2.2 Dynamische Systeme und ihre Softwaremodelle

Transkript

1 2.2 Dynamische Syseme und ihre Sofwaremodelle

2 Was wissen wir bis jez? Es exisier ein Prozess (absrahier als Sysem), der (das) über Akoren durch Signale beeinfluß werden kann und über Sensoren Signale über seinen Zusand mieil. Die Signale repräsenieren Maerie, Energie und/oder Informaion. Maerie Energie Informaion PROZESS (SYSTEM) Maerie* Energie* Informaion* Zusand

3 1. 2. Syseme können saisch / dynamisch, zeikoninuierlich, zeidiskre sark / schwach kausal (bzw. linear / nichlinear) sein x G y? Was kann man mi diesen Sysemeigenschafen anfangen? Wozu brauch man G? und wie finde man G?

4 2.2.1 Gewinnung von Modellen

5 Das Verhalen von Sysemen is enscheidend für den Erfolg, d.h. für : den Energieverbrauch von Heizanlagen die Wirksamkei von Jalousien oder die Effizienz von Lüfungsanlagen usw.... Es is voreilhaf, wenn man den mahemaischen Zusammenhang zwischen den auf ein Sysem wirkenden Ein- und Ausgangssignalen kenn, zum Beispiel als: saische Beschreibung y = f(x) oder dynamische Beschreibung y = f(x())

6 Die Beziehungen y = f(x) bzw. y = f(x()) sind mahemaische Modelle. Sind diese Modelle bekann, kann das Verhalen des Sysems : vorausschauend (prädikiv) berache, simulaiv unersuch oder opimal geseuer werden. Definiion: Modell Ein Modell is eine Absrakion eines realen Objeks uner Weglassung der für den Modellierungszweck nich relevanen Komponenen.

7 Heizungs-Sysem Brenner Kessel Rohre (Vorlauf) Heizkörper Rohre (Rücklauf)

8 Korrekurwer Kesseldruck Einzelbehäler

9 Theoreische Analyse

10 Behäler: A 2 Volumen-Gleichgewich: A 1 dv 1 A1 dl A2dp dv2 v e dp p dl dp v e A A 1 2 d v e d : DGL als Lösung v e v e p k 0 v e d p p

11 v e INT k p Signalflußgraph: inegrierendes Sysem als Modell des Behälers

12 v e Pegel Behäler ohne Abfluss

13 v e Pegel Behäler ohne Abfluss v e Pegel Behäler mi Abfluss

14 v e Pegel Behäler ohne Abfluss Syseme mi Zu- und Abfluss z.b. Wärmehaushal eines Hauses (Innenemperaur) v e Pegel Behäler mi Abfluss p

15 v e Pegel p Behäler ohne Abfluss Gebäude ideal isolier v e Pegel Behäler mi Abfluss

16 v e Pegel p Behäler ohne Abfluss Gebäude ideal isolier v e Pegel p Behäler mi Abfluss Gebäude mi Wärmeabfluss

17 Verzögerungssysem 1. Ordnung (T 1 ) p T 1 z.b. zufließende Wärmeleisung p (Heizung) z.b. gespeichere Wärmeenergie (Innenemperaur ) Syseme mi Zu- und Abfluss z.b. Wärmehaushal eines Hauses (Innenemperaur) Differenialgleichung d d *T 1 + () = p() Differenzengleichung (i) = (1- )*p(i) + * (i-1) mi = T 1 p T + T 1

18 3. Informaionsverarbeiung in Objeken

19 3.1. Abasung von Signalen an der Schniselle

20 Falls Sysem an einen Rechner angeschlossen is wer- und zei-diskree Signale x * ( k ) = absrake Zahlen TASK führ zeidiskre Algorihmus aus sell y * ( k ) als Ergebnis berei Rechner TASK y * [ k ] = f(x * [ k ],q * [ k ]) Seuerwerausgabe Sysem

21 [s]

22 schnelle Abasperiode T AS [s]

23 schnelle Abasperiode T AS [s]

24 langsame Abasperiode T AL [s]

25 ???? [s] langsame Abasperiode T AL

26 ???? [s] langsame Abasperiode T AL

27 4. Objeke und Syseme in geschlossenen Signalzyklen

28 Sofware: objekorienier SOFTWARE Sensoren Messwer- Erfassung Seuerwerausgabe Akoren PROZESS Prozess: sysemorienier Gemeinsamkeien von Objeken und Sysemen: Ihr Zusammenwirken is nur über Schnisellen möglich (Boschafen zwischen Objeken, Signale zwischen Sysemen) Es ineressier nur ihr Verhalen an den Schnisellen, nich ihr inerner Aufbau (informaion hiding = Verbergen und Schüzen der inernen Implemenierung): Es reich aus, das Verhalen an den Schnisellen zu kennen! Es gib bewähre Ordnungsprinzipien zur Beherrschung der Vielfal (Klassenbildung, Insanziierung)

29 Sofware: objekorienier SOFTWARE Sensoren Messwer- Erfassung PROZESS Prozess: sysemorienier Prozessbeobachung: open loop

30 Sofware: objekorienier SOFTWARE Seuerwerausgabe Akoren PROZESS Prozess: sysemorienier Prozessseuerung: open loop

31 Sofware: objekorienier SOFTWARE Sensoren Messwer- Erfassung Seuerwerausgabe Akoren PROZESS Prozess: sysemorienier Prozesssregelumg: closed loop

32 4.1. Seuerung

33 Seuerung Bei einer offenen Seuerung wirken eine / mehrere Eingangsgrößen (Sellgrößen) y auf einen Prozess nach bekannen und diesem Prozess eigenen Gesezmäßigkeien mi dem Ziel ein, das Verhalen anderer Ausgangsgrößen x in gewünscher Weise zu beeinflussen. Kennzeichnend sind offene Wirkungswege bzw. Signalflusswege, d.h. alle Teile des Sysems sind rückwirkungsfrei in Reihe oder parallel geschale, der Signalflussgraph is zyklenfrei. Dabei is die Sellgröße y Ausgangsgröße der Seuereinrichung und zugleich Eingangsgröße des Prozesses. y Seuerung G R y=g R e Prozess (Srecke) G S x x=g S y

34 Beispiel: Heizungsvenil Eingabe-Peripherie (z.b. Tasaur) I-Eingabe Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) I-Ausgabe Re c hne r Informaions-Verarbeiung I-Nuzung Se ll-pe rip he rie (z.b. Akoren) A öffnen Elekromoor 100 % M Z sc hließen I-Gewinnung Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Foozelle) La m p e Flüg elrad Durc hfluß 0 % Schieberposiion Srömungsgeschwindigkei VS

35 Typen von Seuerungsalgorihmen Führungsseuerung: Die geseuere Größe (z. B. Heizungsvenil) wird von einer unabhängigen Eingangsgröße (z. B. Außenemperaursensor) geführ, deren zeilicher Verlauf vorher nich bekann is. Außenem- Venilperaur sellung [%] Uhrzei Venilsellung [%] Zeiplanseuerung: Die geseuere Größe (z. B. Heizungsvenil) wird von einem unabhängigen Zeiplan (z. B. von einer Uhr abgeleie) geführ..

36 Beispiele für Seuerungen Technik Verkehr Beriebswirschaf Volkswirschaf Außenemperaur Venilsellung Heizkörper Verkehrszählung Ampelphasen Einschalquoen Werbezeien Fernsehprogramm Pläze im Callcener Inflaionsrae Zinssaz der Saasbank Welchen Nacheil haben alle Seuerungen?

37 4.2. Regelung

38 SOFTWARE Sensoren Messwer- Erfassung Seuerwerausgabe Akoren PROZESS Regelung (DIN 19222) Die Regelung is eine Mehode, einen Prozesszusand in der Weise zu ändern oder aufrech zu erhalen, dass roz gewisser Söreinwirkungen der aufgabengemäß gewünsche Zusand erreich wird. Die Größe, welche zur Darsellung des vorgeschriebenen Prozesszusandes bzw.. -ablaufes verwende wird, heiß Regelgröße x.

39 Beispiel: Regelung des Durchflusses y Regler G R y=g R e e _ x w Eingabe-Peripherie (z.b. Tasaur) I-Eingabe w Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) I-Ausgabe Prozess (Srecke) G S x=g S y x = Regelgröße y = Sellgröße z = Sörgröße w = Führungsgröße e = Regedifferenz / (Regelabweichung) x + z z I-Nuzung Se ll-pe rip he rie (z.b. Akoren) A öffnen Elekromoor 100 % Re c hne r Informaions-Verarbeiung M Z sc hließen y e Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Foozelle) Flüg elrad I-Gewinnung x La m p e Durc hfluß 0 % Schieberposiion Srömungsgeschwindigkei VS

40 Beispiel: Regelung des Durchflusses rivialer Algorihmus Fessellen des gewünschen Durchfluss-Weres w w Eingabe-Peripherie (z.b. Tasaur) Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) Messen des asächlichen Durchfluss-Weres x I-Eingabe Re c hne r Informaions-Verarbeiung e I-Ausgabe wie groß is die Differenz zwischen Soll- und Is-Durchfluss? e = w - x wenn Soll-Durchf > Is-Durchf (w>x), dann Venil y ewas weier öffnen wenn Soll-Durchf. < Is-Durchf (w<x), dann Venil y ewas weier schließen z I-Nuzung Se ll-pe rip he rie (z.b. Akoren) A öffnen Elekromoor 100 % M Z sc hließen y I-Gewinnung Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Foozelle) x La m p e Ausgabe der Venilsellung y Flüg elrad Durc hfluß 0 % Schieberposiion Srömungsgeschwindigkei VS

41 Beispiel: Regelung des Durchflusses rivialer Algorihmus EVA-Prinzip Fessellen des gewünschen Durchfluss-Weres w Eingabe Messen des asächlichen Durchfluss-Weres x Eingabe-Peripherie (z.b. Tasaur) I-Eingabe w Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) Re c hne r Informaions-Verarbeiung e I-Ausgabe wie groß is die Differenz zwischen Soll- und Is-Durchfluss? e = w - x Verarbeiung wenn Soll-Durchf > Is-Durchf (w>x), dann Venil y ewas weier öffnen wenn Soll-Durchf. < Is-Durchf (w<x), dann Venil y ewas weier schließen Ausgabe Ausgabe der Venilsellung y z I-Nuzung Se ll-pe rip he rie (z.b. Akoren) A öffnen Elekromoor 100 % M Z sc hließen y Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Se nso r (Foozelle) Flüg elrad I-Gewinnung x La m p e Durc hfluß 0 % Schieberposiion Srömungsgeschwindigkei VS

42 4.2.1 Saische Berachung

43 Regler G R e _ w y=g R e y x Prozess (Srecke) G S x + z x=g S y x Regelgröße ( Iswer, z.b. Raumemperaur) z Sörgröße (z.b. Wärmeeinrag von Menschen, Leuchen, PC, offenen Fensern) w Führungsgröße ( Sollwer = Wunschemperaur) e Regeldifferenz, -abweichung e = w x y Sellgröße (z.b. Venilsellung am Heizkörper)

44 Regler G R e _ w G 0 = x/e = y/e * x/y = G R *G S y=g R e y x Prozess (Srecke) G S x + z x=g S y x Regelgröße ( Iswer, z.b. Raumemperaur) z Sörgröße (z.b. Wärmeeinrag von Menschen, Leuchen, PC, offenen Fensern) w Führungsgröße ( Sollwer = Wunschemperaur) e Regeldifferenz, -abweichung e = w x y Sellgröße (z.b. Venilsellung am Heizkörper)

45 y Regler G R y=g R e e _ x w G 0 = x/e = y/e * x/y = G R *G S x G 0 = x/e = mi e=w-x (w x ) Prozess (Srecke) G S x + z x = x + z = G 0 *(w-x ) + z x = G 0 w - G 0 x + z x=g S y (1+G 0 )x = G 0 w + z G 0 1 x = w + z (1+G 0 ) (1+G 0 ) x Regelgröße ( Iswer, z.b. Raumemperaur) z Sörgröße (z.b. Wärmeeinrag von Menschen, Leuchen, PC, offenen Fensern) w Führungsgröße ( Sollwer = Wunschemperaur) e Regeldifferenz, -abweichung e = w x y Sellgröße (z.b. Venilsellung am Heizkörper)

46 y Regler G R y=g R e Prozess (Srecke) G S x=g S y x e x G 0 1 x = w + z (1+G 0 ) (1+G 0 ) + _ w z Beispiele: (was is x,y,z?) Seuern (KFZ-CO 2, ) Subvenionen erneuerbare Energie (Windkraf, BHKW, ) Börse, Preisbildung am Mark Absolvenen-Mark

47 y Regler G R y=g R e e _ x w G 0 1 x = w + z (1+G 0 ) (1+G 0 ) Prozess (Srecke) G S x=g S y x + z 1 x /w bleibende Regeldifferenz G 0 x = w (1+G 0 ) Spezialfall z=0 1/2 Führungsüberragungsfakor x /w 1 G 0

48 y Regler G R y=g R e e _ x w G 0 1 x = w + z (1+G 0 ) (1+G 0 ) Prozess (Srecke) G S x + z x /z x=g S y 1 x = z (1+G 0 ) Spezialfall w=0 1 1/2 1 Sörungsüberragungsfakor x /z bleibende Sörung G 0

49 Dynamische Berachung

50 Regler G R e _ w Bisherige Annahme: Srecke und Regler sind saische Syseme y=g R e y x Prozess (Srecke) G S x + z x=g S y

51 y Regler G R y=g R e e Bisherige Annahme: Srecke und Regler sind saische Syseme (enhalen keine Speicher) Momenanwere für e, y, x, z reichen aus saische Überragungsfakoren G reichen aus y Prozess (Srecke) G S x x=g S y y Regler g R () e Neue Annahme: Srecke und Regler sind dynamische Syseme (enhalen Speicher) Zeifunkionen e(), y(), x(), z() müssen berache werden (Were aus der Vergangenhei) Gewichsfunkionen g() zur Beschreibung nöig y y() = g R () * e() Prozess (Srecke) g S ) x() = g S () * v() x

52 w() Wie kann man den P-Regler verbessern (die bleibende Regelabweichung reduzieren)? y() x() w K PW w e B y B Erhöhung Versärkung K P (und dami auch G R und G 0 ) Voreile: - noch schnellere Reakion am Anfang - bleibende Regelabweichung e B am Ende wird reduzier y B = K P e B w x() e B x() w e B Nacheil: Schwingungen (Insabiliä)

53 4.2.3 Sabiliä

54 Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf x() Weg y() harmlose Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke

55 Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf x() Weg y() gefährliche Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke: Schwingungen

56 Definiion der Sabiliä

57 Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf B x x() Weg B y y() harmlose Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke: BIBO-sabil

58 Kraf Brücke Weg x() Sysem y() Kraf x() Weg B x B y? y() gefährliche Reakion (Zeiverhalen, Sprunganwor) einer Brücke: BIBO-insabil

59 Tacoma Narrows Bridge (Washingon, 7. November 1940)

60 4.2.4 Einfluss einer Srecken-Tozei

61 Bisher haen wir eine T 1 -Srecke angenommen: jez soll eine Tozei hinzukommen! y Regler g R y=g R *e e _ x w Benchmark-Experimen zum Vergleich aller Regler-Typen im realen Berieb an einer Tes-Srecke Prozess (Srecke) g S x z=0 x=g S *y Einheiliche Bedingungen für den Tes: Srecke is vom Typ T 1 keine Sörung (z=0) zu Beginn des Experimens alle Größen = 0 danach Sprung der Führungsgröße w y g s x

62 Tozeisysem (T z ) v x v y T z z.b. einfließende Flüssigkei v x T L z.b. ausfließende Flüssigkei v y z.b. Rohrleiung v y () = v x ( T L ) v y Differenialgleichung Differenzengleichung v y (i) = v x (i - n) v x

63 Bisher haen wir eine T 1 -Srecke angenommen: jez soll eine Tozei hinzukommen! y Regler g R y=g R *e e _ x w Benchmark-Experimen zum Vergleich aller Regler-Typen im realen Berieb an einer Tes-Srecke Prozess (Srecke) g S x z=0 x=g S *y Einheiliche Bedingungen für den Tes: Srecke is vom Typ T z -T 1 (Reihenschalung) keine Sörung (z=0) zu Beginn des Experimens alle Größen = 0 danach Sprung der Führungsgröße w y g s x

64 Wiederholung: T 1 -Srecke mi P-Regler w() y() x() w K PW w e B y B Neu: T z -T 1 -Srecke mi P-Regler y() x() K PW w e B y B

65 x x 95% T T u T a T T u T 95 T a T u = Ausgleichszei = Verzugszei T T 95 = Tozei = Einschwingzei bis auf 95% des Endweres Anwor ypischer Regelsrecken auf einen Sellgrößen-Sprung (Übergangsverhalen) T a T +T u T a T +T u > 10 Srecke is gu regelbar Links: Srecke mi Ausgleich Rechs: Srecke ohne Ausgleich < 3 Srecke is schlech regelbar Tes mi Hilfe der Sprunganwor, ob die Regelsrecke (der Prozess) von Schwingungen bedroh is

66 Zahl der Sudienanfänger und Absolvenen y Wirschaf e _ Schule (Sudienenscheidung der Abiurienen) Uni x

67 Zahl der Sudienanfänger und Absolvenen Immarikulaionen Fakulä Informaik Sudenen Jahr Reihe1

68 Produkion von Schweinefleisch ( Schweinezyklen ) y e Handel/Verbrauch _ Preisbildung Aufzuch x

69 Produkion von Halbleierschalkreisen (Speicher, Prozessoren) y e Handel/Verbrauch _ Preisbildung Bau einer neuen Fabrik x

70 Synhese durch Rechner-Opimierung

71 Möglichkeien zum Finden passender Reglerparameer: 1. Theoreische Synhese (Herleiung der opimalen Were) 2. Einsellregeln Messungen an der Srecke (z. B. Sprunganwor) Parameer aus Tabellen (meis Erfahrungswere) 3. Probieren vor Or (z. B. an der realen Anlage) 4. Opimierungsverfahren an Modellen

72 Ediieren des Modells in den Simulaor

73 Erprobung des Zeiverhalens (der Simulaor arbeie inern zyklisch die Differenzengleichungen des Modells ab)

74 Simuliere Anwor des Regelkreises (Anlage + Regler) auf mehrere Sprünge der Führungsgröße (Sollwer)

75 Voreile der Analyse durch Rechner-Simulaion: die Unersuchungen können beginnen, wenn die reale Anlage noch gar nich exisier auch das Sudium exremer Siuaionen is ohne Gefährdung der realen Anlage möglich die Erprobung verschiedenser Reglervarianen vollzieh sich ohne Sörung des Prozesses es sind zeigeraffe Unersuchungen möglich, besonders bei Prozessen mi großen Zeikonsanen Es beseh jederzei ein problemloser Ein- und Überblick über den Verlauf aller im Kreis vorkommenden Größen. Dies erforder in der Praxis vor allem bei räumlich vereilen oder schwer zugänglichen Anlagenelemenen großen Aufwand

76 Möglichkeien zum Finden passender Reglerparameer: 1. Theoreische Synhese (Herleiung der opimalen Were) 2. Einsellregeln Messungen an der Srecke (z. B. Sprunganwor) Parameer aus Tabellen (meis Erfahrungswere) 3. Probieren vor Or (z. B. an der realen Anlage) 4. Opimierungsverfahren an Modellen

77 Güekrierien

78 Güekrierien: Wenn der Rechner die Parameer selbs enwerfen soll, muss er selbs enscheiden! Dafür brauch er objekive Krierien, ob ein Reglerverhalen gu oder schlech is. z. B. Kennwere der Überragungsfunkion / Sprunganwor: Ansiegszei Ausregelzei Überschwingweie bleibende Regelabweichung w ideale Sprunganwor reale Sprunganwor

79 Güekrierien: Wenn der Rechner die Parameer selbs enwerfen soll, muss er selbs enscheiden! Dafür brauch er objekive Krierien, ob ein Reglerverhalen gu oder schlech is. z: B. Inegralkrierien absolue Regelfläche Güe = e() d quadraische Regelfläche Güe = (e()) 2 d w 0 ideale Sprunganwor reale Sprunganwor

80 Güekrierien: Wenn der Rechner die Parameer selbs enwerfen soll, muss er selbs enscheiden! Dafür brauch er objekive Krierien, ob ein Reglerverhalen gu oder schlech is. z: B. Kennwere der Sellgröße: maximale Sellgröße Änderungsgeschwindigkei der Sellgröße absolue Sellfläche Güe = y() d quadraische Sellfläche Güe = (y()) 2 d w() y() x() 0 w K PW w e B y B

81 Güekrierien: Wenn der Rechner die Parameer selbs enwerfen soll, muss er selbs enscheiden! Dafür brauch er objekive Krierien, ob ein Reglerverhalen gu oder schlech is. Weierhin auch: Parameerunempfindlichkei der Regelung Geringer Einfluss von Sörgrößen auf die opimale Paramerierung

82 Opimierungsverfahren

83 Opimierungsverfahren sysemaische Suche Zufallssuche (Mone-Carlo-Verfahren) Hill-Climbing-Verfahren Evoluionsverfahren