in Stück, Preisvektor p = in /Stück D.h. von P 1 wurden 200 Stück verkauft, das Stück zu 10, von P 2 wurden 15 Stück verkauft, das Stück zu 13, usw.

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1 Skllrrprroduk Vekorren rreen nich nurr in i derr Geomerri ie uff Deffi inii ion des Sklrrprroduks Beispiel 6: Veekk oor reenn iinn i ddeer r Bee ri iieess- - wi iirsscchhf fssl lleehhr ree Frge: Ein Kufhus verkuf viele verschiedene Produke, wir eschränken uns er jez einml uf : P, P, P und P Der Asz der einzelnen Produke m 000 und der Sückpreis knn jeweils durch einen Vekor ngegeen werden Dei gi jeweils die Komponene die Were für P n, die Komponene die Were für für P usw ZB Mengenvekor m 0 in Sück, Preisvekor p in /Sück Dh von P wurden 00 Sück verkuf, ds Sück zu 0, von P wurden 5 Sück verkuf, ds Sück zu, usw Wie groß wr der Umsz m 00? Mn muss die Komponene der eiden Vekoren, die Komponenen, die Komponeen, die Komponenen muliplizieren und dnn die Produke ddieren Also: Der Umsz erug lso Bemerkung Wir hen dmi us zwei Vekoren eine Zhl geilde Dei wurde üerwiegend muliplizier Mn könne diese Rechenoperion lso ein Produk von Vekoren mi sklrem Ergenis nennen In einer llgemeinen Definiion sieh ds so us: Definiion: Skkl lrrpprroodduukk Ds Skkl llr rppr roodduukk der eiden Vekoren den eiden Vekoren den Ausdruck zu: und ordne Murer: Anlyische Geomerie / Seie 90 (0605)

2 Beispiel 6: Neeuur roonnl lleess Nee zz Wenn Sie lso wieder einml gefrg werden, ws Ihr Gehirn eigenlich den gnzen Tg u, so können Sie nworen: Es erei Vekorrechnung Mnfred Spizer: Lernen Gehirnforschung und die Schule des Leens Heidelerg Berlin 00, S 58 In unserem Hirn efinden sich ew 0 Millirden Neuronen Wir eschränken uns jez ml uf 6 Dvon sind drei für den Inpu zusändig, sie sizen uf der Nezhu, und drei seuern den Oupu und sizen irgendwo im Gehirn Die 6 Neuronen gehören keinem Menschen, sondern einem Frosch Mi seinen drei Sinneszellen knn dieser Frosch drei Akivierungsmuser durch opische Reize ufnehmen: A: Sorch B: Fliege C: Bluer Himmel Seine jeweilige Rekion is Wegspringen Fressen Verduen Whrnehmung A: Sorch B: Fliege C: Bluer Himmel Inpu-Muser der Rekion und Oupu-Muser Sinneszellen und : Wegspringen Sinneszelle ( Oupu- gereiz Neuron gereiz) Sinneszelle : Fressen ( Oupu- gereiz Neuron gereiz), und : Verduen Sinneszelle ( Oupu- gereiz Neuron gereiz) Die Inpu-Neuronen leien die eingehenden Impuls zu den Oupu- Neuronen weier An den Verindungssellen werden die Reize gewiche, dh mehr oder weniger srk weiergegeen Ds Oupu-Neuron wird nur kivier, wenn die Summe der nkommenden Reizsärken größer is ls ein Schwellenwer Sind Sie uch schon gnz schön gereiz, äh gespnn, wie s weiergeh Spizer S 5 Wer s genuer wissen will: Es sind ei Fruen: e,05aler 0,005 Neuronen Es sind ei Männern: e,aler 0,005 Neuronen Murer: Anlyische Geomerie / Seie 9 (0605)

3 0,5-0,5 0,5 Reei iizzvveekk oor r ml ll Syynnppsseennvveekk oor r eer rggi ii Reekk i iioonn Wir erchen nun nur ds Oupu-Neuron, ei ihm kommen die Signle von llen drei Inpu-Neuronen n Ds Reizmuser der Inpu-Neuronen knn mn ls Inpu-Vekor schreien zb für ds Reizmuser A: i 0 Die Synpsen-Särken des Oupu-Neurons O ilden einen Vekor: 0,5 o 0,5 0,5 Die Signlsärke, die ei O nkomm, knn mn lso ls Sklrproduk von i und o erechnen: i o 0,5 0 ( 0,5 ) 0,5 is größer ls der Schwellwer, der ei 0,8 lieg, dh der Frosch spring weg Beim Reizmuser i wird O nich kiveier, denn die Signlsärke i o 0,5 ( 0,5 ) 0,5 0, 5 is kleiner ls der Schwellenwer 0,8 Aufge 6: Berche die eiden nderen Oupuzellen O O für verschiedene Inpu-Muser Murer: Anlyische Geomerie / Seie 9 (0605)

4 Veekk oorrddddi ii i iioonn: : Einorrdnung des Sklrrprroduks in i die Vekorrrrechnung Berrg eines Vekorrs S--Muul ll i iippl lli iikk i iioonn: : Es h sich isher gezeig, dss mi Vekoren in vieler Hinsich genu so gerechne werden knn wie mi Zhlen Ds änder sich uch nich, nchdem wir nun zu der S-Muliplikion eine weiere Muliplikion gefunden hen Hier eine Zusmmenfssung der Rechenren (Vekor, Vekor ) (, ) (Sklr, Vekor ) ( λ, ) Skkl llrrpprroodduukk : : Sklrproduk: (Vekor, Vekor ) (, ) Wss ffeehl l:: Vekor c mi c λ Vekor c mi c λ λ λ Sklr s s Veekk oor rppr roodduukk lis Kreeuuzzppr roodduukk Vekorproduk: (Vekor, Vekor ) (, ) Vekor c Definiion folg späer Es gi lso eine Addiion und sge und schreie drei Produke Mn könne sich sogr noch ein Produk usdenken: (Sklr, Vekor) Sklr Gi es er nich Die Rechenregeln schuen wir uns späer n Trozdem knn mn j schon ml gnz niv ein ißchen rechnen Beispiel 6 () Beispiel 6 Berechne 9 Murer: Anlyische Geomerie / Seie 9 (0605)

5 Murer: Anlyische Geomerie / Seie 9 (0605) Berg eines Vekors Wir erinnern uns dunkel n die Gleichung x x, die mn uch ls Definiion des Bergs für reelle Zhlen lesen könne Für Vekoren können wir gnz forml dssele ufschreien und häen dmi den Berg eines Vekors definier Definiion: Bee rrgg Der Bee r rgg eines Vekors läss sich jez forml eenso definieren wie der Berg einer reellen Zhl: x x Beispiel 65 Berechne 9 Aufge 6 Mulipliziere die Vekoren prweise mieinnder,,, Hinweis: Es sind sechs Produke zu erechnen Zuszfrge zum Knoeln: Wieviele Produke müsse mn ilden, wenn 7 Vekoren gegeen wären? Aufge 6 5, 7 Berechne ), ), c) ( ), d) ( ), e) ( )( ), f) ( ) Aufge 6 mi ii GTTR Gegeen sind die Vekoren,, c Außerdem gele: x, x, x c Besimme x Aufge 65 Schreie x x 6 x ls Sklrproduk

6 Srreckenl längen und Winkell mi dem Sklrrprroduk Noch eine Herrl leiung Anluf zum Sklrproduk Bislng hen wir mi der Vekorrechung fs usschließlich Geomerie erieen, es wäre dher sehr verwunderlich, wenn ds Sklrproduk sich nich ei geomerischen Frgen ls nüzlich erweisen würde Es is sogr üerus nüzlich: Bisher mussen wir einen Bogen um Sreckenlängen und Winkel mchen Ds Sklrproduk ermöglichen es uns, in sehr kompker und üersichlicher Weise Sreckenlängen und Winkel zu erechnen Srreecckkeennl läännggee x x Länge des Vekors Die Länge des Vekors läss sich in einem kresischen Koordinensysem leich mi Hilfe des Szes von Pyhgors esimmen Für die Digonle d in der Grundfläche gil: d Im Digonlenschni gil: x d d Für die Länge eines Vekors gil lso Ds is er gerde der Berg des Vekors, Die Länge eines Vekors is gleich seinem Berg Winnkkeel l zzwi isscchheenn Veekk oorreenn x Für den -dimensionlen Fll läß sich der Cosinus des Winkels zwischen den eiden Vekoren im rechwinkligen Koordinen-sysem durch ihre Komponenen usdrücken Zunächs finde mn in der Formelsmmlung ds Addiionsheorem: () cos ϕ cos (β - α) cos α cos β sin α sin β Aus der neensehenden Figur knn mn lesen: β ϕ α () sin α ; () cos α ; () sin β ; (5) cos β x Murer: Anlyische Geomerie / Seie 95 (0605)

7 Woei und Sez mn die Gleichungen () is (5) in Gleichung () ein, dnn erhäl mn: cos ϕ gil Für den - -ddi iimeennssi iioonnl lleenn FFl lll gil ensprechend (ohne Beweis) cos ϕ Sklrproduk ls Akürzung Winkelformel Mi Hilfe des Sklrproduks läss sich die Winkelformel kürzer und üersichlicher schreien, wird durch kürz durch Für schrei mn oder gleich Der Winkel zwischen zwei Vekoren und, ϕ (, ), errechne sich us: cos ϕ, 0 ϕ 80 Der Tschenrechner (Einsellung DEG) liefer dnn den Winkel ϕ ϕ rccos cos - Bemerkung: Die Cosinuskurve zeig, dss die Winkelesimmung eigenlich mehrdeuig is Die Eindeuigkei wird hier erzwungen durch die Einschränkung von ϕ uf 0 ϕ 80 Beispiel 66: Gegeen sind zwei Vekoren und : und Besimme die Beräge von und und den Winkel zwischen und Murer: Anlyische Geomerie / Seie 96 (0605)

8 9 ; 9 7 cos ϕ und dmi ϕ 76,0 Wrnungen! 5 0 Belie, er fürcherlich flsch: Ds Sklrproduk liefer einen Sklr, keinen Vekor!! 5 Richig: 0 9 Auch elie und eenso verkehr: cos ϕ 76,0, denn cos ϕ ϕ 7 Richig (siehe oen): cos ϕ, dher ϕ 76,0 7 Mn knn uch den Arcuscosinus (rccos), die Umkehrfunkion der Cosinus-Funkion verwenden: Mn erhäl dnn: ϕ rccos 76,0 oder mi der Schreiweise die der 7 Tschenrechner enuz: ϕ cos - 76,0 7 Säzchen Aus u v folg u v Beweis Beispiel 67: Grundufge u v Mi der Definiion erhlen wir: u v Wir qudrieren und schon hen wir: u v Gegeen sind zwei Punke A( ) und B( 5 ) Besimme die Länge der Srecke AB Murer: Anlyische Geomerie / Seie 97 (0605)

9 Murer: Anlyische Geomerie / Seie 98 (0605) Wir esimmen zunächs den Verindungsvekor ) ( 5 AB Die Länge der Srecke AB is gleich dem Berg des Verindungsvekors: 9 AB Beispiel 68: Grundufge Gegeen sind drei Punke A( ), B( 5 ) und C( ) Besimme den Winkel CAB, dh A is Scheielpunk Wir esimmen zunächs die Verindungsvekoren u ) ( 5 AB, v ) ( c AC Den Winkel ϕ erhäl mn dnn mi der Formel: cos ϕ v u v u 6, ϕ 78,6 C B ϕ A A B

10 Orrhogonl liä Eine verlüffende Eigenschf Kein Sz vom Nullproduk für Vekoren Muliplizieren wir die eiden Vekoren und mieinnder, dnn erhäl mn: 0 Bei reellen Zhlen is es völlig undenkr, dss mn zwei Zhlen, die eide von Null verschieden sind muliplizier und dei Null erhäl Denn für reelle Zhlen gil der Sz vom Nullproduk: Dnch knn ds Produk zweier Zhlen nur dnn Null werden, wenn mindesens ein Fkor Null is Eine Ensprechung zu diesem Sz gi es offenr für ds Sklrproduk nich Ein Blick uf die Winkelformel klär schnell, ws mi Vekoren los is, deren Sklrproduk gleich Null is cos ϕ, Sz Zwei Vekoren, is, 0 sind orhogonl, wenn ihr Sklrproduk gleich Null Beispiel 69: Grundufge Gegeen sind zwei Vekoren und Besimme einen Vekor, der zu und orhogonl is n Ansz: Der gesuche Vekor sei n n n Bedingung für die Orhogonliä von und n : () n 0, Bedingung für die Orhogonliä von und n : () n 0, Mn erhäl lso: () n 0 und () n 0 dh ds LGS: Murer: Anlyische Geomerie / Seie 99 (0605)

11 () n n n 0 () n n n 0 () LLöössuunngg oohhnnee GTTR LLöössuunngg mi ii GTTR Ds LGS h drei Uneknne er nur zwei Gleichungen, dh eine Uneknne knn frei gewähl werden Doch vorher eine zweckmäßige Umformung, die schon eim Schni von Eenen enuz wurde () n 5 n 0 () n n 0 Nun hen wir zwei Gleichungen mi jeweils nur zwei Uneknnen, n seh in eiden Gleichungen Mn knn dmi n und n durch n usdrücken 5 n n 0 n knn elieig gewähl werden Wir sezen n, dmi die Brüche n n verschwinden n Der Vekor n 0 und lle Vielfche von ihm sind orhogonl zu und, wie mn leich nchrechnen knn Ferig n Mi dem Ansz n n und den folgenden Bedingungen, n Bedingung für die Orhogonliä von und n : () n 0, Bedingung für die Orhogonliä von und n : () n 0, gelng mn wieder zum LGS () n n n 0 () n n n 0 Zwei Gleichungen und drei Uneknne heiß, dss mn eine frei wählen knn, zb: () n Mi Menu Equ F Simulneous mi Uneknnen Murer: Anlyische Geomerie / Seie 00 (0605)

12 Murer: Anlyische Geomerie / Seie 0 (0605) Der gesuche Vekor is lso 0, 0, oder nch Muliplikion mi (0): 0 n Beispiel 60: Gegeen sind die vier Punke A( ), B( ), C( 5 ) und D( 5 ) Zeige, dss ds Viereck ABCD ein Qudr is Wir zeigen zunächs, dss ABCD ein Prllelogrmm is AB 5 5 d c DC AB DC somi is ds Viereck ABCD ein Prllelogrmm Wir zeigen nun, dss BC und AB orhogonl sind, dh BC AB 5 c BC Aus 0 BC AB folg BC AB Dmi is gezeig, dss ds Viereck ABCD ein Recheck is Es lei noch zu zeigen, dss enchre Seien gleich lng sind, dss lso z B BC AB gil: AB, BC, lso BC AB Dmi is gezeig, dss ds Viereck ein Qudr is Beispiel 6: Gegeen sind die eiden Punke A( ) und B( 5 ) und die Gerde g: x, IR Von welchen Punken der Gerden g us erschein die Srecke AB uner einem Rechen Winkel?

13 A g C C B Die Punke C, die uf der Gerden g liegen, knn mn in der Form C( ), IR, schreien Gerdengleichung in Punkschreiweise, siehe Aufge 8 Es muss nun gelen: AC BC oder (*) AC BC 0 6 AC c BC c 5 In (*) eingesez erhäl mn 6 AC BC 0 (6 )( ) () ( ) ( ) / : 7 0 ± 9 8 ±,, - 7, C ( ) C ( ), C ( () () () ) C ( 5 ) Bemerkung Prolem 6: Srecke ufpflnzen Die Punke C und C liegen uf dem Thleskreis üer AB Gegeen is die Gerde g: x, IR Auf den Punk P( I I ) soll prllel zur Gerden g eine Srecke der Länge 9 - nch oen - ufgesez werden Murer: Anlyische Geomerie / Seie 0 (0605)

14 Murer: Anlyische Geomerie / Seie 0 (0605) S P g Der gesuche Punk S lieg uf der Gerden h durch P, prllel zu Gerden g, lso h: x, IR Mn knn die Gerde h ls Punk schreien und erhäl S( I I ) Der Asnd zwischen S und P soll 9 ergen, lso erhäl mn den Ansz 9 PS ( ) PS ( ) ( ) 9 PS I () 9 8 9, ± 0 9 s oder 6 s D S oerhl von P liegen soll, muss die x -Koordine von S größer ls p sein Der gesuche Punk S is dher S ( 9 I I 0 ) Aufgen Aufge 66: Gegeen is ds Dreieck ABC durch die Punke A( ), B( ) und C( 6 ) Besimme die Seienlängen und die Winkel des Dreiecks ABC Aufge 67: Gegeen sind drei Punke A( ), B( 5 ) und C( ) Besimme die Seienlängen und Winkel im Dreieck ABC

15 Aufge 68: 5 Gegeen sind die eiden Vekoren u und Für welche Were von sind u und v orhogonl? v Aufge 69: Aufge 60: Welche Punke der Gerden g: x 0, IR sind vom Punk P( I 0 I ) drei Längen-Einheien enfern? Gegeen sind die eiden Vekoren u und v Besimme einen Vekor, der zu u und v orhogonl is? Aufge 6: v u Gegeen is ds Viereck ABCD durch A( ), B( ), B( ) und C( 0) ) Zeige, dss ds Vierecke ein Qudr is ) Zeige, dss die Digonlen orhogonl sind c) Zeige llgemein, dss in einem Qudr die Digonlen orhogonl sind Hinweis zu c): Aus ABCD Qudr folgen: u v und u v 0 Aufge 6: Aufge 6: Aufge 6 : N K Wie groß sind die Winkel in einem Würfel ) zwischen Grundfläche und Rumdigonle? ) zwischen den Rumdigonlen? Gegeen sind die drei Punke A( 0 0 ), B( ) und C ( 0 ) Für welche Were von is ds Dreieck rechwinklig? Für welche Were von is ds Dreieck gleichschenklig? Verinde mn die Mielpunke der sechs Flächen eines Würfels so wie in der Aildung drgesell, dnn erhäl mn ein Okeder, ein Achflch (Siehe Aufge 7) E F H G Zeige, dss ds Viereck EKGL ein Qudr is Zeige, dss ds Viereck EFGH eenflls ein Qudr is A D L B C Murer: Anlyische Geomerie / Seie 0 (0605)