Anhang B Ergänzungen II: Vektor- und Matrizenrechnung

Transkript

1 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug Ahg B Ergäug II: Vktor- ud trirhug B Grudlgds ur Vktorrhug Im Folgd stll di Smol,, ud d iht witr stglgt Vktor dr, ist i Eihitsvktor ud C i liig ostt Diitio Zu d olgd Diitio thält Bild B Vrshulihug Sklr Frir Vktor Durh i ßhl Btrg ud Vorih stglgt phsiklish Größ Hiu kommt di phsiklish Dimsio Bispil: Läg, ss, Zit Durh i ßhl Btrg, Rihtug ud Rihtugssi stglgt phsiklish Größ grihtt Strk im Rum Hiu kommt di phsiklish Dimsio Bispil: Gshwidigkit, Drll, rt Vktorrlgug i - Btrg ßhl dr dimsioshtt Lägihit mit phsik Dimsio, >, - Eihitsvktor Rihtug, Rihtugssi, Dmit gilt vgl ähstr Ashitt : Gudr Vktor Gud Vktor sid durh di Bstimmugslmt ds ri Vktors ud usätlih durh i Agripukt diirt Bispil: Ortsvktor ir Puktmss Zwi gud Vktor stimm üri, lls Btrg, Rihtug, Rihtugssi ud Agripukt idtish sid Liilühtigr Vktor Liilühtig Vktor sid durh di Bstimmugslmt ds ri Vktors ud usätlih durh i Wirkugsgrd diirt Bispil: rt ud Wiklgshwidigkit m strr örpr Zwi liilühtig Vktor stimm üri, lls Btrg, Rihtug, Rihtugssi ud Wirkugsgrd idtish sid Agrispukt Wirkugsgrd rir Vktor gudr Vktor liilühtigr Vktor Bild B: Zur Diitio vo Vktor 5 B

2 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug Rhrgl ür ri Vktor Di olgd Rhrgl lss sih mittls dr Vrshulihug vo Vktor ls grihtt Strk im Rum gomtrish itrprtir Bild B Di rhrish Bhdlug mit Hil vo Vktorkoordit olgt im Ashitt ultipliktio mit im Sklr: Additio wir Vktor: C C C ist i Sklr B B Di sid ud di ompot vo üglih dr i Bild B igiht Rihtug g ud g 3 Sutrktio is Vktors: 4 Nullvktor: 5 Sklrprodukt irs Produkt: B3 lso gilt uh B4 os α mit d Eigsht, C C C, B5 C, C > g C, C < g ultipliktio mit im Sklr Additio wir Vktor α Sutrktio is Vktors Sklrprodukt α Vktorprodukt Glihhit wir Vktor Bild B: Rhrgl ür ri Vktor 5 B

3 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug 6 Vktorprodukt ruprodukt, äußrs Produkt: mit d Eigsht, 7 hrh Produkt: si α mit, B6,, C C C Sptprodukt:, B7 Etwiklugsst:, B8 Lgrg-Idtität: d d d, oorditdrstllug vo Vktor B9 Jdr Vktor lässt sih ßhl Btrg, Rihtug ud Rihtugssi uh i drr Wis drstll, ud wr spill durh Ag sir oordit w ompot, di sih u i oorditsstm ih Hiri ist di Grupp dr grdliig Sstm ud dvo di Utrgrupp dr krtsish dh dr orthogol, rhtshädig di witus wihtigst Für lttr glt di holgd Btrhtug u Vktorkoordit Bdutd sid uh shiwiklig Sstm, Zlidr- ud uglkoordit Bild B3 igt i krtsishs oorditsstm mit ittlpukt O, d oordiths,, ud d Bsis-/Eihitsvktor,, Für di ughörig so gt oordit odr sklr ompot,, ds Vktors i dism oorditsstm gilt d di Vktorrlgug B i Rihtug dr Eihitsvktor, woi dr lik utr Id ds oorditsstm, dr utr rht di Bugshs kiht Sprhrglug ür : i usw Di ompot kö positiv, gtiv odr Null si Si lss sih durh di Sklrprodukt usw B stimm ud wrd tpishrwis i ir 3 -tri, dm oorditvktor, usmmgsst: O Bild B3: oorditdrstllug is Vktors 5 B3

4 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug Y : Z B d rsormtio vo Vktorkoordit Bi vil prktish Prolm i dr hik ist s rordrlih, di oordit is Vktors glih i mhrr krtsish oorditsstm g u kö Für di Umrhug disr ompot vo im krtsish Sstm i i drs istir stimmt rsormtiosrgl, di holgd usmmgstllt sid Bispilht wrd du di wi Sstm ud hrgog vgl uh Bild B4 Glihug B k uh ür ds oorditsstm gg wrd, so dss d gilt: B3 Di sklr ultipliktio disr Bihug mit, w rgit gmäß Glihug B5 olgd dri Rsultt di i trishriwis usmmgsst,,, Y Y 3 Z Z B4 lut Di di igührt rsormtiosmtri ür d Whsl vom Sstm h sitt i Rih hrktristishr Eigsht: Di Zil vo wrd gmäß Glihug B durh di trspoirt oorditvktor dr Eihitsvktor ds Sstms, gg im Sstm gildt Di Splt vo sid di oorditvktor dr Eihitsvktor ds Sstms, gg im Sstm : O O Bild B4: oorditdrstllug is Vktors i wi vrshid Sstm ud 5 B4

5 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug [ ] B5 D Zil ud Splt dr tri jwils i orthoormls Rhtssstm ild, gilt h Glihug B4 ür di rsormtio i di dr Rihtug ws sih uh durh ds ultipliir vo Glihug B3 mit, w ig lässt: B6 D Zil ud Splt dr tri jwils i orthoormls Rhtssstm ild, rg sih dri Bdigug ür di Normirug dr il Zil- w Spltvktor ud dri Bdigug ür di whslwis Orthogolität disr Vktor Dmit sid oh dri Elmt vo ustimmt Si tsprh dri rottorish Frihitsgrd dr räumlih Drhug ds i oorditsstms ggür dm dr Ergäug : Ds oorditsstm lässt sih durh di Ag drir Pukt P, Q ud R mit d Ortvktor r P, r Q ud r R ggür dm oorditursprug O ispilswis wi olgt stlg vgl Bild B5: r r Q Q r P r P r r, R R rp, r P B7 Ergäug : Bispilht ih Drhug ds oorditsstms ggür ; gmäß Bild B6 mit d Drhwikl α gilt: siα [ ] osα osα siα Rhrgl ür ri Vktor i oorditshriwis Nholgd wird i il dr Rhrgl h Ashitt i oorditshriwis i im il krtsish oorditsstm drgstllt Di Rgl glt di uhägig vom gwählt Sstm Zur Vrihug dr Shriwis hlt dhr dr vor- Q r Q r R R r r P O P O Bild B5: Bispilht Fstlgug is oorditsstms 5 B5

6 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug 5 B6 gstllt Id Glihhit wir Vktor: : B8 ultipliktio mit im Sklr: C C C C : B9 3 Additio wir Vktor: : B 4 Sutrktio is Vktors: : B 5 Nullvktor: : B 6 Ds Sklrprodukt os α os α lutt utr Brüksihtigug dr Glihug B { { { { { { { { { B3 Eiig Awdug ds Sklrprodukts sid: O O α α Bild B6: Bispil ür i ih Drhug ds oorditsstms ggür

7 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug 5 B7 - Zrlgug is Vktors i Btrg ud Eihitsvktor: ud mit B4 - Brhug ds Wikls wish wi Vktor: < < < > ür, ür mit π α π π α α os B5 - Orthogolität wir Vktor:, sor B6 - Projktio is Vktors u i Vktor Bild B7: os α B7 7 Ds Vktorprodukt lutt utr Brüksihtigug dr Glihug B B8 ud k i Dtrmitorm uh wi olgt gshri wrd: B8 trishriwis ür vktorill Ausdrük I dr ompotdrstllug lss sih Vktor ls ispltig tri uss Di Rhrgl ür tri vgl Ashitt B kö dshl liht u Vktor ürtrg wrd Für di utr ugührt Rgl is 5 ist dis osihtlih Für ds Sklr- ud ds Vktorprodukt sowi ds u hiuuhmd ddish Produkt wird dis holgd ür krtsish oorditsstm oh tws dtillirtr usgührt Wlh dr di idr gstllt Shriwis i Vktor- odr triorm vr α Bild B7: Projktio is Vktors u i Vktor

8 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug 5 B8 wdt wird, hägt dvo, o dr Vktor- odr dr trihrktr stärkr tot wrd soll Sklrprodukt: Vktorshriwis:, trishriwis: [ ] B9 Vktorprodukt: Vktorshriwis:, trishriwis: ~ B3 Dr Oprtor ~ ildt di us d ompot is Vktors i shismmtrish tri trishriwis: ~ : ~, B3 ud rmögliht di Brhug ds Vktorprodukts mit Hil dr trilgr, woi uh gilt: ~ ~ 3 Ddishs Produkt: Vktorshriwis: o, trishriwis: [ ], B3 B Grudlgds ur trirhug Im Folgd stll di Smol A, B ud C iht witr stglgt tri dr, E w I ist di Eihitsmtri, ud sid liig Vktor, ud C ist i liig ostt Diitio ud trilgr Allgmi Form ir tri: Di rhtkig m -tri A wird durh ds Shm ihrr Elmt i,k gildt:,,,, m m A B33 Sodrll Nullmtri: Ei m -tri, dr Elmt ll Null sid, hißt Nullmtri : B34

9 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug 3 Sodrll qudrtish tri: Ist di Zilhl m glih dr Splthl so wird A ls -rihig qudrtish tri iht:,, A B35,, 4 Sodrll 3 Digolmtri: Ei qudrtish tri A hißt Digolmtri, w ll Elmt, di iht u dr Huptdigol sth, Null sid ud midsts i Huptdigollmt iht Null ist Shriwis B mit i,, : 5 Sodrll 4 Eihitsmtri:, A O dig,, dig{ i, i} B36, Ei Digolmtri hißt Eihitsmtri I ot uh E, w ll Huptdigollmt Eis sid: I O B37 6 Dtrmit ir tri, rgulär ud sigulär tri: Jdr qudrtish -tri A lässt sih idutig i Dtrmit Ordug uord:,, dta B38, Ei Dtrmit wird durh Etwiklug h ir liig Zil odr Splt rht Zum Bispil lutt di Etwiklug ir Dtrmit 3 Ordug h dr rst Splt: dta,, 3,,,,, 3, 3,3,3,3 3,3 3,,,3, 3,,,3 3,3, 3,3,,, 3, 3,,3,3 3,3 Ei qudrtish tri, dr Dtrmit vo Null vrshid ist, wird rgulär tri gt Ist di Dtrmit dgg Null, spriht m vo ir sigulär tri 7 rspoirt ir tri: Wrd i ir m -tri A Zil ud Splt positiosglih vrtusht i ir qudrtish tri k m dis uh ls Spiglug dr Huptdigol uss, so tstht di trspoirt m-tri A : 3, 3,,,,,3,3,3,,, m, A A B39 m, m,, m, mit dta dta sor dta diirt B4,,3 5 B9

10 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug 8 ultipliktio ir tri mit im Sklr: Di ultipliktio ir m -tri A mit im Sklr C rolgt lmtwis, so dss ds Produkt B disl Dimsio wi A ht:,, C, C, B CA: B4 m, m, Cm, Cm, 9 Additio ud Sutrktio wir tri: Zwi tri A ud B glihr Größ hir m kö ddirt wrd Dis gshiht lmtwis: A B C:, m,, m,, m,, m,, m,, m,, m,, m,, m,, m, B4 Di trisutrktio A B lässt sih mit Hil dr Glihug B4 u di Additio A B urükühr trimultipliktio: Di Rhts-ultipliktio ir m l-tri A mit ir l -tri B rgit i m - tri C:,, l,,,, A B C: B43 m, ml, l, l, m, m, l i, j i, k k, j k mit ür i,, m, j,, Dh, ur Brhug dr Elmt i,j wrd ll positiosglih Elmt dr i Zil vo A mit d dr j Splt vo B multipliirt ud shlißd ll rsultird Produkt usummirt Witr Rhrgl ur ultipliktio ud Additio vo tri: A B C A B A C mit A: m l-tri ud B, C: l -tri B44 A I A mit A: m -tri ud I: -tri B45 dta B dta dtb mit A, B: -tri B46 A B B A mit A: m l-tri ud B: l -tri B47 A B BA mit A: m -tri ud B: m-tri B48 A B C A B C mit A: m l-tri, B: l k-tri, C: k -tri B49 Aushm ur Rhrgl B48 sid i Sodräll m möglih triivrsio Zu jdr rgulär -tri A istirt gu i ivrs -tri A uh hrmtri gt, ür di gilt: A A I B5 Hiru glt witr Rhrgl: A B B A mit A, B: -tri B5 A A mit A: -tri B5 dta mit A: -tri B53 dta 5 B

11 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug 3 Orthogol tri Ei qudrtish, rgulär -tri A hißt orthogol, w ihr trspoirt tri glih ihrr ivrs tri ist: A A B54 ultipliirt m dis Bihug whlwis vo liks odr vo rhts mit A, so olgt drus umittlr: A A A A I B55 Di Awdug dr Glihug B4 ud B46 lirt drus dta w dta ± Für dta hißt A igtlih orthogol B56 Bi jdr orthogol tri ild di Zil- ud di Spltvktor j i Sstm prwis orthogolr Eihitsvktor Dmit ht di trspoirt w ivrs tri utomtish gu disl Eigsht Di Produkt A B ud B A wir orthogolr -tri sid lls orthogol, woi im Allgmi A B B A ist Ei sodrs wihtigr Fll, i dm dis Eigsht u ht sid, ist di rsormtio vo Vktorkoordit, i d di rlvt krtsish oorditsstm ggidr vrdrht sid vgl Glihug B4, w B wi oordittrsormtio dh, Sstm 3 Sstm Sstm hitridr gshltt wrd, so dss gilt Smmtrish tri, shi-/tismmtrish tri Ei qudrtish -tri A hißt smmtrish, w si glih ihrr rspoirt ist: A A w i,j j,i B57 Ei qudrtish -tri A hißt shismmtrish odr tismmtrish, w si glih ihrr gtiv rspoirt ist: A A w i,j j,i mit wgsläuig i,i i,, B58 Jd qudrtish tri A lässt sih i i Summ us ir smmtrish tri A s ud ir tismmtrish tri A rlg: A mit A A A A A A, A A A A B59 s s s Diritiosrgl i trishriwis Es wird di Ahm gtro, dss dr Vktor i -, lso ispltig tri drstllt: [ ] D k di prtill Alitug dr liig sklr Fuktio,, h dm Vktor, lso di Grditildug, wi olgt diirt wrd: grd B6 Etsprhd k di Bildug ds Grdit iht ls Zil-, sodr ls Spltvktor diirt wrd: 5 B

12 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug 5 B B6 Di prtill Alitug dr liig Vktoruktio si i Spltvktor,,,, m m h dm Vktor rgit di m -Fuktiolmtri Joi-tri, woi Glihug B6 u jds Elmt vo il gwdt wird: m m B6 Ist i Zilvktor, so lutt di tsprhd Bihug mit Hil vo Glihug B6: m m B63 Zwi Bispil soll di Awdug disr Shriwis illustrir: Bispil lir sklr Fuktio: Es si i lir Form i Di Erugug disr Fuktio lässt sih dmit B ls Sklrprodukt us im Vktor mit vrshulih: [ ] i i i B64 Di prtill Alitug disr lir Form h gmäß Glihug B6 lutt d: [ ] B65 Bispil qudrtish sklr Fuktio: Es si i qudrtish Form vo gmäß holgdm Ashitt mit dr smmtrish -tri A: A A B66 Di prtill Alitug disr qudrtish Form h mit dr Produktrgl ud gmäß Glihug B6 rgit d Zilvktor: A Ι A A A A A B67

13 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug Di wimlig Alitug dr qudrtish Form A h, lso di Alitug ds Zilvktors A gmäß Glihug B63 rgit: A A Diithit vo tri ud qudrtish Form, St vo Slvstr Qudrtish Form: B68 Ei us dm -Vktor ud dr -tri A gildt qudrtish Form ist wi rits rwäht dr Ausdruk, L, A [ ] i jij B69, i j, L, Oh Bshräkug dr Allgmihit k di gomm wrd, dss A A gilt, lso A smmtrish ist Di Bgrüdug hirür lutt: Es si A i liig qudrtish tri, di gmäß Glihug B59 i i smmtrish il A s ud i tismmtrish il A rlgt wird Stt m u A A s A i A i, so olgt A A s A As A A As A As A As A A A A Dr tismmtrish Atil vo A lirt lso u A ki Atil Diithit: Di qudrtish Form A w di smmtrish rll tri A hiß - positiv gtiv diit, w ür liig rll Vktor gilt: A > <, - positiv gtiv smidiit, w ür liig rll Vktor gilt: A 3 Ürprüug dr Diithit St vo Slvstr: B7 B7 Dr St vo Slvstr ist i ihs Hilsmittl ur Ürprüug dr Diithit gmäß Glihug B7: Di -tri A w di qudrtish Form A ist d ud ur d positiv diit, w ll Huptmior w Huptshittsdtrmit A i i,, dr Dtrmit dr tri,, A,, positiv sid, dh w gilt:,,,, A, >, A >,, A > B7,, Für i Ürprüug dr gtiv Diithit ir tri A ist u utrsuh, o di tri A positiv diit ist,, 5 B3

14 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug Amrkug: Zum Nhwis dr positiv Smidiithit rih di h ligd Bdigug A i i,, iht us Etsprhds gilt ür di gtiv Smidiithit Dis igt olgds Bispil: A A mit mit A, Di tri A ist dmit gtiv smidiit ud iht wi villiht uähst u vrmut positiv smidiit B3 sor Stu I vil Git dr Igiurwisssht vrwdt m sor ur Bshriug stimmtr phsiklishr Shvrhlt N Ürsihtlihkit ud ompkthit i dr Drstllug ist s issodr di oorditivri stimmtr phsiklishr Größ, di durh sor vortilht mthmtish rüksihtigt wrd k Zum Bgri ds sors glgt m durh Vrllgmirug ds Vktorgris: pish rsormtiosigsht i Vktor sid B di Uhägigkit ds Vktortrgs vom gwählt oorditsstm odr di tsprhd oorditivri ds Sklrprodukts wir Vktor Ei Vktor wird tsprhd sir Dimsio ls sor Stu diirt, i Sklr ist i sor Stu Auh sor Stu i Gstlt ir tri wrd durh ds rsormtiosvrhlt ihrr oordit rklärt B di Uhägigkit vo Eigwrt ir tri Es olgt du i vriht, strk vrkürt Zusmmssug sor Stu ls lirr Aildugsoprtor Ei sor S vo Stu k ls Oprtor gsh wrd, dr i Vktor i i dr Vktor lir ildt: S B73 Ds i Glihug B73 pliit durh gkiht Produkt wird i dr sorrhug ls vrjügds Produkt iht di Shriwis mit dm Pukt tällt holgd mist widr Ei Sodrll ds vrjügd Produkts ist rits ds Sklrprodukt, ds wi sor Ordug dh Vktor u im sor Ordug mitidr vrküpt di Rduirug dr Ordug grüdt di Bihug vrjügd I Glihug B73 wird i sor Stu mit im sor Stu u im sor Stu vrküpt Wird di Vktorildug B73 i oordit i im orthoormirt oorditsstm usgwrtt, so kö dm Aildugsoprtor S u oordit S i,j ugordt wrd, di sih i ir 3 3-tri ord lss: A ud S, S, S,3 Y S, S, S,3 Y 3, 3, 3,3 3 Z 4 S S S Z S B74 Bispil ür solh sor git s i dr hik i g Rih, B d Spugstsor hir wird dm Normlvktor u i Shittläh im otiuum i Spugsvktor ugordt Dri dr Bispil wrd im Folgd kur ähr drgstllt 5 B4

15 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug Bispil Vktorprodukt ls lir Vktorildug: Wird ds Vktorprodukt wir Vktor ud gmäß Ashitt B ls Vktorildug ~ : gshri, so stllt di tri ~ di oordit ds sors Stu dr, dr u ildt vgl B d Fll, dss i Wiklgshwidigkitsvktor drstllt, dr Ortsvktor vo dr ughörig Drhhs u im Aupukt ist ud dort di rsultird rsltiosgshwidigkit vrkörprt Bispil Hruslös is Vktors us im Sklrprodukt: Aus dm Ausdruk d dr vir Vktor is d lässt sih durh Bildug is sors S vo Stu mit Hil ds Ddish Produkts S hruslös, Bispil 3 räghitstsor: [ ] d S mit S Dr räghitstsor Θ ildt d Vktor dr Wiklgshwidigkit ω i d Drllvktor L, ws sih tsprhd Ashitt B uh i oorditshriwis g lässt: rsormtio vo sorkoordit L Θ Θ Θω L Θω: L Θ Θ Θ ω L Θ Θ Θ ω Di rsormtio vo sorkoordit ür sor Stu, lso Vktor, wurd i Ashitt B d sho hdlt: Di Drstllug is liig Vktors i im oorditsstm, lso, lässt sih i di Drstllug i im wit Sstm mit Hil ir rsormtiosmtri ürühr, dh vgl Glihug B4 Di oorditdrstllug S is sors S vo Stu im Sstm k lls mit Hil dr rsormtiosmtri i di Drstllug S i im wit Sstm ürtrg wrd Für di Hrlitug dr rsormtiosihug wird vo dr im Sstm drgstllt Vktorildug B73 w B74 S usggg Ds Eist dr rsormtiosihug ür di Vktor ührt u ud S ud ds Durhmultipliir vo liks mit d u S Dr Vrglih mit dr im Sstm drgstllt Vktorildug S 5 B5

16 Dmik I Ahg B Vktor- ud trirhug lirt d di rsormtiosihug ür di oorditdrstllug vo sor Stu: S S S S B75 5 B6