Lambda-Notation. Semantik und Pragmatik. Lambda-Notation. Lambda-Notation. Lambda-Notation. Lambda-Notation

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Henriette Baumhauer
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1 emantik und Pragmatik 22. Mai 2006 Gerard Jäger mit Angabe des Definitionsbereics Funktionen aben Definitionsbereic: { x, x 2 x N} { x, x 2 x R} Notation λx.x 2 desalb unvollständig vollständige Notation: Angabe des Definitionsbereics im Lambda-Präfix: λx N.(x 2 ) λx R.(x 2 ) allgemeines Format: λ Variable Definitionsbereic.(Bescreibung des Wertes der Variable) 1/32 2/32 mit Angabe des Definitionsbereics Beispiel (λx R.(x 2 + 3x + 2))( 10) = 72 (λx N.(x 2 + 3x + 2))( 10) ist nict definiert Angabe des Definitionsbereics sowie Klammern um Bescreibung des Wertes werden äufig weggelassen, wenn dadurc keine Ambiguität auftritt Variablen-Konventionen creibweise mit explizitem Definitionsbereic ist umständlic Vereinfacung durc Variablen-Konventionen: Jeder Variablen-Name ist per Konvention mit bestimmten Definitionsbereic assoziiert: x, y, z,...: E (Menge der Individuen) s, s, s 1, s 2,...: (Menge der ituationen) P, Q, P,... : E (Menge der Relationen zwiscen ituationen und Individuen) R,,...: E E (Menge der Relationen zwiscen ituationen und Paaren von Individuen) p, q,...: POW () (Menge der Mengen von ituationen) 3/32 4/32 Variablen-Konventionen soweit nict anders angegeben, wird implizit angenommen, dass jede Variable nur in dem Bereic Werte nemen kann, mit dem der Variablenname assoziiert ist es gilt also: λx.φ ist eine Abkürzung für λx E.φ λs.φ ist eine Abkürzung für λs.φ λp.φ ist eine Abkürzung für λp E.φ λp.φ ist eine Abkürzung für λp POW ().φ usw. Funktionen mit Funktionen als Argumente Argument einer Funktion kann komplex sein: Argument ist eine Menge λx POW (N).(X {1, 2, 3}) (λx POW (N).(X {1, 2, 3}))({2, 3, 4}) = {2, 3, 4} {1, 2, 3} = {2, 3} (λx POW (N).(X {1, 2, 3}))({4, 5, 6}) = {4, 5, 6} {1, 2, 3} = (λx POW (N).(X {1, 2, 3}))(Isaak) ist nict definiert Argument ist selbst eine Funktion λf N N.(f (3)) (λf N N.(f (3)))(λx N.(x 2 )) = (λx N.x 2 )(3) = 3 2 = 9 5/32 6/32

2 Funktionen mit Funktionen als Argumente Weitere Beispiele: (λf.(f (3) + f (4)))(λx.x 2 + x + 1) = (λx.x 2 + x + 1)(3) + (λx.x 2 + x + 1)(4) = = 34 (λf.f (f (3) 9))(λx.x 2 + x + 1) = (λx.x 2 + x + 1)((λx.x 2 + x + 1)(3) 9) = (λx.x 2 + x + 1)(( ) 9) = (λx.x 2 + x + 1)(4) = = 21 Funktionen mit Funktionen als Wert Gleicermaßen können Funktionen auc Werte aben, die wieder Funktionen sind, z.b. λxλy.x + y ((λx(λy.x + y))(2))(3) = = (λy.2 + y)(3) = = 5 in der Notation aben solce funktionswertige Funktionen merere Lambda-Operatoren intereinander es gilt die Konvention: Lambda-Operatoren werden von links nac rects geklammert Argumente werden von rects nac links geklammert erstes Lambda geört zu erstem Argument, zweites Lambda zu zweitem Argument usw. 7/32 8/32 Funktionen mit Funktionen als Wert (λx 1..λx n.α)(a 1 ) (c n ) ist eine Abkürzung für (((λx 1.(.(λx n.(α)(a 1 )))) )(c n )) kopus, Variablenbindung, Variablenumbenennung λ-operator verält sic in vielerlei Hinsict wie ein Quantor in der Prädikatenlogik wie in der Prädikatenlogik ist die Wal des Variablennamens unwesentlic: x(p(x) Q(x)) = y(p(y) Q(y)) λx.x 2 + 3x + 4 = λw.w 2 + 3w + 4 wictig ist nur welce Variablenvorkommen gleicnamig sind und welce ungleicnamig 9/32 10/32 kopus, Variablenbindung, Variablenumbenennung kopus eines Lambda-Operators: Ausdruck in Klammern, der der Variable und dem Punkt folgt (λf.f (f (3) 9) }{{} )(λx.x } 2 + {{ x + 1 } ) alle freien Vorkommen der Variablen, die nac dem λ stet, im kopus des λ-operators werden durc den Operator gebunden eine Variable, die nict gebunden ist (weder durc ein λ noc durc einen Quantor), eißt frei Eine Variable im λ-operator kann umbenannt werden, wenn alle Variablenvorkommen, die durc den Operator gebunden werden, ebenfalls umbenannt werden die Bindungsrelationen dadurc nict zerstört werden Carakteristisce Funktionen in Carakteristisce Funktion χ M einer Menge M: Wertebereic: {0, 1} Bildungsvorscrift: χ M (x) = 1 gdw. x M, sonst 0 Bedeutung von meta-spraclicen ätzen ist immer war (bzw. 1) oder falsc (bzw. 0) desalb kann carakteristisce Funktion als λ-term ausgedrückt werden: λx.x M Beispiel: angenommen, M = {x x ist ein Mensc} dann: χ M = λx.x ist ein Mensc Mengen können generell als Lambda-Terme dargestellt werden. 11/32 12/32

3 Darstellung von Bedeutungen in Ob ein Individuum eine Eigenscaft at oder nict, ist situationsabängig ituationsabängigkeit muss desalb in lexikaliscer Bedeutung verankert sein: Pferd = λxλs.x ist ein Pferd in s rot = λxλs.x ist rot in s sprict = λxλs.x sprict in s Peter sprict = λs.peter sprict in s atzbedeutung = lexikalisce Bedeutungen + yntax Beispiel: Peter sprict. atzbedeutung: λs.peter sprict in s lexikalisce Bedeutungen: Peter = Peter sprict = λxλs.x sprict in s yntax: [ [ NP [ N Peter ] ] [ [ V sprict ] ] ] 13/32 14/32 :λs.peter sprict in s NP:Peter :λxλs.x sprict in s Bis jetzt wurde als Meta-prace Deutsc + verwendet Prädikatenlogik ist präziser als Deutsc und desalb als Meta-prace vorzuzieen beacte: alle Prädikate aben (anders als in der tandard-übersetzung) ein zusätzlices Argument für ituationen N:Peter Peter V:λxλs.x sprict in s sprict :λs.speak (s, p) NP:p :λxλs.speak (s, x) N:p Peter V:λxλs.speak (s, x) sprict 15/32 16/32 Bedeutung des Mutterknotens ergibt sic eindeutig aus Bedeutungen der Tocterknoten: bei nict-verzweigenden Knoten sind Bedeutung von Mutterund Tocterknoten identisc bei NP--truktur wird Bedeutung der (eine Funktion) auf Bedeutung der NP angewendet Anname: diese Korrespondenz zwiscen yntax und emantik gilt für alle ätze des Deutscen (wobei die korrekte yntax des Deutscen natürlic viel komplexer ist, aber das geört nict ierer) formal: für jede yntax-regel gibt es eine korrespondierende semantisce Regel bis jetzt sind das: NP, :: = ( NP ) NP N :: NP = N V :: = V 17/32 18/32

4 cönfinkelisierung Bedeutung transitiver Verben: zweistellige Relation z.b.: lieben { x, y love (x, y)} 1 Darstellung als carakteristisce Funktion: λ x, y E E.love (x, y) Lambda-Konversion: (λ x, y E E.love (x, y))( a, ) = love (a, ) cönfinkelisierung Was ist Bedeutung von liebt Hans? Die Menge der Individuen, die Hans lieben. liebt Hans = {x love (x, )} λx.love (x, ) liebt kann auc als Funktion aufgefasst werden, die Bedeutung von α auf Bedeutung von liebt α abbildet: liebt = λyλx.love (x, y) 1 Wir ignorieren für den Moment die ituationsabängigkeit. 19/32 20/32 cönfinkelisierung zweistellige Relation { x, y love (x, y)} wird also umgewandelt in zweistellige carakteristisce Funktion λ x, y.love (x, y), und diese in eine einstellige Funktion, deren Wert eine einstellige carakteristisce Funktion ist: generelle Tecnik: λyλx.love (x, y) { x, y R(x, y)} λ x, y.r(x, y) λyλx.r(x, y) Transitive Verben Beispiele: lieben, kennen, seen, elfen,... drücken zweistellige Relationen zwiscen Individuen aus plus ituationsabängigkeit: dreistellige Relation Maria siet Anna = λx.see (s, m, a) siet = λyλxλs.see (s, x, y) auc auf merstellige Relationen anwendbar: { x 1,, x n (x 1,, x n )} λx n..λx 1.(x 1,, x n ) Beacte: Reienfolge der Variablen im Lambda-Präfix ist piegelbild der Reienfolge im Argumentraster der Relation! 21/32 22/32 Transitive Verben :λs.see (s, m, a) NP:m :λxλs.see (s, x, a) N:m Maria V:λyλxλs.see (s, x, y) siet NP:a N:a Anna Regeln: NP, :: = ( NP ) NP N :: NP = N V :: = V V, NP :: = V ( NP ) Die kompositionale Analyse der Boolscen Operationen kann auc in dem neuen Format ausgedrückt werden: Logiscer Operator der kann auf zweierlei Weise im Dt. ausgedrückt werden: Es ist nict der Fall, dass Peter sprict. Peter sprict nict. semantiscer Effekt ist in beiden Fällen Komplementmengenbildung: Peter sprict nict = λs. speak (s, p) 23/32 24/32

5 ::λs. speak (s, p) Neue Regeln: 1 NegA, 2 :: 1 = NegA ( 2 ) 1 2, NegI :: 1 = NegI ( 2 ) NegA Es ist nict der Fall, dass :: NegA = λpλs. p(s) NegI nict :: NegI = λpλs. p(s) NegA::λpλs. p(s) ::λs.speak (s, ) Es ist nict der Fall, dass NP λxλs.speak (s, x) N Hans V λxλs.speak (s, x) sprict 25/32 26/32 λs.speak (s, ) Hans sprict λs. speak (s, ) NegI λpλs. p(s) nict atz-koordination Regeln: 1 2, Coor, 3 :: 1 = Coor ( 2 )( 3 ) Coor und :: λpλq.p q Coor oder :: λpλq.p q Merke: λs.φ λs.ψ = λs.(φ ψ) λs.φ λs.ψ = λs.(φ ψ) 27/32 28/32 atz-koordination λs.(speak (s, m) snore (s, )) -Koordination Koordination kann auc zwei n verknüpfen: Peter scläft und scnarct. Hans läuft oder stet. syntaktisce truktur: λs.speak (s, m) Coor λpλq.p q λs.snore (s, ) NP Maria sprict Hans scnarct Coor emantik: analog zu atzoperatoren Peter scläft und scnarct Peter scläft und Peter scnarct. 29/32 30/32

6 -Koordination Regeln: 1 2, Coor, 3 :: 1 = Coor ( 2 )( 3 ) Coor und :: λpλqλxλs.p(x)(s) Q(x)(s) Coor oder :: λpλqλxλs.p(x)(s) Q(x)(s) -Koordination NP N Hans λs.sleep (s, ) snore (s, ) λxλs.sleep (s, x) V λxλs.sleep (s, x) scläft λxλs.sleep (s, x) snore (s, x) Coor λpλqλxλs.p(x)(s) Q(x)(s) λxλs.snore (s, x) V λxλs.snore (s, x) scnarct 31/32 32/32

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