6.4 Extrema ohne Nebenbedingungen

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1 6.4 Etrem ohne Neenedingungen Reltive lokle Etrem Sei f : D R, D R n, eine Funktion. Wir sgen, dss f in D o ein reltives Mimum zw. reltives Minimum ht, wenn es eine Umgeung U von git, so dss f f gilt. zw. f f für lle U Unser Ziel ist es, notwendige Bedingungen für reltive Etrem einer differenzierren Funktion finden. Die Verllgemeinerung von erste Aleitung = ist: Die Funktion f : D R, D R n, sei stetig prtiell differenzierr. Besitzt f in D o ein reltives Etremum, dnn gilt: grdf = d.h. f = f = = f n =. Der Punkt heißt dnn ein sttionärer Punkt von f. Lokle Etrem von f sind lso unter den Lösungen der n Gleichungen in n Uneknnten f = f = = f n = zu finden er nicht jede Lösung ist wirklich ein lokles Etremum von f!. Beispiel 6. Die Firm MILK produziert zwei Sorten Schokolde, Vollmilch V Mthemtik I WiSe 5/6 666 Mthemtik I WiSe 5/6 667 und weiße Schokolde W. Die Kosten, um Vollmilch und y weiße Schokolden zu produzieren, sind in einer imginären Kkowährung Kko-Euros gemessen C, y =, 4 +,y +, y y + 5 prtiellen Aleitungen sind π = 5, 8,y 4 Wir nehmen n, MILK knn die weiße Schokolde für 9 Kko-Euros und die Vollmilchschokolde für 5 Kko-Euros verkufen. Wieviel Schokolde sollte MILK produzieren, um den Profit π zu mimieren? Die Profitfunktion ist π, y = 5 + 9y C, y. π y = 9,,y Die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems, 8, =,, y 7 Wenn wir ls Definitionsereich D = {, y :, y > } nnehmen, müssen wir lokle Etrem von π finden, lso zunächst einml sttionäre Punkte. Die ist =, y = 3. Mthemtik I WiSe 5/6 668 Mthemtik I WiSe 5/6 669 D dies der einzige sttionäre Punkt ist, muss er ein Mimum sein, denn für große Werte von und y wird die Profitfunkton π negtiv. Mn knn dies er noch nders egründen, indem mn folgendes Kriterium enutzt: Die Funktion f : D R, D R n, sei zweiml stetig prtiell differenzierr. Es sei D o ein sttionärer Punkt von f. Ist die Hesse-Mtri H f negtiv definit zw. positiv definit, so ht f in ein reltives Mimum zw. Minimum. Ist H f indefinit, so esitzt f in mit Sicherheit kein reltives Etremum. Ist D = D o und H f negtiv definit zw. positiv definit für lle D, so ist uch gloles Mimum zw. Minimum in D. Mit Hilfe unseres Determinntenkriteriums für Definitheit knn mn dies für den Fll n = wie folgt konkretisieren mchen Sie sich itte klr, dss dies unmittelr us der oigen llgemeinen Aussge folgt, vgl. R 3.. in Schwrze, Bnd : Die Funktion f : D R, D R, sei zweiml stetig prtiell differenzierr in D o, und es sei ein sttionärer Punkt von f. Gilt für die Determinnte der Hesse-Mtri in deth f = f f yy f y >, dnn esitzt f in ein reltives Etremum, und zwr ein Mimum, flls und ein Minimum, flls f <, f >. Mthemtik I WiSe 5/6 67 Mthemtik I WiSe 5/6 67 Gilt deth f <, so liegt kein Etremum vor. Bei deth f = ist keine Aussge möglich. Beispiel 6. In unserem Beispiel 6. ist die Hesse-Mtri, 8, H π = 3,, negtiv definit, wir hen lso ein Mimum! Beispiel 6. Wir untersuchen f,y = y + y + 3 y3 4y uf Etrem. Wir estimmen zunächst die sttionären Punkte und dzu die prtiellen Aleitungen: f = y + y, Setze eide prtiellen Aleitungen = : f y = + y + y 4 y + y = + y + y 4 = Einsetzen der ersten in die zweite Gleichung liefert 4 =, lso = ±. Für = gilt 4y + y =, lso y = oder y = 4. Für = ergit sich 4y + y =, lso y = oder y = 4. Es git lso vier sttionäre Punkte: =, = 4, 3 =, 4 = 4 Mthemtik I WiSe 5/6 67 Mthemtik I WiSe 5/6 673

2 Die Hesse-Mtri ist y + y H f = y + y + y lso 4 H f = kein Etremum, weil indefinit H f = Mimum, weil negtiv definit H f 3 = kein Etremum, weil indefinit H f 4 = Minimum, weil positiv definit 4 4 Die folgenden vier Bilder skizzieren diese vier Stellen, jeweils in einer kleinen Umgeung von i : y y Umgeungen von und Mthemtik I WiSe 5/6 674 Mthemtik I WiSe 5/ Etrem unter Neenedingungen Ziel: Bestimme Etrem der Funktion z = f,..., n unter den Neenedingungen y.5.. y Umgeungen von 3 und 4 Lssen sich die Bedingungen g,..., n = g,..., n =... g m,..., n = g j,..., n =, j =,,...,m, Mthemtik I WiSe 5/6 676 Mthemtik I WiSe 5/6 677 nch m der Vrilen uflösen, etw nch,..., m, dnn gilt: = ϕ m+, m+,..., n = ϕ m+, m+,..., n.... m = ϕ m m+, m+,..., n Einsetzen in f,,..., n liefert eine Funktion Φ m+, m+,..., n, deren Etrem dnn gesucht werden. Beispiel 6.3 Schwrze Bnd, 3.3. Ziel: Stelle quderförmige Blechschchteln Länge l, Breite und Höhe h vorgegeenen Gewichts G und größtem Volumen her. Ein cm Blech wiege Grmm. Wir erhlten so ds Prolem mimiere V l,,h = l h unter G = l + l h + h Wir lösen die Neenedingung nch l uf und erhlten Für G l = G h + h setzen wir A. Einsetzen in V liefert dnn V, h = A h + h h = Ah h + h Bechte dss V eine Funktion in den Vrilen und h ist. Die Vrile l hen wir eliminiert. Von dieser Funktion müssen wir nun ein Mimnum estimmen. Dzu estimmen Mthemtik I WiSe 5/6 678 Mthemtik I WiSe 5/6 679 wir die ersten prtiellen Aleitungen: V = h A h + h V h = A h h + h Wir müssen nun und h so estimmen, dss eide prtiellen Aleitungen sind. Ds wäre für = h = der FAll, ws er offensichtlich keine sinnvolle Lösung für unser Optimierungsprolem ist. Wir erhlten = ±h. Weil negtive Lösungen eenflls nicht sinnvoll sind, gilt A = h = 3. A Mn rechnet leicht nch, dss dnn uch l = 3. Unser Volumen ht lso für den Würfel einen Etremwert. Weil dies ds einzige Etremum ist, knn mn sich leicht klrmchen, dss es ein Mimum sein muss: Denn sicherlich muss ds Volumen irgendwo mimiert werden. Wenn dies nicht für den Würfel pssiert, müsste es j einen nderen sttionären Punkt geen, ws er nicht der Fll ist. Alterntiv können Sie uch die Hessemtri estimmen: H = h h +A h A+ +3h+h +h 3 +h 3 h A+ +3h+h +h 3 +A +h 3 Mthemtik I WiSe 5/6 68 Mthemtik I WiSe 5/6 68

3 Die Hessemtri H = h i,j ist negtiv definit für = h = A/3, denn Die λ j, j =,...,m, heißen Lgrnge-Multipliktoren. h, 3A = < 3 Ferner definieren wir die Jcoi-Mtri J der g i n der Stelle : deth = A 4 > Der Würfel mimiert lso in der Tt ds Volumen. In vielen Fällen ist es nicht möglich, die Gleichungsrestriktionen ufzulösen. Um uch diesen Fll zu ehndeln, definieren wir zunächst die Lgrnge-Funktion: L; λ = L,..., n ; λ,...,λ m = f,..., n + m λ j g j,..., n j= gj J g = k j=,...,m; k=,...,n Die Mtri J ist eine m n Mtri. Mn knn Sie ls Aleitung von g,...,g m n der Stelle R n uffssen. Wir erhlten folgende notwendige Bedingung für Etrempunkte: Mthemtik I WiSe 5/6 68 Mthemtik I WiSe 5/6 683 Seien f : D R und g j : D R, j =,,...,m, D R n, stetig prtiell differenzierre Funktionen. Die Funktion f he n der Stelle D o dem Innern von D ein reltives Etremum unter den Neenedingungen g j =, j =,...,m, und die Jcoi-Mtri J g he den Rng m. Dnn git es λ = λ,...,λ m R m, so dss für i =,...,n gilt: L i, λ = f i + m j= λ g j j =. i Bechte, dss die prtiellen Aleitungen L λ j = g j gerde die Gleichungsrestriktionen sind. Wenn wir lso die prtielle Aleitung der Lgrngefunktion L nch λ i gleich setzen, ist ds gleichedeutend dmit, g i gleich zu setzen. Wir können lso sgen, dss die Lgrnge-Funktion L, λ n der Stelle, λ einen sttionären Punkt ht. Um potentielle reltive Etrem für f in der oigen Sitution zu finden, werden lso n+m Gleichungen für die n+m Uneknnten,..., n, λ,...,λ m gelöst, um sttionäre Punkte der Lgrnge-Funktion zu finden. Beispiel 6.4 Wir wollen f,, 3, 4 = Mthemtik I WiSe 5/6 684 Mthemtik I WiSe 5/6 685 unter den Neenedingungen Die Lgrngefunktion ist + = = 4 minimieren. Die eiden Gleichungen g und g sind lso g = g = L,, 3, 4,λ,λ = λ + +λ Die Neenedingungen sind g =, g =. Um sttionäre Punkte zu finden, müssen wir die prtiellen Aleitungen ilden und Mthemtik I WiSe 5/6 686 Mthemtik I WiSe 5/6 687 diese setzen: Gleichungssystem L = λ L = λ λ L 3 = 3 λ L 4 = 4 λ L λ = L λ = mit der eindeutigen Lösung 3 4 λ λ = 4 Bechte dss die letzten eiden Gleichungen nichts nderes ls unsere Gleichungsrestriktionen g = und g = sind. Ds liefert ds inhomogene =, 4; =,6; 3 = 4 =, ; λ =, 8; λ =, 4 Mthemtik I WiSe 5/6 688 Mthemtik I WiSe 5/6 689

4 Die Jcoimtri ist unhängig von ht lso den Rng. J = Bevor wir nun zu hinreichenden Bedingungen kommen, ein Wort zu der Bedingung, dss die Jcoi-Mtri vollen Rng ht. Diese Bedingung wird eispielsweise in Schwrze unterschlgen: Beispiel 6.5 Wir etrchten ds Prolem minimiere unter 3 = 3 = Bechte, dss die Neenedingungen hier nur eine vornehme Art sind, 3 = uszudrücken. Wir hen lso ein Minimum n der Stelle = dem einzigen Punkt, der eide Gleichungsrestriktionen erfüllt. Die Lgrngefunktion lutet L,, λ, λ = + λ 3 λ + 3 An der Stelle =, = hen wir er keinen sttionären Punkt, weil In diesem Fll ht die Jcoi-Mtri L =. J g = Mthemtik I WiSe 5/6 69 Mthemtik I WiSe 5/6 69 nicht den Rng. Nun zu den hinreichenden Bedingungen: Ist,λ ein sttionärer Punkt der Lgrnge-Funktion, dnn etrchten wir die Hesse-Mtri von L nch den Vrilen,..., n für λ. Bezeichne diese Hesse-Mtri mit Ĥ: Ĥ L ; λ = L ; λ.... L n ; λ. L n ; λ L nn ; λ Hinreichende Bedingung Es seien f : D R und g j : D R, D R n, zweiml stetig prtiell differenzierre Funktionen. Die zugehörige Lgrnge-Funktion L; λ he n der Stelle ; λ, D o, einen sttionären Punkt. Ist Ĥ L ; λ positiv definit negtiv definit, so ist ein reltives Minimum Mimum unter den Neenedingungen g j = für j =,,...,m. Ist Ĥ L ; λ sogr positiv definit negtiv definit für lle D, so ist ein gloles Minimum Mimum unter den Neenedingungen g j = für j =,,...,m. Mthemtik I WiSe 5/6 69 Mthemtik I WiSe 5/6 693 Beispiel 6.6 In Beispiel 6.4 ist die Mtri Ĥ unhängig von und λ: Ĥ L = ist positiv definit, wir hen lso ein Minimum. unter den Restriktionen + y + z = y 3z = 4 estimmen. Die Lgrngefunktion L ist Beispiel 6.7 Wir wollen Etrem der Funktion f, y, z = + y + z L, y, z,λ, λ = + y + z + +λ y z + + +λ + y + 3z + 4 Mthemtik I WiSe 5/6 694 Mthemtik I WiSe 5/6 695 Die prtiellen Aleitungen sind L = λ λ L y = y λ + λ L z = z λ + 3λ L λ = y z + L λ = + y + 3z + 4 Alle diese Aleitungen sollen gleich Null sein. Die ersten eiden Gleichungen zeigen dnn λ = y, λ = y Mthemtik I WiSe 5/6 696 Wenn wir dies in die dritte Gleichung einsetzen ekommen wir y + z =. Diese Gleichung zusmmen mit den letzten eiden Gleichungen liefert ds inhomogene Gleichungssystem y = 3 z 4 mit der Lösung = 6 5, Die Multipliktoren sind y = 3, z = 5 λ = 5 75, λ = Mthemtik I WiSe 5/6 697

5 Die zugehörige Hessemtri Ĥ ist lso positiv definit. Deshl hen wir n der Stelle,y, z ein Minimum! Lgrngemultipliktoren hen eine wichtige ökonomische Interprettion. Wir erläutern dies n einem Beispiel mit nur einer Gleichungsrestriktion. Für den llgemeinen Fll verweisen wir uf die Litertur. Unser Ziel ist unter der Restriktion m f g = c. Angenommen, löst dieses Prolem. Dnn ist in der Regel eine Funktion hängig von c, z.b. c. Auch der zugehörige Lgrnge-Multipliktor λ ist eine Funktion von c, lso λc. Ds Optimum von f ist f c = f c, lso eine Funktion hängig von c. Unter geeigneten Annhmen uf die wir hier nicht eingehen knn mn zeigen df c = λc. dc Ds heisst, der Lgrngemultipliktor ist ein Mß, wie sich ds Mimum f c reltiv zu c ändert. Bezeichnet f etw den Profit, die Restriktion g = c die Verfügrkeit einer knppen Ressource, dnn ist λc ein Mß dfür, wie sich der Profit reltiv zu einer Änderung der knppen Ressource ändert. Mthemtik I WiSe 5/6 698 Mthemtik I WiSe 5/6 699 Wir erläutern dies n einem Beispiel: Beispiel 6.8 Die Firm AUD enutzt ls Input K Kpitl; dmit sind insesondere Mschinen gemeint und W Areit, um ein Auto zu produzieren. Um ein Auto zu produzieren müssen insgesmt Q = FK,W = K / W /4 Produktionsmittel eingesetzt werden; d.h. die Firm ht eine gewisse Freiheit, wieviel Kpitl und wieviel Areit sie einsetzt. Kpitl ist hier wertvoller ls Areit: Wenn Sie den Kpitleinstz verdoppeln, können Sie den Areitseinstz um den Fktor 4 verringern. Kpitl und Areit konkurrieren: Sowohl ds Kpitl kostet Geld Zinsen, Refinnzierung ls uch Areit ws jedem klr ist. Die Kosten fürs Kpitl seien r, die für Areit w. Wir erhlten ds Optimierungsprolem min rk + ww unter der Restriktion Die Lgrngefunktion ist Q = K / W /4. LK,W, λ = rk + ww + λk / W /4 Q. Prtielle Aleitung nch K und W sind L K = r λk / W /4 Beide prtiellen Aleitungen sollen sein, lso L W = w 4 λk / W 3/4 r = λk / W /4, w = 4 λk/ W 3/4 Mthemtik I WiSe 5/6 7 Mthemtik I WiSe 5/6 7 Auflösen nch λ git Einfche Umformungen liefern ls Lösung des Lgrngeprolems lso λ = rk / W /4 = 4wK / W 3/4 rk = 4wW, lso W = rk w. Wir setzen dies in die Restriktion Q = K / W /4 ein und erhlten K 3/4 = Q 4 w r Die Mtri Ĥ ist K = /3 r /3 w /3 Q 4/3 W = /3 r /3 w /3 Q 4/3 λ = 4/3 r /3 w /3 Q /3 C = 3 /3 r /3 w /3 Q 4/3 Ĥ = λ W /4 4 K 3/ 8 λ K / W 3/4 λ 3 λk / 8 K / W 3/4 6 W 3/4 Der,-Eintrg dieser Mtri ist offenr >. Die Determinnte erhält mn Mthemtik I WiSe 5/6 7 Mthemtik I WiSe 5/6 73 nch einigem Rechnen ls Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vrilen detĥ = 3 λ KL 3/ sie ist lso uch > und somit ist die Mtri positiv definit, wir hen lso ein Minimum. Mn rechnet leicht nch, ds dc dq = 4/3 r /3 w /3 Q /3 = λ. In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unestimmte Integrl Stmmfunktion Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierre Funktion F : I R heißt eine Stmmfunktion von f, flls gilt: F = f. Die Funktion f heißt dnn integrierr. Mthemtik I WiSe 5/6 74 Mthemtik I WiSe 5/6 75

6 Beispiel 7.i Sei f : R R gegeen durch f = n, n N. Dnn ist F : R R mit F = n + n+ eine Stmmfunktion von f. ii Sei f : R R gegeen durch f = Dnn ist F : R R gegeen durch F = eine Stmmfunktion von f. Aer uch G : R R mit G = ist eine Stmmfunktion von f. Achtung: Nicht jede Funktion esitzt eine Stmmfunktion. Ist F eine Stmmfunktion von f, so ist uch F+c eine Stmmfunktion von f c ist hier eine Konstnte. Weitere Stmmfunktionen git es nicht, wie der folgende Stz zeigt: Stz 7. Sei f : I R eine reelle Funktion. Sind F,G Stmmfunktionen von f, dnn git es eine Konstnte c R mit G = F + c für lle I. Mit F ist uch jede Funktion F + c eine Stmmfunktion von f. Es gilt lso: Ht die Funktion f eine Stmmfunktion F, dnn ist die Menge {F + c c R} die Menge ller Stmmfunktionen von f. Der Begriff unestimmtes Integrl edeutet nichts nderes ls Stmmfunktion : Mthemtik I WiSe 5/6 76 Mthemtik I WiSe 5/6 77 Unestimmtes Integrl Sei f : I R eine reelle Funktion, die eine Stmmfunktion F esitzt. Dnn ezeichnet ds Symol f d eine elieige Stmmfunktion von f, und es wird unestimmtes Integrl der Funktion f gennnt. Sprechweise: Integrl von f d. Mnchml wird uch f d = F + c, geschrieen, woei c R eine elieige Konstnte ist. Ds unestimmte Integrl ist lso nicht eindeutig estimmt, sondern nur is uf eine dditive Konstnte. Mthemtik I WiSe 5/6 78 Es gilt lso nch Definition für jede differenzierre Funktion F: F d = F + c. Beispiel 7. Es soll eine Funktion s zur Berechnung der Einkommensteuer mit den folgenden Eigenschften gefunden werden: i s : R R ist stetig. ii Ds Eistenzminimum ist steuerfrei: s = für [,]. iii Der Grenzsteuerstz steigt liner is zu einer gegeenen Einkommensgrenze: s = + für [, ]. Mthemtik I WiSe 5/6 79 iv Der Grenzsteuerstz ist für große Einkommen konstnt: s =.65 für. üer den Grenzsteuerstz: s =.65 d =.65 + c Den Steuerstz für [, ] erhlten wir ls unestimmtes Integrl üer den Grenzsteuerstz: s = + d = c Aus der Stetigkeit von s n der Stelle = folgt, dss die Konstnte ls c = 75 zu wählen ist. Insesondere ist dnn s = 45. Den Steuerstz für erhlten wir eenso ls unestimmtes Integrl Aus der Stetigkeit von s n der Stelle = folgt, dss die Konstnte ls c = 3675 zu wählen ist. Die gesuchte Steuerfunktion s ht lso die Form für [, ] s = für [, ] für Wir hen erwähnt siehe Seite 76, dss nicht jede Funktion eine Stmmfunktion Mthemtik I WiSe 5/6 7 Mthemtik I WiSe 5/6 7 hen muss. Es gilt er: Stz 7. Ist f : I R stetig, dnn esitzt f eine Stmmfunktion f D f d D viele der von uns untersuchten Funktionen stetig sind, hen sie Stmmfunktionen. Wir listen im folgenden einige uf, woei wir stets uf die Ange der Konstnte c verzichten. D ezeichnet den Definitionsereich. n R n + n+ n N α R + α + α+ α R, α R \ {} ln e α R α eα α R, α R ln >, Mthemtik I WiSe 5/6 7 Mthemtik I WiSe 5/6 73

7 f D f d sin R cos cos R sin tn R \ {k + π, k Z} ln cos cot R \ {kπ, k Z} ln sin cos R \ {k + π, k Z} tn sin R \ {kπ, k Z} cot f D fd, rcsin, rccos + R rctn + R rccot Aus der Umkehrung von Differenzitionsregeln ergeen sich nun Integrtionsregeln, zum Beispiel Mthemtik I WiSe 5/6 74 Mthemtik I WiSe 5/6 75 Hen f, g : I R Stmmfunktionen, dnn gilt: λ f d = λ f d, für lle λ R f ± g d = f d ± g d. Grundsätzlich knn mn sgen, dss die Integrtion schwieriger ist ls die Differenzition, die mn doch sehr nch Kochrezept durchführen knn. Wir geen hier die wichtigen Regeln der prtiellen Integrtion, der Integrtion durch Sustitution sowie die Integrtion rtionler Funktionen n jeweils mit Beispielen. Es sei er firerweise zugegeen, dss mn heutzutge zum Integrieren fst immer Computerlgersysteme CAS enutzt. Wichtiger, ls perfekte Integrierer zu werden, ist es zu verstehen, ws ds unestimmte Integrl ist nämlich eine Stmmfunktion, und dss es viele Stmmfunktionen git, die sich er lle nur durch eine dditive Konstnte unterscheiden. Wenn Ihnen ds klr ist, dürfen Sie eim Integrieren ruhig dem Computer vertruen. Prtielle Integrtion. Seien f, g : I R differenzierre Funktionen. Dnn gilt f g d = f g f g d. Beispiel 7.3 Gesucht ist lnd. Setze f = ln und g =. Dnn ist g =, und mit prtieller Mthemtik I WiSe 5/6 76 Mthemtik I WiSe 5/6 77 Integrtion folgt: lnd = f g d = f g f g d Dieses Beispiel läßt sich verllgemeinern, um eine Stmmfunktion zu ln n für n N zu erechnen. Wir geen hier nur ds Ergenis n: = ln d = ln d ln n d = n+ ln + c. n + n + = ln + c = ln + c, woei c R, wie immer, eine elieige Konstnte ist. Beispiel 7.4 Gesucht ist e sind. Seien f = sin und g = e, lso g = e. Es folgt Mthemtik I WiSe 5/6 78 Mthemtik I WiSe 5/6 79 Anlog erhlten wir e sin d = f g d = f g f g d = e sin e cosd. Somit ist Also und somit e sind = e sin e cosd = e sin e cos + e sind = e sin e cos e sind. e sind = e sin e cos + c e sind = e sin cos + c. e cosd = e cos + e sind. Integrtion durch Sustitution Es hndelt sich hier um die Umkehrung der Kettenregel: Mthemtik I WiSe 5/6 7 Mthemtik I WiSe 5/6 7

8 Sei f : I R eine stetige Funktion mit Stmmfunktion F : I R. Sei g : D I eine differenzierre Funktion uf dem Intervll D. Dnn gilt f g g d = Fg + c, woei c R eine elieige Konstnte ist. Beispiel 7.5 Sei f : I R eine stetige Funktion mit Stmmfunktion F, D ein Intervll und g : D I differenzierr. Dnn knn mn mit der oigen Sustitutionsregel die folgenden unestimmten Integrle estimmen die Konstnte c ist wieder weggelssen: i f + d = F +,, R,. ii iii iv g n g d = n + gn+, n N. g d = ln g. g g g n d = n g n, n N, n. v g e g d = e g. Beispiel 7.6 i Gesucht ist 3 d. Mthemtik I WiSe 5/6 7 Mthemtik I WiSe 5/6 73 Sei g = 3, dnn ist g = 3 und dher 3 d = g 3 g d = g 3 g d Sei f = e und g =, lso g = und F = e. Dnn ist e d = fg g d = Fg = e + c = 3 ln g + c ii Gesucht ist e d. = ln 3 + c 3 = ln c. Integrtion rtionler Funktionen Rtionle Funktionen lssen sich mit Hilfe der Prtilruchzerlegung immer so umformen, dss sich eine Stmmfunktion mit den is jetzt ereitgestellten Verfhren ermitteln läßt. Wir etrchten lso eine rtionle Funktion f von der Form f = P Q mit Polynomen P, Q, woei grdp < grdq gelte. Es Mthemtik I WiSe 5/6 74 Mthemtik I WiSe 5/6 75 sei hier der Fll etrchtet, dss ds Nennerpolynom grdq reelle Nullstellen ht, lso Q = m k m k mit verschiedenen,..., k R. Dnn ht die Prtilruchzerlegung die Form vgl. Seite 37 Für j ist j d = j j + c P k Q = m i i= j= c ij i j mit c ij R. Also treten ls Summnden rechts nur Ausdrücke der Form mit j N uf. Für j = ist d = ln + c j Wir illustrieren dies n einem Beispiel: Beispiel 7.7 Sei f = Wir wollen f d estimmen D ds Nennerpolynom einen kleineren Grd ls ds Zählerpolynom ht, führen wir zunächst eine Division mit Rest durch; dies liefert: f = = Ds Nennerpolynom ht = ls Nullstelle mit Vielfchheit m = und = ls Nullstelle mit Vielfchheit m =. Also ist der Anstz für die Mthemtik I WiSe 5/6 76 Mthemtik I WiSe 5/6 77 Prtilruchzerlegung = = c + c + c + Nch Multipliktion mit dem Nennerpolynom Q und Koeffizientenvergleich erhlten wir die Gleichungen = c + c, 3 = c + c c, 4 = c + c + c. Als Lösungen ergeen sich drus: Dmit erhlten wir für ds gesuchte Integrl f d = = d d = = + 9 ln = ln 9 + c + d ln + + c c = 9, c = 7 3, c = 9. Mthemtik I WiSe 5/6 78 Mthemtik I WiSe 5/6 79

9 7. Ds estimmte Integrl Sei f : [, ] R eine uf [, ] definierte Funktion. Wenn F : [,] R eine Stmmfunktion ist, d.h. F = f für lle,, dnn heißt fd = F F ds estimmte Integrl von f üer dem Intervll [, ]. Weiter heißt die Integrtionsvrile, f der Integrnd, und, heißen untere und oere Integrtionsgrenzen. Wir sgen, die Funktion ist uf dem Intervll [, ] integrierr. Ist f uf [,] und uf [,c] integrierr, so nennen wir f uch uf [,c] integrierr mit Mthemtik I WiSe 5/6 73 c c Mthemtik I WiSe 5/6 73 fd = fd + fd In diesem Fll muss die Funktion f uf [,c] keine Wrnung: Diese Definition stimmt nicht mit der in vielen Mthemtiküchern gegeenen Definition der Riemnn-Integrierrkeit üerein. Für lle in der Ökonomie uftretenden Funktionen, insesondere für lle stetigen Funktionen, stimmt unsere Definition er mit der Definition der Riemnn-Integrierrkeit üerein. Die nschliche Bedeutung des Integrls ist die einer Fläche. Wir nehmen f für lle [,] n. Gesucht ist der Inhlt der Fläche, die durch den Grphen der Funktion und die -Achse egrenzt wird. Wir enutzen im folgenden für F F uch die Bezeichnung F y Mn knn zeigen, dß dieser Flächeninhlt für stetige Aildungen f mit f für lle [, ] genu fd = F F ist. Gilt f für lle [,], dnn ist ds Integrl fd und der negtive Wert des Integrls ist der Flächeninhlt. Ist f in einigen Bereichen negtiv, so werden die entsprechenden Bereiche im f Mthemtik I WiSe 5/6 73 Mthemtik I WiSe 5/6 733 Integrl negtiv gewichtet. nur drum, Stmmfunktionen zu estimmen. Beispiel 7.8 i d = = ii 3 t + t dt = lnt + t 3 = 5 + ln 3, Ds Integrl ist lso die Summe der Flächeninhlte oerhl der -Achse minus den Flächeninhlten unterhl der -Achse. Die Berechnung des estimmten Integrls ist in llen uns interessierenden Fällen im Prinzip nicht schwieriger ls die Berechnung unestimmter Integrle: Es geht iii Sei f = ln. Dnn ist F = ln eine Stmmfunktion von f. Also ist lnd = F = F F = ln, 4. Mthemtik I WiSe 5/6 734 Mthemtik I WiSe 5/6 735 iv Sei f =. Dnn ist e d = ln e = lne ln =. In der folgenden Skizze sind die Grphen dieser Funktionen gezeichnet in der Reihenfolge i, ii, iii, iv, v, vi von links oen nch rechts unten. Mchen Sie sich in jedem Fll itte klr, welchen Flächeninhlten ds Integrl entspricht. v Sei f = sin, dnn ist 4 π fd = cos π = y vi Sei f = cos, dnn ist.4 3π/ f d = sin 3π/ = t t Mthemtik I WiSe 5/6 736 Mthemtik I WiSe 5/6 737

10 y.8.4 y t t Eigenschften estimmter Integrle Sei f : [, ] R eine integrierre Funktion. f d =. Ist >, dnn setzen wir fd = f d Für lle c R gilt: c fd + fd = c fd. Mthemtik I WiSe 5/6 738 Mthemtik I WiSe 5/6 739 Sei g : [, ] R eine weitere integrierre Funktion. Ist g f für lle [,], dnn gilt Es ist nicht gnz einfch, sich die Bedeutung des Integrls klrzumchen, wenn es nicht um eine Flächenerechnung geht. Es geht vielleicht so: Sie erechnen zu einem Zeitpunkt t = einen Funktionswert F. Ds knn z.b. die Anzhl Areiter sein, die ein Betrie eschäftigt, er uch die Menge des in einem Lger vorrätigen Erdöls. Wenn Sie nun zu jedem Zeitpunkt t [, ] wissen, wie sich F ändert, wenn Sie lso F t kennen, dnn knn mn sich frgen, ws denn F ist. Wir nennen F t = ft. Anschulich ist klr, dss mn F estimmen knn, denn F ist j eknnt und die Änderungen sind uch eknnt! Mthemtisch ist dies im wesentlichen ds Integrl, denn F F = ft dt. Ds estimmte Integrl uf dem Intervll [, ] der Grenzfunktion Aleitung einer Funktion F ist die Differenz F F. Beispiel 7.9 Die momentne Nchfrge nch einem Gut werde durch die Funktion ft = eschrieen. Die momentne Nchfrge ist die + t Grenzfunktion der Gesmtnchfrgefunktion. Die Gesmtnchfrge FT für einen Zeitrum [, T] ist gegeen durch Ft = T T ftdt = + t dt Um diese Gesmtnchfrge zu erechnen, estimmen wir zunächst eine Stmmfunktion von f. Mit gt = + t erhlten wir: T T g t dt = dt = + t gt gt + c Mthemtik I WiSe 5/6 74 Mthemtik I WiSe 5/6 74 Also ist T dt = + t T + t = T + T Sind in einem Lger zunächst < Stücke des Gutes vorhnden, so ist ds Lger leer zum Zeitpunkt T mit 7.3 Uneigentliche Integrle = T T +, d.h. zum Zeitpunkt T = Ist eine der Integrtionsgrenzen unendlich oder ist die zu integrierende Funktion n den Integrtionsgrenzen uneschränkt, dnn sprechen wir von uneigentlichen Integrlen. Drei Fälle sind zu unterscheiden: Mthemtik I WiSe 5/6 74 Mthemtik I WiSe 5/6 743 Uneigentliche Integrle I Sei f : [, R eine stetige Funktion. Flls der Grenzwert lim R R f d eistiert, so schreien wir dfür f d = lim R R f d. Beispiel 7. Gesucht ist, flls eistent, d. Es ist R d = R = R. Anlog wird ds Integrl fd für eine Funktion f :,] R definiert. Also erhlten wir d =. Mthemtik I WiSe 5/6 744 Mthemtik I WiSe 5/6 745

11 Uneigentliche Integrle II Sei f :,] R eine stetige Funktion. Flls der Grenzwert lim f d ǫց +ǫ eistiert, dnn schreien wir dfür f d = lim f d. ǫց +ǫ Anlog wird ds Integrl fd für eine Funktion f : [, R definiert. Beispiel 7. Gesucht ist, flls eistent, Also erhlten wir ǫ d. Es ist d = = ǫ. ǫ d =. Mthemtik I WiSe 5/6 746 Mthemtik I WiSe 5/6 747 Uneigentliche Integrle III Seien, R {± }, <, und sei f :, R eine stetige Funktion. Sei nun c,. Flls die eiden Grenzwerte Beispiel 7. Wir estimmen d c lim αց α f d und eistieren, dnn schreien wir f d = lim αց c α β lim βր c f d + lim βր f d β c f d. Es ist lim αց α d + lim β βր d = lim αց rcsin rcsinα + lim βր rcsinβ rcsin = lim αց rcsinα + lim βր rcsinβ = π + π = π. Mthemtik I WiSe 5/6 748 Mthemtik I WiSe 5/6 749