2.1. Durchflussgleichung, Kontinuitätsgleichung, Bernoulligleichung, Verluste in Rohrleitungen

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1 36.. Durchflussgleichung, Kontinuitätsgleichung, Bernoulligleichung, Verluste in Rohrleitungen Fundamentale strömungsmechanische Zusammenhänge sind ohne Kenntnisse der Durchflussgleichung und der Kontinuitätsgleichung nicht lösbar. Bei den folgenden Betrachtungen wird on der eindimensionalen, stationären Strömung ausgegangen. Durchflussgleichung. ds A. ds über A konst., hieraus Stromfadentheorie Volumenelement in einer Stromröhre Volumenstrom V : Mit der Definition des Volumenstroms dv V dt und dem in der Abbildung erkennbaren infinitesimal kleinen Volumen dv dv Ads (wobei ds A)

2 37 wird Des Weiteren ist und somit folgt ds V A. dt ds c dt V c A. Zu beachten ist, dass c A. Voraussetzung bei dieser Herleitung ist die "ortsfeste Stromröhre" = zeitlich uneränderlicher Querschnitt A sowie eine über ds ernachlässigbare Querschnittsänderung da.. Bei gleichförmiger c-verteilung über dem Querschnitt A, also c c (Rechteckerteilung), wird: V c A. Bei ungleichförmiger c-verteilung über dem Querschnitt A erhält man: Ungleichmäßige Geschwindigkeitserteilung in einer Stromröhre dv c(r) da da = r dr dv rdr c(r) V R 0 rc(r)dr

3 38 3. Mittlere Geschwindigkeit aus gegebener Geschwindigkeitserteilung: V V c A ca R 0 R 0 r c(r)dr c R rc(r)dr cr R c rc(r) dr R 0 Anwendung der Stromfadentheorie auf Stromröhre mit inhomogener c- Verteilung. Massenstrom m : Mit der Masse und m V Dm m dt m m Dm d dv V = V = Dm Vd dv m Dm dt d V dt = 0 = V Bei stationären Strömungen ist die Dichte an jeder Stelle zeitlich konstant, somit d 0 dt. Kontinuitätsgleichung m V c A Nach Massenerhaltungsgesetz bleibt die in einem abgegrenzten Fluidolumen befindliche Masse erhalten, das heißt die Summe der eintretenden Massenströme ist gleich der Summe der austretenden Massenströme. Bei einer Stromröhre können aufgrund ihrer Definition über die Mantelflächen keine Massenströme treten, dies ist nur über die Flächen der Randkuren möglich. Somit ist m m m const dv dt

4 39 Mit m V ca erhält man allgemein (auch bei kompressiblen Fluiden) A c A c Ac const Bei Flüssigkeiten (inkompressibel) mit const wird: V c A V c A const also c A c A ca V const Bernoullische Gleichung

5 40 Ausgehend om Kräftegleichgewicht an einem Fluidelement, welches sich entlang einer Stromlinie (=Bahnlinie) bewegt, lässt sich das erste Newtonsche Gesetz anwenden n F ma i z n da s x do S ds dz mittlerer Stromfaden z R Kr dz = ds sin M Kr Bezugsebene, z.b. Erdoberfläche. Prinzipskizze zur Herleitung der Eulerschen Bewegungsgleichung F i Summe aller äußeren am Fluidteilchen angreifenden Kräfte. + in Strömungsrichtung - entgegen Strömungsrichtung Gemäß den Abbildungen erhält man: df p, df G sin df p, df R dma = 0: siehe ideales Fluid pda (p dp)da gdmsin dma

6 4 dpda gdmsin dma Mit dm dv da ds dpda g dadssin dadsa dp g dssin dsa : dp gdssin dsa 0 dz dp g dz ds a 0 ; dc a bei stationärer Strömung dt ds dp g dz dc 0 dt Bei eindimensionaler, stationärer Strömung hängt die Geschwindigkeit c nur om Weg s und nicht on der Zeit ab: c c(s) Die Geschwindigkeitsänderung Dc dagegen bei eindimensionaler, instationärer Strömung gemäß Totalem Differential lautet: c c Dc ds dt ; s t dct const dcs const c c ds Somit stationär dp g dz ds dt 0 s t dt ds Mit c(s) dt = 0 c wird dp g dz ds c 0. s Hieraus folgt: dct const dp g dz cdc 0 Eulersche Bewegungsgleichung der eindimensionalen, stationären Strömung des idealen

7 4 Fluids.. Abmessungen und Kräfte am Fluidelement Teilchenabmessungen ds dn b da do z dz dm Elementlänge (Koordinatensystem so, dass s in c-richtung liegt) Elementhöhe (n-koordinate senkrecht s-richtung) Elementbreite (senkrecht Zeichenebene) Stirnfläche = dn b Ober-, Unterfläche = ds b Abstand des Teilchens zur Bezugslinie elementare Höhe = ds sin Elementmasse = ds dn b

8 43 Kräfte am Element auf dem mittleren Stromfaden an der Stelle S: dffkr dfp dfp dfpn dfpn Zentrifugalkraft aufgrund Bewegung entlang gekrümmter Bahn = dm c²/rkr.= ds dn b c²/rkr Druckkraft auf linke Stirnfläche da in Bewegungsrichtung = p da = p dn b. Druckkraft auf rechte Stirnfläche da entgegen Bewegungsrichtung = (p + dp) da = (p+dp) dn b. Druckkraft auf Elementunterfläche do in Krümmungsrichtung = pn do = pn ds b. Druckkraft auf Elementoberfläche do entgegen Krümmungsrichtung = (pn+dpn) do = (pn+dpn) ds b. dfg Gewichtskraft des Elements = gdm = g dv = g ds dn b dfr Reibungskraft = do Die unbestimmte Integration eines dichtebeständigen, das heißt inkompressiblen Fluids ergibt dann die Bernoullische Gleichung dp g dz cdc C p c g z C = Integrationskonstante oder Bernoullische Konstante Dies ist die Bernoullische Gleichung als Energiegleichung mit p 3 Nm Nm J : spez. Druckenergie m kg kg kg m m Nm J g z : spez. Lageenergie kg s kg kg kg c : spez. Geschwindigkeitsenergie m kg Nm J s kg kg kg

9 44 Als Druckgleichung formuliert: p g z c C p : statischer Druck N Pa p stat m : geodätischer Druck kg m N m 3 m s m g z c Pa kg m N : dynamischer Druck Pa p 3 dyn m s m (Staudruck) Häufig formuliert man die "Druckgleichung" auch wie folgt (ohne "geod. Druck", d.h. bei horizontalen Anwendungen bzw. wo gh ernachlässigbar) p g p tot pstat. pdyn. Als Höhengleichung formuliert: p g z g c C p g 3 N m s : Druckhöhe m m kg m z : geodätische Höhe c g : Geschwindigkeitshöhe m s m s m C : Gesamthöhe m In den folgenden Kapiteln wird nur on der Energieform der Bernoullischen Gleichung Gebrauch gemacht. Zwischen zwei Punkten auf einem Stromfaden und lautet somit die Bernoulligleichung

10 45 p c p c g z g z (erlustfrei) Bernoullische Energiegleichung für ruhende Systeme, stationäre Strömung realer Fluide, eindimensional. Unter Berücksichtigung der Reibungskräfte zwei Stellen eines Stromfadens angeben: df R lassen sich folgende Gleichungen zwischen p c p c. Energieform : g z g z V, V, : Verlustenergie zwischen. Druckform : p c g z p c g z p V, p : Druckerlust zwischen V, p c p c 3. Höhenform : z z ZV, g g g g Z : Verlusthöhe zwischen V, Das heißt, die Summe der drei Größen unterscheidet sich im Realfall um die Verluste p, c, gz ist nicht immer konstant, sondern V. Die Energieanteile bei einer mit Gefälle erlaufenden, reibungsfreien Rohrströmung sind in der Abbildung exemplarisch dargestellt. Die Bernoullischen Gleichungen sind streng genommen nur für die Stromlinien anwendbar. Unter Voraussetzung gleich bleibender Geschwindigkeiten über dem Strömungsquerschnitt ( c c ) können sie aber auch allgemein erwendet werden.

11 Energieanteile bei einer mit Gefälle erlaufenden Rohrleitung 46

12 47 Verlustenergie in Rohrleitungen Verlustenergie bei ausgebildeter laminarer Rohrströmung : Mit der Definition der Reynoldszahl bei Rohrströmungen wird c D Re 64 L c Re D Dies ist das Hagen-Poisseuillesche Gesetz der laminaren Rohrströmung. Führt man die Rohrreibungszahl der laminaren Rohrströmung ein, so wird 64 Re L c. D Merke: ist bei laminarer Rohrströmung unabhängig on Rauhigkeit. Bei laminarer Rohrströmung sind Verluste linear abhängig on der Geschwindigkeit c gemäß: Verlustenergie ausgebildeter turbulenter Rohrströmung l c gemäß Darcy D : Rohrreibungszahl der turbulenten Rohrströmung: Diese lässt sich nicht theoretisch herleiten, sondern kann nur im Versuch ermittelt werden.

13 48 Die Rohrreibungszahl der turbulenten Rohrströmung hängt on der Reynoldszahl Re und der Rohrrauhigkeit k s D ab: k Re, f s D k s : Äquialente Sandrauhigkeit nach Nikuradse Ein Rohr mit der natürlichen Rauhigkeit k hat den Rauhigkeitswert k s einer definierten künstlichen Sandrauhigkeit, wenn bei gleichen geometrischen Abmessungen, gleichem Volumenstrom und Fluid dieselben Verluste entstehen. Bei technischen Oberflächen (Gießen, Drehen, Fräsen, etc.) gilt: k s (,6) k meist k s k k : tatsächlich gemessene Oberflächenrauhigkeiten; liegen in Tabellen or. k s : liegt dem Diagramm k Re, s zugrunde D Folgende, für erschiedene Re Gesetze der Rohrreibungszahlen sind bekannt. -Zahlenbereiche und Oberflächenbeschaffenheiten gültigen Abhängigkeiten der Rohrreibungszahl. Laminares Gebiet: Re < 30 = f (Re). Turbulentes Gebiet: Re > 30.. Hydraulisch glattes Verhalten = f (Re)

14 49.. Mischgebiet = f (Re; ks/d).3. Raues Verhalten = f (ks/d) Gleichungen der Rohrreibungszahl. Laminares Gebiet: Re < Re. Turbulentes Gebiet: Re > 30.. Hydraulisch glattes Verhalten Blasius 0 364, 4 Re : 30 < Re < 0 5 Nikuradse ,, Re, : 0 5 < Re < 0 8 Prandtl-Colebrook log Re 0, 8 : Re > 30.. Mischgebiet log, 5 Re k S 0, 7 D.3. Raues Verhalten, 4 log ks D

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16 5 Hydraulischer Durchmesser: Der "Hydraulische Durchmesser" wird in der Literatur auch öfters Gleichwertigkeitsdurchmesser benannt. Um die Anwendung der Widerstandszahlen auch auf beliebige Querschnitte zu erweitern, wird dieser so genannte Hydraulischer Durchmesser d eingeführt, der sich wie folgt bestimmen lässt. Fluidolumen in einem Rechteckkanal mit Kern F 0 p A i p A p p A O ; gr O kl gr O gr kl O kl p (Annahme) gr kl p p wegen Verlusten zwischen p p O O gr O A O A = Gesamte benetzte Oberfläche kl

17 5 Man führt nun ein gedachtes Ersatzrohr (Index: "") mit dem Durchmesser d ein, an dem derselbe Druckunterschied p, p dieselbe Wandschubspannung und dieselbe Länge L orliegen soll: p A d L p 4 d L d p 4 d L p 4 L d Somit O 4L / ; da A d O U U L U L gr kl d A 4 L U L 4 A d U A : durchströmter Querschnitt U : Gesamter benetzter Umfang

18 53 Reibungserluste bei unrunden Querschnitten lassen sich somit wie folgt bestimmen. V L d c d (siehe oben) c = V A = f Re k ; d S Re = c d Bei glatten Oberflächen (Schiller, Nikuradse), turbulent 0,36 4 Re Bei rauen Oberflächen: wie Kreisrohr Mischgebiet k S f Re ; : d

19 54 Rohreinbauten Außer geraden Rohrstrecken finden erschiedene Formteile des Rohrleitungsbaus in diesbezüglichen Anlagen Verwendung: - Formteile für Richtungsänderungen - Formteile für Querschnittsänderungen - Formteile für Durchflussänderungen - Armaturen Bei der Ermittlung der Verlustenergie der betreffenden Rohreinbauten geht man on der Darcyschen Widerstandsgleichung aus. c Formteile für Richtungsänderungen (Krümmer) Die Strömungsorgänge in Krümmern sind sehr erwickelt und können hier nicht im Einzelnen besprochen werden. Die Verluste werden aus Einflüssen der - Ablösung (Totraumbildung) - Sekundärströmung (Doppelwirbel) - Wandreibung bestimmt. Die diesbezügliche Verlustziffer Kr gemäß,kr Kr c weist folgende Abhängigkeiten auf. Diese können, müssen aber nicht immer gleichzeitig orliegen. Kr f, R Kr, D Re, k s D Geometrie Rauhigkeit

20 55 Formteile der Querschnittsänderung Die Strömungserluste in den nachstehenden Formteilen beruhen auf reibungsbedingten Wirkungen (laminare und turbulente Schubspannungen) und häufiger noch auf Verwirbelungen nach Strömungsablösungen. Zur besseren Übersicht erfolgt anschließend eine Zusammenstellung dieser Gleichungen. Unstetige Erweiterung Auf c bezogen: c A A A A Auf c bezogen: c A A A A Stetige Erweiterung (Gerader Diffusor) Auf c bezogen: c A D A A A Auf c bezogen: c A D A A A Bei Öffnungswinkeln 4 kann man in erster Näherung setzen: 0,800, 85 D

21 56 Unstetige Verengung Auf c bezogen: c A A A A : Kontraktionszahl = f (A/A; Kantenform) Auf c bezogen: c A A Stetige Verengung (Gerader Konfusor, Düse) Auf c bezogen: c A Dü A A ; A k s Dü f ; Re; D Dü 0,93 bei 4 Dü 0,98 bei 0 A 0,0 0,075 A 0 4 Auf c bezogen:

22 57 c A A Dü A 0,0 0,075 A 0 4 Armaturen Armaturen haben die Aufgabe, durch Drosselung (Verlusterzeugung) in (und nach) diesen Elementen, den Massen- bzw. Volumenstrom zu regeln. Es gibt im Wesentlichen drei Gruppen: die dieser Aufgabe nachkommen. - Ventile - Schieber - Hähne, z. B. Schiebererlustziffer in Abhängigkeit om Öffnungserhältnis a/d Zur Ermittlung der Verluste wird wieder c

23 58 benutzt. Hierbei ist c die im unersperrten Querschnitt druck- oder saugseitig orliegende mittlere Geschwindigkeit. Die Verlustziffer ändert ihren Wert on demjenigen bei öllig geöffnetem Zustand bis zu dem des geschlossenen Zustands. Neben der Abhängigkeit der Verlustziffern genannter Armaturen om Schließzustand a D Exemplaren auch eine Größenabhängigkeit (Nennweite D) bekannt. ist bei erschiedenen