Anzahl der möglichen Lastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit

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1 Prof. Dr.-Ig. Walter Pauli Dipl.-Ig. Ria Tautz Azahl der mögliche Lastombiatioe im rezzustad der Tragfähigeit am Beispiel leichug 6.10, DIN EN 1990:010-1 Darmstadt, Otober / 7

2 Prof. Dr.-Ig. Walter Pauli Dipl.-Ig. Ria Tautz Zusammefassug: Mit dem i de Euroorme eigeführte Teilsicherheitsozept wächst die Azahl der Lastombiatioe sehr schell mit der Azahl der zu utersuchede veräderliche Eiwiruge. Der Igeieur möchte wisse, wie viele Kombiatioe es tatsächlich gibt, um de Aufwad für eie Berechug abzuschätze zu öe. Am Beispiel der leichug 6.10 der DIN EN 1990:010-1 wird eie Formel hergeleitet, die zuverlässig die Azahl aller mögliche Kombiatioe wiedergibt. Die Allgemeigültigeit dieser Formel lässt sich mit Hilfe eier vollstädige Idutio achweise. Der Praxisbezug wird ahad vo Beispiele erläutert. 1 Azahl der Kombiatioe Mit der Eiführug der Euroorme, wird das Auffide der ugüstigste Lastombiatio für statische Nachweise ud besoders für aufwedige ichtlieare Berechuge zu eier viel disutierte, scheibar ulösbare Igeieuraufgabe [1], [] ud [3]. Das Haupt-Problem ist die schell awachsede Zahl der mögliche Eiwirugs-Kombiatioe. Selbst beim Eisatz geeigeter Software wird es ifolge der Fülle der afallede Date schell uwirtschaftlich ud wege der rasat asteigede Rechezeite pratisch umöglich systematisch alle mathematisch debare Kombiatioe zu utersuche. I der Praxis stellt der erfahree Igeieur eie überschaubare Azahl vo Last-Kombiatioe zusamme, die ihm für die Berechug sivoll erscheie ud vo dee er sich erhofft, dass die für de Nachweis maßgebede Kombiatio berücsichtigt ist. Allgemei ist der rezzustad der Tragfähigeit i der Form achzuweise, dass die Eiwiruge E d leier sid als die Tragwiderstäde R d. emäß der DIN EN 1990:010-1, leichug 6.10 sid für die Eiwiruge E d, die sich ach leichug (1) ergebede mögliche Kombiatioe zu utersuche. Für die außergewöhliche Lastsituatio oder im rezzustad der ebrauchstauglicheit gelte ähliche Zusammehäge, auf die aber a dieser Stelle icht äher eigegage wird. Zuächst soll die sich mit leichug (1) eistellede Kombiatori geauer betrachtet werde. E d (1),1,1 i1, i 0, i Die Azahl der mögliche Kombiatioe beim Auftrete vo mehrere voeiader uabhägige veräderliche Eiwiruge steigt sehr schell a. Hierzu wurde vo uast i [1] die folgede leichug () agegebe., i () dabei ist die Azahl der uabhägige veräderliche Eiwiruge I leichug () wird uterstellt, dass eie städige Eiwirug immer beteiligt ist ud dass die städige Eiwiruge zum eie ugüstig mit eiem Sicherheitsbeiwert sowie güstig mit eiem Sicherheitswert zu berücsichtige sid. Wie schell die Azahl der mögliche g, if Kombiatioe awächst lässt sich eidrucsvoll ahad Tabelle 1 eree. g, sub Tabelle 1: Azahl der mögliche Kombiatioe ach [1] Wie sich die Kombiatori im Eizele etwicelt wird ahad eies Beispiels i Tabelle erläutert. Dabei sid die Sicherheits- ud Kombiatiosbeiwerte wie folgt gewählt: g, sub 1.35 bzw. g, if 1. 0 für die städige Eiwiruge 1.5 mit 0. 6, 0. 7 ud 0. 5 für die veräderliche Eiwiruge q 0, Wid 0, 0, Schee / 7

3 Prof. Dr.-Ig. Walter Pauli Dipl.-Ig. Ria Tautz Tabelle : Mögliche Kombiatioe beim Auftrete mehrerer veräderlicher Eiwiruge Mögliche Kombiatioe beim Auftrete eier städige Eiwirug W eier städige ud eier veräderliche Eiwirug W W W... eier städige ud zwei veräderlicher Eiwiruge W W W W W W 10 W S eier städige ud drei veräderlicher Eiwiruge W S W W S W S S W S W S W S S W (ab hier alles och mal mit 1.0 ) 3 / 7

4 Prof. Dr.-Ig. Walter Pauli Dipl.-Ig. Ria Tautz Fortsetzug Tabelle W S H eier städige ud vier veräderlicher Eiwiruge W S H W W S W H W S H S W S S H H W H H S W S W H W S H W S W H S H S W S W H S H H W H W S H S W S H W S H S W H H W S (ab hier alle och mal mit 1.0 ) H W S 4 / 7

5 Prof. Dr.-Ig. Walter Pauli Dipl.-Ig. Ria Tautz eht ma, wie i de Sizze vo Tabelle agedeutet, vo eier Stützeberechug aus, ist zusätzlich eie ugewollte Imperfetio zu berücsichtige, die bei eier Kragstütze i Form eier Schiefstellug erfasst werde a. Bei eiem ebee Problem sid im Allgemeie zwei Variate der Schiefstellug möglich, ach lis bzw. ach rechts geeigt. Damit erhöht sich die Zahl der zu utersuchede Kombiatioe ochmals um de Fator zwei. Bei eiem räumliche Problem wird ma vier mögliche Richtuge der Schiefstellug i Richtug der Hauptachse sowie gegebeefalls zusätzlich vier Richtuge über Ec utersuche müsse. Damit ergibt sich die Zahl der Kombiatioe zu: ei (3) dabei ist: : die Azahl der uabhägige veräderliche Eiwiruge (z.b. W,, S) ea : Azahl der mögliche ugewollte Imperfetioe ei = 1 : es wird eie ugewollte Imperfetio berücsichtigt ei = : ebees System ei = 4 : räumliches System ei = 8 : Soderfall beim räumliche System es gilt ebefalls die Voraussetzug, dass die städige Eiwiruge mit,if = 1.0 ud,sub = 1.35 auftrete ud sich somit die Zahl der mögliche Kombiatioe verdoppelt Bei de bisherige Betrachtuge wurde ausschließlich voeiader uabhägige Eiwiruge heragezoge, die für sich betrachtet jeweils ur eie eizige Lastfall ethielte. Oft hat ma jedoch ierhalb eier Eiwirug zusätzliche uterschiedliche Laststelluge, die ebefalls zu ombiiere sid. Dazu zähle zum eie bedigte Eiwiruge, die beim Berücsichtige vo feldweise uterschiedliche Nutzlaste auftrete ud zum adere sich ausschließede Eiwiruge die beispielsweise bei der Eiwirug Wid als Widdruc ud als Widsog möglich sid. Damit wird diret die Azahl der Leiteiwiruge beeiflusst. Jede bedigte Eiwirug ud jede sich ausschließede Eiwirug verursache eie mögliche Leiteiwirug. Zusätzlich sid die Leiteiwiruge faultativ mit de zugehörige Kombiatiosbeiwerte zu erfasse. Das spiegelt sich i leichug (4) durch die Multipliatio mit der Produtsumme wieder ud der Fator vor der Klammer erfasst die bereits beschriebee Verdoppelug ifolge der städige Eiwiruge. 1 i 1, j i, j N, 1 i, j dabei ist Mit ud mit i1 ji, (4) die Azahl der mögliche Kombiatioe der städige Eiwiruge (im Zusammehag mit leichug 6.10 ist azusetze) die Azahl der uabhägige veräderliche Eiwiruge die Azahl der mögliche Kombiatioe je Eiwirug für bedigte Eiwiruge (z.b. feldweise Verehrslaste) 1 für sich ausschließede Eiwiruge (z.b. Wid) Azahl der Lastfälle ierhalb eier Eiwirug ist die Azahl der Kombiatioe ierhalb eier Eiwirug zu verstehe. Kombiatorisch ist dabei zu berücsichtige, dass bei eier veräderliche Eiwirug, diese gegebefalls omplett etfalle a. Damit ergibt sich zum Beispiel für eie typiche Widdruc/Widsog-Kombiatio zu drei. 5 / 7

6 Prof. Dr.-Ig. Walter Pauli Dipl.-Ig. Ria Tautz Für de Soderfall, dass mehrere Eiwiruge mit jeweils ur eiem möglich Lastfall 1 auftrete ist für alle 1 ud es lässt sich zeige, dass leichug (3) eie Soderform vo leichug (4) ist i1 i1 i1 1 i1, i, i ji 1 j1 1 ji, j mit,i ohe i j reduziert sich die Produtsumme auf ud die Produtsumme ergibt sich zu 1 die esamtsumme erfasst diese Ausdruc da I Abbildug 1 wird ahad eier Stütze, beasprucht mit vier uterschiedliche Eiwiruge, die Awedug vo leichug (4) gezeigt. 1 mal W s, W d, l,l S r,l Die Eiwirug Schee tritt i eier Laststellug auf, Wid als Druc bzw. Sog i zwei Laststelluge ud die Nutzlast a sowohl lis wie rechts oder lis ud rechts auftrete ud ist somit i drei Lastfälle möglich. Damit ergibt sich: 1 eie städige Eiwirug 3 drei veräderliche Eiwiruge Schee : Wid : 1: :, Schee, Wid Nutzlast : :, Nutzlast 4 = Azahl der städige Eiwiruge 1 ( 1) 3 4 (3 1) 4 (4 1) 3 94 Abbildug 1: Veräderliche Eiwiruge mit uterschiedliche Laststelluge Das i Tabelle ageführte Beispiel zeigt, dass bei eiem streg systematische Kombiiere die Zahl der Kombiatioe sehr schell awächst. Selbst eie EDV- mäßige Aufarbeitug stößt je ach Komplexität des zu führede Nachweises a ihre reze. az zu schweige davo, dass die erzielte Ergebisse irgedwa icht mehr zu überschaue sid ud die Beurteilug eier igeieurmäßige Plausibilität ahezu umöglich ist. Dass i viele Fälle die eie oder adere Kombiatio bereits im Vorfeld igeieurmäßig ausgeschlosse werde a steht außer Frage. So wird z. B. eie Eiwirug Wid zusamme mit eier ugewollte Imperfetio i der ugüstigste Auswirug gleichgerichtet auftrete. Diese Vorgehesweis, bereits per Ausschluss die Zahl der Kombiatioe zu reduziere, lässt sich jedoch für eiem allgemeie EDV-gerechte Algorithmus icht wirlich überehme. Ei Weg diese Problemati i de riff zu beomme stellt die i [3] vorgestellte Polytope Superpositio dar. 6 / 7

7 Prof. Dr.-Ig. Walter Pauli Dipl.-Ig. Ria Tautz Literatur [1] uast, Ulrich: Zur Kombiatio vo Eiwiruge ach Eurocode, Beto- ud Stahlbetobau 91 (1996), Heft [] Passvogel, Michael: Neues Verfahre zur Bestimmug der ugüstigste Lastfallombiatio i der lieare Stati, Bautechi 8 (005), Heft 5 [3] Tautz, Ria; Maly, Stefa; Katz, Casimir: Combiatio of Actios for all Established Europea Codes i Structural Egieerig with Polytop Superpositio, Proceedig of the Joit IABSE-fib Coferece Dubrovi / 7