Fußpunktdreiecke und Fußpunktvierecke. Eckart Schmidt. Vorbemerkungen

Transkript

1 Voremerkngen Fßpnktdreieke nd Fßpnktiereke Ekrt hmidt Lotet mn on einem Pnkt P der Dreiekseene f die eitengerden, so erhält mn die Eken des Fßpnktdreieks on P. Einfhstes eispiel ist ds eitenmittendreiek ls Fßpnktdreiek der Umkreismitte, gleiheitig e-dreiek des herpnktes. Geometrish interessnter ist ds Höhenfßpnktdreiek [1], eenflls e-dreiek. er niht jedes Fßpnktdreiek ist e-dreiek. Die Fßpnktdreieke on Umkreismitte nd Höhenshnitt hen den gleihen Umkreis, den Nen-Pnkte-Kreis des Dreieks. Hintergrnd ist die isogonle Konjgiertheit der eiden Pnkte, die dher h rennpnkte eines erührkegelshnitts des Dreieks sind. Weiterhin stellt sih die Frge nh Entrtngen des Fßpnktdreieks. Für elhe Pnkte entrtet ds Fßpnktdreiek kolliner oder gleihseitig oder ls e- Dreiek? o liegen eknntlih die Fßpnkte on Umkreispnkten f der imson-gerden. Entsprehende Frgestellngen lssen sih eim Fßpnktierek ntershen. Die ereitng erfolgt nltish mit rentrishen Koordinten. sgngspnkt dieser sreitng r ein riefehsel mit Herrn ek [] üer piegeldreieke nd piegeliereke. Fßpnktdreieke isogonl-konjgierter Pnkte sgehend on einem egsdreiek seien die rentrishen Koordinten eines Pnktes P der Dreiekseene,,. Dnn sind die Fßpnkte der Lote f die eiten 0, 0, 0. Für den isogonl-konjgierten Prtner on P P * ergeen sih die Lotfßpnkte

2 0, 0, 0. entt erden die on-eeihnngen =,... mit =. lle sehs Fßpnkte hen om Mittelpnkt der treke PP* den gleihen stnd. Ein snthetisher eeis findet sih in [3]. Eine eitergehende Eigenshft isogonl-konjgierter Pnkte ist die rennpnkteigenshft für einen erührkegelshnitt des Dreiseits [4]. Der gemeinsme Umkreis der Fßpnktdreieke isogonl-konjgierter Pnkte ist dnn der Hptkreis des Kegelshnitts. Fßpnktdreieke nd e-dreieke Ds Fßpnktdreiek eines Pnktes P mss niht e-dreiek eines Pnktes Q sein. Für den Höhenshnitt stimmen diese eiden Dreieke r üerein nd die Fßpnktdreieke der Umkreismitte nd der Inkreismitte sind h e-dreieke, er ds Fßpnktdreiek des herpnktes mss kein e- Dreiek sein. lle Pnkte, deren Fßpnktdreiek h e- Dreiek ist, liegen f der sogennnten Dro-i mit der Gleihng [5] = 0, klish einer isogonl-inrinten kishen Kre mit dem Piot-Pnkt im sogennnten DeLonghmps-Pnkt X0 [6]. Die gehörigen e-pnkte liegen f der Ls-i mit der Gleihng [5] = 0, klish einer isotom-inrinten kishen Kre mit dem Piot-Pnkt X69 isotomes ild des Höhenshnitts. Entrtete Fßpnktdreieke Für Umkreispnkte entrtet ds Fßpnktdreiek eknntlih kolliner; die Fßpnkte der Lote on einem Umkreispnkt f

3 die Dreieksseiten liegen f der imson-gerden [7]. Dimetrle Pnkte des Umkreises hen orthogonle imson- Gerden, die sih f dem Nen-Pnkte-Kreis des Dreieks shneiden. Interessnter ist die Frge nh gleihseitigen Fßpnktdreieken. Hier sei der Miqel-Pnkt M eines eineshrieenen Dreieks ngesprohen, der gemeinsme hnittpnkt der Kreise k,,, k,, nd k,,. lle eineshrieenen Dreieke mit gleihem Miqel-Pnkt sind ähnlih nd ähnlihe eineshrieene Dreieke gleihen Umlfsinns hen denselen Miqel-Pnkt. Weiterhin shneiden die Gerden M, M, M die eitengerden nter dem gleihen Winkel [1]. Dmit git es nter den eineshrieenen gleihseitigen Dreieken gleihen Umlfsinns gen ein Fßpnktdreiek, ds Fßpnktdreiek des gehörigen Miqel-Pnktes. In den Kreisiereken M nd M gilt = M sinγ nd = M sinα, M M d.h. = = 1 nd somit =. M M Dher mss M f dem pollonis-kreis üer der eite liegen nd entsprehend f den pollonis-kreisen üer nd. Die gemeinsmen hnittpnkte der pollonis-kreise sind die isodnmishen Zentren X15 nd X16, die isogonlkonjgierten ilder der Fermt-Pnkte. Eine Konstrktion dieser gleihseitigen Fßpnktdreieke ergit sih nmittelr s der Miqel-Konfigrtion.

4 piegeldreieke piegelt mn einen Pnkt P der Dreiekseene n den eitengerden des Dreieks, so erhält mn ds piegeldreiek des Pnktes P. Es entsteht s dem Fßpnktdreiek drh eine entrishe trekng mit dem Fktor ei. Der isogonlkonjgierte Prtner on P ist der Mittelpnkt des Umkreises des piegeldreieks. ek stellt in [] die Frge nh der Perspektiität der piegeldreieke. s den Ekpnkten des piegeldreieks,, ergeen sih die Ektrnserslen f Grnd der geforderten Perspektiität müssen diese drei Gerden einen gemeinsmen hnittpnkt hen. Dies ist der Fll, enn die Determinnte der Gerdenkoordinten den Wert Nll ht. Eine sertng dieser Determinnte ergit die Gleihng = Dies ist die Gleihng der eknnten Neerg-i [5], einer isogonl-inrinten Zirklrkre mit dem Fernpnkt der Eler- Gerden ls Piot-Pnkt. Pnkte der Neerg-i sind.. die In- nd nkreismitten, der Höhenshnitt, die Umkreismitte, die Fermt-Pnkte nd die isodnmishen Zentren. Dei sind.. die Fermt-Pnkte die Perspektiitätsentren der gleihseitigen piegeldreieke der isodnmishen Zentren. Die Perspektiitätsentren... Z der piegeldreieke Pnkten der Neerg-i liegen f einer eiteren Zirklrkre, die mn s der Neerg-i

5 drh piegelng m Umkreis mit nshließender isogonlkonjgierter ildng erhält. ie ht die Gleihng [5], = 0, kl. ist inrint nter der Konjgtion, die die eiden Fermt-Pnkte ertsht nd ht den Piot-Pnkt X65 isogonlkonjgiertes ild der piegelng on H m Umkreis. Fßpnktiereke Nimmt mn den eitengerden =, =, = eines egsdreieks eine eitere Gerde d hin, so erhält mn ein Vierseit. Die ierte Gerde sei ls Tripolre eines Pnktes Q eshrieen, die die eitengerden on in den Pnkten U 0, V 0, W 0 shneidet. Die Gerden,,, d sind eitengerden des Viereks UW. Die Unsmmetrie in der eshreing ergit sih drs, dss ein Vierseit in rentrishen Koordinten eüglih eines Teildreiseits eshrieen ird. Fällt mn on einem Pnkt P die Lote f die Gerden,,, d, so erhält mn ds Fßpnktierek D. Ne sind nr die - leider sehr neqemen - rentrishen Koordinten on D D... Dmit ds Fßpnktierek kolliner entrtet, mss der Pnkt P f llen ier Umkreisen der Teildreiseite liegen. Dieser Pnkt

6 ist eknntlih der teiner-pnkt F des Vierseits, h ls Miqel- oder lifford-pnkt ngesprohen [8] F Die gemeinsme imson-gerde des teiner-pnktes gl. der ier Dreiseite ht dnn die Gleihng 0 = ei tärk [9] findet sih in einem eitrg üer den sogennnten Tngentilpnkt eines Viereks der Hineis, dss für diesen Pnkt ds Fßpnktdreiek pnktsmmetrish, d.h. einem Prllelogrmm entrtet. Diesen geometrish interessnten Vierekspnkt findet mn konstrkti.. im eiten hnitt der Kreise drh den teiner-pnkt nd ein Gegenekenpr des Viereks. D es ei einem Prllelogrmm f die Reihenfolge der Pnkte nkommt, ht der Tngentilpnkt in der hier geählten koordintenmäßigen eshreing eine sehr nüersihtlihe Drstellng ] [ ] [ T λ λ ] [ λ mit = λ. Ds Fßpnktierek des Tngentilpnktes ist ein Qdrt, enn ds Vierek UW orthogonle Digonlen ht. Fßpnktiereke mit Umkreis

7 shließend sei der Frge nhgegngen, für elhe Pnkte P die Fßpnkte,,, D der Lote f ier Gerden,,, d konklish liegen. Wertet mn die stndsgleiheit der Pnkte,,, D om Mittelpnkt der Pnkte P nd P* s, so erhält mn die Gleihng = 0 klish einer kishen Kre für die Pnkte P, die jedoh ohne eg der hier ntershten Frgestellng in [5] ls eispiel einer non-piotl isogonl irlr i näher eshrieen ird. ie geht drh die Pnkte,,, U, V, W nd F. ie ist inrint gegenüer der isogonl-konjgierten ildng gl. jedes der ier Teildreiseite nd h gegenüer der Inersion, die nd U, nd V, nd W ertsht. Die ildpnkte on P ei diesen ier ildngen sind identish. Diese i ist die Ortskre der rennpnkte der eineshrieenen Kegelshnitte der Gerden,,, d. Die Mittelpnkte der Pnkte P nd P* liegen f der sogennnten Neton-Gerden, die die Mittelpnkte der Gegenpnktepre nd U, nd V, nd W enthält. In [5] ird h eine Konstrktionsmöglihkeit der Kre ngegeen. Geometrish interessnt ist der Fll, dss,,, d einen erührkreis hen, ds Vierek UW lso ein Tngentenierek ist. Dies ist der Fll, enn der Pnkt Q f der Tripolren des Gergonne-Pnktes liegt. Dnn ereinfht sih die Gleihng der Zirklrkre = 0. klish Diese Kre ht einen Knotenpnkt in der Mitte des erührkreises nd ist inrint nter der Inersion mit Zentrm im teiner-pnkt, die Gegeneken des Vierseits ertsht nd die erührkreismitte ls Fipnkt ht. ie knn ls trophoide ngesprohen erden, d jede Inersion n einem Kreis m den Knotenpnkt eine rehtinklige Hperel ergit.

8 Litertr [1] E. Donth Die merkürdigen Pnkte nd Linien des eenen Dreieks. VE Detsher Verlg der Wissenshften, erlin [] H. ek P1059. PM 5/45. Jg. 003,.44. [3] R. Honserger Episodes in Nineteenth nd Tentieth entr Eliden Geometr. The Mthemtil ssoition of meri, [4] H.M. nd nd.f. Prr ome i res ssoited ith Tringle. Jornl of Geometr, Vol , 43. [5] J. P. Ehrmnn nd. Giert peil Isois in the Tringle Plne. http//perso. ndoo.fr/ernrd.giert/. [6]. Kimerling Enlopedi of Tringle enters.- http//.ensille.ed/k6/enlopedi. [7] E.M. hröder Geometrie eklidisher Eenen. höningh Verlg Pderorn 1985,. 81. [8] J.-P. Ehrmnn teiner s Theorems on the omplete Qdrilterl. Form Geometriorm, Volme [9] R. tärk nd D. mgrtner Ein merkürdiger Pnkt des Viereks. PM 1/44. Jg. 00,. 19 Ekrt hmidt - Hsenerg 7 - D 43 Risdorf http//ekrtshmidt. de ekrt_shmidt@t-online.de