Statistik I. Christian Reinboth, Dipl.-Wi.Inf.(FH)

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1 Statistik I Bachelorstudiegag Betriebswirtschaftslehre Bachelorstudiegag Wirtschaftsigeieurwese Seite 1

2 Statistik Wesetliche Kursihalte (1) Kurzvorstellug Orgaisatorisches Bücher ud Software Grudlage Statistik I Grudbegriffe Skaleiveaus Variabletype Erhebugsarte Repräsetativität Häufigkeite Absolute Häufigkeite Relative Häufigkeite Klassierug vo Date Empirische Verteilugsfuktio Lagemaße / Maße der zetrale Tedez Arithmetisches Mittel Media Perzetile (Quatile / Quartile) Modalwert / Modus Geometrisches Mittel Harmoisches Mittel Streuugsmaße Spaweite Iterquartilsabstad (Empirische) Variaz Stadardabweichug Variatioskoeffiziet Schiefe ud Wölbug Symmetrische, liks- ud rechtssteile Verteiluge Mometekoeffiziet Quartilskoeffiziet Kurtosis / Ezeß Grafische Darstellug Balke-/Kreisdiagramme Stem-ad-Leaf-Plots Streudiagramme Histogramme Bo-Plots Ekurs: Wie objektiv sid grafische Darstelluge? Seite 2

3 Statistik Wesetliche Kursihalte (2) Zuammehagsmaße Kotigeztabelle Spearma Kedall B-P-K Wie sid Korrelatioe richtig zu iterpretiere? Umgag mit fehlede Werte ud Ausreißer Lieare Regressiosaalyse Aalysevoraussetzuge Formulierug des Modells Statistik II Berechug des Modells Meth. d. kl. Quadrate Gleichugsaufstellug Iterpretatio der Koeff. Bewertug der Modellgüte Wahrscheilichkeitslehre Wesetliche Grudbegriffe Wahrscheilichkeitsbegriff Ekurs: Ve-Diagramme Aiome vo Kolmogoroff Baum-/Pfaddiagramme Additiossatz Multiplikatiossatz Theorem vo Bayes Zufallsvariable Ekurs: Der Zufallsbegriff Diskrete Zufallsvariable Stetige Zufallsvariable Diskrete Verteiluge vo Zufallsvariable Gleichverteilug Biomialverteilug Poisso-Verteilug Hypergeom. Verteilug Seite 3

4 Statistik Wesetliche Kursihalte (3) Stetige Verteiluge vo Zufallsvariable Gleichverteilug Normalverteilug Chi 2 -Verteilug t-verteilug Verteilugsapproimatio Kofidezitervalle Prizipieller Aufbau Kofidezitervall um μ Kofidezitervall um σ Kofidezitervall um p Statistische Testverfahre Chi²-Test T-Test K-S-A Festlegug der erforderliche Stichprobegröße Spaß zum Schluss: Das Ziegeproblem Klausurvorbereitug Übugsaufgabe Probeklausur Fragestude Seite 4

5 Kurzvorstellug Arbeit, Forschug ud Lehre MDKK GmbH Arbeit bei der HarzOptics GmbH Arbeit a der Hochschule Harz Bisherige Lehrerfahrug - A-Istitut der HS Harz (seit 2007) - Gegrüdet 2006, 4 Mitarbeiter/ie - Etwicklug optischer Messverfahre zur Qualitätssicherug i der Luftfahrt - Projektierug des Breitbadausbaus im Auftrag vo Kreise ud Kommue - Ferlehrgag Techische Optik - Seit 2010 Forschug im Bereich AAL ud Telepflege, seit 2013 Fudraisig - IHK-Forschugspreis Platz Hugo-Jukers-Preis Platz Hugo-Jukers-Preis NoAE Iovatio Award 2011/ Lehrbeauftragter a der HS Harz vo 2006 bis 2010 ud seit 2015 (Statistik, Marktforschug, SPSS, HTML, BIS ud strategisches Iformatiosmaagemet) - Dozet für die Harzer Hochschulgruppe (2007 bis 2008) sowie a der Sterwarte St. Adreasberg / VHS Goslar (seit 2011) Seite 5

6 Mei zetrales Forschugsthema Umweltfreudliche Beleuchtugsplaug Ieraumsimulatio mit DIALu (Sterwarte Sakt Adreasberg) Außeraumsimulatio mit DIALu (Ortsteil Freiheit i Osterode) Seite 6

7 Orgaisatorisches Wie wird dieser Kurs ablaufe? Beherrschug der Grudbegriffe vo Statistik ud Wahrscheilichkeitslehre Sichere deskriptive Aalyse vo Date Grudketisse über statistische Testverfahre ud (uivariarte) lieare Regressiosaalyse Vorlesug mit eigestreute Übuge Übugsaufgabe zur eigestädige Vorbereitug der Abschlussprüfug Klausure über 60 ud 120 Miute Seite 7

8 Empfohlee Literatur (Weitere Hiweise i der Modulbeschreibug) I. Rößler & A. Ugerer: Statistik für Wirtschaftswisseschaftler. Eie awedugsorietierte Darstellug, Spriger-Verlag, 4. Auflage, Luemburg, 2014, ISBN: G. Bourier: Beschreibede Statistik. Praisorietierte Eiführug mit Aufgabe ud Lösuge, Gabler-Verlag, 9. Auflage, Wiesbade, 2011, ISBN: C. Reiboth: Iduktive Statistik Übugsaufgabe mit Musterlösuge, ebook, GRIN-Verlag für wisseschaftliche Tete, 75 Seite, Müche, 2013, ISBN: Seite 8

9 Was ist SPSS? Statistical Package for Social Scieces SPSS ist eies der marktführede Softwareprodukte für statistische Aalyse i der Sozial- ud Gesudheitswisseschaft sowie i der Markt- ud Meiugsforschug Es wurde 1983 vo SPSS Ic., eier Ausgrüdug der Staford Uiversity, etwickelt Der Name wechselte mehrfach vo Statistical Package for Social Scieces über Superior Performig Software System ud Predictive Aalysis Software (PASW) bis zu IBM SPSS STATISTICS seit der Überahme vo SPSS Ic. durch IBM i Seite 9

10 Softwarealterative zu SPSS Für Übuge am heimische Recher PAST PSPP NSDstat - Paleotological Statistics Software Package for Educatio ad Data Aalysis (Uiversities of Copehage ad Oslo) - Ope Source- Nachbau vo SPSS - Idetische Fuktioe ud Bedieug, Look & Feel ist sehr gut vergleichbar - Etwickelt durch de Norwegia Social Sciece Data Service (Stat. Budesamt) - I Deutschlad vertriebe durch GESIS (Leibiz-Istitut für Sozialwisseschafte) date-aalysiere/software/sdstat/ Seite 10

11 Softwarealterative zu SPSS Für Übuge am heimische Recher Software URL System(e) PSPP Alle PAST Wi, Mac SSP GarySmith/StatSite/ssp.html Wi, Mac SOFA Alle SciLab Alle FreeMat Alle Gumeric Liu Seite 11

12 Teil I Grudlage Seite 12

13 Kurze Eiordug der Statistik Diverse Teilgebiete wie z.b. Aalysis, Algebra, Logik Mathematik Stochastik deskriptiv Wahrscheilichkeitstheorie eplorativ Statistik iduktiv Erhebug, Zusammefassug, Darstellug ud Aalyse vo Date sowie Methode zum Ziehe vo Schlüsse auf Grudlage vo Date - Tobias Heller Seite 13

14 Kurze Eiordug der Statistik Zusammefasse deskriptiv Darstelle Utersuche eplorativ Auffide (vo Gesetzmäßigkeite) Beschreibe Erkude Statistik Schätze Schlussfolger iduktiv Aalysiere Teste Seite 14

15 Kurze Eiordug der Statistik Streuugsmaße Lagemaße Ausreißeraalyse B-P-K deskriptiv Spearma eplorativ Histogramm Tabelle Kedall Bo-Plot Ausreißersuche Statistik Streudiagramm T-Test Regressio iduktiv K-S-A Chi²-Test Seite 15

16 Grudbegriffe der Statistik Wer eriert sich och? Grudgesamtheit / Populatio = Mege aller relevate statistische Eiheite Teilgesamtheit / Teilpopulatio = Betrachtete Teilmege eier Grudgesamtheit Stichprobe = Real utersuchte Teilmege eier Grudgesamtheit Statistische Eiheite = Eizele im Rahme eier Erhebug utersuchte Objekte Merkmal = Iteressierede Größe der statistische Eiheit (Variable) Ausprägug = kokreter Merkmalswert eier statistische Eiheit (Wert) Alle Studete a der HS Harz (davo) alle BWL-Studete (davo) geau 35 befragte Studete Alter Klaus Meier 23 Jahre Seite 16

17 Übug: Grudbegriffe der Statistik Eie Wohugsbaugesellschaft will aus der Mege aller ihrer Mieterie ud Mieter diejeige mit eiem Alter oberhalb vo 65 Jahre zum Thema seiorefreudliches Wohe befrage. Hierzu werde per Zufall 150 ältere Mieterie ud Mieter aus der Kudekartei herausgesucht ud ageschriebe. Gefragt wird uter aderem ach der persöliche Eischätzug vo barrierefreie Korridore, wobei lediglich eier der Befragte agab, dass diese für ih überhaupt icht vo Bedeutug sei. Grudgesamtheit: Teilgesamtheit: Stichprobe: Statistische Eiheit(e): Merkmal: Ausprägug: Seite 17

18 Übug: Grudbegriffe der Statistik Eie Wohugsbaugesellschaft will aus der Mege aller ihrer Mieterie ud Mieter diejeige mit eiem Alter oberhalb vo 65 Jahre zum Thema seiorefreudliches Wohe befrage. Hierzu werde per Zufall 150 ältere Mieterie ud Mieter aus der Kudekartei herausgesucht ud ageschriebe. Gefragt wird uter aderem ach der persöliche Eischätzug vo barrierefreie Korridore, wobei lediglich eier der Befragte agab, dass diese für ih überhaupt icht vo Bedeutug sei. Grudgesamtheit: Alle Mieterie ud Mieter der Wohugsbaugesellschaft Teilgesamtheit: Nur ältere Mieterie ud Mieter oberhalb vo 65 Jahre Stichprobe: 150 per Zufall selektierte ältere Mieterie ud Mieter Statistische Eiheit(e): Eizele befragte Mieterie ud Mieter Merkmal: Persöliche Eischätzug vo barrierefreie Korridore Ausprägug: Ist für Befragte überhaupt icht vo Bedeutug Seite 18

19 Statistische Skaleiveaus Welches Iformatiosiveau habe Date? Nomialskala Date sid ur Bezeichuge ohe Ragordug Feststellbar ist lediglich Gleichheit oder Ugleichheit Geschlecht, Telefoummer, Kotoummer, Geschmack Ordialskala Date köe i eie Ragordug gebracht werde Abstäde zwische Date sid aber icht iterpretierbar Schulote, Präferezragfolge, Diesträge, Zufriedeheite Itervallskala Date köe i eie Ragordug gebracht werde Abstäde zwische Date sid ebefalls iterpretierbar Temperature i Celsius oder Fahreheit, Jahreszahle Verhältisskala Wie Itervallskala ur mit atürlichem Nullpukt Temperature i Kelvi, Zeit, Streckeläge, Wassertiefe Seite 19

20 Diskrete ud stetige Variable Wie viele Auspräguge gibt es? Diskrete Variable ( zähle ) Edlich oder abzählbar uedlich viele Auspräguge Variable mit ur zwei Auspräguge sid dichotom Auge beim Würfel, Kiderzahl, Haarfarbe, Geschlecht, Berufe... Stetige Variable ( messe ) Alle Werte eies Itervalls sid mögliche Auspräguge Die Zahl möglicher Auspräguge ist somit uedlich Wassertiefe, Luftfeuchtigkeit, Wassertemperatur, Zeititervall... Quasi-stetige Variable ( ugeau messe ) Diskrete Variable mit sehr viele Auspräguge werde i der Prais oft wie stetige Variable behadelt (ud damit quasi-verstetigt ) Quasi-stetig sid auch stetige Variable, die ur diskret geau gemesse werde köe Nettoeikomme, Produktpreise... Seite 20

21 Skaleiveaus ud Variabletype Date Nomialskala meist diskret Ordialskala meist diskret Kardialskala / metrische Skala meist stetig keie Ragordug Beispiele Geschlecht Studiegag Familiestad Telefoummer Ragordug Keie iterpretierbare Abstäde Beispiele Schulote Steuerklasse Präferezrakigs Itervallskala (kei atürlicher Nullpukt) Verhältisskala (atürlicher Nullpukt) Ragordug Iterpretierbare Abstäde häufbar (mehrere Auspräguge) icht häufbar (ur eie Ausprägug) Beispiele Preis i EUR Abstad i cm Seite 21

22 Übug: Skaleiveaus ud Variabletype Wassertiefe eies Schwimmbeckes Telefoummer vo Versadkude Geschmacksrichtuge vo Speiseeis Schulote auf eier Skala vo 1 bis 6 Abstad zwische zwei Gebäude i cm Preis eies Neuwages i Euro ud Cet Haarfarbe vo Kudie im Friseursalo Temperatur eies glimmede Holzscheits Produktwertug auf eier Skala vo 1 bis 5 Studiumsote auf eier Skala vo 1,0 bis 5,0 Seite 22

23 Übug: Skaleiveaus ud Variabletype Wassertiefe eies Schwimmbeckes metrisch, stetig Telefoummer vo Versadkude omial, diskret Geschmacksrichtuge vo Speiseeis omial, diskret Schulote auf eier Skala vo 1 bis 6 ordial, diskret Abstad zwische zwei Gebäude i cm metrisch, stetig Preis eies Neuwages i Euro ud Cet metrisch, diskret Haarfarbe vo Kudie im Friseursalo omial, diskret Temperatur eies glimmede Holzscheits metrisch, stetig Produktwertug auf eier Skala vo 1 bis 5 ordial, diskret Studiumsote auf eier Skala vo 1,0 bis 5,0 ordial, diskret Seite 23

24 Methode der Dategewiug Gaz eu erhobee Date Frage: Wie werde Date erhobe? Bereits eistierede Date primärstatistisch sekudärstatistisch tertiärstatistisch Nur och aggregierte Date Methodik Ablauf Umfag Eperimet Erfassug Querschitt Lägsschitt Vollerhebug Teilerhebug Beobachtug Befragug müdlich schriftlich willkürlich zufällig bewusst Seite 24

25 Methode der Stichprobeziehug (1) Willkürliche Auswahl z.b. willkürliche Asprache vo Passatie ud Passate i eier Fußgägerzoe oder Teilehmerie ud Teilehmer eier Demo; ist größteteils wertlos, es sei de für qualitative Vorstudie Zufallsauswahl Eifache Zufallsstichprobe: Jedes Elemet der Grudgesamtheit hat die eakt gleiche Chace, i die Stichprobe aufgeomme zu werde (z.b. Zufallsauswahl aus eiem vollstädige Register aller Kude) Seite 25

26 Methode der Stichprobeziehug (2) Geschichtete Zufallsstichprobe: Durchführug mehrerer eifacher Zufallsstichprobe i disjukte Schichte der Grudgesamtheit (z.b. aus kiderlose Familie ud aus Familie mit Kider) Klumpestichprobe: Uterteilug eier Grudgesamtheit i atürliche Klumpe auf Basis eies eizele Merkmals ud aschließede Vollerhebug ierhalb dieser Klumpe (z.b. Utersuchug vo Plaquadrate auf eier Ladkarte) (Das Risiko bei diesem Verfahre besteht isbesodere i der irrtümliche Auswahl ichtrepräsetativer Klumpe) Seite 26

27 Methode der Stichprobeziehug (3) Bewusste Auswahl Quotestichprobe: Kostruktio eier Stichprobe, die ei bestimmtes Merkmal perfekt abbildet, auf Basis dieses Merkmals (z.b. Befragug vo Akademiker ud Nichtakademiker ach Bevölkerugsateile) (Das Problem bei diesem Verfahre besteht isbesodere im stetig schwidede Spielraum bei der Auswahl der letzte Fälle, die oft eie Vielzahl vo Merkmalsbediguge zu erfülle habe, daruter ggf. auch seltee oder umögliche Merkmalskombiatioe) Seite 27

28 Methode der Stichprobeziehug (4) Kozetratiosverfahre: Kozetratio auf besoders relevate Teilgesamtheite (z.b. vorragige Befragug vo Großkude i eier Kudebefragug, um dere Bedeutug widerzuspiegel) Auswahl typischer Fälle: (Möglichst objektive) Auswahl typischer Fälle (etwa typischer Kude, typischer Mitarbeiter oder typischer Studiereder) ud dere möglichst vollumfägliche Utersuchug Seite 28

29 Methode der Stichprobeziehug Frage: Wie werde Date erhobe? plalos bewusste Kostruktio willkürlich zufällig bewusst eifache Zufallsstichprobe Quoteauswahl geschichtete Zufallsstichprobe Klumpestichprobe Kozetratiosverfahre faire Zufallsauswahl Auswahl typischer Fälle Seite 29

30 Wa sid Date repräsetativ? Nicht immer stimmt die Behauptug... Eie Stichprobe ist repräsetativ, we sie alle für die Grudgesamtheit charakteristische Merkmale ud Merkmalskombiatioe getreu der reale relative Häufigkeite i der Grudgesamtheit aufweist, d.h. ei eaktes Merkmalsabbild der Grudgesamtheit darstellt Der Begriff hat eie hohe Suggestivwirkug ud wird i der Prais der Markt- ud Meiugsforschug leider sehr häufig zu Urecht verwedet Faustregel: Der Begriff sollte ur verwedet werde, we eie faire statistische Zufallsauswahl mit sehr hoher (idealerweise maimaler) Rücklaufquote aus eier klar defiierte Grudgesamtheit vorliegt Seite 30

31 Welcher Begriff ist och uklar? Grudgesamtheit Repräsetativität Klumpestichprobe Merkmal Vollerhebug Zufallsstichprobe Nomialskala Statistische Eiheit Quoteauswahl Ordialskala Ausprägug Willkürliche Auswahl Stichprobe Itervallskala Iduktive Statistik Eplorative Statistik Teilgesamtheit Verhältisskala Kardialskala Deskriptive Statistik Seite 31

32 Teil II Häufigkeite Seite 32

33 Absolute ud relative Häufigkeite Absolute Häufigkeit: Die Azahl a statistische Eiheite, die hisichtlich eies Merkmals die gleiche Ausprägug besitze (Ergebis eier eifache Zählug) Relative Häufigkeit: Die Azahl a statistische Eiheite, die hisichtlich eies Merkmals die gleiche Ausprägug besitze, im Verhältis zur Gesamtzahl der statistische Eiheite (d.h. der prozetuale Ateil der absolute Häufigkeit) Die Gesamtzahl aller absolute bzw. relative Häufigkeite (i eier Tabelle oder eier Grafik) wird als absolute bzw. relative Häufigkeitsverteilug bezeichet Beispiel: 25 Studierede werde ach ihrem Alter befragt. Vo diese 25 gebe 13 a, derzeit 24 Jahre alt zu sei. Die absolute Häufigkeit der Altersausprägug 24 liegt daher bei 13, die relative Häufigkeit dagege bei 0,52 bzw. 52% (13/25) Seite 33

34 Beispiel für eie Häufigkeitstabelle Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % 20 Jahre 3 0,12 12,00% 21 Jahre 2 0,08 8,00% 22 Jahre 1 0,04 4,00% 23 Jahre 3 0,12 12,00% 24 Jahre 13 0,52 52,00% 25 Jahre 2 0,08 8,00% 26 Jahre 0 0,00 0,00% 27 Jahre 1 0,04 4,00% Σ Sid Häufigkeitstabelle 25 1,00 100,00% eher bei mehr oder eher bei weiger Auspräguge aussagekräftig? Seite 34

35 Bildug vo Klasse Liege i eiem Datesatz sehr viele Auspräguge vor, loht sich uter Umstäde eie Klassebildug, d.h. die Uterteilug der Date i Klasse (idealerweise gleicher Breite dazu i eiige Woche mehr) Bei der Klassebildug ist zu berücksichtige, dass eideutig defiiert werde muss, zu welcher Klasse die Elemete der jeweilige Klassegreze gehöre K g g ; K g, g ;... K g, g 1 0, j j1 j Warum liegt die Greze der zweite Klasse bei 28 statt 27 Jahre? Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % [20 24) Jahre 9 0,36 36,00% [24 28) Jahre 16 0,64 64,00% Σ 25 1,00 100,00% Seite 35

36 Empirische Verteilugsfuktio Mit Hilfe der empirische Verteilugsfuktio lässt sich die Frage beatworte, welcher Ateil der Date eie Greze (icht) überschreitet bzw. uterschreitet: F() = Welcher Ateil der Date ist kleier oder gleich? ( höchstes ) (z.b.: Welcher Ateil der befragte Studierede ist höchstes 23 Jahre alt?) F( ) f ( a 1 )... 0 f ( a ) 1 j j für a1 fi für a j ud a j1 i1 für a k Für alle Werte kleier als die kleiste Ausprägug ist F() = 0 Für alle Werte größer als die größte Ausprägug ist F() = 1 Die empirische Verteilugsfuktio lässt sich grafisch (Treppediagramm) oder tabellarisch (Tabelle mit kumulierte absolute / relative Häufigkeite) darstelle Seite 36

37 Beispiel für eie Kumulatiostabelle Ausprägug kumulierte abs. Häufigkeit kumulierte rel. Häufigkeit kumulierte % 20 Jahre 3 0,12 12,00% 21 Jahre 5 0,20 20,00% 22 Jahre 6 0,24 24,00% 23 Jahre 9 0,36 36,00% 24 Jahre 22 0,88 88,00% 25 Jahre 24 0,96 96,00% 26 Jahre 24 0,96 96,00% 27 Jahre 25 1,00 100,00% Welcher Ateil der befragte Studierede ist höchstes 23 Jahre alt? Σ 25 1,00 100,00% Seite 37

38 Beispiel für ei Treppediagramm 100% 80% Ausprägug kumulierte % 60% 40% 20% 20 Jahre 12,00% 21 Jahre 20,00% 22 Jahre 24,00% 23 Jahre 36,00% 24 Jahre 88,00% 25 Jahre 96,00% 26 Jahre 96,00% 0% 27 Jahre 100,00% Jahre Seite 38

39 Übug: Reche mit der Verteilugsfuktio Frage: Welcher Ateil der befragte Studierede ist höchstes 23 Jahre alt? Lösugsmöglichkeit 1: Ablese aus der Kumulatiostabelle (36%) Lösugsmöglichkeit 2: Berechug mit der Verteilugsfuktio F( ) f ( a 1 )... 0 f ( a ) 1 j j für a1 fi für a j ud a j1 i1 für a k Seite 39

40 Übug: Reche mit der Verteilugsfuktio Frage: Welcher Ateil der befragte Studierede ist höchstes 23 Jahre alt? Lösugsmöglichkeit 1: Ablese aus der Kumulatiostabelle (36%) Lösugsmöglichkeit 2: Berechug mit der Verteilugsfuktio F( ) f ( a 1 )... 0 f ( a ) 1 j j für a1 fi für a j ud a j1 i1 für a k F(23) f (20) f (21) f (22) f (23) 0,12 0,08 0,04 0,12 0,36 36% Seite 40

41 Summefuktio Bei klassierte Date wird die empirische Verteilugsfuktio als stetige empirische Verteilugsfuktio oder als Summefuktio bezeichet F( ) F( g 0 g ) für für g i1 i1 i i1 di 1 * f für g g 0 k g i Aahme: Die Werte ierhalb jeder Klasse sid gleichmäßig verteilt (1) Zuächst wird der Wert der empirische Verteilugsfuktio bis zum Ede der Klasse berechet, die vor der Klasse liegt, welche de gesuchte Wert ethält (2) Aschließed wird die Differez zwische gesuchtem Wert ud uterer Klassegreze i der ächste Klasse berechet, durch die Klassebreite geteilt ud abschließed mit der relative Häufigkeit dieser Klasse multipliziert (3) Zum Schluss werde beide Summe miteiader addiert Seite 41

42 Übug: Reche mit der Summefuktio Frage: Welcher Ateil der befragte Studierede ist höchstes 25 Jahre alt? Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % [20 24) Jahre 9 0,36 36,00% [24 28) Jahre 16 0,64 64,00% Σ 25 1,00 100,00% F( ) F( g ) 0 g für für g i1 i1 i i1 di 1 * f für g g 0 k g i Seite 42

43 Übug: Reche mit der Summefuktio Frage: Welcher Ateil der befragte Studierede ist höchstes 25 Jahre alt? Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % [20 24) Jahre 9 0,36 36,00% [24 28) Jahre 16 0,64 64,00% Σ 25 1,00 100,00% F( g i 1) F(24) 0,36 Welche Abweichug gi * fi *0,64 di 4 0,16 ergibt sich zur Berechug mit uklassierte Date? 0,36 0,16 0,52 52% Seite 43

44 Teil III Eplorative Dateaalyse: Lagemaße / Maße der zetrale Tedez Seite 44

45 Lagemaße / Maße der zetrale Tedez Date Nomialskala meist diskret Ordialskala meist diskret Kardialskala / metrische Skala meist stetig Modus Media Quartile Quatile Perzetile Itervallskala (kei atürlicher Nullpukt) arithmetisches Mittel (ikl. gewichtet, getrimmt...) Lagemaße, die ei iedriges Skaleiveau voraussetze, köe problemlos für Datesätze mit eiem höhere Skaleiveau berechet werde Verhältisskala (atürlicher Nullpukt) geometrisches Mittel harmoisches Mittel Seite 45

46 Das arithmetische Mittel Das arithmetische Mittel ist das bekateste statistische Lagemaß (Stadardmittel) Es ka ur für metrisch skalierte Date berechet werde (Itervall-/Verhältisskala) Vorsicht: SPSS berechet das arithmetische Mittel auch für ichtmetrische Date Aweder/ie beötige daher Methodeketisse (typischer Fehler: Schulote) Liege vo eiem metrische Merkmal isgesamt Werte vor, berechet sich das arithmetische Mittel auf Basis dieser Formel: 1 i1 i Das arithmetische Mittel ist icht robust, d.h. empfidlich gegeüber Ausreißer: (1, 2, 3, 4) -> ( ) / 4 = 2,5 (1, 2, 3, 50) -> ( ) / 4 = 14 Ursache: Jeder Wert i der Verteilug beeiflusst das Mittel gleichermaße Seite 46

47 Übug: Arithmetisches Mittel Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % 20 Jahre 3 0,12 12,00% 21 Jahre 2 0,08 8,00% 22 Jahre 1 0,04 4,00% 23 Jahre 3 0,12 12,00% 24 Jahre 13 0,52 52,00% 25 Jahre 2 0,08 8,00% 26 Jahre 0 0,00 0,00% 27 Jahre 1 0,04 4,00% Σ 25 1,00 100,00% 1 i1 i Seite 47

48 Übug: Arithmetisches Mittel Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % 20 Jahre 3 0,12 12,00% 21 Jahre 2 0,08 8,00% 22 Jahre 1 0,04 4,00% 23 Jahre 3 0,12 12,00% 24 Jahre 13 0,52 52,00% 25 Jahre 2 0,08 8,00% 26 Jahre 0 0,00 0,00% 27 Jahre 1 0,04 4,00% Σ 25 1,00 100,00% 1 i1 i ( ) ,28 Seite 48

49 Arithmetisches Mittel bei klassierte Date Das arithmetische Mittel lässt sich auch bei klassierte Date auf Basis der relative Häufigkeite (f i ) sowie der Klassemitte (m i ) bereche g m k 1 * f1... m f * fk mi * i1 f i Welche Abweichug ergibt sich zur Berechug mit uklassierte Date? Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % [20 24) Jahre 9 0,36 36,00% [24 28) Jahre 16 0,64 64,00% Σ 25 1,00 100,00% g ( 22*0,36) (26*0,64) 7,92 16,64 24,56 Seite 49

50 Getrimmtes arithmetisches Mittel Trete i eiem Datesatz eizele besoders große oder kleie Werte auf (sogeate Ausreißer), verzerre diese das arithmetische Mittel erheblich Möglich ist i diese Fälle etweder ei Ausweiche auf ei aderes Maß der zetrale Tedez oder die Berechug des getrimmte arithmetische Mittels Hierfür werde beispielsweise die 2% oder 5% der jeweils größte ud kleiste Werte aus dem Datesatz etfert, bevor das arithmetische Mittel berechet wird Nachteil: Da icht ur die Ausreißer etfert werde, soder die Trimmug symmetrisch erfolgt, ka es zur Etferug icht-etremer Werte komme Seite 50

51 Der Media Der Media ist derjeige Wert, der i der Mitte der geordete Verteilug liegt Die Berechug des Medias setzt daher midestes ordialskalierte Date voraus Bei eier ugerade Azahl a Werte wird der mittlere Wert der geordete Verteilug gewählt med 1 ( ) 2 Bei eier gerade Azahl a Werte wird das arithmetische Mittel der mittlere Werte gewählt med 1 2 ( ( ) ( 1) 2 2 ) Der Media ist äußerst robust, d.h. er wird vo Ausreißer kaum beeiflusst: (1, 2, 3, 4) -> Media: 2,5 (1, 2, 3, 50) -> Media: 2,5 Ursache: Nur zwei Werte (bzw. ei Wert) gehe i die Berechug ei Seite 51

52 Übug: Media Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % 20 Jahre 3 0,12 12,00% 21 Jahre 2 0,08 8,00% 22 Jahre 1 0,04 4,00% 23 Jahre 3 0,12 12,00% 24 Jahre 13 0,52 52,00% 25 Jahre 2 0,08 8,00% 26 Jahre 0 0,00 0,00% 27 Jahre 1 0,04 4,00% Σ 25 1,00 100,00% ugerade Azahl a Werte (25): med 1 ( ) 2 Seite 52

53 Übug: Media Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % 20 Jahre 3 0,12 12,00% 21 Jahre 2 0,08 8,00% 22 Jahre 1 0,04 4,00% 23 Jahre 3 0,12 12,00% 24 Jahre 13 0,52 52,00% 25 Jahre 2 0,08 8,00% 26 Jahre 0 0,00 0,00% 27 Jahre 1 0,04 4,00% Σ 25 1,00 100,00% med 25 1 ( ) Lässt sich dieses Ergebis auch direkt aus der Tabelle ablese? 20; 20; 20; 21; 21; 22; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 27 Seite 53

54 Die Perzetilwerte Perzetilwerte sid Werte, uterhalb derer ei defiierter Ateil aller Werte liegt Für die Perzetilberechug müsse midestes ordialskalierte Date vorliege Der bekateste Perzetilwert ist das 50%-Perzetil der bereits bekate Media Häufig erfolgt eie Vierteilug des Wertebereichs mit de sogeate Quartile: 25%-Perzetil (25% aller Werte liege uterhalb dieses Wertes, 75% liege oberhalb) 50%-Perzetil Media (50% aller Werte liege uter- bzw. oberhalb dieses Wertes) 75%-Perzetil (75% aller Werte liege uterhalb dieses Wertes, 25% liege oberhalb) Die Quartile spiele u.a. für die Bildug vo Bo-Plots (Greze der Bo) sowie für die Uterscheidug i Ausreißer ud Etremwerte (IQR) eie Rolle Wie der Media sid auch die restliche Perzetile robust gegeüber Ausreißer Seite 54

55 Die Perzetilwerte Die Berechug vo Perzetilwerte erfolgt gemäß folgeder Formel(): Ergibt ( * p) keie gazzahlige Wert, ist k die auf ( * p) folgede gaze Zahl p (k ) Ergibt ( * p) eie gazzahlige Wert, etspricht k dem Ergebis vo ( * p) p 1 2 ( ( k ) ( k 1) ) (1) Der gewüschte Perzetilwert (z.b. 0,25 für das 25%-Perzetil) wird mit der Azahl der Werte im Datesatz () multipliziert. I viele Fälle kommt dabei ei ugerader Wert heraus, der auf de ächsthöhere Wert (k) aufzurude ist. Der gesuchte Perzetilwert etspricht i diese Fälle dem k-te Wert im Datesatz. (2) Für de Fall, dass sich bei der Multiplikatio vo ud p doch eimal eie gerade Zahl (k) ergebe sollte, wird das arithmetische Mittel des k-te Wertes im Datesatz ud des auf de k-te Wert folgede Wertes im Datesatz berechet. Seite 55

56 Perzetilwerte ud Bo-Plots Bo-Plots biete eie Verteilugsüberblick ud gestatte Verteilugsvergleiche Wesetliche Kostruktiosgröße ist der Iterquartilsabstad (IQR = 0,75 0,25 ) * Etremwert Ausreißer Größter Nicht-Ausreißer Oberes Quartil 7 IQR 4 IQR IQR Media Uteres Quartil Kleister Nicht-Ausreißer 42 Ausreißer Seite 56

57 Übug: Quartile Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % 20 Jahre 3 0,12 12,00% 21 Jahre 2 0,08 8,00% 22 Jahre 1 0,04 4,00% 23 Jahre 3 0,12 12,00% 24 Jahre 13 0,52 52,00% 25 Jahre 2 0,08 8,00% 26 Jahre 0 0,00 0,00% 27 Jahre 1 0,04 4,00% Σ 25 1,00 100,00% Bei der Multiplikatio vo ud p ergebe sich ausschließlich icht gazzahlige Werte, daher gilt: p (k ) 0,25 = 0,50 = 0,75 = Seite 57

58 Übug: Quartile Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % 20 Jahre 3 0,12 12,00% 21 Jahre 2 0,08 8,00% 22 Jahre 1 0,04 4,00% 23 Jahre 3 0,12 12,00% 24 Jahre 13 0,52 52,00% 25 Jahre 2 0,08 8,00% 26 Jahre 0 0,00 0,00% 27 Jahre 1 0,04 4,00% Σ 25 1,00 100,00% 0,25 0,50 0, ; 20; 20; 21; 21; 22; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 27 20; 20; 20; 21; 21; 22; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 27 20; 20; 20; 21; 21; 22; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 25; Seite 58

59 Der Modus Der Modus (oder Modalwert) ist der i de Date am häufigste auftretede Wert Bei klassierte Date etspricht der Modus die Klassemitte der Klasse mit de meiste Fälle (dies gilt allerdigs ur beim Vorliege gleichbreiter Klasse) Der Modus eiget sich vor allem für diskrete Date (Puktwahrscheilichkeit) Er wird v.a. für omialskalierte Date gebildet, für die sich kei aderes Lagemaß eiget Bei metrisch skalierte Date ka der Modus über gleichbreite Klasse gebildet werde (i dem Fall etspricht der Modus der Klassemitte der Klasse mit de meiste Werte) Vorteil: Der Modus ist ohe Rechug erkebar ud lässt sich leicht bestimme Nachteil: Der Modus ist ur iterpretierbar, we ei klares Maimum eistiert Achtug: Sid i eiem diskrete Datesatz mehrere Werte mit gleicher Häufigkeit vertrete, gibt SPSS ur de i der Häufigkeitstabelle zuoberst stehede Wert aus Seite 59

60 Modus ud Verteilugsform Uimodale Verteilug Bimodale Verteilug Multimodale Verteilug Seite 60

61 Übug: Modus Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % 20 Jahre 3 0,12 12,00% 21 Jahre 2 0,08 8,00% 22 Jahre 1 0,04 4,00% 23 Jahre 3 0,12 12,00% 24 Jahre 13 0,52 52,00% 25 Jahre 2 0,08 8,00% 26 Jahre 0 0,00 0,00% 27 Jahre 1 0,04 4,00% Σ 25 1,00 100,00% mod 24 Warum? Seite 61

62 Zusammefassug der Lagemaße Lagemaße beschreibe das Zetrum eier Verteilug Arithmetisches Mittel Sogeates Stadardmittel Nicht robust gegeüber Ausreißer Date müsse stets metrisch skaliert sei 1 i1 i Getrimmtes arithmetisches Mittel Arithmetisches Mittel ach Etferug eiiger Raddate Trimmug der Date erfolgt stets beidseitig symmetrisch Die Trimmug des Mittels mildert Ausreißereffekte ab 1 i1 i Seite 62

63 Zusammefassug der Lagemaße Media Mittlerer Wert der geordete Verteilug Vo Ausreißer praktisch icht beeiflussbar Date müsse midestes ordialskaliert sei Für gerade ud ugerade eistiere zwei Formel med med 1 ( ) ( ( ) ( 1) 2 2 ) Perzetile Verallgemeierug des Medias Astelle vo 50% werde adere Prozetzahle gewählt I der Prais spiele vor allem Quatile ud Quartile eie Rolle Für gazzahlige ud icht gazzahlige (p) eistiere zwei Formel p (k ) p 1 2 ( ( k ) ( k 1) ) Seite 63

64 Zusammefassug der Lagemaße Modus Am häufigste auftreteder Wert i de Date Ka scho für omialskalierte Werte berechet werde Nur sivoll, we ei eizeles, klares Maimum vorliegt mod ama Geometrisches Mittel Lagemaß für relative Veräderuge (Wachstum) I solche Fälle das eizig zulässiges Lagemaß Faktore köe uterschiedlich gewichtet werde Harmoisches Mittel Kommt bei Quotiete zum Eisatz (Geschwidigkeite...) Ka aalog zum geometrische Mittel gewichtet werde... geom 1 har i1 1 i Seite 64

65 Das SPSS-Aalyseproblem SPSS führt JEDE Aalyse uabhägig vo de Voraussetzuge durch!...also auch die Berechug des arithmetische Mittels... aus Schulote... aus Geschlechter... aus Kotoummer... aus Telefoummer... aus Präferezräge Bei komplee Verfahre sid och weit schlimmere Vergehe dekbar Die fachliche Ketisse der Aweder/ie sid daher etscheided Darum: KEINE Aalyse ohe vorherige Prüfug der Voraussetzuge! Seite 65

66 Übug: Maße der zetrale Tedez Bereche: Arith. Mittel, um 5% getrimmtes arith. Mittel, Media ud Modus Schulote Azahl Schulote Azahl Bereche: Arith. Mittel, um 5% getrimmtes arith. Mittel, Media ud Modus Alter Azahl Alter Azahl Seite 66

67 Übug: Maße der zetrale Tedez Bereche: Arith. Mittel, um 5% getrimmtes arith. Mittel, Media ud Modus Schulote Azahl Schulote Azahl med mod 3 3 Bereche: Arith. Mittel, um 5% getrimmtes arith. Mittel, Media ud Modus Alter Azahl Alter Azahl ,79 get 34,80 med mod 35,50 37,00 Sagt der Modus etwas aus? Seite 67

68 Teil IV Eplorative Dateaalyse: Streuugsmaße Seite 68

69 Wozu werde Streuugsmaße beötigt? Mitarbeiter Abt. A Eikomme Mitarbeiter Abt. B Eikomme MA ,00 Euro MA ,00 Euro MA ,00 Euro MA ,00 Euro Sollte ma die Mittelwerte direkt miteiader vergleiche? MA ,00 Euro MA ,00 Euro MA ,00 Euro MA ,00 Euro MA ,00 Euro MA ,00 Euro MA ,00 Euro MA ,00 Euro Summe ,00 Euro Summe ,00 Euro Arithmetisches Mittel 2.561,67 Euro Arithmetisches Mittel 2.761,67 Euro Seite 69

70 Die Spaweite Die Spaweite ist als der absolute Abstad zwische dem jeweils kleiste (Miimum) ud größte (Maimum) Wert im utersuchte Datesatz defiiert Die Spaweite ist als Streuugsmaß i de meiste Fälle ugeüged, da sie soweit vorhade etrem stark vo Ausreißer beeiflusst wird Eistiere a beide Verteilugsräder Ausreißer, wird der Wert der Spaweite tatsächlich sogar ausschließlich (!) durch diese bestimmt (1, 2, 3, 4, 5) -> Spaweite: 4 (1, 2, 3, 4, 50) -> Spaweite: 49 Seite 70

71 Der Iterquartilsabstad Der Iterquartilsabstad (IQR = Iter Quartile Rage) ist defiiert als der Abstad zwische dem obere (75%) ud dem utere Quartil (25%) Da die Quartile bekatlich icht vo Ausreißer beeiflusst werde, köe ist der IQR als Streuugsmaß deutlich robuster als die Spaweite Quartile, Miimum ud Maimum bilde die Füf-Werte-Zusammefassug } IQR Seite 71

72 Variaz ud Stadardabweichug Die Variaz (bzw. empirische Variaz) ist das meistgeutzte Streuugsmaß Sie berechet sich als Summe der quadrierte Abweichuge der Eizelwerte (Ausgleich egativer ud positiver Abweichuge) vom arithmetische Mittel, geteilt durch die Gesamtzahl aller Werte s 2 1 i1 ( 1 ) 2 Bei der Berechug der Stichprobe-Variaz (SPSS) stehe die Freiheitsgrade im Neer Die Variaz wird immer kleier, je äher die Eizelwerte am arithmetische Mittel liege Sid alle Werte mit dem Mittel idetisch (keie Streuug), ergibt sich eie Nullvariaz Bei der Iterpretatio ist zu beachte, dass mit quadrierte Werte gerechet wird Auch die Variaz ist also i der quadrierte Eiheit dimesioiert (z.b. i ² statt i ) Die Stadardabweichug als Quadratwurzel der Variaz erleichtert die Iterpretatio Seite 72

73 Übug: Variaz ud Stadardabweichug Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % 20 Jahre 3 0,12 12,00% 21 Jahre 2 0,08 8,00% 22 Jahre 1 0,04 4,00% 23 Jahre 3 0,12 12,00% 24 Jahre 13 0,52 52,00% 25 Jahre 2 0,08 8,00% 26 Jahre 0 0,00 0,00% 27 Jahre 1 0,04 4,00% Σ 25 1,00 100,00% s ( 1 )... ( ) i1 ( 1 ) 2 23,28 Seite 73

74 Übug: Variaz ud Stadardabweichug (20 23,28) 2 10, , ,9584 (20 23,28) 2 10, ,80 541,9584 2,8416 (25 23,28) (27 23,28) 71, , , s 2 2,8416 s 1,6857 Wie sid die Ergebisse zu iterpretiere? 71, , ,80 I welcher Eiheit stehe die Ergebisse? Seite 74

75 Streuugsmaße / Dispersiosparameter Streuugsmaße gebe Auskuft darüber, wie stark Date um das Zetrum eier Verteilug (Mittelwert) streue Empirische Variaz Mittlere quadrierte Abweichug vom arithmetische Mittel Ka daher ur für metrisch skalierte Date berechet werde Variaz ist icht robust, d.h. empfidlich gegeüber Ausreißer Die hier dargestellte Formel ist die vereifachte Rechevariate s 2 1 i1 2 i 2 Stadardabweichug Durch die Quadrierug ist die Variaz schwer iterpretierbar, da sie sich i Eiheite wie z.b. ² oder Stude² ausdrückt Die Stadardabweichug ist die positive Wurzel der Variaz s 2 s Seite 75

76 Streuugsmaße / Dispersiosparameter Variatioskoeffiziet Streuuge mit uterschiedliche Maßstäbe sid icht vergleichbar Beispiel: Währugsschwakuge i verschiedee Währuge Ist der Mittelwert positiv, köe die Date aber ormiert werde Der etstehede Variatioskoeffiziet gestattet direkte Vergleiche v s 0 Spaweite Differez zwische größtem ud kleistem Wert I die Berechug fließe also ur weige Date ei Differez wird dadurch massiv durch Ausreißer beeiflusst d s ma mi Seite 76

77 Streuugsmaße / Dispersiosparameter Iterquartilsabstad (IQR) Der IQR ist der Abstad zwische oberem ud uterem Quartil Er wird für Bo-Plot ud Füf-Werte-Zusammefassug beötigt IQR 0,75 0,25 Füf-Werte-Zusammefassug Hochkomprimierte Darstellug vo Streuug ud Lage eier Verteilug, bestehed aus dem Miimum, dem Maimum ud de drei Quartile mi 0,25; med ; 0,75; ; ma Seite 77

78 Übug: Streuugsmaße Bereche: Spaweite, IQR, Variaz ud Stadardabweichug Schulote Azahl Schulote Azahl Bereche: Spaweite, IQR, Variaz ud Stadardabweichug Alter Azahl Alter Azahl Seite 78

79 Übug: Streuugsmaße Bereche: Spaweite, IQR, Variaz ud Stadardabweichug Schulote Azahl Schulote Azahl IQR ( 3 2) 1 Bereche: Spaweite, IQR, Variaz ud Stadardabweichug Alter Azahl Alter Azahl d s (40 29) 11 IQR (38 32) 6 s 2 12,45 s 3,53 Seite 79

80 Teil V Eplorative Dateaalyse: Verteilugsmaße Seite 80

81 Schiefe ud Wölbug Verteiluge köe ach Schiefe uterschiede werde Symmetrische Verteiluge (spiegelbildlich) Likssteile ud rechtsschiefe Verteiluge Rechtssteile ud liksschiefe Verteiluge Zudem ka ach der Wölbug uterschiede werde Der Wölbugsgrad etspricht der Wölbug eier Normalverteilug Die Wölbug verläuft flacher als die Wölbug eier Normalverteilug Die Wölbug verläuft spitzer als die Wölbug eier Normalverteilug Quelle: Wikimedia Commos / User: Christia Schirm / Lizez: gemeifrei Seite 81

82 Schiefe ud Wölbug Mometekoeffiziet der Schiefe Abweichug der Verteilug vo der symmetrische Form Die Date müsse dabei midestes itervallskaliert sei Es ergebe sich positive Werte für likssteile Verteiluge ud egative Werte für rechtssteile Verteiluge sowie Werte ahe 0 für symmetrische Verteiluge g m s 3 m 3 m s i1 1 ( i1 ) ( i 3 ) 2 3 Quartilskoeffiziet der Schiefe Koeffiziet wird mit de Quartile gebildet Date müsse daher lediglich ordialskaliert sei Iterpretatio ist idetisch zum Mometekoeffiziet g 0,25 ( 0,75 med 0,75 ) ( med 0,25 0,25 Was passiert bei IQR=0? ) Wichtig: Beide Maßzahle für die Schiefe sid lediglich für uimodale Verteiluge sivoll iterpretierbar! Seite 82

83 Schiefe ud Wölbug Kurtosis / Ezeß Abweichug der Wölbug vo der eier Normalverteilug Es ergebe sich positive Werte für spitze Verteiluge ud egative Werte für flache Verteiluge Auch die Kurtosis ist ur bei eier uimodale Verteilug sivoll iterpretierbar g m s k 4 4 m s j1 1 ( i1 j ) ( i 4 ) 2 4 Seite 83

84 Lagemaße ud Bo-Plots Aus der Lage des Medias im Bo-Plot lässt ebefalls die Verteilugsform ablese Symmetrische Verteilug Likssteile Verteilug Rechtssteile Verteilug Seite 84

85 Lagemaße ud Verteilugsforme Lagemaß Modalwert Media / Perzetile Arithmetisches Mittel mi. Skaleiveau Nomialskaleiveau Ordialskaleiveau Metrisches Skaleiveau Verhältis der Lagemaße Form der Verteilug med mod Symmetrische Verteilug med mod Rechtssteile Verteilug med mod Likssteile Verteilug Seite 85

86 Übug: Quartilskoeffiziet ud Kurtosis Ausprägug abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit i % 20 Jahre 3 0,12 12,00% 21 Jahre 2 0,08 8,00% 22 Jahre 1 0,04 4,00% 23 Jahre 3 0,12 12,00% 24 Jahre 13 0,52 52,00% 25 Jahre 2 0,08 8,00% 26 Jahre 0 0,00 0,00% 27 Jahre 1 0,04 4,00% Σ 25 1,00 100,00% g 0, m4 ( 0,75 med ) ( med 0,25) ( j ) m j1 g 4 k 3 4 0,75 s ,25 s ( ) i i1 Seite 86

87 Übug: Quartilskoeffiziet ud Kurtosis g g g 0,25 0,25 0,50 0,75 0,25 0,25 ( ,75 med 0,75 ) ( 0,25 (24 24) (24 23) med 0,25 ) Wie sid die Ergebisse zu iterpretiere? g k m 4 s 4 m s 4 4 g k m s 24,66 8, j1 1 *616,47 2, ( i1 j 8,07 ) ( i 0,55 4 ) ,66 Seite 87

88 Teil VI Eplorative Dateaalyse: Grafische Darstellugsforme Seite 88

89 Zu Begi eier Dateaalyse ist es sivoll, eie Überblick über die vorliegede Date zu bekomme Darstellug vo Lage ud Verteilug der Werte gibt es Auffälligkeite? Lagemaße: Arithmetisches Mittel, Media, Perzetile, Modus Streumaße: Spaweite, Iterquartilsabstad, Variaz, Stadardabweichug Grafische Darstellug: Balkediagramm, Kreisdiagramm, Streudiagramm, Bo-Plot Lasse sich etrem große oder kleie Werte (Ausreißer) idetifiziere? Sid außergewöhliche Umstäde oder Fehler die Ursache? Verzerre die Ausreißer die Ergebisse der weitere Aalyse? Ist es möglich, sie aus der weitere Aalyse auszuschließe? Seite 89

90 Zu Begi eier Dateaalyse Erfülle die Date die Voraussetzuge für weiterführede Verfahre? Liegt eie Normalverteilug vor? Liegt eie Gleichheit der Variaze vor? Alle agesprochee Fragestelluge falle i de Aufgabebereich der eplorative Dateaalyse, die wir i diesem Kurs keelere werde. Welche Verfahre im Rahme eier eplorative Dateaalyse abzuarbeite sid, ist icht eplizit festgelegt. Vielmehr gilt es, die geeigete Methode ud grafische Darstellugsforme aus dem Baukaste der eplorative Dateaalyse passed zu Date sowie zu Fragestelluge auszuwähle. Seite 90

91 Eie Verteilug überblicke Frage: Wie sieht die vorliegede Verteilug aus? grafisch Balkediagramme, Kreisdiagramme, Histogramme, Säulediagramme, Bo-Plots, Stem-ad-Leaf-Plots Lagemaße Arithmetisches Mittel, getrimmtes arithmetisches Mittel, Media, Perzetilwerte, Modus, geometrisches Mittel, harmoisches Mittel Streuugsmaße Variaz, Stadardabweichug, Variatioskoeffiziet, Spaweite, Iterquartilsabstad, Füf-Werte-Zusammefassug Verteilugsmaße Mometekoeffiziet der Schiefe, Quartilskoeffiziet der Schiefe, Kurtosis Seite 91

92 Grafische Darstellug uivariater Date Mögliche Darstellugsforme diskrete Merkmale weige Auspräguge stetige Merkmale viele Auspräguge Stabdiagramm Stem-ad-Leaf Säulediagramm Histogramm Balkediagramm Kreisdiagramm Bo-Plot P-P- & Q-Q-Plots Seite 92

93 Balke- ud Kreisdiagramme Seite 93

94 Säule- ud Balkediagramme Säule- ud Balkediagramme eige sich isbesodere für die Visualisierug diskreter Merkmale mit eier überschaubare Azahl a Auspräguge Stetige Merkmale sollte vor eier Diagrammerstellug klassiert werde SPSS gestattet die Darstellug relativer sowie absoluter Häufigkeite Seite 94

95 Kreisdiagramme Wie Balkediagramme eige sich Kreisdiagramme primär für die Visualisierug diskreter Merkmale mit eier überschaubare Azahl a Auspräguge Stetige Merkmale sollte vor eier Diagrammerstellug klassiert werde SPSS gestattet die Darstellug relativer sowie absoluter Häufigkeite Seite 95

96 Stem-ad-Leaf-Plots Die Stem-ad-Leaf-Plots (Stamm-Blatt-Diagramme) eige sich im Gegesatz zu Kreis- ud Balkediagramme vor allem zur Darstellug stetiger Merkmale Der große Vorteil gegeüber jeder adere grafische Darstellugsform ist, dass die Origialdate (zumidest bis zu eier gewisse Geauigkeit) och aus dem Diagramm abgelese werde köe Das Diagramm ist aufgebaut wie ei gekipptes Histogramm, d.h. flächeproportioal Der Stamm besteht aus der erste Ziffer, die Blätter aus der jeweils folgede Sehr große oder sehr kleie Zahle (Ausreißer) köe auf- oder abgerudet sowie als Etremwerte ausgewiese oder aus der Grafik gestriche werde Stem-ad-Leaf-Plots köe ebe Bo-Plots bemerkeswert gut dazu geutzt werde, um zwei Verteiluge miteiader zu vergleiche Seite 96

97 Stem-ad-Leaf-Plots Sigulärer Stem-ad-Leaf-Plot 2 Etremes Stem width: 10 Each leaf: 1 case(s) Datesatz A Datesatz B Vergleicheder Stem-ad-Leaf-Plot 3 Etremes 2 Etremes Stem width: 10 Each leaf: 1 case(s) Seite 97

98 Streudiagramme ud Streudiagramm-Matrize Seite 98

99 Streudiagramme Streudiagramme stelle die gemeisame Verteilug der Werte zweier Variable (bzw. dreier Variable i eiem 3D-Streudiagramm) dar, idem die etsprechede Werte beider Variable gegeeiader abgetrage werde Lage ud Verteilug der Wertepaare ermögliche Rückschlüsse auf mögliche Zusammehäge -> Eistieg i die ihaltliche Iterpretatio vo Datesätze Beispiel: Trete i der Tedez große Werte der eie Variable gepaart mit große Werte der adere Variable auf, so ka ei positiver Zusammehag vermutet werde (beispielsweise bei Werbeausgabe ud Verkaufszahle) Ei gefudeer Zusammehag ka icht i eie bestimmte Richtug iterpretiert werde, d.h. aus der Grafik ist icht abzulese, ob Variable A Variable B beeiflusst oder umgekehrt, bzw. ob lediglich ei Scheizusammehag besteht Seite 99

100 Streudiagramme Wie ist diese Grafik zu iterpretiere? Lasse sich Ausreißer idetifiziere? Seite 100

101 Streudiagramm-Matri Liegt ei multivariater Fall vor, d.h. solle für mehrere Variablepaare jeweils gemeisame Verteiluge dargestellt werde, ist astelle eier Reihe bivariater Streudiagramme ei gemeisames Streudiagramm i Form eier Matri sivoll Eie Streudiagramm-Matri gestattet de schelle Überblick über die Vielzahl aller mögliche Paarverteiluge ud ermöglicht das rasche Auffide symmetrischer oder aderweitig auffälliger Eizel-Streudiagramme Jedes eizele Streudiagramm taucht zweimal i der Matri auf (eimal oberhalb ud eimal uterhalb der Hauptdiagoale), wobei die jeweilige Achse der Diagramme miteiader vertauscht sid (Gehalt <> Afagsgehalt; Afagsgehalt <> Gehalt) Seite 101

102 Streudiagramm-Matri Lasse sich Ausreißer idetifiziere? Wie ist diese Grafik zu iterpretiere? Seite 102

103 Histogramme ud Bo-Plots Seite 103

104 Bo-Plots Bo-Plots biete eie Verteilugsüberblick ud gestatte Verteilugsvergleiche Sie stelle Lage ud Streuug dar ud diee zudem der Ausreißeridetifikatio * Etremwert Ausreißer Größter Nicht-Ausreißer Oberes Quartil 7 IQR 4 IQR IQR Media Uteres Quartil Kleister Nicht-Ausreißer 42 Ausreißer Seite 104

105 Bo-Plots Aus der Lage des Medias im Bo-Plot lässt sich die Form eier Verteilug ablese Symmetrische Verteilug Likssteile Verteilug Rechtssteile Verteilug Seite 105

106 Histogramme Ei Histogramm zeigt die Häufigkeitsverteilug itervallskalierter Merkmale Dabei wird vo ach der Größe geordete Date ausgegage, die i Klasse aufgeteilt werde, welche theoretisch icht die gleiche Breite besitze müsse (SPSS erstellt Histogramme stadardmäßig jedoch mit gleichbreite Klasse) Über jeder Klasse wird ei Rechteck kostruiert, desse Flächeihalt sich proportioal zur absolute bzw. relative Häufigkeit dieser Klasse verhält Die Visualisierug vo Date mittels Histogramme eiget sich primär für stetige Merkmale mit eier große Azahl a Auspräguge I SPSS ist zu beachte, dass maimal 21 Klasse gebildet werde köe Außerdem ka eie Normalverteilugskurve i das Histogramm eigebledet werde, aus der abgelese werde ka, wie eie Normalverteilug bei Date mit gleichem Mittelwert ud gleicher Streuug aussehe würde (Voraussetzugsprüfug) Seite 106

107 Histogramme Wie ist diese Grafik zu iterpretiere? Hadelt es sich um eie uimodale Verteilug? Seite 107

108 Grafische Darstellug multivariater Date Darstellugsforme Bivariate Darstellug Multivariate Darstellug 2D-Streudiagramme 3D-Streudiagramme Profildiagramme Streudiagramm-Matri Adrew s Fourier Cheroff-Gesichter Seite 108

109 Teil VII Zusammehagsaalyse / Korrelatioskoeffiziete Seite 109

110 Wie lasse sich Zusammehäge aufspüre? Für zwei Variable X ud Y ka da ei Zusammehag uterstellt werde (dieser muss aber real icht eistiere), we sie sich gleichmäßig veräder Gleichsiig = wird X größer wird Y größer; wird X kleier wird Y kleier Gegesiig = wird X größer wird Y kleier; wird X kleier wird Y größer Die Berechug vo Korrelatioskoeffiziete orietiert sich am Skaleiveau Nomialskaleiveau: Chi²-Koeffiziet Ordialskaleiveau: Spearma, Kedall Metrisches Skaleiveau: Bravais-Pearso Grudsätzlich immer möglich ist auch eie grafische Aalyse der Date Diskrete Date: Gruppierte Balkediagramme, Bedigte Balkediagramme Stetige Date: Zwei- ud dreidimesioale Streudiagramme, Scatterplot-Matri Seite 110

111 Aalyse bivariater Zusammehäge Frage: Liegt i eiem bivariate Datesatz ei Zusammehag vor? grafisch omialskaliert ordialskaliert metrisch stetig Streudiagramm Scatterplot-Matri Chi²-Koeffiziet Kokordazkoeffiziet ach Kedall Bravais-Pearso- Korrelatioskoeffiziet diskret Balkediagramme (gruppiert, bedigt) Ragkorrelatioskoeffiziet ach Spearma Seite 111

112 Seite 112 Der Bravais-Pearso-Korrelatioskoeffiziet Für metrisch skalierte Merkmale wird i de meiste Fälle der Bravais-Pearso- Korrelatioskoeffiziet berechet (obwohl auch adere Koeffiziete möglich sid) Bei der Iterpretatio zu beachte: Der Bravais-Pearso-Korrelatioskoeffiziet misst ausschließlich de lieare Zusammehag zwische zwei Variable Nicht-lieare (z.b. quadratische oder logarithmische) Zusammehäge werde somit icht aufgedeckt, auch we sie stark oder sogar vollkomme sei sollte i i i i i i i y y y y r * ) ( * * ) ( * * ) * (

113 Der Bravais-Pearso-Korrelatioskoeffiziet Der Koeffiziet r ka Werte zwische -1 ud +1 aehme Bei positive Werte liegt ei positiver Zusammehag vor, d.h. die Wertepaare liege auf eier steigede Gerade Bei egative Werte liegt ei egativer Zusammehag vor, d.h. die Wertepaare liege auf eier fallede Gerade Werte ahe Null deute darauf hi, dass keierlei lieare Korrelatio zwische de beide Variable vorliegt Iterpretatio des Betrags (!) vo r r = 0 = keie Korrelatio 0 < r < 0,5 = schwache Korrelatio 0,5 <= r < 0,8 = mittlere Korrelatio 0,8 <= r < 1 = starke Korrelatio r = 1 = perfekte Korrelatio Seite 113

114 Bravais-Pearso-Korrelatioskoeffiziet Quelle: WikiBooks / User: Philipedula / Lizez: GNU-Lizez für freie Dokumetatioe Seite 114

115 Seite 115 Empfohlee Hilfstabelle für die Berechug Nr. y 2 y 2 (*y) Σ i i i i i i i y y y y r * ) ( * * ) ( * * ) * (

116 Übug: B-P-K Befragte/r Größe (m) Gewicht (kg) 1 1, , , , , , , , , ,59 69 Seite 116

117 Seite 117 Übug: B-P-K? * * ) * ( 1 i i i y y? * ) ( i i? * ) ( i i y y Welche Größe müsse wir ermittel? Welche Hilfsgröße beötige wir? 10 77,7 1,707 y i i i i i i i y y y y r * ) ( * * ) ( * * ) * (

118 Übug: B-P-K Nr. y 2 y 2 (*y) 1 1, , ,2 2 1, , ,96 3 1, , ,12 4 1, , ,75 5 1, , ,64 6 1, , ,38 7 1, , ,86 8 1, , ,84 9 1, , , , , ,71 Σ 17, , ,67 Seite 118

119 Übug: B-P-K i1 ( i * y i ) * * y? y 1,707 77,7 (1,55*64) (1,68*72) 99,2 120, (1,73*77) (1,59*69) 133,21 109, ,67 (10*1,707*77,7) 1334,67 8,331 Seite 119

120 Seite 120 Übug: B-P-K? * ) ( i i? * ) ( i i y y , i i i i y 10 77,7 1,707 y 0, *1,707 29,2097 * ) ( i i 37, *77, * ) ( i i y y

121 Seite 121 Übug: B-P-K 0,8360 9,9651 8,331 0,2667*37,3644 8,331 * ) ( * * ) ( * * ) * ( r y y y y r i i i i i i i

122 Übug: B-P-K ,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 Seite 122

123 Spearma-Ragkorrelatioskoeffiziet Für ordialskalierte Merkmale biete sich zwei Zusammehagsmaße a: Der Ragkorrelatioskoeffiziet ach Spearma Der Kokordazkoeffiziet ach Kedall Der Ragkorrelatioskoeffiziet ach Spearma misst de mootoe Zusammehag zweier Variable rho 6* 1 2 ( d 2 i 1)* Für die Datepaare werde dabei ierhalb jeder Variable zuächst Räge gebildet Die kleiste Ausprägug vo X erhält de Wert 1, die zweitkleiste de Wert 2 etc. pp. Für Y wird idetisch vorgegage, auch hier erhält die kleiste Ausprägug die 1 etc. Aschließed werde die Ragdiffereze d der jeweilige Datepaare gebildet Auf Basis dieser Differezwerte lässt sich da der Ragkorrelatioskoeffiziet (ach obesteheder Formel) bereche Seite 123

124 Spearma-Ragkorrelatioskoeffiziet Die Ergebisse liege stets zwische -1 ud +1 rho > 0 = gleichsiiger mootoer Zusammehag (große X-Werte gehe mit große Y-Werte eiher ud umgekehrt) rho ~ 0 = es besteht kei mootoer Zusammehag (damit ka auch kei liearer bestehe!) rho < 0 = gegeseitiger mootoer Zusammehag (große X-Werte gehe mit kleie Y-Werte eiher ud umgekehrt) Wichtig: Das Verfahre liefert ur da geaue Resultate, we keie Ragplatzbiduge (die sogeate ties) auftrete Habe Beobachtuge idetische Werte, ordet ma alle idetische Date eie Durchschittsrag zu Seite 124

125 Übug: Spearma Befragte/r Größe (m) Gewicht (kg) 1 1, , , , , , , , , ,59 69 Seite 125

126 Übug: Spearma Nr. rg () y rg (y) d d 2 1 1, , , ,5 1,5 2,25 4 1,73 6, ,5 0,25 5 1, , , ,5-0,5 0,25 8 1, ,73 6, ,5 0, , Σ // // // // // 4 Seite 126

127 Übug: Spearma rho rho rho rho rho 1 1 6* ( ( ,024 0, )* 2 d 2 i 6*4 1)* Passt das Ergebis zum Streudiagramm? 50 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 Seite 127

128 Kokordazkoeffiziet ach Kedall Alterativ zu Spearma ka für Ordialdate auch Kedalls tau berechet werde Die Berechug beötigt die Azahl kokordater (K) ud diskordater (D) Paare Zur Bestimmug der Paare wird eie der Datereihe ach der Größe geordet Aschließed wird utersucht, iwieweit sich die zweite Datereihe mitsortiert hat Für jedes Datepaar aus de beide Datereihe (yi, yj) mit i < j gilt: ist yi < yj, so ist das Paar kokordat (K) ist yi > yj, so ist das Paar diskordat (D) ist yi = yj, so liegt eie Bidug vor (wird icht mitgezählt) tau 2*( K *( D) 1) Sid alle Paare etspreched utersucht worde, wird tau (Formel) berechet Auch hier gilt, dass das Ergebis ur Bestad hat, we keie Biduge auftrete Eiige weige Biduge köe igoriert werde, da sie das Ergebis kaum verzerre Seite 128

129 Kokordazkoeffiziet ach Kedall Die Ergebisse liege stets zwische -1 ud +1 tau > 0 = gleichsiiger mootoer Zusammehag (große X-Werte gehe mit große Y-Werte eiher ud umgekehrt) tau ~ 0 = es besteht kei mootoer Zusammehag (damit ka auch kei liearer bestehe!) tau < 0 = gegeseitiger mootoer Zusammehag (große X-Werte gehe mit kleie Y-Werte eiher ud umgekehrt) Bei der Iterpretatio vo Korrelatioskoeffiziete ist zu beachte: Sowohl mit Spearma als auch mit Kedall köe ur mootoe Zusammehäge idetifiziert werde, mit dem B-P-K ur lieare Ei iedriger Korrelatioskoeffiziet bedeutet daher icht, dass keie adere Korrelatio (z.b. eie logarithmische) i de Date zu fide ist Seite 129

130 Übug: Kedall Befragte/r Größe (m) Gewicht (kg) 1 1, , , , , , , , , ,59 69 Seite 130

131 Übug: Kedall Nr. rg () y rg (y) 9 K K D 1 1, D , , , , , , ,73 6, ,73 6, , , , Σ // // // // 43 1 Seite 131

132 Übug: Kedall K 43 tau 2*( K *( D) 1) D 1 10 Passt das Ergebis zum Streudiagramm? tau tau 2*(431) 10*(10 1) tau 0, ,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 Seite 132

133 Korrelatio ist icht gleich Kausalität Eie über eie Korrelatioskoeffiziete idetifizierte Korrelatio sollte äher utersucht, dabei jedoch iemals ihaltlich iterpretiert werde Grud dafür ist, dass eie Korrelatio icht otwedigerweise auf eiem Ursache-Wirkugs-Zusammehag beruht auch we es i viele Fälle leider äußerst verführerisch ist, diese Aahme zu treffe Tatsächlich ka es verschiedee Erkläruge für Korrelatioe gebe Eiseitiger Zusammehag: X beeiflusst Y bzw. Y beeiflusst X Beidseitiger Zusammehag: X ud Y beeiflusse sich gegeseitig Es hadelt sich um eie reie Zufallseffekt i de Date (Scheikorrelatio) Eie dritte Variable (Z) beeiflusst X ud Y gleichermaße (Scheikorrelatio) Ei klassisches Beispiel für eie Scheikorrelatio ist die Korrelatio zwische Storchezahl ud Geburtequote (verbude über die Variable Urbaisierug ) Seite 133