Elektrische Schwingungen und Wellen

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1 Elektische Schwingungen und Wellen. Wechselstöme. Elektische Schwingkeis i. Feie Schwingung ii. Ezwungene Schwingung iii. Tesla Tansfomato 3. Elektomagnetische Wellen i. Wellen ii. Elektomagnetische Wellen iii. Hetzsche Dipol iv. Wellenausbeitung im Vakuum v. Wellen auf Leitungen Mekmale von Wellen Eine Welle liegt vo, wenn alle folgende vie Mekmale zuteffen: Es efolgt eine zeitabhängige Veändeung eine Göße, unte Umständen peiodisch wiedeholt, also eine Schwingung Diese Veändeung beitet sich in ein, zwei, ode dei Dimensionen des Raumes mit eine endlichen Geschwindigkeit aus Usache fü die Kopplung de einzelnen Teile des Raums unteeinande sind elastische ode quasielastische Käfte Es wid dabei Enegie tanspotiet

2 Wellen Eine Welle ist eine sich im Raum ausbeitende Stöung Longitudinale Wellen Stöung in Ausbeitungsichtung

3 Tansvesale Wellen Stöung que zu Ausbeitungsichtung z. Bsp. schwingende Saite elektomagnetische Wellen Licht Mathematische Bescheibung Kette von Teilchen Position fiiet Teilchen wechselwiken (gebunden) d Auslenkung eines feien Teilchens F = M dt Rückstellkaft (Hooksches Gesetz) F = c M d Kombination + = C dt Diffeentialgleichung. Odnung (Schwingungsgleichung) Lösung: ( πν + ϕ) = cos t mit ν Fequenz ν = π C M 3

4 Alle Teilchen beweglich n+ z n- n Teilchen wechselwiken mit nächsten Nachban, elastisch vebunden M d C dt n ( ) + ( ) + n n n n+ = ( ) + ( ) = ( ) n n n n+ ( ) b ( ) = ( ) b ( z) z v = t v d dz b C = M Kaft auf Teilchen n, Rückstellkaft von Nachban z = b Abstand in z Richtung Wellengleichung Lösung de Wellengleichung Allgemeine Lösung de Wellengleichung z z (z,t) = f t + g t + v v z z v t z f t + t = f t = f t v v v z = f t v Jede beliebige Stöung kann sich als Welle in einem geeigneten Medium fotpflanzen Beweis: Einsetzen in Wgl Intepetation von f und g: vo-und ücklaufende Welle z z = v t z = f t + t v Stöung bewegt sich mit v nach echts 4

5 Geschwindigkeit eine Welle = v = Geschwindigkeit z v t ψ t, z ) ψ ( t + t, z + z) ( Phasengeschwingkeit z z z z v t Phasengeschwindigkeit = Quotient aus Weg, den eine bestimmte Phase des Pofils (Maimum, Minimum, ) zuücklegt, duch benötigte Zeit Phasengeschwindigkeit elastische bzw. quasielastische Medien ist bei genügend kleinen Amplituden nu von den Eigenschaften de beteffenden Medien abhängig abe nicht von de Amplitude Enegiedichte Ezeugung von Welle: Enegiezufuh Welle: Enegie wid in Ausbeitungsichtung tanspotiet Medium: Wellenbewegung efasst, Enegie po Volumen = Enegiedichte w Mechanische Welle: Hamonisch schwingendes Teilstück mit Masse m Schwingungsenegie W = DA = mvma = mωesa A Amplitude, D Fedekonstante, v ma maimale Geschwindigkeit, ω es Resonanzfequenz dw = mωesa = ρdv ωesa dw w = = ρ ωesa Enegiedichte nu von Dichte des Mateials dv abhängig 5

6 Enegiestom bzw. Leistung Enegie wid mit Geschwindigkeit c tanspotiet (in Sondefällen ungefäh gleich de Phasengeschwindigkeit) Wie viel Enegie de Welle stömt duch Queschnitt F in de Zeit t? F F Welle Enegie W die im Volumen V = c t F wa W = c t F ρ ωesa Po Zeiteinheit tanspotiete Enegie (Enegiestom) bzw. Leistung P W P = t = c F ρ ω es A ct Enegiestomdichte (Intensität) und Stahlungsduck Enegiestomdichte bzw. Leistungsdichte S: Leistung/Fläche S = P F = c F ρ ωes A = c ρ ωesa = cw F S Intensität = Geschwindigkeit Enegiedichte Refleion bzw. Tansmission eine Welle an Genzfläche: Duck auf Genzfläche in Ausbeitungsichtung Impuls und Enegieehaltung muss gelten Stahlungsduck bei vollständige Refleion p ef = S/c Vollständige Absoption p abs = S/c 6

7 7 Deidimensionale WGL t p v p t p v z p y p p = = + + Eweiteung de Wellengleichung fü Stöungen in alle Richtungen, z y e z e y e z y + + = = = = Nabla vektoielle Diffeentialopeato Planwellen Annahme: Abhängigkeit von z und t Stöung in gesamten y Ebene konstant y z k ( ) + ϕ + ω = k t A cos p(, t) ωt+k =const Ot gleiche Phase ist Ebene Ausbeitung wid das ganze Medium efasst, Wellenfont vegößet sich nicht: Enegiedichte bleibt konstant Amplitude bleibt konstant

8 Kugelwellen Schwingungsenegie in punktfömigen Wellenzentum zugefüht Welle beitet sich symmetisch aus sphäische Symmetie Phasenfonten: Kugeln Zugefühte Enegie = konstant wid abe mit zunehmenden Abstand auf imme gößees Volumen veteilt Gleiches gilt fü Leistung W P() = = c 4π ρ ωes A = konst t Nu efüllba wenn Amplitude mit Abstand abnimmt A p(, t) = cos( ω t + k + ϕ) Amplitude eine Kugelwelle Intensität nimmt mit / ab Übelageung von Wellen ψ ψ ( t), ψ (, t), K,, ψ n (, t), Sind Lösungen de Wellengleichung: ψ ψ ψ ψ + + = y z υ t Die Lineakombinationen von ψ ( t), ψ (, t), K,, ψ n (, t), n (, t ) = C i ψ (, t ) i = sind auch Lösungen Wellengleichungen i 8

9 Ausbeitung von Wellen v v v > v < t < - < < v = v t = = v < v < t < < < An de Genze zwischen zwei Medien mit veschiedenen Phasengeschwindigkeiten wid eine Welle teilweise eflektiet, und zwa mit einem π Phasenspung, wenn die Geschwindigkeit im zweiten Medium niedige als im esten ist Diese Aussage gilt fü alle Wellen E = E Stehenden Welle Vowätswelle wid in sich selbst ückeflektiet E = E sin sin ( kz ωt ) ( kz + ωt ) E R [ sin( kz ω t ) + ( kz + ωt )] = E + E = E sin sinα + sin β ( α + β ) ( α β ) = sin cos E R = ( E sinkz) cosωt Otsabhängige Amplitude A(z) Stehende Welle 9

10 Wellen in elastischem Medium Räumliche Duckunteschied füht zu Beschleunigung des Volumens Beschleunigtes Volumen bewikt einen lokalen Geschwindigkeitsunteschied Lokale Geschwindigkeitsunteschied füht zu zeitliche Defomation des Volumens Zeitliche Defomation des Volumens füht zu äumlichen Duckunteschied. Ausbildung eine Welle, die anfängliche Stöung im Medium weiteleitet Mawellgleichungen Wenn Mateie vohanden, elegantee Fomulieung de Mawellgleichungen unte Vewendung von E,D,B und H D Ampee - Mawellsches oth = j + Hds = I + Dda t Gesetz t C A v v B Faadaysches Induktionsgesetz t ote = Eds = Bda C A t divd Gauß sche Satz fü = ρ Dda = Q divb E-Felde A = Gauß sche Satz fü Bda = B-Felde A D = ε ε E B = µ µ H 4 Mawellgleichungen + Veknüpfungen de Feldgößen auseichend um Phänomene in Elektizität und Magnetismus zu bescheiben

11 E- und M Feld beeinflussen sich gegenseitig Veändeung von Elektischem Feld E bzw. D ezeugt Magnetfeld B (bzw. H) Veändeung von Magnetfeld B ezeugt E Feld, ezeugt B- Feld E und B gekoppelt: Mawell Analogie zu Schallausbeitung: Kompession in Gas ezeugt Duck, de vesucht Umgebung zu defomieen Elektomagnetische Wellen y Geladene Schicht B E J B E B E B=E= z vt = = t < : Geladene Schicht in y-z Ebene Ruhe: B= E= (duch zusätzliche Schicht) t = : Geladene Schicht wid in y-richtung beschleunigt t > : Schicht bewegt sich mit konstante Geschwindigkeit in y- Richtung Bewegte Ladung = Flächenstom J Magnetfeld B = konst. = J fü > in +z bzw. < in -z Richtung Magnetfeld ändet sich seh schnell, d.h. es wid ein E-Feld ezeugt ( B/t) E-Feld ändet sich seh schnell, d.h. es wid ein B-Feld ezeugt ( E/t).. E und B sind miteinande vekoppelt: Wie kann das eklät weden?

12 B bzw. E als Funktion von Ot und Zeit B E vt v Am Anfang nu fü B fü >> B = Beeich fü in dem B = konst. beitet sich aus E-Feld zeigt dasselbe Vehalten Die Infomation kann sich nicht unendlich schnell ausbeiten, sonden nu mit Geschwindigkeit v dahe kommt das Feld am Ot est nach de Zeit t = /v an Felde in Seitenansicht Schleife Γ so gelegt, dass nu zum Teil von Feld duchsetzt Induktionsgesetz: B = konst., abe Fläche ändet sich -E L = -dφ/dt = -B da/dt =- B L v E = B v E und B müssen so veknüpft sein, damit sie Faadaysches Induktionsgesetz efüllen

13 Felde in Daufsicht Fü Schleife Γ gilt: Γ Bds = µ I + c t A Eda Stom =, von E-Feld duchsetzte Fläche ändet sich mit v c B L = E v L E= c /v B Vegleich Daufsicht-Seitenansicht Seite gesehen E = v B Oben gesehen E = c /v B Unteschiedliche Veknüpfungen zwischen E und B Widespuch lösba, wenn v = c d.h. Wellenfont beite sich mit Lichtgeschwindigkeit aus 3

14 Stom ein und aus a) Stom fü t = eingeschalten b) Stom fü t = T in umgekehte Richtung gleiche Betag Eingeschalten: Felde beiten sich aus mit umgekehten Vozeichen aus Supeposition von a und b: Stomimpuls ezeugt Bündel von E und B mit Länge ct, das sich ausbeitet Kombiniete Effekt von B und E ehält Felde aufecht, Wellenausbeitung ohne Medium möglich Heleitung de WGL fü Elektomagnetische Wellen Annahme Vakuum: keine Stom j und keine Ladungen ρ D = ε E H= µ B B E ote = otb = ε µ t t Anwendung von ot auf MW Gleichung und einsetzen B E E ot( ote) = ot = otb = ε µ = ε µ t t t t t ot( ote) = gad( dive) div( gade ) dive = keine Ladungen im Vakuum div( gade ) = E E E ε µ = ε µ = c Geschwindigkeit t c E E = 3 dimensionale Wellengleichung c t 4

15 c = EM Wellen Geschwindigkeit ε µ Geschwindigkeit EM Wellen Einsetzen liefet: c = m/s Phasengeschwindigkeit EM Wellen = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Histoisch: Definition Ladung und Magnetfeldstäke Messung von ε und µ Beechnung von c Vegleich mit diekt gemessene Lichtgeschwindigkeit c = c EM Wellen und Licht haben Vewandtschaft Heute: Definition von c (eakte Wet) Definition von µ (Festlegung Einheit Stom bzw. Ladung) ε damit auch fest bestimmt Phasengeschwindigkeit in Mateie In Mateie (homogen, isotop) gilt µ = µ µ ε = ε ε c c = = ε ε µ µ ε µ Phasengeschwindigkeit in Mateie Optik c = c /n n Bechungsinde n = ε µ Zusammenhang ein optische Göße mit ein elektischen Gößen 5

16 E c E = t EM Wellen Allgem. Lösung : E (, t ) = E( ωt k ) Sondefall: E hängt nu von eine Koodinate ab E E = = y E E = z c t Lösung ebene hamonische Welle : E ( z, t ) = E sin( ωt kz) Welche Richtung hat E? Wie schaut das zugehöige Magnetfeld aus? Es muss ein B-Feld geben, damit sich EM Welle ausbeiten kann Eigenschaften EM Wellen. Analoge Heleitung eine Wellengleichung fü B-Feld Lösung gleich wie fü E Feld: B = B sin(ωt kz) E Ändeung ezeugt B-Feld, B-Ändeung ezeugt E- Feld.. EM Wellen in Vakuum sind tansvesal: Damit Komponente in Ausbeitungsichtung, abwechselnd Feldquellen und senken: im ladungsfeien Raum nicht vohanden div E =, fü B gilt imme div B = E und B stehen nomal auf Ausbeitungsichtung 3. B und E stehen senkecht aufeinande Annahme E in -Richtung pol, Einsetzen in Mawellgleichung ot E = - db/dt B = B y 4. B und E sind in Phase und B = /c E (Einsetzen in MW Gl) B = ω ( k E) Aussagen -4 zusammengefasst 6

17 Elektomagnetische Wellen Mögliche Lösung de Wellengleichung Linea polaisiete ebene hamonische Wellen E und B nomal zueinande und nomal auf Ausbeitungsichtung E und B sind in Phase Enegie und Impulstanspot EM Maß fü den Tanspot: Enegiestomdichte S = Enegie po Zeit und Fläche = Geschwindigkeit mal Enegiedichte S = c w e ( w + w ) e = ε E m w m fü EM Welle gilt : S = c w e = cw em = B µ E B = E w m = c µ c ε = E = E B µ µ Zeitlich gemittelte Enegiedichte von E und B im EM Feld = w Richtung des Enegietanspots S = Poynting-Vekto S = E B µ e Poynting Vekto (J. H. Poynting 85-94) Isotope Medien: Enegie in Ausbeitungsichtung tanspotiet 7

18 Enegietanspot Stom mit Widestand R von Stom I duchflossen. Leistung I R vebaucht (Joulsche Wäme) Im stationäen Betieb nachgeliefet S E B Poynting Vekto adial zu Daht: Enegie stömt nicht duch Daht sonden adial von außen in den Daht I Elektonen bewegen sich mit v dift (langsam) E und B mit Lichtgeschwindigkeit Enegie duch EM Feld tanspotiet und nicht duch mateiellen Ladungstanspot Impulstanspot EM Welle EM Wellen tagen nicht nu Enegie sonden auch Impuls Bei Refleion bzw. Absoption Impulsübetag auf Köpe: Impulsübetag po Fläche und Zeit = Stahlungsduck p Stahlungsduck bei vollständige Refleion p ef = ε E = w em = (P/A) /c = I / c Intensität I: Leistung po Fläche Vollständige Absoption p abs = ½ ε E = ½ w em = I/c Bsp. W auf mm p abs =3.3 - Pa F = N 8