (Quadrat der kombnerten Standardunscherhet) N N N N N f f f f uc ( y) u(, j ) u ( ) + j j j + f j u(, j ) unkorrelerter Fall Mschterme mt Kovaranzen wobe und j de Schätzwerte der Größen X und X j snd, z.b. der Mttelwert aus wederholten Messungen oder Lteraturwerte und u(, j ) u( j, ), d.h. de Abhänggketen snd symmetrsch. 6

63 5 De Kovaranz berechnet sch nach (GUM, Gl. 7) für de Größen X und X j : n u ) )( ( ), ( Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 63 mt den n enzelnen Messwerten,k und j,k der zwe o.g. Größen. Be unabhänggen Zufallsgrößen haben Kovaranzen für j Werte glech oder nahe Null. k j k j k j n n u,, ) )( ( ) ( ), (

64 5 Der Grad der Korrelaton von und j wrd durch den Korrelatonskoeffzenten charaktersert: ) ( ) ( ), ( ), ( ), ( j j j j u u u r r engesetzt (n GUM, Gl. 3): ), ( + j r wobe Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 64 engesetzt (n GUM, Gl. 3): ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( j j N N N j j c r u u f f u f y u + + ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( j j N N j j N c r u u c c u c y u + + j j f c f c ; mt den Empfndlchketskoeffzenten

65 5 Im Sonderfall, dass zwe oder mehr Zufallsgrößen mt r + korrelert snd, we bespelswese be Verwendung desselben Messgerätes oder Normals, ergbt sch aus ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( j j N N N j j c r u u f f u f y u + + Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 65 für r + für r + bzw. ) ( ) ( ) ( N N c u c u f y u N N c u c u f y u ) ( ) ( ) (

66 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Andere Methoden der Bestmmung: Kovaranzen lassen sch auch epermentell ermtteln, z.b. durch Beobachten der zufällgen Schwankungen be Varaton von Umgebungsbedngungen, Schätzen der Korrelaton auf Grund vorhandener Kenntnsse und Erfahrungen. Welche Alternatven gbt es zum Rechnen mt Korrelatonen? man kann versuchen, den Enfluss zu elmneren durch en anderes Modell der Messung, ndem de Korrelaton durch ene egene zusätzlche Engangsgröße beschreben wrd; deses st bespelswese möglch, wenn der Temperaturenfluss auf mehrere Engangsgrößen berechenbar st, sehe GUM F

67 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Wenn de Gesamtmenge des (Kohle-) Verbrauchs ener Feuerungsanlage aus Enzelmessungen mt stets derselben Waage bestmmt wrd, snd de Enzelmessungen mtenander korrelert. Foto: Modellesenbahn Hamburg e.v. (MEHEV) Masse der Kohle je LKW: 5,0 t, geechte Fahrzeugwaage (Echfehlergrenze: ± %), Anzahl der Wägungen m Jahr: Da en geechtes Messgerät benutzt wrd, st von ener rechteckgen Wahrschenlchketsvertelung auszugehen, d.h. u() a / 3, mt a als halber absoluten Spanne. 67

68 5 Daraus ergbt sch: Masse der Kohle je Fahrzeug: 5,0 t, Anzahl der Wägungen pro Jahr: 5000 Gesamtmasse: 5000 t Echfehlergrenze je Wägung: 0,50 t (%) Standardunscherhet der Enzelwägung u(m ): 0,44 t (0,577 %) berechnete kombnerte Standardunscherhet u (m ) der Gesamtmasse m Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 68 berechnete kombnerte Standardunscherhet u c (m ges ) der Gesamtmasse m ges be Berückschtgung der Korrelaton: 7,7 t (0,577 %) ohne Berückschtgung der Korrelaton: 0, t (0,008 %) mt Korrelaton: ohne Korrelaton: N N c u c u f y u ) ( ) ( ) ( für r 0 für r + N N c u c u f y u ) ( ) ( ) (

69 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 5 Zusammenfassung (Korrelatonen): der Ausdruck Korrelaton bezeht sch auf de Abhänggket der Zufallsgrößen ncht auf de Messgrößen, Ursache snd unbekannten Schwankungen ener Quelle (Messgerät, Umwelt, ) wrken auf Engangsgrößen, Korrelatonen der Zufallsgrößen treten z.b. auf be Verwendung desselben Messgerätes, Normals oder Referenzwertes, aus gemessenen Werten kann der Korrelatonskoeffzent r bestmmt werden und de Messunscherhet relatv enfach berechnet werden, der Grad der Korrelaton muss gegebenenfalls geschätzt oder epermentell ermttelt werden. 69

70 Beschrebung der Messung Mathematsches Modell der Messung 3 Informatonen über de Engangsgrößen 4 Messunscherhet der Engangsgrößen 5 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 6 Berechnung der erweterten Messunscherhet 7 Angabe des Ergebnsses 70

71 Berechnung der erweterten Messunscherhet 6 GUM 6.. Obwohl sch u c (y) unversell zur Angabe enes Messergebnsses verwenden lässt, kann es erforderlch sen, de Unscherhet n Form enes Bereches um das Messergebns anzugeben, von dem erwartet werden kann, dass er enen großen Antel der Vertelung der Werte umfasst, de der gemessenen Größe snnvollerwese zugeordnet werden können. Bespele fnden sch n ndustrellen, kommerzellen und regulatorschen Berechen sowe dann, wenn Gesundhets- und Scherhetsaspekte zum Tragen kommen. GUM 6.. Jenes zusätzlche Maß der Unscherhet, das de Forderung erfüllt, enen Berech gemäß 6.. anzugeben, wrd erweterte Unscherhet U genannt. Man erhält se durch Multplkaton der kombnerten Standardunscherhet u c (y) mt dem Erweterungsfaktor k: U k u c (y) Das Ergebns ener Messung kann dann durch Y y ± U ausgedrückt werden. Dabe st y der beste Schätzwert des der Messgröße Y zugehörgen Wertes und y U bs y + U en Berech, von dem erwartet werden kann, dass er enen großen Antel der Werte umfasst, de man Y zuordnet. 7

72 Berechnung der erweterten Messunscherhet 6 Wert des Erwet terungsfaktor be Normalvertelung: -3u c -u c -u c +u c +u c +3u c Rechteckvertelung: Grad des Vertrauens p (n %) Erweterungsfaktor k p 57,74 95,65 99,7 00,73 7

73 Berechnung der erweterten Messunscherhet 6 Zentraler Grenzwertsatz (GUM G.) Wenn Y c X + c X cn X N c X und alle X normalvertelt snd, st de resulterende Faltungsvertelung von Y ebenfalls normal. N Selbst wenn de X ncht normalvertelt snd, lässt sch de Vertelung von Y auf Grund des zentralen Grenzwertsatzes häufg durch ene Normalvertelung annähern. Voraussetzung st, dass de X vonenander unabhängg snd und σ (Y) vel größer als de ncht-normalvertelten Enzelkomponenten c σ (X ). Bespel: Schon de Faltung von 3 rechteckvertelten Größen glecher Brete lässt sch annähernd durch ene Normalvertelung beschreben. 73

74 Berechnung der erweterten Messunscherhet 6 De t-vertelung und Frehetsgrade (GUM G.3) Wel n der Pras ncht de Erwartungswerte und Varanzen der En- und Ausgangsgrößen (X, Y) vorlegen, sondern nur deren Schätzwerte, erhält man ene bessere Näherung für den Erweterungsfaktor k p, wenn deser ncht aus der Normalvertelung, sondern aus der t-vertelung (oder Student-Vertelung) bestmmt wrd: U p k p u c ( y) t ( ν ) u ( y) p c wobe t p (ν) der Wert von t für ene bestmmte Anzahl von Frehetsgraden ν st. In Tabelle G. snd ausgewählte Werte angegeben. Für ν nähert sch de t-vertelung der Normalvertelung an. 74

75 Berechnung der erweterten Messunscherhet 6 75

76 Beschrebung der Messung Mathematsches Modell der Messung 3 Informatonen über de Engangsgrößen 4 Messunscherhet der Engangsgrößen 5 Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet 6 Berechnung der erweterten Messunscherhet 7 Angabe des Ergebnsses 76

77 Angabe der Ergebnsse 7 GUM 7..4 Es snd de erforderlchen Informatonen zur Dokumentaton enes Messergebnsses vom vorgesehenen Verwendungszweck abhängg, se sollte.r. so sen, dass - de Methoden, de zur Berechnung des Messergebnsses und sener Unscherhet aus epermentellen Beobachtungen und Engangsdaten angewandt wurden, beschreben snd; - alle Unscherhetskomponenten aufgelstet snd und hre Auswertung vollständg dokumentert st; - de Datenanalyse nachvollzehbar und be Bedarf ene unabhängge Neuauswertung möglch st; - alle be der Analyse und hren Quellen verwendeten Korrektonen und Konstanten angegeben snd. 77

78 Angabe der Ergebnsse 7 GUM 7..3 Be der Angabe enes Messergebnsses sollte man, wenn de erweterte Unscherhet U k u c (y) das Maß für de Unscherhet st: a) vollständg beschreben, we de Messgröße Y defnert st; b) das Messergebns n der Form Y y ± U angeben; c) de relatve erweterte Unscherhet U / y angeben und wenn y 0; d) den zur Ermttlung von U verwendeten Wert von k angeben (oder zur Erlechterung für den Nutzer des Messergebnsses sowohl k als auch u c (y)); e) den annähernden Grad des Vertrauens angeben, der dem Berech y ± U zugeordnet st, sowe de Methode sener Ermttlung; f) de n GUM 7..7 skzzerte Informaton angeben oder auf ene Publkaton verwesen, de dese Informaton enthält. 78

79 Angabe der Ergebnsse 7 GUM 7..6 (Rundungsregeln) De Zahlenwerte des Schätzwerts y und sener Standardunscherhet u c (y) oder erweterten Unscherhet U dürfen ncht mt ener übermäßgen Stellenanzahl angegeben werden. Es recht gewöhnlch aus, u c (y) und U [ ] auf höchstens zwe Stellen anzugeben, obwohl es n manchen Fällen notwendg sen kann, wetere Stellen bezubehalten, um be nachfolgenden Berechnungen Rundungsabwechungen zu vermeden. Werden Endergebnsse angegeben, kann es angebracht sen, Unscherheten aufzurunden, statt se auf de nächste Stelle zu runden. Korrelatonskoeffzenten snd auf dre Stellen genau anzugeben, wenn hre absoluten Werte nahe be Ens legen. DKD 3 Angabe der Messunscherhet bem Kalbreren 6.3 Der Zahlenwert der Messunscherhet st mt höchstens zwe sgnfkanten Stellen anzugeben. Der Zahlenwert des Messergebnsses st n der abschleßenden Angabe auf de letzte gültge Zffer m Wert der dem Messergebns begeordneten erweterten Messunscherhet zu runden. Für das Rundungsverfahren snd de üblchen Regeln für das Runden von Zahlen zu verwenden (nähere Angaben zum Runden fnden sch n ISO 3-0:99, Anhang B). Nmmt der Zahlenwert der Messunscherhet nfolge der Rundung jedoch um mehr als 5 % ab, st der aufgerundete Wert anzugeben. 79

80 Zusammenfassung (GUM) Beschrebung der Messung (Messmethode, relevante Größen) Mathematsches Modell der Messung (Ausgangsgröße Funkton der Engangsgrößen) Informatonen über de Engangsgrößen (Typ A oder B, korrelerte oder unkorrelerte Messunscherheten) Ermttlung der Standardmessunscherhet aller Engangsgrößen (aus den Messwerten, den Angaben des Kalbrerschens, der Lteratur, älteren Messungen, ) Berechnung des Ergebnsses und dessen Standardmessunscherhet (Berechnung der Ausgangsgröße mt kombnerter Standardmessunscherhet) Berechnung der erweterten Messunscherhet (Angabe des Intervalls, das mt ρ % Wahrschenlchket den wahren Wert enthält) Angabe des Ergebnsses (Messunscherhetsblanz, Möglchketen der Verrngerung der Messunscherhet) Nachdenken Rechnen nach GUM-Regeln Interpreteren 80

81 Ergänzung: Monte-Carlo-Methode Enschränkungen setens des GUM: Lneartät des Modells Annahmen über Vertelungen GUM S * *) GUM S: Evaluaton of measurement data Supplement to the "Gude to the epresson of uncertanty n measurement - Propagaton of dstrbutons usng a Monte Carlo method, JCGM 0:008 8

82 Ergänzung: Monte-Carlo-Methode Engangsgrößen X und deren Messunscherheten (Engangsgrößen und deren Standardabwechungen der Wahrschenlchketsdchtevertelung) Modell der Messung Ausgangsgröße Y und Messunscherhet (Ausgangsgröße Messgröße), u( ) y Schätzwert, u( ) Yf(X ) Unscherhetsfortpflanzung u(y) Kombnerte Standardmessunscherhet 3, u( 3 ) [y - ; y + ] Überdeckungsntervall GUM S GUM GUM S: Hstogramm der Vertelung 8

83 Ergänzung: Monte-Carlo-Methode PDFs der Enflussgrößen Modell der Auswertung PDF der Messgröße Methode: Transformaton von Zufallsvarablen Quelle: Gerd Wübbeler 83

84 Ergänzung: Monte-Carlo-Methode Zehungen Y X X X 3 Quelle: Gerd Wübbeler 84

85 Ergänzung: Monte-Carlo-Methode Modell Schätzwerte Unscherheten Y X + X u ( ) u( ) Gauss-Vertelungen (unkorrelert) Überdeckungsntervalle (95%) GUM GUM S Schätzwert.4.8 Unscherhet Resultate von GUM und GUM S können unterschedlch sen Quelle: Gerd Wübbeler GUM S m Zwefelsfall verbndlche MU Methode 85

86 Ergänzung: Monte-Carlo-Methode Modell R U / I Schätzwerte Unscherheten V und A 0.00 V, 0.00 A Rechteckvertelungen (unkorrelert) Überdeckungsntervalle (95%) Quelle: Gerd Wübbeler 86

87 Resümee Der GUM und dessen Ergänzungen sorgen für Transparenz und Verglechbarket der Messergebnsse. Der GUM bezeht auch de Unscherheten der Geräte, des Mess- verfahrens, der Korrekturen usw. mt n de Berechnung en. De (erweterte) Messunscherhet basert auf dem Grad des Vertrauens n de Messung, der fre wählbar st. De Regeln des GUM lassen sch n Software umgesetzten. 87

88 Velen Dank für Ihre Aufmerksamket! 88

89 und enen klenen Hnwes noch: Berechnung der Messunscherhet Empfehlungen für de Pras. und. März 04 PTB, Hörsaal m Hermann-von-Helmholtz-Bau, Abbestr., 0587 Berln ene gemensame Veranstaltung von DAkkS, PTB und BAM sehe auch: 89