3 b 1 = 7. b = = 59, a = = 30, b) + = Aufgabe 6.1. fehlt Aufgabe 6.2 = = 0 = = 7; = = 2 = = 1.

Transkript

1 Anlyishe Geomerie / Seie Lö () Lösngen zz Kpi iel l :: Skl lrrprrodk Afge fehl Afge ; ; ; Bei Vekoren müsse mn Prodke erehnen Afge Berehne ) ) ) ( ) d) ( ) e) ( )( ) 8 f) ( )

2 Anlyishe Geomerie / Seie Lö () Z Afge mi ii GTTR Ansz: Mi dem GTR lösen wir ds LGS / / / { / y -/ z /} Z Afge Shreie ls Sklrprodk: Z Afge Wir esimmen znähs die Seienlängen nd erwenden dz die Verindngsekoren Seie : AB Seie : Seie : w

3 Anlyishe Geomerie / Seie Lö 8 () Die Winkel α nd β erhäl mn dnn mi der Winkelformel: os α α 8 β is der Winkel ziwshen nd BA Wir enzen BA os β w w ( ) β As dem Winkelsmmensz erhäl mn für den Winkel γ: γ 8 - α - β Z Afge Wir esimmen znähs die Seienlängen: Seie : ) ( AB Seie : ) ( Seie : w Den Winkel α erhäl mn dnn mi der Formel: os α α Den Winkel β erhäl mn dnn mi der Formel nd mi BA : os β w w β 8 γ 8 α β In der T gil w lso w Z Afge 8 Bedingng für die Orhogonliä on nd : C β B α H A

4 Anlyishe Geomerie / Seie Lö () () ( ) 8 ( ) ( ) F ür sind die eiden Vekoren orhogonl Z Afge Der Pnk Q( I I ) lieg f der Gerden g Der Asnd PQ soll LE ergen Ansz: PQ p q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Die qdrishe Gleihng h keine Lösng dh es gi keinen Pnk f der Gerden der on P Einheien enfern is Shrofge flshe Zhlen In der nähsen Aflge könne der Pnk P so len: P( I ) Dnn erhäl mn nd / die eiden Pnk sind dnn Q ( I 8 I -) nd Q ( / I / I /) Z Afge Ansz: n n Lösng: n Z Afge ) Wir zeigen znähs dss ds Vierek ein Prllelogrmm is: AB d DC As DC AB folg dss AD ein Prllelogrmm is Wir zeigen nn noh dss nd AB orhogonl sind AB AB

5 Anlyishe Geomerie / Seie Lö () Es lei noh z zeigen dss enhre Seien gleih lng sind lso z B AB : AB lso AB Dmi is gezeig dss ds Vierek ein Qdr is ) Die Digonlenekoren sind: nd d BD As BD folg dss die Digonlen sählih orhogonl sind D C A B ) D AD ein Qdr is gil: nd Für die Digonle gil: Für die Digonle BD gil: BD Zm Nhweis der Orhogonliä der Digonlen nzen wir wieder ds Sklrprodk: ( )( ) BD denn nh dem Säzhen in Kpiel gil mi h Wir hen zm Beweis die Bedingng nih enöig ws folg drs für die Behpng? Mehr z solhen Beweisen in Kpiel Z Afge Hen wir im Unerrih gerehne Z Afge Ds Dreiek A is rehwinklig wenn einer der drei Winkel eräg Wir enöigen znähs die Verindngsekoren: AB nd A C Lösngsweg: Orhogonliä Fll: α dnn mss A C AB sein - liefer keine Lösng

6 Fll: β dnn mss AB sein - liefer keine Lösng Fll: γ dnn mss CA sein (-)(-) liefer Für is ds Dreiek A rehwinklig Weg: Umkehrng des Szes on Pyhgors (As folg γ s folg β e) Mn enöig die Seienlängen lso: nd AB ( ) C ( ) A Ih erzihe f die ersen eiden Fälle: ( - ) ( - ) / - ( - ) Für is ds Dreiek A rehwinklig Ds Dreiek A gleihshenklig wenn zwei Seien gleih lng sind Fll: lso ( ) ( ) Fll: lso ( ) / () ( - ) ( - ) lso keine Lösng / () ( - ) ( - ) - ± ± Für is ds Dreiek gleihshenklig / () Fll: lso ( ) ( - ) ( - ) - ± ± 8 Für 8 is ds Dreiek gleihshenklig Anlyishe Geomerie / Seie Lö ()

7 Z Afge : N E C F K H L G D ADN is ein Würfel dher gil: nd nd As der Lösng z Afge ennimm mn: EK ( ) nd GK ( ) Ensprehend finde mn GL ( ) nd LE ( ) A B Ds Vierek EKGL is ein Prllelogrmm d GK LE Ds Vierek EKGL is ein Rehek d EK KG ( ) ( ) ( ) Verwende wrde dei wieder ds Säzhen s Kp Ds Vierek EKGL is ein Qdr d enhre Seien gleih lng Denn es gil EK ( ) d GK ( ) d nd drs folg dss die enhre Seien EK nd GK gleih lng sind Eenso zeig mn dss ds Vierek EFGH eenflls ein Qdr is Der Lösng on Afge ennimm mn EF ( ) nd FG ( ) nd finde nlog GH ( ) nd HE ( ) Die drei Shrie sind gen wie oen drhzführen nr diesml mi den Vekoren nd s nd Z Afge : w N H E F G D C A B L K Für ds Okeder eseh s h gleihseiigen Dreieken mi der Seienlänge s dher gil: () w s nd sind Knenekoren eines gleihseiigen Dreieks dher shließen sie einen -Winkel ein Also () os dssele gil für nd w : () w w os w nd w sind orhogonl dher gil () w Anlyishe Geomerie / Seie Lö ()

8 Wir müssen znähs zeigen dss ds Vierek AD ein Qdr is As der Lösng z Afge ennehmen wir: AB ( w ) ( w ) CD ( w ) nd AD ( w ) As AB CD DC folg dss AD ein Prllelogrmm is Die enhren Seien AB nd sind orhogonl wie die Rehnng zeig mi () is (): AB ( w) ( w ) ( w w w w ) s s s s s s AD is lso ein Rehek Die enhren Seien AB nd sind zdem gleih lng denn s AB ( w ) w w s s s woei () nd () enz wrden nd ( w ) w w w s s s s s s s s s s s enz wrden Es gil lso AB woei () is () nd dmi is AD ein Qdr AN is orhogonl z AB nd z AD denn AN AB ( w) ( w ) ( w ) nd AN AD (nlog wie in ): Shließlih is die Kne AN so lng wie die Kne AB denn es gil AN ( w ) w w s s s Wegen der Symmerie der Figr sind dmi lle Knen gleih lng nd lle Winkel zwishen zwei Knen gleih Der Körper is lso ein Würfel Anlyishe Geomerie / Seie Lö ()

9 Anlyishe Geomerie / Seie Lö () Z Afge : : os α α : os β β 8 : os γ γ 8 In der Aildng sind nih nr die drei Vekoren nd eingezeihne sondern noh einige mehr mi der erlngen Eigenshf Ws hier ins Age spring wird in Kpiel 8 näher erläer nd in Kpiel z einer üerrshenden Deng enz Z Afge : nd ( ) ( ) ( ) ( ) Im llgemeinen gil: ( ) ( ) ds häe mn er h ohne Rehnng sehen können denn ( ) is Vielfhes on nd ( ) is Vielfhes on Sind lso nd liner nhängig dnn sind ( ) nd ( ) ershieden Z Afge 8: Ds Vorzeihen des Sklrprodks häng wie wir s Kpiel wissen om Winkel zwishen den Vekoren Dor hen wir gesehen dss ds Sklrprodk negi is wenn der Winkel ϕ zwishen nd 8 lieg Der Berg der Projekion p is eenso groß wie eim Komplenenwinkel on ϕ 8 - ϕ ϕ p n

10 Anlyishe Geomerie / Seie Lö () Z Afge : Siehe Afge Dor hen wir AB nd erehne Die Länge der Sreke AH können wir nn ls orhogonle Projekion on f AB esimmen: AB AH p Die Höhe h erhäl mn mi Pyhgors: p h p h h Z Afge : Siehe Kpiel Z Afge : ) Znähs enöigen wir den Shnipnk der eiden Gerden g: R λ λ nd h: R µ µ Die Rihngsekoren on g nd h sind liner nhängig dher sind sie nih prllel Gleihsezen ergi: λ µ () () () λ λ λ - µ - µ λ λ in () ergi: - µ nd dmi µ Proe in (): - whre Assge λ in Gleihng on g: s Shnipnk S( ) on g nd h C h β B α H A p

11 Anlyishe Geomerie / Seie Lö () lso Wir müssen lso die Rihngsekoren normieren: nd Winkelhlierende: Rihngsekor: Als RV der Winkelhlierenden nehmen wir nih sondern ds -fhe: w : R λ λ Winkelhlierende: Rihngsekor: - - w : R µ µ ) Zm Nhweis der Orhogonliä der eiden Winkelhlierenden müssen wir nr die eiden Rihngsekoren mliplizieren: - Die Winkelhlierenden w nd w sind lso orhogonl Z Afge : Z den eiden Gerden g: R λ λ nd h: R µ µ mi dem Shnipnk S mi Orsekors erhlen wir die Winkelhlierenden w : IR s λ λ w : IR s µ µ Mliplizieren wir die Rihngsekoren - nd dnn erhäl mn - Die eiden Winkelhlierenden sind lso orhogonl Z Afge : Kein Plz mehr Leider

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