Mathematisches Modell und Algorithmen der Termin- und Reihenfolgeplanung

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1 Mathematche Modell und Algorthmen der Termn- und Rehenfolgeplanung Dr.-Ing. SU) Yury Zack, Europäche Zentrum für Mechatronk Aachen Dr. rer. nat. Sergey Rotn, Lehrtuhl für Produktonytematk, RWTH Aachen Überblck Termn- und Rehenfolgeplanung betehen n zetlcher Koordnerung enzelner Arbetvorgänge unter Berückchtgung der technologchen Abhänggketen, de begrenzten Kapaztätangebot verchedener Reourcen owe der vorgegebenen Abchlutermne enzelner Aufträge. Al Optmerungkrterum glt her de Mnmerung der maxmalen Auftragdauer. De formulerte Aufgabe entprcht dem konventonellen Job-Shop-Problem vom Typ J Cmax mt zuätzlchen Retrktonen auf Begnn und Abchlu enger Job. E wrd möglch, chon n den erten Schrtten de eventuelle Unlöbarket de Problem fetzutellen. De bher n der Produktonplanung mplementerten Näherungverfahren nd chwer anzuwenden oder weng effektv. Her werden exakte und approxmatve Löungverfahren entwckelt, welche auf equenzeller Annäherung an de optmale Löung von unten beruhen. De Genaugketabchätzung der angenäherten Löungen baert auf den entwckelten Berechnungformeln für de untere Grenze de optmalen Krterumwerte. E werden de Egenchaften der frühet- und pätetmöglchen Starttermne aller Arbetvorgänge unterucht. Darauf baerend wrd de natürlche Ordnung n den Arbetytemen effektv rekontruert oder de Engpäe n der Reourcenkapaztät owe n den vorgegebenen Abchlutermnen enzelner Aufträge entdeckt. De entwckelten Berechnungalgorthmen nd n da nteraktve Programmpaket zur Produktonplanung engebaut.

2 A. Enletung De grundlegende Aufgabe der Termn- und Rehenfolgeplanung beteht n der zetlchen Koordnerung unterchedlcher Arbetvorgänge unter Berückchtgung der technologchen Abhänggketen und der begrenzten Kapaztät eder produzerenden Enhet. Al Augangdaten gelten dabe de Ablauftrukturen, welche technologche Folgen der Arbetvorgänge n edem Fertgungauftrag defneren. Dee Rehenfolgebezehungen owe de Dauer eder Tätgket laen ch n den meten praktchen Fällen m Vorau betmmen. Al Ergebn der Termnplanung glt ene Tabelle, de alle Start- und Endtermne der durchzuführenden Arbetvorgänge enthält. De n unerem Betrag vorgenommene Erweterung der gechlderten Aufgabe auf den Fall, da e zuätzlche Retrktonen auf Begnn und Abchlu enger Fertgungaufträge gbt, entprcht den Anforderungen praktcher Anwendungen. Beonder aktuell t e für de Werktattfertgung. Dennoch auch bem Abchleßen ener Rehe von Leferungverträgen, de gewe Endtermne vorauetzen, hat man chon m Vorfeld de zur Verfügung tehende Produktonkapaztät rchtg abzuchätzen, um de Realerbarket der abzucheßenden Verträge zu prüfen. Wenn de Endtermne für eden komplexen Fertgungauftrag vorlegen, o kann man mt Hlfe der Netzplantechnk de früheten und de päteten Zetpunkte owe de au hnen reulterenden Pufferzeten für ede Tätgket betmmen und dann de mnmale Dauer de Geamtproekt vorert ohne Berückchtgung der Bechränkungen auf de Reourcenkapaztät ermtteln. Verchedene Erzeugne der Fertgungndutre werden oft auf denelben Anlagen produzert, wobe enge Arbetvorgänge de begrenzten Reourcen Anlagen, Vorrchtungen, Tranport uw.) glechzetg benötgen. E t eher Regel al Aunahme, da Kapaztätangebot und -nachfrage aufenander ncht abgetmmt nd. Zwe oder mehr Arbetvorgänge können zu glecher Zet um de freen Kapaztäten werben und damt wären de vorgeehenen Starttermne deer Operatonen ncht durchführbar. Beanpruchen mehrere Fertgungaufträge oder hre enzelnen Arbetvorgänge glechzetg deelben Werkzeugmachnen oder Bearbetungplätze m weteren alle al Arbetyteme bezechnet), o müen be der Produktonplanung de Rehenfolgen der Fertgungaufträge de Auftragfolgen) fetgelegt werden. Man mu außerdem de explzte Belegung der Arbetyteme 2

3 durch de Aufträge ermtteln, d. h. de zetlche Rehenfolge fetlegen, n der ene betmmte Menge von Aufträgen n den Arbetytemen augeführt wrd. Somt tellt de Termn- und Rehenfolgeplanung n der Großerenfertgung mmer ene komplexe Aufgabe dar. De präzerte Aufgabentellung der Termn- und Rehenfolgeplanung beruht auf den folgenden Annahmen :. Jeder Fertgungauftrag hat ene Rehe von betmmten Arbetytemen durchzulaufen, deren Folge m vorau bekannt t. Dee au technologchen Gründen hervorgehende Rehenfolge kann für eden Auftrag ander aufallen.. Ken Fertgungauftrag kann glechzetg n mehr al enem Arbetytem augeführt werden. Ken Arbetytem kann glechzetg mehrere Aufträge auführen.. Der komplexe Fertgungauftrag kann n enzelne aufenanderfolgende Arbetvorgänge endeutg zerlegt werden. De Bearbetungzet ede Arbetvorgange e bekannt und von anderen Bearbetungfaktoren unabhängg. Kene Arbetvorgänge dürfen unterbrochen werden. v. Jedem Fertgungauftrag kann en Begnn- und en Abchlutermn endeutg zugeordnet werden. Dee Zettermne ollen al Unglechungretrktonen treng engehalten werden. De Aufgabe der Termn- und Rehenfolgeplanung beteht nun darn, enen zulägen Ablaufplan für de durchzuführenden Arbetvorgänge zu ertellen, der bezüglch mndeten ener vordefnerten Zelgröße optmal t. Seen E der vorgeehene Abchlutermn und T der Zetpunkt der wrklchen Fertgtellung de -ten Auftrage, o kann al Optmerungkrterum de maxmale Auftragdauer Fmax oder de mttelgewchtete Summe der Termnverpätungen F Σ wl gewählt werden, d. h. ) Mnmere F = max max T oder 2) Mnmere F = w max { T E, } wobe w ΣwL potve Gewchtkoeffzenten bezechnen. Da Optmerungkrterum 2) t für praktche Aufgaben der PPS aktuell; oft haben de Aufträge verchedene Prortät, o da de reguläre Auführung der mehr wegenden Aufträge eher gewährletet werden mu. Der entprechende Termnplan kann m Gegenatz zu Bala u.a. 998)) mt Hlfe der engeführten verchedenen 3

4 Gewchtkoeffzenten kontruert werden. De weteren betrachten wr allerdng nur de Aufgabentellungen mt dem Krterum ). Da zugehörge mehrdmenonale Problem der blnear-boolechen Programmerung, n dem de Größe F max de Rolle ener Zelfunkton pelt, wrd n Abchntt B.II formulert und erläutert. De her engeführte und zu Anfang nur verbal formulerte Aufgabe wurde et Aker und Fredman 955) ehr oft n der Lteratur betrachtet 2. De Löungvorchläge m Berech der Machnenbelegung nd damt umfangrech. We Zäpfel 996) zurecht bemerkt hat, exteren be n Aufträgen und m Arbetytemen b zu n!) m theoretch möglche ncht unbedngt zuläge) Belegungen. De deutet plaubel darauf hn, mt welchem Rechenaufwand eventuell konfrontert wrd, fall man e vorhat, ämtlche Kombnatonen n der Aufgabe zu unteruchen. Daher wurden n der Fachlteratur verchedene exakte und approxmatve Löungverfahren entwckelt: Optmerungverfahren mt gemchten Varablen 3, Branch-and-Bound Methoden 4 u. a. Dennoch werden de meten praxbezogenen Aufgaben b zum heute nur durch de approxmatven Verfahren behandelt, welche phantaevolle Suchheurtken und Prortätregel verwenden 5. Beondere Rückcht verdenen de heurtchen Verfahren von Bala 998) owe von Leon und Wu 992). Dee Verfahren laen de Job-Shop-Probleme mt Zuatzretrktonen behandeln. Im Falle der Inkompatbltät de enttehenden Retrktonytem chaltet ch da Verfahren von Bala automatch auf de Suche nach anderer Löung, welche dem Mnmum der maxmalen Termnverpätung vgl. mt dem Optmerungkrterum 2)) entprcht. De be den meten Anwendungen benutzten approxmatven Verfahren betzen ene Rehe von weentlchen Nachtelen. E exteren zum Bepel kene Auwertungen der Genaugket von ermttelten approxmatven Löungen. Fat alle bher betrachteten Löungverfahren nd ungeegnet, wenn da oben formulerte Schedulngproblem de Zetretrktonen auf den Auftragbegnn oder -chlu hat, und ermöglchen außerdem ncht, n den erten Schrtten de Algorthmu ene eventuell vorhandene Inkompatbltät de kompletten Retrktonytem fetzutellen. In deer Arbet wrd de Aufgabe der Termn- und Rehenfolgeplanung mt Annahme v) formulert und gelöt. Wr unteruchen dabe de Egenchaften der mt Hlfe der Netzplantechnk von Zmmermann 97) ermttelten frühet- und pätetmöglchen Starttermne ämtlcher Arbetvorgänge. Auf den beret n Zack 978) erläuterten Egenchaften von zulägen und optmalen Löungen baerend, laen wr chon n den erten Schrtten de Algorthmu ene große Telmenge von unzulägen Plänen aucheden. E werden dabe de explzt zugeweenen Engpäe 4

5 n der Reourcenkapaztät oder n den auferlegten Zetretrktonen gefunden. Der Berechnungprnzp beruht auf der Contrant-Programmng Methode, de n moderner Lteratur vgl. Dorndorf u.a. 2)) al Contrant Propagaton Technque genannt wrd. Der Hauptunterched beteht her aber n der Wahl de teratv zu löenden Eratzproblem, von deen Löbarket a pror ncht bekannt t. Mehr noch, der her vorgechlagene Algorthmu tützt ch auf kene obere Grenze, welche eventuell fehlt. E werden effektve Berechnungformeln entwckelt, de ene untere Grenze der zu mnmerenden Zelfunkton ) für ede zu unteruchende Telmenge der Termnpläne geben. Al Anfangwert F der Geamtproektdauer wrd ede Mal de mnmale untere Grenze gewählt. Nach der Überprüfung der Kompatbltät wrd entweder ene Aufgabenlöung gefunden oder en neuer Engpa n den Endzetpunkten betmmter Fertgungaufträge fetgetellt. Im Falle ene Engpae ändert ch de mnmale untere Grenze und de neue längere Geamtproektdauer wrd voraugeetzt, d. h. e glt mmer F < F +. Sobald e kene zulägen Löungen b zum neuen Berech der Geamtproektdauer gbt, oll de n deem Iteratonchrtt zuert ermttelte zuläge Löung al optmal gelten. De Funktonaltät der entwckelten Löungverfahren llutrert man anhand enger numercher Bepele. B. Mathematche Problemtellung I. Grundbegrffe und Bezechnungen E werden n Fertgungaufträge n m unterchedlchen Arbetytemen augeführt. Der -te Auftrag enthält J aufenanderfolgende Arbetvorgänge: O, =, J. Somt t eder Arbetvorgang O durch den Multndex α =, endeutg gekennzechnet. Wr defneren: { =, : =,, n, =, K J A = α K, } de Menge ämtlcher Multndze, µ, de Nummer de Arbetytem, da der Arbetvorgang durchläuft, O t, de Bearbetungdauer de Arbetvorgange, O x, den Starttermn de Arbetvorgange, θ, den frühetmöglchen Starttermn de Arbetvorgange, O O O τ, den pätetmöglchen Starttermn de Arbetvorgange, T = x, J ) + t, J ) den wrklchen Endtermn de -ten Fertgungauftrag, 5

6 B untere Schranke für den Begnn de -ten Fertgungauftrag, E obere Schranke für den Abchlu de -ten Fertgungauftrag, F max = max T den wrklchen Endtermn de Geamtproekt, =, n F de m -ten Iteratonchrtt fetgelegte obere Schranke für den Abchlu de Geamtproekt. De ganzwertgen Funktonen µ α ) und t α ), α A owe de Größen B und E, =, n nd al bekannt voraugeetzt. Geucht werden de Realwerte x α ), α A, welche dem Endtermn F max en globale Mnmum lefern. Offenchtlch müen de Größen E mn{ E, F }, =, =, n al effektve obere Schranken n edem Iteratonchrtt gelten. Fall der Wert B bzw. E ncht gegeben t, o wrd B = bzw. E, = F angenommen. De Anfangdaten für de frühet- und pätetmöglchen Starttermne der Arbetvorgänge de -ten Auftrag können nun au folgenden Glechungen ermttelt werden: 3) θ,) =, B θ, + ) = θ, + t,,, K, J = 4) τ, J ) = E t, J ),, τ, ) = τ, t, ), = 2, J Der wrklche Starttermn ede Arbetvorgang O oll den folgenden Bedngungen genügen: 5) θ, x, τ, Folglch hat man den Anfangwert F m Iteratonverfahren o zu wählen, da de Retrktonen 5) urprünglch kompatbel nd. Danach erfolgen numerchen Umformungen, be denen de Werte θ, tegen und de Werte τ, fallen, o da de gewünchte Kompatbltät n 5) eventuell verletzt wrd. In o enem Fall wrd der Wert auf F dermaßen erhöht, da e m Berech F F, F ) mmer F max [ noch kene zulägen Löungen exteren. Der erte Wert F de Schlupfparameter, be dem ene zuläge Löung x,,, A gefunden wrd, glt al exakte Löung der Extremalaufgabe ) bezüglch der Zelfunkton. 6

7 II. Modell der blnear-boolechen Programmerung Anhand der n Abchntt B.I engeführten Bezechnungen kann de Mnmerungaufgabe ) al Problem der blnear-boolechen Programmerung formulert werden. Zunächt betrachten wr aber de dunkten Untermengen der Multndze 6) A k) = { A : µ α) = k} α, k =, m aufgrund deren de Arbetyteme den enzelnen Arbetvorgängen zugeween werden. Um de Paare verchedener Arbetvorgänge n demelben Arbetytem zu bechreben, führen wr noch folgende Mengen en: 7) P = { α, β ) A k) A ) α β } P k) = k :, k =, m U m k= P k) De Rehenfolge der dem k -ten Arbetytem zugeweenen Arbetvorgänge kann durch de boolechen Komponenten γ α, α ), α, α ) P ) der Ecken- 2 2 k Inzdenzmatrx 6 de Graphen parteller Ordnung angegeben werden. Jedem Arbetytem entprcht dabe en egener Graph parteller Ordnung. Dee Graphen können ewel n enen volltändgen Graphen parteller Ordnung verengt werden, der dann zetlche Rehenfolge ämtlcher Arbetvorgänge bechrebt 7. De booleche Varable γ α, α ) t glech En, wenn der Arbetvorgang mt dem Multndex 2 α =, ) dem Arbetvorgang mt α =, ) folgt, ont t γ α, α ) glech Null. Wenn alle Rehenfolgebezehungen n edem Arbetytem fetgelegt nd 8, o nd dann auch ämtlche booleche Varablen defnert. De kontnuerlchen Varablen müen dann zuammen mt den boolechen Varablen folgende blneare Unglechungretrktonen erfüllen: 8) x α ) + t α ) x α )) + γ α, α )) x α ) + t α ) x α )) γ α, α 2) α, α 2) P Außerdem müen de urprünglch fetgelegten Rehenfolgen der Arbetvorgänge m Rahmen ede Fertgungauftrag engehalten werden, d. h. e mu gelten: 9) x, + t, x, + ),, K, J, =, n = Wenn de Schranken B und E =, n ) gegeben nd 9, o enttehen de zuätzlchen Retrktonen:, ) B x,), =, n x, J ) + t, J ) E, =, n 7

8 Um en Problem der mathematchen Programmerung aufzutellen, führen wr de Tchebychevche Hlfvarable η en, de al gemename obere Schranke für de Endtermne aller Fertgungaufträge vorgetellt werden kann. Analog zu 9) mu dann gelten: ) x, J ) + t, ) η, =, n J Entprechend dem Krterum n ) hat man de engeführte Hlfvarable zu mnmeren. Somt lät ch da folgende Modell der blnear-boolechen Programmerung auftellen: Mnmere η 2) BLBP) u. d. N. Retrktonen 8 -) De Mnmerung n 2) erfolgt bezüglch η owe aller x - und γ -Unbekannten. De grundätzlche Komplextät de Problem 2) beteht m Vorlegen der boolechen Unbekannten, o da unere Anfangaufgabe kombnatorchen Charakter erhält. Somt glt e al en dkrete und nchtkonvexe Problem der mathematchen Programmerung. Wenn aber de boolechen Unbekannten ermttelt worden nd, o verwandelt ch 2) n da klache Problem der lnearen Programmerung bezüglch kontnuerlcher Unbekannten x und enfachen Struktur äußert effektv behandelt werden kann. η ), welche aufgrund ener Man unterucht ferner de Egenchaften der zulägen Termnpläne und lät deengen Untermengen von Plänen aucheden, de betmmt kene kompatblen Löungen lefern. Dank deer Stratege erhalten enge booleche Varablen enen fxerten Wert, o da ch da ganze Problem für wetere Behandlung weentlch verenfacht. Sobald alle boolechen Varablen der optmalen Löung ermttelt nd, werden de x -Unbekannten au den enfachen Box-Retrktonen 5) errechnet, da de unteren und oberen Schranken für alle Starttermne m Rahmen unere Algorthmu treng erhalten werden. C. Vorberetende Reultate I. Egenchaften der zulägen und optmalen Termnpläne E e bemerkt, da be wetem ncht alle Kombnatonen von Werten der n ) engeführten boolechen Varablen erlaubt nd, doch nur deengen, de kene Schlefen m volltändgen Graph parteller Ordnung hervorbrngen. Sont t de durch da Retrktonytem 8-) bechrebene zuläge Menge leer. Wenn man de boolechen Varablen al Steuervarablen erklärt, o nd de oben gechlderten 8

9 Bedngungen au der Scht der Kontrolltheore enfache Steuerretrktonen. De kontnuerlchen Varablen x und η, kann man zuglech al Zutandvarablen nterpreteren. Se blden be eder fxerten Steuerung ene konvexe Menge n dem Zutandraum der Termnpläne. De Unglechung η F lät ch be o ener Aulegung al klache Zutandretrkton betrachten. In deem Abchntt unteruchen wr de Egenchaften der Errechbarketmengen bezüglch der Varablen x, wobe de Erfüllung der obentehenden Zutandretrkton voraugeetzt t und en Tel der Steuervarablen γ fetlegt. Behauptung. De boolechen Varablen γ α, α ), 2 α 2 α, ) P erzeugen de Löung de Problem 2) genau dann, wenn e zuammen mt rgendwelchen Werten x α), α A da Retrktonytem 8-) be η = F F t ene ganze Zahl) erfüllen, wohngegen daelbe Retrktonytem be η = F beret nkompatbel t. De Werte x α), α A der entprechenden optmalen Termnpläne blden dann ene konvexe Löungmenge, welche durch de Retrktonen 8-) bechreben t, n denen γ α, α ) = γ α, ), α, ) P und η = F ubttuert nd. 2 α 2 α 2 Behauptung ergbt ene praktche Regel zur Prüfung, ob der Wert F au der engeführten Zutandretrkton η F ) mt mnmaler Dauer de Geamtproekt F zuammenfällt, wenn bekannt t, da F F glt. Behauptung 2. E e bekannt, da der Schlupfparameter F ncht größer al de mnmale Dauer de Geamtproekt t. E lege außerdem en Tel der trantv abgechloenen boolechen Varablen γ α, α 2), α, α 2) P P P ) vor, deren Werte ermttelt nd und ncht geändert werden können, ohne de Kompatbltät de Retrktonytem 8-) be η = zu verletzen. So glt = F genau dann, wenn e olche Werte α, α ), F γ 2, α 2) P \ P α gbt, de zuammen mt den beret ermttelten boolechen Varablen und zuammen mt rgendwelchen Werten x α), α A da Retrktonytem 8-) be η = F erfüllen. F Behauptung 2 lät de Unteruchung ene Steuerytem mt P Steuervarablen auf de Unteruchung de Steuerytem mt P \ P Steuervarablen 9

10 zurückführen. De Verrngerung der Dmenon de Steuerraume führt offenbar zur weentlchen Verenfachung de zu behandelnden Problem 2. En Tel der fetgelegten trantv abgechloenen boolechen Steuervarablen lät ch alo durch de Indexmenge P P endeutg angeben. Wenn de retlchen boolechen Varablen unbetmmt bleben, o entteht de m allgemenen nchtkonvexe Errechbarketmenge P ) bezüglch der Varablen x. Dee Menge glt G al Verengung der durch de Retrktonen 8-) be η = bechrebenen konvexen Mengen, wobe de boolechen Varablen γ α, α 2), α, α 2) P \ P alle möglchen Werte und ) durchlaufen. E t en NP-chwere Problem, enen Punkt der Errechbarketmenge zu fnden bezehungwee de Tatache fetzutellen, da dee Menge leer t. Im zweten Fall gbt e edoch hnrechende Krteren, de durch de Egenchaften der konvexen Enhüllenden von Menge G P ) 3) P ) = { x A) : θ α) x α) τ α), α A } Q F formulert werden können. De mt wllkürlchen ganzzahlgen potven Parametern θ α ) τ α ), α A heßt konvexe Enhüllende von G P ), wenn G P ) Q ) glt. De konvexen Enhüllenden mt unteren und oberen Schranken für de Starttermne laen ch öfter lecht kontrueren oder legen beret vor. P Behauptung 3. E wrd voraugeetzt, da de Menge P ) für den Tel P der fetgelegten boolechen Varablen aufgebaut t. Wenn für zwe Arbetvorgänge O und O β mt α, β ) P k) folgende Unglechungytem Q α 4) θ α ) + t α) > τ β ) θ β ) + t β ) > τ α) mt Parametern au Q P ) erfüllt t, o glt G P ) =. Behauptung 3 ergbt ene praktche Regel zur Auchedung der unzulägen Steuermengen. Nun unteruchen wr wetere Egenchaften der Errechbarketmenge. Behauptung 4. E wrd voraugeetzt, da de Menge P ) für den Tel P der fetgelegten boolechen Varablen aufgebaut t. Wenn für zwe Arbetvorgänge O und O β mt α, β ) P k) folgende Unglechungytem Q α

11 5) θ α ) + t α ) τ β ) θ β ) + t β ) > τ α ) mt Parametern au Q P ) erfüllt t, o glt x α ) x β ) für eden Punkt der Menge G P ), fall e ncht leer t. Behauptung 4 eröffnet den Weg, de neuen boolechen Varablen aufgrund der beret fetgelegten boolechen Varablen endeutg zu betmmen. Fall 5) erfüllt t, o mu γ α, β ) = und γ β, α ) = geetzt werden, wa ene neue Informaton mt ch brngt, wenn α, β ) P. In deem Fall bezechnen wr mt P de trantve Abchleßung von P α, β ) β, ). Derartge Selbterweterung von kann α P auch aufgrund ener Gruppe von den demelben Arbetytem angehörenden Arbetvorgängen erfolgen. De entprechenden Prüfungkrteren auf de Parameter der konvexen Enhüllenden tmmen mt den Anätzen n Carler und Pnon 989) owe n Dorndorf u.a. 2) überen. En Analogon zu Behauptung 3 kann dann ebenfall kontruert werden. Offenchtlch glt G P ) G ). De Menge Q P ) = P kann aber m Verglech zu Q P ) verklenert werden. Behauptung 5. E wrd voraugeetzt, da de Menge P ) für den Tel P der fetgelegten boolechen Varablen aufgebaut t. De unteren und oberen Schranken der Menge Q P ) fallen mt denen von Q P ) zuammen außer vellecht denengen, de au folgenden Glechungen neu zu berechen nd: 6) { τ, ),, + ) t, ) } Q τ, ) = mn τ, =, K, { τ,, p, r) t, ) } τ, = mn τ 7) wobe { θ p, r),, t, ) } θ p, r) = max θ +, { θ p, r ), θ p, r ) + t p, ) } θ p, r ) = max r, r = r +, J p, = α und p, r) = β. Q P ) E e bemerkt, da de nach Formeln 6), 7) zuammengeetzte Menge elbt nemal leer wrd, wenn de Unglechungen 9), 2-23) von nachfolgenden Behauptungen 6, 7 urprünglch erfüllt nd. Wenn de Menge edoch den Bedngungen au Behauptung 3 eventuell mt enem anderen k ) genügt, dann glt ofort G P ) = G ) = P.

12 Behauptung 6. E wrd voraugeetzt, da de Menge P ) für den Tel P der Q fetgelegten boolechen Varablen aufgebaut t, wobe G P ) ncht leer e. Wenn der Arbetvorgang mt dem Multndex Ak) der ganzen Gruppe von α Arbetvorgängen mt Ak), =, J zuvorkommt, d. h. α 8) Jα U =, α ) P und γ, α ) =, γ α, ) =, =, J α o darf der Wert τ ) m folgenden Berech legen: + 9) τ ) mn max { τ α ) t α ) } t α ), mn τ α ) t ) Jα =, Jα =, J = α De entprechenden Schranken der benachbarten Arbetvorgänge deelben Auftrag können gemäß 6) mt, = ) berchtgt werden. Wenn der Arbetvorgang mt dem Multndex Ak) der ganzen Gruppe von Arbetvorgängen mt β Ak), =, J β folgt, d. h. 2) J β U =, β ) P und γ, β ) =, γ β, ) =, =, J β o darf der Wert θ ) m folgenden Berech legen: ) =, J β =, J = β J β 2) θ ) max mn θ β ) + t β ), max { θ β ) + t β } De entprechenden Schranken der benachbarten Arbetvorgänge deelben Auftrag können gemäß 7) mt p, r) = ) berchtgt werden. Behauptung 7. E wrd voraugeetzt, da de Menge P ) für den Tel P der fetgelegten boolechen Varablen aufgebaut t, wobe G P ) ncht leer e. Dann dürfen folgende Unglechungen erfüllt en: Q 22) r τ, mn τ, r) r= +, J r = t, r ),, A 23) + θ, max θ, r) r=, r = r t, r ),, A 2

13 Formeln 9), 2-22) ermöglchen, de Enhüllende Q P ) mt maxmal engen Schranken zu kontrueren. II. Untere Grenzen für de Dauer de Geamtproekt Behauptungen 6, 7 kann man al gewe Vorberetungen zur Unteruchung der unteren Grenze für de mnmale Dauer de Geamtproekt anehen. Wr nehmen an, da de frühetmöglchen Starttermne nach Formeln 3) d. h. unmttelbar au den Engangdaten) berechnet worden nd. Behauptung 8. E glt F low F, wobe F 24) F low J = max max θ,) + t,, max mn θ, + t, =, n k=, m, A k ) =, A k ) Formel 24) wderpegelt de offene Tatache, da de Dauer de Geamtproekt ncht kürzer en kann, al de chnellte Auführung der Arbetvorgänge m Rahmen nur ene Fertgungauftrag oder ene Arbetytem. De Abchätzung der Auführungdauer m Rahmen de k -ten Arbetytem kann edoch verbeert werden. Dazu führen wr aufgrund der beret fetgelegten frühetmöglchen Starttermnen folgende Mengen der Multndze en: 25) ξ k) = {, A k) : θ, ξ } W, k =, m Für den effektven Werteberech der ganzzahlgen Hlfvarable ξ ewel glt: ξ { θ,,, A k) }. De Indexmenge 25) lät ch omt durch de Änderung von k und ξ vareren. Se gbt ede Mal de Arbetvorgänge an, de da k -te Arbetytem durchlaufen und ncht früher al ξ getartet werden können. Nun wrd edem Arbetytem ene charaktertche Zahl zugeween, welche zetlche Spannung n hm ndzert: J ρ k) = max mn θ, + t, + mn t, ) W k, W k ), ξ ξ, ) ) ξ 26) ξ, W k ) = + k =, m Da Maxmum n 26) berechne man nur über deengen Werte ξ, de mt den frühetmöglchen Starttermnen der Arbetvorgänge au dem zuammenfallen. Behauptung 9. E glt F low F, wobe k -ten Arbetytem 3

14 27) F low J = max max θ,) + t,, max ρ k) =, n k=, m = De n 27) defnerte untere Grenze F low t mmer beer al deenge n 25). De Größe F low lät ch aber etwa lechter berechnen. Noch größere Werte der zetlchen Spannungen und damt auch beere untere Grenze) können durch de anchleßende Maxmerung über alle möglchen Telmengen von errecht werden. We Carler 982) gezegt hat, erfordern derartge Berechnungen kenen exponentalen Rechenaufwand. Ak) III. Unteruchung der Retrktonen auf Begnn und Abchlu ede Auftrag De unteren Grenzen für de Dauer de Geamtproekt können hlfrech en, nbeondere wenn de oberen Schranken E, =, n für den Abchlu enzelner Fertgungaufträge gegeben nd. E kann ene präventve Analye deer Schranken durchgeführt werden, bevor komplexe Suchalgorthmen über de Datenmenge getartet nd. Fall max E < F =, n low, o hat de Aufgabe oweo kene Löung. Mndeten ene der oberen Schranken mu dann auf den Wert F low erhöht werden. Zur präventven Analye der vorlegenden oberen Schranken können auch de pätetmöglchen Starttermne augenutzt werden, deren Werte ch nach Formeln 4) mt E, und Mengen der Multndze en: F = Flow errechnen laen. Analog zu 25) führen wr nun folgende 28) ξ k) = {, A k) : τ, + t, ξ } V, k =, m Jede Menge gbt de Arbetvorgänge an, de da ncht päter al ξ beendet werden können. k -te Arbetytem durchlaufen und Behauptung. Wenn der Wert { τ, + t,,, A k) } Arbetytem folgende Unglechung erfüllt: 29) ξ ) = mn θ, + t, ξ >, ξ, V k ) ξ, V k ) ξ für da k -te o mu mndeten ene der Größen E um ξ ) erhöht werden, wobe de, Nummern den Bedngungen: τ, + t, = ξ und, A k) genügen. Sont glt G =. 4

15 De Größe E, kann entweder durch de Erhöhung der unteren Grenze F = Flow oder aufgrund der Lockerung der entprechenden oberen Schranke E geändert werden. Der Fall E, = E für alle Nummern au Behauptung bedeutet, da de getellte Aufgabe kene Löung hat. Mndeten ene der aufgedeckten oberen Schranken mu gelockert werden. De unteren Schranken B, =, n können auf ähnlche Art und Wee unterucht werden, d. h. man formulert Behauptung bezüglch der Mengen W ξ k). D. Baalgorthmen I. Ermttlung enger boolechen Varablen m Rahmen ene Arbetytem Wr etzen vorau, da alle Größen ρ k), k =, m frühzetg berechnet nd. Dann ordnen wr de Arbetyteme entprechend der abtegenden Rehenfolge deer Größen an, d. h. e glt: ρ κ ) ρ κ ), k =, K, m. Für belebge k betrachten wr den folgenden Algorthmu: k k+ Algorthmu k ). Der Kenner z A wrd auf Null geetzt. Schrtt. Für alle Paare der Arbetvorgänge O, O ), α, β ) P κ ) werden de Bedngungen 4-5) geprüft. α β k Wenn de Unglechungen 4) gültg nd, o wrd z : 2, l : = l + und { θ β ) + t β ) τ α ), θ α ) + t α ) τ ) }, l : = mn β geetzt. Dabe t Algorthmu zu Ende. Wenn α =, und β = p, r) de Unglechungen 5) erfüllen, mt α, β ) P, o wrd γ α, β ) : =, γ β, α ) : = fetgelegt und de Menge von Paaren der Multndze wrd durch de trantve Abchleßung von A = P P α, β ) β, ) eretzt. α In deem Fall werden auch l : = l + und : = θ p, r) + t p, r) τ, ) gepechert., l E wrd z : geetzt, fall entweder τ, + t, > τ p, r) oder A = θ, + t, > θ p, r). Dann werden de Werte τ, und θ p, r) owe de entprechenden Schranken der benachbarten Arbetvorgänge deelben Auftrag nach Formeln 6-7) korrgert. Schrtt 2. Für alle Arbetvorgänge O, A κ k ) werden beret fetgelegte Nachfolger und Vorgänger aufgrund der vorlegenden Menge P gefunden. 5

16 α Wenn der Arbetvorgang mt dem Multndex der ganzen Gruppe von Arbet- vorgängen mt, =, zuvorkommt, o wrd der Wert τ ) entprechend J α Formel 9) eventuell verklenert. De entprechenden Schranken der benachbarten Arbetvorgänge deelben Auftrag werden gemäß 6) berchtgt. β Wenn der Arbetvorgang mt dem Multndex der ganzen Gruppe von Arbet- vorgängen mt, =, folgt, o wrd der Wert θ ) entprechend Formel J β 2) eventuell vergrößert. De entprechenden Schranken der benachbarten Arbetvorgänge deelben Auftrag werden gemäß 7) berchtgt. Wenn tatächlche Schrankenänderungen n Schrtt 2 tattgefunden haben, o wrd z : = A geetzt. Damt endet Algorthmu. Nach Ablauf de Algorthmu wrd entweder ncht geändert dann endet er mt z = A ), oder de neue Menge Q aufgebaut, d. h. de neuen unteren und oberen Schranken für de Starttermne berechnet z = A ), oder de Tatache G = fetgetellt z = 2 A ). Im Laufe von Algorthmu werden der Telmenge P P, de beret fetgelegte booleche Varablen angbt, zuätzlche neue Paare der Multndze hnzugefügt. Dadurch erhöht ch automatch de Ordnung der Arbetvorgänge m κ -ten Arbetytem 3. Parallel dazu werden de Größen, l =, 2, K geammelt, k,l mt denen päter de untere Grenze von F max für entgegengeetzten Wert der vorert fetgelegten boolechen Varable berechnet werden kann. II. Zerlegung der Menge zuläger Termnpläne n de Untermengen Man kann Algorthmu k ) mehrmal be fxertem k laufen laen, b er den Kenner z = A augbt, dann kann ene Schlefe über k =, m augeführt werden, wobe de Ermttlung der lokalen Ordnung von den Arbetytemen mt größter Spannung angefangen wrd. De große zetlche Spannung oll de Entwcklung der Menge P eher begüntgen. Trotz der gechlderten Berechnungtratege kann man nemal garanteren, da de Telmenge P b de ganze Menge P augebaut wrd, da heßt alle boolechen Varablen fetgelegt werden. E werden eventuell enge Gruppen der partell geordneten Arbetvorgänge bleben, deren exakte Rehenfolge ch allen durch Algorthmu ncht ermtteln lät. Für de zwe anenander ncht geordneten Arbetvorgänge O und O mt α, β ) P k) t da folgende Unglechungytem α β 6

17 3) θ α ) + t α ) τ β ) θ β ) + t β ) τ α ) mt Parametern au Q P ) erfüllt. Wenn Algorthmu erchöpft t, o blebt der Wert γ α, β ) unbetmmt und man mu de konvexe Enhüllende auf küntlche Q Art und Wee verklenern. De kann entweder durch unmttelbare Telung der Menge m Raum der Zutandvarablen erfolgen, oder mttelbar, durch de Analye der Verzwegung der bher unbetmmten boolechen Varablen, d. h. m Steuerraum. Hermt wrd nur de zwete Berechnungtratege erläutert. E glt de noch ncht fetgelegten boolechen Varablen nach hrer auftegenden Prortät anzuordnen: γ α h), β h) ) mt h), β h) ) P \ P α, h =,, wobe H H 2 de Geamtzahl olcher Varablen m -ten Schrtt de Hauptalgorthmu t. Dabe laen ch verchedene heurtche Anordnungregeln vorchlagen. Jede Mal werden bede Zuweungen γ α H ), β )): = und γ α H ), β )): = H H betrachtet, aufgrund deren ene Verzwegung erfolgt. An Stelle der Menge zwe neue eventuell klenere Mengen hervorgebracht: 3) γ = Q γ = Q = = { x A) Q : max{ θ α h)), θ β h)) + t β h))} x α h)) τ α h)), θ β h)) x β h)) mn{ τ β h)), τ α h)) t β h))}}, { x A) Q : θ α h)) x α h)) mn{ τ α h)), τ β h)) t α h))}, max{ θ β h)), θ α h)) + t α h))} x β h)) τ β h))} Q werden mt Parametern au Q = Q be h = H. Nach deem Schrtt kann weder mt Algorthmu verfahren werden, der wetere booleche Varablen für γ = Q und für γ = Q automatch entellt. Im allgemenen entteht zum Schlu en Bnärbaum. Wr nehmen an, da de konvexen Enhüllenden dee Baume entprechen. Dann glt offenchtlch 32) G U Q ν ) N ν = Q ν ), ν =, N den Endknoten Wenn nach der Behandlung mt Algorthmu fetgetellt wurde, da ede deer Enhüllenden nur den leeren Antel der Errechbarketmenge enthält, o glt G =. 7

18 Dann mu der Parameter F auf F > F vergrößert werden, um de Kompatbltät de Retrktonytem 8-) be η = F + zu erzelen. + Während der Auführung von Algorthmu und der Fetlegung neuer boolecher Varablen ammelt man de Größen, l, l =, 2, K aller eventuellen Engpäe. Behauptung. E glt 33) F + = F + mn, l l=, 2, K F F +, wobe Wenn nach der Behandlung mt Algorthmu alle boolechen Varablen für mndeten enen Knoten de Bnärbaume ermttelt worden nd, o entprechen dee Werte nach Behauptung 2 ener optmalen Steuerung der Starttermne. E könnte dann ken Termnplan ertellt werden, o da da Geamtproekt kürzer al F dauerte. III. Exakte Löungverfahren zur Ermttlung de globalen Optmum In vorhergen Abchntten haben wr ämtlche Vorberetungen getroffen, um nun den Hauptalgorthmu zuammentellen zu können. Er baert auf gradueller Vergrößerung de Parameter F n der Zutandretrkton η F. Be edem Parameterwert wrd de Unteruchung der Errechbarketmenge G durchgeführt, olange ch de vorherge Errechbarketmenge G al leer erwet. Am Anfang de Algorthmu glt e noch, de enfachten Krteren der Löbarket zu prüfen. Algorthmu 2. Der Kenner z A2 wrd auf Null geetzt. Schrtt. E werden de Bedngungen J B + t, E, =, n = geprüft. Fall enge von hnen verletzt nd, o wrd Algorthmu 2 mt der Meldung angehalten, da de entprechenden oberen oder unteren Schranken gelockert werden müen. Sont hat de Aufgabe kene Löung. Schrtt 2. E werden de Werte θ α ), α A nach Formeln 3) berechnet. Auf Grund deer Werte werden de untere Grenze F low und de zetlchen Spannungen enzelner Arbetyteme ρ k), k =, m mt Hlfe von 25-27) betmmt. De untere Grenze wrd al Startwert F : = F κ, low angenommen. De Rehenfolge k abtegenden Spannungen ρ κ ) wrd ermttelt. k Der Zähler äußerer Schlefe wrd auf Null geetzt. k =, m der 8

19 Schrtt 3. E werden de Werte E mn{ E, F }, =,, n = ntalert. Fall de Bedngung max E F =, n, ncht erfüllt t, o wrd Algorthmu 2 mt der Meldung angehalten, da enge obere oder untere Schranken gelockert werden müen. Sont hat de Aufgabe kene Löung. Schrtt 4. E werden de Werte τ α ), α A nach Formeln 4) berechnet. Damt wrd de erte Enhüllende Q kontruert. Be = werden de Bedngungen au Behauptung geprüft. Wenn nach deer Prüfung der Startwert vergrößert werden mu, o etze F : = F + ξ ) und gehe zum Schrtt 3 zurück. Wenn ch de Schranke B oder E al zu eng erwet, o wrd Algorthmu 2 mt der Meldung angehalten, da de entprechende Schranke gelockert werden mu. Sont hat de Aufgabe kene Löung. De Zähler l und d werden auf Null geetzt, Q : = Q. Schrtt 5Q ). E wrd de Schlefe n k =, m organert. Be edem laufenden k wrd Algorthmu k ) zur Unteruchung der konvexen Enhüllende Q augeführt. Wenn deer Algorthmu mt Kenner z = 2 A endet und d = glt, o geh zu Schrtt 8 über. Be d > geh zu Schrtt 7 über. Wenn Algorthmu k ) mt Kenner z endet und dabe alle boolechen Varablen chon fetgelegt nd d. h. Dann geh zu Schrtt 9 über. Wenn Algorthmu be edem A = P = P ), o t de optmale Löung gefunden. k mt Kenner z endet, o geh zu Schrtt 6 über, ont wederhol Schrtt 5, um de Enhüllende Q eventuell weter zu verklenern. Schrtt 6. Setze z : 2, d : = d +. De noch unbetmmten boolechen Varablen A2 = A = werden gemäß auftegender Prortät angeordnet: α h), β h) ) γ, h =, H P ). Setze ferner h = H P ). An Stelle der vorlegenden Enhüllende Q werden zwe neue : γ = γ = Mengen Q und Q entprechend 3) mt Parametern au Q ) kontruert. Setze α h), β h) ): = γ und γ β h), α h) ): = Abchleßung von P α h), β h) ) β h), α )) h. De entprechende trantve wrd al Menge gepechert. Setze ferner γ α h), β h) ): = und γ β h), α h) ): = Abchleßung von P α h), β h) ) β h), α )) h P d. De andere trantve wrd al Menge gepechert. P = Setze ferner Q : = Q γ, = Q : = Q γ d und geh zu Schrtt 5Q ) zurück. 9

20 Schrtt 7. Wenn z = 2 A2, dann ubttuere z A2 : =, P : = Pd geh zu Schrtt 5 Q ) zurück., d Q : = Q, d : = d und Wenn 5 Q ) zurück. z = A2, o ubttuere P : = P d, d Q : = Q, d : = d und geh zu Schrtt Schrtt 8. De Aufgabe mt η F hat kene Löung. Der Wert wrd entprechend 33) vergrößert. Der Zähler wrd geändert: : = +. Dann geh zu Schrtt 3 zurück. Schrtt 9. De trantven Graphen voller Ordnung nd nun für ede Arbetytem aufgebaut. Se entprechen der optmalen Steuerung der Rehenfolgen der Arbetvorgänge und werden durch de entprechenden Kettengraphen repräentert. De optmalen Starttermne werden durch de vorhandenen frühet- oder pätetmöglchen Starttermne fetgelegt: Setze z. B. x α ) : = θ α), Ergebne werden n Form ene Gantt-Dagramm grafch dargetellt. α A. De Der vorgechlagene Algorthmu lefert mmer Antwort, wenn alle oberen Schranken E, =, n gegeben nd. Wenn nur en Tel deer Größen vorlegt und de Möglchket beteht, da de Aufgabe aufgrund der zu engen Bechränkungen unlöbar t, o ollte man Algorthmu 2 modfzeren. De Fertgungaufträge nd zunächt gemäß der auftegenden Abchlutermne anzuordnen, wobe de Aufträge ohne Abchlubechränkung al letzte getellt werden ollen. Dann kontruere man ene Folge von Hlfaufgaben klenerer Dmenon. De erte Hlfaufgabe mu nur zwe erte Fertgungaufträge mt hren oberen Schranken enthalten. Jeder weteren Hlfaufgabe wrd en nächter Fertgungauftrag au der Rehe hnzugefügt, wobe de Belegung aller Arbetyteme tändg unterucht wrd. Algorthmu 2 wrd auf ede Hlfaufgabe der Rehe nach angewendet, da erlaubt de eventuell vorlegende Unlöbarket frühzetg zu entdecken. In den meten Fällen kann auch de untere Grenze m F low der nachfolgenden Hlfaufgabe durch de Löung der vorhergen deutlch verbeert werden, denn e kann nun en Maxmum zwchen F low und dem zuletzt gefundenen Optmalwert für den Start genommen werden. De gechlderte Folge der Hlfaufgaben endet, obald nur Fertgungaufträge ohne Abchlubechränkung n der Rehe bleben. Wenn kene Unlöbarket b dahn entdeckt worden t, o glt auch de Augangaufgabe al löbar. Danach mu Algorthmu 2 für dee ganze Aufgabe mt eventuell verbeerter unterer Grenze) zum letzten Mal getartet werden. Da globale Optmum wrd nun mt Scherhet gefunden. 2

21 Wenn da zu behandelnde Schedulngproblem ehr groß t, o ollte am Schlu der Berechnungen de Möglchket vorbehalten werden, de äußere Schlefe frühzetg mt betmöglcher Löung zu verlaen, denn e geht um de Behandlung ene NPchweren Problem, deen wrklche Berechnungdauer ch m Vorfeld kaum abchätzen lät. Man kann unter Umtänden zur Heurtk wecheln, ndem man etwa größere Zuwäche de Parameter erlaubt, al e n Schrtt 8 von Algorthmu 2 vorgeehen nd. Damt verfehlt man möglcherwee da globale Optmum, erzelt aber de angenäherte Löung mt gerngerem Rechenaufwand. De enzge Vorauetzung dabe t de Löbarket de Problem, de auf Grund der bechrebenen Folge der Hlfprobleme vorert fetzutellen t. De Folge der zetlch bechränkten Fertgungaufträge und der mt hnen verbundenen Hlfaufgaben kann auch ander kontruert werden. De Anordnung darf dabe den auftegenden Abchlutermnen ncht unbedngt entprechen. Be eder Anordnungtratege wrd nur der Fakt der Unlöbarket möglcht frühzetg ermttelt owe de Telmenge der bechränkten Fertgungaufträge, deren Schranken gelockert werden müen. Um we vel ede Schranke geändert werden mu, blebt aber offen. Be praktcher Behandlung der umfangrechen Schedulngprobleme mt zuätzlchen Retrktonen auf Begnn und Abchlu enger Aufträge t de möglcht große Zahl von Varanten der notwendgen Schrankenänderungen m Falle der Unlöbarket von Bedeutung. Jede Art der notwendgen Retrktonverletzung kann nachträglch mt Hlfe de alternatven Optmerungkrterum 2) bewertet werden. Somt erkennt der Benutzer alle vorhandenen Engpäe, modfzert ene Engangdaten gezelt und teuert e ukzev n Rchtung der Löbarket. Zum Zweck der Ermttlung ämtlcher Engpäe m Falle der Unlöbarket kann en Sonderalgorthmu ohne Hlfretrkton F η F ) vorgechlagen werden, der Algorthmu 2 edoch ähnlch t und allen auf de Arbetvorgänge au den zetlch bechränkten Fertgungaufträgen angewendet wrd. De volltändgen Varanten werden tel aufgrund Algorthmu, tel aufgrund de eventuell auftretenden Bnärbaume zuammengetellt. Wenn nur de m Snne 2) klenten Engpäe zu ermtteln nd, o glt e en neue Branch-and-Bound Verfahren für de Probleme vom Typ J Σ w L zu entwckeln. E. Illutratve und numerche Bepele Da Job-Shop-Problem mt zuätzlchen Retrktonen auf Begnn und Abchlu enger Aufträge kann m Enzelfall recht unterchedlche Egenchaften erween. 2

22 Da n deer Arbet bechrebene Verfahren reagert darauf genauo egenartg. Zunächt werden zwe llutratve Bepele, mt und ohne Löbarket de Problem, angeführt. Bepel. E werden 3 Fertgungaufträge betrachtet, welche n 4 verchedenen Arbetytemen augeführt werden. De Anzahl der Arbetvorgänge n edem Fertgungauftrag entprcht genau der Anzahl der Arbetyteme 4. Sämtlche Engangdaten nd n Tabelle dargetellt, wobe de Zuweung enzelner Arbetvorgänge den Arbetytemen mt Hlfe der Buchtaben antatt Zahlen) fetgelegt wrd. De Datentabelle enthält n hrem rechten Tel de Dauer aller Arbetvorgänge und de Schranken für Begnn und Abchlu der entprechenden Fertgungaufträge, fall dee Schranken vorhanden nd. Tab. : Engangdaten für Bepel = = = 2 = 3 = 4 = = 2 = 3 = 4 A B C D # # 2 A C B A # 2 3 D C B D # 3 B E Bevor Algorthmu 2 auf da vorlegende Problem angewendet wrd, nd de Engangdaten n bezug auf de Löbarket zu prüfen. Dazu benutzen wr den Sonderalgorthmu ohne Hlfretrkton η F ), der de Arbetvorgänge au dem zweten und drtten Fertgungauftrag analyert. Für dee Arbetvorgänge werden frühet- und pätetmöglche Starttermne nach Formeln 3-4) berechnet. Schon m Laufe von Algorthmu tellen ch folgende Bezehungen herau: θ 2,2) + t2,2) > τ 3,2) θ 3,2) + t3,2) > τ 2,2) De bedeutet, da be den gegebenen Werten und E kene zulägen Termnpläne exteren: Entweder mu der zwete Abchlutermn auf 26, oder der drtte Abchlutermn auf 44 erhöht werden. Man kann n dem vorlegenden Bepel lecht prüfen, da dee notwendgen Bedngungen der Löbarket zuglech auch hnrechend nd. Somt nd ämtlche Engpäe n den Engangdaten entdeckt worden. E2 3 Bepel 2. E werden weder 3 Fertgungaufträge und 4 Arbetyteme betrachtet. De Engangdaten entprechen Tabelle, dennoch wrd nun ken Abchlutermn dem zweten Fertgungauftrag zugeween. 22

23 Gemäß 24) und 27) glt: F = max{6,} und F = max{6,4}. Für low low wetere Berechnungen wrd de enfachere untere Grenze F low = 6 verwendet. Schon m Laufe von Algorthmu wrd fetgetellt, da der Schlupfparameter F = 6 auf den nächten Wert F 26 erhöht werden mu. Im zweten Schrtt von Algorthmu = 2 erfolgt zum erten Mal ene Verzwegung, wobe bede Äte de Bnärbaume zu den Löungen führen. De Löungmenge n dem vorlegenden Bepel beteht alo au zwe unterchedlchen Termnplänen mt zwe verchedenen Rehenfolgen der Arbetvorgänge m Arbetytem B. In der erten Löungvarante kommt de Operaton,2) hnter der Operaton 3,3); n der zweten herrcht umgekehrte Ordnung. In Tabelle 2 wrd nur de erte Löungvarante dargetellt. Tab. 2: Berechnungwerte n Algorthmu 2 m Falle von Bepel 2 Kenner, aller Arbetvorgänge Schranken für Starttermne Schranken für Starttermne am Anfang F =6 ) zum Schlu F = F 26 ) θ, ) τ, ) θ, ) τ, ) x, = Optmale Start- und Endtermne, ) 2,) 2 35,) ,4) ,3) ,2) ,3) ,2) ,2) ,3) ,) 2 5 3,4) ,4) Der optmale Termnplan wrd n Abbldung 2 mt Hlfe de Gantt-Dagramm veranchaulcht. Unten n derelben Abbldung t da Ergebn de heurtchen Löungverfahren au Domchke u. a. 997) 5 zu ehen. De ntenve Betrachtung de Job-Shop Schedulng Problem n der Lteratur hat zu der Zuammentellung umfangrecher und allgemen anerkannter Tetdatenätze geführt, mt deren Hlfe e möglch t, de Effzenz von Verfahren durch Anwendung auf dee Datenätze zu verglechen; ehe z. B. Jan und Meeran 999). Zunächt wurde de Funktonaltät de entwckelten Löungalgorthmu anhand klacher Tetaufgaben FT6x6 und FTx au Fcher und Thompon 963) geprüft. Danach wurden von un zwe andere Tetaufgaben DMU. bzw. DMU2. mt zuätzlchen Retrktonen auf Abchlu aller Fertgungaufträge kontruert und numerch gelöt. De Tetaufgaben tammen au den Datenätzen von Demrkol, Mehta, Uzoy 996), 23

24 Abb. : Gant-Dagramme für exakte Löungen der Job-Shop Probleme DMU 2x5 24

25 generert für zwe verchedene Problemklaen J Cmax bzw. J 2et Cmax. De Tetaufgabe DMU. wurde mt den Werten E = 272, 23, 95, 27, 3, 25, 2, 333, 44, 38, 36, 22, 45, 26, 645, 825, 9, 29, 335, 34) und de Tetaufgabe DMU2. mt den Werten E = 3235, 475, 285, 5, 288, 37, 4425, 2285, 3755, 9, 26, 353, 635, 3745, 2555, 32, 75, 45, 285, 73) augebaut. Obwohl de Datenätze von Demrkol ehr komplexe Schedulngprobleme blden und bher überwegend zur Tetung nur heurtcher Verfahren benutzt wurden, hat uner Algorthmu de beden Tet gut übertanden, we e au Tabelle 3 hervorgeht. Tab. 3: Berechnungdauer für de zwe letzten Schrtte de Algorthmu Datenatz n m H max LB F CPU, ec FT6x *) FTx *) DMU *) DMU *) De entprechenden optmalen Termnpläne werden n Abbldung mt Hlfe der Gantt-Dagramme veranchaulcht. Darauf kann man ehen, we de Blocktruktur der exakten Löung von DMU2. durch de anweenden Zuatzretrktonen zertört wrd. Abb. 2: Gantt-Dagramme für exakte und für angenäherte Löung von Bepel 2 k8 = D k7 = C k6 = B k = A = 3 2 = 2 = 3,) 3,2) 3,3) 2,),) 3,) 3,2) 3,3) 2,),) 3,4),4) 2,2),3),2) 2,3) 2,4) 3,4) 2,2) 2,3) 2,4),2),3),4) Zetache k8 = D k7 = C k6 = B k5 = A 4 3 = 3 2 = 2 = 3,),4) 3,4),3) 3,2) 2,2),2) 3,3) 2,3),) 2,) 2,4) 3,) 3,2) 3,3) 3,4) 2,) 2,2) 2,3) 2,4),),2),3),4) Zetache 25

26 Anmerkungen Vgl. Zäpfel 996) und Zack 978). 2 Al zugehörge Lteraturtellen können folgende Beträge genannt werden: Gffler und Thompon 96), Hoch 973), Segel 974), Zack 978), Brucker und Jurch 993), Lawler u. a. 993), Blazewcz u. a. 993), Brucker 995), Zäpfel 996). De neuten Lteraturhnwee fndet man auch n Blazewcz u. a. 996) owe n Jan und Meeran 999). 3 Sehe Carler und Pnon 989) owe Krell 958). 4 Lee dazu: Brucker und Jurch 993) owe Brucker 995), Charlton und Death 97), Ahour und Heremath 973), Barker und McMahon 985), Carler und Pnon 989), Applegate und Cook 99). 5 Sehe: Zäpfel 996), Brucker und Jurch 993), Lawler u. a. 993), Blazewcz u. a. 993), Aker und Fredman 955), Gffler und Thompon 96), Charlton und Death 97), Ahour und Heremath 973), Haupt 989), Storer u. a. 992), Book und Whte 965), Bowman 959), Manne 96), Dantzg 96). 6 Mehr dazu lee n der Monographe von Ore 962). 7 Der volltändge Graph parteller Ordnung wrd zum Bepel n Brucker 995) auführlcher dkutert. 8 De bedeutet, da ch alle Graphen parteller Ordnung n de trantven Graphen voller Ordnung verwandelt haben. 9 Wenn de untere Schranke für den Begnn rgendene Fertgungauftrag ncht gegeben t, o wrd e durch Null eretzt und der erte Tel von Retrktonen ) blebt betehen. D. h. zwe Sonderlöungen, mt frühet- und pätetmöglchen Starttermnen, können au der Löungmenge de Optmerungproblem lecht rekontruert werden. Der optmale Wert elbt darf dabe unbekannt bleben. 2 E e bemerkt, da de urprünglche Anzahl der Steuervarablen von der Anzahl der Zutandvarablen quadratch abhängt, wohngegen de optmale Steuerung nur mt recht wengen Werten defnert werden kann. Se nd ogar um m wenger al de Anzahl der Zutandvarablen. De retlchen Komponenten der optmalen Steuerung kann man au dem enfachen Prnzp der Trantvtät reproduzeren. 3 De entprcht der Berechnungtratege von Carler und Pnon 989) namen Immedate electon. 26

27 4 Dee Bedngung entprcht den klachen Vorauetzungen für de Job-Shop Probleme. Sehe z. B. n Fher und Thompon 963). In der Prax dürfen de Dmenonen edoch recht belebg aufallen. 5 Bdrektonale Enplanen, Punkt 5.6.3, S. 46 Heurtche Verfahren zur Mnmerung der Zykluzet. Lteratur [] Aker, S. B. und Fredman, J. 955) A non-numercal approach to producton chedulng problem, Operaton Reearch 3, [2] Applegate, D. und Cook, W. 99) Acomputatonal tudy of the ob-hop chedulng problem, ORSA Journal on Computng 3, [3] Ahour, S. und Heremath, S. R. 973) A branch-and-bound approach to the ob-hop chedulng problem, Int. J. Product. Re. ), [4] Bala, E., Lanca, G., Serafn, P. und Vazacopoulo, A. 998) Job-hop chedulng wth deadlne, J. Combnatoral Optmzaton 4), [5] Barker, J. R. und McMahon, G. B. 985) Schedulng the general ob-hop, Management Scence 3, [6] Blazewcz, J., Domchke W. und Pech E. 996) The ob hop chedulng problem: Conventonal and new oluton technque. Eur. J. Oper. Re. 93, -33 [7] Blazewcz, J., Ecker, K., Schmdt, G. und Weglanz, J. 993) Schedulng n Computer and Manufacturng Sytem, Berln et al [8] Bowman, E. H. 959) The chedule-equencng problem, Operaton Reearch 75), [9] Brook, G. H. und Whte, C. R. 965) An algorthm for fndng optmal or nearoptmal oluton to the producton chedulng problem, J. Ind. Engng., [] Brucker, P. 995) Schedulng Algorthm, Sprnger-Verlag: Berln, Hedelberg und New York [] Brucker, P. und Jurch, B. 993) A new lower bound for the ob-hop chedulng problem, Eur. J. Oper. Re. 642), [2] Carler, J. 982) The one-machne equencng problem, Eur. J. Oper. Re., [3] Carler, J. und Pnon, E. 989) An algorthm for olvng the ob-hop problem, Management Scence 352), [4] Charlton, J. und Death, C. C. 97) A method of oluton for general machnechedulng problem, Operaton Reearch 8, [5] Dantzg, G. B. 96) A machne-ob chedulng model, Management Scence 62), 9-96 [6] Demrkol, E., Mehta, S. und Uzoy R. 996) Benchmarkng for hop chedulng problem, Reearch Memorandum No. 96-4, Purdue Unverty [7] Domchke, W., Scholl, A. und Voß, St. 997) Produktonplanung. Ablauforganatorche Apekte, Sprnger-Verlag: Berln, Hedelberg [8] Dorndorf, U., Pech E. und Phan Huy, T. 2) Contrant propagaton technque for dunctve chedulng problem, J. Artfcal Intellgence 22,

28 [9] Fcher, H. und Thompon, G. L. 963) Probabltc learnng combnaton of local ob-hop chedulng rule, Indutral Schedulng, J. F. Math and G. L. Thompon edtor), Prentce-Hall, Englewood Clff, NJ [2] Gffler, B. und Thompon, G. L. 96) Algorthm for olvng productonchedulng problem, Operaton Reearch 8, [2] Haupt, R. 989) A urvey of prorty rule-baed chedulng, OR-Spectrum, 3-6 [22] Hoch, P. 973) Betrebwrtchaftlche Methoden und Zelkrteren der Rehenfolgeplanung be Werktatt- und Gruppenfertgung, Frankfurt a.m. und Zürch [23] Jan, A. S. und Meeran S. 999) Determntc ob-hop chedulng: Pat, preent and future. Eur. J. Oper. Re. 3, [24] Krelle, W. 958) Ganzzahlge Programmerungen. Theore und Anwendungen n der Prax, Unternenehmenforchung 2, 6-75 [25] Land, A. H., Laporte, G. und Mlot, P. 978) A unfed formulaton of the machne chedulng problem, Eur. J. Oper. Re. 2, [26] Lawler, E. L., Lentra, J. K., Rnnooy Kann, A. H. G. und Shmoy, D. B. 993) Sequencng and Schedulng: Algorthm and complexty, Logtc of Producton and Inventory, S.C. Grave et.al Hrg), Amterdam-London, [27] Leon, V. J. und Wu, S. D. 992) On chedulng wth ready-tme, due-date and vacaton, Naval Reearch Logtc 39, [28] Manne, A. S. 96) On the ob-hop chedulng problem, Operaton Reearch 82), [29] Ore, Ř. 962) Theory of graph, Amercan Mathematcal Socety. Colloquum Publcaton, Vol. 38 [3] Segel, Th. 974) Optmale Machnenbelegungplanung, Betrebwrtchaftlche Studen: Nr. 2, Berln [3] Storer, R. H., Wu, S. D. und Vaccar R. 992) New earch pace for equencng problem wth applcaton to ob chedulng, Management Scence 38, [32] Zack, Yu. A. 978) Certan properte of chedulng theory problem, Autom. and Remote Control 39, 99-7 [33] Zäpfel, G. 996) Grundzüge de Produkton- und Logtkmanagement, Verlag Walter de Gruyter, Berln New York [34] Zmmermann, H.-J. 97) Netzplantechnk, Verlag Walter de Gruyter, Berln New York 28

29 Zuammenfaung E wrd de Aufgabe der Termn- und Rehenfolgeplanung n Form ene Job-Shop- Problem mt zuätzlchen Retrktonen auf Begnn und Abchlu enger Job betrachtet. Auf Ba fetgetellter Egenchaften von frühet- und pätetmöglchen Starttermnen ämtlcher Arbetvorgänge gelngt e qualtatve Auwertungen von unten für de Geamtproektdauer zu erhalten. Dadurch werden chon n den erten Schrtten de Algorthmu de Termnpläne mt notorch unzuläger Ordnung der Arbetvorgänge augecheden und de Engpäe n der Reourcenkapaztät und/oder n den vorgegebenen Endtermnen enzelner Aufträge gefunden. E werden exakte und approxmatve Löungverfahren entwckelt, de ch auf ener equenzellen Annäherung von unten an de Menge der zulägen Löungen beruhen und mtande nd, n edem Iteratonchrtt de Kompatbltät de vorlegenden Retrktonytem, welche enen ch teratv präzerenden gemenamen Endtermn für alle exterende Aufträge mt enchleßt, numerch effektv zu prüfen. Be ukzever Lockerung de gemenamen Endtermn oll de zuert entdeckte kompatble Löung zuglech al optmal gelten. Summary The temporal and capacty plannng n the form of ob-hop problem wth addtonal retrcton on the ntaton and completon of everal ob condered. On the bae of determned properte of the earlet and latet poble tme for the ntaton of chedulng operaton we ucceed n obtanng of effectve low bound for the proect duraton. Ung thee we can cut off the plan wth wttngly nadmble order of operaton from the frt tep of the algorthm, and determne conflct n the reource and/or n the precrbed perod for completon of certan ob. Accurate and approxmate numercal method are developed, baed on the ucceve approxmaton to the feable et "from below", whch permt on each teraton to control effcently the compatblty of the arng contrant, whch nclude the teratvely refned common temporal retrcton on the completon of all ob. The frt compatble oluton, found n the proce of progreve relaxaton of the common temporal retrcton, ha to be optmal. 29