1 Kombinatorische. Digitaltechnik. Schaltungen. Boole sche Algebra. Gatter. Rechenregeln. Minimierung kombinatorischer Schaltungen

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1 A Digitltehnik Komintorishe Shltungen Boole she Alger Gtter Rehenregeln Minimierung komintorisher Shltungen Revision. Komintorishe Shltungen in Verilog Komintorishe Shltungen Boole she Alger Komintorishe Shltungen hen Eingänge un Ausgänge, un sin zyklusfrei Astrktion: Die Werte er Ausgänge sin urh eine Boole she Funktion er Eingänge gegeen Wirklihkeit: Shltverzögerung! (später) George Boole (85 864) Zwei Whrheitswerte: {, } (Konstnten) Vrilen: V = {x, y, z,...} Booleshe Opertoren:,,,, (steigene Priorität) Rehenregeln (später) Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 3 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 4 Semntik er Boole shen Alger Semntik er Boole shen Alger Semntik er Opertoren: x y x x y x y x y x y eine Belegung β ist eine Ailung β : V {, } eine Belegung wir rekursiv üer ie Formel-Struktur usgewertet eine Belegung β erfüllt eine Formel f gw. β(f) = eine Formel heißt erfüllr gw. es eine erfüllene Belegung git (engl. stisfile SAT) eine Formel heißt Tutologie gw. lle Belegungen erfüllen sin Formel g wir von Formel f impliziert (f g) gw. f g Tutologie Formeln f un g sin äquivlent (f g) gw. f g Tutologie Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 5 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 6

2 Bsis Gtter Teil I niht lle Opertoren sin notwenig eine Bsis B ist eine funktionle minimle Anzhl von Opertoren funktionl, heißt lle neren lssen sih mit rstellen Bezeihnung Booleshe Algerishe Tritionelles IEEE (Verilog) Logik Shreiweise Shltil Shltil Disjunktion ( ) x y x + y Beispiel: x y (x x) (y y) wenn nur NAND vorhnen tehnologish eingt ist s NAND sehr eliet Softwre Repräsenttion von Shltkreisen mit B = {, } Signe-An-Grphs Negierte Disjunktion (niht in Verilog) Konjunktion (&&) Negierte Konjunktion (niht in Verilog) (x y) x + y x y x y (oer x.y, xy,...) (x y) x y & & Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 7 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 8 Gtter Teil II Einfhe Rehenregeln er Booleshen Alger Bezeihnung Booleshe Algerishe Tritionelles IEEE (Verilog) Logik Shreiweise Shltil Shltil Exklusiv-Oer (ˆ) Äquivlenz (==) Impliktion (niht in Verilog) Negtion (!) x y (oer x y) x y (oer x = y) x y x y x y x x (oer x ) Konjunktive Disjunktive Formulierung Formulierung Kommuttivität x y y x x y y x Assozitivität x (y z) (x y) z x (y z) (x y) z Distriutivität x (y z) (x y) (x z) x (y z) (x y) (x z) De Morgn (x y) x y (x y) x y Iempotenz x x x x x x Controlling Vlue x x Neutrler Wert x x x x Doppelte Negtion ( x) x Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 9 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen De Morgn in Ation Komplexe Rehenregeln Teil I Shnnonshes Expnsionstheorem (Flluntersheiung) e x e[/x] x e[/x] Un-Oer Shltung lässt sih einfh ls NAND-Shltung rstellen! mit e, f Booleshe Ausrüke, x Vrile, e[f/x] Sustitution von x urh f in e. Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 2

3 Beispiel Shnnonshes Expnsionstheorem Komplexe Rehenregeln Teil II Beispiel: (zwei Drstellungen für Exklusiv-Oer) (x y) ( x y) x ( y) ( y) x ( y) ( y) x ( y) x y ( y) x y x y x y x y Ashwähung x y x, flls x y (y shwäher ls x). Verstärkung x + y x, flls y x (y stärker ls x). Konsensus (Flluntersheiung un Ashwähung) x y + x z + y z x y + x z Algerishe Shreiweise: (= sttt ist uh erlut) (x + y) (x + y) x y + x y Intuition: If-Then-Else shwäher ls Konjunktion von Then un Else. Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 3 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 4 Beweis Konsensus-Regel mit Funktionstelle Regelsierter Beweis Konsensus-Regel x y z x y + x z x y + x z + y z Mühsm für viele Vrilen (exponentielle Lufzeit)! (x y + x z + y z)[/x] y + z + y z Sustitution + z + y z Controlling Vlue + z + y z Non-Controlling Vlue z + y z Non-Controlling Vlue + z + y z Non-Controlling Vlue ( + y) z Distriutivität z Controlling Vlue + Anlog erhält mn (x y + x z + y z)[/x] y Mit Shnnonshem Expnsionstheorem: x y + x z + y z x (x y + x z + y z)[/x] + x (x y + x z + y z)[/x] x y + x z Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 5 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 6 Disjunktive Normlform (DNF) DNF-Beispiel gegeen eine feste Menge von Vrilen Literl ein Literl ist eine negierte oer unnegierte Vrile, z.b. x, x,, z, ein Prouktterm ist eine Konjunktion von Literlen, z.b x y,,... DNF Prouktterm ein ist ein mximler Prouktterm (enthält lle Vrilen) eine DNF ist eine Disjunktion von Proukttermen (wie im Beispiel) mn ezeihnet eine DNF uh ls ein Polynom ie Prouktterme heißen nn Monome Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 7 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 8

4 PLA Regelsierte Minimierung Annhme: Chipgröße in etw liner in er Größe er Formel in2 in in Gegeen: Zu implementierene Funktion f rgestellt ls Formel Gesuht: (möglihst) miniml große Formel g mit f g Beispiel: PLAs implementieren DNF out out Minimierung: Konsenus üer Verstärkung Konsensus üer Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 9 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 2 Zweistufige Logik Krnugh-Digrmme. Stufe 2. Stufe. Stufe 2. Stufe (gleihes Beispiel wie ei er Minimierung) uh Krnugh-Veith-Digrmme, KV-Digrmme, Krnugh-Mps, et. prktikel is zu 5 Vrilen 2-Dimensionle Anornung einer Funktionstelle enhrte Zellen untersheien sih in einem Bit Vrilen MinTerm Inex 2 3 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 2 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 22 Erzeugung es Gitters von Krnugh-Digrmmen Lesen von Krnugh-Digrmmen 8er un 4er Blöke Vrile 2 Vrilen Vrilen Vrilen 2 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 23 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 24

5 Lesen von Krnugh-Digrmmen 2er un er Blöke Minimierung mit Krnugh-Digrmmen ➀ Hinreihen großes Gitternetz erstellen ➁ Positive Literle mrkieren ➂ Zu mximlen Blöken zusmmenfssen ➃ Minimle Üerekung lesen Zur Üung: http: //teh- Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 25 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 26 Krnugh-Digrmme Beispiel Krnugh Mps mit Don t Cres Inex MinTerm Inex f Don t Cres können zur Vergrößerung von Blöken verwenet weren (müssen er niht geekt weren) Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 27 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 28 Impliknten un Primimpliknten Astrkte Minimierungsmethoe ein Impliknt einer DNF ist ein implizierener Prouktterm z.b. ein Monom oer er Konsensus zweier Monome Blok im Krnugh-Digrmm ein Primimpliknt ist ein mximler Impliknt entspriht mximlen Blok, er in keine Rihtung erweitert weren knn ein Kernimpliknt üerekt einen sonst niht üerekten ein reunnter Primimpliknt wir von Kernimpliknten üerekt z.b. er Konsens von zwei Primimpliknten Einfhe Konsensusregel x y + x y y (Beweis im Buh) Auh für mehr ls zwei Vrilen: +. Generiere lle Primimpliknten urh einfhe Konsensusregel 2. Gi Kernimpliknten us, in jeer minimlen DNF enthlten 3. Entferne reunnte Primimpliknten 4. Wähle minimle Üerekung us restlihen Primimpliknten Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 29 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 3

6 Quine-MCluskey-Verfhren Quine-MCluskey-Verfhren: Generierung er Primimpliknten Inex Gegeen Funktionstelle Inex Funktionswert Funktionswert (Ahtung: neres Beispiel ls eim Krnugh-Digrmm) Generierung ller Primimpliknten Shritt Inizes Anzhl Einsen nein 2 nein 8 nein 5 2 nein 2 nein 2 2 nein 3 3 nein 5 4 nein Primimpliknt (Gruppeneinteilung nh Anzhl Einsen reuziert Konsensusversuhe) Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 3 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 32 Quine-MCluskey-Verfhren Quine-MCluskey-Verfhren Generierung ller Primimpliknten Shritt 2 Inizes Anzhl Einsen, 2 nein, 8 nein 2, nein 8, nein 8,2 j 5,3 2 j 2,3 2 j 3,5 3 j Primimpliknt Generierung ller Primimpliknten Shritt 3 Inizes Anzhl Einsen Primimpliknt,2,8, j,8,2, reunnt Alle niht weiter vereinfhren Impliknten sin Primimpliknten: 8,2 5,3 2,3 3,5,2,8, Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 33 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 34 Quine-MCluskey-Verfhren Quine-MCluskey-Verfhren: Zusmmenfssung Fine minimle Üerekung mit Primimplikntentfel ,2 5,3 2,3 3,5,2,8, = e in Primimpliknten = e in Kernimpliknten = e üerekt von Kernimpliknten ➀ Alle Whrheitselegungen mit Whrheitswert us er Funktionstelle uswählen ➁ Mit er einfhen Konsensusregel lle Primimpliknten generieren ➂ Kernimpliknten suhen, reunnte Primimpliknten entfernen un Üerekung ller Primimpliknten estimmen ➃ Die Disjunktion er Primimpliknten er Üerekung ergit ie gewünshte minimierte Formel Minimlpolynom enthält lle Kernprimimpliknten, er nur entweer 8,2 oer 2,3 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 35 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 36

7 Quine-MCluskey mit Don t Cres Quine-MCluskey mit Don t Cres Generierung Primimpliknten Shritt Generierung Primimpliknten Shritt 2 MinTerm Inex 2 3 f Inizes Anzhl Einsen nein nein 3 2 nein Primimpliknt Inizes Anzhl Einsen, j,3 j Primimpliknt Der Don t Cre wir zunähst norml ls ehnelt Primimpliknten weren wie gewohnt estimmt Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 37 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 38 Quine-MCluskey mit Don t Cres Zusmmenfssung zweitstufiger Minimierung Quine-MCluskey ist exponentiell in er Anzhl e Minimle Üerekung mit Primimplikntentfel 3,,3 Ignoriere lle Don t Cre Splten! exponentiell viele Primimpliknten un Üerekungsprolem NP-vollstänig Heuristiken! Espresso von Berkeley ls Stnrverfhren: Komplementierung: Berehnung er Negtion einer DNF ls DNF Expnsion: Erweitern von Impliknten zu Primimpliknten Reuktion: Entfernen von reunnten Primimpliknten Wieerholung: solnge Kosten (z.b. Anzhl Gtter) sih verringern Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 39 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 4 Mehrstufige Logik Minimierung Mehrstufige Logik Kürzere Shltzeit e Weniger Gtter Fktorisieren: + e + + e ht mehr Gtter ls ( + ) ( + e) führt zu mehrstufiger Logik (multi-level logi) Treoff zwishen Lufzeit un Pltz (siehe später Aierer) e Beie Shltkreise sin äquivlent! keine exkten Verfhren vorhnen! SIS Synthese Werkzeug Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 4 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 42

8 Verilog Verilog Moule Sprhe zur Beshreiung von Shltungen Üersetzung in Shltung: Synthese Verilog Moelle estehen us mehreren Moulen Mehrere Stufen:. Netzliste (Grph us Gttern) 2. Größenimensionierung er Gtter 3. Gtter weren pltziert un verrhtet (ple n route) jees Moul ht ein Interfe, s ie Inputs un Outputs efiniert Vor niht llzu lnger Zeit: CAD Zeihnungen einzelner Trnsistoren! Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 43 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 44 Einfhes Beispiel Fortsetzung zum einfhen Beispiel moule min(input lk, shlter, output lmpe); wire x; ssign x=!shlter; 5 ssign lmpe=x; enmoule input Eingng, output Ausgng, inout iirektionle Ports wire generiert ein Kel Verinungsmöglihkeiten weren in er Klmmer eshrieen (Semikolon nh er Klmmer niht vergessen) mit ssign x=!shlter; wir x s Resultt von!shlter zugewiesen (ssigne) Rumpf es Mouls enthält Implementierung! ist (wie C/C++, Jv,... ) Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 45 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 46 Bezeihner, Spes un Kommentre Komintorishe Shltungen in Verilog Verilog untersheiet Groß- un Kleinshreiung (wie C, JAVA) Bezeihner estehen us Buhsten, Zhlen un Espe-Mehnismus: \$ein+fny%bezeihner zeilenweise Kommentre eginnen mit Prefix // ähnlih en // Kommentren in C++ (unersore) z Mehrfhzeilen-Kommentre mit /*... */ wie in C Spes, Zeilenumshltung, Tultor trennen Tokens Semikolon efiniert s Ene von Befehlen moule omintionl funtion(input,,, output z); ssign z = (! && ) ( && ); 5 enmoule Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 47 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 48

9 Netzlisten-Implementierung Netzlisten-Implementierung moule omintionl funtion(input,,, output z); ssign z = (! && ) ( && ); 5 enmoule moule (input,, i, output s, o); ssign s = ˆ ˆ i ; ssign o = ( && ) ( && i) ( && i); enmoule INV z o o AND2 OR2 i i AND2 Synthese es Verilog Coes mit Xilinx ISE generiert strukturelle Netzliste Noh niht tehnologiehängig XOR3 s Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 49 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 5 Komintorishes mit em FPGA-Bor (I) Komintorishes mit em FPGA-Bor (II) Der Prozess Assign Pkge Pins weist einem Input/Output ein Beinhen es FPGAs zu Die Beinhen sin fest mit en LEDs, Tstern/Shltern verunen siehe erste Rehnerüung 2 FPGA von Xilinx 2 2 Stromversorgung 2 3 Leuhtioen (LEDs) 2 4 Shieeshlter 2 5 Tster Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 5 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 52 Komintorishes mit em FPGA-Bor (III) Moulhierrhie Moule können zu größeren Moulen kominiert weren: moule 2 (input,,,, i, output s, s, o); wire ; A(,, i, s, ); 5 A2(,,, s, o); enmoule moule 2 wire i i o i s s o o s s Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 53 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 54

10 Behviorl Moeling Beispiel Es git eine Alterntive zu wire un ssign: moule lso om(input,, i, output s, o); reg s, o; 5 i) egin s = ˆ ˆ i ; o = ( && ) ( && i) ( && i); en enmoule moule ifthen exmple(input,,, output x); reg x; 5 ) egin x=; if ( ) x=; en enmoule Ählih wie sequentielle Progrmmiersphe, er komintorish! Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 55 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 56 Ahtung! Mini-Quiz moule thing(input [4:] in, in2, input s, output reg [4:] out); Mehrfhzuweisungen möglih Jees Ausgngssignl muss uf llen Pfen zugewiesen weren! Die muss vollstänig sein! integer i ; 5 reg [4:] t2, t; in2, s) egin i=4; while ( i>=) egin t[ i ] = s && in[i ]; t2[ i ] =!s && in2[i ]; i = i ; en out = t t2; 5 en enmoule Welhes Buteil stellt thing r? (Klusur Frühling 28) Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 57 Digitltehnik Kpitel : Komintorishe Shltungen 58