1 Differenzierbarkeit und Holomorphie Komplexwertiger Funktionen

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1 1 Differenzierbrkeit und Holomorphie Komplexwertiger Funktionen 1.1. Integrl und Abbleitung von komplexwertigen Funktionen reeller Vrible Sei f : [, b] C eine Funktion und u(t) := Re (f(t)) und v(t) := Im (f(t)). Die Funktion f heißt (Riemnn-)integrierbr (bzw. differentierbr in t 0 ), flls u und v integrierbr (bzw. differenzierbr in t 0 ) sind. In diesem Flle setzen wir bzw. b f(t) dt := b u(t) dt + i b v(t) dt (Integrl von f), f (t 0 ) := u (t 0 ) + iv (t 0 ) (Abbleitung von f in t 0 ). Ds Integrl ist C-liner ( b (αf + βg) dt = α b f dt + β b g dt, α, β C) und so ist die Abbleitung. Es gelten die Produkt-, Quotienten- und die Kettenregel. Der Huptstz gilt für komplexwertige Funktionen, lso können Integrle mit Hilfe von Stmmfunktionen berechnet werden. Weiter gelten die Regeln der prtiellen Integrtion und der Substitution Komplexe Differenzierbrkeit und Holomorphie Sei G C offen. Eine Funktion F : G C heißt in z 0 G komplex differenzierbr, wenn der Limes F (z 0 ) := lim z z0 F (z) F (z 0 ) z z 0 in C existiert. In diesem Fll heißt F (z 0 ) die komplexe Ableitung von F in z 0. Die Funktion F heißt holomorph in G, flls F in jedem z 0 G komplex differenzierbr ist Rechenregeln Sei G C offen und seien F, H : G C in G holomorph. Dnn sind F + H, F H in G holomorph und (F + H) (z) = F (z) + H (z), (F H) (z) = F (z)h(z) + F (z)h (z), für lle z G. Ist H 0 in G, so ist uch F H holomorph in G und ( ) F (z) = F (z)h(z) F (z)h (z), z G. H H(z) 2 Also: Summen-, Produkt- und Quotientenregel (solnge der Nenner 0 ist) gelten uch für die komplexe Differenzierbrkeit. Ebenso gelten die Kettenregel und die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion uch für die komplexe Differenzierbrkeit Cuchy-Riemnnsche Differentilgleichungen Sei G C offen und F : G C. Es gilt C R 2. Durch u(x, y) := (Re F )(x + iy) und v(x, y) = (Im F )(x + iy) für x, y R mit x + iy G erhält mn eine Funktion G R 2, (x, y) ( u(x,y) v(x,y)). Stz 1.4.1: Ist F in z 0 = x 0 + iy 0 G komplex differenzierbr, dnn gilt im Punkt (x 0, y 0 ): x u = y v, y u = x v. Diese prtiellen Differentilgleichungen heißen Cuchy-Riemnnsche Differentilgleichungen (CR-Dgln) für u und v, die lso uf G erfüllt sind, wenn F holomorph uf G ist. 1

2 Umgekehrt gilt der Stz 1.4.2: Ist (x, y) ( u(x,y) v(x,y)) eine C 1 -Funktion uf G und gelten die Cuchy-Riemnnschen Differentilgleichungen, so ist die durch F (x + iy) := u(x, y) + iv(x, y) definierte Funktion in G holomorph. 2 Kurvenintegrle Cuchyscher Integrlstz, Cuchyscher Integrlformel und Folgerungen 2.1. Kurvenintegrle Eine Kurve ist hier eine stetige Abbildung : [, b] C, für die es = t 0 < t 1 <... < t n = b so gibt, dss uf jedem Intervll [t j 1, t j ], j = 1,..., n, stetig differenzierbr ist. Die Kurve heißt einfch geschlossen, flls () = (b) gilt und uf [, b) injektiv ist. Eine einfch geschlossene Kurve heißt positiv orientiert, wenn ds von umlufene Gebiet links von liegt. Dbei heißt in t [, b] differenzierbr, flls der folgende Limes in C existiert (t ) = lim t t (t) (t ) t t. emerkung 2.1.1: Sei G C offen, F : G C holomorph und : [, b] G differenzierbr. Dnn ist F : [, b] C differenzierbr und (F ) (t) = F ((t)) (t), t [, b]. Definition 2.1.2: Sei : [, b] C eine Kurve und F : ([, b]) C eine stetige Funktion. Dnn definiert mn ds Kurvenintegrl b F (z) dz := F ((t)) (t) dt, wobei die rechte Seite ls n tj j=1 t j 1 F ((t)) (t) dt zu verstehen ist, wenn t 0,..., t n wie oben in der Definition sind. Ds Integrl ist invrint unter orientierungserhltenden Umprmetrisierungen. Abschätzung 2.1.3: Sind F und wie in der Definition 2.1.2, so gilt F (z) dz L() mx{ F (z) : z ([, b])}, wobei L() die Länge von bezeichnet. Lemm Sei G C offen, f : G C und : [, b] G eine geschlossene Kurve. Ist die Spur von Teilmenge von G, und besitzt f eine Stmmfunktion F dnn gilt f(z) dz = F ((b)) F (()). Insbesondere ist geschlossen dnn f(z) dz = Cuchyscher Integrlstz Sei G C offen und einfch zusmmenhängend, F : G C holomorph und : [, b] G eine einfch geschlossene, positiv orientierte Kurve. Ist der von begrenzte ereich (ereich der innerhlb der Kurve liegt) Teilmenge von G, dnn gilt F (z) dz = 0. 2

3 Ds prktisch bedeutet: Ist F differenzierbr uf und innerhlb von, wobei eine positiv orientierte Kurve, dnn ist F (z) dz = 0. Vrinte des Cuchyschen Integrlstzes: Sei G C offen und einfch zusmmenhängend, und : [, b] G eine einfch geschlossene, positiv orientierte Kurve. Seien k, k = 1,..., n disjunkte Kreisscheiben die im von eingeschlossenen ereich liegen mit positiv orientierten Rändern k und Zentren b k. Ist F : G/{b 1,..., b k } C holomorph dnn gilt F (z)dz = n k=1 k F (z)dz Cuchysche Integrlformel Sei G C offen und einfch zusmmenhängend, F : G C holomorph und : [, b] G eine einfch geschlossene, positiv orientierte Kurve. Dnn gilt für jedes z, welches innerhlb von liegt: F (z) = 1 2πi F (ζ) ζ z dζ Folgerungen () Holomorphe Funktionen sind beliebig oft komplex differenzierbr. Unter den Vorussetzungen der Cuchyschen Integrlformel gilt F (k) (z) = k! F (ζ) 2πi (ζ z) dζ, k N 0. k+1 (b) Holomorphe Funktionen lssen sich lokl in Potenzreihen entwickeln. Ist G offen, F : G C holomorph und z 0 G, so gilt F (z) = k=0 F (k) (z 0 ) (z z 0 ) k, z z 0 < R, k! für jedes R > 0 mit {z : z z 0 < R} G. Die Reihe konvergiert dbei bsolut und für jedes ρ (0, R) uf {z : z z 0 < R} gleichmäßig Liouville s Theorem Sei F : C C holomorph. Wenn F beschränkt ist dnn ist F konstnt Die Nullmenge einer holomoprhen Funktion Sei G C offen wegzusmmenhängend und F : G C holomorph, die nicht die Null Funktion ist. Ist z 0 G mit F (z 0 ) = 0 so existiert ein δ > 0 so dss für F (z) 0 wenn 0 < z z 0 < δ. 3 Isolierte Singulritäten und Residuenstz 3.1 Isolierte Singulritäten Definition 3.1.1: Eine isolierte Singulrität einer Funktion F ist ein Punkt einzelne Punkt, der us dem Definitionsbereich von F fehlt. Ist z 0 isolierte Singulrität von F so gibt es die folgenden drei Möglichkeiten (1) F (z) ist beschränkt in einer Umgebung von z 0. (2) lim z z0 F (z) = (3) Sonst Stz 3.1.2: Riemnscher Hebbrkeitsstz Sei G C offen und einfch zusmmenhängend. Sei z 0 G und F : G/{z 0 } C holomorph. Ist F beschränkt in einer Umgebung von z 0 (Fll (1)) so lässt sich F in z 0 holomorph fortsetzen. 3

4 Auf Grund des Stzes heißt eine isolierte Singulrität z 0 von F mit F (z) beschränkt in einer Umgebung von z 0 (Fll (1) ) eine hebbre Singulrität von F. Stz Sei G C offen und einfch zusmmenhängend. Sei z 0 G und F : G/{z 0 } C holomorph. Gilt lim z z0 F (z) = dnn gibt es ein n N so dss die Funktion (z z 0 ) n F (z) sich in z 0 holomorph fortsetzen lässt. Auf Grund des Stzes heißt eine isolierte Singulrität z 0 beschränkt (Fll (2) ) eine Polstelle von F. Im Fll (3) heißt der Punkt z 0 wesentliche Singulrität von F. von F mit lim z z0 F (z) = Wesentliche Singulritäten können mit Hilfe der so gennnten Lurentreihen behndelt werden. Ds folgende Theorem erklärt ds Stz Entwicklung in einer Lurentreihe Sei z 0 C und f holomorph in 0 < r < z z 0 < R wobei R > r > 0. Dnn gibt es eine Folge (c n ) n=, so dss f(z) = n= c n(z z 0 ) n. Diese Reihe heißt Lurentreihe von f. Wenn wir schreiben f(z) = 1 n= c n (z z 0 ) n + c n (z z 0 ) n. heißt der erste Summnd Huptteil und der zweite Summnd Nebenteil der Lurentreihe. Der huptteil ist konvergent für z > r und der Nebenteil in z < R. 3.2 Residuum und Residuenstz Sei f eine holomorphe Funktion und z 0 eine isolierte Singulrität von f. Dnn f ist holomorph in 0 < z z 0 < R für ein R > 0. Auf Grund des Stzes lässt sich f schreiben ls f(z) = n= c n(z z 0 ) n. Definition 3.2.1: Ist f wie gerde beschrieben, so heißt der Koeffizient c 1 Residuum von f in z 0 mn schreibt uch c 1 = Res(f; z 0 ). Stz Sei f holomorph und z 0 eine Isolierte Singulrität von f. Ist eine einfch geschlossene positive orientierte Kurne und z 0 die einzige Singulrität von f innerhlb von so gilt f = 2πiRes(f, z 0 ). Wenn es mehrere Singulritäten z 1,..., z n innerhlb der Kurve gibt dnn f = 2πi n=0 n Res(f, z k ). Stz () Ht F in z 0 einen Pol von Ordnung n oder weniger, dnn gilt k=1 Res(F ; z 0 ) = d n 1 1 (n 1)! dz ((z z 0) n F (z)) n 1 z=z0. (b) Ist F (z) = G(z) H(z) mit G, H : U C holomorph (U offen) z 0 U und H(z 0 ) = 0, H (z 0 ) 0 dnn gilt Res(f, z 0 ) = G(z 0) H (z 0 ). 4

5 4 Integrtion über Teilmengen von R 2 und R 3 Wir werden m Anfng kurz den egriff der Integrierbrkeit erklären. Stz 4.1: Sei f : R R stetig, wobei R = [, b] [c, d] ein Rechteck ist. Dnn ist f integrierbr und es gilt b d d b f(x, y) d(x, y) = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy. R Stz 4.2: Ist f : R stetig, wobei c := {(x, y) : x [, b], y [c(x), d(x)]} und c, d : [, b] R stetige Funktionen sind, so ist f über integrierbr und f(x, y) d(x, y) = b ( d(x) c(x) c ) f(x, y) dy dx. Entsprechendes gilt, wenn die Rollen von x und y vertuscht werden, dh für Mengen wobei, b : [c, d] R stetig sind. Es ist dnn C C = {(x, y) : y [c, d], x [(y), b(y)]}, f(x, y) d(x, y) = Stz 4.3: Sei R 3 von der folgenden Form: wobei g, h : 0 R stetig mit g h und mit u, v : [, b] R stetig. d c ( b(y) (y) ) f(x, y) dx dy. = {(x, y, z) R 3 : (x, y) 0, g(x, y) z h(x, y)}, 0 = {(x, y) R 2 : x [, b], u(x) y v(x)} Ist dnn f : R stetig, so ist f über integrierbr und es gilt f(x, y, z) d(x, y, z) = b ( v(x) ( h(x,y) u(x) g(x,y) emerkung: () Die Rollen von x, y, z können vertuscht werden. (b) Für f = 1 erhält mn ds Volumen vol() von. ) ) f(x, y, z) dz dy dx. 5

6 5 Trnsformtionsformel Stz 5.1 Sei R n beschränkt und bgeschlossen ( n = 2 oder n = 3 und ein Integrtionsbereich) und U ein Gebiet. Sei Φ : U R n stetig differenzierbr und injektiv mit det Φ 0 uf U, sowie A := Φ() und f : A R beschränkt. Es ist f integrierbr über A genu dnn, wenn f Φ det Φ ( ) über integrierbr ist. In diesem Flle gilt f(x) dx = f(φ(y)) det (Φ (y)) dy. A Polrkoordinten im R 2 Für (x, y) R 2 setze r := (x, y) = x 2 + y 2. Dnn findet mn Winkel ϕ mit x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Für Φ(r, ϕ) := ( ( ) r cos ϕ cos ϕ r sin ϕ r sin ϕ) gilt det Φ (r, ϕ) = r d Φ (r, ϕ) =. sin ϕ r cos ϕ Dmit Φ injektiv ist, nehme mn etw U = (0, ) ( ϕ 1, ϕ 2 ) mit 0 ϕ 1 < ϕ 2 2π und ϕ 2 ϕ 1 < 2π. Sind ϕ 1 < ϕ 1 < ϕ 2 < ϕ 2, := [R 1, R 2 ] [ϕ 1, ϕ 2 ] und A := Φ(), so gilt für stetiges f : A R: ϕ2 R2 f(x, y) d(x, y) = f(r cos ϕ, r sin ϕ)r d(r, ϕ) = f(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ. A Zustz: Diese Formel gilt uch für ϕ 1 = 0 und ϕ 2 = 2π, sowie für R 1 = 0. r cos ϕ Zylinderkoordinten im R 3 Hier ist Φ(r, ϕ, z) = r sin ϕ, lso x = r cos ϕ, y = r sin ϕ und z z = z. Es gilt cos ϕ r sin ϕ 0 Φ (r, ϕ, z) = sin ϕ r cos ϕ 0, lso det Φ (r, ϕ, z) = r. Für A, R 3 wie in Stz 5.1 und stetiges f : A R gilt somit: f(x, y, z) d(x, y, z) = f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)r d(r, ϕ, z). A Der Zustz us dem Fll der Polrokoordinten gilt sinngemäß uch hier. ϕ 1 R 1 Ein pr Anwendungen der Trnsformtionsformel folgen. Wir werden immer nnehmen, dss die Annhmen des Stzes gelten Kugelkoordinten im R 3 Mn schreibt r = (x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 und x r cos ϕ sin ϑ y = Φ(r, ϕ, ϑ) = r sin ϕ sin ϑ, z r cos ϑ wobei r 0, ϕ [0, 2π] und ϑ [0, π]. Es ist cos ϕ sin ϑ r sin ϕ sin ϑ r cos ϕ cos ϑ Φ (r, ϕ, ϑ) = sin ϕ sin ϑ r cos ϕ sin ϑ r sin ϕ cos ϑ, cos ϑ 0 r sin ϑ 6

7 lso det Φ (r, ϕ, ϑ) = r 2 sin ϑ. Sind A und wie in Stz 5.1, lso A = Φ(), und ist f : A R stetig, so gilt: f(x, y, z) d(x, y, z) = f(r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ)r 2 sin ϑ d(r, ϕ, ϑ). A Der Zustz wie im Fll der Polrkoordinten gilt entsprechend. 6 Jordn Mß, Jordn messbre Mengen und Fubini s Theorem Es bezeichne für = ( 1,..., n ), b = (b 1,..., b n ) R n :[, b) := n i=1 [ i, b i ) ds hlboffene n-dimensionle [[Hyperrechteck]] und :J n := {[, b[:, b R n, b} die Menge ller solcher Hyperrechtecke. Zur Definition können lterntiv uch hlboffene Intervlle der Form (, b] verwendet werden. Weiter sei :J n := { m k=1 I k : I 1,..., I m J n, prweise disjunkt} die Menge ller endlichen Vereinigungen von [[prweise disjunkt]]en Hyperrechtecken. Es bezeichne weiter µ n den Inhlt, der für lle, b R n mit i b i für lle i = 1,..., n durch :µ n ([, b)) = n j=1 (b j j ) und µ n ( ) := 0 definiert ist. Definition 6.1: Der innere Inhlt einer beschränkten Menge A sei :i n (A) := sup{µ n (M) : M J n, M A}, ihr äußerer Inhlt sei :i n (A) := inf{µ n (N) : N J n, N A}. Definition 6.2: Eine Menge A R n heißt Jordn-messbr oder qudrierbr, wenn A beschränkt ist und i n (A) = i n (A). Ds Jordn-Mß einer Jordn-messbren Menge A ist durch i n (A) := i n (A) = i n (A) gegeben. Gilt i n (A) = 0 für ein beschränktes A R n, so ist A Jordn-messbr und wird Jordn-[[Nullmenge]] gennnt. Stz 6.1 Eine Menge A R n ist Jordn meßbr genu dnn wenn der Rnd A Jondn Mß Null ht. Definition 6.3: Sei K R n eine Jordn meßbre Menge und f : K R beschränkt. Sei R = [ 1, b 1 ]... [ n, b n ] ein Rechteck in R n mit K R. Dnn f ist integrierbr wenn die Funktion f : R R mit { f(x), wenn x K f(x) = 0 sonst integrierbr ist. Stz 6.2 (Fubini) Seien A R m und R n bgeschlossene Queder und und f : A R eine beschränkte Riemnn integrierbre Funktion. Für x A sei f x : R die Funktion definiert durch f x (y) = f(x, y) und I (f, x), I (f, x) ds Unterintegrl bzw. Oberintegrl von f x. Dnn sind I (f, x), I (f, x) Riemnn integrierbr und f(x, y)d(x, y) = I (f, x)dx = I (f, x)dx. R m R n A A 7

8 7 Gewöhnliche Differentilgleichungen Wir werden nfngen mit ein pr eispielen und mit Lösungsmethoden und Theorie dzu wird demnächst kommen. 7.1 Trennung der Vriblen Um eine Differentilgleichung der Art y (x) = f(x)g(y) zu lösen trennt mn die Vriblen und integriert mn. 7.2 Linere Differentilgleichungen erster Ordnung Für eine linere Differentilgleichung erster Ordnung ist eine Differentilgleichhung der Art y (t) = f(t)y(t) + g(t). Oft werden wir uch schreiben y = f(t)y + g(t). Sind f,g stetige Funktionen dnn ht ds Anfngswertproblem { y = f(t)y + g(t) die Lösung wobei G eine Stmmfunktion von g ist. y(t 0 ) = y 0 ( t ) t y(t) = exp g(s)ds y 0 + e G(t) e G(s) h(s)ds t 0 t Linere Differentilgleichungen höherer Ordnung Sind Gleichungen der Art y (n) + n 1 (x)y (n 1) (x)y + 0 (x)y = g(x). Die Differentilgleichung heißt homogen wenn g = 0 sonst heißt sie inhomogen. Homogene Linere Differentilgleichungen höherer Ordnung mit konstnten Koeffizienten Sind der Art y (n) + n 1 y (n 1) y + 0 y = 0, wobei 0, 1,..., n R Um Sie zu lösen betrchten wir den Anstz y(x) = e λx und betrchten wir die Lösungen der Gleichung λ n + n 1 λ n λ + 0 = 0. Die Vielfchheit der Lösungen muss uch berücksichtigt werden. Inhomogene Linere Differentilgleichungen höherer Ordnung mit konstnten Koeffizienten Ds wird in einer Formel zusmmengefsst und wird in der Vorlesung erklärt werden. 8

9 8 Differentilgleichungssysteme 8.1 Linere Systeme mit vriblen Koeffizienten Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen: Sei I R ein Intervll und seien b : I R n und A : I R n n stetig (letzteres bedeutet, dss in der Drstellung A(t) = ( jk (t)) n j,k=1 lle Funktionen jk : I R stetig sind). Ist t 0 I, so ht ds Anfngswertproblem y = A(t) y + b(t), t I, y(t 0 ) = y 0 für jedes y 0 R n eine eindeutige Lösung φ : I R n. Der Lösungsrum L 0 := { y : I R n : y = A(t) y, t I} des homogenen Systems ist ein reeller Vektorrum der Dimension n. Eine sis φ 1, φ 2,..., φ n von L 0 heißt Fundmentlsystem für y = A(t) y uf I. Ist φ 1,... φ n ein Fundmentlsystem, dh eine sis von L 0, so erhält mn jede Lösung von y = A(t) y durch eine Linerkombintion c 1 φ1 + c 2 φ c n φn für geeignete c 1, c 2,..., c n R. 8.2 Die Mtrixexponentilfunktion Sei A C n n. Für jedes t R definiert mn exp(ta) := e ta := t l A l. l! l=0 Die Reihe konvergiert dbei in dem Sinne, dss für jedes (j, k) der Eintrg der Mtrix N t l A l l=0 n l! der Stelle (j, k) konvergiert. [Zum eweis bestimme mn C 0 so, dss A x C x für lle x R n gilt (ds gilt z.. für C = ( n j,k=1 jk 2 ) 1/2). Dnn ist A l x C l x für lle l N 0 und tl A l x l! l=0 l=0 t l C l x l! = e C t x <, so dss die Reihe t l A l x l=0 für jedes x C n in C n bsolut konvergiert.] l! Eigenschften: Seien A, C n n. (1) Ist A = A, so gilt e A+ = e A e. eweis wie beim Cuchyprodukt, wobei mn bechtet, dss (wegen A = A!) gilt (A + ) l = l j=0 ( ) l A j l j, l N 0. j 9

10 (2) Die Mtrix e A ist invertierbr mit (e A ) 1 = e A. (3) Für lle s, t R gilt e (s+t)a = e sa e ta. (4) Für jedes y 0 C n definiert φ(t) := e ta y 0 eine Lösung des homogenen Systems y = A y mit Anfngswert φ(0) = y Lösungslgorithmus für Linere Differentilgleichungssysteme mit konstnten Koeffizienten Wir betrchten ds homogene System wobei A C n n, und wollen ein Fundmentlsystem bestimmen. y = A y, t R, (1) Grundlegende eobchtung: Ist λ C ein Eigenwert von A und v C n \ { 0} ein zugehöriger Eigenvektor (dh gilt A v = λ v), so ist durch eine Lösung von (1) gegeben. φ(t) := e λt v, t R, Folgerung: Gibt es eine sis v 1, v 2,..., v n des C n us Eigenvektoren von A mit zugehörigen Eigenwerten λ 1, λ 2,..., λ n, so ist durch φ j (t) := e λ jt v j, t R, j = 1, 2,..., n, ein Fundmentlsystem φ 1, φ 2,..., φ n von (1) gegeben. Wir betrchten weiter ds homogene System wobei A C n n nicht digonlisierbr ist. Mn führe ds folgende Verfhren für jeden Eigenwert von A durch: y = A y, t R, (H) Sei λ 0 C ein Eigenwert von A mit lgebrischer Vielfchheit m (dh λ 0 ist m-fche Nullstelle ber nicht m + 1-fche Nullstelle des chrkteristischen Polynoms p(λ) = det (A λi)). Mn bestimme eine sis v 1, v 2,..., v m des Huptrumes von A zum Eigenwert λ 0, dh eine sis von Kern (A λ 0 I) m (selbst wenn der Eigenrum Kern (A λi) von A zum Eigenwert λ eine Dimension < m ht, ht der entsprechende Huptrum immer die Dimension m). Dzu bestimme mn zunächst eine sis von Kern (A λ 0 I), erweitere diese zu einer sis von Kern (A λ 0 I) 2 usw. Zweckmäßigerweise bestimmt mn dbei in jedem Schritt Vektoren w mit (A λ 0 I) w = v, wobei v us dem Spnn der bisher gefundenen Vektoren ist (und v = 0 im ersten Schritt). 10

11 Dnn sind φ 1, φ 2,..., φ m, gegeben durch ) φ j (t) = e λ 0t ( v j + t(a λ 0 I) v j + t2 2! (A λ 0I) 2 v j tm 1 (m 1)! (A λ 0I) m 1 v j für j = 1, 2,..., m, liner unbhängige Lösungen von (H). Flls A R n n ist, bechte mn folgendes: Ist in der obigen Sitution λ 0 R, so bestimmt mn eine reelle sis v 1, v 2,..., v m R n des Huptrumes und erhält so reellwertige Funktionen φ 1, φ 2,..., φ m. Ist λ 0 C \ R, so ist uch λ 0 ein Eigenwert der lgebrischen Vielfchheit m. In diesem Fll erhält mn 2m liner unbhängige reellwertige Lösungen von (H) durch Re φ 1, Re φ 2,..., Re φ m, Im φ 1, Im φ 2,..., Im φ m. Der Eigenwert λ 0 wird in dem Verfhren dnn nicht mehr berücksichtigt! 8.4 Vrition der Konstnten Ist Φ(t) ein Fundmentlsystem für y (t) = A y (t) uf I, so mcht mn für eine Lösung y (t) = A y (t) + b (t) von den Anstz y(t) = Φ(t) c(t), t I, und erhält lso Die eindeutige Lösung von ist dnn gegeben durch A(t)Φ(t) c(t) + b(t)! = y (t) = A(t)Φ(t) c(t) + Φ(t) c (t), Φ(t) c (t) = b(t) bzw. c (t) = Φ(t) 1 b(t). y = A(t) y + b(t), t I, y(t 0 ) = y 0 y(t) = Φ(t)Φ(t 0 ) 1 y 0 + Φ(t) t t 0 Φ(τ) 1 b(τ) dτ, t I. 8.5 Existenz- und Eindeutigkeitsstz von Picrd-Lindelöf Sei D R R n offen, F : D R n stetig, sowie (x 0, y 0 ) D. Sei F bzgl. der Vriblen y 1, y 2,..., y n in D stetig prtiell differenzierbr. Dnn ist ds Anfngswertproblem } y = F (x, y) (AWP) y(x 0 ) = y 0 eindeutig lösbr, dh (i) Es gibt eine Lösung y : I R n von (AWP), wobei I R offen ist. (ii) Sind y : I 1 R n, z : I 2 R n Lösungen von (AWP), so stimmen y und z uf I 1 I 2 überein. 11