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Herzlich willkommen zur der Um sich schnell innerhlb der c. 50.000 Mthemtikufgben zu orientieren, benutzen Sie unbedingt ds Lesezeichen Ihres Acrobt Reders: Ds Icon finden Sie in der links stehenden Leiste. Bitte bechten Sie: Im Originl können Sie lle einzelnen Dteien ls WORD, pdf oder Open Office Dokument ufrufen. Die ktuellen Preise entnehmen Sie bitte unserer homepge. Weitere Frgen bentworten wir Ihnen gerne unter 0469 9860. Michel Lobsien Geschäftsführer

Anlysis Gnzrtionle Funktionenschren 1 1 Aufgbe: Lernvorussetzungen: Aufgbe 1 1. Die Koordinten von Punkten in die Funktionsgleichung einsetzen und den Prmeterwert ermitteln (linere Gleichung).. Bestimmung der Lösungsmenge einer qudrtischen Gleichung mit einem Prmeter in Abhängigkeit vom Prmeterwert.. Ableitung der gnzrtionlen Funktion. Aufgbe 1. Die Koordinten von Punkten in die Funktionsgleichung einsetzen und den Prmeterwert ermitteln (linere Gleichung).. Bestimmung der Lösungsmenge einer qudrtischen Gleichung mit einem Prmeter in Abhängigkeit vom Prmeterwert.. Ableitung der rtionlen Funktion. Elegnter ist die Verwendung der Produktregel. Die Berechnung der Wendestelle ist ufwändig. 4. Interprettion von Ableitungsgrfen hinsichtlich der Eigenschften der Stmmfunktion. 5. Newtonsches Näherungsverfhren. Aufgbe 1. Die Koordinten von Punkten in die Funktionsgleichung einsetzen und den Prmeterwert ermitteln (linere Gleichung). Aufgbe 4. Biqudrtische Gleichung mit einem Prmeter.. Bestimmung der Lösungsmenge einer qudrtischen Gleichung mit einem Prmeter in Abhängigkeit vom Prmeterwert. 4. Ableitung der gnzrtionlen Funktion. 5. Ortskurve bestimmen, d. h. us Gleichungen den Prmeter k eliminieren. 1. Lösen einer kubischen Gleichung durch Fktorisieren von x.. Berührung der x-achse mthemtisieren.. Ableitung der gnzrtionlen Funktion mit Prmeter. 4. Berechnung eines konkreten Punktes mit wgerechter Tngente. 5. Ortskurve der Wendepunkte bestimmen. 6. Ds Mximum der Ortskurve berechnen und interpretieren.

Aufgbe 5 Aufgbe 6 Aufgbe 7 Aufgbe 8 1. Lösen einer kubischen Gleichung durch Fktorisieren von x.. Bedingungen für ds Zusmmenfllen von Lösungen errbeiten.. Ableitung der gnzrtionlen Funktion mit Prmeter. 4. Ds Mximum der Ortskurve der Extrempunkte berechnen und hinsichtlich der Funktionenschr interpretieren. 1. Lösen einer kubischen Gleichung durch Fktorisieren von x.. Bedingungen für ds Zusmmenfllen von Lösungen errbeiten.. Ableitung der gnzrtionlen Funktion mit Prmeter. Fllunterscheidung. 4. Die Tngente in einem Punkt n den Grfen einer konkreten Funktion bestimmen. Diese Untersuchung uf lle Funktionen der Schr usdehnen. 1. Lösen einer biqudrtischen Gleichung durch Fktorisieren von x.. Ableitung der gnzrtionlen Funktion mit Prmeter.. Ortskurve der Mxim bestimmen. 4. Berechnung eines Punktes mit gegebener Steigung. Anwendung des Newton Verfhrens. 5. Integrtion der gnzrtionlen Funktion mit Prmeter. Teilweise rechenintensiv. 1. Lösen einer kubischen Gleichung durch Fktorisieren von x.. Ableitung der gnzrtionlen Funktion mit Prmeter.. Ortskurve der Mxim bestimmen. 4. Zusmmenhng zwischen Steigung und Schnittwinkel kennen. 5. Den Zusmmenhng zwischen den Steigungen senkrechter Gerden kennen. 6. Flächeninhlt eines Dreiecks

Aufgbe 9 Aufgbe 10 Aufgbe 11 Aufgbe 11b Aufgbe 1 Aufgbe 1b Umfngreiche Aufgbe mit mittlerem Schwierigkeitsgrd, deren Lösung ber einen Überblick über die verschiedenen Inhlte der Anlysis verlngt. An mehreren Stellen sind Fllunterscheidungen hinsichtlich des Prmeters erforderlich. 1. Ableitung der gnzrtionlen Funktion mit einem Prmeter.. Lösung einer kubischen Gleichung durch Abspltung eines Linerfktors.. Diskussion der Lösungsmnnigfltigkeit in Abhängigkeit vom Prmeter. 4. Tngentengleichung. 5. Senkrechte Gerden. Es wird der extremle Inhlt zwischen zwei Prbeln berechnet. 1. Schnittpunkte von Prbeln berechnen ( uch prmeterbhängig).. Integrtion der gnzrtionlen Funktion.. Integrlfunktion. 4. Quotientenregel der Differenzilrechnung. 5. Grenzwertbetrchtung der Flächeninhltsfunktion (ls Alterntive zur. Ableitung der Inhltsfunktion. 1. Die Koordinten von Punkten in die Funktionsgleichung einsetzen und den Prmeterwert ermitteln (linere Gleichung).. Bestimmung der Lösungsmenge einer qudrtischen Gleichung mit einem Prmeter in Abhängigkeit vom Prmeterwert.. Umfngreiche Fllunterscheidungen. 4. Ableitung der gnzrtionlen Funktion. 1. Die Koordinten von Punkten in die Funktionsgleichung einsetzen und den Prmeterwert ermitteln (linere Gleichung).. Lösen einer kubischen Gleichung durch Rückführung uf eine qudrtische Gleichung.. Umfngreiche Fllunterscheidungen bei den Lösungen qudrtischer Gleichungen. 4. Grenzwertbetrchtung. 5. Ableitung der gnzrtionlen Funktion mit Prmeter. 6. Integrtion der gnzrtionlen Funktion mit Prmeter.

Aufgbe 1 1. Lösen einer Gleichung 5. Grdes durch Fktorisierung von x.. Lösen einer biqudrtischen Gleichung.. Differenzition der gnzrtionlen Funktion. 4. Mehrfche umfngreiche Fllunterscheidungen.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 01 Gegeben ist die Funktionenschr mit f x = x + x + c x. c ) Die Abbildung zeigt einige Grfen der Schr. Ordnen Sie jedem Grfen den entsprechenden Prmeterwert zu. Nutzen Sie dzu die mrkierten Gitterpunkte. b) Untersuchen Sie den Einfluss von c bezüglich der Anzhl der 1. Nullstellen und der. Extremstellen von f c. c) Bestimmen Sie die Koordinten der Wendepunkte jedes Schrgrfen.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 0 Gegeben ist die Funktionenschr mit k f x = k x x ; k 0. ) Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der bgebildeten Grfen. b) Bestimmen Sie (1) den Definitionsbereich, () die Nullstellen, () die Extremstellen und (4) die Wendestellen in Abhängigkeit vom Prmeter k. c) Die Funktion d k beschreibt den Abstnd eines Punktes des Grfen von f k vom Ursprung zwischen den Nullstellen. Bestimmen Sie den Funktionsterm. ' d) Die Abbildung zeigt die Grfen d k der Ableitung von d k. Interpretieren Sie die Grfen hinsichtlich extremler Abstände. e) Welche Punkte des Grfen von f hben zwischen den Nullstellen jeweils einen extremlen Abstnd vom Ursprung? (Newton-Verfhren, Dezimlen)

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 0 Die Abbildung zeigt einige Grfen der Funktionenschr mit k 4 f x = k x x + 1 ; 0 k < ) Begründen Sie die Achsensymmetrie der Grfen. b) Aus der Abbildung ist ersichtlich, dss einige Funktionen der Schr vier, ndere zwei oder keine Nullstelle hben. Welche Bedingungen für k müssen jeweils erfüllt sein? c) Ordnen Sie jedem Grfen den entsprechenden Wert für k zu. Dzu dürfen Sie geeignete Gitterpunkte der Abbildung entnehmen. d) Bestimmen Sie die Koordinten der Extrem- und Wendepunkte der einzelnen Schrgrfen in Abhängigkeit von k. e) Auf welcher Kurve liegen lle Extrempunkte der Schrgrfen?

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 04 Die Abbildung zeigt einige Grphen der Funktionenschr mit 1 f ( x) = x x + x ; 0 8 ) Begründen Sie die gemeinsme Nullstelle ller Schrgrphen. b) Untersuchen Sie die Schr uf die Existenz weiterer Nullstellen. Berechnen Sie denjenigen Wert für, für den der Grph die x-achse berührt. c) Bestimmen Sie die Extremstellen und die Koordinten der Wendepunkte der einzelnen Schrgrphen in Abhängigkeit von. (Auf den Nchweis der hinreichenden Bedingung knn uf Grund der Abbildung verzichtet werden). Berechnen Sie denjenigen Wert für, für den Hoch- und Tiefpunkt des Grphen zusmmenfllen. Skizzieren Sie den Grphen. d) Auf welcher Kurve liegen lle Wendepunkte der Schrgrphen? Ermitteln Sie diejenige Schrfunktion, deren Wendepunkt die größte positive y- Koordinte ufweist.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 05 Gegeben sind die Funktionenschr mit und einige Grfen. t ) Untersuchen Sie die Schr uf die Existenz von Nullstellen. f x = x 5 x + t x ; t 0 Bestimmen Sie die Werte für t, so dss die Funktionsgrphen eine doppelte Nullstelle besitzen. Ordnen Sie den beiden Grphen () und (b) uf Grund der Lge der Nullstellen die richtigen Prmeterwerte zu. b) Treffen Sie eine Fllunterscheidung für t bezüglich der Anzhl der Extremstellen der Funktionenschr. c) Bestimmen Sie Lge und Art der Extrempunkte von f. d) In der nebenstehenden Abbildung ist die Ortskurve der Extrempunkte von f t mit e( x) = 5 x x eingezeichnet. Berechnen Sie die Koordinten des Hochpunktes der Ortskurve. Bestimmen Sie die zugehörige Funktion f t und beschreiben Sie ihre Besonderheit. e) Zeigen Sie, dss lle Grphen identische Wendestellen hben und bestimmen diese. 5 x x

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 06 Gegeben sind die Funktionen schr mit 1 1 ft ( x) = x x + t x ; t 0 6 und einige Grfen. ) Untersuchen Sie die Schr uf die Existenz von Nullstellen. Ordnen Sie uf Grund ihrer Ergebnisse den beiden Grfen () und (b) die richtigen Prmeterwerte zu. b) Bestimmen Sie die Koordinten der Extrempunkte des Grfen von f. Die Art der Extrempunkte knn der Abbildung entnommen werden. Treffen Sie eine Fllunterscheidung für t bezüglich der Anzhl der Extremstellen der Funktionenschr. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tngente n der Stelle x = n den Grphen von f. Zeigen Sie, dss die Tngenten n der Stelle x = n die Grfen von f t Ursprungsgerden sind. d) Zeigen Sie, dss lle Grfen identische Wendestellen hben und bestimmen diese. Lernvorussetzungen: 1. Lösen einer kubischen Gleichung durch Fktorisieren von x.. Bedingungen für ds Zusmmenfllen von Lösungen errbeiten.. Ableitung der gnzrtionlen Funktion mit Prmeter. Fllunterscheidung. 4. Die Tngente in einem Punkt n den Grfen einer konkreten Funktion bestimmen. Diese Untersuchung uf lle Funktionen der Schr usdehnen.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 07 Gegeben ist die Funktionenschr durch 1 4 + ft ( x) = x x + t x ; t. t ) Beschreiben Sie die Besonderheiten der Schr hinsichtlich der Nullstellen. Entscheiden Sie, welches t zu dem nebenstehenden Grphen gehört. b) Bestimmen Sie die Extremstellen der Schr. Die Art der Extrempunkte drf der Abbildung entnommen werden. Stellen Sie die Gleichung der Ortskurve der Mxim uf. c) Berechnen Sie m Beispiel der Schrfunktion f, in welchem Punkt der Grph die Steigung besitzt? d) Zeigen Sie: Ds Verhältnis der Flächeninhlte der Gesmtfläche zwischen Grph und x- Achse und der Fläche zwischen den Wendestellen ist unbhängig vom Prmeter /.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 08 Für jedes > 0 ist eine Funktion f gegeben durch f x = x + x. ) Untersuchen Sie f t uf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte sowie Symmetrie. b) Skizzieren Sie f und f 4 im Intervll 1 x. Füllen Sie dfür die Tbelle us. Nullstellen Extrem Wendepunkte Intervllgrenzen t x 1 x P Min P Mx P W f t ( 1) t t () 4 c) Bestimmen Sie die Ortskurve mit h(x) der Mxim von f t und zeichnen Sie diese mit ein. Geben Sie den Schnittwinkel ϕ der Ortskurve mit f 4 n. d) Ermitteln Sie den Flächeninhlt für die Dreiecke in Abhängigkeit von t, welche durch die Abzisse ( x > 0), ds Lot durch die Mxim von f t und die Ursprungsgerde durch die Mxim von f t beschrieben werden. Geben Sie A und A 4 n. e) Geben Sie die Gleichung der Wendetngente für f 4 n. Unter welchem Winkel schneidet sie die Ordinte? f) Leiten Sie die Gleichung der Normlen durch den Wendepunkt von f 4 her. g) Für welches t schneidet die Wendenormle den Grphen von f t in der Nullstelle?

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 09 Gegeben ist die Funktionenschr f t durch die Funktionsgleichung ft x = x 1 t x ; t ) Stellen Sie die o. g. Schr ls Funktionenschr. Grdes in der Form f( x) = x + b x + c x + d dr, und untersuchen Sie die Grphen uf Schnittpunkt mit den Koordintenchsen, uf Extrempunkte (inklusive einer Klärung der Art der Extrempunkte) und Wendepunkte. Ordnen Sie den drgestellten Grphen die zugehörigen Prmeter zu. b) Die Gerde durch die Punkte P(1;0) und R(0; 1) schneidet den Grphen von f t n mehreren Stellen. Berechnen Sie diese in Abhängigkeit von t. c) Der Punkt T(t;0) liegt uf dem Grphen von f t, der Punkt T*(t*;0) uf dem Grphen von f t* (t t*). Die Tngenten in T und T* sollen prllel sein. Welcher Zusmmenhng besteht zwischen den Prmetern t und t*? d) Die Punkte P t (t;0), Q(1;0) und R t (0;t) liegen uf dem Grphen von f t. Für welche Werte t bilden diese Punkte ein Dreieck? Geben Sie den Flächeninhlt des Dreiecks in Abhängigkeit von t n. Für welche Werte von t ist ds Dreieck rechtwinklig?

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 10 Gegeben sind die Funktionen f x = x x+ 4 ; > 1 und gx = x + 4. ) Berechnen Sie den Prmeterwert, für den der Grph von f die x-achse berührt. Berechnen Sie die Größe der Fläche zwischen den Grphen von f und g. b) Für welche Prmeterwerte ht die Fläche zwischen den beiden Kurven einen extremlen Inhlt? Welche Art von Extremum liegt vor? Berechnen Sie die Größe der extremlen Fläche.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 11 Gegeben ist die Funktionenschr mit f x = x x + x ;. ) Die Abbildung zeigt einige Grphen der Schr. Ordnen Sie jedem Grfen den entsprechenden Prmeterwert zu. Nutzen Sie dzu die mrkierten Gitterpunkte. b) Untersuchen Sie den Einfluss von bezüglich der Anzhl der 1. Nullstellen und der. Extremstellen von f. c) Wie verändern sich die Grphen von f hinsichtlich Nullstellen und Extremstellen für negtive Werte des Prmeters? d) Bestimmen Sie die Koordinten der Wendepunkte jedes Schrgrphen.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 11b Gegeben ist die Funktionenschr mit f x = x + x x ;. ) Die Abbildung zeigt einige Grphen der Schr. Ordnen Sie jedem Grphen den entsprechenden Prmeterwert zu. Nutzen Sie dzu die mrkierten Gitterpunkte. b) Untersuchen Sie den Einfluss von bezüglich der Anzhl der 1. Nullstellen und der. Extremstellen von f. c) Bestimmen Sie die Koordinten der Wendepunkte jedes Schrgrphen.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 1 Die Abbildung zeigt einige Grphen der Funktionenschr mit f( x) = x + x + x ; ) Bestimmen Sie mit Hilfe der mrkierten Gitterpunkte die Prmeterwerte für die einzelnen Grphen. b) Begründen Sie, dss die Grphen der Schr zwei gemeinsme Schnittpunkte hben. c) Untersuchen Sie die Schr uf die Existenz weiterer Nullstellen. Berechnen Sie denjenigen Wert(e) für, für den der Grph die x-achse berührt. Wie entwickelt sich die Lge der Nullstellen für >> 1? d) Bestimmen Sie die Extrem- und Wendestellen in Abhängigkeit von. Berechnen Sie diejenigen Werte für, für die Hoch- und Tiefpunkte der Grphen zusmmen fllen. Skizzieren Sie die Grphen. e) Die Grphen der Funktionen f und f b ( b) schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhlt! Zeigen Sie, dss der Grph von f + b diese Fläche hlbiert.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 1b Die Abbildung zeigt einige Grphen der Funktionenschr mit 4 f( x) = x x + x ; ) Bestimmen Sie mit Hilfe der mrkierten Gitterpunkte die Prmeterwerte für die einzelnen Grphen. b) Begründen Sie, dss die Grphen der Schr zwei gemeinsme Schnittpunkte hben. c) Untersuchen Sie die Schr uf die Existenz weiterer Nullstellen. Berechnen Sie denjenigen Wert(e) für, für den der Grph die x-achse berührt. Wie entwickelt sich die Lge der Nullstellen für >> 1? d) Bestimmen Sie die Extrem- und Wendestellen in Abhängigkeit von. Berechnen Sie diejenigen Werte für, für die Hoch- und Tiefpunkte der Grphen zusmmen fllen. Skizzieren Sie die Grphen. Gibt es Flchpunkte? e) Die Grphen der Funktionen f und f b ( b) schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhlt! Zeigen Sie, dss der Grph von f + b diese Fläche hlbiert.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 1 Gegeben ist die Funktionenschr mit der Gleichung 5 Welchen Einfluss ht der Prmeter ) uf die Anzhl der Nullstellen? f x = x x + x ;. b) uf die Anzhl der Extremstellen? c) uf die Anzhl der Wendestellen?

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 01 Lösung Gegeben ist die Funktionenschr mit f x = x + x + c x. c ) Die Abbildung zeigt einige Grfen der Schr. Ordnen Sie jedem Grfen den entsprechenden Prmeterwert zu. Nutzen Sie dzu die mrkierten Gitterpunkte. P( ; 0) 0 = 8 + 4 + c c = P(1 ; 1) 1 = 1 + 1 + c c = 1 P( 1 ; 0) 0 = 1 + 1 + c c = 0 P( 1 ; ) = 1 + 1 c c = 1 P(1 ; ) = 1 + 1 + c c = b) Untersuchen Sie den Einfluss von c bezüglich der Anzhl der (1) Nullstellen und der () Extremstellen von f c. (1) Nullstellen: x + x + c x = 0 x = 0 x x c = 0 1 1 1 1 x = 0 x = c+ x = + c+ 4 4 Dmit ergibt sich folgende Fllunterscheidung: 1 Nullstelle bei x = 0: c < 1 4 Nullstellen bei x = 0 oder x = 1 : c = 1 4 Nullstellen: c > 1 4

Die beiden Abbildungen zeigen den Grfen für c = 1 4 () Extremstellen: c = + + f ' x x x c Die Nullstellen der Ableitung liegen bei 1 1 1 1 x = c+ 1 x = + c+ 1 Dmit ergibt sich folgende Fllunterscheidung: keine Extremstelle: c < 1 1 Extremstelle (Sttelstelle) bei x = 1 : c = 1 Extremstellen: c > 1 Die Abbildung zeigt den Funktionsgrfen für c = 1 c) Bestimmen Sie die Koordinten der Wendepunkte jedes Schrgrfen.

1 1 1 f c'' ( x) = 6 x+ ; f c'' ( x) = 0 x = W ; 7 Die Lge des Wendepunktes ist unbhängig von c.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 0 Lösung Gegeben ist die Funktionenschr mit k =. f x k x x ; k 0 ) Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der bgebildeten Grfen. Der Wert von k lässt sich ermitteln, indem mn die Koordinten von Gitterpunkten in die Funktionsgleichung einsetzt. P(1 ; 0) 0 = (k 1) 1 k = 1 P(1,5 ; 0) 0 = (k 1,5) 1,5 k = 1,5 P( ; 0) 0 = (k ) k = b) Bestimmen Sie (1) den Definitionsbereich, () die Nullstellen, () die Extremstellen und (4) die Wendestellen in Abhängigkeit vom Prmeter k. (1) Definitionsbereich: Der Rdiknd drf nicht negtiv sein, d. h. x 0. () Nullstellen: 0 = k x x x = 0 x = k () Extremstellen

1 5 f x = k x x = k x k x + x k 1 1 1 1 5 1 f k ' x = k x k x + x = x k 6 k x+ 5 x Die Funktion ist differenzierbr für x > 0. k k 5 f ' x = 0 k 6 k x+ 5 x = 0 x = x = k k 16 5 5 15 Die Extrempunkte sind H ; k k und T( k ; 0) (5) Wendestellen: 1 1 1 5 f k '( x) = k x k x + x 1 15 1 f k '' x = k x k x + x = x k + 6 k x 15 x 4 4 4 1 6 f k ''( x) = 0 k + 6 k x 15 x = 0 x = k + 0,566 k 5 15 1 1 c) Die Funktion d k beschreibt den Abstnd eines Punktes des Grfen von f k vom Ursprung zwischen den Nullstellen. Bestimmen Sie den Funktionsterm. dk( x) = x + fk ( x) 5 4 4 = x 4 k x + 6 k x + x 1 4 k + k. d) Die Abbildung zeigt die Grfen d k ' der Ableitung von d k. Interpretieren Sie die Grfen hinsichtlich extremler Abstände. k = 1: Im Intervll 0 x 1 gilt d 1 ' (x) > 0, d. h. der Abstnd wächst streng monoton. Den größten Abstnd vom Ursprung ht deshlb der Punkt P(1 ; 0), nämlich d 1 (1) = 1. k = 1,5:

Im Intervll 0 x 1,5 gilt d 1,5 ' (x) 0, d. h. der Abstnd wächst monoton. Den größten Abstnd vom Ursprung ht deshlb der Punkt P(1,5 ; 0), nämlich d 1,5 (1,5) = 1,5, llerdings ht der Grf der Abstndsfunktion einen Sttelpunkt bei x = 0,5. k = : Im Intervll 0 x ht d ' (x) zwei Nullstellen, d. h. es gibt einen minimlen ( x 1,) und einen mximlen Abstnd (x 0,5) vom Ursprung. Ungeklärt bleibt, ob es sich bei dem Mximum um ein bsolutes oder reltives Mximum hndelt, uf jeden Fll gilt m Rnde des Definitionsbereiches d () =. Die Grfen der Abstndsfunktionen sind bgebildet. e) Welche Punkte des Grfen von f hben zwischen den Nullstellen jeweils einen extremlen Abstnd vom Ursprung? (Newton-Verfhren, Dezimlen) 5 4 = + + d x x 8 x 4 x 1 x 16 x Mn geht über zum Qudrt der Abstndsfunktion, d nur die Nullstellen der Ableitung gesucht sind. 4 d ' x = 5 x x + 7 x 6 x+ 16 d '' x = 0 x 96 x + 144 x 6 + = d ' x x d '' x n Ds Newtonsche Näherungsverfhrens xn 1 n liefert die Itertionsfunktion n 4 + xn+ 1= 15 x 64 x 7 x 16 0 x 96 x + 144 x 6 x 0 x 1 x x x 4 x 5 0,5 0,44017 0,447785 0,44790 0,44790 0,44790 1 1,166666 1,150457 1,15041 1,15041 1,15041 Dmit ergibt sich: Im Punkt P(0,4479 ; 1,61) ht die Funktion f einen mximlen Abstnd vom Ursprung, nämlich d 1,67. Im Punkt Q(1,1504 ; 0,774) ht die Funktion f einen minimlen Abstnd vom Ursprung, nämlich d 1,867. Wegen d (0) = 0 und d () = hndelt es sich jeweils um reltive Extrempunkte.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 0 Lösung Die Abbildung zeigt einige Grfen der Funktionenschr mit k 4 f x = k x x + 1 ; 0 k < ) Begründen Sie die Achsensymmetrie der Grfen. Es treten nur gerde Potenzen von x uf, d. h. es gilt f k (x) = f k ( x). b) Aus der Abbildung ist ersichtlich, dss einige Funktionen der Schr vier, ndere zwei oder keine Nullstelle hben. Welche Bedingungen für k müssen jeweils erfüllt sein? 4 Die Berechnung der Nullstellen führt für k 0 uf die biqudrtische Gleichung 1 1 1 1 1 x x + = 0 x = 1 k x = + 1 k wegen k > 0. k k k k k k Dmit ergibt sich die Fllunterscheidung für k: (1) 0 < k < 1: Der Rdiknd ist positiv, es existieren 4 Nullstellen. () k = 1: Der Rdiknd ist 0, es existieren Nullstellen bei ±1. () k > 1: Der Rdiknd ist negtiv, es existiert keine Nullstelle. (4) k = 0: Die biqudrtische Funktion entrtet zu einer qudrtischen Funktion. Die zugeordnete Prbel ist nch unten geöffnet und besitzt die 1 Nullstellen ±. c) Ordnen Sie jedem Grfen den entsprechenden Wert für k zu. Dzu dürfen Sie geeignete Gitterpunkte der Abbildung entnehmen. P(1 ; 1): k 1 = 1 k = 0 P(1 ; 0): k 1 = 0 k = 1 P(1 ; 0,5): k 1 = 0,5 k = 1,5 P(1 ; 1): k 1 = 1 k =

d) Bestimmen Sie die Koordinten der Extrem- und Wendepunkte der einzelnen Schrgrfen in Abhängigkeit von k. Extrempunkte: 4 = + k = = ( ) f x k x x 1 f ' x 4 k x 4 x 4 x k x 1 k 1 1 f k '( x) = 0 x = 0 x = x = k k 1 1 1 1 E1( 0;1) E ;1 E ;1 k k k k Wendepunkte: k k f ' x = 4 k x 4 x f '' x = 1 k x 4 1 1 f k ''( x) = 0 x = x = k k 1 1 5 1 5 W ;1 W ;1 k 9 k k 9 k k E 1 E, W 1, 0 (0 ; 1) - - 1 (0 ; 1) (±1 ; 0) (±0,577 ; 0,4444) 1,5 (0 ; 1) (±0,8165 ; 0,) (±0,4714 ; 0,696) (0 ; 1) (±0,7071 ; 0,5) (±0,408 ; 0,7) e) Auf welcher Kurve liegen lle Extrempunkte der Schrgrfen? Aus der Prmeterdrstellung für (z. B.) E wird der Prmeter k eliminiert: 1 1 x = k = k x 1 1 y = 1 = 1 = 1 x k 1 x

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 1 Lösung Die Abbildung zeigt einige Grphen der Funktionenschr mit f x = x + x + x ; ) Bestimmen Sie mit Hilfe der mrkierten Gitterpunkte die Prmeterwerte für die einzelnen Grphen. A = ( ;1 ) 9 :f ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 8 = 1 = B = ( 1,5; ) 7 1 : f ( 1,5) = = = 4 8

D = : C= 0,5; ( 1; ) : 1 5 f 0,5 = + = = 4 8 f 1 = + 1= = b) Begründen Sie, dss die Grphen der Schr zwei gemeinsme Schnittpunkte hben. und b seien zwei verschiedene Prmeter. Zu lösen ist die Gleichung + + = + + + = x x x x b x b x x b x b 0 b x x ( b) + b = 0 x = 0 x = = 1 b Die beiden Lösungen der Gleichung sind vom Prmeter unbhängig, d. h. lle Grphen hben die Punkte O(0 ; 0) und S(-1 ; -1) und nur diese gemeinsm. c) Untersuchen Sie die Schr uf die Existenz weiterer Nullstellen. Berechnen Sie denjenigen Wert für, für den der Grph die x-achse berührt. Wie entwickelt sich die Lge der Nullstellen für >> 1? Weitere Nullstellen ergeben sich ls Lösungen der qudrtischen Gleichung x + x+ = 0 x = x = + 4 4 1 1 x = 4 x = + 4 Ds Ergebnis erfordert die folgenden Fllunterscheidungen: Eine Nullstelle hben lle Funktionen der Schr bei x = 0. hben diejenigen Funktionen der Schr, bei denen der Rdiknd negtiv ist, d. i. der Fll für 0 < < 4. Zwei Nullstellen liegen vor, wenn der Rdiknd Null ergibt, d. h. = 4. Die beiden Nullstellen sind x = 0 und x =. Die Stelle x = ist eine doppelte Nullstelle, dort berührt der Grph von f 4 die x-achse. Der Sonderfll = 0 liefert nur die Nullstelle x = 0. Drei Nullstellen existieren in llen verbleibenden Fällen, d. h. < 0 oder > 4.

Die beiden Terme, die die Lge der Nullstellen festlegen, werden umgeformt: 1 1 x = 4 x = + 4 4 4 x = 1 x = + 1 Mit der Reihenentwicklung 1 4 1 x 1 x für x << 1 bzw. 1 1 für 1 >> gilt weiter 4 4 x = 1 x = + 1 x = 1 x 1 = + x = + x = + x 1 für x 1 für d. h. für >> 1 liegt die 1. Nullstelle bei x = 0, die. Nullstelle bei x 1 und die. Nullstelle bei x.

d) Bestimmen Sie die Extrem- und Wendestellen in Abhängigkeit von. Berechnen Sie diejenigen Werte für, für die Hoch- und Tiefpunkte der Grphen zusmmen fllen. Skizzieren Sie die Grphen. Die 1. Ableitung lutet f ' x = x + x+. Für die Nullstellen erhält mn 1 1 f '( x) = 0 x = x = + Ds Ergebnis erfordert die folgenden Fllunterscheidungen: 1. Die Funktionenschr besitzt keine Extremstellen, flls der Rdiknd negtiv ist, d. i.der Fll für < 0 0< <.. Die Funktionenschr besitzt eine Extremstelle (Sttelstelle), flls der Rdiknd verschwindet, d. i. der Fll für = 0 = 0 =. (s. Abb.). Die Funktionenschr besitzt zwei Extremstellen, flls der Rdiknd positiv ist, d. i. der Fll für > 0 < 0 >. Die. Ableitung lutet f '' x = 6 x+. Für die Nullstelle gilt x =. e) Die Grphen der Funktionen f und f b ( b) schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhlt! Zeigen Sie, dss der Grph von f + b diese Fläche hlbiert. Für die folgende Rechnung sei b >. Die Grphen der Funktionen f und f b schneiden sich in den Punkten (0 ; 0) und ( 1 ; 1) (s. Aufg.teil ). Der Flächeninhlt wird berechnet mit dem bestimmten Integrl

0 0 b 1 1 0 1 A,b = f x f x dx = x b + x b dx b b b = x + x = 6 0 0 Für den Flächeninhlt zwischen den Grphen von f + b und f b gilt + b x b + x b 1 A,b = fb( x) f+ b ( x) dx dx A,b = = 1 1 q. e. d.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 05 Lösung Gegeben sind die Funktionenschr mit t f x = x 5 x + t x ; t 0 und einige Grfen. ) Untersuchen Sie die Schr uf die Existenz von Nullstellen. Bestimmen Sie die Werte für t, so dss die Funktionsgrfen eine doppelte Nullstelle besitzen. Ordnen Sie den beiden Grfen () und (b) uf Grund der Lge der Nullstellen die richtigen Prmeterwerte zu. Nullstellen: t f x = 0 x x 5 x+ t = 0 x = 0 x 5 x+ t = 0 x = 0 5 5 8 t 5+ 5 8 t x = x = Die Nullstelle x = 0 ist prmeterunbhängig, d. h. lle Grfen verlufen durch den Ursprung des Koordintensystems. t = 0 : Es existieren Nullstellen. 5 0 < t < : 8 Es existieren Nullstellen. 5 t = : 8 Es existieren Nullstellen. 5 t > : 8 Es existiert 1Nullstelle. Doppelte Nullstellen: 5 1. t = 0 : x1, = 0 x = 5 5. t = : x1 = 0 x, = 8 Der Grf von f 0 berührt die x-achse im Ursprung. Der Grf von f 5/8 berührt die x-achse bei x =,5.

Zuordnung der Grfen: Die Nullstellen des Grfen () liegen bei x = und bei x =. Der Funktionsterm lässt sich in die Linerfktoren x 5 x + t x = x x x = x 5 x 6 x ufsplten, durch Koeffizientenvergleich ergibt sich t =. Alterntiver Nchweis: 5 5 8 t = 5 8 t = 1 8 t = 4 t = Die Nullstellen des Grfen (b) liegen bei x = 1 und bei x = 4. Der Funktionsterm lässt sich in die Linerfktoren x 5 x + t x = x x 1 x 4 = x 5 x 4 x ufsplten, durch Koeffizientenvergleich ergibt sich t =. b) Treffen Sie eine Fllunterscheidung für t bezüglich der Anzhl der Extremstellen der Funktionenschr. t ' t f x = x 5 x + t x f x = x 10 x+ t Notwendige Bedingung : 10 ' ft ( x) = 0 x x+ t = 0 + 5 5 6 t 5 5 6 t x = x = 5 0 t < : 6 Es existieren Extrempunkte. 5 t = : 6 Die beiden Extrempunkte fllen zusmmen. Es existiert ein Sttelpunkt. 5 t > : 6 Es existieren keine Extrempunkte. c) Bestimmen Sie Lge und Art der Extrempunkte von f. Die Art knn nhnd der Abbildung entschieden werden. 5 7 5+ f( x) = x 5 x + 6 x xe = xe = 7

5 7 0 + 14 7 Der Hochpunkt ht die kleinere Abzisse, d. h. H ; 7 H(0,7847 ;,116) 5+ 7 0 14 7 Der Tiefpunkt ht die größere Abzisse, d. h. T ; 7 T(,5486 ; 0,611) d) In der nebenstehenden Abbildung ist die Ortskurve der Extrempunkte von f t mit e( x) = 5 x x eingezeichnet. Berechnen Sie die Koordinten des Hochpunktes der Ortskurve. Bestimmen Sie die zugehörige Funktion f t und beschreiben Sie ihre Besonderheit. e' x = 10 x 6 x 5 e' ( x) = 0 ( x = 0) x = 5 x x 5 15 H ; H( 1,667 ; 4,60) 7 Um die zugehörige Schrkurve zu finden, wird die x-koordinte eingesetzt: 5 5 ± 5 6 t 5 = 5 6 t = 0 t =. 6 Bei der Schrfunktion f 5 fllen Mximum und Minimum zusmmen, die Kurve 6 ht dort einen Sttelpunkt (s. b) e) Zeigen Sie, dss lle Grfen identische Wendestellen hben und bestimmen diese. Die. Ableitung ist vom Prmeter t unbhängig, d. h. die Wendestelle ist für lle f t dieselbe. '' '' 5 ft ( x) = 6 x 10 ; ft ( x) = 0 xw = (s. b, d)

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 06 Lösung Gegeben sind die Funktionenschr mit 1 1 ft ( x) = x x + t x ; t 0 6 und einige Grfen. ) Untersuchen Sie die Schr uf die Existenz von Nullstellen. Ordnen Sie uf Grund ihrer Ergebnisse den beiden Grfen () und (b) die richtigen Prmeterwerte zu. Nullstellen: 1 1 ft ( x) = 0 x x x+ t 0 6 = x = 0 x 6 x+ t = 0 x = 0 x = 9 t x = + 9 t Die Nullstelle x = 0 ist prmeterunbhängig, d. h. lle Grfen verlufen durch den Ursprung des Koordintensystems. t = 0 : Es existieren Nullstellen. 0 < t < : Es existieren Nullstellen. t = : Es existieren Nullstellen. t > : Es existiert 1 Nullstelle. Doppelte Nullstellen: 1. t = 0 : x = 0 x = 6 1,. t = : x = 0 x = 1, Der Grf von f 0 berührt die x-achse im Ursprung. Der Grf von f berührt die x-achse bei x =. Zuordnung der Grfen: Die Nullstellen des Grfen () liegen bei x = 0 und bei x =. Es hndelt sich lso um den Grfen von f (s. o.)

Die Nullstellen des Grfen (b) liegen bei x = 0 und bei x = 6. Es hndelt sich lso um den Grfen von f 0 (s. o.) b) Bestimmen Sie die Koordinten der Extrempunkte des Grfen von f. Die Art der Extrempunkte knn der Abbildung entnommen werden. Treffen Sie eine Fllunterscheidung für t bezüglich der Anzhl der Extremstellen der Funktionenschr. 1 1 = + = + f x x x x f ' x x x 1 6 f ' x = 0 x 4 x+ = 0 x = x = + H ; ( 1 ) ; T ; ( 1) + + H 0,5858 ; 0,761 ; T,414 ; 1,6095 ( ) 1 f ( x) = x x + x 6 1 1 1 1 ft( x) = x x + t x f t' ( x) = x x+ t 6 t f' x = 0 x 4 x+ t= 0 4 x = 4 t x = + 4 t Fllunterscheidung: 0 t < 4 : Es existieren Extrempunkte. t = 4 : Die beiden Extrempunkte fllen zusmmen, d. h. der Grf von f besitzt einen Sttelpunkt. t > 4 : Es existieren keine Extrempunkte.

c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tngente n der Stelle x = n den Grphen von f. Zeigen Sie, dss die Tngenten n der Stelle x = n die Grfen von f t Ursprungsgerden sind. 1 1 f x = x x + x f = 7 9+ = 6 6 1 1 1 = + = + = f ' x x x 1 f ' 9 1 Mit diesen Werten ergibt sich für die Gleichung der Tngente 1 x t( x) = f ' ( x ) + f = ( x ) = Die Tngente verläuft durch den Ursprung. Allgemein lutet die Tngentengleichung n der Stelle x = : 1 1 1 9 ft( x) = x x + t x ft = 7 9+ t = + t 6 6 1 1 1 1 1 f' t ( x) = x x+ t f ' = 9 + t= + t Mit diesen Werten ergibt sich für die Gleichung der Tngente 1 9 tt( x) = f t' ( x ) + ft = + t ( x ) t + 1 tt ( x) = + t x

d) Zeigen Sie, dss lle Grfen identische Wendestellen hben und bestimmen diese. Die. Ableitung ist vom Prmeter t unbhängig, d. h. die Wendestelle ist für lle f t dieselbe. t = t = W = f'' x x ; f'' x 0 x

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 07 Lösung Gegeben ist die Funktionenschr durch 1 4 + ft ( x) = x x + t x ; t. t ) Beschreiben Sie die Besonderheiten der Schr hinsichtlich der Nullstellen. Entscheiden Sie, welches t zu dem nebenstehenden Grphen gehört. 1 4 1 x x + t x = 0 x x x t 0 t + t = x = 0. An der Stelle x = 0 besitzt die Schr eine doppelte Nullstelle und zwr unbhängig von t. x t x+ t = 0 x t = 0. An der Stelle x = t besitzt die Schr ebenflls eine doppelte Nullstelle. Aufgrund des Ergebnisses lässt sich schließen, dss zur Abbildung der Wert t = gehört. b) Bestimmen Sie die Extremstellen der Schr. Die Art der Extrempunkte drf der Abbildung entnommen werden. Stellen Sie die Gleichung der Ortskurve der Mxim uf. 4 4 f'x t = x 6x + tx = x x 6x t t + t 1 f' t ( x) = 0 x= 0 x t x+ t = 0 1 x = t x = t Die Nullstellen sind lso zugleich Extremstellen der Schr. Eine dritte Extremstelle liegt genu in der Mitte zwischen den beiden Null- bzw. Extremstellen. Dieses Ergebnis zeigt uch die Abbildung. 1 1 Der Hochpunkt ht die Koordinten H t ; t 16. Die Gleichung der Ortskurve der Mxim erhält mn durch Elimintion des Prmeters t us den Koordinten des Hochpunktes. 1 1 1 1 1 1 H t ; t ; x t y t x x 16 = = = = 16 16

c) Berechnen Sie m Beispiel der Schrfunktion f, in welchem Punkt der Grph die Steigung besitzt? Zu untersuchen ist, n welcher Stelle die Ableitung von f den Wert besitzt: 4 9 9 9 f '( x) = x 6 x + 6 x = x x + x = 0 4 Die kubische Gleichung wird mit dem Newtonschen Verfhren gelöst: 9 9 9 gx = x x + x 4 9 9 9 gx xn xn + xn n 4 8 xn 18 xn + 9 xn+ 1= xn = xn = g' ( xn ) 9 x 1 xn 6 xn 18 n 9 x + n + x = x =,5 x =,7179 x =,6011 x =,600 x =,600 0 1 4 5 Dmit ergibt sich P(,600 ; 0,48776).

d) Zeigen Sie: Ds Verhältnis der Flächeninhlte der Gesmtfläche zwischen Grph und x- Achse und der Fläche zwischen den Wendestellen ist unbhängig vom Prmeter /. Zunächst sind die Wendestellen zu berechnen: 1 f x x 1 x t '' t = + t '' t t 1 1 f x = 0 x t x+ = 0 x = t x = t + 6 6 6 x 0,115 t x 0,788675 t Zur Berechnung der prmeterbhängigen Flächeninhlte sind die folgenden Integrle zu berechnen: t t 4 4 4 4 1 4 1 5 1 4 t t t t t 0 0 t 1 t ( + 6 1 ) 4 1 5 1 4 t 4 x x + t x dx x x x t t = + = 5 t 1 t 60 t 6 1 ( + 6 ) ( 6 ) x x + t x dx x x x t = + = + = 5 t 5 0 Dmit gilt für ds gesuchte Verhältnis: 1 ( ) 4 t 60 = 4 t 0

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 08 Lösung Für jedes t > 0 ist eine Funktion f t gegeben durch f x = x + t x. t ) Untersuchen Sie f t uf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte sowie Symmetrie. Nullstellen : t ft ( x) = x + t x = 0 x ( t x) = 0 x = 0 x = Alle Schrfunktionen hben die gemeinsme Nullstelle x = 0 sowie die prt meterbhängige Nullstelle x =. Extremstellen : ' t ft ( x) = 6 x + t x = 0 x ( t x) = 0 x = 0 x = Alle Schrfunktionen hben ds gemeinsme Minimum bei x = 0 sowie ds pr- t t t meterbhängige Mximum bei x =. Ds Mximum ist M t ;. 7 Wendestelle : t '' f t x = 1 x+ t = 0 x = 6 t t Der prmeterbhängige Wendepunkt liegt bei W t ;. 6 54 Symmetrie: Jede kubische Funktion ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt, lso besitzt jede Schrfunktion diese Eigenschft. b) Skizzieren Sie f und f 4 im Intervll 1 x. Füllen Sie dfür die Tbelle us. Nullstellen Extrem Wendepunkte Intervllgrenzen t x 1 x P Min P Mx P W f t ( 1) f t () 0 1,5 0 (1 ; 1) (0,5 ; 0,5) 5 4 4 0 0 (1, ;,7) (0,67 ; 1,19) 6 0

c) Bestimmen Sie die Ortskurve mit h(x) der Mxim von f t und zeichnen Sie diese mit ein. Geben Sie den Schnittwinkel ϕ der Ortskurve mit f 4 n. Die Gleichung der Ortskurve erhält mn durch Elimintion des Prmeters us den Koordinten des Mximums. ( x) t t t t M t = ; ; x = t = x ; y = = = x 7 7 7 Die Ortskurve der Mxim ht die Gleichung h x = x. D die Ortskurve den Grphen von f 4 im Hochpunkt (mit wgerechter Tngente) schneidet, ist die Frge nch dem Schnittwinkel gleichbedeutend mit der Frge nch dem Steigungswinkel der Ortskurve n der Stelle x = 4/. 4 16 16 16 h' ( x) = x h' rctn 79,8 = = ϕ = = 9 d) Ermitteln Sie den Flächeninhlt für die Dreiecke in Abhängigkeit von t, welche durch die Abzisse ( x > 0), ds Lot durch die Mxim von f t und die Ursprungsgerde durch die Mxim von f t beschrieben werden. Geben Sie A und A 4 n. Für den Flächeninhlt der Dreiecke gilt llgemein: 4 1 t t t t t At = ft = = 6 7 16 1 47 A = ; A4 = 1 1,58 81

e) Geben Sie die Gleichung der Wendetngente für f 4 n. Unter welchem Winkel schneidet sie die Ordinte? Für die Gleichung der Wendetngente gilt llgemein: = ( ) + w x f ' x x x f x t t w w w t t t t t t = t + = Dmit folgt für die Gleichung w 4 (x): w x f ' x x 6 6 54 6 108 8 8 16 w4 ( x) = x x + = 7 7 Der Steigungswinkel der Wendetngente beträgt α = rctn (8/) = 69,44, d. h. der Schnittwinkel mit der Ordinte ist α = 90 69,44 = 0,56. f) Leiten Sie die Gleichung der Normlen durch den Wendepunkt von f 4 her. Die Gleichung der Normlen n 4 (x) durch den Wendepunkt erhält mn mit Hilfe der Punkt-Steigungsform der Gerdengleichung, indem mn bechtet, dss Wendetngente und Wendenormle senkrecht ufeinnder stehen, ds Produkt ihrer Steigungen lso 1 ergibt. Dmit folgt 4 6 54 t 155 n + t( x) = x+ n 4( x) x x t 54 = t 8 + = + 7 8 108 g) Für welches t schneidet die Wendenormle den Grphen von f t in der Nullstelle? Für die Nullstelle von n t gilt: t 4 4 4 6 54+ t 54+ t x = x = t t 54 t 4 Diese Nullstelle soll mit der Nullstelle von f übereinstimmen: 54 + t t 4 t = t = 7,7 4

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 09 Gegeben ist die Funktionenschr f t durch die Funktionsgleichung f x = x 1 t x ; t t c x d ) Stellen Sie die o. g. Schr ls Funktionenschr. Grdes in der Form f x = x + b x + + dr, und untersuchen Sie die Grphen uf Schnittpunkt mit den Koordintenchsen, uf Extrempunkte (inklusive einer Klärung der Art der Extrempunkte) und Wendepunkte. Ordnen Sie den drgestellten Grphen die zugehörigen Prmeter zu. t f x = x 1 t x = x x+ 1 t x = t x t x+ t x + x x = x + t+ x + t 1 x+ t = 1 ; b = t+ ; c = t 1 ; d= t Schnittpunkte mit den Koordintenchsen: y-achse: Y(0 ; t) x-achse: x 1 = 1 oder x = t N 1 (1 ; 0) N (t ; 0) Art und Lge der Extrempunkte:

t = + ( + ) ( + ) = + ( + ) = f' t x x t x t 1 f'' x 6 x t f''' t x 6 Extrempunkte liegen dnn vor, wenn die 1. Ableitung verschwindet und die. Ableitung dort 0 ist. 1 x + t+ x t+ 1 = 0 x x t+ + t+ 1 = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x = ( t+ ) t t+ 1 x = ( t+ ) + t t+ 1 1 1 1 1 x = ( t+ ) ( t 1) x = ( t+ ) + ( t 1) t+ 1 x = 1 x = t+ 1 4 E1( 1;0 ) ; E ; ( t 1) 7 t+ 1 t+ 1 f'' t = 6 + ( t + ) = ( t 1) x = ( t+ ) ( t+ ) ( t+ 1) x = ( t+ ) + ( t+ ) ( t+ 1) Für t = 1 fllen die beiden Punkte E 1 und E zusmmen und f t (1) = 0, d. h. es hndelt sich um einen Sttelpunkt. t > 1: f t'' () 1 = 6 + ( t + ) = t > 0, d. h. E 1 ist ein Tiefpunkt. t < 1: f t'' () 1 = t < 0, d. h. E 1 ist ein Hochpunkt. D eine kubische Funktion höchstens Extrempunkte besitzt, ist E für t > 1 ein Hochpunkt und für t < 1 ein Tiefpunkt. Wendepunkte: t+ f'' t ( x) = 0 6 x= ( t+ ) x= t+ W ; 7 t 1 ( ) D die. Ableitung 0 ist, hndelt es sich bei W in jedem Fll um einen Wendepunkt. b) Die Gerde durch die Punkte P(1 ; 0) und R(0 ; 1) schneidet den Grphen von f t n mehreren Stellen. Berechnen Sie diese in Abhängigkeit von t. Die Gerde g durch die Punkte P und R ht die Gleichung g(x) = x 1. Für Schnittpunkte gilt

g x = f x x 1= x 1 t x x = 1 x 1 t x = 1 t Der Punkt P stimmt mit dem Schnittpunkt ller Grphen von f t mit der x-achse überein. Für x 1 gibt es u. U. weitere Schnittstellen: x 1 t x = 1 x x t+ 1 + t+ 1= 0 t+ 1 1 t+ 1 1 x = t+ 1 t x = + t+ 1 t Es sind mehrere Fälle zu unterscheiden: t < 1 : t + 1 t > 0, neben P existieren weitere Schnittpunkte. t = 1 : t + 1 t = 0, neben P existiert ein weiterer Schnittpunkt S 0 ; 1. 1< t < : t + 1 t < 0, neben P existiert kein weiterer Schnittpunkt. = ( + ) ( ) = t : t 1 t 0,neben P existiert ein weiterer Schnittpunkt U ;. t > : t + 1 t > 0, neben P existieren weitere Schnittpunkte. c) Der Punkt T(t ; 0) liegt uf dem Grphen von f t, der Punkt T*(t* ; 0) uf dem Grphen von f t* (t t*). Die Tngenten in T und T* sollen prllel sein. Welcher Zusmmenhng besteht zwischen den Prmetern t und t*?

Prllelität bedeutet gleiche Steigung, lso hier m t = m t*. D es sich um Tngenten hndelt, gilt t () = + ( + ) = ( ) f ' t t t t t 1 t 1 () t t* f' t = f ' t* t 1 = t* 1 t 1= t* 1 t 1= t* 1 t 1= 1 t* t = t* t+ t* = t 1 Wegen t t* kommt nur die. Lösung in Frge. d) Die Punkte P t (t ; 0), Q(1 ; 0) und R t (0 ; t) liegen uf dem Grphen von f t. Für welche Werte t bilden diese Punkte ein Dreieck? Geben Sie den Flächeninhlt des Dreiecks in Abhängigkeit von t n. Für welche Werte von t ist ds Dreieck rechtwinklig? Hinsichtlich des Prmeters t sind Fllunterscheidungen notwendig: t = 0 : P0 = R 0, d. h. die Punkte P 0, Q und R 0 liegen uf einer Gerden. t = 1 : P1= Q, d. h. P 1, Q und R 1 liegen uf einer Gerden. t \ 0, 1, dnn liegt ein echtes Dreieck vor. { } Für den Flächeninhlt des Dreiecks PQR gilt in jedem Fll 1 1 APQR = PQ OR = t 1 t Der rechte Winkel knn nur m Punkt R liegen, d. h. es muss gelten

PR QR m m = 1 1 t = 1 t = 1 Für t = 1 bilden die Punkte P, Q und R ein rechtwinkliges Dreieck.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 10 Lösung Gegeben sind die Funktionen f x = x x+ 4 ; > 1 und gx = x + 4. ) Berechnen Sie den Prmeterwert, für den der Grph von f die x-achse berührt. Berechnen Sie die Größe der Fläche zwischen den Grphen von f und g. Berührung der x-achse bedeutet im Flle einer qudrtischen Funktion, dss der Scheitelpunkt uf der x-achse liegt. Die Scheitelpunktsform von f ist 4 f ( x) = x x+ 4 = ( x 1) + 1 = ( x 1) + 4 T = ( 1; 4 ) Für = 4 liegt der Scheitelpunkt T uf der x-achse. 4 f g: 4 x 8 x+ 4 = x x x 8 = 0 8 x = 0 x = +4 8 8 1 A = 8 x x dx 4 x x = = 9 9,4815 FE 0 7 0 b) Für welche Prmeterwerte ht die Fläche zwischen den beiden Kurven einen extremlen Inhlt? Welche Art von Extremum liegt vor? Berechnen Sie die Größe der extremlen Fläche. f g: x x+ 4 = x +4 x ( [ 1 ] x+ ) = 0 x = 0 x = 1

1 0 1 A( ) = x+ ( 1 ) x dx = x x A' 4 1 8 4 = = 1 ( 1) ( 1) ( 1) 4 = 1 1 ( ) 4 ( 1) 4 ( 1) ( 1) A' = 0 = A = = 4 7 = = 9 FE 4 0 Betrchtet mn die Flächeninhltsfunktion n den Grenzen des Definitionsbereiches, so erhält mn 4 4 lim = sowie lim ( 1 ) ( 1) 1 = Die Abbildungen verdeutlichen diesen Schverhlt.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 11 Lösung Gegeben ist die Funktionenschr mit f x = x x + x ;. ) Die Abbildung zeigt einige Grphen der Schr. Ordnen Sie jedem Grphen den entsprechenden Prmeterwert zu. Nutzen Sie dzu die mrkierten Gitterpunkte. P 1 ( ; ) = 8 1 + =,5 P ( ; 1) 1 = 8 1 + =,5 P ( ; 1) 1 = 8 1 + = 1,5 P 4 ( ; ) = 8 1 + = 0,5 b) Untersuchen Sie den Einfluss von bezüglich der Anzhl der (1) Nullstellen und der () Extremstellen von f. (1) Nullstellen: x x + x = 0 x = 0 x x+ = 0 9 9 x = 0 x = x = + 4 4 Dmit ergibt sich folgende Fllunterscheidung: 9 > : Es existiert nur 1 Nullstelle bei x = 0. 4 9 = : Es existieren Nullstellen bei x = 0 oder x = 4 9 < : Es existieren Nullstellen [Ausnhme: = 0, siehe c).] 4 Die Abbildung zeigt den Grphen für 9 = 4

() Extremstellen: f ' x = x 6 x+ Die Nullstellen der Ableitung liegen bei x = 1 1 x = 1+ 1 Dmit ergibt sich folgende Fllunterscheidung: > : Es existiert keine Extremstelle. = : Es existiert genu eine 1 Extremstelle (Sttelstelle) bei x = 1. < : Es existieren Extremstellen. Die Abbildung zeigt den Funktionsgrphen für = : c) Wie verändern sich die Grphen von f hinsichtlich Nullstellen und Extremstellen für negtive Werte des Prmeters? (1) Nullstellen: 9 9 x = 0 x = x = + 4 4

9 Im Intervll 0< < gilt für die Lge der Nullstellen 4 = 0: 9 9 0< < + 4 4 d. h. lle Nullstellen sind nicht negtiv. Es ergibt sich folgende Fllunterscheidung: < 0: () Extremstellen: Wegen 9 0 = 0 existieren nur Nullstellen (x = 0 ist eine 4 doppelte Nullstelle). Es existieren Nullstellen, von denen eine negtiv ist wegen 9 9 < 0< +. 4 4 Die Nullstellen der Ableitung lgen bei x = 1 1 x = 1+ 1 Im Intervll 0< < existieren Extremstellen, die beide positiv sind, denn es gilt 0< 1 1 < 1+ 1. Für = 0 liegt eine Extremstelle bei x = 0 (dort berührt der Grph die x- Achse). Für < 0 ist eine Extremstelle negtiv, es gilt 1 1 < 0< 1+ 1.

f '' ( x) = 6 x 6 ; f '' ( x) = 0 x = 1 W( 1; ) d) Bestimmen Sie die Koordinten der Wendepunkte jedes Schrgrphen. Die Lge der Wendestelle ist unbhängig von.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 11b Lösung Gegeben ist die Funktionenschr mit f x = x + x x ;. ) Die Abbildung zeigt einige Grphen der Schr. Ordnen Sie jedem Grphen den entsprechenden Prmeterwert zu. Nutzen Sie dzu die mrkierten Gitterpunkte. P 1 ( ; ) = 8 + 8 + = 1,5 P ( 1 ; 1,5) 1,5 = 1 + + = 0,5 P ( 1 ;,5),5 = 1 + = 0,5 P 4 ( ; ) = 8 + 8 + = 1,5 P 5 ( 1 ; 1,5) 1,5 = 1 + + =,5

b) Untersuchen Sie den Einfluss von bezüglich der Anzhl der (1) Nullstellen und der () Extremstellen von f. (1) Nullstellen: + = = + = = = + = + + x x x 0 x 0 x x 0 Dmit ergibt sich folgende Fllunterscheidung: < 1: x 0 x 1 1 x 1 1 Es existiert nur 1 Nullstelle bei x = 0. = 1: Es existieren Nullstellen bei x = 0 oder x = 1. > 1: Es existieren i. Allg. Nullstellen mit Ausnhme von = 0. Für diesen Wert berührt der Grph die x-achse bei x = 0, es liegt eine doppelte Nullstelle vor. Die Abbildung zeigt die Grphen für = 1und = 0. () Extremstellen: f ' x = x + 4 x Die Nullstellen der Ableitung liegen bei 1 1 x = + 4 x = + + 4 Dmit ergibt sich folgende Fllunterscheidung: 4 < : Es existiert keine Extremstelle.

4 = : Es existiert genu eine 1 Extremstelle (Sttelstelle) bei 4 > : Es existieren Extremstellen. Die Abbildung zeigt den Funktionsgrphen für 4 = : x =. c) Bestimmen Sie die Koordinten der Wendepunkte jedes Schrgrphen. 16 f ''( x) = 6 x+ 4 ; f ''( x) = 0 x = W ; + 7 Die Lge der Wendestelle ist unbhängig von.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 1 Lösung Die Abbildung zeigt einige Grphen der Funktionenschr mit 1 f ( x) = x x + x ; 0 8 ) Begründen Sie die gemeinsme Nullstelle ller Schrgrphen. Durch Fktorisieren des Funktionsterms ergibt sich 1 f ( x) = x x x+ 1 8. Ds Produkt und dmit der Funktionswert ht unbhängig von für x = 0 den Wert Null. b) Untersuchen Sie die Schr uf die Existenz weiterer Nullstellen. Berechnen Sie denjenigen Wert für, für den der Grph die x-achse berührt. Weitere Nullstellen ergeben sich ls Lösungen der qudrtischen Gleichung 1 9 x x+ 1= 0 x x + = 0 8 8 9 9 56 9 9 56 x = x = 16 16 7 16 16 7 Der Grf berührt genu dnn die x-achse, wenn beide Nullstellen zusmmenfllen. Ds ist der Fll für 56 16 16 = = = 7 9,079 x = N

Zusmmenfssung: Eine Nullstelle: Zwei Nullstellen: Drei Nullstellen: 16 0 < 9 16 = 9 16 > 9 c) Bestimmen Sie die Extremstellen und die Koordinten der Wendepunkte der einzelnen Schrgrphen in Abhängigkeit von. (Auf den Nchweis der hinreichenden Bedingung knn uf Grund der Abbildung verzichtet werden). Berechnen Sie denjenigen Wert für, für den Hoch- und Tiefpunkt des Grphen zusmmenfllen. Skizzieren Sie den Grphen. 1 ' f( x) = x x + x f( x) = x x+ 1 8 4 Die notwendige Bedingung f x 0 ergibt ' = Mx Min 9 64 + 9 64 x x+ 1= 0 x = x = 4 8 8 8 1 Ein Sttelpunkt liegt vor für 9 = 64 = S 1; Zusmmenfssung: 8 Keine Extremstelle: 0 < Eine Sttelstelle: Zwei Extremstellen: 8 = 8 > 1 '' f( x) = x x + x f( x) = x 8 4 Die notwendige Bedingung für die Existenz einer Wendestelle liefert 9 x = W ; 8 8 8 56

d) Auf welcher Kurve liegen lle Wendepunkte der Schrgrphen? Ermitteln Sie diejenige Schrfunktion, deren Wendepunkt die größte positive y- Koordinte ufweist. Der Prmeter wird us den Koordinten des Wendepunktes eliminiert: 8 9 = x ; y = w( x) = = x x ; x 0 8 56 Die Ortskurve der Wendepunkte ist gegeben durch w( x) = x x ; x 0. Die Ortskurve der Wendepunkte ht im 1. Qudrnten einen Hochpunkt. w( x) = x x w' ( x) = 1 x 1 1 1 w' ( x) = 0 x = H ; Zu diesem Punkt H gehört der Prmeterwert = 1 = 4. 8 Die Schrfunktion mit 1 f ( x) = x x + x 4 ht den gesuchten Wendepunkt H. f 4 H ; ( x) w( x) = x x

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 1b Lösung Die Abbildung zeigt einige Grphen der Funktionenschr mit f x = x + x + x ; ) Bestimmen Sie mit Hilfe der mrkierten Gitterpunkte die Prmeterwerte für die einzelnen Grphen. 4 A = 1; 1 :f 1 = 1 1 + 1 = + 1= 1 = 1 1 B = ( 1; ) : f ( 1) = + 1= =

C= ( ;) : f ( 1, ) D = 1,5;0 : 7 f = 16 4 = = 81 9 9 5 = = 0 = 16 8 b) Begründen Sie, dss die Grphen der Schr zwei gemeinsme Schnittpunkte hben. und b seien zwei verschiedene Prmeter. Zu lösen ist die Gleichung 4 4 x x + x = x b x + b x x b x b = 0 b x x ( b ) ( b ) = 0 x = 0 x = = 1 b Die beiden Lösungen der Gleichung sind vom Prmeter unbhängig, d. h. lle Grphen hben die Punkte O(0 ; 0) (doppelte Nullstelle) und S(1 ; 1) und nur diese gemeinsm. c) Untersuchen Sie die Schr uf die Existenz weiterer Nullstellen. Berechnen Sie denjenigen Wert für, für den der Grph die x-achse berührt. Wie entwickelt sich die Lge der Nullstellen für >> 1? Weitere Nullstellen ergeben sich ls Lösungen der qudrtischen Gleichung 4 x x + x = 0 x = 0 x x+ = 0 x = 0 x = x = + 4 4 1 1 x = 0 x = 4 x = + 4 Ds Ergebnis erfordert die folgenden Fllunterscheidungen: Eine Nullstelle hben lle Funktionen der Schr bei x = 0. hben weiterhin diejenigen Funktionen der Schr, bei denen der Rdiknd negtiv ist, d. i. der Fll für 0 < < 4. Zwei Nullstellen liegen vor, wenn der Rdiknd Null ergibt, d. h. = 4. Die beiden Nullstellen sind x = 0 und x =. Beide Stellen - x = 0 und x = - sind doppelte Nullstellen, dort berührt der Grph von f 4 die x-achse. Der Sonderfll = 0 liefert nur die (vierfche) Nullstelle x = 0. Drei Nullstellen existieren in llen verbleibenden Fällen, d. h. < 0 oder > 4.

Die beiden Terme, die die Lge der Nullstellen festlegen, werden umgeformt: 1 1 x = 4 x = + 4 4 4 x = 1 x = + 1 Mit der Reihenentwicklung 1 4 1 x 1 x für x << 1 bzw. 1 1 für 1 >> gilt weiter 4 4 x = 1 x = + 1 x = 1 x 1 = + x = + x = + x 1 für x 1 für d. h. für >> 1 liegt die 1. Nullstelle bei x = 0, die. Nullstelle bei x 1 und die. Nullstelle bei x.

d) Bestimmen Sie die Extrem- und Wendestellen in Abhängigkeit von. Berechnen Sie diejenigen Werte für, für die Hoch- und Tiefpunkte der Grphen zusmmen fllen. Skizzieren Sie die Grphen. Gibt es Flchpunkte? f ' x = 4 x x + x. Für die Nullstellen erhält mn 1 1 f '( x) = 0 x = 0 x = 9 x = + 9 8 8 8 8 Ds Ergebnis erfordert die folgenden Fllunterscheidungen: 1. Alle Funktionen der Schr besitzen die Extremstelle x = 0. Die Funktionenschr besitzt keine weiteren Extremstellen, flls der Rdiknd Die 1. Ableitung lutet

negtiv ist, d. i.der Fll für 9 < 0 9 < 0 0< <. 9 9. Die Funktionenschr besitzt neben x = 0 eine weitere Extremstelle (Sttelstelle), flls der Rdiknd verschwindet, d. i. der Fll für 9 = 0 = 0 =.(s. Abb.) 9. Die Funktionenschr besitzt neben x = 0 zwei weitere Extremstellen, flls der Rdiknd positiv ist, d. i. der Fll für 9 > 0 < 0 >. 9 Die. Ableitung lutet f '' ( x ) = 1 x 6 x+. Für die Nullstelle gilt 1 1 x = 8 + 8 4 1 4 1 Ds Ergebnis erfordert die folgenden Fllunterscheidungen: 1. Die Funktionenschr besitzt keine Wendestellen, flls der Rdiknd negtiv ist, d. i. der Fll für 8 8 < 0 0< <. (s. Abb.). Für die Fälle = 0 oder = 8/ besitzt die. Ableitung doppelte Nullstellen bei x = 0 bzw. x = /. An diesen Stellen existieren sog. Flchpunkte. (s. Abb.)

. In llen verbleibenden Fällen ht die Funktionenschr zwei Wendepunkte, 8 8 d. i. der Fll für > 0 < 0 >. e) Die Grphen der Funktionen f und f b ( b) schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhlt! Zeigen Sie, dss der Grph von f + b diese Fläche hlbiert. Für die folgende Rechnung sei b >. Die Grphen der Funktionen f und f b schneiden sich in den Punkten (0 ; 0) und (1 ; 1) (s. Aufg.teil ). Der Flächeninhlt wird berechnet mit dem bestimmten Integrl 1 1 A (,b) = ( fb( x) f( x) ) dx = ( x ( b) x ( b) ) dx 0 0 1 b 4 b b = x x = 4 1 0 Für den Flächeninhlt zwischen den Grphen von f + b und f b gilt 1 1 + b x b x b 1 A,b = fb( x) f+ b ( x) dx dx A,b = = 0 0 q. e. d.

Gnzzhlige Funktionenschren Aufgbe 1 Lösung Gegeben ist die Funktionenschr mit der Gleichung 5 Welchen Einfluss ht der Prmeter ) uf die Anzhl der Nullstellen? 4 f x = x x + x ;. f x = 0 x x x + 1 = 0 x = 0 x = 4 1 x = 0 1 1 x = 4 x = + 4 x = 0 x = 1 1 4 x = 4 x = 1 1 + 4 x = + 4 Aus den Ergebnissen folgen die Fllunterscheidungen ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Alle Funktionen der Schr hben die gemeinsme Nullstelle x = 0. Dieses ist die einzige Nullstelle, flls 4 < 0 < gilt, d. h. < <.. Der Fll = führt zu den Ergebnissen x = 1 x = 1 x = 1 x = 1, d. h. die Funktion f ht zusätzliche doppelte Nullstellen bei x = 1 bzw. x = 1.. Der Fll = führt zu keinen weiteren Nullstellen, d der Rdiknd negtiv 1 1 ist, d. h. ( 4) = ( ) < 0. 4. Der Fll > führt zu vier weiteren von bhängigen Nullstellen. 5. Der Fll < führt zu keinen weiteren Nullstellen, d die beiden Rdiknden 1 1 negtiv sind, d. h. ( 4) < 0 ( + 4) < 0. Zusmmenfssung: Nur für existiert mehr ls eine Nullstelle.