Seminar Digitale Signalverarbeitung

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1 Semiar Digitale Sigalverarbeitug Thema: Diskrete Sigale Alexader Werle Betreuer: Dr. Merte Joost 22. Jui 25 Sommersemester 25

2 INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS Ihaltsverzeichis 1 Zeitdiskrete Sigale Zeitdiskrete Elemetarsigale Periodische ud kausale diskrete Sigale Diskrete Eergie- ud Leistugssigale diskrete LTI-Systeme Grudlage Impulsatwort Die diskrete Faltug

3 1 ZEITDISKRETE SIGNALE 1 Zeitdiskrete Sigale Um eie Eistieg i das bevorstehede Thema der diskrete oder zeitdiskrete Sigale zu fide, will ich mit eier Aalyse des Begriffs diskrete Sigale begie. Es stellt sich zuächst die Frage, was diskret eigetlich bedeutet. I der Mathematik heißt eie Teilmege M der reelle Zahle diskrete Teilmege, we es zu jedem Elemet x vo M ei offees Itervall gibt, das x ethält ud sost keie weitere Elemete vo M. Die Elemete eier diskrete Mege sid aschaulich voeiader isoliert, getret. Beispielsweise ist die Mege der gaze Zahle eie diskrete Teilmege der reelle Zahle. Die ratioale Zahle sid dagege icht diskret, de z.b. für die Zahl gibt es kei offees Itervall, das außer keie adere ratioale Zahl ethält. Kombiiere wir dies u mit dem Begriff des Sigals, als physikalisch messbare Größe, welche sich über die Zeit verädert, so komme wir zum diskrete Sigal ud köe folgede Defiitio aufstelle: Ei diskretes Sigal besteht aus zeitlich oder räumlich getrete Teile (zum Beispiel sid Rauchzeiche ud Morsezeiche diskret). Zu uterscheide ist das Sigal vom Sigalträger, der bei der elektrische Übertragug vo Morsezeiche ei kotiuierlicher, elektrischer Strom ist. Ma ka also uter eiem diskrete oder zeitdiskrete Sigal eie Folge vo reelle oder komplexe Zahle verstehe: {x[]} Z = {, x[ 2], x[ 1], x[], x[1], x[2], } (1) Mit Z wird ausgedrückt, dass eie gaze Zahl ist ud de Bereich vo Mius bis Plus uedlich durchläuft. Eie solche Folge, welche ei diskretes Sigal repräsetiert, erhält ma beispielsweise durch Abtastug eies zeitkotiuieliche Sigals x(t): x[] = x(t) t=t (2) Der -te Abtastwert x[] ist idetisch mit dem Gewicht x(t ) des abgetastete Sigals aus folgeder Gleichug: x s (t) = + = x(t )δ(t T ) (3) x s (t) ist dabei das abgetastete Sigal ud setzt sich zusamme aus der Additio der um ei Vielfaches vo T verschobee Duplikate des Dirac-Impulses ud dere Gewichte, welche durch die Abtastwerte x(t ) repräsetiert werde. Der Wert x[] muss jedoch icht durch Abtastug gewoe werde. T stellt i diesem Fall das Abtastitervall dar ud ist gleich dem Reziproke der Abtastfrequez f s : T = 1 f s (4) Da die vorherige Schreibweise mit de geschweifte Klammer uhadlich ist, wird im Folgede mit x[] der -te Abtastwert, aber auch die gaze Sequez, bezeichet. Ob es sich um eie Sequez oder eie Abtastwert hadelt 3

4 1.1 Zeitdiskrete Elemetarsigale 1 ZEITDISKRETE SIGNALE δ[] u[] 1 1 Abbildug 1: Eiheitspuls ud Eiheitsschritt wird dabei aus dem Kotext ersichtlich. Es ist darauf zu achte, dass x[] ur für gazzahlige Werte vo defiiert ist, im Gegesatz zum abgetastete Sigal x s (t), welches zwische de Abtastpukte Null ist. Damit es leichter fällt, ei diskretes Sigal vo eiem kotiuierliche Sigal zu uterscheide, wird bei diskrete Sigale die Vereibarug getroffe, die uabhägige Variable zwische die eckige Klammer zu setze. wird da als Zeitidex oder diskrete Zeitvariable bezeichet. Im Folgede wird u auf drei Klasse vo zeitdiskrete Sigale eigegage. Das sid zuächst die zeitdiskrete Elemetarsigale, periodische ud kausale diskrete Sigale ud als drittes diskrete Eergie- ud Leistugssigale. 1.1 Zeitdiskrete Elemetarsigale Uter dem Oberbegriff zeitdiskrete Elemetarsigale solle hier drei Folge agesproche werde, die Impulsfolge, die Sprugfolge ud die komplexe Expoetialfolge. Die Impulsfolge, auch als Eiheitspuls oder diskreter Diracpuls bezeichet, hat für alle de Wert Null ud ur für = de Wert Eis. Schaut ma sich Abbildug 1 a, wird der Bezug zum Diracimpuls deutlich. Die vollstädige Defiitio ist wie folgt: { : δ[] = (5) 1 : = I Aalogie zur kotiuierliche, kausale Schrittfuktio wird die Sprugfolge, auch Eiheitsschritt geat, defiiert. Auch hier ka die Sprugfolge als das diskrete Pedat der Schrittfuktio bezeichet werde. u[] = { : < 1 : (6) Als kleie Erweiterug zum Eiheitspuls soll och die Folge δ[ i] erwäht werde, welche de um i Abtastitervalle verschobee Eiheitspuls darstellt. Mit ihrer Hilfe ist es möglich jedes diskrete Sigal x[] ach folgeder Vorschrift i seie Eizelteile zu zerlege: x[] = i= 4 x[i]δ[ i] (7)

5 1 ZEITDISKRETE SIGNALE 1.1 Zeitdiskrete Elemetarsigale x[] x[1]δ[ 1] x[2]d[ 2] x[3]d[ 3] Abbildug 2: Sägezah zerlegt i zeitverschobee, gewichtete Eiheitspulse Aalog zu Formel (3) aus der Abtastug, setzt sich das Sigal x[] zusamme aus der Additio mehrerer verschobeer Eiheitspulse ud dem durch x[i] symbolisierte Gewicht zum Abtastitervall i. Abbildug 2 zeigt die Zerlegug eies Sägezahimpulses i seie zeitverschobee, gewichtete Eiheitspulse. Als letztes will ich mich u der komplexe Expoetialfolge widme, welche auch als diskrete, komplexe Siusschwigug bekat ist. Ihre Defiitio basiert auf der Abtastug der komplexe Expoetialfuktio: x[] = ˆXe j2πft (8) ˆX ist der Scheitelwert oder die Amplitude, f die Frequez der komplexe Expoetialfuktio. Der Scheitelwert irritiert im Zusammehag mit Expoetialfuktio ei weig. Verdeutlicht ma sich jedoch, dass sich die komplexe Expoetialfuktio ach der Eulersche Formel als Additio der Cosiusschwigug ud dem Produkt aus imagiärer Zahl j ud der Siusschwigug ergibt, so macht der Scheitelwert durchaus Si. Die i der komplexe Expoetialfuktio vorhadee Zeitvariable t wird im diskrete Pedat durch das -fache des Abtastitervalls ersetzt. Zerlege wir die komplexe Expoetialfolge i Real- ud Imagiärteil, so erhalte wir, aalog zur komplexe Expoetialfuktio, die Cosius- ud Siusfolge: R{ ˆXe j2πft } = ˆX cos(2πf T ) ud I{ ˆXe j2πft } = ˆX si(2πf T ) (9) Setze wir daraus, i Alehug a die Eulersche Formel, die komplexe Expoetialfolge zusamme, komme wir zu folgeder Formel: 5

6 1.2 Periodische ud kausale diskrete Sigale 1 ZEITDISKRETE SIGNALE x[] = ˆX cos(2πf T ) + j ˆX si(2πf T ) (1) 1.2 Periodische ud kausale diskrete Sigale Ei diskretes Sigal x p [] wird als periodisches Sigal bezeichet, mit der Periode N, we es die folgede Bedigug erfüllt: x p [] = x p [ + N] (11) Dabei ist N eie atürliche Zahl, d.h. N N ud die fudametale Periode ist die kleiste atürliche Zahl N, welche die Bedigug erfüllt. Im Allgemeie ist uter dem Begriff Periode dieser Wert zu verstehe. Beispiel 1: Die diskrete Siusschwigug x[] = si(2πf T ) ist im Allgemeie kei periodisches diskretes Sigal, wie die Abbildug 3 (f = 95Hz, T = 1ms) zeigt. Betrachte wir jedoch die Siusschwigug x p [] im Vergleich dazu (f = 1Hz, T = 1ms), so wird deutlich, dass es sich hier um ei periodisches Sigal hadelt, mit der Periode N = 1, da die Bedigug für die Periodizität erfüllt ist. 1 si(2πf T ) 1 si(2πf T ) -1-1 Abbildug 3: liks (f = 1Hz, T = 1ms) ud rechts (f = 95Hz, T = 1ms) Uter eiem kausale diskrete Sigal x cs [] verstehe wir ei diskretes Sigal, das auf der egative Zeitachse Null ist: x cs [] = { x[] : : < (12) Das bekateste kausale Sigal ist der bereits behadelte Eiheitsschritt u[] aus Formel 6. Mit ihm ist ma i der Lage, mit Hilfe vo Multiplikatio jedes Sigal kausal zu mache. 6

7 1 ZEITDISKRETE SIGNALE 1.3 Diskrete Eergie- ud Leistugssigale 1.3 Diskrete Eergie- ud Leistugssigale I der Defiitiosgleichug 1 ist bereits agedeutet, dass ei zeitdiskretes Sigal auch als Vektor betrachtet werde ka. Dabei köe Vektore edlich oder uedlich viele Elemete besitze ud i Form eier Zeile dargestellt werde. We keie explizite Agabe gemacht wird, versteht ma uter eiem Vektor x oder y immer eie Spaltevektor. Das Umwadel eies Zeilevektors i eie Spaltevektor ud umgekehrt geschieht mit Hilfe vo Traspoierug, die hiläglich bekat ist. Geketzeichet wird die Traspoierug mit dem Symbol T. Für ei diskretes Sigal x oder y i Vektorform ka ma somit schreibe: x = [, x[ 1], x[], x[1], ] T (13) y = [, y[ 1], y[], y[1], ] T (14) Für zwei Sigale köe wir jetzt ei Skalarprodukt x, y wie folgt defiiere: x, y = = x[]y [] (15) Bei y [] hadelt es sich um de kojugiert komplexe Wert vo y[]. Für reelle Sigale, wie sie i der Praxis häufig vorkomme, sid die beide Werte idetisch, da der Imagiärteil wegfällt, d.h. es gilt: y [] = y[]. Im Fall vo Sigale edlicher Dauer, d.h. bei Sigale, welche Null sid uterhalb eier Greze 1 ud oberhalb eier Greze 2, besteht das Skalarprodukt aus eier Summe mit edlich viele Summade, so dass sich folgede Defiitio für das Skalarprodukt ergibt: x, y = 2 = 1 x[]y [] (16) Noch elegater lässt sich das Skalarprodukt als Produkt eies Zeilevektors mit eiem Spaltevektor ausdrücke: x, y = y H x (17) I dieser Formel ist y H der sogeate Hermitische Vektor. Dieser lässt sich so erkläre, dass zuächst der komlpex kojugierte Wert vo y gebildet wird ud dieser aschlieed traspoiert wird. y = [y ] T (18) Auch hier lässt sich ergäze, dass bei reelle Sigale y H = y T gilt, da der Imagiärteil Null ist. Das folgede Rechebeispiel soll die getroffee Defiitio des Skalarproduktes i seier praktische Awedug zeige. 7

8 1.3 Diskrete Eergie- ud Leistugssigale 1 ZEITDISKRETE SIGNALE Beispiel 1: x = [1 j, 1 + j] T ud y = [1, j] T x, y = y H x = [1, j] [ 1 j 1 + j = (1 j) + ( j)(1 + j) ] = 2 j2 (19) Komme wir u zur eigetliche Defiitio der Eergie W eies diskrete Sigals x[], welche sich folgedermaße darstellt: W = = Oder i der etsprechede Vektorform: x[] 2 (2) W = x, x = x H x (21) Falls die Eergie W eies Sigals edlich ist, also < W <, so spricht ma vo eiem Eergiesigal. Ei Beispiel für ei solches Sigal ist der Eiheitspuls i Abbildug 1. Der zweite Begriff, desse Defiitio och offe steht, ist die Leistug P. Viele Sigale mit eier uedliche Eergie habe eie edliche mittlere Leistug. Sie ist folgedermaße defiiert: 1 P = lim N 2N + 1 N = N x[] 2 (22) Für periodische Sigale x p [] mit der Periode N folgt daraus: P = 1 N N 1 = x p [] 2 (23) Ist die mittlere Leistug eies Sigals edlich ud ugleich Null, so bezeichet ma es als diskretes Leistugssigal. Ei Beispiel dafür ist die Sprugfolge aus Formel 6. Eie weitere Möglichkeit, um die Eergie eies Sigals zu beschreibe, ist die Norm. Uter der Norm eies diskrete Eergiesigals versteht ma folgede Ausdruck: x = x, x (24) Wie aus der lieare Algebra bekat, ka ma sich uter der Norm die Läge eies Vektors ud somit auch eies diskrete Sigals vorstelle. Aus der Gleichug 21 folgt u für die Eergie: W = x 2 (25) Nimmt ma sich u die Norm zur Hilfe, ka ma mit ihr auch de Abstad d(x, y) zweier Sigale defiiere: d(x, y) = x y (26) 8

9 1 ZEITDISKRETE SIGNALE 1.3 Diskrete Eergie- ud Leistugssigale Kombiiere wir die beide Defiitioe aus 25 ud 26 so gelage wir zu eier elegate Darstellug des Sigal-Geräusch-Verhältisses (egl: sigal to oise ratio, SNR), eiem wichtige Qualitätsmaßi der Nachrichtetechik. Dies lässt sich dabei folgedermaße darstelle: SNR = x ˆx x (27) Dabei versteht ma ma uter x das Nutzsigal ud uter ˆx das gestörte Nutzsigal. Die Differez e = ˆx x der beide Sigale wird da als Fehlersigal (egl: error sigal) e iterpretiert ud die Norm ˆx x ka dazu geutzt werde, de Abstad zwische gestörtem ud ugestörtem Nutzsigal zu repräsetiere. I der Praxis ist oftmals das SNR i db vo Iteresse. Dies lässt sich mit Hilfe zweier Skalarprodukte eifach bereche: SNR i db = 1 log( xh x e H e ) (28) Wie zu sehe brigt die Darstellug diskreter Sigale i Form vo Vektore eie Fülle a Vorteile mit sich. So lasse sich die Sigale ud die diverse Operatioe auf ihe kompakt ud elegat darstelle. Wie scho des öftere erwäht, köe viele der i der lieare Algebra erlerte Istrumete somit für die DSV eigesetzt werde. Desweitere geht auch der Tred i der DSV eideutig i Richtug Matrizerechug, welche auch ei Teilgebiet der lieare Algebra darstellt. 9

10 2 DISKRETE LTI-SYSTEME 2 diskrete LTI-Systeme 2.1 Grudlage Digitalfilter sid Realisieruge liearer, zeitivariater, diskreter Systeme. Deshalb stellt die Klasse der zeitdiskrete LTI-Systeme (egl: l iear time i variat discrete-time systems) die wichtigste Klasse zeitdiskreter Systeme dar. Allgemei versteht ma uter eiem zeitdiskrete System ei System, das ei zeitdiskretes Eigagssigal x[] zu eiem zeitdiskrete Ausgagssigal y[] verarbeitet. Um zu eiem zeitdiskrete LTI-System zu gelage, muss zusätzlich die Bedigug der Liearität ud der Zeitivariaz durch das zeitdiskrete System erfüllt werde. x[] y[] 1 Abbildug 4: Beispiel eies zeitdiskrete Systems Die Liearitätsbedigug lautet: x[] = k 1 x 1 [] + k 2 x 2 [] y[] = k 1 y 1 [] + k 2 y 2 [] (29) Dies bedeutet, dass ei System liear ist, falls das Eigagssigal x[] = k 1 x 1 [] + k 2 x 2 [] das Ausgagssigal y[] = k 1 y 1 [] + k 2 y 2 [] bewirkt. Dabei sid x 1 [] ud x 2 [] zwei beliebige Eigagssigale ud y 1 [] ud y 2 [] die dazugehörige Ausgagssigale. k 1 ud k 2 sid zwei Kostate, die sowohl im Eigagssigal als auch im Ausgagssigal de selbe Wert habe. Die Zeitivariazbedigug lautet: x[ i] y[ i] (3) Ei System ist also zeitivariat, we ei um i Abtastitervalle verzögertes Eigagssigal x[ i] ei um i Abtastitervalle verzögertes Ausgagssigal y[ i] bewirkt. i ka eie beliebige gaze Zahl sei ud y[] ist das zum Eigagssigal x[] gehörede Ausgagssigal. Die Grudlage für ei LTI-System sid damit festgelegt ud es ka die Betrachtug eier mögliche Charakterisierug vo LTI-Systeme erfolge, der Impulsatwort. 2.2 Impulsatwort Wie bereits erwäht, ka ei LTI-System durch seie sogeate Impulsatwort h[] charakterisiert werde. Uter der Impulsatwort versteht ma das 1

11 2 DISKRETE LTI-SYSTEME 2.3 Die diskrete Faltug Ausgagssigal y[] eies LTI-Systems, welches etsteht, we a seie Eigag der Eiheitspuls x[] = δ[] agelegt wird (siehe Abbildug1). Es ergibt sich somit die Folgerug: x[] = δ[] y[] = h[] 1 Abbildug 5: Mögliche Impulsatwort zum Iput δ[] x[] = δ[] y[] = h[] (31) Die Impulsatwort ka dazu geutzt werde, die Kausalität ud Stabilität eies zeitdiskrete LTI-Systems zu defiiere. Ei zeitdiskretes LTI-System heisst kausal, we seie Impulsatwort kausal ist, also auf der egative Zeitachse Null ist: h[] = für < (32) Alle Echtzeitsysteme i der DSV sid kausal ud komme i der Praxis deshalb am häufigste vor. Ei ichtkausales System ka ma als hellseherisches System bezeiche, de sei Ausgag atwortet auf eie Impuls, welcher erst i der Zukuft stattfidet. Nichtkausale Systeme spiele hauptsächlich i der Theorie der lieare Systeme eie Rolle, i der Praxis komme sie ur i Form vo Offlie-Aweduge vor. Für die Stabilität eies LTI-Systems gilt, dass die Impulsatwort absolut summierbar sei muss: = h[] < (33) Hierzu lässt sich amerke, dass alle Digitalfilter, die als zeitdiskrete LTI- Systeme realisiert werde, stabil sei müsse. 2.3 Die diskrete Faltug Aufbaued auf der Defiitio eies LTI-Systems ud der Charakterisierug durch die Impulsatwort, komme wir u zur diskrete Faltug. Es sei ei zeitdiskretes LTI-System gegebe mit der Impulsatwort h[]. Laut der zuvor getroffee Defiitio verursacht der Eiheitspuls δ[] am Eigag des Systems die Impulsatwort h[] a seiem Ausgag: δ[] h[] (34) Da das LTI-System laut Defiitio zeitivariat ist, folgt daraus: 11

12 2.3 Die diskrete Faltug 2 DISKRETE LTI-SYSTEME δ[ i] h[ i] (35) Wird der Eiheitspuls, der zum Zeitpukt = i auftritt, u mit dem dazugehörige Abtastwert x[i] gewichtet, da folgt daraus die Liearität aus Defiitio 29: x[i]δ[ i] x[i]h[ i] (36) Gehe wir och eie Schritt weiter ud bilde eie gewichtete Summe vo zeitverschobee Eiheitspulse, da folgt gleichermaße aus der Defiitio der Liearität: i= x[i]δ[ i] } {{ } x[] i= x[i]h[ i] } {{ } y[] (37) Wie i Formel 7 bereits gezeigt, ist die like Summe aus Folgerug 37 ichts aderes als das Eigagssigal x[]. Somit ist das zeitdiskrete Ausgagssigal y[] des LTI-Systems durch die rechte Summe gegebe. Ma bezeichet jee Summe als Faltugssumme oder eifach als diskrete Faltug (egl: discrete covolutio). I kürzerer Form ka ma sie auch folgedermaße darstelle: y[] = x[] h[] (38) Dies bedeutet, dass das Ausgagssigal eies lieare zeitivariate Systems gleichgesetzt werde ka mit dem Eigagssigal, gefaltet mit der Impulsatwort des Systems. Wie die kotiuierliche Faltug, ist auch die diskrete Faltug kommutativ. Für das Verstädis des Faltugsprozesses ist es vo zetraler Rolle, de Uterschied zwische eiem Sigal ud eiem Abtastwert sicher erkee zu köe. Aus diesem Grud wird im Folgede für ei Sigal y, welches auf der diskrete -Achse defiiert ist, {y[]} geschriebe ud für de -te Abtastwert y[]. Der gesamte Faltugsprozess lässt sich durch folgede, sequeziell abzuarbeitede Schritte, beschreibe: 1. Ersetze die diskrete Zeitvariable sowohl i Sigal als auch i Abtastwert durch die Summatiosvariable i. 2. Falte {h[i]} um die Ordiate. Dies bedeutet ichts aderes, als {h[i]} um die Ordiate zu klappe, so dass sich das gespiegelte Sigal {h[ i]} ergibt. 3. Verschiebe {h[ i]} um f Abtastpukte ach rechts, so dass sich {h[ f i]} ergibt. f ka hier zuächst beliebig, aber geeiget, gewählt werde. 4. Multipliziere u das Sigal {x[i]} mit der modifizierte Impulsatwort {h[ f i]}, so dass sich das Sigal {x[i]h[ f i]} ergibt. 5. Addiere u für i = bis i = + alle etstadee Werte x[i]h[ f i] zusamme ud erhalte de Abtastwert y[ f ] a der Stelle f. 6. Führe die Schritte 3 bis 5 u für alle Pukte auf der diskrete Zeitachse aus, so dass sich das zeitdiskrete Ausgagssigal {y[]} ergibt. 12

13 2 DISKRETE LTI-SYSTEME 2.3 Die diskrete Faltug Abbildug 6: diskrete Faltug 13

14 2.3 Die diskrete Faltug 2 DISKRETE LTI-SYSTEME [vg2] [AVO91b] [AVO91a] [Web] Es ist och azumerke, dass das Ausgagssigal {y[]} a Läge zuimmt, de für die Faltug zweier edlich lager, zeitdiskreter Sigale gilt die Vorschrift: N y = N x + N h 1 (39) Es gilt also, dass die Läge N y des Ausgagssigals gleich der Läge N x des Eigagssigals plus die um 1 verrigerte Läge N h der Impulsatwort ist. Die rechte Summe aus Folgerug 37 ka auch als Rechevorschrift zur Bestimmug des Ausgagssigals agesehe werde. Wir werde jedoch im Aschluss a diese Semiar-Vortrag sehe, dass es im Allgemeie effizietere Verfahre gibt, um das Ausgagssigal eies LTI- Systems zu bereche. 14

15 LITERATUR LITERATUR Literatur [AVO91a] Ala V. Oppeheim, Ala S. Willisky: Sigale ud Systeme Arbeitsbuch. Wiley VCH, [AVO91b] Ala V. Oppeheim, Ala S. Willisky, Ja T. Youg: Sigale ud Systeme Lehrbuch. Wiley VCH, [vg2] [Web] Grueige, Daiel Ch. vo: Digitale Sigalverarbeitug. Fachbuchverlag Leipzig/Haser Verlag, 22. Wikipedia. 15