(Grob-) Gliederung. B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite
|
|
|
- Leonard Rothbauer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 (Grob-) Gliederung A Einführung Them: Einführung B Finnzmthemtische Grundlgen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschfts- und Sozilwissenschften 1 Them: Einführung Dr. Alfred Brink Termine (zur Orientierung): 1) Einführung, Grundlgen 2) Grundlgen, Zinsrechnungen 3) Zinsrechnungen 4) Rentenrechnungen 5) Rentenrechnungen 6) Tilgungsrechnungen 7) Tilgungsrechnungen 8) Aufgbenrepetitorium Dr. A. Brink Institut für Wirtschfts- und Sozilwissenschften 2
2 A. Einführung ls trditionelles und bewährtes Instrument der Betriebswirtschftslehre im Berufsleben und in der Privtsphäre Dr. A. Brink 3 A. Einführung Literturhinweise: Skript + Aufgbensmmlung Grob/Everding: mit dem PC Kobelt/Schulte: Litertur unter der Signtur R VIII Dr. A. Brink 4
3 A. Einführung Downlod (ohne Kennwort): /bibliothek/studium/fim1.html Dr. A. Brink 5 Dr. A. Brink 6
4 Dr. A. Brink 7 Dr. A. Brink 8
5 A. Einführung Didktisches Konzept: 1 Vorbereitung der nächsten Vorlesung (Skript) 2 Besuch der Vorlesung - Chrkterisierung von Problemstellung und Lösung, - Lösungshinweise zu den Husufgben, - Bentwortung von Frgen. 3 Nchbereitung der Vorlesung (Skript) 4 Lösung einführender Aufgben (Aufgbensmmlung) 5 Vertiefung und Wiederholung des Stoffes nhnd weiterer Aufgben (Weiterführende Aufgben) 6 Vorbereitung uf die Klusur nhnd lter Klusurufgben (Klusurufgben) Dr. A. Brink 9 (Grob-) Gliederung A Einführung Them: Finnzmthemtische Grundlgen B Finnzmthemtische Grundlgen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschfts- und Sozilwissenschften 10
6 A Einführung B Finnzmthemtische Grundlgen Them: Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der ls Bsis der 3 Rechnen mit Logrithmen 4 Aufgben C Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschfts- und Sozilwissenschften 11 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der Gegenstnd der = Hergbe, Verzinsung und Rückgbe von Geld Finnzmthemtisch relevnte Größen: Einzhlungen und Auszhlungen bzw. Einnhmen und Ausgben Einzhlungen => Geldmittelzufluss => positive Zhlungsgröße Auszhlungen => Geldmittelbfluss => negtive Zhlungsgröße Dr. A. Brink 12
7 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der Zeitstrhl einer Investition Unternehmung t Legende Geldmittelbfluss (-) Geldmittelzufluss (+) Dr. A. Brink 13 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der Zeitstrhl einer Investition Unternehmung t Legende Geldmittelbfluss (-) Geldmittelzufluss (+) Dr. A. Brink 14
8 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der Zeitstrhl einer Finnzierung Unternehmung t Legende Geldmittelbfluss (-) Geldmittelzufluss (+) Dr. A. Brink 15 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der Entscheidungskriterium für Investition Rtionlprinzip Mximumvrinte Minimumvrinte Wähle diejenige Investition, die bei gegebenen Auszhlungen die höchsten Einzhlungen erwirtschftet! Wähle diejenige Investition, die bei gegebenen Einzhlungen die geringsten Auszhlungen verurscht! Dr. A. Brink 16
9 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der Entscheidungskriterium für Finnzierung Rtionlprinzip Mximumvrinte Minimumvrinte Wähle diejenige Finnzierung, die bei gegebenen Auszhlungen die höchsten Einzhlungen erbringt! Wähle diejenige Finnzierung, die bei gegebenen Einzhlungen die geringsten Auszhlungen verurscht! Dr. A. Brink 17 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der Grundlegende Probleme der : Prognose der relevnten Zhlungsgrößen (Unsicherheit) Bestimmung des nzusetzenden Zinsstzes Begriffe: Zinsen = Entgelt für die Überlssung von Kpitl Zinsstz = Prozentstz vom Kpitl, der für die Überlssung des Kpitls zu entrichten ist (wird uch ls Zinsfuß bezeichnet) Zinsperiode = Zeitrum, für den die Zinsen fällig werden Dr. A. Brink 18
10 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der Aufgbe des Zinsstzes t 0 t 1 t Dr. A. Brink 19 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der Aufgbe des Zinsstzes t 0 t 1 t - 90,9 Dr. A. Brink 20
11 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der Zinsstz: Prozent und Prozentpunkte Klusurufgbe: Umgngssprchlich wird häufig nicht exkt zwischen einer Veränderung um Prozente und einer solchen um Prozentpunkte differenziert. Zeigen Sie mit Hilfe des folgenden Beispiels, dss diese Unterscheidung jedoch höchst bedeutsm ist: Angelegt sei ein Kpitl von K 0 = über eine Lufzeit von 10 Jhren bei jährlicher Verzinsung mit Zinseszinsen in Höhe von i=10% p.. Zu welchem (1) Endwert führt diese Anlge und uf welches Niveu verändert sich der Endwert, flls der Zinsstz gegenüber der Ausgngssitution (2) um 3% bzw. (3) um 3%-Punkte gesenkt wird? (2): 9,7 % 0,1 0,97 (3): 7 % 0,1 0,03 Dr. A. Brink 21 Them: Finnzmthemtische Grundlgen A Einführung B Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der ls Bsis der 3 Rechnen mit Logrithmen 4 Aufgben C Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschfts- und Sozilwissenschften 22
12 B. Finnzmthemtische Grundlgen 21. Begriffsdefinitionen und erläuterungen 22. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen 221. Arithmetische Folgen und Reihen 222. Geometrische Folgen und Reihen 23. Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel 231. Begriff, Funktionen und Arten von Abschreibungen 232. Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Linere Abschreibung Arithmetisch-degressive Abschreibung Geometrisch-degressive Abschreibung Dr. A. Brink 23 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Begriffsdefinitionen und -erläuterungen Folge = endliche oder unendliche Aneinnderreihung von Zhlen 1, 2,,,, i n Symbole: i = i-tes Element der Zhlenfolgen, mit i = 1,..., n * n * = Anzhl der Elemente der Zhlenfolge n * = unendliche Zhlenfolge n * N 1 N 1 N = endliche Zhlenfolge, flls N 1 endlich viele Elemente umfsst Dr. A. Brink 24
13 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Begriffsdefinitionen und -erläuterungen Reihe = Summe der Glieder eine (Zhlen-) Folge Symbole: S 1 2 S * = Summe der Elemente einer Zhlenfolge n * = unendliche Zhlenreihe n * N 1 N 1 N = endliche Zhlenreihe, flls N 1 endlich viele Elemente umfsst n n i 1 i Dr. A. Brink 25 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Beispiel: Jhr Provision Änderung (bsolut) Änderung (reltiv) % + 9,09% + 8,33% + 7,96% Dr. A. Brink 26
14 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Bildungsgesetz: i = i -1 + d, wobei i i -1 = d und 1 vorgegeben sowie i = 2,, n * Dr. A. Brink 27 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Bestimmung des llgemeinen Gliedes i : i = i -1 + d = 1 + (i-1) d Bestimmung des n-ten Gliedes n* : n *= 1 + (n * -1) d Dr. A. Brink 28
15 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Rechenvereinfchung durch zweistufige Vorgehensweise: 1. lle Glieder der Reihe mit Hilfe des llgemeinen Ausdrucks formulieren 2. die Reihe zweiml untereinnder ufschreiben und dbei die Reihenfolge beim zweiten Ml umkehren Dr. A. Brink 29 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Formel: S 1 2 n n i1 i n 1 2 n Dr. A. Brink 30
16 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Beispiel: Jhr Provision ,10 Änderung (bsolut) Änderung (reltiv) , % + 10% + 10% + 10% Dr. A. Brink 31 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Bildungsgesetz: i wobei i1 sowie i q i i1, q 2,, n und 1, q * vorgegeben Dr. A. Brink 32
17 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Bestimmung des llgemeinen Gliedes i : i i1 q i1 Bestimmung des n-ten Gliedes n* : n 1 q n 1 1 q Dr. A. Brink 33 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Rechenvereinfchung durch drei-stufige Vorgehensweise: 1. lle Glieder der Reihe mit Hilfe des llgemeinen Ausdrucks formulieren 2. Summengleichung mit q * multiplizieren 3. Ausgngsgleichung von der mit q * multiplizierten Gleichung bziehen Dr. A. Brink 34
18 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1 Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Formel: S n q 1 1 mit q 0undq 1 q 1 Dr. A. Brink 35 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Begriff, Funktionen und Arten von Abschreibungen Abschreibungen externes Rechnungswesen internes Rechnungswesen gesetzliche Bestimmungen historische Anschffungs- bzw. Herstellungskosten bilnzielle Abschreibungen keine Bestimmungen je nch Zweck der Rechnung z.b. Wiederbeschffungswert klkultorische Abschreibungen Dr. A. Brink 36
19 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Begriff, Funktionen und Arten von Abschreibungen Abschreibungsverläufe: Linere Abschreibung Arithmetisch-degressive Abschreibung Geometrisch-degressive Abschreibung Dr. A. Brink 37 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Linere Abschreibung Prämisse: konstnter, klenderzeitbhängiger Werteverzehr des Investitionsobjektes A t S, wobei At A n konstnt Symbole: A t = Abschreibungsbetrg der Periode t S = Abschreibungsusgngsbetrg n = Nutzungsduer Dr. A. Brink 38
20 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Linere Abschreibung S 0 A L E n L n Symbole: 0 = Anschffungsuszhlung (oder Wiederbeschffungswert) L ne = Einzhlungen bei Liquidtion des Investitionsobjektes L na = Auszhlungen bei Liquidtion des Investitionsobjektes Dr. A. Brink 39 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Linere Abschreibung Beispiel: Anschffungsuszhlung = Nutzungsduer = 5 Jhre Liquidtionsnettoerlös = A t Dr. A. Brink 40
21 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Linere Abschreibung t Abschreibungen Kumulierte Rest-Buchwert Abschreibungen ,- 1 A , , ,- 2 A , , ,- 3 A , , ,- 4 A , , ,- 5 A , , ,- Dr. A. Brink 41 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Arithmetisch-degressive Abschreibung Prämisse: Werteverzehr in fllenden Rten, wobei die Differenz des Werteverlustes zwischen zwei Perioden konstnt ist Spezilfll: digitle Abschreibung, d.h. die letzte Abschreibungsrte A n entspricht der Abschreibungsdifferenz D Dr. A. Brink 42
22 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Arithmetisch-degressive Abschreibung Beispiel: Letzte Abschreibungsrte A n = D = Anschffungsuszhlung = Nutzungsduer = 4 Jhre Liquidtionsnettoerlös = Dr. A. Brink 43 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Arithmetisch-degressive Abschreibung Problem: Wie lässt sich D bestimmen, so dss der Restbuchwert m Ende der Nutzungsduer gerde dem Liquidtionsnettoerlös entspricht? Dr. A. Brink 44
23 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Arithmetisch-degressive Abschreibung Formel: D 2 S n n 1 A n Dr. A. Brink 45 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Arithmetisch-degressive Abschreibung D lterntiv: D Dr. A. Brink 46
24 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Arithmetisch-degressive Abschreibung t Abschreibungen Kumulierte Rest-Buchwert Abschreibungen ,- 1 A , , ,- 2 A , , ,- 3 A , , ,- 4 A , , ,- Dr. A. Brink 47 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Arithmetisch-degressive Abschreibung A 0 = Arithmetischdegressiv A 1 > A 2 > A 3 A 1 -A 2 = D A n D digitl A n = D A A A A A A n =2.000 D=500 Dr. A. Brink 48
25 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Geometrisch-degressive Abschreibung Prämisse: Werteverlust in konstnten Rten vom Restbuchwert Dr. A. Brink 49 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Geometrisch-degressive Abschreibung Abschreibungsbetrg ls konstnter Prozentstz p vom Restbuchwert der Vorperiode Abschreibung im Flle einer endlichen Nutzungsduer uf null nicht möglich ber uf einen positiven Restbuchwert RBW n bzw. Liquidtionsnettoerlös L n = L ne -L n A Dr. A. Brink 50
26 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Geometrisch-degressive Abschreibung Problem: Wie bestimmt mn den Prozentstz p, der bei geometrisch-degressiver Abschreibung über n Jhre (z.b. n = 5) usgehend von der Anschffungsuszhlung (z.b. 0 = ) zum Liquidtionsnettoerlös (z.b. RBW 5 = ) führt? Dr. A. Brink 51 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Geometrisch-degressive Abschreibung Allgemein gilt: RBW n n 1 p 0 p 1 n RBW 0 n Dr. A. Brink 52
27 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Geometrisch-degressive Abschreibung Auf die Problemstellung ngewndt: p ,12% Dr. A. Brink 53 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.3 Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf die Perioden der Nutzung Geometrisch-degressive Abschreibung t Abschreibungen Kumulierte Rest-Buchwert Abschreibungen ,00 1 A , , ,25 2 A , , ,12 3 A , ,45 4 A , , ,38 5 A , , ,- Dr. A. Brink 54
28 Them: Finnzmthemtische Grundlgen A Einführung B Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der ls Bsis der 3 Rechnen mit Logrithmen 4 Aufgben C Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschfts- und Sozilwissenschften 55 B. Finnzmthemtische Grundlgen 3 Rechnen mit Logrithmen Wichtige Eigenschften von Logrithmen: 1) log 2) log 3) log 4) log 5) log 1 0 U V U V 1 log log U U log V U V log U log V V Dr. A. Brink 56
29 B. Finnzmthemtische Grundlgen 3 Rechnen mit Logrithmen 3.1 Finnzmthemtisch relevnte Logrithmen Wichtig: Durch Logrithmieren lssen sich bestimmte nicht-linere Problemstellungen linerisieren! Dr. A. Brink 57 B. Finnzmthemtische Grundlgen 3 Rechnen mit Logrithmen 3.2 Anwendungsbeispiele stetige Verzinsungsprozesse stetige Wchstumsprozesse Bestimmung der Nutzungsduer von Investitionen bzw. der Lufzeit von Finnzierungsobjekten Dr. A. Brink 58
30 B. Finnzmthemtische Grundlgen 3 Rechnen mit Logrithmen 3.2 Anwendungsbeispiele Beispiel: Kpitl Verzinsung 6 % Wnn übersteigt ds Konto erstmls den Betrg von ? ,06 n lg n lg1,06 lg n 6,9585 Jhre Dr. A. Brink 59 Them: Finnzmthemtische Grundlgen A Einführung B Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der ls Bsis der 3 Rechnen mit Logrithmen 4 Aufgben C Zinsrechnungen Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut für Wirtschfts- und Sozilwissenschften 60
31 B. Finnzmthemtische Grundlgen 4 Aufgben Aufgben: 4, 8, 9, 11, 13 und 14 Aufgbenheft S
Einführung Finanzmathematische Grundlagen Zinsrechnungen Rentenrechnungen Tilgungsrechnungen Bestimmung von Kurs und Rendite
Inhltsübersicht A B C D E F Einführung Finnzmthemtische Grundlgen Zinsrechnungen Rentenrechnungen Tilgungsrechnungen Bestimmung von Kurs und Rendite Dr. A. Brink Dr. A. Brink 1 1 Terminpln (geplnt) Zeit:
Einführung Finanzmathematische Grundlagen Zinsrechnungen Rentenrechnungen Tilgungsrechnungen Bestimmung von Kurs und Rendite
Inhltsübersicht A B C D E F Einführung Finnzmthemtische Grundlgen Zinsrechnungen Rentenrechnungen Tilgungsrechnungen Bestimmung von Kurs und Rendite Dr. A. Brink Dr. A. Brink 1 1 A. Einführung Finnzmthemtik
Web-Angebot der Fachbereichsbibliothek /bibliothek/studieren/fima.html
Ihlsübersich A. Eiführug A B C D E F Eiführug Fizmhemische Grudlge Zisrechuge Reerechuge Tilgugsrechuge Besimmug vo Kurs ud Redie Fizmhemik ls rdiioelles ud bewähres Isrume der Beriebswirschfslehre im
Lösungen zu den Übungen
Lösungen zu den Übungen Kpitel 2: Mthemtische Grundlgen 3 2 2 1. ) 8b 32 b 3b b) 24x 5 y 3 2 2 4 c) 4x 12x 9 2. ) x b) 2 c)0d) 2 ln(2) e)8f)2n 1 2 3. ) log b log c 5 log d log e 3 2 3 b) log 3 log u log
Münchner Volkshochschule. Planung. Tag 06
Plnung Tg 6 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 9 Themen Logik und Mengenlehre Zhlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie
Logarithmen zu speziellen und häufig gebrauchten Basen haben eigene Namen: Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer oder Zehnerlogarithmus:
0 Dr Andres M Seifert Sternstunden in Mthe, Physik und Technik wwwsternstunden-odenwldde Logrithmen Die Gleichung vom Typ b wird mit Hilfe des Logrithmus gelöst Der Logrithmus von zur Bsis b ist die Zhl,
Vorkurs Mathematik Frankfurt University Of Applied Sciences, Fachbereich 2 1
Vorkurs Mthemtik Frnkfurt University Of Applied Sciences, Fchbereich 1 Rechnen mit Potenzen N bezeichnet die Menge der ntürlichen Zhlen, Q die Menge der rtionlen Zhlen und R die Menge der reellen Zhlen.
Exponential- und Logarithmusfunktion
Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003.0.5 Eponentil- und Logrithmusfunktion Definition.0.0: Sei +, dnn ist die llgemeine Form einer Eponentilfunktion f: + gegeben durch die Funktionsgleichung
Lösung Arbeitsblatt Potenzen / Wurzeln / Logarithmen
Fchhochschule Nordwestschweiz FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Nturwissenschft Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen Dozent: - Klsse: Brückenkurs 0 Büro: - Semester:
Lösung Arbeitsblatt Potenzen / Wurzeln / Logarithmen
Fchhochschule Nordwestschweiz FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Nturwissenschft Lösung Arbeitsbltt Potenzen / Wurzeln / Logrithmen Dozent: Roger Burkhrdt Klsse: Brückenkurs 00 Büro:.6
2. Funktionen in der Ökonomie
FHW, ZSEBY, ANALYSIS - - Funktionen in der Ökonomie Beispiele: qudrtische Funktionen, Eponentilfunktion Qudrtische Funktionen Einfchste qudrtische Funktion: y = Allgemeine qudrtische Funktion: y = + b
Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung
Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................
Grundlagen der Algebra
PH Bern, Vorbereitungskurs MATHEMATIK Vorkenntnisse 0 Grundlgen der Algebr Einleitung Auf den nchfolgenden Seiten werden grundlegende Begriffe und Ttschen der Algebr erläutert: Zhlenmengen, Rechenopertionen,
D18 Investitionen Lösungen
1 Immterielle Investition Schinvestition, Erweiterungsinvestition c Finnzinvestition d Schinvestition, Erweiterungsinvestition e Schinvestition, Erstzinvestition f Immterielle Investition g Immterielle
Das Rechnen mit Logarithmen
Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:
Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Definitionen
Definitionen Wir gehen von der Gleichung c und dem Beispiel 8 2 us: nennt mn Potenz nennt mn Bsis nennt mn Eponent Allgemein: "Unter versteht mn die -te Potenz zur Bsis " " ist hoch " Beispiel: 2 8 Vorgng:
Definition: Eine Folge, bei welcher der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich gross ist, heisst geometrische Folge (GF).
7. Geometrische Folgen (exponentielles Wchstum) Beispiele: 2, 6, 8, 54, 62,... = 6= 2 8 8, -4, 2, -,,,... =, ds Vorzeichen wechselt b (lternierende Folge), -,, -,... = Definition: Eine Folge, bei welcher
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c
Exponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg
Übungen zum Kurs Eponentilgleichungen Eponentilgleichungen 70 Eponentilgleichungen mit Ergebnissen und usführlichen Lösungsweg 7.technisch verbesserte Auflge vom.09.007 (Sonderzeichen wurden teilweise
(Grob-) Gliederung. B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite
(Grob-) Gliederung A Einführung Thema: Zinsrechnungen B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut
11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
2.6 Unendliche Reihen
2.6 Unendliche Reihen In normierten Räumen steht ds wichtige Werkzeug der Bildung von unendlichen Reihen zur Verfügung. Mn denke in diesem Zusmmenhng drn, dss mn in der Anlysis Potenz- und Fourierreihen
2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
Multiplikative Inverse
Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll
Wachstum und Entwicklung
Wchstum und Entwicklung Sommersemester 28 Institut für Genossenschftswesen im Centrum für Angewndte Wirtschftsforschung Universität Münster 1 Gliederung.) Gliederung, Mthemtische Vorbemerkungen 1.) Wchstumstheoretische
Einführung in das Rechnen mit Zahlen. (elementare Algebra)
Ausgbe 2008-05 Einführung in ds Rechnen mit Zhlen (elementre Algebr) Algebr ist ein Teilgebiet der Mthemtik und beschäftigt sich mit der Verknüpfung von Zhlen durch Rechenopertionen 1. Rechenregeln der
Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
Numerische Integration
Kpitel 4 Numerische Integrtion Problem: Berechne für gegebene Funktion f :[, b] R ds Riemnn-Integrl I(f) := Oft ist nur eine numerische Näherung möglich. f(x)dx. Beispiel 9. (i) Rechteckregel: Wir pproximieren
Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion
Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen
GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard
GRUNDWISSEN MATHEMATIK 0 Grundwissensktlog G8-Lehrplnstndrd Bsierend uf den Grundwissensktlogen des Rhöngymnsiums Bd Neustdt und des Kurt-Huber-Gymnsiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P O M U K - G
Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 5.1
.1 Dr. Jürgen Roth Fchbereich 6: Abteilung Didktik der Mthemtik Elemente der Algebr . Inhltsverzeichnis Elemente der Algebr & Argumenttionsgrundlgen, Gleichungen und Gleichungssysteme Qudrtische und Gleichungen
HM I Tutorium 14. Lucas Kunz. 9. Februar 2018
HM I Tutorium 14 Lucs Kunz 9. Februr 218 Inhltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Uneigentliche Integrle............................. 2 1.1.1 Typ 1.................................. 2 1.1.2 Typ 2..................................
7.9A. Nullstellensuche nach Newton
7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren
Münchner Volkshochschule. Planung. Tag 04
Plnung Tg 04 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 8 Logrithmen Die Eponentilgleichung = b;, b R + knn forml für durch den Logrithmus zur Bsis gelöst werden. b ( b) Numerus Bsis Argument Der
Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2
Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des
Doch beim Potenzieren gibt es eine zweite Umkehrung: das Logarithmieren.
0. Logrithmen Wie die Diision die Umkehrung der Multipliktion ist, so ist ds Wurzelziehen die Umkehrung des Potenzierens. b c c : b b c c b Doch beim Potenzieren gibt es eine zweite Umkehrung: ds Logrithmieren.
Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern:
Kapitel 1 : Mathematische Grundlagen und Stöchiometrie
pitel : Mthemtische Grundlgen und Stöchiometrie Elementre Rechenumformungen. Dreistzrechnung : Immer dnn, wenn zwei Meßgrößen zueinnder proportionl bzw. indirekt proportionl (d.h. die eine proportionl
3 Hyperbolische Geometrie
Ausgewählte Kpitel der Geometrie 3 Hperbolische Geometrie [... ] Im Folgenden betrchten wir nun spezielle gebrochen-linere Abbildungen, nämlich solche, für die (mit den Bezeichnungen ϕ,b,c,d wie oben die
Kaufmännische Berufsmatura Als Resultate gelten nur eindeutig gekennzeichnete Zahlen, Mengen oder Sätze
Kufmännische Berufsmtur 009 Serie : Lösungen Serie Serie - Lösungen Prüfungsduer: Mx. zhl: 50 Minuten 00 Bewertungshinweise:. Mehrfchlösungen sind nicht gestttet.. Als Resultte gelten nur eindeutig gekennzeichnete
Ich kann den SdP anwenden, um Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen.
Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.5.018 Themen: Stz des Pythgors, Qudrtische Gleichungen Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn den Stz des Pythgors (SdP) in Worten formulieren.
Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.
Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten
Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b
Grundlgen 0.0. Zhlbereiche ntürliche Zhlen: N = {0; ; 2;...} (nch DIN 547) N = N \ {0} gnze Zhlen: Z = {... 2; ; 0; ; 2;...} rtionle Zhlen: Q = { p p, q Z, q 0} q Q besteht us llen Bruchzhlen. reelle Zhlen:
a) Potenzieren ausgesprochen als Beispiel a b = c a = Basis a hoch b = c 4 3 = 64 b = Exponent c = Potenzwert
8. Potenzen 8. Einführung in Potenzen / Wurzeln / Logrithmen Neen den klssischen Grundrechenopertionen git es weitere Opertionen, welche Beziehungen zwischen Zhlen schffen: Potenzieren Rdizieren Wurzelziehen)
3. Ganzrationale Funktionen
3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)
Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)
Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe
6. Quadratische Gleichungen
6. Qudrtische Gleichungen 6. Vorbemerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Opertionen. Sie heben sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel
für beliebige Mengen A, B, C
1.1 Mengenlehre A A A B B A A B B C A C für elieige Mengen A, B, C (Reflexivität) (Symmetrie) (Trnsitivität) (1) (2) (3) A B = B A A B = B A (Kommuttivgesetze) (4) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (Assozitivgesetze)
Teilfachprüfung Mathematik Studiengang: Wirtschaft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO)
Fchhochschule Düsseldorf SS 2007 Teilfchprüfung Mthemtik Studiengng: Wirtschft Neue Diplomprüfungsordnung (NPO) Prüfungsdtum: 29..2007 Prüfer: Prof. Dr. Horst Peters / Dipl. Volkswirt Lothr Schmeink Prüfungsform:
Schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik
Schriftliche Reifeprüfung us Mthemtik 1) Linere Optimierung Ein Händler für Bürortikel füllt für den Schulnfng sein Lger mit Tschenrechnern des Typs Advnced und des Typs Bsic uf. Typ A kostet ihn im Einkuf
Der Gauß - Algorithmus
R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 Der Guß - Algorithmus Der Algorithmus von Guss ist ds universelle Verfhren zur Lösung beliebiger linerer Gleichungssysteme. Einführungsbeispiel: 7x+ x 5x = Drei
HTBLA VÖCKLABRUCK STET
HTBLA VÖCKLABRUCK STET Logrithmus 2 INHALTSVERZEICHNIS 1. BEGRIFF DES LOGARITHMUS... 3 2. RECHENGESETZE FÜR LOGARITHMEN... 5 3. LOGARITHMUSGLEICHUNGEN... 6 4. LOGARITHMUSFUNKTION... 8 5. DER ZUSAMMENHANG
1. Stegreifaufgabe aus der Physik Lösungshinweise
. Stegreifufgbe us der Physik Lösungshinweise Gruppe A Aufgbe Ds.Newtonsche Gesetz lässt sich zum Beispiel so formulieren: Wirkt uf einen Körper keine Krft (oder ist die Summe ller Kräfte null) so bleibt
BRÜCKENKURS MATHEMATIK
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig
1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3
.6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen
Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr
Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber
Repetitionsaufgaben Logarithmusgleichungen
Kntonle Fchschft Mthemtik Repetitionsufgben Logrithmusgleichungen Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Repetition Logrithmen D) Logrithmusgleichungen 4 E) Aufgben mit Musterlösungen 5 A)
Grundlagen in Mathematik für die 1. Klassen der HMS und der FMS
Grundlgen in Mthemtik für die. Klssen der HMS und der FMS Einleitung In der Mthemtik wird häufig uf bereits Gelerntem und Beknntem ufgebut. Wer die Grundlgen nicht beherrscht, ht deshlb oft Mühe und Schwierigkeiten,
Klausur Wirtschaftsmathematik VO
Klusur Wirtschftsmthemtik VO 04. Juli 2015 Bitte leserlich in Druckbuchstben usfüllen! NACHNAME: VONAME: MATIKELNUMME: ELAUBT: nur die Formelsmmlung des Instituts! VEBOTEN: Tschenrechner und Hndys m Arbeitspltz!
Mathematik Name: Vorbereitung KA2 K1 Punkte:
Pflichtteil (etw 40 min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen bgegeben sein, ehe der GTR und die Formlsmmlung verwendet werden dürfen.) Aufgbe : [4P] Leiten Sie
Musterlösung der 1. Klausur zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Röger Dipl.-Mth. C. Zwilling Fkultät für Mthemtik TU Dortmund Musterlösung der. Klusur zur Vorlesung Anlysis I (24.02.206) Wintersemester 205/6 Aufgbe. Sei R mit sin() 0. Der Beweis erfolgt
Integralrechnung. Fakultät Grundlagen
Integrlrechnung Fkultät Grundlgen März 2016 Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Bestimmtes Integrl I n Teilintervlle: x 0 = < x 1 < x 2
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 26 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie 9. MC-Aufgben (Online-Abgbe). Es sei f die Funktion f() = e + 7. Welche der folgenden Funktionen sind Stmmfunktionen von f? () g() = 2 2
6.1. Matrizenrechnung
6 Mtrizenrechnung 6 Mtrizen und Vektoren Definition Eine Tbelle in der Drstellung A (m,n) n n m m mn heißt m,n-mtrix ( n ) ( ) mit den Zeilenvektoren ( m m mn ) und den Sltenvektoren m, m,, n n mn Mtrizen
Quadratische Funktionen und p-q-formel
Arbeitsblätter zum Ausdrucken von softutor.com Qudrtische Funktionen und -q-formel Gib den Vorfktor und die Anzhl der Schnittstellen mit der -Achse n. x 3 Beschreibe die Reihenfolge beim Umformen einer
8.1 Einführung Das Logarithmieren ist die zweite Umkehroperation des Potenzierens.
8 8. Einführung Ds Logrithmieren ist die zweite Umkehropertion des Potenzierens. Potenzieren 3 Rdizieren 9 Logrithmieren 3 9 Es ist der Potenzwert gesucht (Ergebnis Kettenmultipliktion). Mn erhält durch
Quadratische Gleichungen und Funktionen
Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter
4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen
4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch
Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3
Deprtment Mthemtik Dr. rer. nt. Lrs Schewe Mthis Sirvent Wintersemester 013/014 Probeklusur Mthemtik für Ingenieure C3 Anmerkungen zur Klusur: Die Arbeitszeit wird 90 Minuten betrgen. Sie können sämtliche
Lineare Algebra I 5. Tutorium mit Lösungshinweisen
Fchbereich Mthemtik Prof Dr JH Bruinier Mrtin Fuchssteiner Ky Schwieger TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT AWS 07/08 0607 (T ) Linere Algebr I 5 Tutorium mit Lösungshinweisen Welche Gruppen kennen Sie? Welche
Analysis. Klausur zu e-funktionen (Produkt-/Kettenregel, momentane Änderungsrate) (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J1.
Anlysis Klusur zu e-funktionen (Produkt-/Kettenregel, momentne Änderungsrte) (Berbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnsium J Alender Schwrz www.mthe-ufgben.com Jnur 05 Pflichtteil - ohne Hilfsmittel Aufgbe :
Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Im Bereich der Zinsberechnung wird zwischen der einfachen ( ) Verzinsung und dem Zinseszins
SS 2017 Torsten Schreiber 287 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Im Bereich der Zinsberechnung wird zwischen der einfachen ( ) Verzinsung und dem Zinseszins ( ) unterschieden. Bei
Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Matrizenoptik ein mathematischer Zugang zur geometrischen Optik. Axel Donges, Isny im Allgäu.
Reihe 6 S Verluf Mteril Mtrizenoptik ein mthemtischer Zugng zur geometrischen Optik Axel Donges, Isny im Allgäu Klsse: 3 Duer: Inhlt: Abb. : Der Strhlengng durch eine Lupe lässt sich mit Mtrizenoptik beschreiben.
1 Differenzen- und Differentialquotient 2. 2 Differentiationsregeln 5. 3 Ableitung spezieller Funktionen 6. 4 Unbestimmtes und bestimmtes Integral 7
Universität Bsel Wirtschftswissenschftliches Zentrum Abteilung Quntittive Methoden Mthemtischer Vorkurs Dr. Thoms Zehrt Differentil- und Integrlrechnung Inhltsverzeichnis 1 Differenzen- und Differentilquotient
1 Folgen von Funktionen
Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen
Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist.
6.1 Grundwissen Mthemtik Algebr Klsse 6 Teilbrkeitsregeln Definition und Regeln Teilbrkeit durch 2: Eine Zhl ist durch 2 teilbr, wenn die Endziffer gerde ist. Teilbrkeit durch 3: Eine Zhl ist durch 3 teilbr,
Mathematik schriftlich
WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe
b) Dasselbe System, die Unbekannten sind diesmal durchnummeriert:
1 Linere Gleichungssysteme 1. Begriffe Bspl.: ) 2 x - 3 y + z = 1 3 x - 2 z = 0 Dies ist ein Gleichungssystem mit 3 Unbeknnten ( Vriblen ) und 2 Gleichungen. Die Zhlen vor den Unbeknnten heißen Koeffizienten.
Uneigentliche Riemann-Integrale
Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:
α 360 Mathematik- Grundwissen Klassenstufe 10 Die Kreiszahl π
Mthemtik- Grundwissen Klssenstufe 0 Die Kreiszhl π THEORIE BEISPIEL π ist eine irrtionle Zhl. Mn knn durch verschiedene Verfhren Näherungswerte bestimmen. Beispielsweise lässt sich der Wert des Kreisumfngs
Die Formelsammlung: Meine Mathematische Werkzeugkiste Formel, Skizze Formel, Skizze Beispiel(e)
1. Rechenvorteile, Rechengesetze Summnd 12 plus Summnd 4 ist gleich dem Wert der Summe: 46. Minuend 10 minus Subtrhend 7 ist gleich dem Wert der Differenz: Dividend 10 geteilt durch Divisor 4 ist gleich
Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 6
Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Grundbegriffe der Informtik Aufgbenbltt 6 Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausgbe: 2. Dezember 2015 Abgbe: 11. Dezember 2015, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Gebäude
5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter
Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine
3 Zerlegen in Faktoren (Ausklammern)
3 Zerlegen in Fktoren (Ausklmmern) 3.1 Einführung 3 + 3b = 3 ( + b) Summe Produkt Merke: Hben lle Summnden einer lgebrischen Summe einen gemeinsmen Fktor, so knn mn diesen gemeinsmen Fktor usklmmern. Die
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine
3.1 Multiplikation Die Multiplikation von algebraischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt:
.1 Multipliktion Die Multipliktion von lgerischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt: c Multipliktor Multipliknd Produkt Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz)
(Grob-) Gliederung. B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite
(Grob-) Gliederung A Einführung Thema: Tilgungsrechnungen B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite Dr. Alfred Brink Dr. A. Brink Institut
Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
![Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.](/thumbs/74/70413961.jpg "Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.")
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
Arkus-Funktionen. Aufgabensammlung 1
ANALYSIS Arkus-Funktionen Aufgbensmmlung 1 Dtei Nummer 4730 Stnd: 15. November 017 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 4730 Aufgbensmmlung Arkusfunktionen Aufgbe 1 (Lösung Seite
V O R K U R S M A T H E M A T I K
Fchbereich - Informtik und Ingenieurwissenschften V O R K U R S M A T H E M A T I K 100 = 16765060089401496700576 u v u v u v u v uv /(u v) u v u v ( + b ) 5 = 5 + 5 4 b + 10 b +10 b + 5 b 4 + b 5 Die
RESULTATE UND LÖSUNGEN
TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kpitel 3 Mthemtik Kpitel 3.2 Alger Grundrechenrten RESULTATE UND LÖSUNGEN Verfsser: Hns-Rudolf Niedererger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausge:
Lernumgebungen zu den binomischen Formeln
Lernumgebungen zu den binomischen Formeln Die Fchmittelschule des Kntons Bsel-Lnd ist ein dreijähriger Bildungsgng der zum Fchmittelschulzeugnis führt. Dbei entspricht die 1.FMS dem 10. Schuljhr. Zu Beginn
Lösungsvorschlag zu den Präsenzaufgaben der 13. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Ptrizio Neff Christin Thiel 07.07.04 Lösungsvorschlg zu den Präsenzufgben der 3. Übung Präsenzufgbe : Wir hben die Determinnte bisher ls Kriterium zur Invertierbrkeit
Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS
Gemeinsme Abiturufgbenpools der Länder Aufgbensmmlung Aufgbe für ds Fch Mthemtik Kurzbeschreibung Anforderungsniveu Prüfungsteil Schgebiet digitles Hilfsmittel erhöht B Anlysis CAS 1 Aufgbe 1 Gegeben ist
360 2 r. 360 r2. α Bogenmaß. α 360. α 2π. 4 3 r3 V K. 4 r 2 O K
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Kreis Länge eines Kreisbogens b 360 r r r b Fläche eines Kreissektors 360 r r r Bogenmß Bogenmß des Winkels : Umrechnungsformel: b α Bogenmß r α Bogenmß π α 360 Grdmß Kugel