7.4 Rotation und der Satz von Stokes

Transkript

1 6 Kpitel 7. Vektornlysis 7.4 Rottion und der Stz von Stokes 7.4. Definition Unter der Rottioneines differenzierbren Vektorfeldes E: D R 3 mit den Komponenten E(x,y,z) = f (x,y,z) f 2 (x,y,z) versteht mn ds Vektorfeld f 3 (x,y,z) x f e rot(e)(p) = y f 2 e 2 z f 3 e 3 := yf 3 (p) z f 2 (p) z f (p) x f 3 (p) für lle p D. x f 2 (p) y f (p) Beispiele Sei w R 3 fest gewählt. Ds Geschwindigkeitsvektorfeld der Drehung des Rumes um die chse w mit Winkelgeschwindigkeit w ist gegeben durch E(p) = w p für lle p R 3. Hier ergibt sich für die Rottion: rot(e)(p) = 2w. y Ist E(x,y,z) = yz 2, dnn ist rot(e)(x,y,z) =. y 2 z Es bestehen folgende Beziehungen zwischen Grdient, Rottion und Divergenz: Bemerkung Sei f eine zweiml stetig differenzierbre Funktion uf D R 3, und E ein zweiml stetig differenzierbres Vektorfeld uf D. Dnn gilt: rot( (f)) = div(rot(e)) = div( (f)) = (f) Sei jetzt E:D R 3 ein stetig differenzierbres Vektorfeld uf einem Gebiet D R 3. Sei usserdem D eine orientierbre, kompkte, gltte Fläche mit Rnd, der sich ls stückweise gltte Kurve γ:[,b] drstellen lässt. Sei weiter zu jedem Punkt p uf stetige rt ein Normlenvektor n(p) gewählt und die Rndkurve γ so orientiert, dss von oben (us Sicht der Normlen n(p)) betrchtet die Fläche immer links von der Kurve liegt. Die Rndkurve drf übrigens durchus mehrere Komponenten hben. Dnn gilt der folgende klssische Stz von Stokes: Stz rote(p),n(p) df(p) = oder in Physiker-Schreibweise: rote(p) df(p) = b E(γ(t)), γ(t) dt, E(p) d s. Die linke Seite der Gleichung, ds Flächenintegrl, stimmt lso insbesondere für je zwei verschiedene in die Rndkurve eingespnnte Flächen überein.

2 7.4. Rottion und der Stz von Stokes Folgerung Ist eine geschlossene Fläche ohne Rnd, so ist lso rote,n(p) df(p) =. Wenn ds Vektorfeld E sogr zweiml stetig differenzierbr ist, könnte mn dieselbe ussge uch us dem Stz von Guss schliessen. Denn dnn liesse sich der Stz von Guss uf ds von umschlossene Gebiet und ds Vektorfeld F = rote nwenden. Die Behuptung folgt nun drus, dss div(rote) = ist. Schuen wir uns nun den ebenen Spezilfll n. Es wird sich herusstellen, dss hier die Behuptung wiederum nur eine Umformulierung des Stzes von Green ist Bemerkung Sei ein Normlgebiet in der x-y-ebene und n(p) = für lle p. Ht ds Vektorfeld E etw die drei Komponenten f,f 2,f 3, dnn ist rote(p),n(p) dxdy = ( x f 2 (p) y f (p))dxdy. Sei weiter γ eine Prmetrisierung des Rndes von, dnn ist γ(t) = (ẋ(t),ẏ(t),) und dher E(p) d s = E(γ(t)) γ(t)dt = f (x,y)dx+f 2 (x,y)dy. lso stimmt der Stz von Stokes in diesem Spezilfll mit dem Stz von Green überein: rote(p),n(p) dxdy = ( x f 2 (p) y f (p))dxdy = f dx+f 2 dy. Überprüfen wir die ussge des Stzes von Stokes nun in einigen weiteren Beispielen und Spezilfällen Beispiele Ist E ein konservtives Vektorfeld, lso von der Form E = f für eine zweifch stetig differenzierbre Funktion f uf D R 3, dnn ist rot(e)(p) = für lle p D. ndererseits gilt für ds Wegintegrl von E längs eines gltten Weges γ:[,b] D b E(γ(t)), γ(t) dt = b b f(γ(t)), γ(t) dt = d f(γ(t))dt = f(γ(b)) f(γ()). dt Der Stz von Stokes ist lso in diesem speziellen Fll die beknnte ussge, dss Wegintegrle über konservtive Vektorfelder längs geschlossener Wege verschwinden.

3 8 Kpitel 7. Vektornlysis Sei jetzt E(x,y,z) = ( cy,cx,) für (x,y,z) R 3 (c > fest vorgegeben). DnnistrotE(x,y,z) = (,,2c).BetrchtenwirzunächsteineScheibe von Rdius r in der x-y-ebene um, und wählen wir ls äusseren Normlenvektor jeweils n(p) = (,,) T. Dnn psst die Prmetrisierung γ:[,2π] R 3, γ(t) = (rcost,rsint,) des Rndkreises zur Orientierung, und die linke Seite vom Stz von Stokes lutet hier: rote(p),n(p) df(p) = 2cπr 2. Die rechte Seite ist γ E(p) d s = 2π cr 2 dt = 2cπr 2. lso hben wir Übereinstimmung. Setzen wir jetzt uf die Rndkurve γ eine Hlbkugeloberfläche von Rdius r uf und wählen wir wieder zu p den äusseren Einheitsnormlenvektor n(p) = p. Dnn bleibt die rechte Seite des Stzes von Stokes unverändert und r für die linke Seite erhlten wir diesml, wenn wir Kugelkoordinten verwenden: 2c rote(p),n(p) df(p) = r z(p)df(p) = 2c r 2π π 2 (rsin(t))(r 2 cos(t))dtds = 2cπr 2. Wiederum hben wir lso Übereinstimmung. ithilfe des Stzes von Stokes können wir die Rottion nun geometrisch deuten bzw. koordintenunbhängig definieren Folgerung Sei p D und w R 3 ein Vektor der Länge. Dnn ist die Komponente der Rottion von E n der Stelle p in Richtung von w gegeben durch: rote(p),w = lim E(p) d s, n Fläche(S n ) S n wobei γ n den Rnd einer Kreisscheibe S n in D von Rdius r n um p in der Ebene senkrecht zu w bezeichnet. Dbei sei γ n in Bezug uf w jeweils positiv orientiert, und so gewählt, dss die Rdien r n für n gegen konvergieren. Beweis. Nch dem ittelwertstz der Integrlrechnung gibt es, weil rot E(p) stetig von p bhängt, zu jedem Rdius r n eine Zwischenstelle ξ n S n mit rote(p),w df(p) = rote(ξ n ),w df(p). S n S n

4 7.4. Rottion und der Stz von Stokes 9 us dem Stz von Stokes ergibt sich nun: lim E(p) d s = lim rote(ξ n ),w = rote(p),w. n Fläche(S n ) S n n q.e.d. Ds bedeutet lso, dss die Komponente der Rottion von E n der Stelle p in Richtung von w den Wirbelnteil von E in Richtung von w misst oder die infinitesimle Zirkultion. Eine wichtige Interprettion der Rottion ist Inhlt der xwellschen Induktionsgleichungen. Diese Gleichungen luten in differentieller Schreibweise: rot(e) = t B und rot(b) = 4π c j + c te, wobei E die elektrische Feldstärke, B die mgnetische Flussdichte und j die elektrische Stromdichte bezeichnet. ithilfe des klssischen Stzes von Stokes können wir diese Gleichungen wiederum in Integrlform bringen. Die erste Gleichung nimmt dnn folgende Gestlt n: Ed s = tbdf. (t) Ds heisst, dss die Zirkultion des elektrischen Feldes entlng der Rndkurve (bis uf ds Vorzeichen) mit der über eine von der Kurve umschlossene Fläche integrierten zeitlichen Änderung des gnetfeldes übereinstimmt. Die zweite Gleichung lutet in Integrldrstellung: Bd s = 4π + c jdf tedf. c Kommen wir jetzt zum Beweis des klssischen Stzes von Stokes. Dzu hlten wir zunächst folgenden Hilfsstz fest Lemm Bezeichne die Jcobimtrix eines differenzierbren Vektorfeldes E n einer Stelle p. Sei C := T. Dnn gilt für lle w R 3 : (t) (rot(e)(p) w = Cw. Beweis. DsVektorprodukt mitderrottionvone neinerstellepkönnenwirlso ls ultipliktion mit derjenigen trix interpretieren, die den schiefsymmetrischen nteil der Jcobimtrix von E enthält. Rechnen wir die Behuptung nch: Die Einträge der Jcobimtrix sind ij = j f i, wobei f,f 2,f 3 die Komponenten von E bezeichnet. lso ist nch Definition C = 2 f f 2 3 f f 3 f 2 2 f 3 f 2 2 f 3. f 3 3 f 2 f 3 3 f 2

5 2 Kpitel 7. Vektornlysis Nun ergibt sich direkt rot(e)(p) w = 2f 3 (p) 3 f 2 (p) 3 f (p) f 3 (p) w = Cw. f 2 (p) 2 f (p) q.e.d. Beweis von Stz Sei eine beliebige orientierbre, kompkte, gltte Fläche mit Rnd. Wir können mit endlich vielen Krten so überdecken, dss sich je zwei Krten nur längs von Kurven berühren und nicht überlppen und die entsprechenden flchen Krten Normlgebiete sind. Es reicht nun, den Stz von Stokes für eine einzelne Krte zu zeigen. Denn die Flächenintegrle verhlten sich dditiv, und in der Summe sämtlicher Rndintegrle heben sich die Beiträge der inneren Ränder uf, weil sie jeweils zweiml mit entgegengesetztem Vorzeichen uftreten. Nehmen wir jetzt n, dss R 3 bereits durch eine einzige Krte beschrieben wird. Es sei wie früher ϕ:u R 2 eine stückweise zweiml stetig differenzierbre Prmetrisierung der Fläche. Sei weiter E(x, y, z) = f (x,y,z) f 2 (x,y,z) ein f 3 (x,y,z) stetig differenzierbres Vektorfeld uf. Wir definieren jetzt ein ebenes Vektorfeld Ẽ uf U durch Zurückholen mithilfe der Prmetrisierung ϕ folgendermssen: Ẽ(u,v) := Dϕ(u,v) T (E(ϕ(u,v)), wobei Dϕ(u,v) T die zum Differentil Dϕ(u,v) dule bbildung bezeichnet, die durch ultipliktion mit der Trnsponierten der Jcobimtrix von ϕ(u, v) gegeben ist. Die beiden Komponenten von Ẽ sind lso f (u,v) = E(ϕ(u,v)), u ϕ(u,v) und f2 (u,v) = E(ϕ(u,v)), v ϕ(u,v). Betrchten wir jetzt zuerst die Zirkultionen von E bzw. Ẽ längs der Rndkurven. Nehmen wir n, γ:[,b] U prmetrisiert den Rnd von U mit positiver Orientierung. Dnn ist γ = ϕ γ eine entsprechende Prmetrisierung für, und es gilt: b E d s = E(ϕ(γ(t)), Dϕ(γ(t)) γ(t) dt = b Dϕ(γ(t)) T E(ϕ(γ(t)), γ(t) dt = γ Ẽ d s. lso stimmen die beiden Zirkultionen überein. Schuen wir uns jetzt die jeweiligen Flächenintegrle n. Einerseits ist U rot(ẽ), dudv = ( u f2 v f )dudv. U

6 7.4. Rottion und der Stz von Stokes 2 ndererseits ist rote(p),n(p) df = lso reicht es zu zeigen: rote(ϕ(u,v)), u ϕ(u,v) v ϕ(u,v) dudv. rote(ϕ(u,v)), u ϕ(u,v) v ϕ(u,v) = u f2 (u,v) v f (u,v). Wir setzen jetzt = (u,v) und überlegen zuerst: rote(ϕ()), u ϕ() v ϕ() = det(rote(ϕ()), u ϕ(), v ϕ()) = rote(ϕ()) u ϕ(), v ϕ(). it dem Lemm wird drus (wobei die Jcobimtrix von E bei p = ϕ(u,v) bezeichnet): ( T ) u ϕ(), v ϕ() = u ϕ(), v ϕ() u ϕ(), v ϕ() = u (E ϕ)()), v ϕ() u ϕ(), v (E ϕ)() = u E(ϕ()), v ϕ() v u ϕ(),e(ϕ()) = u f2 () v f (), wie behuptet. lso stimmen uch die Flächenintegrle für bzw. für U überein. Dmit ist die Behuptung uf den ebenen Spezilfll zurückgeführt, für den wir den Stz von Stokes bereits us dem Stz von Green folgern konnten. lso ist lles gezeigt. q.e.d. In der Sprche der Differentilformen nimmt der Stz von Stokes die folgende hübsche Form n, die wir bereits im ebenen Fll erhlten htten: 7.4. Stz Ist ω eine stetig differenzierbre -Form uf einer kompkten orientierbren stückweise gltten Fläche mit Rnd in R 3, so gilt: ω = dω. Dbei ist hier ω = f dx+f 2 dy+f 3 dz, wobei f j wie oben die Komponenten von E sind. Die linke Seite gibt lso die Zirkultion von E längs der Rndkurve n. it dω ist folgende 2 Form gemeint: dω = d(f dx+f 2 dy +f 3 dz) = df dx+df 2 dy +df 3 dz. Setzt mn für die Differentile ein df = ( x f )dx+( y f )dy+( z f )dz und so weiter, und berücksichtigt die schon beschriebenen Rechenregeln für ds Dchprodukt, dnn erhält mn dω = ( y f 3 z f 2 )dy dz +( z f x f 3 )dz dx+( x f 2 y f )dx dy.

7 22 Kpitel 7. Vektornlysis Die uftretenden Fktoren sind lso gerde die Komponenten der Rottion. Setzt mn jetzt noch eine Prmetrisierung ϕ(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ein, dnn knn mn die Dchprodukte wiederum umschreiben in ( ) u x dx dy = [( u x)du+( v x)dv] [( u y)du+( v y)dv] = det v x du dv, u y v y und so weiter, und mn findet schliesslich: dω = det(rot(e), u ϕ, v ϕ)du dv. uch der Divergenzstz lässt sich uf diese Weise in elegnter Kurzform schreiben. Und zwr lutet der Stz jetzt: 7.4. Stz Ist ω eine stetig differenzierbre 2-Form uf einem Gebiet in R 3, berndet von einer kompkten orientierbren stückweise gltten Fläche, so gilt: ω = dω. Hier ist jetzt mit ω ein usdruck der Form ω = g dy dz +g 2 dz dx+g 3 dx dy gemeint, und nlog zu eben definiert mn dω = d(g dy dz+g 2 dz dx+g 3 dx dy) = dg dy dz+dg 2 dz dx+dg 3 dx dy = ( x g + y g 2 + z g 3 )dx dy dz = div( g 2 )dx dy dz. g 3 uf der rechten Seite der im Stz behupteten Gleichung steht lso jetzt ein Volumenintegrl über die Divergenz eines Vektorfeldes und uf der linken Seite ein Flächenintegrl, und zwr ist, wenn wir wieder eine Prmetrisierung der Rndfläche zu Hilfe nehmen, wie oben ω = det( g g 2, u ϕ, v ϕ)du dv. g 3 g