Aufgabensammlung zur Differentialgeometrie 1

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1 1 Euklid ische Räume Aufgbensmmlung zur Differentilgeometrie 1 SS 2009 Andres Kriegl 1. Zusmmensetzung von Spiegelungen. Zeige, dß die Zusmmensetzung von zwei Spiegelungen n Gerden im R 2 eine Drehung um den doppelten des zwischen den Gerden eingeschlossenen Winkels liefert. Hinweis: Es genügt (wrum?) ds Bild eines (geschickt gewählten) Vektors zu bestimmen. 2. Mtrixdrstellung einer Spiegelung. In der VO hben wir die Spiegelung n der Normlebene w für w = (w 1, w 2, w 3 ) S 2 durch R 3 v v 2 v w w R 3 beschrieben. Wie sieht ihre Mtrixdrstellung bzgl. der Stndrdbsis us. 3. Fluglge in Koordinten. Um eine Körper (lso z.b. ein Flugzeug oder einen Hängegleiter) in eine llgemeine Lge im Rum zu bringen, knn mn folgendermßen vorgehen: Zuerst drehen wir es um die Senkrechte in jene Richtung in welche es fliegt (Winkel ψ), dnn drehen wir es um sein Querchse um den Winkel (des Anstiegs) θ und dnch (flls es eine Kurve fliegt) um seine Längschse um einen Winkel ϕ und schließlich verschieben wir es noch vom Ursprung in die gewünschte Lge p R 3. Wie sieht die Mtrixdrstellung des lineren Teils dieser Bewegung us? Hinweis: Verfhre ähnlich wie bei den Eulerwinkeln. 4. Formel für Drehung im R 3. Finde eine Formel für die Drehung um die von w S 2 R 3 erzeugte Drehchse R w um den Winkel ϕ. Hinweis: Betrchte für jedes von w liner unbhängige v R 3 die orthogonl-bsis w, v w, v v w w und( verwende, dß) eine Drehung um den Winkel ϕ in der Ebene bzgl. jeder orthonormlcos ϕ sin ϕ Bsis E durch gegeben ist. sin ϕ cos ϕ 5. Konforme linere Abbildungen. Zeige, dß eine bijektive linere Abbildung f : E E des Euklid ischen Rums E genu dnn konform (d.h. winkelerhltend) ist, wenn ein λ > 0 existiert, s.d. f(x) f(y) = λ x y für lle x, y E gilt, lso 1 λ f eine Isometrie ist. Hinweis: ( ) Für v E definiere λ(v) > 0 durch f(v) 2 = λ(v) v 2. Sei (e 1,..., e n ) eine orthonorml-bsis. Dnn ist e i + e j e i e j und somit uch die Bilder unter f. Schließe drus λ(e i ) = λ(e j ). Schließe weiter, dß λ uf gnz E konstnt ist und verwende schließlich die Polrisierungsgleichung um die gewünschte Identität zu erhlten Kegelschnittlinien Ellipse x2 + y2 2 b 2 = 1, Hyperbel x2 2 y2 b 2 = 1 und Prbel y 2 = 2px Trochoiden (verlängerte und verkürzte Zykloiden): x = (t λ sin t), y = (1 λ cos t). Insbesondere die Zykloiden (λ = 1), explizit gegeben durch: x = rccos y y(2 y).

2 Zykloiden Die Epi- ( > 0) und Hypo- ( < 0) Zykloiden: x = (A + ) cos ϕ cos( A+ ϕ), y = (A + ) sin ϕ sin( A+ ϕ). Insbesondere die Astroide A = 4, explizit gegeben durch: x y 2 3 = Cssinische Kurven (x 2 + y 2 ) 2 2c 2 (x 2 y 2 ) = 4 c 4, bzw. in Polrdrstellung r 2 = c 2 cos 2ϕ ± c 4 cos 2 2ϕ + ( 4 c 4 ). Insbesondere die Lemniskte ( = c). und die logrith Spirlen Die Archimedische Spirle r = ϕ, die hyperbolische Spirle r = ϕ mische Spirle r = e kϕ Kettenlinie y = cosh x = 2 (e x + e x ) Trktrix oder Schleppkurve x = Arcosh y 2 y Krtesisches Bltt x = 3t 1+t, y = 3t2 3 1+t, oder implizit x 3 +y 3 = 3xy, oder in Polrkoordinten 3 r = 3 sin ϕ cos ϕ sin 3 ϕ+cos 3 ϕ Zissoide x = t2 1+t 2, y = t3 1+t 2, oder implizit y 2 ( x) = x 3, oder in Polrkoordinten r = sin2 ϕ cos ϕ Strophoide x = t2 1 t 2 +1, y = t t2 1 t 2 +1, oder implizit y 2 ( x) = x 2 cos 2ϕ ( + x), oder in Polrkoordinten r = cos ϕ Konchoide des Nikomedes x = + l cos ϕ, y = tn ϕ + l sin ϕ, oder implizit (x ) 2 (x 2 + y 2 ) l 2 x 2 = 0, oder in Polrkoordinten r = cos ϕ ± l Ebenso die Konchoide des Kreises (Psclsche Schnecke) x = cos 2 ϕ + l cos ϕ, y = cos ϕ sin ϕ + l sin ϕ, oder implizit (x 2 + y 2 x) 2 = l 2 (x 2 + y 2 ), oder in Polrkoordinten r = cos ϕ + l. Speziell die Krdioide (Herzkurve) ( = l). Sie ist uch eine Epizykloide für (A = ) Die Versier der Agnesi y = 3 2 +x 2. Ebenso die Neilsche (semikubische) Prbel: x = t 2, y = t 3, oder implizit y 2 = 2 x Beispiele von Bogenlängen. Versuche in mindestens 2 der in (72.3) (72.14) gegebenen Kurven die Bogenlängenfunktion zu berechnen und wenn möglich uch die Bogenlängenprmetrisierung zu bestimmen. 7. Krümmung in Polrkoordinten. Sei r : ϕ r(ϕ) die Polrkoordintendrstellung einer Kurve, d.h. ϕ (r(ϕ) cos(ϕ), r(ϕ) sin(ϕ)) ist eine Prmetrisierung, und sei r := dr dϕ. Zeige, dß die Bogenlänge gegeben ist durch ϕ 1 r(ϕ)2 ϕ 0 + r (ϕ) 2 dϕ und die Krümmung durch r2 +2(r ) 2 rr. (r 2 +(r ) 2 ) 3/2 8. Krümmung einer Kurve die ls Grph gegeben ist. Es sei eine Kurve durch den Grph einer Funktion f : R R beschrieben. Zeige, dß ihre Krümmung gegeben ist durch: f (x) 1 + f (x) 23

3 3 9. Krümmung für implizit gegebene Kurve. Es sei eine nch der Bogenlänge prmetrisierte Kurve t (x(t), y(t)) durch eine Gleichung f(x(t), y(t)) = 0 gegeben. Wähle eine Orientierung der Kurve und zeige, dß mit der Bezeichungsweise f x := f f xy := 2 f y x, etc. ihre Krümmung gegeben ist durch f xx f 2 y 2f xy f x f y + f yy f 2 x (f 2 x + f 2 y ) 3/2. x, 10. Beispiele zur Krümmung. Versuche für eine der in (72.3) (72.14) gegebenen Kurven die Krümmung und die Krümmungsmittelpunkte zu bestimmen. 11. Beispiele zur Krümmung. Bestimme die Evolute der Ellipse oder der Prbel. 12. Beispiele zur Krümmung. Bestimme die Evolute von der logrithmischen Spirle oder der Trktrix. 13. Evolute. Unter welchen Bedingungen n eine Bogenlängen-prmetrisierte Kurve c definiert die Evolute e c (s) := c(s) + 1 K(s) ν(s) wieder eine (geometrische) Kurve. Zeige, dß die Krümmung der Evolute gegeben ist durch K3 (s) K (s). 14. Involute. Unter welchen Bedingungen n eine Bogenlängen-prmetrisierte Kurve c definiert die Involute i c (s) := c(s) sτ(s) wieder eine (geometrische) Kurve. Zeige, dß die Krümmung der Involute gegeben ist durch sign(sk(s)) 1 s. 15. Chrkterisierung von Gerden. Zeige, eine Kurve im R n prmetrisiert genu dnn eine Gerde, wenn ihre Tngenten einen Punkt gemeinsm hben. Die folgenden Aufgben beziehen sich uf Kurven im R 3, die hinreichend regulär sind: 16. Krümmung und Torsion ls infinitesimle Winkeländerung. Sei c nch der Bogenlänge prmetrisiert. () Für den Winkel ϕ(s 1, s 2 ) von τ(s 1 ) nch τ(s 2 ) gilt: ϕ(s1,s2) s 2 s 1 K(s) für s 1, s 2 s, s 2 > s 1. (Hinweis: ϕ 2 sin ϕ 2 = τ(s 1) τ(s 2 ).) (b) Für den Winkel ϕ(s 1, s 2 ) von β(s 1 ) nch β(s 2 ) gilt: ϕ(s1,s2) s 2 s 1 T (s) für s 1, s 2 s, s 2 > s 1. (c) Wogegen konvergiert ϕ(s2,s1) s 1 s 2 ν(s 2 ) ist? für s 1, s 2 s, s 2 > s 1, wenn ϕ(s 1, s 2 ) der Winkel von ν(s 1 ) nch 17. Berührsphäre. Zeige, dß die Sphäre welche eine Kurve c bei s m besten pproximiert (c + 1 K ν + 1 T ( 1 K ) β)(s) ls Mittelpunkt M und R 2 = ( 1 K + ( 1 2 T ( 1 K ) ) 2 )(s) ls Rdius R ht (Hinweis: Versuche möglichst viele Ableitungen von g : t c(t) M 2 t der Stelle t = s zum Verschwinden zu bringen). 18. Helix. Zeige, dß folgende Aussgen für eine Kurve äquivlent sind:

4 4 1. τ schließt mit einem festen Vektor einen fixen Winkel ein. 2. β schließt mit einem festen Vektor einen fixen Winkel ein. 3. ν liegt immer in einer fixen Ebene durch K und T sind proportionl. 5. c läßt sich schreiben ls c(t) = c 0 (t) + tw, wobei w 0 ein fixer Vektor und c 0 eine nch der Bogenlänge prmetrisierte Kurve in der Ebene w ist. So eine Kurve c heißt Helix. Welcher Zusmmenhng besteht zwischen der Krümmung und Torsion von c und c 0. (Hinweis: K = T tn α τ cos α + β sin α ist konstnt). 19. Chrkterisierung von Helixen. Zeige: Eine nch der Bogenlänge prmetrisierte Kurve ist genu dnn eine Helix flls det(c, c, c ) = Konformität der stereogrphischen Projektion. Zeige, dß die stereogrphische Projektion S n R n winkelerhltend ist, d.h. ihre Ableitung n jeder Stelle konform ist. Hinweis: Zeige, dß die Umkehrbbildung h : R n S n konform ist. 20. Grph über Teilmnnigfltigkeit. Zeige, dß jede Teilmenge eines Euklidischen Rums, die lokl Grph über einer Teilmnnigfltigkeit ist, selbst eine Teilmnnigfltigkeit ist. Bechte: Wir hben dies bei den Grßmnnmnnigfltigkeiten in (11.9) verwendet. 20b. Ausgezeichnete Zylinderprojektionen der Sphäre. Bestimme jene Funktionen θ, welche eine Winkel- bzw. eine Flächen-erhltende Abbildungen des Zylinders uf die Sphäre liefern vermöge (ϕ, z) (ϕ, θ(z)) bzgl. der Koordinten us (11.2.2) und (11.4.2). Hinweis: Verwende, dß eine Abbildung Φ : R 2 R 3 Flächen-erhltend ist, wenn für jeden Punkt p des Definitionsbereichs die Bilder der Stndrdbsis unter Φ (p) ein Prllelogrmm der Fläche 1 erzeugen. 21. Qudriken. Es sei b : R n R n R biliner, symmetrisch und L(R n, R). Finde hinreichende Bedingungen, unter welchen die Qudrik M := {x R n : b(x, x) + (x) = 1} eine Mnnigfltigkeit der Dimension n 1 ist. Identifiziere Prboloid, Hyperboloid und Ellipsoid ls Spezilfll. 22. Flächen von beliebigen Geschlecht. Es sei f : R R C. Unter welchen Bedingungen n ε > 0 wird durch die Gleichung (f(x) + y 2 ) 2 ε (f(x) + y 2 ) + z 2 = 0 eine Mnnigfltigkeit beschrieben. Flls f ein Polynom mit 2g einfchen Nullstellen und positiven höchsten Koeffizienten ist und ε geeignet gewählt wird, dnn ist diese Mnnigfltigkeit eine orientierte Fläche vom Geschlecht g. Hinweis: Hinweise betrchte die Schnittkurven mit den zur y-z-ebene prllelen Ebenen für f(x) < 0 und für f(x) > 0.

5 5 23. Erweiterung der stereogrphischen Projektion. In (10.4) hben wir gezeigt und in (15.3) verwendet, dß sich lokle Prmetrisierungen zu loklen Diffeomorphismen erweitern lssen. Finde für die stereogrphische Projektion mit Pol p S n eine explizite Erweiterung zu einem Diffeomorphismus Φ : R n+1 \ {tp : t 0} p Rp. Hinweis: Wähle Φ so, dß Hlbstrhlen durch 0 uf Gerden norml zu p bgebildet werden. 24. Glttheit der Abbildung Bild. Zeige, dß T Bild(T ), L r (m.n) G(r, n) C ist. Hinweis: Beschreibe diese Abbildung lokl ls Zusmmensetzung L r (m, n) L r (r, n) V (r, n) G(r, n) wobei die erste (lokle!) Abbildung durch Einschränken uf eine geeignet gewählten r-dimensionlen Teilrum gegeben ist, die zweite Grm-Schmidt-Orthonormlisieren der Splten der Mtrix bedeutet und die letzte ds Bild nehmen us der VO ist. 25. Möbiusbnd, Teil 1. Es sei M := [ 1, 1] ( 1, 1)/, wobei die von s : ( 1, s) (1, s) erzeugte Äquivlenzreltion ist, und q : [ 1, 1] ( 1, 1) M die Quotientenbbildung (t, s) [(t, s)]. Weiters seien ϕ 0, ϕ 1 : ( 1, 1) ( 1, 1) R 2 gegeben durch { (t + 1, s) für t < 0 ϕ 0 (t, s) := (t, s) und ϕ 1 (t, s) := (t 1, s) für t 0 und ϕ i := q ϕ i. Zeige, dß {ϕ 0, ϕ 1 } ein C -Atls für M ist. 26. Möbiusbnd, Teil 2. Zeige dß die Abbildung f : R 2 R 3, (t, s) ( (1 + s cos( π 2 t)) cos(πt), ( 1 + s cos( π 2 t)) sin(πt), s sin( π 2 t) ) einen Diffeomorphismus f : [(t, s)] f(t, s) von M us Beispiel (25) mit der Teilmnnigfltigkeit Möb:= f(r ( 1, 1)) R 3 induziert. Hinweis: Verwende, dß f lokl eine Prmetrisierung von Möb ist und f(x) = f(y) x y für x, y [ 1, 1] ( 1, 1) gilt. 27. Kettenregel. Beweise für bstrkte Mnnigfltigleiten ds Lemm (20.4). Hinweis: Um T p f zu bestimmen evluiere diesen Ausdruck uf Der p (C (M, R), R) und ds Ergebnis uf h C (M, R), betrchte lso (T p f)( )(h). Für die Produktregel verwende den Isomorphismus Der p (C (R, R), R) = R, (id). 28. Tngentilrum der Grssmnnmnnigfltigkeit. Bestimme den Tngentilrum der Grssmnnmnnigfltigkeit G(k, n) im Punkte P : R k R n, x (x, 0). 29. Tngentilrum der Stiefelmnnigfltigkeit. Bestimme den Tngentilrum der Stiefelmnnigfltigkeit V (k, n) im Punkte A : R k R n, x (x, 0). 30. Pullbck-Bündel. Es sei q : Q N ein Fserbündel und f : M N eine gltte Abbildung zwischen Mnnigfltigkeiten. Definiere f Q := {(x, z) M Q : f(x) = q(z)}. Zeige, dß f q := pr 1 : f Q M ein Fserbündel ist, ds sogennnte Pullbck der Bündels q längs f. Flls q eine Vektorbündel ist, so gilt gleiches uch für f q : f Q M. Hinweis: Um f Q ls Mnnigfltigkeit und f q ls Fserbündel zu erkennen genügt es Bijektionen ϕ : U F f Q U so zu finden, dß die zugehörigen U eine offene Überdeckung von M bilden und die Krtenwechselbbildungen ψ 1 ϕ : (U W ) F (U W ) F gltt sind,

6 6 wobei ψ : W F f Q W uch so eine Bijektion bezeichnet. Aus Trivilsierungen V F Q V q : Q N konstruiere nun ssoziierte Trivilisierungen f 1 (V ) F f (Q) f 1 (V ). von 31. Inhltserhltende Prmetrisierungen. Zeige, dß jede Fläche M R 3 eine inhltbewhrende lokle Prmetrisierung besitzt. Hinweis: Versuche us einer gegebenen Prmetrisierung eine Reprmetrisierung zu erhlten, welche Flächen bewhrt, d.h. für welche E G F 2 = 1 ist. Zeige dzu, dß sich dieser Ausdruck mit dem Qudrt der Funktionldeterminnte des Prmeterwechsels trnsformiert. 32. Krümmungen der Miniml-Fläche von Enneper. Bestimme lle Krümmungen der durch (t, s) (t t 3 /3 + ts 2, s s 3 /3 + st 2, t 2 s 2 ) prmetrisierten Fläche von Enneper. 33. Krümmungen m Beispiel eines Grphens. Bestimme Guß- und mittlere Krümmung für die Fläche die ls Grph von (t, s) ts 2 gegeben ist. 34. Theorem von Jochimsthl. Es sei c eine Krümmungslinien einer Fläche die uch in einer zweiten Fläche liegt. Zeige dß diese genu dnn Krümmungslinie der zweiten Fläche ist, wenn der Winkel der beiden Flächen(-Normlen) längs c konstnt ist. Hinweis: Es seien ν 1 und ν 2 die Gußbbildungen der beiden Flächen M i und v i := ν i c. Dnn ist c genu dnn Krümmungslinie uf der Fläche M i, wenn v i = λ i c für eine Funktion λ i ist. Bechte weiters, dß c v 1 v Tngentilfläche. Die Prmetrisierung ϕ : (s, θ) c(θ) + s c (θ) einer Tngentilfläche erfüllt nicht die Bedingung c w. Wie sieht die nch (55.2) existierende Umprmetrisierung (mit c = 1 = w und c w ) us? 36. Hyperbolisches Prboloid. Zeige, dß ds hyperbolische Prboloid eine Regelfläche ber keine Torse ist. Hinweis: Verifiziere die in (55.3.4) ngegebene Prmetrisierung. 37. Einschlige Hyperboloid. Zeige, dß ds einschlige Hyperboloid eine Regelfläche ber keine Torse ist. Hinweis: Verifiziere die in (55.3.5) ngegebene Prmetrisierung. 38. Geodäten die zu minimlen Breitenkreis spirlen. Verwende die Prmetrisierung einer minimlen Drehfläche us (54.9) (mit r(s) 2 = s 2 + 1) und bestimme jenen Winkel mit dem eine Geodäte uf einem fix gegebenen Breitenkreis strten muß, dmit sie zum Breitenkreis mit minimlen Durchmesser spirlt. Gibt die Zeit n die benötigt wird um einen nderen Breitenkreis zu erreichen. Knnst Du uch die Änderung der Längengrde bis zu diesen Zeitpunkt bestimmen? Hinweis: Versuche mittels der Differentilgleichung us (57.5) t ls Funktion von s zu bestimmen. 39. Beispiele für Geodätengleichung. Bestimme für eine Prmetrisierung einer Fläche Deiner Whl mit K 0 die Christoffelsymbole erster und zweiter Art und schreibe die Geodätengleichung in diesen loklen Koordinten uf.