Grundstrukturen: Speicherorganisation und Zahlenmengen

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1 Zahlndarstllung Zahln und ihr Darstllung in Digitalrchnrn Grundstrukturn: Spichrorganisation und Zahlnmngn Linar organisirtr Spichr zu inr Adrss ghört in Spichr mit 3 Bit-Zlln ( Wort brit ) adrss Linarr Spichr bit MSB LSB Halbwort bt

2 Grundstrukturn: Spichrorganisation und Zahlnmngn Zahlnmngn (N o Z Q R C) natürlich Zahln ganz Zahln natürlich Zahln und ngativ ganz Zahln rational Zahln ganz Zahln und gbrochn zahln rll Zahln rational Zahln und irrational Zahln komplx Zahln rll Zahln und cht imaginär Zahln

3 Ganzzahlndarstllung Basis-Zahlndarstllung: zahl n a i b i di Basis b ist aus dn natürlichn Zahln di Ziffr a i ist aus dn natürlichn Zahln a i b- di Darstllung ist indutig Schribwis: zahl (a n... a ) b Bispil: (4) 3 4 gbräuchlich Zahlnbasn: (Binär-Sstm) 8 (Oktal-Sstm) (Dzimal-Sstm) 6 (Hxadzimal-Sstm) Multiplikation/Division mit b: shift dr Zahl-Ziffrnfolg um Stll nach links/rchts i

4 Ganzzahlndarstllung Konvrtirung zwischn zwi Basn: zahl zahl n i a i b a b n n n ( L( a b a ) b K) b a n i n n a b K a b a ( Hornr-Schma) Basis b Basis Eingab: b, Fld a[..k] Ausgab: Dzimalzahl vorwärts: von links nach rchts Basis Basis b Eingab: Dzimalzahl, nu Basis b Ausgab: Fld a[..k] (nu Ziffrnfolg) rückwärts: von rchts nach links zahl : ; FOR i:n TO BY - DO; zahl : zahl b a[i] END; i : ; a[i] : ; WHILE zahl> DO a[i] : zahl MOD b; zahl : zahl DIV b; i : i END;

5 Ganzzahlndarstllung Konvrtirung zwischn zwi Basn: (cont d) Bispil: (36) 8 (?) 3 Schritt : (36) 8 Dzimalzahl n : (36) 8 (( 8 ) 8 3 ) (58) Schritt : Dzimalzahl (?) 3 b 3 (58) : 58 / 3 5 Rst 5 / 3 7 Rst 7 / 3 5 Rst 5 / 3 Rst / 3 Rst also: (58) (((( 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 () 3 wobi: (... ) 5, (... ) 7, (... ) 5, (... ),

6 3 6 ) ( ) ( ) ( Spzialfall: Konvrtirung zwischn Basn k : von rchts nach links: Zusammnfassn von jwils k bnachbartn Ziffrn Bispil mit dr Zahl (3) : Di Darstllung zur Basis b soll in di zur Basis b8 umgwandlt wrdn, d.h. k3: Ganzzahlndarstllung ) ( 8 (454) Spzialfall: Konvrtirung zwischn Basn k : slbst nachdnkn!

7 Ngativ Zahln im Binärsstm (Dualsstm) Allgmins Di Anzahl dr darstllbarn Zahln ist bschränkt! (abhängig von dr Wortläng) Wortläng 8bit N 8 56 vrsch. /-Kombinationn 56 vrschidn Zahln darstllbar, z.b ( N - ) Unsr Rchnr kann nur addirn, bsitzt ldiglich in Addirwrk, kin Subtrahirwrk; ltztlich hisst das, auch Multiplikationn und Divisionn muss das Addirwrk rldign! Frag: Kann man sich im Brich dr Dzimalzahln inn Algorithmus vorstlln, dr mittls Addition in Subtraktion durchführt? (untr dr Nbnbdingung, dass di Anzahl dr darstllbarn Zahln bschränkt ist) Id: falls x >, dann nix: falls x <, dann: x x x N - x

8 Ngativ Zahln im Binärsstm (Dualsstm) 4 Möglichkitn dr Darstllung Vorzichn und Btrag ( signd magnitud ) das fällt inm sofort in: nhm das Bit ganz links als Vorzichn: ; di rstlichn Bits stlln dn Btrag dr Zahl dar. Bispil: Wortläng n 4 Bit N 4 6 vrsch. /-Kombinationn 6 vrschidn Zahln darstllbar, bishr (kardinal)... 5 ( N - ), jtzt (intgr) , also -( n- - )... ( n- - ) Problm : s gibt zwi Nulln: ; - also: Ein Zahl abr zwi untrschidbar(!) Bitfolgn Problm : Bi disr Darstllung ist in Addirwrk und in Subtrahirwrk notwndig; s gibt kinn Algorithmus dr Subtraktion pr Addition rldigt für dis Darstllung. Problm 3: Es ist in Logik rfordrlich zur Entschidung ob Addition odr Subtraktion auszuführn (4 Vorzichnfäll)

9 Ngativ Zahln im Binärsstm (Dualsstm) 4 Möglichkitn dr Darstllung (cont d) Einr-Komplmnt (On s Complmnt) gbildt durch stllnwiss Invrtirn dr Originalzahl:, addirt man zur Originalzahl ihr Einr-Komplmnt ( Invrtirt) so rgibt sich immr in Folg von Einsn. Ein Folg von Einsn ist nichts andrs als (di Invrtirt dr) Null, also - ( Folg von Nulln), d.h. man hat zur Originalzahl drn Ngativs addirt. Bispil: Wortläng n 4 Bit N 4 6 vrsch. /-Kombinationn 6 vrschidn Zahln darstllbar, bishr (kardinal)... 5 ( N - ), jtzt (intgr) , also -( n- - )... ( n- - ) Problm bstht noch: s gibt zwi Nulln: ; - also: Ein Zahl abr zwi untrschidbar(!) Bitfolgn Problm ist glöst: Bi disr Darstllung gnügt in Addirwrk; Subtraktion bdutt Addition ds Ngativn. Problm 3 (Logik) stllt sich nicht mhr. Problm 4: -4 odr?? durch bschränktn Zahlnbrich glöst. Bit ganz links: ngativ Zahl, positiv Zahl

10 Ngativ Zahln im Binärsstm (Dualsstm) 4 Möglichkitn dr Darstllung (cont d) Zwir-Komplmnt (Two s Complmnt) gbildt durch das Einr-Komplmnt mit nachfolgndr Addition von addirt man zur Originalzahl ihr Zwir-Komplmnt ( Invrtirt ) so rgibt sich immr in mit nachfolgndn Nulln; di Anzahl dr Stlln ist um in gwachsn. Stricht man di führnd, so sind di nachfolgndn Nulln nichts andrs als Null, man hat zur Originalzahl drn Ngativs addirt. Bispil: Wortläng n 4 Bit N 4 6 vrsch. /-Kombinationn 6 vrschidn Zahln darstllbar, bishr (kardinal)... 5 ( N - ), jtzt (intgr) , also -( n- )... ( n- - ) Problm bstht nicht mhr: ; - Problm ist glöst: Bi disr Darstllung gnügt in Addirwrk; Subtraktion bdutt Addition ds Ngativn. Problm 3 (Logik) stllt sich nicht mhr. Problm 4: -5 odr?? durch bschränktn Zahlnbrich glöst. Bit ganz links: ngativ Zahl, positiv Zahl

11 Ngativ Zahln im Binärsstm (Dualsstm) 4 Möglichkitn dr Darstllung (cont d) Zwir-Komplmnt (cont d) übrigns: Im Zwir-Komplmnt stimmt di Dualdarstllung von -5 mit dr von übrin: (5) () Zwir-Komplmnt von (5) : () () () Bispil mit Dzimalzahln (b ): Es si n N vrschidn Dzimalzahln, ntwdr kardinal ( N - ) odr (intgr) , also -5 n n- - Originalzahl si (z.b.): 3 Ihr Zhnr-Komplmnt: ist nicht im Zahlnbrich ; 77 ist di Darstllung von -3 im Zhnr-Komplmnt (x<: x N - x ). addirt man zur Originalzahl ihr Zhnr-Komplmnt, so rgibt sich immr in mit nachfolgndn Nulln (hir ); di Anzahl dr Stlln ist um in gwachsn. Stricht man di führnd, so sind di nachfolgndn Nulln nichts andrs als Null, man hat zur Originalzahl drn Ngativs addirt, also in Darstllung von -3. Statt (z.b) kann man auch rchnn: Statt (z.b) kann man auch rchnn:

12 Ngativ Zahln im Binärsstm (Dualsstm) 4 Möglichkitn dr Darstllung (cont d) Zwir-Komplmnt (cont d) häufigst gnutzt rchnrintrn Darstllung ngativr ganzr Zahln. Bispil mit Dualzahln (b ): Dual zu brchnn: (85) () Es si n 8 N 8 56 vrschidn Dzimalzahln: Aus dr Subtraktion -3 soll in Addition wrdn: Originalzahl ist: (3) () Ihr Zwir-Komplmnt:. Subtraktion Addition: Anzahl dr Stlln nicht gwachsn Kin Strichung dr führndn, di ganz links zigt in ngativs Ergbnis, d.h. Ergbnis ligt als Zwir-Komplmnt vor Übrstzung Bildung Zwir-Komplmnt: (8) Das ngativ Ergbnis lautt -8

13 Ngativ Zahln im Binärsstm (Dualsstm) 4 Möglichkitn dr Darstllung (cont d) Exzss n- dr gsamt darstllbar Zahlnbrich (positiv und ngativ Halbachs) wird auf di positiv Halbachs abgbildt xzss-zahl zahl n- Bispil mit n 8, d.h. Exzss Shift 8-7 (-3) -3 8 (5) () Di Darstllungn sind mit dnjnign dr Zwir-Komplmnt- Darstllung bis auf das invrtirt link Bit ( Vorzichn ) idntisch

14 Ngativ Zahln im Binärsstm (Dualsstm) Vrglich dr 4 Sstm (n4) Dual Vorz./Btrag Einr-Kompl. Zwir-Kompl. Exzss

15 Ngativ Zahln im Binärsstm (Dualsstm) Zahlnring (n8) für Dualzahln und Zwir-Komplmnt

16 Glitkommazahln: Darstllung und Arithmtik Glitkommazahln Zahlnmng rational Zahln: r a/b b ra/b a Zahlnstrahl rll Zahln: Hinzunahm von nicht-rationaln Zahln: π,, Di rlln Zahln in ihrr mathmatischn Bdutung stlln in Kontinuum dar (jds blibig groß Intrvall auf dm Zahlnstrahl nthält unndlich vil Wrt)

17 Glitkommazahln Zahlnmng (cont d) Wrtbrich REAL (Glitkommazahln) im Rchnr stllt in ndlich Mng von Rpräsntantn von Intrvalln ds Kontinuums dar. Diskrtisirung numrisch Darstllung Vrarbitung von Datn ds Tps REAL nicht xakt ( numrisch Mathmatik) Glitkommazahln mathmatisch rll Zahln mathmatisch rational Zahln

18 Glitkommazahln Zahlndarstllung (Konrad Zus, 937) zahl m b m : Mantiss, -M < m < M Normalform: /b m < odr m b : Basis, z.b., abr auch klin Potnz von :, 4, 8, 6 : Exponnt, -E E, auch -E E all Wrt M, b, E sind rchnrabhängig Aufbau: zahl ±.a a...a µ b. / /b ist klinstmöglichr Mantissnbtrag! Warum? Dr nächstklinr Zahlnbtrag wär: wgn normirtr Darstllung: Das ist unmöglich wgn zwiziffrigm Exponnt! mit a (normalisirt Darstllung) und a i b- Bispil: b, Mantiss m: 3 Ziffrn, Exponnt : Ziffrn Mantiss: / m < odr Exponnt: darstllbarr Brich: Multiplikation/Division mit b: shift dr Zahl-Ziffrnfolg um Stll nach links/rchts odr / -

19 Glitkommazahln Di Mantiss ist somit um Bit längr als gdacht, wil a nicht gspichrt wrdn muss! Normalisirung Darstllung dr Mantiss in Normalform: /b m < in Mantiss mit gstztm Führungsbit a hisst normalisirt zahl ±.a a...a µ b mit a durch di Normalisirung wird di Glitpunktdarstllung indutig Rchnrintrn Rpräsntation dr vrfügbar Platz (hir Bt) wird in Fldr aufgtilt Vorzichn Exponnt Mantiss Für arithmtisch Oprationn muss bi hardwarmäßigr Ralisirung hohr Aufwand btribn wrdn, dahr Softwar-Ralisirung Spzialprozssorn Listungsdatn: MIPS, FLOPS

20 Glitkommazahln Bispil inr 3 Bt britn Zahlndarstllung (Basis b ) Vorzichn Exponnt 3 5 Mantiss 6 Vorzichn:, also Exponnt : Mantiss m: Brit: 7 Bit Exzss 64( 7- ) - Darstllung () (84) b Brit: 6 Bit Darstllung dr Mantiss: m 6 j a j j ( Zahl: zahl ) 6

21 Glitkommazahln Bispil (cont d) Normalisirung: zahl ( ( ) 3 4 ( 5 ( ) ) Vorzichn: blibt, also Exponnt : Mantiss m: Brit: 7 Bit Exzss 64( 7- ) - Darstllung (73) () Exponnt um dkrmntirt Brit: 6 Bit Mantiss um Bit nach links gschobn Vorzichn Exponnt Mantiss Zahl blibt rhaltn: zahl

22 Glitkommazahln REAL-Zahln auf dm Zahlnstrahl Bispil: b, Mantiss m: 3 Ziffrn, Exponnt : Ziffrn NULL ngativ ovrflow ausdrückbar ngativ Zahln ngativ undrflow positiv undrflow ausdrückbar positiv Zahln positiv ovrflow jd REAL-Zahln rpräsntirt in Intrvall dr rlln Zahln; das Intrvall wächst mit zunhmndm Btrag dr Zahl, d.h. di Dicht dr Rpräsntation nimmt mit zunhmndm Btrag dr Zahl ab. Ein Abschätzung ds Einflusss dr Unglichvrtilung dr Rpräsntantn auf di rchnoprationn ist nicht trivial. Bhandlung von ovrflow/undrflow, Null, undfinirt? IEEE Floating-Point Standard 754 (985) (sih A.S. Tannbaum)

23 Glitkommazahln Problm Tst: Assoziativgstz (Bispil mit 4-stlligr Arithmtik) x 9.9,., z (x) z.9 (-.999) 9.9 x (z) Tst: Distributivgstz (Bispil mit 4-stlligr Arithmtik) x., -5., z 5. (x ) (x z) (-55) 55. x (z)... Auslöschung Bi dr Subtraktion zwir fast glich großr Wrt hbn sich di signifikantn Ziffrn auf und di Diffrnz vrlirt dadurch an Signifikanz (z.b. Diffrnznquotint) Übrlaufgfahr... bi Division durch klin Wrt

24 Rchnrarithmtik Glitkommazahln x x m m x, Addition x x falls m m x x ) ( Subtraktion x x falls m m x x ) ( Multiplikation x m x m x ) ( Division x m x m x ) (