Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen mit Beispielen 9 F) Aufgben Log.fkt. mit Musterlösungen 0 A) Vorbemerkungen Eponentil- und Logrithmusfunktionen werden vor llem verwendet um Wchstumsprozesse beschreiben zu können. In der Theorie werden Grundufgben mit Musterlösungen ngegeben. Zudem wird gezeigt, unter welchen Bedingungen sich die Grundfunktion f ( ) bzw. f ( ) log verändert. Siehe uch Repetitionsufgben Tetufgben zu Potenz-,Eponentilund Logrithmusgleichungen. Asymptote: Ist eine Kurve, n der sich der Grph nschmiegt. Die Entdeckungen gelten uch für lle nderen Funktionen. B) Lernziele Die Funktionsgleichung einer Eponentilfunktion kennen Die Funktionsgleichung einer Logrithmusfunktion kennen Die Funktionsgleichung unter bestimmten Bedingungen herleiten können Die Funktionsgleichung eines Grphen us der Skizze bestimmen können Erklären können ws die einzelnen Prmeter in der Funktionsgleichung ussgen Die Funktionsgleichung einem Grphen zuordnen können Verstehen, dss die Eponentil- und Logrithmusfunktion Umkehrfunktionen sind Die Umkehrfunktion bestimmen können Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite von 2 KS Musegg
C) Eponentilfunktionen mit Beispielen Bei lineren Funktionen und Polynomfunktionen tritt die Vrible ls Bsis uf. Sobld sie jedoch ls Eponent erscheint, hndelt es sich um eine Eponentilfunktion. f ( ) b c wobei b > oder 0< b < und, c. ( 0) Grundfunktion: f ( ) b Spezielle Eponentilfunktion: f ( ) e Ws bedeuten die einzelnen Prmeter, b, c? Eigenschften der Eponentilfunktion f ( ) b Für b >: Die Funktionen sind streng monoton wchsend Für 0< b <: Die Funktionen sind streng monoton fllend Alle Funktionen verlufen durch den Punkt P(0/). Spiegelt mn den Grphen von f ( ) b n der y-achse, so erhält mn den Grphen von g( ) b b Die -Achse ist eine Asymptote. f ( ) b sgt etws us über die Streckung bzw. Stuchung des Grphen. Beispiele: = 2: Grph verläuft durch den Punkt P(0/2) = 3: Grph verläuft durch den Punkt P(0/3) ist der Streckfktor in Richtung der y- Achse. Der Grph verläuft durch den Punkt P(0/) Flls negtiv: Spiegelung n der -Achse. Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite 2 von 2 KS Musegg
f ( ) b c c sgt etws über die Verschiebung entlng der y-achse us. Beispiele: Wenn c = +2: Grph zwei nch oben verschoben. Wenn c = 2: Grph zwei nch unten verschoben. Die Asymptote verschiebt sich um c Einheiten. Ws pssiert, wenn ich bei etws verändere? Wenn mn bei etws ändert, knn mn dies ls Verschiebung entlng der - Achse nschuen oder ls Streckung bzw. Stuchung. Beispiele: +2: Verschiebung um 2 Einheiten nch links. 2: Verschiebung um 2 Einheiten nch rechts. Also Achtung: Bei + nch links, bei minus nch rechts. 2 2 2 2 2, deshlb knn mn dies uch ls Streckung sehen. - ist eine Spiegelung n der y-achse. Angewndtes Beispiel Eine Bkterienkultur wächst stündlich um 80%. Zu Beginn der Beobchtung wurden 50 Millionen Bkterien gezählt. Die Anzhl der Bkterien (in Millionen) nch n Stunden lässt sich mit Bn ( ) 50.8 n beschreiben. Zeit (in Std.) 0 2 3 4 Bestnd (in Mio.) 50 90 62 292 525 Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite 3 von 2 KS Musegg
Grundufgben Beispiel Skizzieren Sie die Funktionen f( ) 2 und h( ) e. Beispiel 2 3 Zeichnen Sie die Funktion f mit f( ) 3. Überlegen Sie dzu durch welche Folge von Abbildungen sie us einer möglichst einfchen Grundkurve entstnden ist. Berechnen Sie dnn vier geeignete Kurvenpunkte für den Grphen und berechnen Sie die Nullstelle (Schnittpunkt mit der -Achse) und den Schnittpunkt mit der y-achse. Die Funktion g ( ) 3 wird eine Einheit nch unten entlng der y-achse und 3 Einheiten nch links entlng der - Achse verschoben. Nullstellen: y = 0 3 3 0 3 3 3 log3 log33 3 Schnittpunkt y-achse: = 0 03 f(0) 3 26 S y (0 / 26) -3 - Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite 4 von 2 KS Musegg
Beispiel 3 Ordnen Sie die Funktionsbilder den folgenden Funktionsgleichungen zu: f ( ) 3 2 f ( ) 2 3 f ( ) 2 2 2 3 f ( ) 3 2 f ( ) 3 3 f ( ) 2 2 2 2 2 4 5 6 Beispiel 4 Bestimmen Sie die Gleichung einer Eponentilfunktion f mit f ( ), deren Grph durch den Punkt P(3/5) verläuft. Der Punkt erfüllt die Funktionsgleichung, d.h. wenn = 3 ist, dnn muss y = 5 sein. 3 3 3 5 5 f ( ) 5. Beispiel 5 Bestimmen Sie die Prmeter und b so, dss der Grph der Funktion f mit f ( ) b durch die Punkte P(0/.5) und Q(/.8) verläuft. Beide Punkte erfüllen die Funktionsgleichung, lso können sie eingesetzt werden. Ds ergibt dnn zwei Gleichungen. 0 I.5 b b.5 II b.8 8 6.5 5 5.8.2 6 f( ).5 5 Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite 5 von 2 KS Musegg
Beispiel 6 Gegeben ist die Funktion f mit f( ) 2 3 5 f ( ) b. Wenden Sie für die Umformung die Potenzgesetze n. 3 5 3 ( ) 2 2 2 5 2 5 2 3 2 5 8 32 8 f D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen Aufgben. Schreiben Sie die Funktionsgleichung in der Form. Skizzieren Sie die Funktionen f ( ) 2, g( ) und h ( ). 2 e 2 2. Zeichnen Sie die Funktionen f( ) 2 2. Überlegen Sie dzu durch welche Folge von Abbildungen sie us einer möglichst einfchen Grundkurve entstnden ist. Berechnen Sie dnn vier geeignete Kurvenpunkte für den Grphen und berechnen Sie die Nullstelle (Schnittpunkt mit der -Achse) und den Schnittpunkt mit der y-achse. 3. Ordnen Sie die Funktionsbilder den folgenden Funktionen zu: 3 3 3 f( ) f2( ) f3( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 3 f4( ) f5( ) f6( ) 2 2 2 2 4 4. Bestimmen Sie die Prmeter und b so, dss der Grph der Funktion f mit f ( ) b durch die Punkte P(5/24) und Q(8/3) verläuft. 5. Gegeben ist die Funktion f mit ( ) 2 5 f 4. Schreiben Sie die Funktionsgleichung in der Form f ( ) b. Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite 6 von 2 KS Musegg
Lösungen. 2. Die Funktion g ( ) 2 wird zwei Einheit nch unten entlng der y-achse und 2 Einheiten nch rechts entlng der - Achse verschoben. Nullstellen: y = 0 2 2 2 0 2 2 2 2 ( Eponentenvergleich) 3 Schnittpunkt y-achse: = 0 02 f(0) 2 2.75 S y (0 /.75) -2 2 3 3 3 f ( ) f ( ) f ( ) 2 2 2 3. 2 3 2 2 3 3 3 3 f4( ) f5( ) f6( ) 2 2 2 2 Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite 7 von 2 KS Musegg
4. 24 3 5 b b 8 b b 24 5 3 8 24 3 8 3 3 5 8 5 Gleichsetzen : b 24 8 2 b 768 5 4 4 5 5 5 54 5 4 2 2 2 2 2 2 2 5. f ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite 8 von 2 KS Musegg
E) Logrithmusfunktionen mit Beispielen f ( ) log b, wobei > oder 0 < < bzw. > 0 und und. Die Eponentilfunktion ist die Umkehrfunktion der Logrithmusfunktion Herleitung der Umkehrfunktion: und y vertuschen und wieder nch y uflösen. y y ( Def. Log) f ( ) y log Geometrische Interprettion: Spiegelung n der Winkelhlbierenden des. und 3. Qudrnten. Eigenschften der Logrithmusfunktion f ( ) log Senkrechte Asymptote (Polgerde) ist die y- Achse. Für > : Die Funktionen sind streng monoton steigend. Für 0 < < : Die Funktionen sind streng monoton fllend. Alle Funktionen verlufen durch den Punkt P(/0). Spiegelt mn den Grphen von f mit f ( ) log n der -Achse so erhält mn den Grphen von g mit g( ) log log. f ( ) log b Anlog zur Eponentilfunktion bedeutet ds b eine Verschiebung entlng der y- Achse. Grundufgben Beispiel Bestimmen Sie den Prmeter in der nebenstehenden Abbildung. Wie lutet die Funktionsgleichung? Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite 9 von 2 KS Musegg
Einen Punkt uf der Funktion blesen: P(3/0.5) und einsetzen in die Gleichung f ( ) log. 2 0.5 log 3 3 9 f ( ) log 9 Beispiel 2 Zeichnen Sie den Grphen mit der Gleichung f( ) 2.5 und spiegeln Sie dnn den Grphen n der Winkelhlbierenden des. & 3. Qudrnten. Wie lutet die Gleichung der Umkehrfunktion? Bestimmen Sie den y-wert des Punktes P(/y) der Umkehrfunktion. Beispiel 3 Ordnen Sie die Funktionsbilder den folgenden Funktionsgleichungen zu: Beispiel 4 Bestimmen Sie die Polgerde der Funktion f mit f ( ) ln 2 2 (Ds bedeutet log e( 2) 2). Zeichnen Sie die Funktion nschliessend in ein geeignetes Koordintensystem. Der Logrithmus ist nur für positive Zhlen definiert. D.h. 2 0 Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite 0 von 2 KS Musegg
F) Aufgben Log.fkt mit Musterlösungen Aufgben. Bestimmen Sie diejenige Logrithmusfunktion f mit f ( ) log, deren Grph durch den Punkt P 5 4 geht. 2. 5 Wie lutet die Gleichung der Umkehrfunktion zur Funktion f mit f( )? Berechnen Sie. 2 3. Bestimmen Sie die bgebildeten Logrithmusfunktionen mit f ( ) log : Lösungen. Der Punkt 2. P 5 erfüllt die Funktionsgleichung, lso knn mn ihn einsetzen. 4 4 4 log 5 5 5 625 f ( ) log 625 4 5 f ( ) und y vertuschen 2 5 2 y f y 5 2 nch y uflösen / Def. Log. ( ) log Umkehrfunktion Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite von 2 KS Musegg
3. Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Seite 2 von 2 KS Musegg