Vertrauensintervalle für multiple Vergleiche bei ungleichen Standardfehlern der Differenzen

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1 Hans-Peter Pepho Vertrauensntervalle für multple Vergleche be unglechen Standardfehlern der Dfferenzen De vorlegende Arbet stellt en Verfahren vor, mt welchem Vertrauensntervalle für Behandlungsmttelwerte berechnet werden können. Dese ntervalle egnen sch zum multplen Verglech von Mttelwerten. Se können auch be unbalancerten Daten angewendet werden und snd von besonderem Vortel, wenn de Zahl der Behandlungen so groß st, dass ene paarwese Betrachtung aller Dfferenzen unpraktkabel st. Enletung Multple Vergleche snd en sehr häufg angewendetes Verfahren zur Auswertung von Versuchen und Erhebungen. Herbe werden verschedene Behandlungen mtenander verglchen. Angenommen, θ se en zu schätzender Parameter der -ten Behandlung ( =,..., ), bespelswese der Erwartungswert oder en addtver Effekt, und es sollen alle paarwesen Vergleche durchgeführt werden. Herzu können smultane Konfdenzntervalle für de Dfferenzen aufgestellt werden nach θ θ θˆ θˆ ± d ], () ' [ ' ' wobe θˆ de Schätzung von θ st und d ' de halbe ntervallbete der Dfferenz darstellt. Enthält en ntervall den Wert 0, so snd de betreffenden beden Behandlungen ncht sgnfkant vonenander verscheden. De halbe ntervallbrete d ' berechnet sch m allgemenen nach d ' q ' ( θˆ θˆ ) = geschätztevaranz von (2) wobe q ' das Quantl ener geegneten Prüfvertelung st. De Wahl von q ' hängt u.a. davon ab, ob der verglechsbezogene oder der versuchsbezogene Fehler. Art engehalten werden soll (Hochberg und Tamhane, 987; Hsu, 996). Das Zel der vorlegenden Arbet st de graphsche Darstellung der durch de Vertrauensntervalle n () gegebenen nformaton. Herbe soll um jeden Schätzwert en ntervall der Form θ ˆ ± w ] (3) [ gelegt werden, so dass folgende Aussage möglch st: Überlappen sch de ntervalle zweer Behandlungen, so snd dese Behandlungen ncht sgnfkant vonenander verscheden (vgl. Abb.). Ene solche Darstellung st den paarwesen Vertrauensntervallen für alle Dfferenzen () vorzuzehen, da anstelle von ( )/2 ntervallen ledglch ntervalle zu betrachten snd. Es sollte an deser Stelle ausdrücklch darauf hngewesen werden, dass de n deser Arbet dskuterten ntervalle der Form n (3) ausschlesslch zur Beurtelung von ' Mttelwertdfferenzen, ncht aber der Mttelwerte θ selbst herangezogen werden können. 2 Methode Das n der Enletung beschrebene Vorgehen zur Berechnung von Vertrauensntervallen der Dfferenzen () glt ganz allgemen, nsbesondere für das lneare Modell (LM), das lneare gemschte Modell (LMM) und das generalserte lneare Modell (GLM). Zur Enhaltung des verglechsbezogenen Fehlers wrd für das LM en t-quantl für q ' gewählt. Für das LMM st en approxmatves ntervall baserend auf der t-vertelung (Gesbrecht und Burns, 985) oder der Standardnormalvertelung möglch. Für das GLM st q ' das Quantl der Standardnormalvertelung (McCullagh und Nelder, 989). Be Überdsperson st das Quantl ener t- Vertelung vorzuzehen (McCullagh, 983). Tests m GLM snd mest nur approxmatv gültg. De Enhaltung des versuchsbezogenen Fehlers. Art für LM, LMM und GLM st m allgemenen mt Hlfe der Unglechung von Bonferron möglch. m LM können alternatv de Unglechung von Sdak (Hsu, 996) oder das Smulatonsverfahren von Edwards und Berry (987) verwendet werden. n engen Fällen snd m LM spezelle Verfahren verfügbar we z.b. de Tukey-Kramer Prozedur für de unbalancerten enfaktore l- len Varanzanlyse. Nun zur Berechnung der Vertrauensntervalle (3). m varanzbalancerten Fall, also wenn de geschätzte Varanz von θˆ ˆ θ ' konstant für alle Vergleche st und somt d ' = d, so wählen wr enfach w = 0.5d. Hermt werden alle Vergle - che exakt abgebldet. m unbalancerten Fall st dagegen ledglch ene konservatve Lösung möglch (Hochberg et al., 982). Wr wählen w unter den Nebenbedngungen w + w ' d ' für alle ' und (4) w 0 (5) De Nebenbedngung (4) stellt scher, dass de ntervalle de vorgegebene rrtumswahrschenlchket konservatv enhalten. De w werden nun so gewählt, dass de ntervalle möglchst klen snd, dabe aber (4) und (5) engehalten werden. Zur Wahl von w gbt es zwe verschedene, relatv 54

2 ähnlche Vorschläge (Hochberg et al., 982; Hochberg und Tamhane, 987): Mnmere ( w + und (6) Mnmere = + w ' ) ( w + w ' ) / d' = +, (7) jewels unter den Nebenbedngungen (4) und (5). Bede Anwesungen snd Spezalfälle der Anwesung Mnmere ( w + w' ) /( d' ) = + φ (φ 0), (8) welche m folgenden verwendet wrd. Herbe st φ en Parameter, dessen Wert durch Proberen so zu wählen st, dass alle Sgnfkanzen abgebldet werden können. Es gbt n der Regel vele Werte für φ, de dese Bedngung erfüllen. Allerdngs kann auch der Fall entreten, dass ken Wert für φ ene Darstellung aller Sgnfkanz erlaubt. n anderen Worten, es st möglch, dass de ntervalle für zwe Behandlungen überlappen, obwohl dese Behandlungen sgnfkant verscheden snd. Des trtt vor allem n solchen Fällen auf, n denen der betreffende Verglech an der Sgnfkanzgrenze st. Für enen gegebenen Wert von φ stellt de Anwesung (8) en klasssches Problem der lnearen Optmerung dar, für das als Standardlösung der Smplex-Algorthmus zur Verfügung steht (Bronsten, 989). Wr verwenden her de SAS/ML Subroutne LNPROG (SAS nsttute, 989, S. 38ff.) zur Lösung von (8). Man beachte, dass wr durch de Vertrauensntervalle (3) mplzt de halbe ntervallbrete approxmeren durch d ' (w + w ' ) (9) Wegen der Nebenbedngung (4) snd de ntervalle n der Regel konservatv, also breter als zur Enhaltung der rrtumswahrschenlchket notwendg. m varanzbalancerten Fall glt d ' = w + w ', so dass ken Approxmatonsfehler vorlegt und de rrtumswahrschenlchket exakt engehalten wrd. 3 Bespel Zur Erläuterung der Methode verwenden wr ene unbalancerte Sere von Versuchen mt Trtcale (vgl. auch Pepho, 2000). De Enzelversuche waren als Blockanlage ausgelegt. Von den nsgesamt = 560 möglchen Ko m- bnatonen Sorte Jahr Ort Block wurden nur 96 beobachtet, so dass de Daten stark unbalancert snd. Zur Auswertung wurde das folgende gemschte Modell mt der SAS Prozedur MXED angepasst (zufällge Terme unterstrchen): Ertrag = Sorte + Jahr + Ort + Sorte*Ort + Sorte*Jahr + Jahr*Ort + Sorte*Ort*Jahr + Block(Ort*Jahr) + Fehler (0) Es wurde en multpler t-test zum verglechsbezogenen Nveau α = 5% durchgeführt. De Frehetsgrade wurden nach Gesbrecht und Burns (985) approxmert. De generalserten Klenstquadrat-Mttelwerte snd n Tab. aufgeführt. Es stellte sch heraus, dass be Anwendung von (8) mt φ = 0 und φ = de Sgnfkanz der Dfferenz von C52 und C78 verloren geht, ncht aber mt φ = 0,5. Daher wrd her φ = 0,5 verwendet. De paarwesen Vergleche fnden sch n Tab.2. De approxmatven ntervalle (3) snd n Abb. wedergegeben. De Summe der approxmerten halben ntervallbreten st ( w + = + w ' ) = 220, während de Summe der tatsächlchen ntervallbreten gegeben st durch = + d ' = 75. Somt st de Approxmaton als relatv gut zu bezechnen. m Enzelfall kann de Dskrepanz aber recht deutlch ausfallen. De größte Abwechung zwschen d ' und w + w ' ergbt sch für den Verglech C7 vs. C0 (d ' = 8,99; w + w ' = 24,44). Der "reale α-wert", d.h. derjenge α-wert, für den der berechnete Wert für d ' der approxmatven halben ntervallbrete w + w für das nomnale α entsprechen würde, beträgt her 0,04 statt des nomnalen Nveaus von 0,050 (Tab.2), so dass das ntervall relatv konservatv st. Für de anderen Vergleche st das reale α zum größten Tel deutlch näher am nomnalen Wert, so dass der Verlust an Trennschärfe gernger ausfällt, und für vele Vergleche snd reales und nomnales α sogar dentsch. Trotz des mt der Approxmaton enhergehenden nformatonsverlustes können alle Sgnfkanzen abgebldet werden. Abb. st m.e. ener paarwesen Betrachtung aller 3 2/2 = 78 (!) ntervalle oder Tests für Dfferenzen (Tab.2) vorzuzehen. C99 C79 C78 C70 C67 C65 C58 C55 C52 C38 C0 C7 C Mttelwert (dt/ha) Abb.: Vertrauensntervalle um Mttelwerte (dt/ha) der Sorten des Trtcale-Datensatzes zur Beurtelung von Mttelwertdfferenzen [Behandlungen, deren ntervalle sch überlappen, snd ncht sgnfkant vonenander verscheden (α = 5%, verglechsbezogen). Es geht kene sgnfkante Dfferenz be deser Darstellung verloren. φ = 0,5.]. 55

3 Tab.: Generalserte Klenstquadratschätzungen der Sortenmttelwerte (dt/ha) der Trtcale-Daten. Sorte Mttel 4 En SAS Macro Standardfehler C55 97, 6,89 a C65 86,6 7,27 a b C79 86,2 8,3 a b C70 85,2 7,27 b C58 84,7 7,5 b C67 84,2 7,5 b C52 80,6 6,96 b Grupperung* C0 78,0 9,84 b c d C38 77,3 6,67 b c C7 76,8 9,84 b c d C2 76,6 7,30 b c d C78 65, 8,73 c d C99 60,3 9,70 d *: Behandlungen, de mt demselben Buchstaben versehen snd, snd ncht sgnfkant vonenander verscheden. Vergleche mt t- Test (α = 5% verglechsbezogen) und Frehetsgraden nach Gesbrecht und Burns (985). Buchstabendarstellung nach Pepho (2000). ch habe en SAS Macro geschreben, welches das her beschrebene Verfahren für LM und LMM mt Hlfe der des Modules ML umsetzt. Das Macro wrd unter verfügbar gemacht. Es verwendet Output der SAS Prozedur MXED (Verson 6.2) und st we folgt defnert: %macro mcagraph(dff=, lsmean=, error='comp', alpha=0.05, ph=0); De Date dff enthält de paarwesen Vergleche we se mt Hlfe der 'Dffs' Tabelle von MXED (MAKE Anwesung) erhalten werden kann. De Date lsmean enthält de Behandlungsmttelwerte und wrd über de 'LsMeans' Tabelle von MXED erzeugt (MAKE Anwesung). De Varable error gbt vor, ob der verglechsbezogene Fehler. Art (error='comp'; Vorenstellung) oder der versuchsbezogene Fehler. Art (error='exp') mt Hlfe der Bonferron- Unglechung kontrollert werden soll. De Varable alpha gbt den α-fehler vor (Vorenstellung α = 0.05). Der Parameter φ des zu mnmerenden Krterums (8) wrd durch de Varable ph festgelegt (Vorenstellung φ = 0). Für das Trtcale-Bespel benötgen wr de Daten n enem Datensatz mt den Varablen sorte, ort, jahr, block und ertrag mt ener offenschtlchen Belegung deser Bezechnungen. Zunächst wrd das Macro verfügbar gemacht (Macro n den Edtor laden und 'abschcken' oder de %NCLUDE Anwesung verwenden). Dann werden de Daten mt der Prozedur MXED durch untenstehende Anwesungen ausgewertet: data temp; nput sorte ort jahr block ertrag; cards; <Daten> ; proc mxed data=temp; class sorte ort jahr block; model ertrag=sorte/ddfm=satterth; random jahr ort jahr*ort sorte*jahr sorte*ort sorte*ort*jahr block(ort*jahr); lsmeans sorte/pdff; make 'dffs' out=dff; make 'lsmeans' out=lsmean; run; Abschlessend wrd das Macro we folgt aufgerufen: %mcagraph(dff=dff, lsmean=lsmean, error= 'comp', alpha=0.05, ph=0.5); Der Output enthält zum enen de Mttelwerte (_LSMEAN_) und Vertrauensntervalle (_LOWER_, _UPPER_): lsmeans wth confdence lmts SORTE _LSMEAN LOWER UPPER_ Zum anderen werden de 'verlorenen' sgnfkanten Dfferenzen (_DFF_) mt Überschretungswahrschenlchket des t-tests (_PT_) ausgegeben. Mt φ = 0,5 ergbt sch kene verlorene Sgnfkanz. Mt φ = 0 dagegen erhalten wr ene verlorene Sgnfkanz: lost sgnfcances SORTE _SORTE _DFF PT_ Da das Macro Output der SAS Prozedur MXED verwendet (SAS nsttute, 997), st es für LM und LMM geegnet. Zur Anwendung be GLM muss zuvor en SAS-Datensatz erstellt werden, welcher de nformaton über de paarwesen Vergleche m selben Format we de 'Dffs' Tabelle von MXED enthält. Auch de Sorterung der Vergleche muss sch an dese Tabelle anlehnen. De paarwesen Vergleche können z.b. mt der CONTRAST Anwesung n der Prozedur GENMOD (SAS nsttute, 997) durchgeführt werden. 56

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5 5 Abschleßende Bemerkung De graphsche Darstellung von Konfdenzntervallen für Mttelwertdfferenzen hat den Vortel der Überschtlchket und der Möglchket, neben den Sgnfkanzen auch de Genaugket der Schätzungen von Mttelwertdfferenzen darstellen zu können. En Nachtel besteht n der Enbusse von Trennschärfe be unbalancerten Daten. Als Alternatve für ene kompakte graphsche Darstellung kommt de Buchstabendarstellung n Frage, welche auch m unbalancerten Fall mmer ene Abbldung aller Sgnfkanzen erlaubt (Pepho, 2000). Allerdngs kann dese Darstellung be ener großen Zahl von Mttelwerten unüberschtlch werden. Außerdem lefert de Buchstabendarstellung m Gegensatz zu den her vorgestellten ntervallen kene Aussage über de Genaugket der Mttelwertdfferenzen. 6 Danksagung ch danke Frau PD Dr. M. Karpensten-Machan (nsttut für Nutzpflanzenkunde, Unverstät-Gesamthochschule Kassel) sowe den betelgten Landesanstalten und Landwrtschaftskammern für de Trtcale Daten. Außerdem bedanke ch mch be Herrn Dpl. ng. agr. V. Mchel (Landesforschungsanstalt für Landwrtschaft und Fschere Mecklenburg-Vorpommern, Gülzow) sowe den Gutachtern für hlfreche Kommentare. 7 Lteratur BRONSTEN,.N., Semendajew, K.A. (989): Taschenbuch der Mathematk. Thun, Frankfurt/Man. EDWARDS, D.G., Berry, J.J. (987): The effcency of smulaton-based multple comparsons. Bometrcs 43, GESBRECHT, F.G., Burns, J.C. (985): Two-stage analyss based on a mxed model: large-sample asymptotc theory and small-sample smulaton results. Bometrcs 4, Hochberg, Y., Tamhane, A. (987): Multple comparson procedures. Wley, New York. HOCHBER, G.Y., Wess, G., Hart, S. (982): On graphcal procedures for multple comparsons. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 77, HSU, J.C. (996): Multple comparsons. Theory and methods. Chapman and Hall, London. MCCULLAGH, P. (983): Quas lkelhood functons. Annals of Statstcs, MCCULLAGH, P., Nelder, J. (989): Generalzed lnear models. 2nd edton. Chapman and Hall, London. PEPHO, H.-P. (2000): Multple treatment comparsons n lnear models when the standard error of a dfference s not constant. Bometrcal Journal (m Druck). SAS nsttute, nc. (989): SAS/ML software: usage and reference, verson 6, frst edton. SAS nsttute, Cary. SAS nsttute, nc. (997): SAS/STAT software: changes and enhancements through release 6.2. SAS nsttute, Cary. Vertrauensntervalle für multple Vergleche be unglechen Standardfehlern der Dfferenzen (H.-P. Pepho) Zusammenfassung Paarwese Vergleche von Behandlungen m lnearen Modell können mt Hlfe smultaner Vertrauensntervalle für alle Dfferenzen durchgeführt werden. Be ener sehr großen Zahl von Behandlungen st de Zahl der zu betrachtenden ntervalle so groß, dass ene nterpretaton schwerg bs unmöglch wrd. Daher betet sch als Alternatve de Berechnung von Vertrauensntervallen um de Behandlungsmttelwerte an, welche zum paarwesen Verglech herangezogen werden können. Be Konstanz der Standardfehler der Mttelwertdfferenzen st ene solche Darstellung ohne nformatonsverlust möglch. Be unbalancerten Standardfehlern/Varanzen st dagegen ene Approxmaton notwendg, und es st en gewsser nformatonsverlust unvermedbar. Dennoch snd de erhaltenen graphschen Darstellungen n der Regel ener paarwesen Betrachtung aller Vergleche vorzuzehen. Stchworte: Vertrauensntervall, multple Vergleche, t-test, unbalancerte Daten, lneare Optmerung, Smplex Algorthmus. Confdence ntervals for multple comparsons n case of non-constant standard errors of a dfference (H.-P. Pepho) Summary Parwse treatment comparsons n the lnear model can be performed usng smultaneous confdence ntervals for all dfferences. Ths approach becomes nfeasble wth a large number of treatments. An alternatve s to compute confdence lmts around the treatment means amenable to parwse comparsons. When the standard error of a dfference s constant, such ntervals can be computed wthout loss of nformaton. n case of varance mbalance an approxmaton s necessary, and some loss of nformaton s unavodable. Nevertheless, the resultng graphcal dsplays are usually preferable to a lne-by-lne dsplay of all parwse comparsons. Key words: Confdence nterval, multple comparsons, t- test, unbalanced data, lnear programmng, smplex algorthm. PD Dr. sc. agr. Hans-Peter Pepho st Hesenberg-Stpendat der DFG und arbetet zur Zet als Bometrker am nsttut für Nutzpflanzenkunde (NK), Unverstät Gesamthochschule Kassel (Stenstrasse 9, 3723 Wtzenhausen, emal: pepho@wz.un-kassel.de). 58