Dokumentation zum Makro für das Chain-Ladder-Verfahren

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1 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren Enletung Im Rahmen von Solvency II sollen Schadenreserven EU-wet nach enhetlchen Verfahren ermttelt und bewertet werden. Verschedene Möglcheten wurden n der Stude Portefeullebewertung von Schadenreserven am Bespel der Kraftfahrzeug-Haftpflchtverscherung dsutert: GDV-Rundschreben 67/006 vom Begletend wurden ebenfalls am de der Stude zugrunde legenden Verfahren als Excel-Maros zum Zwece der Valderung von Abwclungsergebnssen veröffentlcht. Das Maro zum Chan-Ladder-Verfahren wurde erwetert und umfasst nun als Funtonaltät: Berechnung der Chan-Ladder-Fatoren und der daraus resulterenden zuünftgen Zahlungsströme (de Prognose. Erweterung enes Abwclungstrapezes zu enem Abwclungsdreec mttels extern vorgegebener Chan-Ladder-Fatoren. Anpassung ener Auslauf- /Talfunton, de de Zahlungsströme schätzt, de über de beobachtete Länge des Abwclungsdreecs hnausgehen. Kurze Abwclungsdreece werden mt Hlfe der vorgegebenen Chan-Ladder-Fatoren auf ene geegnete Länge fortgesetzt, um über genügend Datenpunte zu verfügen. Berechnung des Prognosefehlers nach T. Mac für de zuünftgen Zahlungsströme pro Anfalljahr als auch für deren Summe für en gegebenes Abwclungsdreec. Berechnung des Prognosefehlers der durch de Auslauffunton geschätzten zuünftgen Zahlungsströme pro Anfalljahr und nsgesamt. Berechnung der mttleren Abwclungsdauer der Zahlungsströme (beobachteter + geschätzter Tel pro Anfalljahr. Berechnung des Barwerts der Summe der zuünftgen Zahlungsströme pro Anfalljahr für ene gegebene Znsstrutururve sowe zwe alternatve Znsszenaren (Znsansteg, Znssenung und de Berechnung der absoluten und modfzerten Duraton (pro Anfalljahr und gemttelt für ene nchtonstante Znsstrutururve und für enen festen Znssatz. Anwendung Im Folgenden wrd de Funtonswese des Maros erläutert. Kumulerte Zahlungen werden, we n Abbldung erschtlch, n Dreecs- oder auch n Trapezform (mehr Anfalljahre als Abwclungsjahre n das Arbetsblatt um.schadenzahlung engetragen. Trapeze, de mehr Abwclungsjahre als Anfalljahre umfassen, önnen ncht verarbetet werden. Wchtg: Das Maro st nur auf Schadenstände anwendbar und auf dese spezell ausgelegt. Werden Zuwächse oder Aufwendungen als Engaben engetragen, produzert das Maro falsche Ergebnsse.. Erstmalge Anwendung De lne untere Ece des Dreecs muss sch n der Zelle um.schadenzahlung!b3, de rot hervorgehoben st, befnden (sehe Abbldung. En Abwclungsdreec, das n ener anderen Excel-Arbetsmappe vorlegt, lässt sch n de Arbetsmappe entragen, ndem es mt der Koperen- und Enfügen-Funton von Excel übertragen wrd: nachdem das Dreec, das übertragen werden soll, n den Zwschenspecher J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

2 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren opert wurde, hat der Anwender n der Spalte B de Zelle n der Zele z ( z = 3 # Anfalljahre auszuwählen. Dann st über den Menüpunt Bearbeten Inhalte enfügen... das Inhalte enfügen-fenster (sehe Abbldung der Punt Werte anzuwählen und mttels des Knopfs OK das Dreec enzutragen. Falls sch de lne untere Ece des Abwclungsdreeces ncht n der genannten Zelle B3 befndet, muss der Koperschrtt rücgängg gemacht werden und der Schrtt nochmals durchgeführt werden. Um das Maro zu starten, müssen mndestens Anfall- und Abwclungsjahre engetragen werden, außerdem dürfen maxmal 30 Anfall- und Abwclungsjahre engetragen werden. Abbldung : Abwclungsdreec m Engabeberech J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

3 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren. Optonen für den Anwender Abbldung : Enfügen enes operten Dreecs Als nächstes hat der Anwender anzugeben, zu welchem Verscherungszweg (allgemener: lne of busness das angegebene Dreec gehört, ndem m Kombnatonsfeld (Zelle um.schadenzahlung!d enes der Kürzel (KH, Andere Vers.zwege ausgewählt wrd (sehe Abbldung 3. Wrd Andere Vers.zwege (= andere Verscherungszwege gewählt, dann wrd weder das Dreec mt vorgegebenen Chan-Ladder-Fatoren fortgesetzt, noch ann en Abwclungstrapez vervollständgt werden. Abbldung 3: Verscherungszweg auswählen J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

4 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren Wchtg: Auf Grund von [] snd zzt. nur Chan-Ladder-Fatoren für KH hnterlegt. Wetere Zwege werden folgen. De nachfolgende Tabelle zegt, we vele Fatoren pro Zweg vorlegen. Zweg KH 0 AH U Anzahl der vorgegebenen Fatoren Folgt Folgt Der Anwender ann aber egene Zahlen vorgeben: sehe Abschntt.5. Wrd en Trapez m Zweg KH engegeben, so darf deses ncht mehr als Anfalljahre aufwesen, da es sonst ncht zu enem Abwclungsdreec vervollständgt werden ann, wel zu weng Fatoren vorlegen. Wchtg: Wenn mt vorgegebenen Chan-Ladder-Fatoren Datenlücen n zu urzen Abwclungsdreecen gefüllt werden, dann önnen ene Aussagen über Fehler n desen zusätzlchen Abwclungsjahren gemacht werden, wel de neuen Beobachtungen exat mt den Prognosen des Modells überenstmmen. Als wetere Optonen hat der Anwender: Vorgabe des Wertes p, zu dem en p%-quantl berechnet wrd: Abschntt 3.5 Vorgabe von Schätz- und Zufallsfehler für den Tal, falls herzu externe Berechnungen vorlegen: Abschntt 3.4 Vorgabe ab welchem Abwclungsjahr de log-lneare Regresson ensetzen soll, falls der Verscherungszweg ncht KH st: Abschntt Ausführung des Maros Anschleßend wrd durch das Anlcen des Menüpunts Extras Maro Maros... das Maroauswahlfenster geöffnet (oder durch de Tastenombnaton Alt+F8. Her ann das Maro Auswertung ausgewählt und durch das Betätgen des Knopfs Ausführen gestartet werden (sehe Abbldung 4a. J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

5 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren Abbldung 4a: Maro starten mttels Menü Alternatv dazu ann das Maro auch durch enen Klc mt der lnen Maustaste auf den Startnopf, der sch n der Zelle um.schadenzahlung!c33 befndet, gestartet werden (sehe Abbldung 4b. Abbldung 4b: Maro starten mttels Startnopf Der Rest läuft automatsch ab und alle Ergebnsse werden n de Arbetsblätter um.schadenzahlung und zuünftge Cash-Flows engetragen. Alle Ausgaben, de ncht n Prozent snd, werden n wssenschaftlcher Notaton ausgegeben, um en möglchst glechmäßges Gesamtbld zu erzeugen. Dennoch st es ratsam, vor enem Ausdruc der Ergebnsse de Drucvorschau zu betrachten und gegebenenfalls anzupassen, um enen guten Ausdruc zu erhalten. Hnwes: De wssenschaftlche Notaton als Zahlendarstellung erzeugt en ompates Gesamtbld der Arbetsmappe. De Lesbaret der Zahlen selbst erschwert se jedoch. Deshalb betet es sch an, das Format der Zahlen zu ändern, wenn de Ergebnsse genauer untersucht oder weter verarbetet werden sollen. Dazu werden alle betroffenen Zellen mt der Maus marert und danach der Menüpunt Format Zellen... angelct. Es öffnet sch das n Abbldung 5 dargestellte Fenster, n dem das gewünschte Zahlenformat ausgewählt werden J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

6 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren ann. Für de Weterverarbetung der umformaterten Ergebnsse betet es sch an, von der Arbetsmappe mttels des Menüpunts Date Spechern unter... nach der Formaterung ene Kope anzulegen und mt deser Kope weterzuarbeten. Abbldung 5: Format der Zahlen ändern.4 Nachfolgende Anwendungen Während der Ausführung des Maros werden auch m Engabeberech auf dem Arbetsblatt um.schadenzahlung!b:ae3 Ergebnsse ausgegeben. So wrd das Dreec oder das Trapez vervollständgt und um mndestens ene Spalte (Schadenstand nlusve Talschätzung erwetert. Soll nun das Maro erneut auf denselben Engabedaten, aber bespelswese mt veränderten Optonen (sehe Abschntt. ausgeführt werden, muss der Anwender folgendes beachten: Da das Maro Auswertung ncht funtonert, wenn m Engabeberech mehr Spalten als Zelen engetragen snd, müssen dese zusätzlchen Ausgaben m Engabeberech erst gelöscht werden, bevor das Maro erneut ausgeführt werden ann. Des ann auf zwe Arten geschehen: Ausführung des Maros Aufraeumen: Deses Maro löscht den Inhalt aller Zellen auf den Arbetsblättern um.schadenzahlung und zuünftge Cash-Flows, de veränderlchen Inhalt aufnehmen. Ausgenommen snd Optonen, de vom Anwender engegeben wurden, also de Auswahl des Verscherungszweges und de Inhalte der orange unterlegten Zellen L, N, J45 und S45 des Arbetsblatts um.schadenzahlung sowe de Zellen B und C:AZ4 auf dem Arbetsblatt zuünftge Cash-Flows. Der Anwender muss jetzt allerdngs das Abwclungsdreec erneut entragen. Löschen der zusätzlchen Spalten: Das Abwclungsdreec oder Trapez wrd weder auf sene ursprünglche Größe gestutzt. Zusätzlche Spalten werden per Hand gelöscht. Es st hlfrech zu wssen, dass Werte unterhalb der Dagonalen bem Enlesen der Daten gnorert werden, so dass es ncht notwendg st de ursprünglche Dreecs- oder Trapezform wederherzustellen. J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

7 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren.5 Wetere Anpassungen Der Programmcode des Maros st offen und es steht jedem Anwender fre, desen zu verändern (sehe Abschntt 4; de vorgegebenen Werte snd m Anhang n schrftlcher Form doumentert. Insbesondere snd de vorgegebenen Chan-Ladder-Fatoren n der Funton MartCLF hnterlegt. Se önnen m Vsual Basc-Edtor angezegt und edtert werden, falls des gewünscht wrd. Der Anwender öffnet dazu den Vsual Basc-Edtor, ndem er den Menüpunt Extras Maro Vsual Basc-Edtor anlct oder de Tastenombnaton Alt+F drüct. Mttels des Auswahlmenüs (sehe Abbldung 6, welches sch rechts oben unterhalb der Symbolleste des Edtors befndet, ann der Anwender dret n de Funton MartCLF sprngen, um de Werte zu edteren. Abbldung 6: De hnterlegten Chan-Ladder-Fatoren fnden De Abbldung 7 zegt, we gerade der drtte Chan-Ladder-Fator für den Verscherungszweg KH geändert wrd. Wetere Hnwese halten de grün hervorgehobenen Kommentare zu deser Funton beret. Abbldung 7: Edteren der hnterlegten Chan-Ladder-Fatoren J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

8 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren 3 Formeln Welche Ergebnsse ausgegeben werden und we se berechnet wurden, wrd m Folgenden doumentert (sehe auch []. 3. Chan-Ladder-Verfahren Wr betrachten umulerte Schadenzahlungen ( cash flows, de n Form enes Abwclungsdreecs S angeordnet snd, dessen Zelen und Spalten jewels von 0, K, n durchnummerert snd. Das Dreec wrd m Berech um.schadenzahlung!b:ae3 engegeben. Aus desem Abwclungsdreec önnen nun mttels der Formel ( n n f = S S,0 n, +, = 0 = 0 de n Chan-Ladder-Fatoren f, 0 n, berechnet werden (Ausgabe m Berech um.schadenzahlung!b35:ad35 unter der Bezechnung best estmate (BE, mt denen dann später das Abwclungsdreec vervollständgt wrd, um de Endschadenstände und de verscherungstechnschen Rücstellungen zu prognostzeren: ( S = S, f K f n n n n (3 R,, ( = Sn S n = S n fn K fn De Reserven (3 werden spaltenwese ausgegeben und zwar ab Zelle um.schadenzahlung!b44., jewels für =,...,n. Mt den Chan-Ladder-Fatoren werden auch de geschätzten zuünftgen Zahlungsströme Ẑ prognostzert, de für de Abznsung m Arbetsblatt zuünftge Cash-Flows erschenen: (4 S = S f, für das Dagonalelement glt: S = S,, +, n, n Z = S S,, +, + wobe jewels = n, K, n. 3. Prognosefehler nach Mac Es wrd mt mse( R der mean squared error, also der Prognosefehler der Reserve m Anfalljahr und mt se( R der standard error, also de Wurzel aus dem Prognosefehler m Anfalljahr bezechnet ( =, K, n. Der standard error st deshalb von Bedeutung, wel er de Enhet ener Währung hat und damt deselbe Enhet we de umulerten Zahlungen des Abwclungsdreecs. Der Prognosefehler der Schätzungen für den Endschadenstand bzw. der Reserve nach Mac setzt sch aus zwe Telen zusammen, nämlch aus dem Zufallsfehler ( ZF und dem Schätzfehler ( SF. Dese beden berechnen sch we folgt: J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

9 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren σ f ZF = S, S SF σ n n = n n = Sn n = n S j= 0 j n, + = S f n = 0 S und σ f, wobe jewels =, K, n S σ = mn( σ σ,mn( σ, σ. 4 n n n 3 n 3 n Addert man dese beden Größen, so ergbt sch der Prognosefehler als (5 mse( R n σ = Sn +. n = n f S S j j= 0 De Wurzel des Prognosefehlers wrd als Spalte ab der Zelle um.schadenzahlung!c44 ausgegeben. In der benachbarten Spalte ab B44 steht de jewelge prognostzerte Reserve. Danach folgt als Spalte ab D44 das Verhältns des standard errors zur Reserve. In den Spalten unterhalb von E44:H44 stehen de Wurzeln des Zufalls- und des Schätzfehlers sowe de Verhältnsse des Zufallsfehlers zum Prognosefehler und des Schätzfehlers zum Prognosefehler. De Parameter σ (Interpretaton: und S σ st en Schätzer der Varanz der zu prognostzerenden Größe S, + werden m Berech um.schadenzahlung!b38:ad38 ausgegeben. Im Berech um.schadenzahlung!b4:ad4 steht der Schätzer für de Standardabwechung der Chan-Ladder-Fatoren: ( n σ j, j= 0 Var f = S wobe = 0, K, n. Der Varatonsoeffzent Vo, der m Berech um.schadenzahlung!b36:ad36 ausgegeben wrd, berechnet sch folgendermaßen: (, mt 0,,. Vo = Var f f = K n Wrd en Abwclungstrapez mt n + Anfalljahren und 0 < n + Abwclungsjahren ausgewertet, dann glt für de eben besprochenen Größen (sehe Sete 4: σ = K = = 0, 0 ( K ( 0 n 0 σ n Var f = = Var f = 0, Vo = K = Vo = 0, n ( K mse( R 0 mse R = = = 0, ZF = K = ZF = SF = K = SF = J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

10 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren Um den Prognosefehler der Gesamtreserve zu berechnen, wrd ene ähnlche Formel benötgt: mse R = se R + S S ( (6 ( ( σ n n n n jn n = j= + = n Sm m= 0. Ausgegeben wrd allerdngs de Wurzel des Prognosefehlers (n derselben Enhet we de O- rgnaldaten. Zu fnden st deses Ergebns Standardfehler der Gesamtreserve n der Zelle um.schadenzahlung!k44. Anschleßend folgt das Verhältns von standard error zur Gesamtreserve n der Zelle L44 (de Gesamtreserve selbst steht n der Zelle J44. f Alle bsher gezegten Formeln bezehen sch auf de vorgelegten Abwclungsdreece ohne Fortschrebung n de Zuunft (sehe []. 3.3 Auslauf-/ Talfunton Um de Abwclung über de vorhandenen Abwclungsjahre hnaus zu untersuchen, wrd ene Entwclungsfunton an de Chan-Ladder-Fatoren angepasst: (7 f ( = + a exp( b, b < 0. Ggf. werden de Chan-Ladder-Fatoren des Abwclungsdreecs um de vorgegebenen Chan-Ladder-Fatoren ergänzt, falls Abwclungsjahre n den Engabedaten fehlen. De Koeffzenten a, b deser Funton werden mttels log-lnearer Regresson gewonnen: Als unabhängge Varable x für dese Regresson werden de Nummern der verwendeten Abwclungsjahre verwendet, de logarthmerten Chan-Ladder-Fatoren mnus ens als abhängge Varable y = bx + a (Chan-Ladder-Fatoren glech ens önnen ncht verwendet werden: das Maro brcht dann dese Berechnung ab: (8 ( K x = r, r +,, n, ( r r+ K n y = ln( f,ln( f,,ln( f. Der Index r bezechnet n desem Fall en Abwclungsjahr, ab welchem de Regresson zwegabhängg startet. De nachfolgende Tabelle lstet de verwendeten Abwclungsjahre nach Verscherungszwegen auf. Zweg KH 5 Sonstger Ab Abwclungsjahr r Wahl des Anwenders Ist der Verscherungszweg des Abwclungsdreecs ncht KH, dann wählt der Anwender aus, ab welchem Abwclungsjahr de Regresson startet. Dazu trägt der Anwender n der Zelle um.schadenzahlung!z45 den gewünschten Wert en (sehe Abbldung 8. Änderungen an dem Entrag werden erst be enem erneuten Start des Maros angewendet. J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

11 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren Abbldung 8: Wahl des Abwclungsjahres De Funton f ( lefert nun für n Abwclungsfatoren. Multplzert man dese Abwclungsfatoren, erhält man ene Schätzung für den Talfator f ult, um den der Endschadenstand ( ultmate loss größer als der Schadenstand nach Abwclungsjahr n st (9 f = f (. ult = n De Koeffzenten der Auslauffunton, der Talfator und de Abwclungsdauer des Tals werden n den Zellen um.schadenzahlung!w44:z44 ausgegeben. Das unendlche Produt onvergert und de Praxs zegt, dass m Allgemenen ab = 50 ene hnrechend gute Näherung an den Grenzwert errecht st. 3.4 Prognosefehler nach Mac nlusve Tal In desem Abschntt glt, falls nchts anderes angegeben st, = 0, K, n und = 0, K, n. Der nach Mac berechnete Standardfehler der prognostzerten Endschadenstände S n st dentsch mt dem Standardfehler der Reserven R : ( (0 mse( R se( S n Mt den Abürzungen ( ( ( =. ( σ ( und ( ( = = = = n S j = 0 mse F se F mse f se f (Achtung: Größen snd dmensonslos lässt sch de Formel (0 bzw. (5 äquvalent ausdrücen: ( n ( ( = ( + ( mse S S mse F mse f f. n n = n σ S j J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

12 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren De beden unter ( angegebenen Abürzungen önnen we folgt nterpretert werden. De S m Durchschntt Größe se( F schätzt, we wet de ndvduellen Abwclungsfatoren vom Chan-Ladder-Fator f abwechen, während ( S, + se f beschrebt, we wet der geschätzte Chan-Ladder-Fator f vom tatsächlchen Chan-Ladder-Fator f abwecht. Aus der Formel ( lässt sch ene reursve Defnton der Standardfehler der prognostzerten Schadenstände ableten: ( ( (3 ( ( (,, mse S + = S mse F + mse f + mse S f. mse S = 0 Der Startwert für de Reurson st pro Zele das Dagonalelement, für das (, n gesetzt wrd. Mt Hlfe der reursven Defnton st es möglch, den Standardfehler für den Endschadenstand nlusve Talfator zu berechnen: ( ( ( ( (,, mse S = S mse F + mse f + mse S f. ult n ult ult n ult Um dese Formel anzuwenden, müssen de dre folgenden Größen geschätzt werden: ( (, f, se f, se F. ult ult ult Des snd Schätzwerte für den Talfator, den Standardfehler des Talfators (Schätzfehler und de Standardfehler der ndvduellen Abwclungsfatoren für den Tal (Zufallsfehler. Den Schätzwert für den Talfator berechnet das Maro, we unter Abschntt 3.3 erläutert. De anderen beden Größen müssen vom Anwender auf Bass des Talfators geschätzt werden. Dazu müssen de beden Standardfehler, we n der Abbldung gezegt, n de Zellen L und N auf dem Arbetsblatt um.schadenzahlung engetragen werden (sehe Abbldung 9. Abbldung 9: Engabe der Schätzer J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

13 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren Trägt der Anwender ene Werte en, dann wrd ene Daumenregel verwendet, um de beden Größen zu schätzen: (, ult ( ult ( ult mse F = mse f = f. Soll dese Daumenregel ncht verwendet werden, dann muss der Anwender Werte n de genannten Zellen L und N entragen. Änderungen an den Engaben der beden Zellen werden erst nach enem erneuten Ausführen des Maros berücschtgt. De beschrebenen Ergebnsse deses Abschnttes stehen n den Spalten um.schadenzahlung!n:u ab der Zele 44. Näheres zum Thema Prognosefehler nlusve Tal ann n [3] nachgelesen werden. 3.5 p%-quantl Für de Gesamtreserve ohne und mt Tal wrd unter Zugrundelegung ener Log- Normalvertelung mt den Parametern µ, σ en p%-quantl q berechnet: ( µ σ ( q = exp + Φ p, 0 < p <. De Parameter µ, σ ergeben sch z. B. nach der Momentenmethode aus Erwartungswert und Standardabwechung der Lognormalvertelung. Für bede Größen verwenden wr de Schätzer aus dem Chan-Ladder-Verfahren: Prognosefehler nach Mac ( σ = ln + n R = R für den Erwartungswert und der = 0 mse R als Varanz gemäß der Formeln: ( mse( R R ( R µ = ln σ Der Prozentsatz p ann sowohl für de Gesamtreserve ohne Tal als auch für de Gesamtreserve mt Tal unabhängg vonenander vom Anwender fre vorgegeben werden, ndem deser auf dem Arbetsblatt um.schadenzahlung n de Zellen J45 (ohne Tal bezehungswese S45 (mt Tal den Wert p 00 enträgt (75 statt 0,75; sehe Abbldung 0. Änderungen an dem Wert, der n desen Zellen engetragen st, werden erst be enem erneuten Lauf des Maros berücschtgt. Abbldung 0: Engabe des p%-quantls J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

14 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren 3.6 Abwclungsdauer De Abwclungsdauer von Zahlungsströmen für beobachtete Jahre = 0,..., n und prognostzerte Jahre = n +,..., n berechnet sch mt den Jahresmttelpunten = + ge- trennt für jedes Anfalljahr: Z d : = t = Z t, = 0,..., n. n n n = 0 Sn = 0 Zp p= 0 t Um de Abwclungsdauer für darauffolgende Jahre größer n zu berechnen, wrd de Auslauffunton zur Schätzung der zuünftgen Schadenstände benötgt: Aus den beden Größen d und Z D t Z t m m, n+ = m n+ =, n+ n+ = S, n+ m Sn = Z, n+ p p=, = 0, K, n. D wrd de gemttelte Gesamtabwclungsdauer berechnet: (, + Sn d + S n m Sn D G =, = 0, K, n. S, n+ m De Gesamtabwclungsdauer wrd anfalljahrsabhängg n ener Spalte ab der Zelle um.schadenzahlung!q44 ausgegeben. 3.7 Barwert Für ene gegebene Znsstrutururve z, = 0,,, K mt z0 = 0 berechnet sch der Barwert der zuünftgen Zahlungen d Z als: d Z : = Z, = 0,..., n, = n +,..., (50. ( + z n+ n+ Im Spezalfall enes onstanten Znssatzes erhält man analog den Barwert enes zuünftgen Zahlungsstroms m Anfalljahr ( Z, n+, Z, n+, K mttels der Formel: 50 B ( z : = Z für =, K, n. n+ = n + ( + z Be dem mt deser Formel berechneten Barwert handelt es sch um ene Näherungslösung, da de Summaton nur bs zum Abwclungsjahr 50 durchgeführt wrd (mt derselben Begründung we n Kaptel 3.3. De für dese und de folgenden Berechnungen verwendete Znsstrutururve und hre zwe Varanten werden von dem Maro aus dem Arbetsblatt zuünftge Cash- Flows!C:AZ4 ausgelesen (sehe Abbldung. J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

15 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren Abbldung : Änderungen an den Znsstrutururven In der zweten Zele deses Arbetsblatts stehen de Werte für de Varante der Znssenung, n der drtten Zele steht de Standard-Znsstrutururve und n der verten Zele steht de Varante für den Znsansteg. Der Anwender ann de enzelnen Werte edteren (de Werte der Standardznsstrutururve snd n schrftlcher Form m Anhang hnterlegt. De Änderungen werden be ener erneuten Ausführung des Maros berücschtgt. Hnwes: De Ausgaben n desem Arbetsblatt verscheben sch je nach Größe des ausgewerteten Abwclungsdreecs. Im Berech zuünftge Cash-Flows!B6:AJ35 werden de Zahlungen der Zuunft ausgegeben. Nach der Spalte, de mt Talzahlungen unterschreben st, folgt ene Spalte, welche de noch zu zahlende Gesamtsumme pro Anfalljahr auswest. Daran schleßen sch dre Spalten an, n welchen de mt den dre Znsstrutururvenvaranten dsonterten Barwerte deser Gesamtsumme pro Anfalljahr enthalten snd. De erste deser dre Spalten (ds.(unten bezeht sch auf das Szenaro ener Znssenung, de zwete (ds. auf Standardznsen und de drtte (ds.(oben auf enen Ansteg der Znsen. Unterhalb deser dre Spalten stehen de Summen der enzelnen Spalten, also de auf dre unterschedlche Wesen dsonterten Barwerte des gesamten Portefeulles sowe deren prozentualer Untersched zu den undsonterten Reserven nlusve Tal (Zelle T44 auf dem Arbetsblatt um.schadenzahlung. Rechts von den dre Spalten mt den Znsszenaren schleßen sch noch enmal sechs Spalten an. Dese enthalten de anfalljahresabhänggen Größen absolute Duraton (abs. Dur. und modfzerte Duraton (mod. Dur. sowe ene mttlere modfzerte Gesamtduraton (gesamt jewels für ene nchtonstante Znsstrutururve und enen festen Znssatz. Dese Größen werden nun dret m Anschluss erläutert. De Barwertfunton B ( z bestmmt also den Barwert enes Zahlungsstroms zu enem festen Znssatz be ener Beobachtungsdauer von 50 Jahren. Das Änderungsverhalten deser Funton be sch änderndem Znssatz wrd von ener Größe, welche absolute Duraton D genannt wrd, beschreben: abs J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

16 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren ( z 50 abs db D ( z : = = n + Z + z > 0 =,, n dz ( ( ( n+ für K. = n + Zur Interpretaton deser Größe betrachtet man de Taylorentwclung der Barwertfunton: ( z db abs B ( z + h B ( z = h + Rest ( h D h. dz für h 0 abs Obge Glechung besagt, dass sch der Barwert B um D 00 Euro verrngert, wenn der abs Znssatz um Prozentpunt stegt. Andersherum erhöht sch der Barwert um D 00 Euro, wenn der Znssatz um Prozentpunt snt. Wrd de absolute Duraton durch den Barwert B ( Duraton mod D : mod ( t z dvdert, so erhält man de modfzerte 50 ( ( ( ( n+ abs n Z z D z + + = n + : = = für =,, 50 B ( ( ( n z + Z + z = n + D z K n. mod Dese Größe ann we folgt nterpretert werden. Der Barwert verrngert sch um ( D h%, wenn der Znssatz um h Prozentpunte stegt. Der Barwert erhöht sch hngegen um mod ( D h%, wenn der Znssatz um h Prozentpunte fällt. Zudem ann de modfzerte Duraton struturell mt der mttleren Abwclungsdauer (Kaptel 3.6 verglchen werden: entsprcht ener mttleren Abwclungsdauer ausschleßlch gewchtet mt den zuünftgen abgeznsten Zahlungsströmen. mod D mod Bespel: D = 4 : Be enem Znsansteg von 0,5 Prozentpunten (bespelswese von 3,5% mod auf 4,0% verrngert sch der Barwert um ( D 0,5 % =,0%. Be der Berechnung deser anfalljahresabhänggen Größe sollte en Znssatz, der zu der mttleren Laufzet passt, verwendet werden. Als Rchtlne für de mttlere Laufzet dent de Gesamtabwclungsdauer aus Kaptel 3.6. Um anfalljahresunabhängge Größen zu erhalten, betet sch folgendes Vorgehen an. Für enen festen Znssatz lassen sch de modfzerten Duratonen pro Anfalljahr gewchtet mt den Summen aller zuünftgen Zahlungen enes Anfalljahres mtteln. Es ergbt sch D. Analog ergbt sch de Formel für de modfzerte Dura- mod ton be Verwendung ener ncht onstanten Znsstrutururve: (,, 50 ( ( ( n n + Z + z = n + n+ ( ( n+ + z n+ + mod = n + D z K zt =. 50 Z Heraus lässt sch wederum n eben beschrebener Form ene modfzerte Duraton, de unabhängg vom Anfalljahr st, berechnen. De zur Berechnung der Größen n Abhängget ener nchtonstanten Znsstrutururve notwendgen Znssätze werden aus dem Berech zuünftge Cash-Flows!C3:AZ3 ausgelesen. Sollen de Duratonen für enen festen Znssatz berechnet werden, so st deser Znssatz n der Zelle zuünftge Cash-Flows!B J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

17 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren enzutragen (sehe Abbldung. Hnwes: Trägt der Anwender her nchts en, wrd des als Znssatz von 0% nterpretert. Als Standard snd her unverbndlch 3% vorengestellt. 4 Schlussbemerung Setens der Verscherungsaufscht (CEIOPS wrd mmer weder betont, dass es vele Verfahren gbt, um valde Berechnungen des sog. best estmate und sener Varabltät m Rahmen des Solvency II Projetes vorzunehmen. De her vorgestellten Verfahren stellen also nur ene unter ener ganzen Rehe von Möglcheten dar und snd an gewsse Voraussetzungen an de Daten gebunden. Dese Voraussetzungen hat der Anwender des Maros n egener Verantwortung zu prüfen. Da der Programmcode offen zugänglch st, blebt es jedem Anwender überlassen, Erwetrungen vorzunehmen oder Tele hervon n sene egenen Programme zu übernehmen. 5 Haftungsausschluss Des st en ostenfrees Produt des GDV, das nach bestem Wssen und Gewssen von den zuständgen Mtarbetern und Gremen des GDV valdert wurde. Trotzdem st ncht auszuschleßen, dass sch Fehler engeschlchen haben oder dass de Berechnungen unter spezellen Datenbedngungen fehlerbehaftet snd. Entsprechende Rücmeldungen würde der GDV begrüßen. Der GDV übernmmt aber ene Haftung für de fehlerfree Funtonaltät des Maros und den orreten Ensatz m Unternehmen. 6 Lteratur [] Portefeullebewertung von Schadenreserven am Bespel der Kraftfahrzeug- Haftpflchtverscherung, GDV-Rundschreben 67/006, 006 [] Thomas Mac, Dstrbuton-Free Calculaton Of The Standard Error Of Chan Ladder Reserve Estmates, Astn Bulletn, Vol. 3, No., 993 [3] Thomas Mac, The Standard Error Of Chan Ladder Reserve Estmates : Recursve Calculaton And Incluson Of A Tal Factor, Astn Bulletn, Vol. 9, No., 999 J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

18 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren 7 Anhang Lste der vorgegebenen Chan-Ladder-Fatoren für den Verscherungszweg KH: Abwclungsjahr Chan-Ladder- Fatoren 0,374,0466,077 3,090 4,0464 5,084 6,0030 7,0085 8, ,0066 0,00584,00477, , , ,0085 6,0075 7,0033 8,0097 9,0005 Znsstrutururve: Restlaufzet n Jahren Znssatz n %,867% 3,035% 3 3,% 4 3,75% 5 3,5% 6 3,76% 7 3,34% 8 3,37% 9 3,46% 0 3,478% 3,57% 3,575% 3 3,69% J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc

19 Doumentaton zum Maro für das Chan-Ladder-Verfahren Restlaufzet n Jahren Znssatz n % 4 3,659% 5 3,693% 6 3,74% 7 3,750% 8 3,774% 9 3,793% 0 3,808% 3,8% 3,83% 3 3,839% 4 3,845% 5 3,850% 6 3,854% 7 3,854% 8 3,853% 9 3,85% 30 3,849% 3 3,846% 3 3,843% 33 3,840% 34 3,838% 35 3,835% 36 3,833% 37 3,830% 38 3,88% 39 3,86% 40 3,84% 4 3,8% 4 3,80% 43 3,86% 44 3,83% 45 3,809% 46 3,804% 47 3,799% 48 3,794% 49 3,789% 50 3,783% J:\Aten_Allg\Solva\AG_Bewert_vtRst\Versand-Maro\Doumentaton.doc