SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU. Klaus Eggers. Über das Wellenbild einer pulsierenden Störung in Translation

Transkript

1 4 957 SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU Klaus Eers Über das Wellenbild einer pulsierenden Störun in Translation

2 einer pulsierenden nber das WeUenbUd Störun in Translation VON KLAUS EGGERS INSTITUT FOR SCHIFFBAU, HAMBURG jonderdruck aus der fachzeitschrift "Schiff Hafen" Jahran 9. Heft. Noember 957 ~~ud<~ Ve~IQ: C. D. C. Heydorn. Buchdruckerei. Uetersen be, Homb'Jr

3 ' tber das wellenbtld einer pulsierenden stömn in TranslaUon -- Von K lau s E ~,e r s, Institnt für Schiffhal.)Iainhur.'., Für allemeine Un>ersuchunen über die Ahhänikeit der Widerstandserhöhun eines Schiffes im Seean der Dämpfun der Beweunen im Seean on der Fahrt den Schwinunszeiten lassen sidl sdlon aus dem Studium «Ies Wellenhildes sehr allemeiner periodischer Störunen ()rientierende Ahschätzunen ewinnen. Das Bild des Wellenfeldes eines Schiffes in Fahrt, das auf lattem Wasser periodische Schwinunen ausführt, läßt sich in- seinen Grzüen zurückführen auf die Struktur des Wellenfeldes, welmes eine punktförmie Störun pulsierender Intensität in horizontaler Translationsbeweun er- 'l.eut. Das dazuehörie Gesmwindikeitspotential ist on Brard [], Haskind [] Hanaoka [3] mit Hilfe potentialtheoretischer Ansätze efen worden; in Fortführun einer Untersuchun on Becker [4] können wir jedom im folenden zeien, daß der Aufbau des Wellensystems sich schon all~ elementaren Ansätzen herleiten eransdlaulichen läß~. BetradÜen wir etwa eine S~run, welme sich mit einer Gesmwindikeit V horizontal bewet deren Intensität in einem miteführten Koordinatensystem 6 mit einer Frequenz )' harmonism oszillierend ersmeint. Wenn Anfans- ~törunen abeklunen sind, wird sim das Wellenbild in 6 mit leider Frequenz harmonism erändern. Elementar- n wellen mit Wellen zahl k = T Rimtunswinkel 8 ihrer Fortschrittrichtun een die Fahrtrimtun der Störun (-n ~ e < n), welme das Wellensystem in rößerer Entfernun on der Störun aufbauen, müssen dann in 6 mit ~iner Gesdwindikeit T fortsmreiten: in einem ruh e n- ::Ie n Bezussystem Eiu haben sie damit einej;'hasen- ~esmwindikeit C = k + Vcose - ( k~ = k (8) = K + Vl-=-4.Qcose. J mit KI I = ' :!:.'~ "!o.-- {} \'" ' V lh' \\"Tk,in,! I.. n'e. falts i (':'): ß 80 r.,it ':'0 O~ I) JÜr U 4 (-" = Me ('os "J{j ;- + ~. KIK(),. (secf) == oo:e') für!:j;;?- /4, (5bi d., im Fall!J > ""4 breiten sim in den Ridltunen eines Sektors ie! < 80 um die Fahrtrimtun keine Wellen aus. k k ehen auseinander aum durm Wechsel des Zeimens or der Wurzel heror; die obie Darstellun ist jedoch für die Betramtun tier Grenzzustände = 0 bzw. V = 0 besonders eeinet. Die der Gleimun (5.) enüenden Wellen werden wir im folenden..fahrtwellen", die (5b) enüenden..smwinunswellen" nennen. Betramten wir zunächst die Wellen, welche in \S orausn laufen, d. h. für welme 80 ~!8: < T ik. Für Q ;)0 ""4estatten die Formeln die Absmätzunen - Ko sec! 8 :";;; ~ ~ 4 Ko.Q ~ Ko.Q sece ~ ~ k ~ Kosec! f) () daraus folt für die Phasenesmwindikeiten Ci k;"" (6) Die Größe on c wird nun andererseits dlrm das Disper-,;ionsesetz c = c (k) der Flüssikeit oresmrieben; damit wird durm die Gleidmn () aus allen mölimen Wertepaaren (-:J,k eine Auslese etroffen. Für Wasser der Tiefe h ilt für nimt zu kurze Wellen r::-:. 6in ( kh) C (k) = V k~ (kh) weiter c = 6in(khf+kh u () wobei u die Gruppenesmwindikeit bedeutet, welme für den Enerietransport bei Wellenruppen mit Wellenzahl im. ßereim on k maßebend ist. Für kh (tiefes Wasser)" iolt daram C = -~- = u das heißt. es muß mit () elten. (T + Vcos8)% = -k' Durd diese quadratisme Gleimun für.'k w.erden Winkel f). a. zwei Wellenzahlen k zueordnet: I + V - 4Dcos8 k = k (8) = Kl)sec!8'. (.,' ' ) (3) jedem (4), (5a) die Gruppenesmwindikeiten Ui - ~ (i =,) ßC=uß!:J V ß V V-0 oose ß V cos 8 ß Cl = u ß V cos e Für I8 I = 8 0 wird damit k=k=--!cosec 80 4: V cos 80 T = = T = u d. h. die zu~hörienwellen laufen im miteführten System 6 erade halb so schnell wie im ruhenden \SR; die Enerie diesel' Wellen wandert in \S Dicht, während die der anderen Wellen in 6' für k oran, für ki zurück wandert. Für!J = ereidien sich die zu 8 "'"4 = :!: 80 ehörien Wellen zu ei~er einzien, welme direkt in Fahrtrichtun mit doppelter Gesrowindikeit orausläuft, aber keine Enerie oraus brint. c (7) (8) 3

4 -- Abb. : Zuordnun zwismen,elatie, Wellen:whl leik, fmtil Aüsb,eitunswinkel 8 in Abhänikeit bon {} = V I Es. besteht hier eine ewisse Analoie zu dem Fall stationärer überkritisdler FIatnwasserwellen, wo ebenfalls in einem. " Sektor 8 I< 80' keine Wellen auftreten; für ['8 I - 8f' wird V cos = C = u, d. h. die Welle transportiert in \S keine Enerie; für V = Vh wird 80' = - 80' = 0: die heiden Wellen fallen zu einer zusammen, welche in e steht mit Front quer zur Fahrtrimtun. Für Q ~ --:4 elten die Absmätzunen - :0 I: ~ k!! ~. außerdem se~ 8 4 ~ Je ~ Kosec! 8 k!! (8) ~ k (0) ~ k (0) ~ Je(8) es ilt damit wieder Cj!= u ~ V cos 8 ~ Cl = U ~ V cos 8 () d. h. in \S strömt wiederum die Enerie zur Smwinunswelle oraus, zur Fahrtwelle amteraus. jj Für 8 > T,d. h. für Wellen, deren Fronten in is nam hinten wandern, folen mit cos 8 < 0 aus den Formeln (5) die Absmätzunen k (n) ~ kjj (8) ~ :0 Q Isec 8 I~ :0sec! 8 ~ k ~ Je(n) s~ 8 () (wobei für Q ~ F4 V JejJ~n) ~ CjJ = ujj ~ V Ko {J sec 8 ~,Ko 57!!- ilt) '.--,,_,-,--'-,~ leose I [}?, cose',?!ctl Fahrtwelleo SmwiDlunpweilen belteht; die enteo wandern im ruhenden System \S oraus, desleimt!n ihre Eoercje, die letzteren. ab,r achteraus, d. h. in qdk Plea die Fahrt. Sie liefernde5halb aoo.. ZUIDFahrtwiderstand u8d zu.: Dimpfunpl~tunl Beiträe erjdüedeneo V~ zeichens. In Bereichen,. in denen dies«sektor da SdtwiDaunswellensystellll relati starje. auseprät ist, kann da. durch der-.amte Ztisatzwiderstand ~ti aulfallen: in Bereichen, ii. denen du Fahrtwellensystem ltark überwiet, kann die Dlmpfun der Smwinun durch Ababe dissipatier -Wellenenerie ersmwinden ooer soar'.mwam neati wer~, aum wenn die Gesamtenerieabwanderun Itets positi bleibt. Der Zusammenhan zwismen k Ko 8 ist für tiefe~ Wuser in Abb. darestellt für die Werte {J - 0: 0,5:,5;,5. Für Sames Wasser ilt der Verlaur der ~uren ween () dund transzendente GI~chunen eeben wsd wird lidt id, Abhiinikeit on der. Froudesmen Tiefenzabl F" = VĪIh erjdüeben. Die Fahrtwellenkuren für {),.. 0 lind in.\bb. aufezeimnet für F" = 0 (tiefes Wasser), Fh,.. O,M- (unterkritism), Fh = (kritism) FJa -,75 (überkritisdt). (9),lf (0) Abb. : ZuomnußI %Wwmen c/k, 8 fü, rttjtionilre F'-ltwtUserwellen (F h =- V I Vh; Fh > übe,k,itwm) V = (wobei für!j ~ /4 Aus kjj < : Ko {J sec e j < Xl folt k; +VcosA>o CI! = "k; +!utl ~ V kt~)i:) jcos 8 (3) V! L'(?h!.jT > _ V Icos e: ilt). V cos f) < 0 (5b) Aus diesen Ab.'ldlätzunen wird ersidttiidl, (4) (ISa) daß im Bereim :r Ie I ~ -"' d. h. Hir die in.s 8mbinten abwandernden,wellen eine markante ('.t'\~emät7.li(hkeit im Charakter on Bewet lim die Störuns in einem Kanal der Breite b, 0 tritt zu der Bedinun () die Forderuns,.- k Isin9 =l)m (0=0,.%, ) (8) welche bedeutet, daß die quer zum Kanal induzierten Welle. mit ihren Länen Teiler der ~analbreite sind. Durdt die8e zusitzlime Bedinsun wird ein dijlcretes Spektrum YOI Wellen zahlen kt., kzm aulezeimnet, welche allein zum Aufheu des Wellensystellll zuelassen sind. Für die Sdwinunlswellen eribt sim nur eine endlime Zahl on WeIlenzahlen, für enüend kleine Kaaalbreiten nur die beiden Werte, welme i8! = :f bzw. IB! = 0 entspremen; fßr {) >.- entfällt dann nom der letztere. während für die Fahrtwellenzahlen kt weiterhin eine unendlime- Zahl on Werten erfübar ist. 4

5 . Ein Wellenz'I mit parallelen \\'ellenl.ämmen, weldle skh fiber die esan,!t; freie OberHäme erstred.;en, läßt sidl dar- ~tellen. inden- man für die Wellenerhebun t:. in einem Punkt, der in horizontaler Entfernun R VOll der Störun in Richtun a '.'en die Fahrtrkhtun liet, ansetzt: \: = Asin (krcos (B-a)-J.t + d (7) wenn diefortschrittsrimtun der Welle mit derfahrtridttun den Winkel (~) bildet. Dabei bedeutet A die Amplitude, E die Phase am Ort der Störun zur Zeit t = O. Das Wellenbild in roßer Entfernun on der Störun läßt sich nun aufbauen aus solmen Wenen mit ersthiedenen Richtunen 8, für welme die Wellenzahl k mit 8 durm (5a) oder (Sb) (6) erknüpft ist.!8 i nimmt dabei Werte zwisdaen 80 ;l an. Für einen Wellenzu sind nun die Geraden, auf denen ; in derselben Phase smwankt wie für R = 0, d.h. am Ort der Störun. e~eben durm die Be-.iehun:.nn COlI(8 -- a) - --u = 0 (n = :!:,,3,... ) (8) Betramten wir nun für festes n die Smar der Geraden für die ersmiootmen Ausbreitunswinkel 8, welme (6) pnüje!. In einem ewissen Bereich on a wird durch sie eim ~ur\'e einehüllt, welme mit wamsender Kanalbreite, d. h.' mit zunehmender Dimte der Geradenschar, lleutlidler herortritt. Die Gleichun dieser ~UI\",.!..l<:nt'!loppe~der Geraden, er-halten wir formal, ind-"iii,\~r die.\hleitlln on (8) nad 8 bilden Null setzen:.nn d Je: -sin (8-a) (9) Je:R Je: d8 -, Die Kure wird dann durm alle Wertepaare R, a bestimmt, welme (8) (9) leimzeiti befriedien. Durd,.nn Elimination on kr bzw. 8 - a aus (8) (9) er halten wir die leimwertien Beziehunen: dk t (a-8) = T de)) RI.. ( ~n. + (T d8 ' ) ' [ ' dk - ) ' (!) ] Für das Fahrtwellensystem er-halten wir aus (5a): dk d (In kt) k;"d'9= de d = t8-d 8 In ( + VI-HJ cose) Ah/', ;J: Zfl()roJlllm~ "Im Koordi,.tllmldnkel H t'i,)(',~ Punktes der l\'ell~mlinje" UlW' ~!inkf'-l f de, ~:~j"f_.j,rt'itlm, 5

6 \/'/,: ljiilft(' des Fahrtwellenbildes für cer,ym,iedene Werte con Q = IV /. (Die Pfeile zeien die We'/.'rwusl,,.,itllT/ im mitbeweten System an) d. h. d kl - - = t e +. (a) Kl da ( V--4 Q cos e ) fiir die Schwinunswellen ilt entspremend mit umekehrtem Vorzeimen der Wurzel: dk = te - (b) k de ( V--4 Q cos e ) Hieraus lassen sim übriens zwei neue Darstellunen für k: nnd k ewinnen: 'lll\d kj = Ko sec eie - ~ t 0> ( --4 D cos") k~ '" K lcosel e-j t ä to> (--4 Aus (0) () ewinnen wir Dcoso»-l/'dO> _/, d 0>:3a) (3b) cta = -t e- V--4 Q cos e(ct e + t e) (4a) für die Fahrtwellen ct a = - t e + V--4 {) cos e (ct ei: t (.,) (4b) für die Srnwinunswellen. Diese Abhänikeiten sind in Abb. 3 darestellt. Aus den Gleichunen (4) () lassen sidl die esuchten Linien leidier Phase punktweise konstruieren *). Für die Fahrtwellen finden wir sie in Abb. 4. Für D = 0 finden wir das Wellen bild einer punktförmien Störun in Translation, wie es uns aus den Untersumunen on Haelodc [5] bekannt ist. Den Sdleiteln der Kure für Fahrtwellen in Abb. 3 entspredlen die Werte t e = ' ctl a = 8. Die Wellenmit te < bilden das System der Querwellen, *) Es ereben sim nodi ewissen Smwierikeiten in der Auswahl der Quadranten für (. auf die hier nidlt eineanea werden kann ( l. ( 5). Ohne zusätzlime.bedinunen wären die Wellenbiider 5 aum bei umekehrter Fahrtrlmtun mälim. _ti ~- ".4.hh..: Sdlwill{.!tms/J'.ellcnhild [;j" n"'l<dtieduw ",'erle VOll!.! =,.V / 6

7 die mit tl (j > das System der Länswellen. Für den Wellenöffnunswinkel {j folt der sdlon on Kelin efene Wert {j = {jk = 9 8', den zuehörien Wellen entspremen Fortsduittswinkel ek on 35 6' bzw ', Für {J > 0 spaltet sim dieses Wellensystem auf entspremend der Wahl des Quadranten für 8. Für die Wellen, welme im beweten Bezussystem!S rüdc:wärts laufen, nimmt der Öffnunswinkel {j mit wamsendem {J ständi ab; für die Wellen, welme nam orn laufen, ist der Öffnunswinkel rößer als in stationärer Fahrt erreimt sein Maximum bei {} = -}- mit ctla =+, d. h. {j = 63, Für {J ~ + ersmwinden bei diesem System die Querwellen, es treten nur nom Wellen mit cos 8 < 4~' d. h. :el > 80 auf, der :n: Wellenöffnunswinkel {j wird leim - Ao, nimmt also mit steiendem {J wieder ab. In Analoie zu den übermtismen Flamwasserwellen, für welme a anz ähnlim on e abhänt, nähern sim die Phasenlinien asymptotism der :n: Geraden {j = "" - Ao. Die Linien für die Smwinunswellen sind in Abb. 5 darestellt. Für {J = 0 eribt sim mit c~ a = ct e eine Kreis- linie. Mit wamsendem {} erhalten wir für {J < T eben. falls esmlossene Linien, die nam orn abeplattet sind. Für {J = Tfällt nam orn der Sektor ctl a >T aus.,für {} > T ßnden wir ein wesentlim erändertes Wellenbild, das im Aufbau dem der Fahrtwellen ähnlimer wird. Es treten nur nom Linien auf in einem Sektor, dessen Öffnunswinkel dem Smeitel der Kuren für Smwinunswellen in Abb. 3 entspridt, an denen ict a i zum Minimum wird. I"ür T < [J < -;= liet der zum Sdteitel el hörende e.wert ij 0m im Bereim der orauslaufenden Wellen. Bei B = e wemsein dl. Linien ihren Charakter laufen für 8 > 8 > 80 asy~totism on außen an die Gerade {j :n: = heran, die wir smon als Berenzun der Fahrtwellenlinien kennen elernt haben. Will man die Linien on Abb. 4 mit denen on Abb. 5 in ihrer relatiyell Größe erleimen, so muß man beamten, daß der Absdmitt Ho auf der Fahrtridtunsamse hinter der Störun für {} = 0 :n:n :n:n in einem Fall leim ---;:::;-, im anderen Fall lekh~ ist daß die Beziehun K = {}I Ko besteht. K Daß sim die hier ezeiten Wellenbilder nur nam hinten erstredcen nidlt nam orn, läßt sim plausibel mamen durm die überleun, daß ja nur für die SmwinuRswellen mit Ausbreitunsrimtun nam orn die Gruppenesmwindikeit u rößer wird als die Fahrtesmwindikeit V der Störun. Nur mit der Gruppenesmwindikeit breitet sim nämlim das Wellenbild nam Beinn der Smwinun aus. wenn das Wasser orher latt war. Das Weßenbild für {J = T eht nimt steti aus dem für benambarte {J-Werte heror, es handelt sim offenbar um einen theoretism mölimen, aber praktism instabilen Zustand. Für die Frae nam der Dämpfun on Smwinunen nam der mittleren Widerstandserhöhun infole dieser Smwinunen wird für rößere {J entsmeidend, ob das nam hinten wandernde Smwinunswellensystem eenüber det Fahrtwellen überwiet oder umekehrt, da die beiden Wellensysteme enteenesetzten Einfiuß auf den Wert der Größen haben. über numerisme Erebnisse auf Gr on Enerie- Impulsmethoden [6] wird in Kürze beridltet werden. Schrifttum: [] B rar d : Ass. Temn. Mar. Aero. 47. Band 949. [] Ha ski n d: Zahi-Beridt No. 603, Moskau 946. [3] Ha n a 0 k a: Proceedins of the Symposium on the Behaiour of Ships in a Seaway. - Waeninen, Holland, 957. [4] Be c k er: Inenieur Armi, 4. Band, Heft, 956. [5] Ha e I 0 c k: Trans. lust. Na\'. Arm. 74. Band, 934. [6] E er s ; ForsulUnshefte für Smiffstemnik, Heft,