Signaltheorie. Alfred Mertins

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1 Alfred Mertins Signaltheorie Grundlagen der Signalbeschreibung, Filterbänke, Wavelets, Zeit-Frequenz-Analyse, Parameter- und Signalschätzung 2., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 158 Abbildungen und 5 Tabellen STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER

2 Inhaltsverzeichnis 1 Signale und Signalräume Charakterisierung von Signalen Häufig verwendete Testsignale Signalräume Vektorräume *, 10 Ir3.2 Metrische Räume Normierte Räume Räume mit Skalarprodukt 15 2 Prinzipien der diskreten und integralen Signaltransformation Orthogonale Reihenentwicklungen Berechnung des Repräsentanten Orthogonale Projektion Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren Das Parseval'sche Theorem 23, Vollständige orthonormale Funktionensysteme Die Fourier-Reihenentwicklung Allgemeine Reihenentwicklungen Berechnung des Repräsentanten Orthogonale Projektion Orthogonale Projektion von N-Tupeln Integraltransformationen 33 3 Zeitkontinuierliche Signale und Systeme Beschreibung linearer zeitinvarianter Systeme im Zeitbereich Die Fourier-Transformation Definition Eigenschaften der Fourier-Transformation 45

3 VIII Inhaltsverzeichnis Symmetrien der Fourier-Transformation 52 «* Das Gibbs'sche Phänomen Energiedichte und Korrelation deterministischer Signale Energiedichte und Korrelation bei der Übertragung durch LTI- Systeme * Frequenzbereichsanalyse von LTI-Systemen Betrag, Phase und Gruppenlaufzeit Ideale und reale Filter Die Hilbert-Transformation Repräsentation von Bandpasssignalen 63 4 Diskrete Signale und Systeme Abtastung zeitkontinuierlicher Signale Die Impulsfolge und ihr Spektrum Die ideale Abtastung Eingangs-Ausgangs-Beziehungen diskreter LTI-Systeme Die zeitdiskrete Fourier-Transformation Korrelation und Energiedichte Die Z-Transformation Definition und Konvergenzeigenschaften Die inverse Z-Transformation Eigenschaften der Z-Transformation Analyse diskreter LTI-Systeme Null-und Polstellen von FIR-Filtern Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstertechnik 99, Pol- und Nullstellen von IIR-Filtern " Die Chirp-Z-Transformation Diskrete Blocktransformationen Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) Die schnelle Fourier-Transformation... x Radix- 2-Decimation- in- Time-FFT Radix-2-Decimation-in-Frequency-FFT Radix-4-FFT../ Split-Radix-FFT Weitere FFT-Algorithmen Die schnelle Faltung auf Basis der FFT Die diskrete Kosinustransformation Die diskrete Sinustransformation Hadamard- und Walsh-Hadamard-Transformation ^ 132

4 Inhaltsverzeichnis IX 6 Charakterisierung und Transformation zufälliger Prozesse Eigenschaften von Zufallsvariablen Zeitkontinuierliche Zufallsprozesse Korrelationsfunktionen und Stationarität Spektrale Leistungsdichte, Transformation stochastischer Prozesse durch lineare Systeme Stationäre Bandpassprozesse Die zeitkontinuierliche Karhunen-Loeve-Transformation Zeitdiskrete Zufallsprozesse Korrelation und Leistungsdichte Transformation zeitdiskreter Zufallsprozesse durch lineare Systeme Korrelationsmatrizen Schätzung von Autokorrelationsfolgen und Leistungsdichtespektren Die diskrete Karhunen-Loeve-Transformation Karhunen-Loeve-Transformation reellwertiger AR(1)-Prozesse Whitening-Transformation Independent Component Analysis Filterbänke Zwei-Kanal-Filterbänke Beziehungen zwischen Ein-und Ausgang Quadratur-Spiegel-Filter Perfekt rekonstruierende Zwei-Kanal-Filterbänke Polyphasendarstellung perfekt rekonstruierender Zwei-Kanal- Filterbänke Paraunitäre Zwei-Kanal-Filterbänke 178, Paraunitäre Filterbank in Lattice-Struktur Lifting-Strukturen Filterbänke in Baumstruktur... ^ 185 ' 7.3 Gleichförmige M-Kanal-Filterbänke.' x Filterung und Abtastratenumsetzung Beziehungen zwischen Ein- und Ausgang einer M-Kanal- Filterbank v Polyphasendarstellung Paraunitäre Filterbänke Entwurf kritisch abgetasteter FIR-Filterbänke DFT-Filterbänke Kosinus-modulierte Filterbänke Die modulierte überlappende Transformation 199

5 X Inhaltsverzeichnis Allgemeine kosinus-modulierte Filterbänke mit kritischer % Abtastung Überabgetastete kosinus-modulierte Filterbänke Pseudo-QMF-Bänke Überlappende orthogonale Transformationen Analyse von Filterbank-Eigenschaften Frame-Analyse Bifrequenzanalyse Eigenschaften von Zufallsprozessen in Multiratensystemen Bispektren stationärer und instationärer Prozesse Effekte der Abtastratenumsetzung Signalstatistik in gleichförmigen Filterbänken Teilbandzerlegung endlich langer Signale Teilbandcodierung von Bildern Transmultiplexer-Filterbänke Kurzzeit-Fourier-Transformation Transformation analoger Signale Definition..., Zeit-Frequenz-Auflösung, Die Unschärferelation Das Spektrqgramm Integrale Rücktransformation Diskrete Rücktransformation Transformation zeitdiskreter Signale.. ' Die schnelle Faltung mittels der STFT i' Spektrale Subtraktion auf Basis der STFT Die Wavelet-Transformation ( Die zeitkontinuierliche Wavelet-Transformation Wavelets für die Zeit-Skalen-Analyse / Integrale Rücktransformation Wavelet-Reihen...-\ Dyadische Abtastung \ Erhöhung der Frequenzauflösung durch die Aufteilung von Oktaven ' Die diskrete Wavelet-Transformation Das Konzept der Mehrfach-Auflösung Signalanalyse durch Multiraten-Filterung Wavelet-Synthese durch Multiraten-Filterung Konstruktion von Wavelets durch Vorgabe von Filterkoeffizienten Die allgemeine Vorgehensweise 263

6 Inhaltsverzeichnis XI Momente Regularität Wavelets mit endlicher Zeitdauer Wavelet-Familien '.! Biorthogonale linearphasige Wavelets Orthonormale Daubechies-Wavelets Coiflets Wavelet-Transformation zeitdiskreter Signale Der Ä-Trous-Algorithmus Zeitdiskretes Morlet-Wavelet Die Dual-Tree-Wavelet-Transformation Wavelet-basierte Bildkompression Spärliche Wavelet-Repräsentationen und ihre Anwendungen Erzeugung spärlicher Repräsentationen Wavelet-basierte Rauschreduktion Komprimierte Abtastung Zeit-Frequenz-Verteilungen Ambiguitätsfunktion Wigner-Verteilung "*, Definition und Eigenschaften Beispiele von Zeit-Frequenz-Verteilungen Kreuzterme und Kreuz-Wigner-Verteilungen Einfluss linearer Operationen Allgemeine Zeit-Frequenz-Verteilungen Verschiebungsinvariante Zeit-Frequenz-Verteilungen Beispiele verschiebungsinvarianter Zeit-Frequenz-Verteilungen Affin-invariante Zeit-Frequenz-Verteilungen Zeitdiskrete Berechnung von Zeit-Frequenz-Verteilungen / 10.4 Wigner-Ville-Spektrum.."f Parameter- und Signalschätzung Prinzipien der Parameterschätzung > Maximum-a-posteriori-Schätzung Maximum-Likelihood-Schätzung Schätzung mit minimalem quadratischen Fehler Eigenschaften von Schätzverfahren Lineare Parameterschätzung-.-.^ " Lineare erwartungstreue Schätzungen ' Lineare Schätzungen mit minimalem mittleren quadratischen Fehler (MMSE-Schätzer) Lineare Optimalfilter 342 1

7 XII Inhaltsverzeichnis Wiener-Filter ohne Einschränkung der Filterlänge 342. ^ Wiener-Filter mit endlicher Länge Lineare Prädiktion um einen Schritt Prädiktorentwurf auf Basis endlicher Datenmengen Mehrkanalige Optimalfilter Beschreibung der mehrkanaligen Filterung Das MINT-Theorem Mehrkanalige lineare Optimalfilter... ' Blinde Quellentrennung 364 Anhang 366 A.l Methoden zur Verarbeitung von N-Tupeln 366 A.l.l QR-Zerlegung 366 A.l.2 Die Moore-Penrose-Pseudoinverse 367 A.l.3 Der Nullraum 369 A.l.4 Householder-Transformationen 370 A.l.5 Givens-Rotationen 373 A.2 Multivariate Gaußprozesse 375 A.3 Korrespondenztabellen 377 Literaturverzeichnis 379 Sachverzeichnis 388